江西南昌二中18-19学度高二上年末考试-数学(理)

2019-2020学年江西省南昌市第二中学高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．复数3z i =-的虚部为（ ） A ．3 B ．1- C ．iD ．i -【答案】B【解析】根据复数虚部的概念，选出正确选项. 【详解】根据复数虚部值知识可知，复数3z i =-的虚部为1-. 故选：B 【点睛】本小题主要考查复数虚部的概念，属于基础题.2．用反证法证明命题：“,N a b ∈，若ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除．”时，假设的内容应该是（ ） A ．,a b 都不能被5整除 B ．,a b 都能被5整除 C ．,a b 不都能被5整除 D ．a 能被5整除【答案】A【解析】根据反证法的概念，即可得到命题的假设，解得求解. 【详解】根据反证法的概念可得：用反证法证明命题：“,N a b ∈，若ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除．”时，假设的内容应该是“,a b 都不能被5整除”，故选A. 【点睛】本题主要考查了反证法的概念，其中解答中熟记反证法的基本概念，根据命题的否定，准确书写是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 3．函数()cos x f x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为（ ） A ．0 B ．4π C ．1 D ．2π 【答案】B【解析】试题分析：()cos sin x xf x e x e x -'=，令()1f x '=，则倾斜角为4π. 【考点】导数的几何意义.4．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“()p q ∨⌝”为真命题 B ．命题“若7a b +≠，则2a ≠或5b ≠”为真命题C ．命题“若函数()f x 的导函数()f x '满足0()0f x '=，则0x 是函数()f x 的极值点”的逆否命题是真命题D ．命题p ：0,sin 21x x x ∃>>-，则p ⌝为 0,sin 21x x x ∀>-…【答案】C【解析】对四个选项逐一分析，由此确定错误选项. 【详解】对于A 选项，由于命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以q ⌝为真命题，所以命题“()p q ∨⌝”为真命题，故A 选项正确.对于B 选项，原命题的逆否命题是“若2a =且5b =，则7a b +=”为真命题，所以原命题为真命题，故B 选项正确.对于C 选项，由于导数等于零的点不一定是极值点，所以原命题为假命题，所以其逆否命题为假命题，所以C 选项错误.对于D 选项，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知，D 选项正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查含有逻辑连接词命题的真假性，考查互为逆否命题的命题的真假性，考查全称命题与特称命题的否定，属于基础题.5．直线2(1)10x a y ++-=的倾斜角的取值范围是（ ） A ．3[,]4ππ B ．3[,]44ππC ．(0,]4π D ．3[,)4ππ 【答案】D【解析】求得直线的斜率的取值范围，由此求得直线倾斜角的取值范围. 【详解】 直线的斜率为211a -+，由于211a +≥，所以[)211,01a -∈-+，对应的倾斜角的取值范围是3[,)4ππ. 故选：D 【点睛】本小题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题. 6．若a R ∈，则“复数31aiz i-=+在复平面内对应的点在第三象限”是“3a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】化简复数31aiz i-=+，根据z 在复平面内对应的点在第三象限求得a 的取值范围，由此判断出正确选项. 【详解】 由于()()()()()313331112ai i a a iai z i i i ----+-===++-在复平面内对应的点在第三象限，所以()3030a a -<⎧⎨-+<⎩，解得3a >.所以“复数31aiz i -=+在复平面内对应的点在第三象限”是“3a >”的充要条件. 故选：C 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，考查充分、必要条件的判断.7．函数231()23f x x x =-在区间[0,6]上的最大值是（ ）A ．323B ．163C ．12D ．9【答案】A【解析】21232()40,0,4,(0)0,(4),(6)03f x x x x x f f f '=-===∴===. 8．22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（ ）A ．s 1＜s 2＜s 3B ．s 2＜s 1＜s 3C ．s 2＜s 3＜s 1D ．s 3＜s 2＜s 1【答案】B 【解析】3221321322217ln |ln 2||,.11133x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<选B.【考点】此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。

南昌二中2018—2019学年度上学期期末考试高二数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数3()f x x =，()f x '是()f x 的导函数，若0()12f x '=，则0x =（ ）A.2B ． 2-C ．2±D ．2．命题“对任意R x ∈,都有22019x ≥”的否定是（ ）A. 对任意R x ∈，都有22019x <B. 不存在R x ∈，使得22019x <C. 存在R x ∈0，使得202019x ≥D. 存在R x ∈0，使得202019x <3．复数(1)(2)z i i =++，则其对应复平面上的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．由直线6x π=-，6x π=，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B.1 5．已知函数2()xf x e x -=+，[1,3]x ∈，则下列说法正确的是( )A ．函数()f x 的最大值为13e +B ．函数()f x 的最小值为13e+ C ．函数()f x 的最大值为3 D ．函数()f x 的最小值为36. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数 B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 C ．a ，b ，c 都是奇数 D ．a ，b ，c 都是偶数7. 已知函数()2ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A. B. C. D.8．设函数()()2ln 1f x x m x =++有两个极值点，则实数m 的取值范围是( )A.()11,2-B.(10,2)C.(10,2]D. (]11,2-9. 已知函数2()1x f x e x x =+++与()23g x x =-，P 、Q 分别是函数()f x 、()g x 图象上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A B C D ．10．下列命题中，真命题是（ ）A ．设12,z z C ∈，则12z z +为实数的充要条件是21,z z 为共轭复数；B ．“直线l 与曲线C 相切”是“直线l 与曲线C 只有一个公共点”的充分不必要条件； C ．“若两直线12l l ⊥，则它们的斜率之积等于1-”的逆命题；D ．()f x 是R 上的可导函数，“若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=”的否命题．11.已知12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，两条渐近线分别为12,l l ，经过右焦点2F 垂直于1l 的直线分别交12,l l 于,A B 两点，若||||2||OA OB AB +=，且2F 在线段AB 上，则该双曲线的离心率为（ ）A B C. 2 D 12．已知函数20()(2)xt f x t t e dt ⎡⎤=-⎣⎦⎰，则()f x 在()0,+∞的单调递增区间是( )A ．(0,)+∞B ．C ．)+∞D ．(2,)+∞二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13．设函数)0(1)(>+=x x x x f ,观察：1)()(1+==x x x f x f ，12))(()(12+==x x x f f x f ， 13))(()(23+==x x x f f x f ，14))(()(34+==x xx f f x f ，，根据以上事实，由归纳推理可得：2019()f x = .14．4322x dx ππ- -+=⎰⎰．15．已知直线1:43110l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是．16．已知[1,2)a ∀∈，0(0,1]x ∃∈，使得00ln 22aax ax e m +>++，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分)已知命题:p 函数1)(23+-=mx x x f 在[1,2]x ∈上单调递减；命题:q 曲线22126x y m m-=--为双曲线． （Ⅰ）若“p 且q ”为真命题，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知函数3()2f x x x =+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,8)处的切线方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.19．(本小题满分12分)已知直线l 过点()0,1P ，圆22:680C x y x +-+=，直线l 与圆C 交于,A B 不同两点． （Ⅰ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在过点()6,4Q 且垂直平分弦AB 的直线1l ？若存在，求直线1l 斜率1k 的值，若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)已知函数1()ln(1)1xf x ax x-=+++（0x ≥），其中0a >． