2019-2020年高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性教案(无答案)

2019-2020学年高考数学一轮复习《函数的奇偶性》教案②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称，均可以得到)(x f 周期例1. 判断下列函数的奇偶性. （1）f(x)=2211x x -⋅-;(2)f(x)=log 2(x+12+x ) (x ∈R );(3)f(x)=lg|x-2|.解：（1）∵x 2-1≥0且1-x 2≥0,∴x=±1,即f(x)的定义域是{-1，1}. ∵f （1）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1), 故f(x)既是奇函数又是偶函数.（2）方法一 易知f(x)的定义域为R ， 又∵f(-x)=log 2［-x+1)(2+-x ］=log 2112++x x =-log 2(x+12+x )=-f(x),∴f(x)是奇函数.方法二 易知f(x)的定义域为R ，又∵f （-x ）+f （x ）=log 2［-x+1)(2+-x ］+log 2(x+12+x )=log 21=0,即f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.（3）由|x-2|＞0，得x ≠2.∴f （x ）的定义域{x|x ≠2}关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数. 变式训练1：判断下列各函数的奇偶性： （1）f （x ）=（x-2）xx-+22；（2）f （x ）=2|2|)1lg(22---x x ；（3）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+.1(2),1|(|0),1(2）x x x x x 典型例题（1）求证：f(x)是奇函数；（2）如果x ∈R +，f （x ）＜0,并且f(1)=-21,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值. （1）证明： ∵函数定义域为R ，其定义域关于原点对称. ∵f （x+y ）=f （x ）+f （y ），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, ∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f （x ）+f （-x ）=0，得f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数.（2）解：方法一 设x,y ∈R +，∵f （x+y ）=f （x ）+f （y ），∴f （x+y ）-f （x ）=f （y ）.∵x ∈R +，f （x ）＜0, ∴f(x+y)-f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x).∵x+y ＞x,∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f （x ）为奇函数，f （0）=0， ∴f （x ）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f （-2）为最大值，f(6)为最小值. ∵f(1)=-21,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f （1）+f （2）］=-3. ∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3. 方法二 设x 1＜x 2,且x 1,x 2∈R.则f(x 2-x 1)=f ［x 2+(-x 1)］=f(x 2)+f(-x 1)=f(x 2)-f(x 1).∵x 2-x 1＞0,∴f(x 2-x 1)＜0.∴f(x 2)-f(x 1)＜0.即f(x)在R 上单调递减. ∴f （-2）为最大值，f （6）为最小值.∵f （1）=-21，∴f （-2）=-f （2）=-2f （1）=1，f （6）=2f （3）=2［f （1）+f （2）］=-3. ∴所求f(x ）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.变式训练2：已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.解：∵f （x ）是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.当x ＞0时，-x ＜0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f （x ）=xlg （2+x ）， 即f （x ）=-xlg(2+x) （x ＞0）.∴f(x)=⎩⎨⎧≥+-<--).0()2lg(),0()2lg(x x x x x x 即f(x)=-xlg(2+|x|) (x ∈R ).例3 已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x+2)=-f(x). （1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x ≤1时，f(x)=21x,求使f(x)=-21在［0，2 009］上的所有x 的个数.（1）证明： ∵f （x+2）=-f （x ）， ∴f （x+4）=-f （x+2）=-［-f （x ）］=f （x ）， ∴f （x ）是以4为周期的周期函数. （2）解： 当0≤x ≤1时，f(x)=21x,设-1≤x ≤0,则0≤-x ≤1,∴f （-x ）=21（-x ）=-21x. ∵f(x)是奇函数，∴f （-x ）=-f （x ）, ∴-f （x ）=-21x ，即f(x)= 21x. 故f(x)= 21x(-1≤x ≤1) 又设1＜x ＜3,则-1＜x-2＜1, ∴f(x-2)=21(x-2),又∵f （x-2）=-f （2-x ）=-f （（-x ）+2）=-［-f （-x ）］=-f （x ）， ∴-f （x ）=21（x-2），∴f （x ）=-21（x-2）（1＜x ＜3）.∴f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-)31()2(21)11(21x x x x由f(x)=-21,解得x=-1.∵f （x ）是以4为周期的周期函数.故f(x)=-21的所有x=4n-1 (n ∈Z ). 令0≤4n-1≤2 009,则41≤n ≤20051,又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502 （n ∈Z ）,∴在［0，2 009］上共有502个x 使f(x)=-21. 变式训练3：已知函数f(x)=x 2+|x-a|+1,a ∈R . （1）试判断f(x)的奇偶性； （2）若-21≤a ≤21，求f(x)的最小值.解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时,f(x)为偶函数.当a ≠0时，f(a)=a 2+1,f(-a)=a 2+2|a|+1, f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数.（2）当x ≤a 时,f(x)=x 2-x+a+1=(x-21)2+a+43, ∵a ≤21,故函数f(x)在（-∞，a ］上单调递减， 从而函数f(x)在（-∞，a ］上的最小值为f(a)=a 2+1. 当x ≥a 时，函数f(x)=x 2+x-a+1=(x+21)2-a+43,∵a ≥-21，故函数f(x)在［a ，+∞）上单调递增，从而函数f(x)在［a ，+∞)上的 最小值为f(a)=a 2+1.综上得，当-21≤a ≤21时，函数f(x)的最小值为a 2+1.1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具有这种性质. 判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a 与－a ，验证f (a )±f (－a )≠0.2．对于具有奇偶性的函数的性质的研究，我们可以重点研究y 轴一侧的性质，再根据其对称性得到整个定义域上的性质.3．函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结合图象理解.小结归纳。

