求取值范围的方法

求参数的取值范围问题比较常见，常出现在不等式、函数、方程、直线、圆、向量等问题当中.此类问题侧重于考查同学们的运算能力和综合分析能力.要求得参数的取值范围，需重点讨论与参数相关的变量或式子，用变量来约束参数的取值.下面介绍两个求参数取值范围的技巧.一、分离参数分离参数是指将不等式或等式进行恒等变形，使不等式或等式的一边含有参数，另一边不含有参数，然后根据不含参数的式子的范围来确定参数的取值范围.一般地，我们可以运用构造函数法、基本不等式法、导数法等来确定不含参数的式子的范围.例1.若函数f(x)=x3-b2x2+bx+c在[-2,1]上是增函数，求b的取值范围.解：由题意可知，函数f(x)在[-2,1]上是增函数，则对于∀x∈[-2,1],有f'(x)=3x2-bx+b≥0恒成立.当x=1时，3x2-bx+b≥0成立；而当x∈[-2,1),要使3x2-bx+b≥0，需使b≥3x2x-1，那么就只需要b>(3x2x-1)max,又(3x2x-1)max=0,所以b≥0.因此，实数b的取值范围是[0,+∞).若遇到含参不等式问题时，我们可先将不等式进行变形，把参数分离出来，得到a≤f(x),a≥f(x),a< f(x),a>f(x)的形式，求出f（x）的最值，只要使a≤f(x)min, a≥f(x)max,a<f(x)min,a>f(x)max，即可求出参数的取值范围.例2.已知不等式sin x∙cos x>m2+m2-1的解集为R，求m的求值范围.解：将不等式sin x∙cos x>m2+m2-1变形可得2sin x∙cos x>2m2+m-2，设g(m)=2m2+m-2,f(x)=2sin x∙cos x=sin2x≥-1,而g(m)<f(x)min，所以2m2+m-2<-1,即(2m-1)(m+1)<0,解得-1<m<12,因此m的取值范围为(-1，12）.本题的不等式中有多项含有m，因此将含m的项与常数项一起分离出来，再构造函数g（x）、f（x），求得f（x）的最值，使g(m)<f(x)min，即可求得m的取值范围.由此可见，通过分离参数解答含参不等式问题，大致可以分为三步：①分离参数；②求函数的最值；③利用极端原理得到最终的答案.二、变更主元对于一些含有多个参数、变量的问题，我们通常使用变更主元法来解题.将参数作为主元，将变量当作参数，将问题转化为关于参数的不等式、函数、方程问题，借助不等式的性质、函数的性质、方程的判别式来建立关于参数的关系式，从而求得参数的取值范围.例3.若函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,对任意a∈[-1,1]，有g(x)<0，求实数x的取值范围.解：∵g(x)=3x2-ax+3a-5,∴令ϕ(x)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1.对于-1≤a≤1,有g(x)<0恒成立,即ϕ(a)<0.∴ìíîϕ(1)<0,ϕ(-1)<0,即ìíî3x2-x-2<0,3x2+x-8<0,解得x∈(-23,1).∴x的取值范围为(-23,1).我们将x看作参数，将a看作变量，将问题转化为关于a的一次函数问题.根据g(x)<0，建立关于a的不等式，解不等式就能求得参数a的取值范围.相比较而言，分离参数的适用范围较广，但运算量较大；变更主元的技巧较为简单，但使用范围较窄，很多同学经常很难想到这个技巧.因此，在解题受阻时，同学们要注意变通，尝试从不同的角度思考解题的思路.（作者单位：甘肃省陇南市成县第一中学）折直解题宝典45。

