arma模型的最小二乘结构

实验二：A R M A模型建模与预测实验报告(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--课程论文（2016 / 2017学年第 1 学期）课程名称应用时间序列分析指导单位经济学院指导教师易莹莹学生姓名班级学号学院(系) 经济学院专业经济统计学实验二 ARMA模型建模与预测实验指导一、实验目的：学会通过各种手段检验序列的平稳性；学会根据自相关系数和偏自相关系数来初步判断ARMA 模型的阶数p 和q ，学会利用最小二乘法等方法对ARMA 模型进行估计，学会利用信息准则对估计的ARMA 模型进行诊断，以及掌握利用ARMA 模型进行预测。

掌握在实证研究中如何运用Eviews 软件进行ARMA 模型的识别、诊断、估计和预测和相关具体操作。

二、基本概念：宽平稳：序列的统计性质不随时间发生改变，只与时间间隔有关。

AR 模型：AR 模型也称为自回归模型。

它的预测方式是通过过去的观测值和现在的干扰值的线性组合预测， 自回归模型的数学公式为:1122t t t p t p t y y y y φφφε---=++++式中: p 为自回归模型的阶数i φ（i=1，2， ，p ）为模型的待定系数，t ε为误差， t y 为一个平稳时间序列。

MA 模型：MA 模型也称为滑动平均模型。

它的预测方式是通过过去的干扰值和现在的干扰值的线性组合预测。

滑动平均模型的数学公式为:1122t t t t q t q y εθεθεθε---=----式中: q 为模型的阶数； j θ（j=1，2， ，q ）为模型的待定系数；t ε为误差；t y 为平稳时间序列。

ARMA 模型：自回归模型和滑动平均模型的组合， 便构成了用于描述平稳随机过程的自回归滑动平均模型ARMA ， 数学公式为:11221122t t t p t p t t t q t q y y y y φφφεθεθεθε------=++++----三、实验任务：1、实验内容：（1）根据时序图判断序列的平稳性；（2）观察相关图，初步确定移动平均阶数q和自回归阶数p；（3）对某企业201个连续生产数据建立合适的(,)ARMA p q模型，并能够利用此模型进行短期预测。

Arma模型是一种广泛应用于时间序列分析和预测的统计模型，它由自回归部分（AR）和移动平均部分（MA）组成。

在ARMA模型中，平稳时间序列可以表示为自回归部分的线性组合加上移动平均部分的线性组合。

对于ARMA模型的均值和方差的计算，有以下公式：1. ARMA模型的均值计算：ARMA(p,q)模型的均值为0，其中p和q分别代表自回归部分和移动平均部分的阶数。

2. ARMA模型的方差计算：ARMA(p,q)模型的方差由自回归部分的系数、移动平均部分的系数和误差项的方差共同决定。

假设ARMA(p,q)模型的自回归部分的系数为φ1，φ2，…，φp，移动平均部分的系数为θ1，θ2，…，θq，误差项的方差为σ^2，则ARMA模型的方差可以由以下公式计算得出：Var(Xt) = σ^2 * (1 + φ1^2 + φ2^2 + … + φp^2 + θ1^2 + θ2^2 + … + θq^2)其中，Var(Xt)代表时间序列Xt的方差。

3. ARMA模型的参数估计：在实际应用中，通常需要通过样本数据估计ARMA模型的参数。

常用的方法包括最大似然估计、最小二乘估计等。

通过参数估计得到ARMA模型的参数后，可以根据上述公式计算出模型的均值和方差。

ARMA模型的均值和方差是对时间序列特征的重要描述，对于理解时间序列数据的特性和进行预测具有重要意义。

对ARMA模型的均值和方差的计算公式有一定的了解，对于进行时间序列分析和预测具有一定的帮助。

ARMA模型的均值和方差计算公式是时间序列分析中的重要内容，对于了解时间序列数据的特性和进行预测具有重要意义。

在实际的时间序列分析和建模过程中，除了对ARMA模型的均值和方差进行计算外，还需要对ARMA模型的参数进行估计，并且需要考虑模型的拟合优度和预测效果，下文将进一步探讨ARMA模型的参数估计、拟合优度检验和预测应用。