2.3 函数的奇偶性与周期性『课前--考点引领』考点分析考点新知①函数奇偶性的考查一直是近几年江苏命题的热点，命题时主要是考查函数的概念、图象、性质等.②能综合运用函数的奇偶性、单调性及周期性分析和解决有关问题．①了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性定义判断一些简单函数的奇偶性.②掌握奇函数与偶函数的图象对称关系，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题.③了解周期函数的意义，并能利用函数的周期性解决一些问题.一、回归教材1. 函数f(x)＝mx2＋(2m－1)x＋1是偶函数，则实数m＝________．2. 函数f(x)＝x3－x的图象关于________对称.3.设函数f(x)是奇函数且周期为3，若f(1)＝－1，则f(2 015)＝________．4. 对于定义在R上的函数f(x)，给出下列说法：①若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)；②若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；③若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；④若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数．其中，正确的说法是________．(填序号)5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x<0时，f(x)＝________．二、知识清单1. 奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．2. 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称．(2) 根据定义域考查表达式f (－x )是否等于f (x )或－f (x )． 若f (－x )＝－f (x )，则f (x )为奇函数． 若f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数．若f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )，则f (x )既是奇函数又是偶函数．若存在x 使f (－x )≠－f (x )且f (－x )≠f (x )，则f (x )既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数．3. 函数的图象与性质奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系(1) 注意函数y ＝f (x )与y ＝kf (x )的单调性与k (k ≠0)有关． (2) 注意函数y ＝f (x )与y ＝1f （x ）的单调性之间的关系．(3) 奇函数在『a ，b 』和『－b ，－a 』上有相同的单调性． (4) 偶函数在『a ，b 』和『－b ，－a 』上有相反的单调性． 5. 函数的周期性设函数y ＝f (x )，x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得对任意x ∈D ，都有f (x ＋T )＝f (x )，则称函数f (x )为周期函数，T 为函数f (x )的一个周期．(D 为定义域)『课中—技巧点拨』题型1 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性： (1) f (x )＝x 3－1x ；(2) f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2；(3) f (x )＝(x －1)1＋x1－x； (4) f (x )＝3－x 2＋x 2－3.『答案』(1) 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，由f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2) 去掉绝对值符号，根据定义判断．由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤1，x≠0且x≠－4. 故f (x )的定义域为『－1，0)∪(0，1』，关于原点对称，且有x ＋2＞0. 从而有f (x )＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2x ，这时有f (－x )＝1－（－x ）2－x ＝－1－x 2x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3) 因为f (x )定义域为『－1，1)，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(4) 因为f (x )定义域为{－3，3}，所以f (x )＝0，则f (x )既是奇函数也是偶函数．备选变式（教师专享） 判断下列函数的奇偶性： (1) f (x )＝x 4＋x ；(2) f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x （x<0），－x 2＋x （x>0）；(3) f (x )＝lg (x ＋x 2＋1)．『答案』(1) 定义域为R ，f (－1)＝0，f (1)＝2，由于f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数；(2) 因为函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，并且当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－(x 2＋x )＝－f (x )(x ＜0)．当x ＞0时，－x ＜0，所以f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝－(－x 2＋x )＝－f (x )(x ＞0)．故函数f (x )为奇函数．(3) 由x ＋x 2＋1>0，得x ∈R ，由f (－x )＋f (x )＝lg (－x ＋x 2＋1)＋lg (x ＋x 2＋1)＝lg 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．题型2 函数奇偶性的应用例2 (1) 设a ∈R ，f (x )＝a·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )，试确定a 的值，使f (x )为奇函数；(2) 设函数f (x )是定义在(－1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f (a －2)－f (4－a 2)<0，求实数a 的取值范围．『答案』(1) 要使f (x )为奇函数， ∵ x ∈R ，∴ 需f (x )＋f (－x )＝0. ∵ f (x )＝a －22x ＋1，∴ f (－x )＝a －22－x ＋1＝a －2x ＋12x ＋1.由⎝⎛⎭⎫a －22x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2x ＋12x ＋1＝0，得2a －2（2x ＋1）2x ＋1＝0，∴ a ＝1.