暑假补习之基本不等式及恒成立问题

基本不等式的恒成立问题一、基本不等式1. 基本不等式的形式- 对于正实数a，b，有a + b≥2√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。

- 变形形式：ab≤((a + b)/(2))^2。

2. 基本不等式成立的条件- a>0，b>0。

二、基本不等式恒成立问题的常见类型及解法1. 类型一：求参数的取值范围使得不等式恒成立- 例1：已知x>0，y>0，若x + y+ (1)/(x)+(1)/(y)≥ m恒成立，求m的取值范围。

- 解析：- 因为x>0，y>0，根据基本不等式x+(1)/(x)≥2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时等号成立；同理y+(1)/(y)≥2，当且仅当y = 1时等号成立。

- 所以x + y+(1)/(x)+(1)/(y)=(x+(1)/(x))+(y+(1)/(y))≥2 + 2=4。

- 因为x + y+(1)/(x)+(1)/(y)≥ m恒成立，所以m≤4。

2. 类型二：已知不等式恒成立，求代数式的最值- 例2：若对于任意x>0，(x)/(x^2)+3x + 1≤ a恒成立，求a的最小值。

- 解析：- 因为x>0，则(x)/(x^2)+3x + 1=(1)/(x+frac{1){x}+3}。

- 根据基本不等式x+(1)/(x)≥2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时等号成立。

- 所以x+(1)/(x)+3≥2 + 3=5，则0<(1)/(x+frac{1){x}+3}≤(1)/(5)，即0<(x)/(x^2)+3x + 1≤(1)/(5)。

- 因为(x)/(x^2)+3x + 1≤ a恒成立，所以a≥(1)/(5)，a的最小值为(1)/(5)。

3. 类型三：含有多个变量的基本不等式恒成立问题- 例3：已知x,y∈ R^+，若2x + y = 1，且(1)/(x)+(a)/(y)≥8恒成立，求正实数a 的值。

不等式恒成立问题“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。

另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。

本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。

一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。

一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ;2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a例1．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，数a 的取值围。

解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=∆a a 解得311>-<a a 或。

所以实数a 的取值围为),31()1,(+∞--∞ 。

若二次不等式中x 的取值围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，数m 的取值围。

解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立；当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。

综上可得实数m 的取值围为)1,3[-。

二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔ 2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔1．已知两个函数2()816f x x x k =+-，32()254g x x x x =++，其中k 为实数.(1)若对任意的[]33，-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值围； (2)若对任意的[]3321，、-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤，求k 的取值围. (3)若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，求k 的取值围.【分析及解】 (1) 令k x x x x f x g x F +--=-=1232)()()(23, 问题转化为0)(≥x F 在 []3,3-∈x 上恒成立,即0)(min ≥x F 即可 ∵)2(61266)(22'--=--=x x x x x F , 由0)('=x F , 得2=x 或 1-=x .∵(3)45(3)9(1)7(2)20F k F k F k F k -=-=--=+=-，，，, ∴45)(min -=k x F , 由045≥-k , 解得 45≥k .(2)由题意可知当[]33，-∈x 时,都有min max )()(x g x f ≤. 由01616)('=+=x x f 得1-=x .∵k f k f --=--=-8)1(24)3(，, k f -=120)3(, ∴120)(max +-=k x f . 由04106)(2'=++=x x x g 得321-=-=x x 或, ∵21)3(-=-g , 111)3(=g , 1)1(-=-g , 2728)32(-=-g ,∴21)(min -=x g .则21120-≤-k , 解得141≥k .(3) 若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，等价于()f x 的值域是()g x 的值域的子集，由(2)可知， 2()816f x x x k =+-在[]3,3-的值域为[]8,120k k ---+，32()254g x x x x =++在[]3,3-的值域为[]21,111-，于是，[][]8,12021,111k k ---+⊆-，即满足 821,120111.k k --≥-⎧⎨-+≤⎩解得913k ≤≤2．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，数a 的取值围。

