下载文档原格式
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第三章 一元函数的导数及其应用§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数 (形如f(ax＋b))的导数.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.导数的概念f′(x0)y′| (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作或 .0x x＝(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)处的切线的，相应的切线方程为 .3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝__f (x )＝x α(α∈R ，且α≠0)f ′(x )＝______f (x )＝sin xf ′(x )＝_____f (x )＝cos xf ′(x )＝______f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝______f (x )＝e x f ′(x )＝___0αx α－1cos x －sin x a x ln a e x知识梳理f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝_____ f(x)＝ln x f′(x)＝___4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝ ；[f (x )g (x )]′＝ ；[cf (x )]′＝ .f ′(x )±g ′(x )f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )cf ′(x )5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y u′·u x′y x′＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.常用结论1.区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( )(4)(cos 2x ) ′＝－2sin 2x .( )×××√1.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则√因为函数f(x)＝3x＋sin 2x，所以f′(x)＝3x ln 3＋2cos 2x.y＝(e－1)x＋2又∵f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.3.已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝ .由题意得f′(x)＝1＋ln x＋2ax，第二部分√√√对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2x ln 2－sin x，故D正确.(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于√A.1B.－9C.－6D.4因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.√√√f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A 正确；f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；f(x)＝x ln x，f′(x)＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1，故D正确.命题点1 求切线方程例2 (1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为√A.4e x－y＋e2＝0B.4e x－y－e2＝0C.4e x＋y＋e2＝0D.4e x＋y－e2＝0所以f(e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，f′(e)＝4e，所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，即4e x－y－e2＝0.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_______，_________.先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·重庆模拟)已知a为非零实数，直线y＝x＋1与曲线y＝ea ln(x＋1)相切，则a＝_____.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)e x有两条过坐标原点的切线，(－∞，－4)∪(0，＋∞)则a的取值范围是 .因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为A (x 0，(x 0＋a ) )，O 为坐标原点，0e x 0e x 0x x ＝000()ex x a x 因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.跟踪训练2 (1)曲线f(x)＝在(0，f(0))处的切线方程为√A.y＝3x－2B.y＝3x＋2C.y＝－3x－2D.y＝－3x＋2所以f′(0)＝3，f(0)＝－2，所以曲线f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－(－2)＝3(x－0)，即y＝3x－2.√例4 (1)若直线l：y＝kx＋b(k>1)为曲线f(x)＝e x－1与曲线g(x)＝eln x的公切线，则l的纵截距b等于A.0B.1√C.eD.－e设l 与f (x )的切点为(x 1，y 1)，则由f ′(x )＝e x －1，得l ：y ＝ ＋(1－x 1) .同理，设l 与g (x )的切点为(x 2，y 2)，11e x x －11e x －11e x －11e x －因为k >1，所以l ：y ＝x 不成立，故b ＝－e.(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a 的取值范围是√设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点分别为(x1，ln x1－1)，(x2，ax)，其中x1>0，令g (x )＝2x 2－x 2ln x ，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )，令g ′(x )＝0，得x ＝ ，32e 当x ∈(0， )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；32e当x ∈(，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，32e 32e思维升华公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.