(2) 由f (x )的定义域是()－1，1，知⎩⎪⎨⎪⎧－1<a －2<1，－1<4－a 2<1，解得3<a < 5. 由f (a －2)－f (4－a 2)<0，得f (a －2)<f (4－a 2)． 因为函数f (x )是偶函数，所以f (|a －2|)<f (|4－a 2|)．由于f (x )在(0，1)上是增函数，所以|a －2|<|4－a 2|，解得a <－3或a >－1且a ≠2. 综上，实数a 的取值范围是3<a <5且a ≠2. 变式训练(1) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x≤0，ax 2＋bx ，x>0是奇函数，求a ＋b 的值；(2) 已知奇函数f (x )的定义域为『－2，2』，且在区间『－2，0』内递减，若f (1－m )＋f (1－m 2)<0，求实数m 的取值范围．『答案』(1) 当x >0时，－x <0，由题意得f (－x )＝－f (x )，所以x 2－x ＝－ax 2－bx . 从而a ＝－1，b ＝1，所以a ＋b ＝0. (2) 由f (x )的定义域是『－2，2』，知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3. 因为函数f (x )是奇函数，所以f (1－m )<－f (1－m 2)，即f (1－m )<f (m 2－1)． 由奇函数f (x )在区间『－2，0』内递减， 所以在『－2，2』上是递减函数， 所以1－m >m 2－1，解得－2<m <1. 综上，实数m 的取值范围是－1≤m <1. 题型3 函数奇偶性与周期性的综合应用例3 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈『0，2』时，f (x )＝2x －x 2.(1) 求证：f (x )是周期函数；(2) 当x ∈『2，4』时，求f (x )的解析式； (3) 计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)的值． (1) 证明：因为f (x ＋2)＝－f (x )， 所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是周期为4的周期函数． (2) 『答案』因为x ∈『2，4』，所以－x ∈『－4，－2』，4－x ∈『0，2』， 所以f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈『2，4』． (3) 『答案』因为f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1， 又f (x )是周期为4的周期函数，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝0， 所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝f (0)＋f (1)＋f (2)＝1.备选变式（教师专享）已知定义在R 上的函数f (x )对任意实数x 、y 恒有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，又f (1)＝－23.(1) 求证：f (x )为奇函数； (2) 求证：f (x )在R 上是减函数；(3) 求f (x )在『－3，6』上的最大值与最小值．(1) 证明：令x ＝y ＝0，可得f (0)＋f (0)＝f (0＋0)，从而f (0)＝0.令y ＝－x ，可得f (x )＋f (－x )＝f (x －x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(2) 证明：设x 1、x 2∈R ，且x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，于是f (x 1－x 2)＜0.从而f (x 1)－f (x 2)＝f 『(x 1－ x 2)＋x 2』－ f (x 2) ＝ f (x 1－ x 2) ＋f (x 2)－ f (x 2) ＝ f (x 1－ x 2)＜0.所以f (x )为减函数．(3) 解：由(2)知，所求函数的最大值为f (－3)，最小值为f (6)．f (－3)＝－f (3)＝－『f (2)＋f (1)』＝－2f (1)－f (1)＝－3f (1)＝2，f (6)＝－f (－6)＝－『f (－3)＋f (－3)』＝－4.于是f (x )在『－3，6』上的最大值为2，最小值为－4.『新题推荐』1. (2013·苏州期初)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋4)＝f (x )．当x ∈(0，2)时，f (x )＝－x ＋4，则f (7)＝________．2. (2013·江苏)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．3. (2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间『0，＋∞)内单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________．4. (2013·盐城二模)设函数y ＝f (x )满足对任意的x ∈R ，f (x )≥0且f 2(x ＋1)＋f 2(x )＝9.已知当x ∈『0，1)时，有f (x )＝2－|4x －2|，则f ⎝⎛⎭⎫2 0136＝________．1. 函数奇偶性的判断，本质是判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，前提是定义域关于原点对称，运算中，也可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f (x )＋f (－x )＝0或f (x )－f (－x )＝0)是否成立．2. 若f (x )是偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．3. 奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的区间上有相同的单调性，偶函数在对称的区间上有相反的单调性．答案一、回归教材 1.『答案』12『解析』由f (－x )＝f (x )，知m ＝12.2.『答案』原点『解析』由f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－x 3＋x ＝－f (x )，知f (x )是奇函数，则其图象关于原点对称．3.『答案』1『解析』由条件，f (2 015)＝f (671×3＋2)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝1. 4.『答案』①③『解析』根据偶函数的定义，①正确，而③与①互为逆否命题，故③也正确，若举例奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x>0，x ＋2，x<0，由于f (－2)＝f (2)，所以②④都错误．5.『答案』x 3＋x －1『解析』若x <0，则－x >0，f (－x )＝－x 3－x ＋1，由于f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝x 3＋x －1.『新题推荐』1.『答案』－3『解析』f (7)＝f (3＋4)＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－f (1)＝－3. 2.『答案』(－5，0)∪(5，＋∞)『解析』作出f (x )＝x 2－4x (x >0)的图象，如图所示．由于f (x )是定义在R 上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称，作出x <0的图象．不等式f (x )>x 表示函数y ＝f (x )的图象在y ＝x 的上方，观察图象易得，原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．3.『答案』⎣⎡⎦⎤12，2『解析』因为f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，所以原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又f (x )在区间『0，＋∞)上单调递增， 所以|log 2a |≤1，解得12≤a ≤2.4.『解析』由题知f ⎝⎛⎭⎫12＝2，因为f (x )≥0且f 2(x ＋1)＋f 2(x )＝9，故f ⎝⎛⎭⎫32＝5，f ⎝⎛⎭⎫52＝2，f ⎝⎛⎭⎫72＝5，如此循环得f ⎝⎛⎭⎫6712＝f ⎝⎛⎭⎫4×168－12＝5，即f ⎝⎛⎭⎫2 0136＝ 5.。