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求实数a 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，经过2F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且1F AB ∆的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）记12AF F ∆与12BF F ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．22. (本小题满分12分)已知函数()(2)(ln ln )f x ax a x =--（其中0x >，0a >），记函数()f x 的导函数为()()g x f x '=．（Ⅰ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得()0f x ≤对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由．南昌二中2018—2019学年度上学期期末考试高二数学（理）试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. CDABD BABBC AD二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13．20191xx + 14．8π 15．3 16. (,e 1)-∞-三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．【解析】（Ⅰ）若p 为真命题，2()320f x x mx '=-≤在[1,2]x ∈恒成立，即32m x ≥在[1,2]x ∈恒成立，∵32x 在[1,2]x ∈的最大值是3，∴3m ≥①若q 为真命题，则(2)(6)0m m -->，解得26m <<，②若“p 且q ”为真命题，即p ，q 均为真命题，所以326m m ≥⎧⎨<<⎩，解得36m ≤<，综上所述，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围为[3,6)；………………5分 （Ⅱ）若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，即p ，q 一真一假， 当p 真q 假时，326m m m ≥⎧⎨≤≥⎩或，解得6m ≥，当p 假q 真时，326m m <⎧⎨<<⎩，解得23m <<，综上所述，实数m 的取值范围为(2,3)[6,)+∞．………………………………………10分18．【解析】（Ⅰ）2()31f x x '=+，所以(2)13f '=………………………………………3分所以所求的切线方程为813(2)y x -=-，即13180x y --=………………………6分（Ⅱ）设切点为3000,2)x x x +-（，则200()31f x x '=+…………………………………7分所以切线方程为()()320000231()y x x x x x -+-=+- ……………………………9分 因为切线过原点，所以 ()()320000231x x x x -+-=-+，所以3022x =-，解得01x =-，…………………………………………………………11分 所以(1)4f '-=，故所求切线方程为4y x =， 又因为(1)4f -=-，切点为(1,4)-- ………12分 19． 【解析】（Ⅰ）法1：直线l 的方程为1y kx =+，则由{221680y kx x y x =++-+=得()()212690k x x x ++-+=由()()22=263610k k ∆--+>得224360k k -->，故304k -<<………………6分 法2：直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，圆心为C （3，0），圆的半径为1则圆心到直线的距离d =，因为直线与有交于A ，B1<，故304k -<<．………………6分（Ⅱ）假设存在直线1l 垂直平分于弦AB ，此时直线1l 过()()6,4,3,0Q C ， 则1404633k -==-，故AB 的斜率34k =-，由（1）可知，不满足条件． 所以，不存在直线1l 垂直于弦AB ． ………………12分20．【解析】（Ⅰ）求导函数可得22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-'=+=++++． ∵()f x 在1x =处取得极值，∴(1)0f '=，∴2204(1)a a -=+，解得1a =；…………4分经检验，1a =时()f x 在1x =处取得极小值，符合题意，所以1a = …………5分（Ⅱ）222()(1)(1)ax a f x ax x +-'=++， ∵0x ≥，0a >，∴10ax +>，10x +>．当2a ≥时，在区间[0,)+∞上()0f x '≥，()f x 递增，()f x 的最小值为(0)1f =．…8分当02a <<时，由()0f x '>，解得x >；由()0f x '<，解得0x ≤<．∴()f x的单调减区间为，单调增区间为)+∞．…………10分 于是，()f x在x =处取得最小值(0)1f f <=，不合． 综上可知，若f （x ）的最小值为1，则实数a 的取值范围是[2,)+∞．…………12分 21．【解析】（Ⅰ）因为1(1,0)F -为椭圆C 的焦点，所以1c =，由椭圆的定义知，1F AB ∆的周长为1212(||||)(||||)2248AF AF BF BF a a a +++=+==，解得2a =，所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；………………4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为1x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得22(34)690m y my ++-=，则122634m y y m +=-+，…………7分 12121212216||||(||||)234m S S F F y y y y m -=-=+=+，当0m =时，120S S -=， 当0m ≠时，1226||64343||||m S S m m m -==≤=++，（当且仅当3m =±12S S -的最大值为2．…………12分 22．【解析】（Ⅰ）12()()(ln ln )(2)()ln ln g x f x a a x ax a a a x a xx'==-+--=--+， ∴22()a g x x x '=--，∵0x >，0a >，∴22()0a g x x x'=--<恒成立， ∴()g x 的单调减区间为(0,)+∞，无递增区间；………………4分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以()0g x =在(0,)+∞上必存在实数根，不妨记0()0g x =，即002ln ln 0a a a x a x --+=，可得002ln ln 1x a ax =-+………（*）当0(0,)x x ∈时，()0g x >，即()0f x '>，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x <，即()0f x '<， 所以()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减， 所以max 000()()(2)(ln ln )f x f x ax a x ==--，………………8分 把（*）式代入可得max 000024()(2)(1)4f x ax ax ax ax =--=+-， 依题意max 0004()()40f x f x ax ax ==+-≤恒成立，又由基本不等式有00440ax ax +-≥，当且仅当0042ax ax ==时等号成立，解得02ax =，所以02x a =．代入（*）式得，2lnln a a =，所以2a a=，又∵0a >，所以解得a =综上所述，存在实数a =()0f x ≤对任意正实数x 恒成立．………………12分解法二：要使(2)(ln ln )0ax a x --≤对(0,)x ∀∈+∞恒成立，①20ax -≥即2x a ≥时，ln ln a x ≤，解得x a ≥，所以2max{,}x a a ≥， ②20ax -≤即2x a ≤时，ln ln a x ≥，解得x a ≤，所以2min{,}x a a≤，依题意可知，①、②应同时成立，则2a a=，又∵0a >，所以解得a =。

南昌市第二中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含分析班级 __________座号_____姓名__________分数__________一、选择题1．已知直线l⊥平面α，直线 m? 平面β，有下边四个命题：（1）α∥ β ? l ⊥ m，（ 2）α ⊥ β? l ∥ m，（3） l∥ m? α⊥ β，（ 4） l⊥ m? α ∥ β，此中正确命题是（）A ．（ 1）与（ 2） B．（ 1）与（ 3） C ．（ 2）与（ 4） D ．（ 3）与（ 4）2．设 f （x）与 g（x）是定义在同一区间 [a， b]上的两个函数，若函数 y=f （x）﹣ g（x）在 x∈[a，b]上有两个不一样的零点，则称 f（x）和 g（ x）在[a，b] 上是“关系函数”，区间 [a，b]称为“关系区间”．若 f（ x）=x 2﹣ 3x+4 与 g（x） =2x+m 在 [0， 3]上是“关系函数”，则 m 的取值范围为（）A ．（﹣，﹣2]B ．[ ﹣1， 0]C．（﹣∞，﹣ 2]D．（﹣，+∞）3．已知幂函数 y=f （x）的图象过点（，），则 f（ 2）的值为（）A ．B ．﹣C． 2 D．﹣ 24．一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线 PF1（ F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）A ．B ．C．D．xa － 1，x≤15．已知函数 f（ x）＝log a 1（ a＞ 0 且 a≠ 1），若 f（ 1）＝1，f（ b）＝－ 3，则 f（ 5－ b）＝（），x＞ 1x＋ 11 1A ．－ 4 B．－23 5C．－4 D．－46．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以 OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自暗影部分的概率是（）A ．1﹣B ． ﹣C ．D ．7． 点A 是椭圆上一点， F 1、 F 2 分别是椭圆的左、右焦点， I 是 △ AF 1F 2 的心里．