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初中数学折叠问题解题思路
一、先了解内容，掌握题意
1、折叠问题是指利用解题方法对题目中的数据、公式等信息，进行分析和推理，以解出问题的正确答案的一种问题。
2、此类问题的解答，应首先熟悉和了解题目中的信息，然后正确地把握一些解题方法，根据定理、推论、例题、练习等，应用到解题中，然后根据解题方法，分析归纳出解题步骤，最后得出结论。
二、展开解题步骤
1、分析题目：根据题目中给出的信息，逐项分析，确定问题的解决方法。
2、确定问题类型：结合题目中的信息，确定问题类型，比如初中数学折叠问题中存在的比例、三角形、圆形、椭圆形等等。
3、查找常用公式：比如面积的公式、角度的公式等，以及在此类问题中常用的数学定理，并根据它们来计算和推算。
4、分析步骤：分析题目，综合运用所掌握的知识和相关定理，画出分析图，看清问题的解法。
5、综合结论：根据步骤的分析，得出正确的答案和解答。
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数学初中折叠问题解题技巧
初中数学中的折叠问题是一种常见的问题类型，涉及到几何和代数等多个方面，具有一定的挑战性和趣味性。
下面是一些折叠问题的解题技巧:
1. 观察折叠过程，提取关键信息。
在折叠问题中，通常会涉及到两个或多个图形的折叠，需要观察折叠过程，并提取关键信息。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，关键信息可能是矩形的长和宽，或者是正方形的边长。
2. 利用几何图形的性质，进行推理和计算。
折叠问题通常涉及到几何图形的性质，例如面积、周长、角等。
在解决问题时，需要利用这些性质进行推理和计算。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，可以利用矩形的面积和周长推导出正方形的面积和周长，进而计算出折叠后的形状。
3. 利用代数知识，进行化简和求解。
折叠问题还可以利用代数知识进行化简和求解。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，可以利用矩形的面积和周长推导出正方形的面积和周长，并将它们用代数式表示出来。
然后，通过解方程组或代数式的方法求解答案。
4. 寻找规律，构建模型。
有些折叠问题可以通过寻找规律，构建模型来解决。
例如，在将一个正多边形折叠成平面图形的过程中，可以尝试利用正多边形的边数来构建模型。
通过模型，可以更好地理解和解决问题。
折叠问题是初中数学中的一种重要问题类型，需要学生掌握一定
的几何和代数知识，并学会利用这些知识进行推理和计算。
同时，学生还需要具备较强的逻辑思维能力和分析问题的能力，才能有效地解决折叠问题。
专题复习图形的折叠问题折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．类型1 三角形中的折叠问题1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【 】A ．150°B ．210°C ．105°D ．75°2.已知，如图,Rt △ABC 中,∠C=90º,沿过点B 的一条直线BE 折叠△ABC,使C 恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A=________.3．(2014·德阳)如图，△ABC 中，∠A ＝60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE 的度数为________．4.如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝________．5.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠(点E 在边DC 上)，折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为(10，8)，则点E 的坐标为________． A D B EC6.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝50°．∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠CEF 的度数是 ．7.如图，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A′处，连接A′C ，则∠B ．8.如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB.若C(3/2，√3/2)，则该一次函数的解析式为________．9.如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE∶CF＝（ ）A.3/4B.4/5C.5/6D.6/7 10.如图，将△ABC 纸片的一角沿DE 向下翻折，使点A 落在BC 边上的A ′点处，且DE ∥BC ，下列结论：①∠AED ＝∠C ；②A 1D/DB=A 1E/EC ；③BC=2DE ；④ BD A E A C AD A E S S S ∆'∆''=+四形边。