求函数的取值范围方法1. 引言函数是数学中的重要概念，而求函数的取值范围更是解决数学问题中的关键步骤之一。

本文将详细探讨求函数的取值范围的方法和技巧，帮助读者更好地解决相关问题。

2. 求简单函数的取值范围对于简单的函数，求取其取值范围相对容易。

以下是几种常见的简单函数及其求解方法。

2.1. 线性函数线性函数的一般形式为y=kx+c，其中k和c是常数。

可以通过观察常数项c的正负来判断函数的取值范围。

如果c为正，则函数的取值范围为(−∞,+∞)；如果c为负，则函数的取值范围为(−∞,c]或[c,+∞)，具体取决于k的正负。

2.2. 幂函数幂函数的一般形式为y=x n，其中n是正整数。

对于幂函数，如果n是偶数，则函数的取值范围为[0,+∞)；如果n是奇数，则函数的取值范围为(−∞,+∞)。

2.3. 指数函数指数函数的一般形式为y=a x，其中a是正实数且不等于 1。

对于指数函数，如果0<a<1，则函数的取值范围为(0,+∞)；如果a>1，则函数的取值范围为(0,+∞)或(−∞,0)，具体取决于指数的奇偶性。

3. 求复合函数的取值范围复合函数由多个简单函数组成，求取其取值范围相对复杂一些。

以下是求解复合函数取值范围的一般方法。

3.1. 确定函数的定义域首先，需要确定复合函数的定义域，即每个简单函数的定义域的交集。

对于每个简单函数，需要排除可能导致函数无定义的情况，例如分母为零的情况。

3.2. 求取每个简单函数的取值范围对于每个简单函数，可以使用前文提到的方法求取其取值范围。

注意，对于基于其他函数的简单函数，需要考虑到其定义域的限制。

3.3. 确定复合函数的取值范围最后，将每个简单函数的取值范围组合起来，通过考虑每个简单函数的正负、定义域的限制以及复合函数的运算关系，可以得到复合函数的取值范围。

4. 求特殊函数的取值范围除了常见的简单函数和复合函数，还存在一些特殊函数，求取其取值范围需要特殊的方法和技巧。

求取值范围的方法一、引言值范围是数学中一个重要的概念，它描述了一个变量能够取到的所有可能值。

在计算机科学和编程中，求取值范围的方法是非常重要的，因为它可以帮助程序员正确地处理数据，并避免出现错误。

本文将介绍几种常用的方法来求取值范围。

二、数学方法1. 直接法直接法是最基本的求取值范围的方法，它通过观察函数或变量的定义域和值域来确定其取值范围。

例如，对于函数f(x)=x^2+1，我们可以发现它定义在实数域上，并且其最小值为1，因此其取值范围为[1,+∞)。

2. 推导法推导法是通过对函数或变量进行推导来确定其取值范围。

例如，对于函数f(x)=log(x)，我们可以通过求导得到其单调递增，并且定义域为(0,+∞)，因此其取值范围为(-∞,+∞)。

3. 极限法极限法是通过极限运算来确定函数或变量的取值范围。

例如，对于函数f(x)=sin(x)/x，在x趋近于0时，sin(x)/x趋近于1，因此f(x)在x趋近于0时的极限为1，因此其取值范围为[-1,1]。

三、计算机方法1. 穷举法穷举法是通过枚举所有可能的取值来确定变量的取值范围。

例如，对于一个整数变量x，我们可以通过一个循环来枚举所有可能的取值，并找到最小和最大值来确定其取值范围。

2. 值域分析法值域分析法是通过对程序进行静态分析来确定变量的取值范围。

例如，对于一个程序中的整数变量x，我们可以通过分析程序中所有可能赋给x的值，并找到最小和最大值来确定其取值范围。

3. 测试法测试法是通过编写测试用例来验证程序中变量的取值范围。

例如，对于一个程序中的整数变量x，在编写测试用例时可以考虑边界情况和异常情况，并检查程序是否正确处理了这些情况。

四、总结求取值范围是数学和计算机科学中非常重要的问题，在实际应用中也经常遇到。

本文介绍了几种常用的方法来求取值范围，包括数学方法和计算机方法。

这些方法各有优缺点，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。

七下数学求取值范围公式数学中，求取值范围是一项基础而重要的技巧。

它帮助我们确定未知变量的取值范围，提供了求解问题的关键线索。

今天，我们将探索七年级数学中常见的求取值范围的公式和方法。

首先，我们来看一下一元一次方程的求取值范围。

一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知数，而x是未知数。

在这种方程中，我们希望确定x的可能取值范围。

我们可以通过以下公式来求解：x = -b/a这个公式告诉我们，x的取值范围是所有满足方程的解。

其中，a不等于零，因为方程中的x的系数是非零的。

如果a等于零，那么方程会变成b = 0，只有当b也等于零时，方程才有解。

接下来，我们来看看不等式的求取值范围。

不等式是数学中经常遇到的问题，我们想确定未知数的取值范围来满足一定的条件。

对于一元一次不等式ax + b < c，求解取值范围的方式如下：x < (c - b)/a这个不等式告诉我们，x的取值范围是小于(c-b)/a的所有数。

同样地，我们需要确保a不等于零，以免得到无意义的结果。

在解决一元一次方程和不等式的过程中，我们需要注意以下几点：首先，当a大于零时，不等式变为x > (c-b)/a；其次，当不等号为小于等于或大于等于时，解的范围也会稍有不同；此外，我们还需要考虑将解映射到实际问题中的情况，以确保解对问题的可行性。