若，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．8． 函数 f （ x ） =（ ）x2﹣ 9 的单一递减区间为（）A ．（﹣ ∞， 0）B ．（ 0， +∞）C ．（﹣ 9， +∞）D ．（﹣ ∞，﹣ 9）9． 已知 P （ x ，y ）为地区 内的随意一点， 当该地区的面积为 4 时，z=2x ﹣ y 的最大值是 （）A ．6B ． 0C ． 2D ． 210．已知在数轴上 0 和 3 之间任取一实数，则使“ log 2 x 1”的概率为（）A ．1B ．1C ．2D ．14831211．已知函数 f （ x ） =是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是（ ）A ．﹣ 3≤a ＜0B ．﹣ 3≤a ≤﹣2C ． a ≤﹣2D ． a ＜ 012．经过点 M 1,1 且在两轴上截距相等的直线是（ ）A ． x y 2 0B ． x y 1 0C ． x 1或 y 1D ． x y 2 0 或 x y 0二、填空题13．【 2017-2018 第一学期东台安丰中学高三第一次月考】 函数 f xlnx x 2 的单一递加区间为 __________ ． 14． 已知点 E 、F 分别在正方体的棱上，且,,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于.15．抛物线 y2=4x 的焦点为F，过 F 且倾斜角等于的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点 A ，则 AF 的长为．16．设,则的最小值为。

南昌二中2018—2019学年度上学期期中考试高二数学(理科)试卷一、选择题（每小题5分，共60分。

）1.抛物线y2＝－12x的准线方程是( )A. x＝－3B. x＝3C. y＝3D. y＝－3【答案】 B【解析】【分析】根据题意，由抛物线的准线方程分析可得其焦点在x轴负半轴上，且p=6，由准线方程计算可得答案．【详解】根据题意，抛物线的标准方程为y2=﹣12x，其焦点在x轴负半轴上，且p=6，则其准线方程为x=3；故选：B．【点睛】本题考查抛物线的标准方程以及准线方程的求法，关键是掌握由抛物线的标准方程求准线方程的方法．2.当时，方程所表示的曲线是（）A. 焦点在轴的椭圆B. 焦点在轴的双曲线C. 焦点在轴的椭圆D. 焦点在轴的双曲线【答案】 D【解析】【分析】先化简方程得，即得曲线是焦点在轴的双曲线.【详解】化简得，因为ab＜0,所以＞0，所以曲线是焦点在轴的双曲线.故答案为： D【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.3.若以双曲线（）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（）A. B. 1 C. D. 2【答案】 B【解析】【分析】由题意，以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，可得（1﹣c，）?（1+c，）=0，求出c，即可求出b．【详解】由题意，以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，∴（1﹣c，）?（1+c，）=0，∴1﹣c2+2=0，∴c=，∵a=，∴b=1．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确求出c是关键．4.抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（）A. （1，1）B.C.D. （2，4）【答案】 A【解析】【分析】设抛物线y=x2上一点为A（x0，），点A（x0，）到直线2x﹣y﹣4=0的距离d==，由此能求出抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标．【详解】设抛物线y=x2上一点为A（x0，），点A（x0，）到直线2x﹣y﹣4=0的距离d==，∴当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短．故选：A．【点睛】本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，考查二次函数的最值，属于基础题.5.圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则( )A. B. 4 C. 2 D.【答案】 D【解析】【分析】分别化为直角坐标方程，利用两点之间的距离公式即可得出．【详解】圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得：x2+y2=4x，配方为：（x﹣2）2+y2=4．圆心为C（2，0），点P的极坐标为（4，），化为直角坐标．则|CP|=2．故选：D．【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程互化、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.P是椭圆上一动点，F1和F2是左右焦点，由F2向的外角平分线作垂线，垂足为Q，则Q点的轨迹为( )A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】 B【解析】【分析】。

绝密★启用前江西省南昌市第二中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．抛物线y 2＝－12x 的准线方程是A ．x ＝－3B ．x ＝3C ．y ＝3D ．y ＝－3 2．当ab <0时，方程ax 2−ay 2=b 所表示的曲线是A ．焦点在x 轴的椭圆B ．焦点在x 轴的双曲线C ．焦点在y 轴的椭圆D ．焦点在y 轴的双曲线3．若以双曲线x 22−y 2b 2=1（b >0）的左、右焦点和点（1， 2）为顶点的三角形为直角三角形，则b 等于A ．12 B ．1 C ． D ．24．抛物线y =x 2上一点到直线2x −y −4=0的距离最短的点的坐标是 A ．（1，1） B ．(12,14) C ．(32,94) D ．（2，4）5．圆的极坐标方程为ρ=4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为 4,π3 ，则|CP |= A ．4 3 B ．4C ．2 D ．6．P 是椭圆上一动点，F 1和F2是左右焦点，由F 2向∠F 1PF 2的外角平分线作垂线，垂足为Q ，则Q 点的轨迹为A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线7．设椭圆x 2a2+y 2b 2=1（a >b >0）的离心率为12，右焦点F （c ，0），方程ax 2+bx −c =0的两个根分别为x 1，x 2，则点P （x 1，x 2）在A ．圆x 2+y 2=2内B ．圆x 2+y 2=2上C ．圆x 2+y 2=2外D ．以上三种都有可能8．过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线与双曲线x 2−y 23=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A ， B 两点，若|AF | > |BF |，且|AF | =2，则抛物线的方程为A ．y 2=2xB ．y 2=3xC ．y 2=4xD ．y 2=x9．已知圆O :x 2+y 2=1,P 是圆O 上任意一点，过点P 向x 轴作垂线，垂足为P ′，点Q 在线段PP ′上，且PQ →=2QP ′→，则点Q 的轨迹方程是A ．9x 2+y 2=1 B ．x 2+y 24=1 C ．x 2+9y 2=1 D ．x 2+y 29=110．F 1，F 2分别是双曲线x 24−y 2b (b >0)的左右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别交于B ，A 两点．若ΔABF 2为等边三角形，则ΔBF 1F 2的面积为A ．8B ．8C ．8 3D ．1611．在直角坐标系xOy 中,抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线为l ，点P 是准线l 上任一点，直线PF 交抛物线于A ，B 两点，若FP=4FA ，则ΔAOB 的面积S = A ．4 B ． 2 C ．8 D ．3 2212．设双曲线x 2a −y 2b =1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ,B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP =λOA +μOB (λ,μ∈R )，λ⋅μ=316，则双曲线的离心率为A ．2 33B ．3 55C ．3 22D ．98二、填空题13．点(−1,1)关于直线x −y −1=0的对称点是______.14．已知双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线均和圆C :x 2+y 2−6x +5=0 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为_____.15．设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2+y 2b =1 0<b <1 的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点，若 AF 1 =3 BF 1 ，AF 2⊥x 轴，则b 的值为_____.此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号16．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1 , F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若PF1=10，双曲线的离心率的取值范围为1 , 2．则该椭圆的离心率的取值范围是________．三、解答题17．已知ΔABC的三个顶点为A(4,0)、B(8,10)、C(0,6).（1）求过点A且平行于BC的直线方程；（2）求过点B且与A、C距离相等的直线方程.18．在极坐标系中，极点为O，已知曲线C1：ρ=2与曲线C2：ρsin(θ−π4)=2交于不同的两点A，B．（1）求|AB|的值；（2）求过点C(1,0)且与直线AB平行的直线l的极坐标方程．19．已知动圆C与定圆x2+y2=1内切，与直线x=3相切.（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程；（Ⅱ）若Q是上述轨迹上一点，求Q到点P(m,0)距离的最小值．20．设直线l：y=2x﹣1与双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）相交于A、B两个不同的点，且OA⋅OB=0（O为原点）．（1）判断1a −1b是否为定值，并说明理由；（2）当双曲线离心率e∈(2,3)时，求双曲线实轴长的取值范围．21．F为抛物线C:y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A、B两点，C的准线与x轴的交点为E，动点P满足EP=EB+EA．（1）求点P的轨迹方程；（2）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．22．如图，已知椭圆x2a +y2b=1（a>b>0）的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(2+1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1⋅k2为定值；（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|⋅|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．。