函数的奇偶性与周期性一、考纲要求函数的奇偶性与周期性B二、复习目标1．理解函数奇偶性的定义； 2、会判断函数的奇偶性 ；3、能证明函数的奇偶性；4、理解函数周期性的定义；5、会求周期函数的周期。

三、重点难点函数奇偶性的判断及证明；函数周期性判断及周期求法。

四、要点梳理1．奇、偶函数的定义：对于函数()f x 定义域内的任意一个x ,都有_______________，称()f x 为偶函数，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ,都有________________，称()f x 为奇函数．2．奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于_________对称；（2）奇函数的图像关于____对称，偶函数的图像关于_________对称；（3）若奇函数的定义域包含0，则_____________；（4）在偶函数中，()()f x f x =．（5）在公共定义域内，①两个奇函数的和是___函数，两个奇函数的积是____函数；②两个偶函数的和、积是___函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是____函数. （填“奇”，“偶”）3．对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．4．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小正数，那么这个 就叫做f (x )的最小正周期．5．周期性三个常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1) 若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ；(2)若f (x ＋a )＝1f x ，则T ＝2a ； (3) 若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a .(a > 0 ) 五、基础自测1．对于定义在R 上的函数()f x ，下列命题正确的序号是___________．（1）若(2)(2)f f -=，则函数()f x 是偶函数；（2）若(2)(2)f f -≠，则函数()f x 不是偶函数；（3）若(2)(2)f f -=，则函数()f x 不是奇函数；（4）若()f x 是偶函数，则(2)(2)f f -=．2．给出4个函数：①241()3x f x x +=-；②()25f x x =-+；③1()lg 1x f x x -=+；④1()1x f x x -=+． 其中 是奇函数； 是偶函数； 既不是奇函数也不是偶函数．3．已知函数2()43f x x bx a b =+++是偶函数，其定义域是[6,2]a a -，则点(),a b 的坐标为__________．4．已知定义在R 上的函数()f x 满足3()2f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，且(1)2f =，则f (2 014)＝________. 5．若函数2()1x a f x x bx +=++在[1,1]-上是奇函数，则()f x = ． 六、典例精讲:例1 判断下列函数的奇偶性，并说明理由：（1）2(12)()2x xf x +=； （2）()lg(f x x =； （3）()(1f x x =-（4）2()|1|1f x x x =+-+； （5）()f x (6) 22(0),()(0).x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+<⎪⎩≥ 例2：设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有()(2)f x f x +=-．当x ∈[0,2]时，2()2f x x x =-。

2019-2020年高三数学第一轮复习函数的奇偶性教案一、知识梳理：（阅读教材必修1第33页—第36页）1、函数的奇偶性定义：2、利用定义判断函数奇偶性的步骤（1）首先确定函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称；（2）确定与的关系；（3）作出相应结论3、奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）为偶函数（4）若奇函数的定义域包含0，则（5）判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；（6）牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；（7）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：4、一些重要类型的奇偶函数（1）、f(x)= (a>0,a) 为偶函数;f(x)= (a>0,a) 为奇函数;（2）、f(x)=（3）、f(x)=（4）、f(x)=x+（5）、f(x)=g(|x|)为偶函数;二、题型探究[探究一]：判断函数的奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性1. 【15年北京文科】下列函数中为偶函数的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：根据偶函数的定义，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.考点：函数的奇偶性.2. 【15年广东文科】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，因为，，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数是奇函数．故选A ． 考点：函数的奇偶性．3. 【15年福建文科】下列函数为奇函数的是( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】试题分析：函数和是非奇非偶函数； 是偶函数；是奇函数，故选D ． 考点：函数的奇偶性．[探究二]：应用函数的奇偶性解题 例3、【xx 高考湖南卷改编】已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则( ) A. B. C. 1 D. 3例4：已知函数f(x)=- - 若f(a)=b ,则f(-a) =三、方法提升1、 判断函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇偶性的定义经过化、整理、将f(x)与f-(x)比较，得出结论。