除了一元一次方程和不等式，我们还会遇到更复杂的情况。

当出现多元一次方程时，我们需要使用多元一次方程的求解方法，如代入法、消元法等来求取值范围。

总之，求取值范围是数学中一项基础且重要的技巧。

通过正确应用公式，我们能够确定未知数的取值范围，从而解决各种数学问题。

但在求解过程中，我们需要注意问题的条件、不等式的符号以及将解映射到实际问题中的可行性。

希望通过这篇文章，你能对求取值范围的公式和方法有更深的理解，提高解决数学问题的技能。

求值域的10种方法值域是一个函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

找到函数的值域通常是为了确定函数可能的取值范围，并且在数学和计算中都是非常重要的。

以下是求值域的10种方法：1.列举法列举法是最简单直接的方法。

通过观察函数的定义，给出一组有序的输出值，并将这些值组成一个集合。

这些值将构成函数的值域。

例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以通过进行一系列的替换运算，然后给出输出值的集合{0,1,4,9,16,...}。

2.图像法在图像法中，我们首先绘制函数的图像，然后找到图像上所有纵坐标的值。

这些纵坐标的集合构成了函数的值域。

例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以绘制一个抛物线形状的图像，然后观察所有纵坐标的值。

3.解析法解析法是通过使用代数表达式或方程来确定函数的值域。

例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以使用代数方法将方程f(x)=y转化为x^2=y。

然后通过解这个方程，我们可以得到y可能的取值范围，即函数的值域。

4.图像逼近法在图像逼近法中，我们通过绘制函数的图像，并观察图像在最高和最低点之间所有可能的纵坐标值。

这些纵坐标的集合构成函数的值域。

5.猜测法猜测法是一种直觉方法，凭借对函数的直觉和理解猜测出其可能的取值范围。

这种方法通常需要一定的数学背景和经验，并且在实践中被广泛应用。

6.极值法在极值法中，我们通过找到函数的极大值和极小值来确定函数的值域。

极大值是函数图像的局部最高点，极小值是函数图像的局部最低点。

函数的值域就是极值点之间的所有可能的函数值。

7.夹逼法夹逼法是通过使用两个已知函数（夹逼函数）来夹住待求函数，然后确定待求函数的值域。

待求函数的值域将位于夹逼函数的值域之间。

8.对数法对数法是通过取函数的对数来确定函数的值域。

求函数的对数在一些问题中很有用，因为它可以将具有无穷大或无穷小解的问题转化为具有有限解的问题。

9.差集法差集法是通过找到函数定义域的补集，然后从全体实数集中去除差集的元素，得到函数的值域。

求取值范围的题
（实用版）
目录
1.求取值范围的题目概述
2.求取值范围的方法
3.求取值范围的实际应用
4.结论
正文
一、求取值范围的题目概述
求取值范围的题目是数学中的一种题型，主要目的是要求解某个数学函数或者变量的取值范围。

在解决这类题目时，需要运用数学知识，如代数、几何、函数等，来确定变量或函数的取值范围。

这类题目不仅可以提高学生的数学能力，还有助于培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

二、求取值范围的方法
求取值范围的方法有多种，主要包括以下几种：
1.代数法：通过列方程、解方程来求解变量或函数的取值范围。

2.几何法：利用几何图形的性质来求解变量或函数的取值范围。

3.函数法：利用函数的性质，如单调性、周期性等来求解函数的取值范围。

4.数形结合法：将代数与几何相结合，利用数形结合的思想来求解变量或函数的取值范围。

三、求取值范围的实际应用
求取值范围在实际生活和科学研究中有广泛的应用，例如：
1.在物理学中，求解物体的运动范围；
2.在经济学中，求解某个经济指标的取值范围；
3.在工程领域，求解某个工程设计的参数范围等。