2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．抛物线y2＝－12x的准线方程是A．x＝－3 B．x＝3 C．y＝3 D．y＝－32．当ab<0时，方程ax2−ay2=b所表示的曲线是A．焦点在x轴的椭圆B．焦点在x轴的双曲线C．焦点在y轴的椭圆D．焦点在y轴的双曲线3．若以双曲线x22−y2b2=1（b>0）的左、右焦点和点（1，2）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于A．12B．1 C．D．24．抛物线y=x2上一点到直线2x−y−4=0的距离最短的点的坐标是A．（1，1）B．(12,14)C．(32,94)D．（2，4）5．圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为4,π3，则|CP|= A．43B．4C．2 D．6．P是椭圆上一动点，F1和F2是左右焦点，由F2向∠F1PF2的外角平分线作垂线，垂足为Q，则Q点的轨迹为A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线 7．设椭圆x 2a2+y 2b 2=1（a >b >0）的离心率为12，右焦点F （c ，0），方程ax 2+bx −c =0的两个根分别为x 1，x 2，则点P （x 1，x 2）在A ．圆x 2+y 2=2内B ．圆x 2+y 2=2上C ．圆x 2+y 2=2外D ．以上三种都有可能8．过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线与双曲线x 2−y 23=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A ， B 两点，若|AF | > |BF |，且|AF | =2，则抛物线的方程为A ．y 2=2xB ．y 2=3xC ．y 2=4xD ．y 2=x9．已知圆O :x 2+y 2=1,P 是圆O 上任意一点，过点P 向x 轴作垂线，垂足为P ′，点Q 在线段PP ′上，且PQ →=2QP ′→，则点Q 的轨迹方程是A ．9x 2+y 2=1 B ．x 2+y 24=1 C ．x 2+9y 2=1 D ．x 2+y 29=110．F 1，F 2分别是双曲线x 24−y 2b (b >0)的左右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别交于B ，A 两点．若ΔABF 2为等边三角形，则ΔBF 1F 2的面积为A ．8B ．8C ．8 3D ．1611．在直角坐标系xOy 中,抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线为l ，点P 是准线l 上任一点，直线PF 交抛物线于A ，B 两点，若FP=4FA ，则ΔAOB 的面积S = A ．4 B ． 2 C ．8 D ．3 2212．设双曲线x 2a −y 2b =1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ,B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，λ⋅μ=316，则双曲线的离心率为A ．2 33B ．3 55C ．3 22D ．98二、填空题13．点(−1,1)关于直线x −y −1=0的对称点是______.14．已知双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线均和圆C :x 2+y 2−6x +5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为_____.15．设F1,F2分别是椭圆E:x2+y2b=10<b<1的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A,B两点，若AF1=3BF1，AF2⊥x轴，则b的值为_____.16．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1 , F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若PF1=10，双曲线的离心率的取值范围为1 , 2．则该椭圆的离心率的取值范围是________．三、解答题17．已知ΔABC的三个顶点为A(4,0)、B(8,10)、C(0,6).（1）求过点A且平行于BC的直线方程；（2）求过点B且与A、C距离相等的直线方程.18．在极坐标系中，极点为O，已知曲线C1：ρ=2与曲线C2：ρsin(θ−π4)=2交于不同的两点A，B．（1）求|AB|的值；（2）求过点C(1,0)且与直线AB平行的直线l的极坐标方程．19．已知动圆C与定圆x2+y2=1内切，与直线x=3相切.（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程；（Ⅱ）若Q是上述轨迹上一点，求Q到点P(m,0)距离的最小值．20．设直线l：y=2x﹣1与双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）相交于A、B两个不同的点，且OA⋅OB=0（O为原点）．（1）判断1a −1b是否为定值，并说明理由；（2）当双曲线离心率e∈(3)时，求双曲线实轴长的取值范围．21．F为抛物线C:y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A、B两点，C的准线与x轴的交点为E，动点P满足EP=EB+EA．（1）求点P的轨迹方程；（2）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．22．如图，已知椭圆x2a +y2b=1（a>b>0）的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(2+1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1⋅k2为定值；（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|⋅|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】根据题意，由抛物线的准线方程分析可得其焦点在x轴负半轴上，且p=6，由准线方程计算可得答案．【详解】根据题意，抛物线的标准方程为y2=﹣12x，其焦点在x轴负半轴上，且p=6，则其准线方程为x=3；故选：B．【点睛】本题考查抛物线的标准方程以及准线方程的求法，关键是掌握由抛物线的标准方程求准线方程的方法．2．D【解析】【分析】先化简方程得y2−x2=−ba，即得曲线是焦点在y轴的双曲线. 【详解】化简得y2−x2=−ba ，因为ab＜0,所以−ba＞0，所以曲线是焦点在y轴的双曲线.故答案为：D【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 3．B【解析】【分析】由题意，以双曲线x 22﹣y2b=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，2）为顶点的三角形为直角三角形，可得（1﹣c，2）•（1+c，2）=0，求出c，即可求出b．【详解】由题意，以双曲线x 22﹣y2b=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，2）为顶点的三角形为直角三角形，∴（1﹣c，2）•（1+c，2）=0，∴1﹣c2+2=0，∴c=，∵a=，∴b=1．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确求出c是关键．4．A【解析】【分析】设抛物线y=x2上一点为A（x0，x02），点A（x0，x02）到直线2x﹣y﹣4=0的距离d=0024+1=55|(x0−1)2+3|，由此能求出抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标．【详解】设抛物线y=x2上一点为A（x0，x02），点A（x0，x02）到直线2x﹣y﹣4=0的距离d=0024+1=55|(x0−1)2+3|，∴当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短．故选：A．【点睛】本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，考查二次函数的最值，属于基础题.5．D【解析】【分析】分别化为直角坐标方程，利用两点之间的距离公式即可得出．【详解】圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得：x2+y2=4x，配方为：（x﹣2）2+y2=4．圆心为C（2，0），点P的极坐标为（4，π3），化为直角坐标(2，23)．则|CP|=23．故选：D．【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程互化、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．B【解析】【分析】如图所示，设F2Q交F1P于点M，由已知可得：PQ⊥F2M，∠F2PQ=∠MPQ．可得MP=F2P，点Q为线段F2M的中点．连接OQ，利用三角形中位线定理、椭圆与圆的定义即可得出．【详解】如图所示，设F2Q交F1P于点M，由已知可得：PQ⊥F2M，∠F2PQ=∠MPQ．∴MP=F2P，点Q为线段F2M的中点．连接OQ，则OQ为△F1F2M的中位线，∴OQ=12MF1．∵MF1=F1P+F2P=2a．∴OQ=a．∴Q点的轨迹是以点O为圆心，a为半径的圆．