2019-2020学年高考数学一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性学案学考考察重点 1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数；3.函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．本节复习目标 1.结合函数的图象理解函数的奇偶性、周期性；2.注意函数奇偶性和周期性的小综合问题；3.利用函数的性质解决有关问题．1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于_________对称；偶函数的图象关于_______对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_________，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_______．(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是_________，两个奇函数的积是___________；②两个偶函数的和、积都是___________；③一个奇函数，一个偶函数的积是___________．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_____________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_____________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．基础知识·自我测试1． (课本改编题)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．2．设函数f(x)＝x3cos x＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．4．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则 ( ) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则)25( f 等 于 ( )A ．－12B ．－14 C.14 D.12题型一 判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x ； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3.变式训练1：下列函数：①f (x )＝1－x 2＋x 2－1；②f (x )＝x 3－x ；③f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)；④f (x )＝3x －3－x2； ⑤f (x )＝lg 1－x 1＋x.其中奇函数的个数是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5题型二 函数的奇偶性与周期性例2 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)．变式训练2：已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f x ，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.题型三 函数性质的综合应用例3 设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调区间．变式训练3：(1)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f(－25)<f(11)<f(80)B ．f(80)<f(11)<f(－25)C ．f(11)<f(80)<f(－25)D ．f(－25)<f(80)<f(11)(2)函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f [x (x －12)]<0的解集．。

精品文档2019-2020年高三数学第一轮复习教案人教版(II)【教学目标】1．了解函数奇偶性定义，懂得判断一些函数的奇偶性；2．理解奇（偶）函数图象的特性；3．了解几类常见函数的周期【教学重点】奇（偶）函数的性质【教学难点】分段函数和抽象函数奇偶性的判断【例题设置】例1（偶函数的性质），例2（分段函数奇偶性的判断），例3（抽象函数奇偶性的判断【教学过程】一、例题引入〖例1〗 定义在上的偶函数，当时，单调递减．，求实数的取值范围．解：∵定义在上的函数为偶函数∴区间关于轴对称，即，解得，并且∴(1)()(|1|)(||)g m g m g m g m -<⇔-< …………①又∵当时，单调递减∴不等式①等价于0|1|20||2|1|||m m m m ≤-≤⎧⎪≤≤⎨⎪->⎩，解得∴实数的取值范围为★点评：本题应用了偶函数的一个性质，从而避免了一场“大规模”的分类讨论．二．要点回顾函数的奇偶性（应优先考虑定义域）：1．定义：（设函数的定义域为）⑴ 如果对于任意的，有，那么叫做偶函数，其图象关于轴对称，在其对应的区间内．．．．．．．．有相反的单调性．．．．．．．． ⑵ 如果对于任意的，有，那么叫做奇函数，其图象关于原点轴对称，在其对应的区．．．．．．间内有相同的单调性．．．．．．．．．． ★注意：具有奇偶性的函数，其定义域必关于轴（或原点）对称．2．奇偶性的等价条件为偶函数()()()()0f x f x f x f x ⇔-=⇔--=⇔ 为奇函数()()()()()()()01()f x f x f x f x f x f x f x f x -⇔-=-⇔=--⇔-+=⇔=-（） （）精品文档3．判断函数奇偶性的步骤：⑴ 判断函数的定义域是否关于轴（或原点）对称（该步很关键且容易被遗漏）； ⑵ 对进行化简，若已是最简形式，可跳过该步骤；⑶ 判断与的关系．★注：亦可根据函数的图象判断其奇偶性（但不能用来证明奇偶性）．〖例2〗 判断下列各函数的奇偶性：⑴⑵ ⑶ 解：⑴ 函数的定义域关于轴对称，且 ∴既为奇函数也为偶函数⑵ 由得原函数定义域为关于轴不对称∴既非奇函数也非偶函数⑶ 函数的定义域关于轴对称当时，，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-当时，，则22()()()()f x x x x x f x -=--=-+=-综上所述，对任何都有，故为奇函数．★点评：分段函数的性质的讨论通法为“分类讨论”．〖例3〗 是定义在上的函数，对于任意，恒成立，且,试判断的奇偶性.解：∵对于任意，恒成立令，得，且，∴令，得，即．故是偶函数．★点评：抽象函数是近几年高考的热点，研究这类函数的根本方法是“赋值”，解题中要灵活应用题目条件赋值转化．4．奇（偶）函数的性质（补充）⑴ 奇函数的反函数仍是奇函数；⑵ 若奇函数在处有定义，则⑶ 已知2012()n n f x a a x a x a x =++++，则当（即偶数次项系数都为0）时，为奇函数；法（即奇数次项系数都为0）时，为偶函数．⑷ 函数（定义域关于轴对称）既为奇函数也为偶函数；⑸ 奇（偶）函数的导函数为偶（奇）函数；（文科不给，理科证明如下）证法二： ∴0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ ()()()limf x x f x f x -+∆--'-=精品文档 已知：为奇函数．求证：为偶函数∵为奇函数∴证法一：两边同时求导得：，即∴为偶函数⑹ 若都是奇（偶）函数，则为奇（偶）函数；为偶函数；（）为偶函数； ⑺ 若中一个为偶函数，一个为奇函数，则为奇函数；（）为偶函数；三、函数周期性复习 1．定义：如果对于任意的．．．（为的定义域），有，那么具备周期性，叫做函数的一个周期． 2．几种常见的函数周期 ⑴ ⑵ ⑶⑷⑸ 若对任意的．．．，都有，则的周期 推广：若对任意的．．．，都有，则的周期 ⑹ 若对任意的．．．，都有，则的周期 ⑺ 若对任意的．．．，都有，则的周期 ⑻ 若对任意的．．．，都有，则的周期为【课堂小结】1．“定义域必关于轴（或原点）对称”是函数具有奇偶性的必要条件；2．为偶函数；3．若奇函数在处有定义，则．在大题中要给出证明：由为奇函数知，故【教后反思】.注意与的区别 思考： 周期函数的定义域是否都为？ 函数其中，其周期为2。

