北师大版数学必修二课件：第一章 立体几何初步 (15份打包)2

正确;(3)两条直线还可能相交或异面,错误.
答案:(1)(2)
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知识梳理
HISHI SHULI
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
12345
1下列命题:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线 a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角 相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面 内作射线所成角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在 棱上的位置没有关系,其中正确的是( ) A.①③ B.②④ C.③④ D.①② 答案:B
∴平面ABC⊥平面SBC.
题型一 题型二 题型三
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D S 典例透析 IANLI TOUXI
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方法二:∵SA=SB=SC=a, 又∠ASB=∠ASC=60°, ∴△ASB,△ASC都是等边三角形. ∴AB=AC=a. 作AD⊥平面BSC于点D, ∵AB=AC=AS,∴D为△BSC的外心. 又△BSC是以BC为斜边的直角三角形, ∴D为BC的中点,故AD⫋平面ABC. ∴平面ABC⊥平面SBC.
(3)如图所示,α∩β=l,a⫋α,a⊥l, 但不一定有α⊥β,错误. (4)b与β的位置关系为相交、平行或b⫋β,错误. 答案:(1)(2)
题型一 题型二 题型三
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D S 典例透析 IANLI TOUXI
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(2)表示:用表示底面各顶点的字母表示棱台.如上图中的棱台可 记作:四棱台ABCD-A'B'C'D'. (3)分类:按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台……
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1.2 简单多面体
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1.2 简单多面体
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(2)表示:通常用底面各顶点的字母表示棱柱.如上图中的棱柱可 记作:五棱柱ABCDE-A'B'C'D'E'. (3)分类:按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (4)特殊的棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱,底面是正多 边形的直棱柱叫作正棱柱.
(5)棱柱的性质有: ①侧棱互相平行且相等,侧面都是平行四边形. ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形,如图①所示. ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形,如图②所示.
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1.2 简单多面体
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名师点拨四棱柱是一种常见的棱柱,它的侧棱与底面的变化会产 生一系列特殊的四棱柱.
四棱柱 面体 正方体. 长方体
平行六面体 正四棱柱
直平行六
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1.2 简单多面体
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成的角为45°,则此三棱柱的体积为(
)
6
A. 2
B. 6
6
C. 6
6
D. 3
解析:如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1中,面对角线
AB1=2,∠B1AB=45°,
于是 B1B=2sin 45°= 2,AB=B1B= 2.
1
∴V=S△ABC·B1B=2 × 2 × 2sin 60°× 2 =
答案:A
又四边形ABCD为正方形,DC⊥AD,
所以DC⊥平面PDAQ.
于是得PQ⊥DC.
在直角梯形 PDAQ 中,可得
2
DQ=PQ= PD,
2
所以DQ2+PQ2=PD2.所以PQ⊥QD.
又DQ∩DC=D,所以PQ⊥平面DCQ.
即 PQ 为三棱锥 P-DCQ 的高,且 PQ= 2a,
1
2
2
2
而△DCQ 的面积为 ·a· 2a= a2,
由图可见,柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例.
【做一做1】 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,
则其体积为
.
解析:由题意可得六棱台上、下底面的面积分别为
S 上=6 3,S 下=24 3,高 h=2,
1
∴V 六棱台=3h(S 上+S 下+ 上 ·下)
1
=3×2×(6 3+24 3+12 3)=28 3.
1
V 柱∶V 锥=πR2h∶ πr2h=3∶4,故选 D.
3
答案:D
1
2
3
4
5
4.已知某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),
可得这个几何体的体积是
.

[构建· 体系]
1．给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是( A．①② C．①③ ) B．②③ D．②④
3 为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为 2 a＝ 3，圆锥的母线即为圆锥的 轴截面正三角形的边，所以母线长为 2.
【答案】 3，2
5． 如图 114 所示为长方体 ABCDA′B′C′D′， E、 F 分别为棱 A′B′、 C′D′上的点，且 B′E＝C′F，当用平面 BCFE 把这个长方体分成两部分后， 各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由．
[小组合作型]
旋转体的结构特征
下列叙述中，正确的个数是( )
(1)以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥； (2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台； (3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台； (4)圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球． A．0 个 C．2 个 B．1 个 D．3 个
棱锥 SAC 或棱锥 SABCDE
棱台 AC′或棱台 ABCDA′B′C′D′
两个面 互相平行，其余 有 一 个 面 是 多 边 用 一 个 平 行 于 棱 锥 结构 各面都是四边形，并且 形，其余各面是 底面的平面去截棱
特征 每相邻两个四边形的公 有一个公共顶点的 锥，底面与截面之间 共边都互相平行 三角形 的部分
【答案】 (2)(3)(4)
判断棱锥、棱台形状的两个方法： (1)举反例法： 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说 法不正确． (2)直接法： 棱锥 定底面 看侧棱 为底面 相交于一点 面 延长后相交于一点 棱台 只有一个面是多边形，此面即 两个互相平行的面，即为底