4. ARMA模型参数估计方法在实际应用中，常用的ARMA模型参数估计方法包括最大似然估计、最小二乘估计等。

基于ARMA模型的我国国内生产总值的预测研究摘要：国内生产总值（Gross Domestic Product，GDP）是衡量一个国家经济总量和增长的重要指标。

本文基于ARMA模型，对我国GDP进行预测研究。

首先，通过对我国GDP的时间序列数据进行平稳性检验，确定其是否需要进行差分操作。

其次，在确定了差分次数后，使用自相关图和偏自相关图选择ARMA模型的阶数，并通过最小二乘法估计模型参数。

最后，使用选定的ARMA模型对未来几年的GDP进行预测，并对模型的拟合精度进行评估。

关键词：ARMA模型；国内生产总值；预测1.引言国内生产总值是一个国家经济发展的核心指标，对于制定经济政策和监测经济状况具有重要意义。

因此，对GDP的准确预测对于国家和企业的决策非常重要。

自上世纪80年代以来，时间序列分析作为一种主要的预测方法被广泛应用于经济领域。

ARMA模型是一种常用的时间序列预测模型，结合了自回归模型（AR）和移动平均模型（MA），能够较好地拟合和预测时间序列数据。

2.数据描述3.平稳性检验在进行时间序列预测之前，需要对数据进行平稳性检验。

平稳性检验的目的是判断时间序列中是否存在趋势或季节性等非平稳性因素。

本研究使用ADF单位根检验对GDP数据进行平稳性检验。

4.差分操作如果平稳性检验中发现数据存在非平稳性，需要对数据进行差分操作。

差分操作的目的是消除数据中的趋势或季节性等非平稳性因素。

采用一阶差分的方式进行处理。

5.模型选择使用自相关图和偏自相关图帮助选择ARMA模型的阶数。

自相关图展示了时间序列与其延迟值之间的相关性，偏自相关图展示了时间序列与其延迟值之间的纯粹相关性。

通过观察图示，可以初步确定ARMA模型的p和q的值。

6.参数估计与模型拟合通过最小二乘法对ARMA模型的参数进行估计。

利用已知的GDP数据拟合ARMA模型，并计算模型的拟合精度。

一般使用残差的均方根误差（RMSE）作为评估模型拟合精度的指标。

自回归滑动平均模型（ARMA 模型，Auto-Regressive and Moving Average Model）是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（简称AR模型）与滑动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。

在市场研究中常用于长期追踪资料的研究，如：Panel研究中，用于消费行为模式变迁研究；在零售研究中，用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。

定义ARMA模型(auto regressive moving average model)自回归滑动平均模型，模型参量法高分辨率谱分析方法之一。

这种方法是研究平稳随机过程有理谱的典型方法，适用于很大一类实际问题。

它比AR模型法与MA模型法有较精确的谱估计及较优良的谱分辨率性能，但其参数估算比较繁琐。

ARMA模型参数估计的方法很多：如果模型的输入序列{u(n)}与输出序列{a(n)}均能被测量时，则可以用最小二乘法估计其模型参数，这种估计是线性估计，模型参数能以足够的精度估计出来；许多谱估计中，仅能得到模型的输出序列{x(n）}，这时，参数估计是非线性的，难以求得ARMA 模型参数的准确估值。