第三节函数的奇偶性与周期性教学目标：知识与技能：了解函数奇偶性的含义与函数的周期性，会运用函数的图象理解和研究的奇偶性过程与方法：利用图象的单调性研究函数奇偶性质情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验数形结合思想，感受图形的对称性及周期性教学重点：函数的奇偶性质及图象的对称性教学难点：利用函数的奇偶性及周期性研究函数教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.奇函数、偶函数的定义对于函数f(x)的定义域内的任意一个x.(1)f(x)为偶函数⇔f(-x)=f(x)(2)f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x)2.奇偶函数的性质(1)图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.(2)定义域的特征：奇偶函数的定义域关于原点对称，这是判断奇偶性的前提.3)对称区间上的单调性：奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.(4)奇函数图象与原点的关系:如果奇函数f(x)在原点有意义，则f(0)=03.周期性(1)周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：①T≠0;②f(x+T)=f(x)对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．(3)周期不唯一：若T是函数y=f(x)的一个周期，则nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期. 二例题讲解【典例1】判断下列各函数的奇偶性.(1)f(x)=(2)f(x)=【思路点拨】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，解析式带绝对值号的先尽量去掉，再判断f(-x)与f(x)的关系，分段函数应分情况判断.【规范解答】(1)由得x2=3,∴函数f(x)的定义域为此时f(x)=0,因此函数f(x)既是奇函数，又是偶函数.(2)由得-1＜x＜0或0＜x＜1.∴函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1).此时x-2＜0,|x-2|-2=-x,∴又∵∴函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为：(-∞，0)∪(0,+∞)，关于原点对称，∵当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)；当x>0时,-x<0，则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.【变式训练】(1)若函数f(x)=3x+3-x与 g(x)=3x-3-x的定义域均为R，则( )(A)f(x)与g(x)均为偶函数(B)f(x)为偶函数,g(x)为奇函数(C)f(x)与g(x)均为奇函数(D)f(x)为奇函数,g(x)为偶函数答案 B(2)判断下列函数的奇偶性.①f(x)=答案都是奇函数【典例2】(1)(2013·湖南高考)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1(2)(2014·泉州模拟)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x-2x+a(a∈R),则f(-2)=( )(A)-1 (B)-4 (C)1 (D)4【思路点拨】(1)利用f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),构造方程组求解.(2)利用函数奇偶性把求f(-2)转化为求f(2)的值.【规范解答】(1)选B.因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数.所以f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),分别代入f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4再相加得g(1)=3.(2)选B.因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=30-2×0+a=0,得a=-1,所以x≥0时,f(x)=3x-2x-1,所以f(2)=32-2×2-1=4.所以f(-2)=-f(2)=-4.【小结】应用函数奇偶性可解决的四类问题及方法(1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式.(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值利用待定系数法：利用f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.(4)应用奇偶性画图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.【变式训练】设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x2-x，则f(1)=( ) (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3【解析】选A.由奇函数的定义有f(-x)=-f(x)，所以f(1)=-f(-1)=-［2×(-1)2+1］=-3.【典例3】(1)(2012·浙江高考)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈［0,1］时，f(x)=x+1,则(2)(2012·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-1，1］上，其中a,b∈R,若则a+3b的值为________.【思路点拨】(1)先根据周期性缩小自变量，再根据奇偶性把自变量转到区间［0，1］上.(2)利用周期性可知f(-1)=f(1), 列方程组求解.【规范解答】(1)∵函数f(x)是周期为2的偶函数，答案：(2)因为f(x)的周期为2,所以即又因为所以∴3a+2b=-2 ①,又因为f(-1)=f(1),所以即b=-2a ②,将②代入①，得a=2,b=-4,∴a+3b=2+3×(-4)=-10.答案：-10【小结】判断函数周期性的几个常用结论若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：①f(x+a)=-f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期；②则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；③则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期.【提醒】应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.【变式训练】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x).当x∈［0,2］时，f(x)=2x-x2.(1)求证：f(x)是周期函数.(2)当x∈［2,4］时，求f(x)的解析式.(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013).【解析】(1)∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数.(2)当x∈［-2,0］时，-x∈［0,2］，由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函数，∴f(-x)=- f(x)=-2x-x2,∴f(x)=x2+2x.又当x∈［2,4］时，x-4∈［-2,0］,∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得x∈［2,4］时，f(x)=x2-6x+8.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0，∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.三．课堂练习与作业思考辨析，考点自测，知能巩固。