初中几何折叠问题的三种解法初中几何折叠问题的三种解法初中几何是数学中的一个重要分支，而折叠问题则是初中几何中常见的一种问题。
在这里，我们将介绍三种不同的方法来解决初中几何折叠问题。
方法一：手工模拟法手工模拟法是一种简单直观的方法。
它通过将纸张折叠成所需形状来解决问题。
步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。
2. 将纸张按照比例剪成相应大小。
3. 按照题目要求，将纸张进行折叠，直到得到所需形状。
4. 计算所需参数并得出答案。
优点：手工模拟法操作简单易懂，适合初学者使用。
同时也能够帮助学生更好地理解折叠问题的本质。
缺点：手工模拟法需要较长时间完成，并且需要精确测量和折叠。
同时也容易出现误差和偏差。
方法二：平面几何法平面几何法是一种基于平面几何知识来解决问题的方法。
它通过利用图形相似性和对称性来计算所需参数。
步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。
2. 根据平面几何知识，计算所需参数，如角度、长度等。
3. 得出答案。
优点：平面几何法具有计算速度快、精度高等特点。
同时也能够帮助学生更好地理解平面几何知识的应用。
缺点：平面几何法需要学生具备一定的数学基础，并且需要对图形相似性和对称性有深入理解。
同时也容易出现计算错误和漏算情况。
方法三：三维几何法三维几何法是一种基于立体几何知识来解决问题的方法。
它通过利用立体图形的投影和相似性来计算所需参数。
步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。
2. 利用三维几何知识，将立体图形投影到二维平面上，并计算所需参数，如角度、长度等。
3. 得出答案。
优点：三维几何法具有计算速度快、精度高等特点。
同时也能够帮助学生更好地理解立体几何知识的应用。
缺点：三维几何法需要学生具备一定的数学基础，并且需要对立体图形的投影和相似性有深入理解。
同时也容易出现计算错误和漏算情况。
结论：初中几何折叠问题可以通过多种方法来解决，其中手工模拟法、平面几何法和三维几何法是常见的三种方法。
专题八折叠问题学习要点与方法点拨：出题位置：选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题折叠问题中，常出现的知识时轴对称。
折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；-----判断线段之间关系等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、轴对称性质折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。
压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。
基本图形：中，将△ABF沿FBE,可得何结论？BE折叠至△在矩形ABCD2）垂直。
结论：（1）全等；（）基本图形练习：（1A上，折痕为AD，展开纸片；再次折叠，使得沿过点如图，将三角形纸片ABCA的直线折叠，使得AC落在AB 是等腰三角形，对吗？则△和D点重合，折痕为EF,展开纸片后得到△AEF,AEF）折叠中角的考法与做法：（2的直线）；再沿过点E1FAABCD 将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使得落在BC边上的点处，折痕为BE（图的大小。
再展开纸片，求图（,3）中角a）（图'，折痕为边上的点落在折叠，使点DBEDEG21专题精讲〗讲8第〖九年级．）折叠中边的考法与做法：（3D落在AB边中点E处，如图，将边长为 6cm的正方形ABCD折叠，使点 EBG的周长是多少？交于点G，则△落在折痕为FH，点CQ处，EQ与BC★解题步骤：第一步：将已知条件标在图上第二步：设未知数，将未知数标在图上；第三步：列方程，多数情况可通过勾股定理解决。
模块精讲1.例点处．落在的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点BCD边上的P 扬州）已知矩形（2014?ABCDO，连结．、OAAP、OP1（）如图1，已知折痕与边BC交于点PDA；△①求证：OCP∽△的长；：4，求边ABOCP②若△与△PDA的面积比为1 边的中点，求∠OAB的度数；中的点（2）若图1P恰好是CD不重P、AMMOP，（3）如图2，擦去折痕AO、线段，连结BP．动点在线段AP上（点与点在移动MN交PBM、N．试问当点⊥，作于点FMEBP于点E，连结的延长线上，且在线段合），动点NABBN=PM EF过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度．