例题1证明 ∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，∴y x ＋z x ≥2 yz x ＞0，x y ＋z y ≥2 xzy ＞0， x z ＋y z ≥2 xyz ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥ 8 yz ·xz ·xyxyz＝8.当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．训练1解：∵x ，y 都是正数 ∴yx ＞0，x y ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0(1)xyy x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2.(2)x ＋y ≥2xy ＞0 x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3≥233y x ＞0∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.例题2解析 (1)由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3. 又x ，y ，z 为正实数，∴x y ＋4yx ≥4， 当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2. ∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1，当1y ＝1，即y ＝1时，上式有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝ 4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝yx ，即x ＝y ＝4时取等号． 答案 (1)B (2)D训练2解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x＝1，y＝12时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.(2)由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.答案(1)C(2)C解析由32＋x＋32＋y＝1可化为xy＝8＋x＋y，∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2xy(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2xy－8≥0，解得xy≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.答案 D课堂练习1、解析因为ab＞0，即ba＞0，ab＞0，所以ba＋ab≥2ba×ab＝2.答案 C2、解析由题意1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4，当且仅当ba＝ab，即a＝b＝12时，取等号，所以最小值为4.答案 C3、解析y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，由x＞－1，得x＋1＞0，9x＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2(x＋1)×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案 C4、解析(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b ＝2时取等号．答案9解析 ∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4，即当x ＝32，y＝2时取等号． 答案 3解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，又∵A 在直线上，∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取“＝”，∴1m ＋1n 的最小值为4. 答案 4课后作业1、答案 C2、答案 A解析 由题意知，a <0，b a ＝－56，－1a ＝16，∴a ＝－6，b ＝5.∴x 2－5x ＋6<0的解是(2,3)．3、答案 C解析 作出可行域如图所示 .由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2、－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10,20)时，z 有最大值，z 的最大值为70.4、答案 A解析 x －1x ≥2⇔x －1x －2≥0⇔－x －1x≥0⇔x ＋1x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋1)≤0x ≠0⇔－1≤x <0. 5、答案 A解析 ∵ab －(a ＋b )＝1，ab ≤(a ＋b 2)2，∴(a ＋b 2)2－(a ＋b )≥1，它是关于a ＋b 的一元二次不等式，解得a ＋b ≥2(2＋1)或a ＋b ≤2(1－2)(舍去)． ∴a ＋b 有最小值2(2＋1)．又∵ab －(a ＋b )＝1，a ＋b ≥2ab ，∴ab －2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式， 解得ab ≥2＋1，或ab ≤1－2(舍去)， ∴ab ≥3＋22，即ab 有最小值3＋2 2.6、答案 A 解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(b a ＋a b )≥136＋2＝256(a ＝b＝65时取等号)．7、答案 [－1,0]解析 由f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R .可知2x 2－2ax －a ≥1恒成立，即x 2－2ax －a ≥0恒成立，则Δ＝4a 2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.8答案 3解析 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z 2，将其代入y 2xz，得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”，∴y 2xz的最小值为3.。

基本不等式以及恒成立【教学目标】一、基本不等式基本不等式：如果,a b R ∈，那么22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a b =时取“=”号）当0,0a b >>时，22+≥即a b +≥a b =时取“=”号）【例题讲解】 二、基本不等式的构造（一）分式分离【知识点】分式函数求最值，二次比一次型，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。

即化为()(0,0)()A y mg xB A B g x =++>>，()g x 恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

【例题讲解】★☆☆例题1．已知0x >，求函数254x x y x++=的最小值； 答案：9★☆☆练习1．函数241x x y x −+=−在1x >的条件下的最小值为_________；此时x =_________． 答案：5,3★☆☆练习2．已知0x >，则24x x x−+的最小值是 答案：3解：由于0x >， 41213x x−=，当且仅当2x =时取等号，此时取得最小值3．★★☆练习3． 求2710(1)1x x y x x ++=>−+的最小值。

答案：9解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(1)x +的项，再将其分离。

知识点要点总结：关键点在于对分式不等式的分离，明确对于分式不等式以低次幂的为主导来进行配凑，并且注意对于正负的讨论。

（二）整式凑分式分母形式【知识点】对整式加分式的形式求最值，使用配凑法。

需要调整项的符号，配凑项的系数，使其积为定值，从而利用基本不等式求解最值。

【例题讲解】★☆☆例题1．已知54x <，求函数14245y x x =−+−的最大值。

答案：1 12)45x −不是常数，所以对拆、凑项， 5,4x <∴1⎫当且仅当5备注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