2019-2020学年高三数学第一轮复习 17 函数的奇偶性与周期性教学案（教师版）一、课前检测1. 下列函数中，在其定义域内即是奇函数又是减函数的是（ A ）A ．()3 f x x x R =-∈B ．()sin f x x x R =∈C ．() f x x x R =∈D ．()1 2xf x x R ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭ 2. （08辽宁）若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ C ）A ．2-B ．1-C ．1D ．23. 已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 ( A )A.2-B.2C.-98D.98二、知识梳理1．函数的奇偶性：（1）对于函数)(x f ，其定义域关于原点对称．．．．．．．．．： 如果______________________________________，那么函数)(x f 为奇函数； 如果______________________________________，那么函数)(x f 为偶函数.（2）奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称.（3）奇函数在对称区间的增减性 ；偶函数在对称区间的增减性 .（4）若奇函数)(x f 在0x =处有定义，则必有．．．(0)0f =解读：2．函数的周期性对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，则)(x f 为周期函数，T 为这个函数的周期.解读：3．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或m x f a x f =+)()(（a 、m 均为非零常数，0>a ），都可以得出)(x f 的周期为 ；②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称，均可以得到)(x f 周期解读：三、典型例题分析例1 判断下列函数的奇偶性：（1）()(1f x x =-答案：定义域不关于原点对称，非奇非偶（2）()()2lg 122x f x x -=-- 解：定义域为：()()2101,00,1220x x ⎧->⎪⇒-⋃⎨--≠⎪⎩ 所以()()()22lg 1lg 122x x f x x x--==--- ，是奇函数。

模块： 二、函数（一） 课题： 3、函数的奇偶性、周期性 教学目标： 掌握函数奇偶性、周期性概念，并能判断一些简单函数的奇偶性；掌握奇偶性、周期性与函数图像的关系．重难点： 函数奇偶性、周期性的判定，以及由函数图像研究其性质和由函数性质研究其图像的一般方法．一、 知识要点1、 函数奇偶性的定义：设函数()()y f x x D =∈，任取x D ∈，若有()()f x f x =-，则称函数()y f x =为偶函数；若()()f x f x =--，则称函数()y x =为奇函数. 2、奇、偶函数的性质（1）函数()f x 是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称； （2）奇函数()f x 的图像关于原点对称，偶函数()g x 的图像关于y 轴对称； （3）在公共定义域内，两奇函数之积（商）为偶函数；两偶函数之积（商）也为偶函数；一奇一偶函数之积（商）为奇函数（取商时分母不可为零）；（4）若()f x 是具有奇偶性的单调函数，则奇函数在正负对称区间上的单调性相同，偶函数在正负对称区间上的单调性相反；（5）若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 既是奇函数又是偶函数的充要条件是()0f x =．3、函数的周期性（1）对于函数()()f x x D ∈，如果存在一个非零常数T ，使得对于()f x 定义域内任意x ，都有()()f x T f x +=，那么这个函数()f x 叫做周期函数，常数T 叫做函数()f x 的周期．（2）对于每一个周期函数来说，它的周期可有无穷多个，对于周期函数()f x ，如果在其所有的周期中存在最小的一个正数，那么这个最小的正数叫做这个函数的最小正周期．二、 例题精讲例1、 判断函数的奇偶性：（1）()22f x x =+-；（2）()1lg 1x f x x x-=+；（3）()f x =（4）()11312x f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭；（5）()21f x x =-；（6）()2223,0,0,0,23,0x x x f x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+<⎩例2、（1）()f x 是R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，()()31f x x x =-，求x R ∈时()f x 的解析式；（2）设()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+，求()f x 和()g x 的解析式．例3、已知()23g x x =--，()f x 是二次函数，且()()f x g x +为奇函数，当[]1,2x ∈-时，()f x 的最小值为1，求()f x 的表达式．例4、已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足()()4f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数，则（ ） A 、()()()251180f f f -<< B 、()()()801125f f f <<- C 、()()()118025f f f <<-D 、()()()258011f f f -<<例5、已知函数()f x 以任意实数,x y 均有()()222x y x y f x f y f f +-⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()00f ≠，且存在非零常数c 使()0f c =．（1） 求()0f 的值；（2） 讨论函数()f x 的奇偶性； （3） 求证：()f x 是周期函数．*例6、已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且()22f x x x =+．（1） 求函数()g x 的解析式； （2） 解不等式()()1g x f x x ≥--；（3） 若()()1h x g x x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围．*例7、对于函数()f x ，若存在实数0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数的不动点． （1）已知函数()()()()2110f x ax b x b a =+++-≠．