2专题精讲〗讲8第〖九年级．2.例在矩F沿AE折叠后得到△AFE，且点2013?（苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADEk的代数式表示）．．若=，则=用含于点形ABCD内部．将AF延长交边BCG三CA、B、BC=12cm，点E、F、G分别从，（例3、2013?苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm的运动G的运动速度为3cm/s，点E点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点的运动速度为1cm/s，点F关于直线重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF（即点F到达点CF与点C速度为1.5cm/s，当点s）．、FG运动的时间为t（单位：EF的对称图形是△EB′F．设点E、为正方形；s时，四边形EBFB′（1）当t=为顶点的三角形相似，求t的值；FF为顶点的三角形与以点，C，GB2（）若以点E、、的值；若不存在，请说明理由．OB′与点重合？若存在，求出tt（3）是否存在实数，使得点3专题精讲〗讲8第〖九年级．CD分别与AB，上的点如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CDE 重合，折痕FG例4、 O．交于点交于点G，F，AE与FG F四点围成的四边形是菱形；（1）如图1，求证：A，G，E，的中点；，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC（2）如图2 （3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．F对称，点E与点EE⊥AD，点，点F分别在射线AD，射线BC上．若点与点B关于ACABAD 例5、已知∥BC，G关于BD对称，AC与BD相交于点，则（）22BC=5CF ． B ．A1+tan∠ADB=6 AGB= D．4cos∠∠．∠CAEB+22°=DEF4专题精讲〗讲8第〖九年级．课堂练习、1，展开后再折叠一次，2CD重合，折痕为EF．如图对折，使2、（2014连云港）如图1，将正方形纸片ABCDAB与．ANE=_________EM交AB于N，则tan∠B使点C 与点E重合，折痕为GH，点的对应点为点M，4 图图3处，折痕B，折叠该纸片，使点A落在点，∠3、（2014?徐州）如图3，在等腰三角形纸片ABC 中，AB=ACA=50°．_________°为DE，则∠CBE=、处，若A沿△ABCDE折叠，使点A落在边BC上的点F，4、（2014?扬州）如图4△ABC的中位线DE=5cm，把2 ABC，则△的面积为_________cm．F两点间的距离是8cm上的一动点，，BC=m，P为线段BC，，在梯形5、（2013?扬州）如图1ABCD中，AB∥CD，∠B=90°AB=2，CD=1 ，CE=y．CD，过P作PE⊥PA交所在直线于E．设BP=xPAB且和、C不重合，连接x的函数关系式；（1）求y与EBC上运动时，点总在线段CD上，求m的取值范围；P（2）若点在线段长．BPPEG沿m=4）如图2，若，将△PECPE翻折至△位置，∠BAG=90°，求3（5专题精讲〗讲8第〖九年级．课后巩固习题重合，展开后折痕D△ABC折叠，使点A与点平分∠1、（2014?淮安）如图，在三角形纸片ABC 中，ADBAC，将是菱形．、DF．求证：四边形AEDF、分别交AB、AC于点EF，连接DEBC出发沿从点B，且AB=10，BC=6，CD=2．点E中，2、（2013?宿迁）如图，在梯形ABCDAB ∥DC，∠B=90°AD分别交△GEF，直线FG、EGEF交边方向运动，过点E作EF∥ADAB于点F．将△BEF沿所在的直线折叠得到ABCD的重叠部分的面积为y．GEF过点，当EGD时，点E即停止运动．设BE=x，△与梯形、于点MN 是等腰三角形；△AMF1（）证明x的值；）当2EG过点D时（如图（3）），求（的函数，并求y表示成xy的最大值．）将（36专题精讲〗讲8第〖九年级．C'DG,E,F,分别是落在C'处,BC交AD于点C,AB=6,BC=8,3、如图,在矩形ABCD中把△BCD沿着对角线BD折叠,使点. 重合,点D'恰好与点AD'于点H,把△FDE沿着EF折叠,使点D落在处EFBD和上的点,线段交ADC'DG ≌△）求证:三角形ABG（1 ∠ABG的值；（2）求tan ）求EF的长。
初中数学折叠题教案教学目标：1. 理解折叠问题的概念和特点；2. 学会解决折叠问题的方法和技巧；3. 能够应用折叠问题解决实际生活中的问题。
教学重点：1. 折叠问题的概念和特点；2. 解决折叠问题的方法和技巧。
教学难点：1. 理解折叠问题的转化思想；2. 应用折叠问题解决实际生活中的问题。