不等式的恒成立、能成立、恰成立问题1.恒成立问题：恒成立问题的基本类型类型1：对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。

解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ， 令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。

类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ],[βα∈x（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 例2：若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围. 12m >- 类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，R x ∈（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。

不等式恒成立、能成立、恰成立问题一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例1、设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。

例2、已知(),22xax x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;例3、R上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.例4、已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

2、主参换位法例5、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围例6、若对于任意1a ≤，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围例7、已知函数323()(1)132a f x x x a x =-+++，其中a 为实数．若不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围．3、分离参数法（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。

专题：不等式的“恒成立”、“能成立”、“恰成立”问题不等式恒成立问题若不等式A x f >)(在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上A x f >min )]([ 若不等式B x f <)(在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上B x f <max )]([当)(x f 的最值取不到时，留意表达要精确，如1)(<x f ，则)(x f m >恒成立⇔1≥m 不等式中能成立．．．问题（有解） 若在区间D 上存在实数X 使不等式A x f >)(成立，则等价于在区间D 上A x f >max )]([ 若在区间D 上存在实数X 使不等式B x f <)(成立，则等价于在区间D 上B x f <min )]([ 不等式中恰成立问题若不等式A x f >)(在区间D 上恰成立,则等价于不等式A x f >)(的解集为D 若不等式B x f <)(在区间D 上恰成立,则等价于不等式B x f <)(的解集为D 利用一次函数的性质对于一次函数]),[)(0()(n m x a b ax x f ∈≠+=有：①0)(>x f 恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(n f m f ②0)(<x f 恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(n f m f 结论：若一个不等式中有两个变量，假如已知最高次数是一次变量的范围求另一变量范围的问题构造一次函数例：已知1log 6log )1()(323++⋅--=x a x a x x f ,当]1,0[∈x 时，)(x f 恒为正数，求a 的取值范围。

[3331<<a ]变式：当]4,2[∈x 时，若不等式042)2(2<-+-a a x 恒成立，求实数a 的范围()1,2-∈a变式：已知定义在R 上的奇函数()f x 在()0,+∞上是增函数且(1)(2)f ax f x +≤+对随意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立，则实数a 的取值范围 (]2,∞- 利用二次函数的判别式对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=有①0)(>x f 恒成立⎩⎨⎧<-=∆>⇔0402ac b a②0)(<x f 恒成立⎩⎨⎧<-=∆<⇔0402ac b a 结论：若一个不等式中有两个变量，假如已知高次变量的范围求另一变量范围的问题构造高次函数或分别参数。