故选：B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理、三角形中位线定理、椭圆与圆的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．A【解析】试题分析：∵椭圆的离心率e=ca =12∴c=12a,b= a2−c2=32a∴ax2+bx−c=ax2+32ax−12a=0∵a≠0∴x2+32x−12=0，又该方程两个实根分别为x1,x2，∴x1+x2=−32,x1x2=−12∴x12+x12=(x1+x2)2−2x1x2=74<2．∴点P在圆x2+y2=2的内部．考点：1．椭圆的简单性质；2．点与圆的位置关系8．A【解析】试题分析：抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的坐标为(p2,0)，准线方程为x =−p2，与双曲线x 2−y 23=1的渐近线方程为y =± 3x ，由于过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线与双曲线x 2−y 23=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A ,B 两点，且|AF |>|BF |，所以可设直线AB 方程为：，设A (x 0,y 0)(x 0>p 2)，则|AF |=x 0+p 2=2,x 0=2−p2，由x 0>p2可得0<p <2，所以y 0= 3(2−p )，由3(2−p )2=2p (2−p2)得p =1或p =3（舍去），所以抛物线方程为y 2=2x ，故选A.考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.抛物线和双曲线的定义与性质.【名师点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线和双曲线的定义与性质，属中档题；解决抛物线弦长相关问题时，要注意抛物线定义的应用，即将到焦点的距离转化为到准线的距离，通过解方程组求解相关问题即可.9．C 【解析】设点P (x ,y ),P ′(x ,0),Q (x ,y 0)，根据PQ →=2QP ′→，因为三点在同一条竖直的线上故得到y =3y 0,x =x 0，P 是圆O 上任意一点，将点坐标代入得到x 2+9y 02=1故答案为：B 。

2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期第一次月考数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．直线的倾斜角是tan 2,,2y x πααπ⎛⎫=-⋅+∈ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．α2πα-α-πα-2．若椭圆的一个焦点坐标为(1,0)，则m 的值为x 24+y 2m 2=1(m >0)A ．5B ．3C ．D ．533．如果两条直线：与：平行，那么等于l 1ax +2y +6=0l 2x +(a ‒1)y +3=0a A ．2或-1B ．2C ．-1D ．234．若满足约束条件，则的取值范围是x,y {y ≤x x +4y ≥4x +y ‒3≤0yx +1A ．B ．C ．D ．[53,11][111,35][35,11][111,53]5．圆关于直线对称，则的值是(x ‒1)2+(y ‒1)2=2y =kx +3k A ． B ． C ．D ．2‒21‒16．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，且线段的中点为C:x2a 2+y 2b2=1(a >b >0)32l C A,B AB ，则直线的斜率为M (‒2,1)l A ． B ．C ．D ．13321217．设是椭圆的长轴，若把线段100等分，过每个分点作的垂线，交椭AB x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)AB AB 圆的上半部分于、、… 、 ，为椭圆的左焦点，则P 1P 2P 99F 1的值是|F 1A |+|F 1P 1|+|F 1P 2|+...+|F 1P 99|+|F 1B |A ．B ．C ．D ．98a 99a 100a 101a8．一条光线从点（-2，-3）射出，经y 轴反射与圆相切，则反射光线所在的直线(x +3)2+(y ‒2)2=1的斜率为A ．或B ．或C ．或D ．或‒53‒35‒32‒23‒54‒45‒43‒349．下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，、是多边形的顶点，A B 椭圆过且均以图中的为焦点，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为，则A(和B ）F 1、F 2e 1、e 2、e 3A ．B ．C ．D ．e 1>e 2>e 3e 3>e 1>e 2e 1<e 2<e 3e 1<e 3<e 210．已知点是直线上一动点，直线是圆的两条切线，(),P x y 240x y -+=,PA PB 22:20C x y y ++=为切点， 为圆心，则四边形面积的最小值是,A B C PACB A ．2B C ．D ．452511．已知椭园，为长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且，C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)A(2,0)BC O AC ⋅BC =0，则其短轴长为|OB ‒OC |=2|BC ‒BA |A ．B ．C ．D ．26343346323312．已知椭圆的左右焦点分别为，，点P 在椭圆C 上，线段与圆：C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)F 1F 2PF 2相切于点Q ，若Q 是线段的中点，e 为C的离心率，则的最小值为x 2+y 2=b 2PF 2a 2+e 23b A ． B ． C ． D ．235333263二、解答题13．已知正方形的中心为直线和直线的交点，其一边所在直线方程为x ‒y +1=02x +y +2=0x +3y ‒2=0(1)写出正方形的中心坐标；(2)求其它三边所在直线的方程（写出一般式）.14．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点，两点；P 1(‒6,1)P 2(3,‒2)（2）在轴上的一个焦点与短轴上两顶点的连线互相垂直，且过点.x (‒3,322)15．红谷隧道是江西南昌穿越赣江的一条过江行车通道，总长2997米，在南昌大桥和新八一大桥之间，也是国内最大的水下立交系统.已知隧道截面是一圆拱形（圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷道拱部的形状），路面宽度米，高4米.车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.5米，高为3.5米的货车能否驶入这45个隧道？请说明理由.（参考数据：）14≈3.74，11≈3.3116．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，AB B (‒1,0)A (x ‒7)2+y 2=16（1）求线段中点的轨迹方程；AB M （2）设点，记的轨迹方程所对应的曲线为，若过点且在两坐标轴上截距相等的直线与曲C (2,a ),(a >0)ΩC l 线相切，求的值及切线方程的斜截式．Ωa l 17．（12分）已知椭圆，椭圆C 的长轴长为4．2222:1(0)x y C a b b a +=>>（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线与椭圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰:l y kx =+好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．18．如图，已知椭圆的右焦点为，点分别是椭圆的上、下顶点，点是直线上O:x 24+y 2=1F B,C O P l:y =‒2的一个动点（与轴的交点除外），直线交椭圆于另一个点.y PC M （1）当直线经过椭圆的右焦点时，求的面积；PM F ΔFBM （2）①记直线的斜率分别为，求证：为定值；BM,BP k 1,k 2k 1⋅k 2②求的取值范围.PB ⋅PM 三、填空题19．圆：与圆：有_____条公切线．C 1x 2+y 2+4x ‒4y +7=0C 2x 2+y 2‒4x ‒10y +13=020．已知圆和点,是圆上一点，线段的垂直平分线交 于点，则点C ：(x +3)2+y 2=100B (3,0)P BP CP M M 的轨迹方程是_____________．21．已知是椭圆上的一点，是该椭圆的两个焦点，若的内切圆半径为，则P x 24+y 23=1F 1,F 2ΔF 1PF 212的值为__________．PF 1⋅PF 222．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的”折线距离”，d(P,Q)=|x 1‒x 2|+|y 1‒y 2|P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)则椭圆上一点P 与直线上一点Q 的”折线距离”的最小值为__________．x 22+y 2=13x +4y ‒12=02018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期第一次月考数学（理）试题数学 答 案参考答案1．D【解析】由题意得： ， ， 在内正()tan tan k απα=-=- ,,0,22ππαππα⎛⎫⎛⎫∈∴-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴[]0,π切值为的角唯一， 倾斜角为，故选D.k ∴πα-2．D 【解析】【分析】先根据焦点的位置确定与2的大小关系，然后根据椭圆中间的关系求解．m a,b,c 【详解】∵椭圆的一个焦点坐标为(1,0)，x 24+y 2m 2=1(m >0)∴，4‒m 2=1∴，m 2=3又，m >0∴．m =3故选D ．【点睛】椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系为：当给出椭圆的方程为时，则椭圆的焦点在x 轴上x 2m+y 2n=1⇔m >n >0，椭圆的焦点在y 轴上⇔0<m <n ．3．C 【解析】【分析】先讨论斜率不存在时两条直线不可能平行；然后利用平行直线斜率相等，可求得，根据两条直线平行时a 不能重合，舍去不符合要求的答案即可。