教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 练习题和答案。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入折叠问题的概念，展示一些实际的折叠问题；2. 引导学生思考折叠问题的特点和解决方法。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解折叠问题的概念和特点；2. 讲解解决折叠问题的方法和技巧；3. 通过示例演示如何解决折叠问题。
三、练习巩固（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固对折叠问题的理解和解决方法；2. 针对学生的疑问进行解答和指导。
四、拓展应用（15分钟）1. 引导学生思考如何将折叠问题应用到实际生活中；2. 让学生举例说明如何应用折叠问题解决实际问题。
五、总结和反思（5分钟）1. 让学生总结本节课所学的内容和解决折叠问题的方法；2. 引导学生反思如何在日常生活中发现和解决折叠问题。
教学评价：1. 学生对折叠问题的概念和特点的理解程度；2. 学生解决折叠问题的能力和技巧的应用情况；3. 学生对折叠问题在实际生活中的应用的认识和举例的合理性。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生了解了折叠问题的概念和特点，学习了解决折叠问题的方法和技巧。
在教学过程中，要注意引导学生思考折叠问题的转化思想，并能够应用到实际生活中。
通过练习和拓展应用，巩固了学生对折叠问题的理解和解决方法，提高了学生的解决问题的能力。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答和指导学生的疑问。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标，学生对折叠问题的理解和解决能力有所提高。
七年级折叠问题知识点梳理折叠问题是数学中的一种经典问题，也是考察对数学知识的理解和实际应用能力的重要领域。
在初中数学中，折叠问题也是一个重要的知识点，需要深入理解和掌握。
本文将对七年级折叠问题知识点进行梳理和整理，以帮助同学们更好地掌握这一知识点，从而在考试中取得更好的成绩。
一、基本概念折叠问题是指在平面图形上切割一条或数条线，然后将剩余部分按照指定的顺序进行折叠，并寻求可能出现的图形形态。
常出现的几何图形包括三角形、正方形、长方形等。
二、折叠的基本操作1. 折叠轴：指在平面图形上折叠的参考线，通常为直线。
2. 对称轴：指原图形和折叠后图形的对称轴，它们的交点处是折叠轴。
3. 折线：指从折叠轴起到图形边缘的折叠线段。
4. 折叠方向：指折叠时图形所向的方向，可以是向上、向下、向左或向右。
5. 折痕：指在图形上产生的折叠痕迹。
三、折叠问题的解题方法在解决折叠问题时，首先要对给定图形和折叠过程进行分析，然后选择合适的方法进行求解，一般有以下几种方法：1. 利用对称性：可以利用图形对称性进行折叠，其中对称轴可以作为折叠轴，而对称轴两侧的部分可以通过折叠得到图形的其他部分。
2. 利用折线的特性：根据折线的特性可以确定图形的边长和角度，从而得到图形的面积和形状。
3. 综合使用多种方法：在解决较为复杂的折叠问题时，可以综合使用多种方法，包括对称性、折线特性、面积等多个方面，灵活应用不同的方法。
四、折叠问题的实际应用折叠问题在实际生活中也有广泛的应用，例如在制作纸质建筑模型时，需要根据图纸进行折叠，从而得到复杂的建筑结构；在设计3D打印模型时，需要将平面图形折叠成三维立体模型，从而进行后续加工等。
总之，折叠问题是数学中非常重要的一个知识点，需要同学们用心理解和掌握，善于运用不同的方法解决问题，在实际应用中也能够得心应手。
希望本文对七年级学生们的学习有所帮助，祝愿大家在数学学习中取得更好的成绩。
初中数学折叠问题模型（最新版）目录1.折叠问题的概念2.折叠问题的模型3.折叠问题的解法4.折叠问题的应用正文一、折叠问题的概念折叠问题是初中数学中的一个重要题型，它主要涉及到几何变换和空间想象能力的运用。
在折叠问题中，我们需要将一个平面图形通过折叠，使得它与另一个平面图形重合，从而解决实际问题。
这类问题不仅能够锻炼学生的思维能力，还能够提高学生的动手操作能力。
二、折叠问题的模型在解决折叠问题时，我们需要掌握折叠问题的模型。
一般来说，折叠问题的模型主要包括以下几个方面：1.折叠线：折叠线是指将一个平面图形折叠成另一个平面图形时，所需要折叠的线段。
折叠线通常是两个平面图形的公共边。
2.折叠角：折叠角是指折叠线两侧的相邻角，它们的度数相等。
3.折叠距离：折叠距离是指折叠前后两个平面图形之间的距离。
在折叠过程中，折叠距离保持不变。
三、折叠问题的解法解决折叠问题的方法主要有以下几种：1.观察法：通过观察折叠前后两个平面图形的形状，找出折叠线、折叠角和折叠距离，从而解决问题。
2.测量法：通过测量折叠前后两个平面图形的相关尺寸，如长度、角度等，找出折叠线、折叠角和折叠距离，从而解决问题。
3.构造法：通过构造辅助线，将折叠问题转化为一个较为简单的几何问题，从而解决问题。
4.反演法：通过将折叠问题反向思考，即将折叠后的图形还原为折叠前的图形，从而找出折叠线、折叠角和折叠距离，从而解决问题。
四、折叠问题的应用折叠问题在实际生活中应用广泛，如制作纸盒、设计立体装饰品等。