2022-2023新高一初高中衔接假期过关实训课程衔接知识点： 基本不等式知识点温习及典例1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 经典例题解析例1已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 例2 若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n的最小值为( )A ．3＋2 2B ．3＋ 2C ．2＋2 2D ．3例3 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 例4已知a >0，b >0，c >0，若点P (a ，b )在直线x ＋y ＋c ＝2上，则4a ＋b ＋a ＋b c的最小值为________．过关实训习题1．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A ．x ＝y B ．x ＝2y C ．x ＝2且y ＝1D ．x ＝y 或y ＝12.若实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝⎛⎭⎪⎫0<x <23，则4x ＋1y 的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．323.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( ) A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)4．(多选)若x ≥y ，则下列不等式中正确的是( ) A ．2x≥2yB.x ＋y2≥xyC ．x 2≥y 2D ．x 2＋y 2≥2xy5．(多选)设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2B.2aba ＋b≥ab C.a 2＋b 2ab≥a ＋bD ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥46．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．7.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是______．8.某人准备在一块占地面积为1800m 2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1m 的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m 2，其中a ∶b ＝1∶2，则S 的最大值为________．9.已知正数a ，b 满足a ＋b ＝2，求1a ＋1＋4b ＋1的最小值．《基本不等式》答案及解析知识点温习及典例1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积经典例题解析例1已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(4－3x )22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．例2 若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n的最小值为( )A ．3＋2 2B ．3＋ 2C ．2＋2 2D ．3答案 A解析 因为2m ＋n ＝1，则1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ·(2m ＋n )＝3＋n m ＋2m n≥3＋2n m ·2mn＝3＋22， 当且仅当n ＝2m ，即m ＝2－22，n ＝2－1时等号成立，所以1m ＋1n的最小值为3＋22，故选A.例3 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．解析 方法一 (换元消元法) 由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号， 即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0， 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 方法二 (代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y1＋y ，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y (1＋y )1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23(1＋y )·121＋y－6 ＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y ，即y ＝1，x ＝3时取等号，所以x ＋3y 的最小值为6.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．例4已知a >0，b >0，c >0，若点P (a ，b )在直线x ＋y ＋c ＝2上，则4a ＋b ＋a ＋bc 的最小值为________． 答案 2＋2 2解析 ∵P (a ，b )在x ＋y ＋c ＝2上， ∴a ＋b ＋c ＝2，a ＋b ＝2－c >0， 4a ＋b ＋a ＋b c ＝42－c ＋2－c c ＝42－c ＋2c－1， 设⎩⎪⎨⎪⎧2－c ＝m ，c ＝n ，则m ＋n ＝2，42－c ＋2c ＝4m ＋2n ＝m ＋n 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋2n ＝3＋2n m ＋mn≥3＋22n m ×mn＝3＋22，当且仅当m 2＝2n 2，即c ＝22－2时，等号成立， ∴42－c ＋2c－1≥3＋22－1＝2＋22， 即4a ＋b ＋a ＋b c的最小值为2＋2 2.过关实训习题1．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A ．x ＝y B ．x ＝2y C ．x ＝2且y ＝1 D ．x ＝y 或y ＝1 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy ，当且仅当x ＝2y 时取等号．故“x ＝2且y ＝1 ”是“x ＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件．故选C.2.若实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝⎛⎭⎪⎫0<x <23，则4x ＋1y 的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．32 答案 B解析 实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <23，∴x ＝4y ＋6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，y >0，则4x ＋1y ＝y ＋6＋1y≥2＋6＝8，当且仅当y ＝1，x ＝47时取等号．∴4x ＋1y的最小值为8.3.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.4．(多选)若x ≥y ，则下列不等式中正确的是( ) A ．2x≥2yB.x ＋y2≥xy C ．x 2≥y 2 D ．x 2＋y 2≥2xy答案 AD解析 由指数函数的单调性可知，当x ≥y 时，有2x ≥2y ，故A 正确； 当0>x ≥y 时，x ＋y2≥xy 不成立，故B 错误；当0≥x ≥y 时，x 2≥y 2不成立，故C 错误；x 2＋y 2－2xy ＝(x －y )2≥0成立，即x 2＋y 2≥2xy 成立，故D 正确．5．(多选)设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2 B.2aba ＋b≥ab C.a 2＋b 2ab≥a ＋bD ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4答案 ACD解析 ∵a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b ＋1ab≥2ab ＋1ab≥22，当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab ，即a ＝b ＝22时取等号，故A 成立； ∵a ＋b ≥2ab ＞0，∴2ab a ＋b ≤2ab2ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， ∴2aba ＋b≥ab 不一定成立，故B 不成立； ∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， a 2＋b 2a ＋b ＝(a ＋b )2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2aba ＋b≥2ab －ab ＝ab ， 当且仅当a ＝b 时取等号，∴a 2＋b 2a ＋b ≥ab ，∴a 2＋b 2ab≥a ＋b ，故C 一定成立； ∵(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，故D 一定成立．6．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立． 7.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是______．答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元)． 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫3 600x ＋4x 万元． 因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x·4x ＝240， 当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时取得等号， 所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．8.某人准备在一块占地面积为1800m 2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1m 的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m 2，其中a ∶b ＝1∶2，则S 的最大值为________．答案 1 568解析 由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ，x >3，y >3，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a＝(3x －8)y －33＝1 808－3x －83y ＝1 808－3x －83×1 800x＝1 808－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x，即x ＝40，y ＝45时等号成立，S 取得最大值， 所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值为1 568.9.已知正数a ，b 满足a ＋b ＝2，求1a ＋1＋4b ＋1的最小值． 解 1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·(a ＋1)＋(b ＋1)4＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4(a ＋1)b ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2b ＋1a ＋1·4(a ＋1)b ＋1 ＝94.当且仅当b ＋1a ＋1＝4(a ＋1)b ＋1，即a ＝13，b ＝53时取等号．所以1a ＋1＋4b ＋1的最小值为94.。