从理论上推出了一些ARMA模型参数的最佳估计方法，但它们存在计算量大和不能保证收敛的缺点。

因此工程上提出次最佳方法，即分别估计AR和MA参数，而不像最佳参数估计中那样同时估计AR和MA参数，从而使计算量大大减少。

基本原理将预测指标随时间推移而形成的数据序列看作是一个随机序列，这组随机变量所具有的依存关系体现着原始数据在时间上的延续性。

一方面，影响因素的影响，另一方面，又有自身变动规律，假定影响因素为x1，x2，…，xk，由回归分析，其中Y是预测对象的观测值，Z为误差。

作为预测对象Yt受到自身变化的影响，其规律可由下式体现，误差项在不同时期具有依存关系，由下式表示，由此，获得ARMA模型表达式：基本形式ARMA模型分为以下三种：自回归模型（AR：Auto-regressive）如果时间序列满足其中是独立同分布的随机变量序列，且满足：以及E() = 0则称时间序列为服从p阶的自回归模型。

ARMA算法整理ARMA（自回归移动平均模型）算法是时间序列分析中经典的预测模型之一，它通过分析和拟合时间序列数据的自回归和移动平均部分，来预测未来的观测值。

ARMA算法整理如下。

1.自回归模型自回归模型是根据过去观测值的线性组合来预测未来观测值。

AR(p)模型中的p表示模型中包含p个滞后项，模型的公式如下：Y_t=c+Σ(φ_i*Y_t-i)+ε_t其中，Y_t是时间序列的观测值，c是常数，φ_i是自回归系数，ε_t是误差项。

2.移动平均模型移动平均模型是根据过去观测值的线性组合来预测未来观测值，与自回归模型不同的是，移动平均模型使用的是滞后项的误差项的线性组合。

MA(q)模型中的q表示模型中包含q个滞后误差项，模型的公式如下：Y_t=μ+Σ(θ_i*ε_t-i)+ε_t其中，Y_t是时间序列的观测值，μ是常数，θ_i是移动平均系数，ε_t是误差项。

3.自回归移动平均模型自回归移动平均模型（ARMA）是自回归模型和移动平均模型的结合，它同时利用了过去观测值和滞后误差项来预测未来观测值。

ARMA(p,q)模型中，p表示自回归模型中的滞后项数，q表示移动平均模型中的滞后误差项数，模型的公式如下：Y_t=c+Σ(φ_i*Y_t-i)+Σ(θ_i*ε_t-i)+ε_t其中，Y_t是时间序列的观测值，c是常数，φ_i是自回归系数，θ_i是移动平均系数，ε_t是误差项。

4.参数估计与模型识别ARMA模型的参数估计可以通过最大似然法或最小二乘法来进行。

而模型的选择和识别可以通过观察ACF（自相关函数）和PACF（偏自相关函数）的表现来进行，通常，ACF截尾于一些延迟阶数p，而PACF截尾于一些延迟阶数q，这时可以选择ARMA(p,q)模型。

5.模型拟合与预测一旦选择了合适的ARMA模型，可以对时间序列数据进行模型拟合和预测。

拟合过程中会估计出模型的参数，然后使用估计的参数进行预测。

预测的结果可以用于短期预测和长期趋势分析。

一、基础知识1. 什么是ARMA模型？2. ARMA模型中的参数p和q分别代表什么？3. ARMA模型中的白噪声序列是什么？4. 什么是自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）？5. 如何识别ARMA模型的阶数？二、ARMA模型构建6. 如何根据数据序列构建ARMA模型？7. 如何判断ARMA模型的拟合效果？8. 如何进行ARMA模型的参数估计？9. 如何进行ARMA模型的残差分析？10. 如何进行ARMA模型的预测？三、ARIMA模型11. 什么是ARIMA模型？12. ARIMA模型与ARMA模型有什么区别？13. 如何根据数据序列构建ARIMA模型？14. 如何进行ARIMA模型的参数估计？15. 如何进行ARIMA模型的残差分析？四、季节性ARIMA模型16. 什么是季节性ARIMA模型？17. 如何识别季节性ARIMA模型的季节性周期？18. 如何进行季节性ARIMA模型的参数估计？19. 如何进行季节性ARIMA模型的残差分析？20. 如何进行季节性ARIMA模型的预测？五、ARIMA模型应用21. 如何使用ARIMA模型进行时间序列预测？22. 如何使用ARIMA模型进行异常值检测？23. 如何使用ARIMA模型进行趋势分析？24. 如何使用ARIMA模型进行季节性调整？25. 如何使用ARIMA模型进行风险管理？六、实际案例分析26. 某公司月销售额时间序列数据，构建ARMA模型并进行预测。