通过解决折叠问题，我们可以提高自己的动手操作能力和空间想象能力，从而更好地应对生活中的各种挑战。
初中数学折叠问题解析教案教学目标：1. 理解折叠问题的基本概念和性质；2. 学会运用折叠性质解决实际问题；3. 提高逻辑思维能力和空间想象力。
教学重点：1. 折叠问题的基本概念和性质；2. 运用折叠性质解决实际问题。
教学难点：1. 理解折叠问题的空间想象力；2. 灵活运用折叠性质解决实际问题。
教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 纸张、剪刀、直尺等工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入折叠问题的概念，展示一些实际的折叠问题；2. 引导学生观察和思考折叠问题的特点和性质。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解折叠问题的基本概念和性质，如折叠前后图形的大小、形状不变，折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线等；2. 通过示例演示折叠过程，让学生直观地理解折叠问题的空间想象力；3. 讲解如何运用折叠性质解决实际问题，如如何求解对应边的长度、对应角的度数等。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生自主完成一些折叠问题的练习题，巩固所学知识；2. 引导学生运用折叠性质解决问题，提高解题能力。
四、拓展提高（15分钟）1. 引导学生思考折叠问题在不同情境下的应用，如几何图形的折叠、实际生活中的折叠问题等；2. 让学生尝试解决一些较复杂的折叠问题，提高空间想象力和逻辑思维能力。
五、总结反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结折叠问题的基本概念和性质；2. 引导学生反思如何运用折叠性质解决实际问题，反思自己在解题过程中的思路和方法。
教学评价：1. 课后作业：布置一些折叠问题的练习题，检验学生对折叠问题的理解和掌握程度；2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考问题和解决问题的能力。
教学反思：本节课通过讲解折叠问题的基本概念和性质，让学生了解折叠问题的特点和规律。
通过课堂练习和拓展提高，让学生学会运用折叠性质解决实际问题，提高空间想象力和逻辑思维能力。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与、思考和解决问题，培养学生的动手能力和创新意识。
初中数学中的折叠问题一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后 BG和 BH在同一条直线上，∠ CBD=度．2．如下图，一张矩形纸片沿BC折叠，极点 A 落在点 A′处，再过点 A′折叠使折痕DE∥BC，若 AB=4，AC=3，则△ ADE的面积是．3．如图，矩形纸片 ABCD 中， AB=4 ，AD=3 ，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合，得折痕DG，求 AG 的长．D CA'根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可 A G B 4．把矩形纸片 ABCD 沿 BE 折叠，使得 BA 边与 BC 重合，然后再沿着 BF 折叠，使得折痕BE 也与 BC 边重合，展开后如下图，则∠ DFB 等于（）注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形 ABCD的对角线 BD折叠，点 C落在点 E 的位置，已知 BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积．EF DA3重合部分是以折痕为底边的等腰三角形21BC6．将一张矩形纸条ABCD按如下图折叠，若折叠角∠的形状三角形．对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△ GEF FEC=64°，则∠ 1=度；△ EFGD‘C‘A1G F D5432B E C7．如图，将矩形纸片ABCD 按如下的次序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延 CG 折叠，使点 B 落在 EF 上的点 B ′处，（如图②）；展平，得折痕 GC（如图③）；沿 GH 折叠，使点 C 落在 DH 上的点 C′处，（如图④）；沿 GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕 GC′，GH（如图⑥）．（1）求图②中∠ BCB ′的大小；（2）图⑥中的△ GCC′是正三角形吗？请说明原因．