4.三视图与直观图的画法 三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几 何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空 间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间 几何体的形状，两者之间可以相互转化． 5．直线和平面平行的判定方法 (1)定义：a∩α＝∅⇒a∥α； (2)判定定理：a∥b，a α，b α⇒a∥α； (3)线面平行的性质：b∥a，b∥α，a α⇒a∥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a α⇒a∥β.
8．证明线线垂直的方法 (1)定义：两条直线所成的角为 90° ； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a⊥α，b α⇒a⊥b； (4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.
9．判定两个平面平行的方法 (1)依定义采用反证法； (2)利用判定定理： a∥β，b∥β，a α，b α，a∩b＝A⇒α∥β； (3)垂直于同一条直线的两个平面平行： a⊥α，a⊥β⇒α∥β； (4)平行于同一平面的两个平面平行： α∥γ，β∥γ⇒α∥β.
12．垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有直线中寻找平面的垂 线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂 线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟 练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问 题的关键．
明朗化的立体几何问题．
[例 2] 如下图所示，在矩形 ABCD 中，AB＝3 3，BC＝ 3.沿对角线 BD 将△BCD 折起，使点 C 移到点 C′，且 C′O ⊥平面 ABD 于点 O，点 O 恰在 AB 上．
7．证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义：a 与 α 内任何直线垂直⇒a⊥α； m、n α，m∩n＝A ⇒l⊥α； (2)判定定理 1： l⊥m，l⊥n (3)判定定理 2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； (5)面面垂直的性质；α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l⇒a⊥β.

A1B1C1D1 .
D1 A1
B1 C1
D A
C B
1.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，
则这个几何体一定是 ( C )
A.圆柱
B.圆锥
C.球体
D.圆柱，圆锥，球体的组合体
【解析】当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形 和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．
2.下列说法正确的是( D ) A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱. B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫 棱柱. C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫 棱锥. D.棱台各侧棱的延长线交于一点.
线段叫作球的半径. 5.连接_球__面__上两点并且过_球__心__的线段叫作球的
直径.
直径 球面
球心
半径
二、圆柱、圆锥、圆台
（Hale Waihona Puke ）圆柱1.以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余 各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作 圆柱. 2.在旋转轴上这条边的长度叫做圆柱的高. 3.垂直于旋转轴的边旋转形成的圆面叫做圆 柱的底面.
第一章 立体几何初步
§1 简单几何体
情境引入
课堂探究
简单旋转体 一、球
1.以半圆的_直__径__所__在__的__直__线__为旋转轴，将半圆旋
转所形成的曲面叫作球面. 2._球__面__所围成的几何体叫作球体，
简称球.
3.半圆的_圆__心__叫作球心.
O
4.连接球心和_球__面__上__任__意__一__点__的
3.以下四个叙述：
① 正棱锥的所有侧棱相等；
② 直棱柱的侧面都是全等的矩形；
③ 圆柱的母线垂直于底面；

②α内存在不共线的三点到β的距离相等.
③l,m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β.
④l,m是两条异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β.
解析:①正确.②中如果平面α内三个点在平面β的两侧,满足不共
线的三点到平面β的距离相等,此时这两个平面相交,故②错误.③中
若l与m平行,则α与β可能相交,故③错误.④正确.
HE=
1 2
������������.
又
CD∥AB,且
CD=
1 2
������������,
所以CD������HE,
所以四边形 DCEH 是平行四边形,所以 CE∥DH, 又 DH⫋平面 PAD,CE⊈平面 PAD, 所以 CE∥平面 PAD.
图①
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第2课时 平面与平面平行的判定
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第2课时 平面与平面平行的判定
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D典例透析 IANLI TOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
(1)证明:如图①所示,取 PA 的中点 H,连接 DH,EH.
因为
E
是
PB
的中点,所以
HE∥AB,且
因此,命题①②都不正确. 命题③正确,事实上,因为一个平面内任意一条直线都平行于另
∴OP∥平面D1BQ. 又AP∩PO=P,∴平面D1BQ∥平面PAO, ∴当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
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第2课时 平面与平面平行的判定
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HISHI SHULI