27. 某城市日降雨量时间序列数据，构建ARIMA模型并进行预测。

28. 某地区年人口增长率时间序列数据，构建季节性ARIMA模型并进行预测。

29. 某产品销量时间序列数据，构建ARIMA模型进行异常值检测。

30. 某公司月产量时间序列数据，构建ARIMA模型进行趋势分析。

七、模型诊断31. 如何进行ARMA模型的平稳性检验？32. 如何进行ARMA模型的模型识别？33. 如何进行ARMA模型的参数显著性检验？34. 如何进行ARIMA模型的季节性检验？35. 如何进行季节性ARIMA模型的季节性平稳性检验？八、模型优化36. 如何进行ARMA模型的参数调整？37. 如何进行ARIMA模型的模型比较？38. 如何进行季节性ARIMA模型的季节性调整？39. 如何进行ARMA模型的交叉验证？40. 如何进行季节性ARIMA模型的交叉验证？九、软件应用41. 如何使用R语言进行ARMA模型构建？42. 如何使用Python进行ARIMA模型构建？43. 如何使用MATLAB进行季节性ARIMA模型构建？44. 如何使用EViews进行时间序列分析？45. 如何使用SPSS进行时间序列分析？十、高级应用46. 如何使用ARMA模型进行时间序列分类？47. 如何使用ARIMA模型进行时间序列聚类？48. 如何使用ARMA模型进行时间序列控制？49. 如何使用ARIMA模型进行时间序列优化？50. 如何使用ARMA模型进行时间序列风险评估？十一、综合练习51. 某城市月平均气温时间序列数据，构建ARMA模型并进行预测。

缺失数据下ARMA(1,1)模型的估计方法内容提要 近几十年以来，国际上在对“风险的处理和效益的优化”这两个现代金融学的中心议题的分析和处理过程中，金融时间序列的计量学模型及其相应的分析越来越起到非常重要的作用。

对于线性时间序列模型如AR(p), MA(q), ARMA(p, q)等，已经为我们所熟知。

具体到模型的参数估计在数据没有缺失时，也有很多经典的办法，如最小二乘法、极大似然法等。

但是当数据在中间有缺失时，上述方法将无能为力。

本文将详细讨论在数据有缺失时的ARMA （1，1）模型，即 11---+=t t t t Z Z βεεα的参数的估计方法。

关键词 缺失数据 ARMA （1，1）模型 似然函数 EM 算法一、 引言我们知道在金融研究及实际的投资决策中，金融实证研究一直占据非常重要的地位，而在绝大多数实证研究中，时间序列数据等相关的数据是进行实证研究的前提条件。

但是，处理数据时的一个必不可免的麻烦就是数据的缺失的问题。

毫无疑问，对这类问题处理不当，就会影响研究结果的准确性。

通常人们对数据缺失问题的处理主要有以下几种：当数据量很大，并且其它的部分很完整时，在保证剩余数据仍为连续的情况下，抛开缺失的数据进行实证研究；当数据量不够大时，可以利用其它的信息把缺失的数据补上，比如利用求平均数法，线性插值法等等。

可以说上述这些方法都是比较直观易懂的，但是它们又有各自明显的缺点，如多数时候的数据受到信息完整性等的某些限制是不能够抛开的，而那两种直观的补数据的办法显然又没有充分利用到已知的一些信息，使得相应的估计结果不够准确。

到目前为止，在对数据有缺失的情况下对其所属的线形时间序列模型进行参数估计的相应理论研究的结果有：Ljung,G ,M,(1982); Pernzer,J. and Shea,B.(1997); Chunsheng Ma,(2002); 田萍、董险峰和王德辉等（2003）等都分别对具有缺失数据的ARMA(1,1)和AR(p)模型的估计方法进行了探讨。