南昌二中2019—2020学年度上学期期末考试高二数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i z -=3的虚部为（ ） A ．3B ．1-C ．iD ．i -2．用反证法证明命题：“,N a b ∈，若ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除．”时，假设的内容应该是（ ） A ．,a b 都不能被5整除 B ．,a b 都能被5整除 C ．,a b 不都能被5整除D ．a 能被5整除3．函数()cos xf x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为（ ）A ．0B ．4π C ．1 D ．2π 4．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“)(q p ⌝∨”为真命题 B ．命题“若7≠+b a ，则2≠a 或5≠b ”为真命题C ．命题“若函数)(x f 的导函数)('x f 满足0)(0'=x f ，则0x 是函数)(x f 的极值点”的逆否命题是真命题D ．命题p ：0,sin 21x x x ∃>>-，则⌝p 为 0,sin 21xx x ∀>-≤5.直线01)1(2=-++y a x 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．],43[ππB ．]43,4[ππC ．⎥⎦⎤⎝⎛4,0π D ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 6．若R a ∈，则“复数iaiz +-=13在复平面内对应的点在第三象限”是“3>a ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数231()23f x x x =-在区间[0,6]上的最大值是（ ） A ．323B ．163C ．12D ．98．若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231x S e dx =⎰，则123,,S S S 的大小关系为( )A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。

南昌市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 复数z=在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2． 在ABC ∆中，b =3c =，30B =，则等于（ ）A B ． C D ．2 3． 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,4,6A =，{}1,3,5,7B =，则()U AB =ð（ ）A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}2,4,5D ．{}2,54． 已知函数f （x ）满足f （x ）=f （π﹣x ），且当x ∈（﹣，）时，f （x ）=e x+sinx ，则（ ）A ．B ．C ．D ．5． 现准备将7台型号相同的健身设备全部分配给5个不同的社区，其中甲、乙两个社区每个社区至少2台，其它社区允许1台也没有，则不同的分配方案共有（ ）A ．27种B ．35种C ．29种D ．125种6． 在下列区间中，函数f （x ）=（）x ﹣x 的零点所在的区间为（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3 ） D ．（3，4）7． 设集合A={x|y=ln （x ﹣1）}，集合B={y|y=2x }，则AB （ ）A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）D ．（1，2）8． 四棱锥P ﹣ABCD 的底面是一个正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=2，E 是棱PA 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．9． 已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线（ ）A ．只有一条，不在平面α内B ．只有一条，在平面α内C ．有两条，不一定都在平面α内D ．有无数条，不一定都在平面α内10．设a ∈R ，且（a ﹣i ）•2i （i 为虚数单位）为正实数，则a 等于（ ）A ．1B ．0C ．﹣1D ．0或﹣111．已知x ，y 满足时，z=x ﹣y 的最大值为（ ） A ．4 B ．﹣4 C ．0 D ．2 12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m ＞1，且a m ﹣1+a m+1﹣a m 2=0，S 2m ﹣1=38，则m 等于（ ）A ．38B ．20C ．10D ．9二、填空题13．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y=（）t ﹣a （a 为常数），如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．14．在△ABC 中，已知=2，b=2a ，那么cosB 的值是 ．15．若log 2（2m ﹣3）=0，则e lnm ﹣1= ．16．设曲线y=x n+1（n ∈N *）在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n =lgx n ，则a 1+a 2+…+a 99的值为 ．17．数列{a n }是等差数列，a 4=7，S 7= ．18．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的度数等于__________.三、解答题19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，且2S n=a n+1+2n．（1）求a2；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）令b n=（2n﹣1）（a n﹣1），求数列{b n}的前n项和T n．20．设A（x0，y0）（x0，y0≠0）是椭圆T：+y2=1（m＞0）上一点，它关于y轴、原点、x轴的对称点依次为B，C，D．E是椭圆T上不同于A的另外一点，且AE⊥AC，如图所示．（Ⅰ）若点A横坐标为，且BD∥AE，求m的值；（Ⅱ）求证：直线BD与CE的交点Q总在椭圆+y2=（）2上．21．已知函数f （x ）=（log 2x ﹣2）（log 4x ﹣） （1）当x ∈[2，4]时，求该函数的值域；（2）若f （x ）＞mlog 2x 对于x ∈[4，16]恒成立，求m 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 是椭圆上1122|,||PF F F PF 成等差数列．（1）求椭圆C 的标准方程；、（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A B 、两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB ⋅=-恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．23．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b=6，a+c=8，求△ABC 的面积．24．（本小题满分12分）设f（x）＝－x2＋ax＋a2ln x（a≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）是否存在a＞0，使f（x）∈[e－1，e2]对于x∈[1，e]时恒成立，若存在求出a的值，若不存在说明理由．南昌市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．2．【答案】C【解析】考点：余弦定理．3．【答案】A考点：集合交集，并集和补集．【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.4．【答案】D【解析】解：由f（x）=f（π﹣x）知，∴f（）=f（π﹣）=f（），∵当x∈（﹣，）时，f（x）=e x+sinx为增函数∵＜＜＜，∴f（）＜f（）＜f（），∴f（）＜f（）＜f（），故选：D5．【答案】B【解析】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】根据题意，可将7台型号相同的健身设备看成是相同的元素，首先分给甲、乙两个社区各台设备，再将余下的三台设备任意分给五个社区，分三种情况讨论分配方案，①当三台设备都给一个社区，②当三台设备分为1和2两份分给2个社区，③当三台设备按1、1、1分成三份时分给三个社区，分别求出其分配方案数目，将其相加即可得答案．【解答】解：根据题意，7台型号相同的健身设备是相同的元素，首先要满足甲、乙两个社区至少2台，可以先分给甲、乙两个社区各2台设备，余下的三台设备任意分给五个社区，分三种情况讨论：①当三台设备都给一个社区时，有5种结果，②当三台设备分为1和2两份分给2个社区时，有2×C52=20种结果，③当三台设备按1、1、1分成三份时分给三个社区时，有C53=10种结果，∴不同的分配方案有5+20+10=35种结果；故选B．【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，其次注意型号相同的健身设备是相同的元素．6．【答案】A【解析】解：函数f（x）=（）x﹣x，可得f（0）=1＞0，f（1）=﹣＜0．f（2）=﹣＜0，函数的零点在（0，1）．故选：A．7．【答案】A【解析】解：集合A={x|y=ln（x﹣1）}=（1，+∞），集合B={y|y=2x}=（0，+∞）则A∪B=（0，+∞）故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．8．【答案】B【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），E（0，0，1），A（0，0，0），C（2，2，0），=（﹣2，0，1），=（2，2，0），设异面直线BE与AC所成角为θ，则cosθ===．故选：B．9．【答案】B【解析】解：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n∴m∥l且n∥l由平行公理4得m∥n这与两条直线m与n相交与点P相矛盾又因为点P在平面内所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内所以假设错误．故选B．【点评】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型．10．【答案】B【解析】解：∵（a﹣i）•2i=2ai+2为正实数，∴2a=0，解得a=0．