通过求取值范围，可以帮助我们更好地理解问题，为实际问题提供解决方案。

四、结论
求取值范围的题目是数学中的一种重要题型，掌握求取值范围的方法不仅可以提高学生的数学能力，还有助于培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

函数自变量取值范围的确定方法在数学中，函数是一种映射关系，它将自变量的取值映射到因变量的取值。

确定函数自变量的取值范围是非常重要的，它决定了函数的定义域，也就是函数能够接受的有效输入。

以下是几种确定函数自变量取值范围的方法：1.函数定义式：函数的自变量取值范围可以通过函数的定义式来确定。

例如，对于一个有理函数f(x)=1/(x+1)，我们可以通过分析定义式知道x的取值范围不能为-1，因为分母不能为零。

2.分段函数：如果一个函数在不同的自变量范围内有不同的定义式，那么我们需要考虑每个定义式的自变量取值范围。

例如，对于一个分段函数f(x)=，x，我们知道在x<0时，f(x)=-x；在x≥0时，f(x)=x。

因此，对于x<0和x≥0，我们需要考虑两个不同的自变量取值范围。

3.函数图象：函数的图象可以提供有关函数自变量的取值范围的一些线索。

我们可以通过观察函数的图象来确定函数自变量的取值范围。

例如，对于一个简单的二次函数f(x)=x^2，我们可以看到函数图象是一个开口朝上的抛物线，意味着函数自变量的取值范围为实数集。

4.函数的性质和约束：函数的性质和约束也可以提供有关函数自变量取值范围的信息。

例如，对于一个表示物体高度的位置函数f(t)，我们知道物体不能以负的高度存在，因此自变量t的取值范围不能小于零。

5.实际问题：当函数被用于解决实际问题时，问题所涉及的条件和限制可以帮助确定函数自变量取值范围。

例如，对于一个描述人的体重变化的函数f(t)，我们知道体重不能为负，因此自变量t的取值范围不能小于零。

总之，确定函数自变量取值范围的方法包括分析函数的定义式、分段函数的定义式、观察函数图象、考虑函数的性质和约束以及解决实际问题时考虑问题所涉及的条件和限制等。

通过这些方法，我们可以确定函数自变量的取值范围，从而确保函数的定义域是有效的。

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数学求取值范围技巧
求取值范围的题型是数学中常见的一类问题，通常在初中阶段的数学课程中出现。