小 结
·
探
提
新 你发现直观图的面积与原图形面积有何关系？
素
知
养
合
课
作
时
探
分
究
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
32
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
探
提示：由题意，易知在△ABC 中，AC⊥AB，且 AC＝6，AB＝3， 提
·
新
素
知
∴S△ABC＝12×6×3＝9.
养
合
课
作 探 究
又
S△A′B′C′＝12×3×(3sin
45°)＝9 4 2，∴S△A′B′C′＝
结
探
OB＝2O′B′＝2 2，OC＝O′C′＝AB＝
·
提
新
素
知 A′B′＝1，
养
·
·
合
且 AB∥OC，∠BOC＝90°.
BC ＝ B′C′ ＝ 1 ＋
2，在
y
轴上截取线段
BA ＝
课 堂
预
小
习 2B′A′＝2.
·
结
探
提
新 知
过 A 作 AD∥BC，截取 AD＝A′D′＝1.
素 养
·
·
合
连接 CD，则四边形 ABCD 就是四边形 A′B′C′D′的平面图 课
作
时
探 形．
分
究
层
释 疑
四边形 ABCD 为直角梯形，上底 AD＝1，下底 BC＝1＋
自
课
主
堂
预
小
习
结

向量的加法运算：向量加法遵循平行四边形 法则如(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)
添加 标题
向量的减法运算：向量减法遵循平行四边形 法则如(x1, y1, z1) - (x2, y2, z2) = (x1x2, y1-y2, z1-z2)
向量积的坐标表示：两个向量的向 量积的坐标表示为两个向量坐标的 乘积
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
混合积：三个向量的混合积是一个 向量其坐标表示为三个向量坐标的 乘积
混合积的坐标表示：三个向量的混 合积的坐标表示为三个向量坐标的 乘积
总结与展望
本章内容的总结与回顾
本章主要介绍了立体几何的基本概念和性质包括点、线、面、体等。 学习了立体几何的度量方法如长度、角度、体积等。 掌握了立体几何的证明方法如平行、垂直、相似等。 学习了立体几何的应用如空间图形的绘制、空间物体的测量等。 展望未来我们将继续深入学习立体几何掌握更多的知识和技能为未来的学习和工作打下坚实的基础。
棱锥的表面积和体积
棱锥的定义： 由一个多边 形底面和若 干个侧面组 成的几何体
棱锥的表面 积：底面积+ 侧面积
棱锥的体积： 底面积×高 ÷3
棱锥的表面 积和体积的 计算公式： S=πr²+n(l ×h)V=πr²h /3
棱锥的表面 积和体积的 应用：建筑、 工程等领域
球的表面积和体积
球的表面积：4πr^2 球的体积：4/3πr^3 球的表面积和体积公式推导 球的表面积和体积在实际生活中的应用
几何性质：立体几何具有空间位置、 形状、大小等性质平面几何具有位 置、形状等性质

例１．用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图 (1)在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X轴，对称轴MN X ' ,Y ' 所在直线为Y轴，两轴交于点O．画对应的 轴，两轴相交于 点 ，使 O ' X ' OY ' 45
y
F A
M
E D
x
y'
O
O
x'
B
N C
注意：(1)建系时要尽量考虑图形的对称性 (2)画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置．
2. 平行投影
把一束平行光线照射下形成的投影，称为平 行投影。此时投影线是平行的。 （1）斜投影 投射线倾斜于投影面的平行投影 （2）正投影 投射线正对于投影面的平行投影 在与投影面平行的前提下，平行投影能反映三 角板的真实形状和大小。
图2-1 中心投影
（a)斜投影
(b)正投影
图2-2 平行投影
投影规律 1.平行性不变，但形状、长度、 夹角会改变； 2.平行直线段或同一直线上的 两条线段的比不变；
3.在太阳光下，平行于地面的 直线在地面上的投影长不变．
物体在阳光或灯光照射下,就会在地面或墙壁 上产生影子,这就是投影,如图所示:
投射中心
投射线 投影 投影面
• 投影分类
1. 中心投影
光由一点向外散射形成的投影。投射线汇交 于投影中心，此时三角板的投影不反映其真实 形状和大小。
X
答案:2+
2
共同进步！
空间几何体的直观图
直观图的画法
空间图形的直观图的概念： 在一个平面内不可能画出空间图形的真实形状，
为了便于对空间图形的研究，我们将作出空间图形 的直观图，即用平面图形表示空间图形，它不是空 间图形的真实形状，但它具有立体感。