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北师大版数学九年级上册第二章第3节用公式法解一元二次方程（第2课时）导学案【教学目标】1．理解一元二次方程根的判别式；2．不解方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等．教学重点：一元二次方程根的判别式教学难点：理解一元二次方程根的判别式【教学过程】[知识回顾：]一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是：x ＝－b ±b 2－4ac 2a(其中b 2―4ac ≥0)． 这个公式成立的条件是：b 2―4ac ≥0．那么，有没有b 2―4ac ＜0的一元二次方程呢？如果有，这样的方程的解的情况又是怎样的？[问题探究：]对于方程x 2－2x ＋3＝0，有a ＝1，b ＝－2，c ＝3，得b 2―4ac ＝(－2) 2―4×1×3＝－8＜0,不满足b 2―4ac ≥0的条件，所以该方程不能用求根公式求解．事实上，将方程x 2－2x ＝―3，配方，得x 2－2x ＋1＝―3＋1，即(x －1) 2＝－2．∵x 取任何实数时，总有左边＝(x －1) 2≥0,而右边＝－2＜0,∴x 取任何实数时，都不能使(x －1) 2＝－2成立，即方程(x －1) 2＝－2无实数根．也就是方程x 2－2x ＋3＝0无实数根．[归纳总结，得出结论：]对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，(1) 当b 2―4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根，（x ＝－b ±b 2－4ac 2a） (2) 当b 2―4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根，（x 1＝x 2＝－b 2a） (3) 当b 2―4ac ＜0时，方程无实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可以由b 2―4ac 来判定．我们把b 2―4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用“△”（读：delta ）来表示．[例1]不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 2x 2＋5＝7x ； (2) 4x (x －1)＋1＝0； (3) (x ＋1)(4x ＋1)＝2x ．[跟踪练习1]1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 5x 2＋x ＝7； (2) 25x 2＋20x ＋4＝0； (3) x 2－2x ＋3=0．[例2]若关于x的一元二次方程(k－1) x 2＋2x－2＝0有两个不相等实数根，求k的取值范围．[跟踪练习2]1．关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1B．m≥1C．m≤1D．m＞12．关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定3．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是________．4．已知关于x的一元二次方程kx2－2(k＋1)x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围；5．关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx＋k＝6有两个实数根，求k的取值范围；[本课知识、方法总结：]1．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作：△＝b2－4ac，(1)当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；即x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b―b2－4ac2a；(2)当△＝0时，方程有两个相等的实数根；即x1＝x2＝－b2a．(3)当△＜0时，方程无实数根．反过来也成立．[拓展延伸：]1．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏总长40m．(1) 鸡场的面积能达到180m2吗？(2) 鸡场的面积能达到200m2吗？(3) 鸡场的面积能达到250m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．（提示：设平行于墙的一边为x m）答案例1（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根；[跟踪练习1]1．（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程有两个不相等的实数根；例2 解：根据题意，得⎩⎨⎧△＝4－4×(－2)×(k －1)＞0k －1≠0 解得k ＞12且k ≠1． [跟踪练习2]1．D2．A3．k ＜－1144．k 的取值范围是k ＞－13且k ≠0． 5．k 的取值范围是k ≥32且k ≠2． [拓展延伸：]1．解：设平行于墙的一边长为x 米，则垂直于墙的一边长为40－x 2米，鸡场的面积为x ·40－x 2平方米． （1）当x ·40－x 2＝180时，解得 x 1＝20－210，x 2＝20＋210（不合题意，舍去）．∴鸡场的面积能达到180m 2，此时鸡场平行于墙的一边长为（20－210）米，垂直于墙的一边长为（10＋2010）米．（2）当x ·40－x 2＝200时，解得 x 1＝x 2＝20．∴鸡场的面积能达到200m 2，此时鸡场平行于墙的一边长为20米，垂直于墙的一边长为10米．（3）当x ·40－x 2＝250时，整理，得 x 2－40x ＋500＝0．∵△＝1600－4×1×500＜0，∴该方程没有实数根．∴鸡场的面积不能达到250m 2．。