这类问题通常需要根据给定的条件，确定变量的取值范围，进而求得问题的答案。

在求解取值范围问题时，需要注意以下几点:
1. 读懂问题：在解决问题之前，首先要仔细阅读问题，理解问题中所涉及的概念和条件，明确问题的要求。

2. 找对关键词：在问题中，通常会有一些关键词，如“最大”、“最小”、“最高”、“最低”等，这些关键词可以帮助我们确定变量的取值范围。

3. 画图辅助：对于一些比较复杂的问题，可以通过画图来辅助理解，从而更好地确定变量的取值范围。

4. 利用公式：在一些问题中，可以利用已知的公式来确定变量的取值范围。

例如，当函数 y=ax+b 的导数为零时，可以得到 a=0，从而确定 y 的取值范围。

5. 分类讨论：对于一些比较复杂的问题，需要进行分类讨论，从而确定变量的取值范围。

例如，当一个问题涉及多个变量时，需要分别考虑各变量的取值情况，进而确定答案。

在初中阶段，求取值范围的题型主要有填空题、选择题和计算题等。

在求解此类问题时，需要掌握一些基本的技巧和方法，如画图、分类讨论、化简和代入等。

通过不断的练习，可以提高自己的解题能力和水平。

取值范围的四种常用方法在圆锥曲线的取值范围类问题中，我们得到了讨论对象的最终表达式后，不可避免地要进行函数值域的研究. 在这些最终表达式里面，分式型的函数是最令人感到头疼的.求解分式型函数的值域，关键是利用换元等手段将其转成我们常见的函数形式.一、分离常数经典例题1.求函数的值域.【答案】【解析】，由于，故有，【标注】【知识点】求函数的值域题目分析方法一：用【分离常数】求的值域------------------------------【观察特征+解题动作】------------------------------------------------------------【一气呵成】------------------------------观察特征解题动作①分子和分母次数 相同尝试分离常数得②分离常数后，分式部分的分子为 常数只需研究分母值域即可巩固练习（1）（2）2.已知椭圆，若、是椭圆上关于轴对称的任意两点，设，连接交椭圆于另一点.求证：直线过定点，并求出点的坐标．过点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围．【答案】（1）（2）直线过轴上的定点．的取值范围是．【解析】（1）（2）根据对称性易得：若直线过定点，则该定点一定在轴上.由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去得，设点，，所以，，又因为，所以直线的方程为，又因为，所以直线的方程为，令，得，将，代入上式并整理，得，整理得，所以，直线过轴上的定点．当过点的直线的斜率不存在时，直线的方程为，，，此时，当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，且，在椭圆上，由，得，则，故有，，从而，所以，由，得，综上，的取值范围是．【标注】【知识点】椭圆的标准方程；直线和椭圆的位置关系；定点问题；向量问题（1）（2）3.的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点．证明为定值，并写出点的轨迹方程；设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．【答案】（1）（2）证明见解析；点的轨迹为一个椭圆，方程为，()【解析】（1）圆的方程整理为，点的坐标为，如图，–6–5–4–3–2–112345y–5–4–3–2–112345O x，∴，∵，∴，，∴，（2），又，所以点的轨迹为一个椭圆，方程为，()；–5–4–3–2–112345y–4–3–2–11234O x；设，因为，所以，联立，得；则；圆心到的距离，所以，．【标注】【知识点】面积问题；最值问题四边形二、换元法-双勾型经典例题4.求函数的值域.【答案】【解析】令，则有，，由于在上单调递增，故有，【标注】【知识点】求函数的值域题目分析方法二：用【换元法】，结合【双勾函数】求的值域------------------------------【观察特征+解题动作】------------------------------------------------------------【一气呵成】------------------------------在上单调递增.观察特征解题动作①分母比分子次数更高换元令，则②新元形式为确定新元范围③分子只有一项且不为0同除分子，出现双勾形式巩固练习（1）（2）5.已知椭圆，过点作倾斜角互补的两条不同直线，，设与椭圆交于、两点，与椭圆交于，两点．若为线段的中点，求直线的方程．记，求的取值范围．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）（2）设直线的方程为，即，设，，由，消可得，∴，，∵为线段的中点，∴，解得，∴直线的方程为，即为．由（）可知，，设直线的方程为，即，同理可得，∴，当时，，当且仅当时取等号，当时，当且仅当时取等号，∴，∴，∵由于与是不同的直线，斜率，∴，∴的取值范围．【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系（1）（2）6.在平面直角坐标系中，已知定点，点在轴的非正半轴上运动，点在轴上运动，满足，点关于点的对称点为，设点的轨迹为曲线．求曲线的方程．已知点，动直线与相交于，两点，求过，，三点的圆在直线上截得的弦长的最小值．【答案】（1）（2）．．【解析】方法一：方法二：（1）方法一：（2）设，，，因为，所以，所以，又点为的中点，所以，①，所以②，将①，②式代入，得，所以曲线的方程为．