理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD的边长为 8，将其沿 EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等9．如图，将边长为 4 的正方形 ABCD沿着折痕 EF 折叠，使点 B落在边 AD的中点 G处，求四边形 BCFE的面积注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10．如图，将一个边长为 1 的正方形纸片ABCD 折叠，使点 B 落在边 AD 上不与A、D重合．MN 为折痕，折叠后 B ’C’与 DN 交于 P．(1)连结 BB ’，那么 BB ’与 MN 的长度相等吗？为什么？(2)设 BM=y， AB ’=x，求 y 与 x 的函数关系式；(3)猜想当 B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC ’B’面积最小？并考证你的猜想．二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）CD30° BF E a21A题考察的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为 180度的性质，注意△ EAB 是以折痕 AB 为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm 的纸条，沿 BC，使∠ CAB=45 °，则后重合部分的面积为在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线 +角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽 2cm的长方形纸条成如下图的形状，那么折痕PQ的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线 +角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形 APQ14．如图 a 是长方形纸带，∠ DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图 b，再沿 BF 折叠成图 c，则图 c 中的∠ CFE 的度数是（）AE D A E E DACFB FC B G B G FC 图c图 a 图 bD本题考察图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠ DEF= ∠EFB=20°图 b∠GFC=140°，图 c 中的∠ CFE=∠GFC-∠ EFG 15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴 EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与 CD 间的距离为 60cm，则原纸片的宽AB 是（）DCFG60cmEA FDBE C B A16．一根 30cm、宽 3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了雅观，希望折叠达成后纸条两头高出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长三、三角形中的折叠17．如图，把 Rt△ABC（∠ C=90°），使 A， B两点重合，得到折痕 ED，再沿 BE折叠， C点恰巧与 D点重合，则 CE：AE=18．在△ ABC中，已知 AB=2a，∠ A=30°， CD是 AB边的中线，若将△ ABC沿 CD对折起来，1折叠后两个小△ ACD与△ BCD重叠部分的面积恰巧等于折叠前△ABC的面积的4．（1）中间线 CD等于 a 时，重叠部分的面积等于；（2）有如下结论（不在“ CD等于 a”的限制条件下）：① AC边的长能够等于a；②折叠前的3 2△ABC的面积能够等于 2 a ；③折叠后，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等．其中，结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）．C CB'12A E 3 D BAD BB'注意“角平分线 +等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对照，找出相等的对应角和对应边19．在△ ABC 中，已知∠ A=80°，∠ C=30°，现把△ CDE 沿 DE 进行不同的折叠得△DE，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（ 1）把△ CDE 沿 DE 折叠在四边形 ADEB 内，则求∠ 1+∠2 的和；（2）如图（ 2）把△ CDE 沿 DE 折叠覆盖∠ A ，则求∠ 1+∠2 的和；（3）如图（ 3）把△ CDE 沿 DE 斜向上折叠，探究∠ 1、∠ 2、∠ C 的关系．