跟踪训练3 (1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x －4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于A.－3 B.1√C.3D.5依题意，设曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同.∵f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.(2)已知f(x)＝e x－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有A.0条B.1条√C.2条D.3条根据题意，设直线l与f(x)＝e x－1相切于点(m，e m－1) ，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)(n>0)，对于f(x)＝e x－1，f′(x)＝e x，则k1＝e m，则直线l的方程为y＋1－e m＝e m(x－m) ，即y＝e m x＋e m(1－m)－1，可得(1－m)(e m－1)＝0，即m＝0或m＝1，则切线方程为y＝e x－1 或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有两条.第三部分1.(2023·广州模拟)曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为√A.y＝3x＋3B.y＝3x＋1C.y＝－3x－1D.y＝－3x－3因为f′(x)＝3x2，所以f′(－1)＝3，又当x＝－1时，a＝(－1)3＋1＝0，所以y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为y＝3(x＋1)，即y＝3x＋3.2.记函数f(x)的导函数为f′(x).若f(x)＝e x sin 2x，则f′(0)等于√A.2B.1C.0D.－1因为f(x)＝e x sin 2x，则f′(x)＝e x(sin 2x＋2cos 2x)，所以f′(0)＝e0(sin 0＋2cos 0)＝2.3.(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝＋2，那么f(1)＋f′(1)等于√A.1B.2C.3D.44.已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为√A.－2B.2C.－eD.e设切点坐标为(t，t ln t)，∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，∴直线l的方程为y－t ln t＝(ln t＋1)(x－t)，将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－t ln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，∴直线l的斜率为f′(e)＝2.。
专题3-1导函数概念及运算导函数的概念及几何意义内容1、导数的概念、背景2、导数的几何意义 知识点1、概念f(x )在x = x 0处的瞬时变化率：0000()()limlim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数f(x )在x = x 0处的导数，记f ’(x )或y ’|x = x 0即f ’(x 0) = 0000()()limlim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆2、几何意义x = x 0处的导数f ’(x )：曲线f(x )在点(x 0,f(x 0))处的切线斜率，该切线方程为y - f(x 0) = f ’(x 0)(x - x 0) 3、运算(1)法则①[f(x) ± g(x)]’ = f’(x) ± g’(x)②[f(x) · g(x)]’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)③[f(x)g(x)]’ = f’(x)g(x) - f(x)g’(x)g2(x)(g(x)≠0)(2)复合函数求导[f(g(x))]’ = f’(g(x)) · g’(x)易错点1、求曲线切线：“P处的切线”--P为切点；“过P的切线”--P不一定是切点，也不一定在曲线上2、曲线切线与曲线交点个数可能不止一个例1 函数f(x) = x3+ (a - 1)x2+ ax，若f(x)为奇函数则曲线y = f(x)在(0,0)处的切线方程为( ) A y = -2x B y = -x C y = 2x D y = x【答案】D【分析】奇偶性判断系数是否为0，得到a值【详解】f(x)为奇函数，有a - 1 = 0 ⇒ a = 1f’(x) = 3x2+ 1，即f’(0) = 1曲线y = f(x)在(0,0)处的切线：y = x【考核】利用导数求切线方程例2 设直线l 1、l 2分别是函数f(x ) =⎩⎨⎧ - ln x ，0 < x < 1ln x ，x > 1图象上P 1、P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于P ，且l 1、l 2分别与y 轴相交于A 、B ，则△P AB 面积的取值范围( ) A (0,1)B (0,2)C (0,+∞)D (1,+∞)【答案】A【分析】利用导数得到切线方程，并确定AB 长度；结合图形确定极值情况下面积的大小 【详解】f’(x ) =⎩⎨⎧ - 1x，0 < x < 11x，x > 1 ，若P 1 (x 1, -ln x 1)、P 2 (x 2, ln x 2)，由l 1与l 2垂直知：k 1·k 2 = -1x 1 ·1x 2= -1，x 1·x 2 = 1 ∴ P 1 (x 1, -ln x 1)，则P 2 (1x 1, -ln x 1)l 1：y + ln x 1 = -1x 1 (x - x 1) = -x x 1 + 1，l 1：y + ln x 1 = x 1 (x - 1x 1 ) = x 1x - 1∴ A(0, 1 - ln x 1)，B(0, -1 - ln x 1)：|AB| = 2如图切点移动时S △P AB 最大值出现在P 离y 轴最远处即横坐标为x = 1处P 1、P 2、P 重合，此时A(0,1)，B(0,-1)有S △P AB = 1 ∵ 定义域无法取到x = 1 ∴ x →1，S △P AB →1由于P 1向上移动过程中P 点无限接近y 轴 即△P AB 的高趋近于0，S △P AB →0【考核】利用导数结合直线知识，求范围例3 曲线y = 3(x 2 + x )e x 在点(0,0)处的切线方程为_____ 【答案】y = 3x【分析】y’ = 3(2x + 1)e x + 3(x 2 + x )e x ，求切点处导数值即可写出方程 【详解】x = 