如图，过点作轴的垂线，垂足为，交的延长线于点，连接，因为为的中点，所以也为的中点，易证≌，所以，，易证≌，所以，由得点在直线上，即为点到直线的距离，由抛物线的定义可知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以曲线的方程为．由（）可知，抛物线的方程为，令，得，设，，方法二：由于点，关于轴对称，所以过，，三点的圆的圆心在轴上，设，由得，，化简并整理得，圆的方程为，令，解得，，所以圆在直线上截得的弦长为，又因为，且，所以，所以，当且仅当，即或（舍去）时取等号，所以当时，圆在直线上截得的弦长的最小值为．由（）可知，抛物线的方程为，令，得，设，，由于点，关于轴对称，所以过，，三点的圆的圆心在轴上，设，由得，，化简并整理得，设圆在直线上截得的弦为，由垂径定理得，所以，又因为，且，所以，所以，当且仅当，即或（舍去）时取等号，所以当时，圆在直线上截得的弦长的最小值为．【标注】【知识点】最值问题；向量问题；抛物线与圆结合（1）（2）7.已知椭圆，直线与椭圆交于不同的两点、．若，求的值．试求（其中为坐标原点）的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由，消去并整理得，∵直线与椭圆交于不同的两点、，∴，即，设，，则，，，即，解得．∵，，∴，∵，∴，即的最大值为．（当且仅当时，取得最大值）【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；弦长求解问题；最值问题（1）（2）8.已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与曲线的交点为，且．求抛物线的方程．过点任意作互相垂直的两条直线，，分别交曲线于点，和，．设线段，的中点分别为，．求面积的最小值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）延长交直线于点，（2）则，∵，∴，即点为线段中点，∵点坐标为，∴点坐标为，∵点在抛物线上，∴，∴，∴抛物线的方程为．不妨设直线和的方程分别为和，设，，，，联立，得，由韦达定理知，，∴，∴点的坐标为，∴，联立得，由韦达定理知，，∴，∴点的坐标为，∴，∵，∴，∵，∴，当且仅当时取等号，∴的最小值为．【标注】【知识点】面积问题；最值问题三、换元法-二次型经典例题9.求函数的值域.【答案】【解析】令，则有，.故有，函数值域为.【标注】【知识点】求函数的值域题目分析方法三：用【换元法】，结合【二次函数】求的值域------------------------------【观察特征+解题动作】------------------------------------------------------------【一气呵成】------------------------------在处取最大值 .观察特征解题动作①分母是某个整体的完全平方换元令，则②分母只有一项分子依次除以分母，③这是复合的二次函数形式配方，巩固练习（1）（2）10.已知椭圆：的左右两个焦点分别为，，以坐标原点为圆心，过，的圆的内接正三角形的面积为，以为焦点的抛物线：的准线与椭圆的一个公共点为，且．求椭圆和抛物线的方程．过作相互垂直的两条直线，其中一条交椭圆于，两点，另一条交抛物线于，两点，求四边形面积的最小值．【答案】（1）（2）抛物线，椭圆．．【解析】（1）由题意得，圆半径为，故内接正三角形的面积为，∴，即抛物线，又，，故，（2）∴，∴，∴椭圆．由已知得直线的斜率存在，记为．①当时，，，故，②当时，设，代入，得：，则，，∴，此时，，代入得：，则，，∴，∴，令，，综上，．【标注】【知识点】最值问题；面积问题；椭圆的标准方程四边形四边形四边形登堂入室（1）（2）11.已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，点在线段上，且满足．求点的轨迹的方程．过点作斜率不为的直线与（）中的轨迹交于，两点，点关于轴的对称点为，连接交轴于点，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）方法一：（2），．∵，∴，即．又在线段上，∴．又，∴点轨迹是以，为焦点的椭圆，设的轨迹方程为，则，即，，∴，∴点的轨迹方程为．：设斜率为，设，，则，则，，∴，，，∴，，，．所在直线：，当时，，∴，方法二：点到直线的距离为，．令，则，令，，令，则，最大值在此处取得．∴，，．由题意可知直线斜率存在且不为，设直线的方程为，，，则，联立方程组，消元得：，由可得，解得．由根与系数的关系可得：，，∴，直线的方程为，令可得，即，∴到直线的距离，∴，令，则，∴．∴当时，取得最大值，∴的最大值为．【标注】【知识点】最值问题四、判别式法经典例题12.求函数的值域.【答案】【解析】视为参数，由于对有，即恒有，则的值域即为使方程关于有解的值.整理得关于有解，讨论：当时，方程有解.当时，由解得且.综上，的值域为.【标注】【知识点】求函数的值域题目分析方法四：用【判别式法】求的值域【核心思路】值域的意义：函数所有可能取到的值的集合. 值域里的所有值都有对应的值，也即把这条式子看作一个关于的方程，使这个方程有解的值的集合即为的值域.------------------------------【观察特征+解题动作】------------------------------这个形式虽然可以使用换元，但已经可以想见后续过程会比较丑陋，因此考虑使用判别式法.------------------------------【一气呵成】------------------------------当时，方程化为 ，有解.