（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠ 1=180° -2∠CDE，∠2=180°-2∠CED，再根据三角形内角和定理比 A 可求出答案；（2）连结 DG，将∠ ADG+ ∠AGD 作为一个整体，根据D 1C'三角形内角和定理来求；（3）将∠ 2 看作 180° -2∠CED，∠ 1 看作 2∠C2CDE-180°，再根据三角形内角和定理来求． E 图 (1)C'C' AA12D1G D2 C′B由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形时经常会出现等腰三角形20．察看与发现：将三角形纸片ABC（AB ＞AC ）沿过点 A 的直线折叠，使得 AC 落在 AB 边上，折痕为 AD ，展开纸片（如图①）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点 A 和点 D 重合，折痕为EF，展平纸片后得到△ AEF （如图②）．小明认为△ AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明原因．实践与运用：(1)将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为 BE（如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠往常都与角平分线相关。
要抓住折叠前后图形之间的对应关系(2)将矩形纸片 ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与 AD 边交于点 E，与BC 边交于点 F；将矩形 ABFE 与矩形 EFCD 分别沿折痕 MN 和 PQ 折叠，使点 A 、点 D 都与点 F 重合，展开纸片，此时恰巧有 MP=MN=PQ （如图④），求∠ MNF 的大小．在矩形中的折叠问题，往常会出现“角平分线+平行线”的基本结构，即以折痕为底边的等腰三角形21．直角三角形纸片ABC 中，∠ ACB=90 °， AC ≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点 A 落在直角边 BC 上，记落点为 D，设折痕与 AB 、AC 边分别交于点 E、点 F．探究：如果折叠后的△ CDF 与△ BDE 均为等腰三角形，那么纸片中∠ B 的度数是多少？写出你的计算过程，并画出切合条件的后的图形．先确定△ CDF 是等腰三角形，得出∠ CFD=∠ CDF=45 °，因为不确定△ BDE 是以那两条边为腰的等腰三角形，故需议论，①DE=DB ，②BD=BE ，③DE=BE ，然后分别利用角的关系得出答案即可22．下列图案给出了折叠一个直角边长为2 的等腰直角三角形纸片（图1）的全过程：首先对折，如图2，折痕 CD 交 AB 于点 D；翻开后，过点 D 随意折叠，使折痕 DE 交 BC 于点 E，如图 3；翻开后，如图 4；再沿 AE 折叠，如图 5；翻开后，折痕如图 6．则折痕 DE 和 AE 长度的和的最小值是（）本题经过了三次折叠，注意理清折叠过程中的对称关系，求两条线段的和的最小值问题能够参见文章23．小华将一条 1（如图 1），沿它对称轴折叠 1 次后得到（如图），再将图沿它对称轴折叠后得到（如图 3），则图 3 中一条腰长；同上操作，若小华连续将图 1 折叠 n 次后所得到（如图n+1）一条腰长为多少？本题是一道找规律的题目，这类题型在中考取经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部散发生了变化，是按照什么规律变化的．24．如图，矩形纸片 ABCD中， AB= 6 ，BC= 10 ．第一次将纸片折叠，使点 B 与点 D重合，折痕与 BD交于点O1 1 1 1 2 ；O D 的中点为 D ，第二次将纸片折叠使点 B与点 D 重合，折痕与 BD交于点 O；D 的中点为 D ，第三次将纸片折叠使点 B 与点 D 重合，折痕与 BD交于点 O ，．按上述方设O2 1 2 2 3法，第 n 次折叠后的折痕与 BD交于点 O n，则 BO1= ，BO n =问题中波及到的折叠从有限到无限， 要理解每一次折叠中的变与不变， 充分展示运算的详尽过程。
在找规律时要把最终的结果写成同样的形式，察看其中的变与不变，特别是变化的数据与折叠次数之间的关系25．如图，直角三角形纸片 ABC 中， AB=3 ，AC=4， D 为斜边 BC 中点，第 1 次将纸片折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕与AD 交于点 P 1；设 P 1D 的中点为 D 1，第 2 次将纸片折叠，使点 A 与点12；设 P 2D 1 的中点为 D 2，第 3 次将纸片折叠， 使点 A 与点 D 2 重合，D重合，折痕与 AD 交于点 P折痕与 AD 交于点 P 3n-1D n-2的中点为 D n-1，第 n 次纸片折叠，使 A 与点D n-1重合，折； ；设 P痕与 AD 交于点 P n （n ＞ 2），则 AP 6 长（ ）本题考察了翻折变换的知识，解答本题重点是写出前面几个相关线段长度的表达式，进而得出一般规律，注意培养自己的概括总结能力26．