指出：这里+∈Rc b a ,,∵0<++c b a 就不能保证推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++⇒33abc c b a ≥++⇒33abc c b a ≥++由此推出：a b c abc++⎛⎝ ⎫⎭⎪≥33定理3（基本不等式3）na a a n +++ 21≥n n a a a 21ni R a N n i ≤≤∈∈+1,,*这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）．这里涉及到“平均数”的概念．如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：na a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数，nn a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数．定理3的语言表述为：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．【例题精讲】例1已知x 、y 都是正数，求证：(1)yxx y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.证明：∵x ，y 都是正数∴y x ＞0，xy＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0(1)x y y x x y y x ⋅≥+2＝2即xyy x +≥2.(2) x ＋y ≥2xy ＞0x 2＋y 2≥222y x ＞0x 3＋y 3≥233y x ＞0∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.说明：在运用定理：ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.例2、（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，温故知新建议15min课后巩固1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。

基本不等式【教学目标】一、不等式性质【知识点】1.不等式的基本性质（1）a>b⇔b<a（2）a>b,b>c⇒a>c（3）a+b<c⇔a<c−b；a>b⇔a+c>b+c（4）a>b{c>0⇒ac>bc c=0⇒ac=bc c<0⇒ac<bc2.不等式的运算性质（１）加法法则：a>b,c>d⇒a+c>b+d （２）减法法则：a>b,c>d⇒a−d>b−c （３）乘法法则：a>b>0,c>d>0⇒ac>bd>0（４）除法法则：a>b>0,c>d>0⇒ad >bc>0（５）乘方法则：a>b>0⇒a n>b n>0(n∈N,n≥2)（６）开方法则：a>b>0⇒√a n>√b n>0(n∈N,n≥2)3.待定系数求整式范围已知各含有两元的两式A 、B 的范围，求含两元的C 式的范围，可设=C xA xB + 等号左右两元的系数一一对应，求的x 、y 值，则可进一步求得C 式的范围. 4.比较大小(1)作差比较法：①作差；②变形；③定号；④结论．变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式． (2)作商比较法：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．作差后与0比较，需要变形为易判断符号为止；作商后与1比较，同时要注意分母的正负． (3)特值比较法：小题可以用特值法比较大小；大题可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断. (4)构造函数法：考虑所构造的函数的性质，尤其要注意利用单调性比较大小． 【例题讲解】1. 不等式的基本性质及运算性质★☆☆例题1．若a b >，c d >，则下列不等关系中不一定成立的是( ) A ．a b c d ->- B ．a c b d +>+C ．a c b c ->-D ．a c a d -<-答案：A解析：根据a b >，c d >即可判断选项B ，C ，D 都成立而选项A 显然不一定成立，从而得出正确的选项．a b >，c d >，a cb d ∴+>+，ac b c ->-，cd -<-，a c a d -<-，a b c d ->-不一定成立．故选：A ．备注：本题考查了不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题． ★☆☆练习1. 下列命题中，正确的是( ) A ．若ac bc <，则a b < B ．若a b >，c d >，则ac bd > C ．若0a b >>，则22a b > D ．若a b <，c d <，则a c b d -<-答案：C解析：对于A ，由ac bc <，0c >时，a b <；0c <时，a b >，所以A 错误； 对于B ，当0a b >>，0c d >>时，有ac bd >，所以B 错误； 对于C ，当0a b >>时，有22a b >，所以C 正确；对于D ，由a b <，c d <，得出d c -<-，所以a d b c -<-，D 错误．