用公式法求解一元二次方程教学内容与目标解析01教学问题诊断分析02教学过程设计04目录页教学反思与评价06教学支持条件分析03目标检测设计051.1 教材分析1.2 教学目标1.3 教学重点北师大版义务教育教科书，九年级上第二章《一元二次方程· 用公式法求解一元二次方程》，共两课时，本节课为第一课时. 内容为一元二次方程求根公式的推导及运用.1.1 教材分析1.2 教学目标1.3 教学重点一元二次方程概念一元二次方程的解解法根与系数的关系实际应用配方法公式法因式分解法用公式法求解一元二次方程根的判别式承上启下1.1教材分析1.2 教学目标1.3 教学重点探究一元二次方程求根公式的推导过程，积累数学活动经验.1在探究中，体会从特殊到一般的转化思想，在合作交流中发展逻辑推理能力.2掌握求根公式特征，会用公式求解一元二次方程.31.1教材分析1.3 教学重点1.2 教学目标教学重点✓一元二次方程求根公式的推导；✓运用公式法求解一元二次方程.2.1学情分析2.2 教学难点知识储备2✓掌握完全平方公式特征;✓用配方法解数字系数的一元二次方程.➢自主探究;➢合作交流.能力储备3◆寻找方程的解的活动体验;◆形成对求解方法的认识.活动经验12.1 学情分析✓运用配方法推导求根公式;教学难点✓对"b2−4ac"取值范围的分类讨论.2.2 教学难点3.1 教学策略✓安排充足的时间让学生自主探究，合作交流，推导求根公式，经历从特殊到一般的转化.突破教学难点✓引导类比计算，独立思考，小组合作探究.突出教学重点3.2 教法与学法3.3 教具选择发现问题自主探究小组合作展示总结分析问题解决问题探究式教学法3.1 教学策略3.3 教具选择3.2 教法与学法Part 3 教学支持条件分析利用多媒体的交互功能提高课堂效率3.3 教具选择3.1 教学策略3.2 教法与学法Part 4 教学过程设计情景引入提出问题内化运用小结升华合作探究part 4.1 情景引入有没有其他快速求解这个方程的方法？part 4.1 情景引入一元二次方程求根计算器的运算规律是什么？设计意图：激发学生求知欲，明确本节课学习内容：探索一元二次方程的求根公式.提出问题：能否类比求解？1回顾旧知2类比迁移3独立探索设计意图：学生类比计算，独立思考，体会从具体到抽象的转化，积累解字母系数一元二次方程的经验.提出问题：能否类比求解？提出问题：能否类比求解？教学目标1：探索一元二次方程求根公式的推导过程，积累数学活动经验.观察推导过程学生独立探索出现错误展示作业发现问题1：能直接开方吗？引导思考问题解决：类比求解.可以直接开方不可以直接开方意见不统一产生问题设计意图：问题来源于学生，并由学生讨论解决，体现学生是课堂的主体.问题解决：不可以直接开方.需进行分类讨论.问题解决：小组合作探究，突破教学难点，增强学习信心.提出问题2：由于不确定a 的正负，所以a 2=|a|.引导追问：是否必须要加上绝对值符号？解决问题：分类讨论，a 的正负不影响最终的讨论结果.设计意图：通过观察小组讨论结果，发现问题，再结合探究内容思考解决. 培养学生分析和解决问题的能力.同时乘以a：(ax)2+2∙ax∙b2+ac=0移项：(ax)2+2∙ax∙b2=−ac配方：ax+b22=b2−4ac4b2−4ac≥0时：开方：x=−b±b2−4ac2a新灵感追问：如何想到这种做法的？新灵感追问：如何想到这种做法的？类比用配方法解方程：4x 2+4x +1=0(2x)2+2∙2x ∙1+12=0配方：2x +12=0同时乘以4a：(2ax)2+2∙2ax∙b+4ac=0配方：2ax+b2=b2−4ac新灵感深入思考,提出问题：能否将方程两边同时乘以4a再配方？结果会更简洁吗？同时乘以a：(ax)2+2∙ax∙b2+ac=0移项：(ax)2+2∙ax∙b2=−ac配方：ax+b22=b2−4ac4b2−4ac≥0时：开方：x=−b±b2−4ac2a 同时乘以4a:(2ax)2+2∙2ax∙b+4ac=0配方：2ax+b2=b2−4ac感悟：“学”因“教”而日进，“教”因“学”而益深.独立思考提出问题小组合作探究问题成果展示解决问题设计意图：学生亲身感受知识的生成过程，在交流中积累合作探究的经验，发展逻辑推理能力.以学生为主体独立思考提出问题小组合作探究问题成果展示解决问题教学目标2：在探究中，体会从特殊到一般的转化思想，在合作交流中发展逻辑推理能力.以学生为主体part 4.4 内化运用梳理探究思路板书讨论结果设计意图：引导学生将讨论结果规范化；揭露探究过程的实质：从特殊到一般的转化.介绍数学史揭秘计算器设计意图：揭秘计算器，有前呼后应的作用；融入数学史，渗透数学文化，体会程式化运算中的模型思想.规范格式归纳步骤分组练习课堂练习：练习题体现一元二次方程的实数解的三种情况，使学生掌握不同情况的书写格式.教师观察展示作业学生互评教师点评学生自评设计意图：了解学生对用公式法解一元二次方程的掌握程度.设计意图：让学生发现易错点，明确规范书写格式的重要性；发展数学运算素养，激发学生的参与热情.教师观察展示作业学生互评教师点评学生自评教学目标3：掌握求根公式特征，会用公式求解一元二次方程.设计意图：让学生发现易错点，明确规范书写格式的重要性；发展数学运算素养，激发学生的参与热情.part 4.5 小结升华师生总结基本知识数学思想➢公式如何来？➢公式如何用？设计意图：回顾重点内容，总结思想方法，构建知识体系，培养学生总结能力与反思习惯，为后续学习奠基.整体分类讨论类比特殊到一般板书设计多媒体展示屏幕2.3 用公式法求解一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)求根公式推导例题讲解归纳求根公式Part 5 目标检测设计课堂检测课后检测目标检测Part 5 目标检测设计选做题：旨在让学有余力的学生明确拓展的方向.必做题：习题2.5，力图让所有学生达到课标的要求.学科交织综合下节课的伏笔重视数学活动经验的积累基础较好自主学习能力较强思维活跃6.1 设计思路6.2 教学线索6.3 反思评价6.1 设计思路6.2 教学线索6.3 反思评价112233445自主探索小组合作深入探究成果展示总结运用转化模型类比分类线索一：基于知识生成线索二：基于数学思想方法认真思考积极探讨Part 6 教学反思与评价踊跃发言预设外的惊喜通过本节课的学习，让学生在数学活动中积累经验，提升能力，发展素养，学习用数学思维思考世界，用数学语言表达世界.6.1设计思路6.3 反思评价6.2 教学线索。