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．11．【答案】A【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（6，2），化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．12．【答案】C【解析】解：根据等差数列的性质可得：a m﹣1+a m+1=2a m，则a m﹣1+a m+1﹣a m2=a m（2﹣a m）=0，解得：a m=0或a m=2，若a m等于0，显然S2m﹣1==（2m﹣1）a m=38不成立，故有a m=2，∴S2m﹣1=（2m﹣1）a m=4m﹣2=38，解得m=10．故选C二、填空题13．【答案】0.6【解析】解：当t＞0.1时，可得1=（）0.1﹣a∴0.1﹣a=0a=0.1由题意可得y≤0.25=，即（）t﹣0.1≤，即t﹣0.1≥解得t≥0.6，由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．故答案为：0.6【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，得到其他错误答案．14．【答案】．【解析】解：∵=2，由正弦定理可得：，即c=2a．b=2a，∴==．∴cosB=．故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【答案】．【解析】解：∵log2（2m﹣3）=0，∴2m﹣3=1，解得m=2，∴e lnm﹣1=e ln2÷e=．故答案为：．【点评】本题考查指数式化简求值，是基础题，解题时要注意对数方程的合理运用．16．【答案】﹣2．【解析】解：∵曲线y=x n+1（n∈N*），∴y′=（n+1）x n，∴f′（1）=n+1，∴曲线y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，∵a n=lgx n，∴a n=lgn﹣lg（n+1），∴a1+a2+…+a99=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100）=lg1﹣lg100=﹣2．故答案为：﹣2．17．【答案】49【解析】解：==7a4=49．故答案：49．【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．18．【答案】120【解析】考点：解三角形．【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于基础题，本题的解答中根据A B C=，根据正弦定理，可设3,5,7sin:sin:sin3:5:7===，即可利用余弦定理求解最大角的余弦，a b熟记正弦、余弦定理的公式是解答的关键．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）当n=1时，2S1=2a1=a2+2，∴a2=4…1；（2）当n≥2时，2a n=2s n﹣2s n﹣1=a n+1+2n﹣a n﹣2（n﹣1）=a n+1﹣a n+2，∴a n+1=3a n﹣2，∴a n+1﹣1=3（a n﹣1）…4，∴，∴{a n﹣1}从第二项起是公比为3的等比数列…5，∵，∴，∴；（3）∴ (8)∴① (9)∴②①﹣②得：，=，=（2﹣2n）×3n﹣4， (11)∴ (12)【点评】本题考查等比数列的通项公式，数列的递推公式，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．20．【答案】【解析】（Ⅰ）解：∵BD∥AE，AE⊥AC，∴BD⊥AC，可知A（），故，m=2；（Ⅱ）证明：由对称性可知B（﹣x0，y0），C（﹣x0，﹣y0），D（x0，﹣y0），四边形ABCD为矩形，设E（x1，y1），由于A，E均在椭圆T上，则，由②﹣①得：（x1+x0）（x1﹣x0）+（m+1）（y1+y0）（y1﹣y0）=0，显然x1≠x0，从而=，∵AE⊥AC，∴k AE•k AC=﹣1，∴，解得，代入椭圆方程，知．【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，关键是利用椭圆的对称性寻求点的坐标间的关系，体现了整体运算思想方法，是中档题．21．【答案】【解析】解：（1）f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣）=（log2x）2﹣log2x+1，2≤x≤4令t=log2x，则y=t2﹣t+1=（t﹣）2﹣，∵2≤x≤4，∴1≤t≤2．当t=时，y min=﹣，当t=1，或t=2时，y max=0．∴函数的值域是[﹣，0]．（2）令t=log2x，得t2﹣t+1＞mt对于2≤t≤4恒成立．∴m＜t+﹣对于t∈[2，4]恒成立，设g（t）=t+﹣，t∈[2，4]，∴g（t）=t+﹣=（t+）﹣，∵g（t）=t+﹣在[2，4]上为增函数，∴当t=2时，g（t）min=g（2）=0，∴m＜0．22．【答案】【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力，以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用．下面证明54m =时，716QA QB ⋅=-恒成立． 当直线l 的斜率为0时，结论成立；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由1x ty =+及2212x y +=，得22(2)210t y ty ++-=， 所以0∆>，∴12122221,22t y y y y t t +=-=-++． 111x ty =+，221x ty =+，∴112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -⋅-=--+=2(1)t +121211()416y y t y y -++＝22222211212217(1)242162(2)1616t t t t t t t t --+-++⋅+=+=-+++．综上所述，在x 轴上存在点5(,0)4Q 使得716QA QB ⋅=-恒成立． 23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由2bsinA=a ，以及正弦定理，得sinB=，又∵B 为锐角，∴B=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB ， ∴a 2+c 2﹣ac=36，∵a+c=8，∴ac=，∴S △ABC ==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣24．【答案】【解析】解：（1）f （x ）＝－x 2＋ax ＋a 2ln x 的定义域为{x |x ＞0}，f ′（x ）＝－2x ＋a ＋a 2x＝－2（x ＋a2）（x －a ）x.①当a ＜0时，由f ′（x ）＜0得x ＞－a2，由f ′（x ）＞0得0＜x ＜－a2.此时f （x ）在（0，－a2）上单调递增，在（－a2，＋∞）上单调递减；②当a ＞0时，由f ′（x ）＜0得x ＞a ， 由f ′（x ）＞0得0＜x ＜a ，此时f （x ）在（0，a ）上单调递增，在（a ，＋∞）上单调递减． （2）假设存在满足条件的实数a ， ∵x ∈[1，e]时，f （x ）∈[e －1，e 2]， ∴f （1）＝－1＋a ≥e －1，即a ≥e ，① 由（1）知f （x ）在（0，a ）上单调递增， ∴f （x ）在[1，e]上单调递增，∴f （e ）＝－e 2＋a e ＋e 2≤e 2，即a ≤e ，② 由①②可得a ＝e ，故存在a＝e，满足条件．。

南昌二中2018—2019学年度上学期期末考试高二数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数3()f x x =，()f x '是()f x 的导函数，若0()12f x '=，则0x =（ ）A.2 B ． 2-C ．2±D ．2．命题“对任意R x ∈,都有22019x ≥”的否定是（ ）A. 对任意R x ∈，都有22019x <B. 不存在R x ∈，使得22019x <C. 存在R x ∈0，使得202019x ≥D. 存在R x ∈0，使得202019x <3．复数(1)(2)z i i =++，则其对应复平面上的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．由直线6x π=-，6x π=，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为( )A.12B.15．已知函数2()xf x e x -=+，[1,3]x ∈，则下列说法正确的是( )A ．函数()f x 的最大值为13e +B ．函数()f x 的最小值为13e+ C ．函数()f x 的最大值为3 D ．函数()f x 的最小值为36. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数 B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 C ．a ，b ，c 都是奇数 D ．a ，b ，c 都是偶数7. 已知函数()2ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A. B. C. D.8．设函数()()2ln 1f x x m x =++有两个极值点，则实数m 的取值范围是( )A.()11,2-B.(10,2)C.(10,2]D. (]11,2-9. 已知函数2()1xf x e x x =+++与()23g x x =-，P 、Q 分别是函数()f x 、()g x 图象上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A ．5B C ．5D ．10．下列命题中，真命题是（ ）A ．设12,z z C ∈，则12z z +为实数的充要条件是21,z z 为共轭复数；B ．“直线l 与曲线C 相切”是“直线l 与曲线C 只有一个公共点”的充分不必要条件； C ．“若两直线12l l ⊥，则它们的斜率之积等于1-”的逆命题；D ．()f x 是R 上的可导函数，“若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=”的否命题．11.已知12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，两条渐近线分别为12,l l ，经过右焦点2F 垂直于1l 的直线分别交12,l l 于,A B 两点，若||||2||OA OB AB +=，且2F 在线段AB 上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B C. 2 D 12．