0有y ’ = 3，切线方程为：y = 3x 【考核】导数的运算，求切线方程例4 已知f(x ) = (x - 2x - 1 )e -x (x ≥12 )(1) f(x )的导函数(2) f(x )在区间[12,+∞)上的取值范围【答案】(1)1 - x e x (1 - 2 2x - 1 )；(2)[0, 12e]【分析】(1)导函数运算法则应用；(2)利用导数求极值，结合端点值和函数性质得到值域 【详解】(1) f’(x ) = (xe -x - e -x 2x - 1 )’ = (xe -x )’ - (e -x 2x - 1 )’(xe -x )’ = e -x - xe -x (e -x 2x - 1 )’ =12x - 1e -x - e -x 2x - 1 综上：f’(x ) = e -x - xe -x - 12x - 1 e -x + e -x 2x - 1 = 1 - x e x (1 - 22x - 1)(2) f’(x ) = 0，得x = 1或 52∴ 区间[12 ,+∞)：可分[12 ,1)、(1,52 )、(52 ,+∞)[12 ,1)时，f’(x ) < 0：f(x )在[12 ,1)上单调递减 (1,52 )时，f’(x ) > 0：f(x )在(1,52)上单调递增(52 ,+∞)时，f’(x ) < 0：f(x )在(52,+∞)上单调递减 ∴ 综上：x = 1或 52 ，f(x )取得极值分别为f(1) = 0、f(52 ) = 12e 2e而 f(12 ) = 12e 且f(x ) = (x - 2x - 1 )e -x = (x -1)2 x + 2x - 1 e -x ≥ 0在[12 ,+∞)恒成立即f(x )的值域[0,12e]【考核】导数运算；利用导函数判断单调性，求极值例5 已知曲线f(x ) = e x 在点(0,f(0))处的切线为l ，动点(a , b )在直线l 上，则2a + 2-b 的最小值是( ) A 4B 2C 2 2D 2【答案】D【分析】导数得到直线方程，动点在直线上列方程(含a 、b ) 【详解】曲线f(x ) = e x 在点(0,f(0))，f(0) = 1 f’(x ) = e x ，f’(0) = 1∴ y - 1 = x ，y = x + 1，有(a , b )在直线l 上 即 a - b = -1∵ 2a + 2-b ≥ 22a ·2-b = 22a -b = 2∴ 有2a + 2-b 的最小值为 2 (2a = 2-b 时等号成立) 【考核】导数求斜率，均值不等式例6 曲线xy - x + 2y - 5 = 0在点A (1,2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为____ 【答案】496【分析】将方程中的x 、y 看作f(x )、g(x )求导【详解】(xy - x + 2y - 5)’ = xy ’ + y - 1 + 2y ’ = (x + 2)y ’ + y - 1 = 0，在A (1,2)处的导数y ’ = -13切线方程：y - 2 = -13 (x - 1) ⇒ y = 73 - 13 x与x 、y 轴交点分别为(0, 73 )、(7, 0)：S = 496【考核】导数运算例7 若曲线y = e -x 上点P 处的切线平行于直线2x + y + 1 = 0，则点P 的坐标是______ 【答案】(- ln 2, 2)【分析】曲线y = e -x 上点P 处切线的斜率与2x + y + 1 = 0斜率相等 【详解】直线2x + y + 1 = 0的斜率k = -2 而y’ = (e -x )’ = - e -x = -2 x = - ln 2，y = 2，即P(- ln 2, 2) 【考核】导数的几何意义例8 若函数f(x ) = xe x + f’(1)x 2，则f’(1)=______ 【答案】-2e【分析】求导过程中f’(1)作为常数，求值时作为参数 【详解】f’(x ) = [xe x + f’(1)x 2]’ = xe x + e x + 2f’(1)x f’(1) = [xe x + f’(1)x 2]’ = e + e + 2f’(1) f’(1) = -2e 【考核】导数运算例9 已知函数f(x ) = f’(1)x 2 + 2x + 2f(1)，则f’(2)的值为( ) A -2B 0C -4D -6【答案】D【分析】函数求导函数，求f’(1)再求f’(2) 【详解】f’(x ) = 2f’(1)x + 2 则有f’(1) = -2 f’(2) = 4f’(1) + 2 = -6 【考核】导数运算例10 已知函数f(x ) = 3sin x + 16 x 3在x = 0处的切线与直线nx - y - 6 = 0平行，则(|x | + 1|x | - 2)n的展开式中常数项为_____ 【答案】-20【分析】导数几何意义求出直线斜率，求n ；有二项式公式得到常数项的值 【详解】f’(x ) = 3cos x + 12x 2，则有f’(0) = 3∵ 在x = 0处的切线与直线nx - y - 6 = 0平行 ∴ n = 3 (|x | +1|x | - 2)n 中各项为T = C k n C m n -k |x |k (1|x |)m (-2)n -k -m k = m = 1，C 1 3C 12|x |(1|x | )(-2) = -12 k = m = 0，C 0 3C 0 2|x |0(1|x | )0(-2)3 = -8 ∴ 常数项：-20【考核】导数几何意义、二项式例11 平面直角坐标系xOy中，点M在曲线C：y = x3-x- 1上，且在第三象限内。
已知曲线C在点M处的切线的斜率为2，则点M的坐标为_____【答案】(-1, -1)【分析】导数几何意义列方程，求M点坐标【详解】y’ = 3x2- 1，M(x0, y0)：3x02- 1 = 2∵M在第三象限∴x0 = -1，y0 = -1 + 1 -1 = -1M(-1, -1)【考核】导数几何意义例12 已知曲线y = 13x3 +43，则过点P(2,4)的切线方程是_____【答案】y = 4x- 4【分析】导数求切线斜率【详解】y’ = x2，点P(2,4)的切线斜率k = 4∴y- 4 = 4(x- 2)，y = 4x- 4【考核】导数几何意义例13 已知f(x) = x2 + 3x f’(1)，则f’(2) = ( ) A 1 B 2 C 4 D 8【答案】A【分析】【详解】f’(x) = 2x + 3f’(1)，f’(1) = -1f’(x) = 2x- 3，f’(2) = 1【考核】导数运算例14 若f(x) = x cos x，则函数f(x)的导函数f’(x) = ( )A 1 - sin xB x- sin xC sin x + x cos xD cos x -x sin x【答案】D【分析】常用导数应用【详解】【考核】导数运算总结1、求导方法利用代数、三角恒等式等对原函数化简，可减少运算量2、导数几何意义应用(1)已知切点(x0,f(x0))，求斜率k = f’(x0)(2)已知斜率k，求切点(x1,f(x1))，解方程f’(x1) = k(3)已知过(x1,f(x1))(非切点)的切线斜率为k时，常需要设出切点(x0,f(x0))，利用k = f(x0)- f(x1) x0-x1。