当时：由，解得且.综上，.观察特征解题动作①分子和分母次数 相同尝试分离常数得观察特征解题动作①分母判别式为 负 ，分母恒 正设为参数，移项得：②这可能是一个一次或者二次方程根据是否等于 进行分类讨论巩固练习（1）（2）13.已知椭圆：（）的离心率为，直线与椭圆仅有一个公共点．求椭圆的方程．直线被圆：所截得的弦长为，且与椭圆交于、两点，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由，得，即，∴，则椭圆方程为，联立，消去得，，由，解得：．∴椭圆方程为：．∵直线被圆：所截得的弦长为，∴原点到直线的距离为．①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入椭圆，得，不妨设，，则；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由，得．联立，消去得，．，，∴．设，令，则，当时，可得，符合题意；当时，由，得且．综上，．∴当斜率存在时，．综①②可知，面积的最大值为．【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；面积问题（1）（2）14.已知椭圆经过点，且右焦点．求椭圆的标准方程．过的直线交椭圆于，两点，记，若的最大值和最小值分别为，，求的值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由椭圆的右焦点为，知，即，则：，，又椭圆过点，则，又，求得．∴椭圆方程：．当直线斜率存在时，设的方程为，，，由得，即，∵在椭圆内部，，∴，则，，③，将①②代人③得∴，∴，，①②则，∴，即，又，是的两根，∴，当直线斜率不存在时，联立得，不妨设，，，，．可知．综上．【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；最值问题；向量问题方法总结研究分式型函数的值域有许多方法，在具体解题过程当中，我们常进行如下的判断与动作：1、判次数：分子次数大于或等于分母时需进行分离常数；2、选基准：换元时常以次数较低或已成整体（主要是完全平方）的部分为基准进行换元；3、凑常见：换元后常将函数整理成一次、二次、双勾函数以及它们的倒数与复合形式；4、定主元：在上述过程中，若系数不方便计算，考虑使用判别式法（主元法）计算值域.注意事项1、换新元要确定新元的取值范围，解值域要判断自变量的取值范围，常见限制包括：①圆锥曲线中和的有界性，如椭圆中、；②交点相关问题中，参数（如直线中的）应使联立所得二次方程的；③圆锥曲线焦半径的取值范围，如椭圆中焦半径的取值范围是.2、基本不等式难解取值范围，在最值问题中存在无法取等的可能性，使用时要谨慎！3、判别式法在自变量限制不多时比较好用，复杂情况下升级为根的分布问题，得不偿失.【备注】形式判断只能确定大方向，若函数在形式上同时适用几种不同的方法，不需要纠结孰优孰劣.登堂入室（1）（2）15.已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一点，．求抛物线的方程．过点的直线与抛物线交于、两点，且为线段的中点，若线段的中垂线交轴于，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）设点的坐标为，依题意得，，即，∴，，∴代入抛物线方程，即，∴（舍去）或，所以抛物线的方程为．由题意可得，直线的斜率存在，所以设直线的方程为，，，联立得，∴，由根与系数的关系得，因为是线段的中点，所以有，即，①，即，∴，②中垂线的方程为：，令得，【备注】【提示】有的式子换元后也许不太能直接判断单调性，这时可以考虑强行求导求得最值.所以点，设点到直线的距离为，则，弦长，所以，．，由②式可得：，令，则，又，由②式得到即，∴，换元，，，∴，，单调递增；，，单调递减，故函数，此时，，所以得：，，直线的方程，所以，面积的最大值为．【标注】【知识点】面积问题；最值问题；直线和抛物线的位置关系；抛物线的标准方程登峰造极（1）（2）16.已知椭圆的焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的右顶点到的距离为．求椭圆的方程．设直线与椭圆交于，两点，且满足，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）设椭圆的半焦距为，依题意，可得，且，，，．∴椭圆的方程为．依题意，可设直线，的斜率存在且不为零，不妨设直线，则直线，联立：得，则．同理可得：，∴的面积为：，当且仅当，即是面积取得最大值．【标注】【知识点】椭圆与抛物线结合；面积问题；最值问题【备注】【提示】分式换元时，我们无法用3次项来表示4次项（3次项能表示的是6次、9次等……）. 那么能否同时改变分子和分母的次数，使其变成可以用分子来表示分母的形式呢？五、补充练习：求参数取值范围经典例题（1）（2）17.已知双曲线的焦点在轴上，焦距为，且的渐近线方程为．求双曲线的方程．若直线与椭圆及双曲线都有两个不同的交点，且与的两个交点和满足（其中为原点），求的取值范围．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）（2）依题意设双曲线的方程为，则，，又，于是由，故的方程为．将代入得，由直线与椭圆有两个不同的交点得，即①，将代入得，由直线与双曲线有两个不同的交点，得，即且②，设，，则，，得，而，于是，解此不等式得，或③，由①，②，③得，或，故的取值范围为．【标注】【知识点】数量积的坐标表达式；双曲线的标准方程；向量问题。