已知函数20()(2)xt f x t t e dt ⎡⎤=-⎣⎦⎰，则()f x 在()0,+∞的单调递增区间是( )A ．(0,)+∞B ．C ．)+∞D ．(2,)+∞二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13．设函数)0(1)(>+=x x x x f ,观察：1)()(1+==x x x f x f ，12))(()(12+==x x x f f x f ， 13))(()(23+==x x x f f x f ，14))(()(34+==x xx f f x f ，，根据以上事实，由归纳推理可得：2019()f x = .14．4322x dx ππ- -+=⎰⎰．15．已知直线1:43110l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是．16．已知[1,2)a ∀∈，0(0,1]x ∃∈，使得00ln 22aax ax e m +>++，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分)已知命题:p 函数1)(23+-=mx x x f 在[1,2]x ∈上单调递减；命题:q 曲线22126x y m m-=--为双曲线． （Ⅰ）若“p 且q ”为真命题，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知函数3()2f x x x =+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,8)处的切线方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.19．(本小题满分12分)已知直线l 过点()0,1P ，圆22:680C x y x +-+=，直线l 与圆C 交于,A B 不同两点．（Ⅰ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在过点()6,4Q 且垂直平分弦AB 的直线1l ？若存在，求直线1l 斜率1k 的值，若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)已知函数1()ln(1)1xf x ax x-=+++（0x ≥），其中0a >． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求实数a 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，经过2F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且1F AB ∆的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）记12AF F ∆与12BF F ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．22. (本小题满分12分)已知函数()(2)(ln ln )f x ax a x =--（其中0x >，0a >），记函数()f x 的导函数为()()g x f x '=．（Ⅰ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得()0f x ≤对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由．南昌二中2018—2019学年度上学期期末考试高二数学（理）试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. CDABD BABBC AD二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13．20191xx + 14．8π 15．3 16. (,e 1)-∞-三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．【解析】（Ⅰ）若p 为真命题，2()320f x x mx '=-≤在[1,2]x ∈恒成立，即32m x ≥在[1,2]x ∈恒成立，∵32x 在[1,2]x ∈的最大值是3，∴3m ≥①若q 为真命题，则(2)(6)0m m -->，解得26m <<，②若“p 且q ”为真命题，即p ，q 均为真命题，所以326m m ≥⎧⎨<<⎩，解得36m ≤<，综上所述，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围为[3,6)；………………5分 （Ⅱ）若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，即p ，q 一真一假， 当p 真q 假时，326m m m ≥⎧⎨≤≥⎩或，解得6m ≥，当p 假q 真时，326m m <⎧⎨<<⎩，解得23m <<，综上所述，实数m 的取值范围为(2,3)[6,)+∞．………………………………………10分18．【解析】（Ⅰ）2()31f x x '=+，所以(2)13f '=………………………………………3分所以所求的切线方程为813(2)y x -=-，即13180x y --=………………………6分 （Ⅱ）设切点为3000,2)x x x +-（，则200()31f x x '=+…………………………………7分 所以切线方程为()()320000231()y x x x x x -+-=+- ……………………………9分 因为切线过原点，所以 ()()320000231x x x x -+-=-+，所以3022x =-，解得01x =-，…………………………………………………………11分所以(1)4f '-=，故所求切线方程为4y x =， 又因为(1)4f -=-，切点为(1,4)-- ………12分 19． 【解析】（Ⅰ）法1：直线l 的方程为1y kx =+，则由{221680y kx x y x =++-+=得()()212690k x x x ++-+=由()()22=263610k k ∆--+>得224360k k -->，故304k -<<………………6分 法2：直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，圆心为C （3，0），圆的半径为1则圆心到直线的距离d =，因为直线与有交于A ，B1<，故304k -<<．………………6分（Ⅱ）假设存在直线1l 垂直平分于弦AB ，此时直线1l 过()()6,4,3,0Q C ， 则1404633k -==-，故AB 的斜率34k =-，由（1）可知，不满足条件． 所以，不存在直线1l 垂直于弦AB ． ………………12分20．【解析】（Ⅰ）求导函数可得22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-'=+=++++． ∵()f x 在1x =处取得极值，∴(1)0f '=，∴2204(1)a a -=+，解得1a =；…………4分经检验，1a =时()f x 在1x =处取得极小值，符合题意，所以1a = …………5分（Ⅱ）222()(1)(1)ax a f x ax x +-'=++， ∵0x ≥，0a >，∴10ax +>，10x +>．当2a ≥时，在区间[0,)+∞上()0f x '≥，()f x 递增，()f x 的最小值为(0)1f =．…8分当02a <<时，由()0f x '>，解得x >；由()0f x '<，解得0x ≤<∴()f x的单调减区间为，单调增区间为)+∞．…………10分 于是，()f x在x =处取得最小值(0)1f f <=，不合． 综上可知，若f （x ）的最小值为1，则实数a 的取值范围是[2,)+∞．…………12分 21．【解析】（Ⅰ）因为1(1,0)F -为椭圆C 的焦点，所以1c =，由椭圆的定义知，1F AB ∆的周长为1212(||||)(||||)2248AF AF BF BF a a a +++=+==，解得2a =，所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；………………4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为1x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得22(34)690m y my ++-=，则122634m y y m +=-+，…………7分 12121212216||||(||||)234m S S F F y y y y m -=-=+=+，当0m =时，120S S -=， 当0m ≠时，1226||64343||||m S S m m m -==≤=++，（当且仅当m =12S S -．…………12分 22．【解析】（Ⅰ）12()()(ln ln )(2)()ln ln g x f x a a x ax a a a x a x x'==-+--=--+， ∴22()a g x x x '=--，∵0x >，0a >，∴22()0a g x x x'=--<恒成立， ∴()g x 的单调减区间为(0,)+∞，无递增区间；………………4分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以()0g x =在(0,)+∞上必存在实数根，不妨记0()0g x =，即002ln ln 0a a a x a x --+=，可得002ln ln 1x a ax =-+ ………（*）当0(0,)x x ∈时，()0g x >，即()0f x '>，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x <，即()0f x '<， 所以()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减， 所以max 000()()(2)(ln ln )f x f x ax a x ==--，………………8分 把（*）式代入可得max 000024()(2)(1)4f x ax ax ax ax =--=+-， 依题意max 0004()()40f x f x ax ax ==+-≤恒成立，又由基本不等式有00440ax ax +-≥，当且仅当0042ax ax ==时等号成立，解得02ax =，所以02x a=． 代入（*）式得，2lnln a a =，所以2a a=，又∵0a >，所以解得a =综上所述，存在实数a =()0f x ≤对任意正实数x 恒成立．………………12分解法二：要使(2)(ln ln )0ax a x --≤对(0,)x ∀∈+∞恒成立，①20ax -≥即2x a ≥时，ln ln a x ≤，解得x a ≥，所以2max{,}x a a ≥， ②20ax -≤即2x a ≤时，ln ln a x ≥，解得x a ≤，所以2min{,}x a a≤，依题意可知，①、②应同时成立，则2a a=，又∵0a >，所以解得a =。