阅读理解如图 1，△ ABC 中，沿∠ BAC 的平分线 ABB 1A 1C 的平分线1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠A 1B 2 折叠，剪掉重复部分； ；将余下部分沿∠B n A nC 的平分线 A n B n+1 折叠，点 B n 与点 C 重合，不论折叠多少次，只需最后一次恰巧重合，∠ BAC 是△ ABC 的好角．小丽展示了确定∠ BAC 是△ ABC 的好角的两种情形． 情形一：如图 2，沿等腰三角形 ABC 顶角∠ BAC的平分线 AB 1 折叠，点 B 1折叠，剪掉重复部与点 C 重合；情形二：如图 3，沿∠ BAC 的平分线 AB 分；将余下部分沿∠ B 1 11 2 1A C 的平分线 AB 折叠，此时点 B 与点C 重合．探究发现（1）△ ABC 中，∠ B=2∠ C ，经过两次，∠ BAC 是不是△ ABC 的好角？ （填“是”或“不是”）．（ 2）小丽经过三次折叠发现了∠ BAC 是△ ABC 的好角，请探究∠ B 与∠ C （不妨设∠ B ＞∠ C ）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过 n 次折叠∠ BAC 是△ ABC 的好角，则∠ B 与∠ C （不妨设 ∠B ＞∠ C ）之间的等量关系为 ． ∠B = n ∠C应用提升（ 3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 15°、 60°、105°，发现 60°和 105°的两个角都是此三角形的好角．请你达成，如果一个三角形的最小角是 4°，试求出三角形此外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．AAAA 1A 2A 1A nCBB 1B 2B3BnBn+1BB 1B 2C注意折叠过程中的对应角和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和的运用，理解三角形中如果有一个角是好角之后，另两个角之间的关系，通过这样的问题培养概括总结能力27．我们知道：随意的三角形纸片可通过如图①所示的方法折叠得到一个矩形．（1）实践：将图②中的正方形纸片通过适合的方法折叠成一个矩形（在图②中绘图说明）．（2）探究：随意的四边形纸片是否都能通过适合的方法折叠成一个矩形？若能，直接在图③中绘图说明；若不能，则四边形起码应具备什么条件才行？并绘图说明．（要求：绘图应体现折叠过程，用虚线表示折痕，用箭头表示方向，后图形中既无空隙又无重叠部分）折叠即对称628．如图，双曲线y =x （x＞0）经过四边形OABC的极点A、C，∠ABC=90°， OC平分 OA与 x 轴正半轴的夹角， AB∥x 轴，将△ ABC沿AC翻折后得到△ AB'C，B' 点落在 OA上，则四边形 OABC的面积是多少？yAB B'理解折叠中的对应边就行29．已知一个直角三角形纸片OAB ，其中∠ AOB=90 °， OA=2 ，OCxDOB=4 ．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边 OB 交于点 C，与边 AB 交于点 D．（1）若折叠后使点 B 与点 A 重合，求点 C 的坐标；（2）若折叠后点 B 落在边 OA 上的点为 B′，设 OB ′=x，OC=y ，试写出 y 对于 x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（3）若折叠后点 B 落在边 OA 上的点为 B″，且使 B ″D∥OB，求此时点C 的坐标．y yB B1CD DC3 2O B' Ax O B''AxyBDCxO A四、圆中的折叠30．如图，正方形 ABCD的边长为 2，⊙ O的直径为 AD，将正方形的 BC边沿 EC折叠，点 B 落在圆上的 F 点，求 BE的长用对称关系结构勾股定理，再用勾股定理列方程求解是在折叠问题中求线段长度的常用方法31．如图，将半径为8 的⊙ O 沿 AB 折叠，弧 AB 恰巧经过与 AB 垂直的半径 OC 的中点 D，则折痕 AB 长为（）CCDDOO A BA B E注意折叠过程中形成的对应边，利用勾股定理求解32．如图，将弧BC沿弦 BC折叠交直径 AB于点 D，若 AD=5， DB=7，则 BC的长是多少？本题考查的是对称的性质、圆周角定理、以及相像三角形的判定和性质；能够根据圆周角定理来判断出△ CAD 是等腰三角形，是解答本题的重点33．已知如图：⊙ O 的半径为 8cm，把弧 AmB 沿 AB 折叠使弧 AmB 经过圆心 O，再把弧 AOB 沿CD 折叠，使弧 COD 经过 AB 的中点 E，则折线 CD 的长为（ 4 7 ）作 CD 对于 C’D’的对称线段 C’D’，连结 OE 并延伸交 CD 于点 F，交 C′ D′于点 F′，交弧AmB 于点 G，根据对称的性质得出 OF′=6，再由勾股定理得出 C’F’= 2 7 ．初中数学中折叠问题。