故选：C ． 备注：本题考查了不等式的性质与应用问题，是基础题． ★☆☆练习2. 已知0a b >>，则下列不等式中正确的是( ) A ．||||a b < B ．11a b< C ．a b ->- D ．22a b <答案：B解析：0a b >>，备注：根据0a b >>，根据不等式的性质即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．本题考查了不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．★☆☆例题2．已知14m ，23n -<<，求m n +，mn 的取值范围； 答案：812mn -<<解析：14m ，23n -<<，∴由不等式的可加性，得17m n -<+<．当03n <时，可得012mn <．当20n -<<时，有02n <-<，得08mn <-<， 即80mn -<<．812mn ∴-<<；备注：直接利用基本不等式的性质求得m n +，mn 的取值范围 ★★☆练习1.已知24m <<，35n <<，求下列各式的取值范围：（1）2m n +；（2）m n -；（3）mn ；（4）mn． 答案：见解析解析：（1）24m <<，35n <<，6210n ∴<<，则8214m n <+<； （2）53n -<-<-，31m n ∴-<-<； （3）24m <<，35n <<，620mn ∴<<； ）35n <<备注：本题主要考查不等式范围的求解，根据不等式的性质和不等式关系是解决本题的关键． ★☆☆练习2．设(0,)2πα∈， [0,]2πβ∈，那么23βα-的取值范围是( )A )65,0(π B.）（65,6ππ- C ．),0(π D.),6(ππ- 答案：D2.待定系数求整式范围★★☆例题1．已知14x y -≤+≤，且23x y ≤-≤，则23z x y =-的取值范围是 ． 答案：38z ≤≤ 解析：2z x =-()12x y -+≤1★★☆练习1已知实数,x y 满足41145x y x y -≤-≤--≤-≤，，则93x y -的取值范围是 .答案：－6≤9x －3y ≤9解析: 设9x －3y ＝a (x －y )＋b (4x －y )＝(a ＋4b )x －(a ＋b )y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋4b ＝9，a ＋b ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，∴9x －3y ＝(x －y )＋2(4x －y )， ∵－1≤4x －y ≤5， ∴－2≤2(4x －y )≤10， 又－4≤x －y ≤－1， ∴－6≤9x －3y ≤9. 3.比较两式（两值）大小★★☆例题4．若非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式不一定成立的是( ) A ．1ab< B ．2b a a b+ C ．2211ab a b<D ．22a a b b +<+答案：ABD2b a 不成立可判断2b a 不成立，20)b ab -<，则因为22()(1)a b a b a b a b -+-=-++符号不定，故22a a b b <+不一定成立．故选：ABD ． 备注：本题主要考查了不等式的性质的灵活应用，解题的关键是基本知识的熟练掌握．★★☆练习1．设a ，b 是非零实数，若a b <，则不等式22a b <；22ab a b <；2211;b a ab a b a b <<中成立的是 ．解析：a b <，取2a =-，1b =-，则22a b <，22ab a b <，不成立；而a b <且非故只有：ab 备注：本题考查了通过取特殊值可否定一个命题、通过作差法利用不等式的基本性质比较两个数的大小方法，属于基础题．★★☆例题5．若01a b <<<，b x a =，a y b =，b z b =，则x 、y 、z 的大小关系为( ) A ．x z y << B ．y x z <<C ．y z x <<D ．z y x <<答案：A解析：根据指数函数与幂函数的单调性即可求解． 因为01a b <<<，故()x f x b =单调递减；故：a b y b z b =>=，()b g x x =单调递增；故b b x a z b =<=，则x 、y 、z 的大小关系为：x z y <<；故选：A ．备注：本题考查了指数函数与幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ★★☆练习1．．已知 1.22a =， 1.10.5b -=，0.44c =，则( ) A ．c b a << B ．b a c << C ．b c a << D ．a b c <<答案：A解析：可得出 1.12b =，0.82c =，然后根据函数2x y =的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系． 1.1 1.10.52b -==，0.40.842c ==，0.8 1.1 1.2222<<， c b a ∴<<．故选：A ．知识点要点总结：判断不等式是否成立，通常讲解如下两种方法:1.观察条件与命题间的关系，找到变化之处是否符合不等式性质的正确运算。