①若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围； ②在①的条件下，若()y f x =的图像上A B 、两点的横坐标都是函数()f x 的不动点，且A B 、两点关于直线2121y kx a =++对称，求实数b 的最小值；（2）命题“若定义在实数集R 上的奇函数()g x 存在有限个相异的不动点，则不动点的个数是奇数个”是否正确？若正确则加以证明，若不正确请举一反例加以说明．*例8、（1）已知函数()f x 满足：()114f =，()()()4f x f y f x y =++()f x y -(),x y R ∈，则()2010f = ． （2）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动．设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =．则函数()f x 的最小正周期为 ；()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积为 ．三、 课堂练习1、已知对于任意实数x ，函数()f x 满足()()f x f x -=，若方程()0f x =有2013个实数解，则这2013个实数解之和为 ．2、设()f x 是定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()()3log 1f x x =+，则()2f -= ．3、已知函数()y f x =是奇函数，当0x ≥时，()31xf x =-，设()f x 的反函数是()y g x =，则()8g -= ．4、已知()()f x g x 、的定义域均为R ，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且()()12x f x g x ++=，则()f x = ，()g x = ．5、设函数()f x 的定义域关于原点对称，且适合下列三个条件：①对于定义域内的12x x 、都有()()()()()1212121f x f x f x x f x f x --=+；②存在常数0a >，使()1f a =；③对于()0,2x a ∈，有()0f x >．试求它的一个周期： ． 6、设()f x 是定义在R 上的函数，它具有奇偶性，且()()22f x f x +=-，则()f x 的最小正周期是 ． 四、 课后作业 一、填空题1、若函数()()()2f x x a bx a =++（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为(],4-∞，则该函数的解析式()f x = ．2、若函数()[]323,,y x a x x a b =+++∈的图像关于直线1x =对称，则b = ．3、判断函数的奇偶性：()(12log f x x =+是 函数，()()11x x x a g x a -=+()0a >是 函数．4、如果函数()23,0,,x x y f x x ->⎧⎪=⎨<⎪⎩是奇函数，则()f x = ．5、写出函数()f x 的一个解析式，使()f x 同时具有下述各性质：①是定义在R 上的偶函数；②最小正周期为6的周期函数；③其图像经过定点()3,2-，则()f x = ．6、设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图像关于直线12x =对称，则()()()()()12345f f f f f ++++= ．二、选择题7、设函数()f x 是定义在R 上的以5为周期的奇函数，若()21f >，()2333a a f a ++=-，则a 的取值范围是（ ） A 、()(),20,3-∞- B 、()()2,03,-+∞C 、()(),20,-∞-+∞D 、()(),03,-∞+∞8、定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[],T T -上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ） A 、0B 、1C 、3D 、59、设偶函数()f x 对任意x R ∈，都有()()13f x f x +=-，且当[]3,2x ∈--时，()2f x x =，则()113.5f 的值是（ ）A 、27-B 、27C 、15-D 、15三、解答题 10、设a R ∈，()()2221x x a a f x x R ⋅+-=∈+．（1）确定a 的值，使()f x 为奇函数；（2）当()f x 为奇函数时，对于给定的正实数k ，解关于x 的不等式()121log xf x k-+>．11、已知集合()()()(){}|21,M f x f x f x f x x R =++=+∈，()sin 3xg x π=．（1）判断()g x 与M 的关系，并说明理由；（2）M 中的元素是否都是周期函数，证明你的结论； （3）M 中的元素是否都是奇函数，证明你的结论．12、已知函数()11335x x f x --=，()11335x x g x -+=．（1）证明()f x 是奇函数，并求()f x 的单调区间；（2）分别计算()()()4522f f g -和()()()9533f f g -的值．由此概括出涉及函数()f x 和()g x 的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．。

一、自我诊断 知己知彼1．判断下列函数的奇偶性 1）()()21f x x x =+ 2）()f x =3）()f x = 4）()2211021102x x f x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩答案：1）偶函数；2）既是奇函数又是偶函数；3）非奇非偶函数；4）奇函数； 解析：解：1）()f x 的定义域为R ，()()()()2211f x x x x x -=--+=+()f x =所以原函数为偶函数.2） ()f x 的定义域为221010x x ⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩即1x =±，关于原点对称，又()()110f f -==即()()()()1111f f f f -=-=-且 ，所以原函数既是奇函数又是偶函数.3）()f x 的定义域为2020x x -≥⎧⎨-≥⎩ 即2x =，定义域不关于原点对称，所以原函数既不是奇函数又不是偶函数.4）分段函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞关于原点对称， 当0x >时，0x -<，()()()222111111222f x x x x f x ⎛⎫-=---=--=-+=- ⎪⎝⎭ 当0x <时，0x -> ，()()()222111111222f x x x x f x ⎛⎫-=-+=+=---=-⎪⎝⎭综上所述，在()(),00,-∞⋃+∞上总有()()f x f x -=- 所以原函数为奇函数.注意：在判断分段函数的奇偶性时，要对x 在各个区间上分别讨论，应注意由x 的取值范围确定应用相应的函数表达式.2．已知函数()538f x x ax bx =++-且()210f -=，求()2f 的值.答案：-26解析：重点在于观察式子的特征，进行分析；式子中含有多个字母常数，直接求解难度很大；另外所给条件为)2(-f ，求的是)2(f 值：两个自变量为相反数，所以联系到函数的奇偶性；代入发现16)()(-=-+x f x f .则有16)2()2(-=+-f f ，所以26)2(-=f .3设函数()f x 是定义域R 上的偶函数，且图像关于2x =对称，已知[2,2]x ∈-时，()21f x x =-+，求[]6,2x ∈--时()f x 的表达式.答案：1)4()(2++-=x x f解析：Q 图像关于2x =对称,得)4()(x f x f -=；又函数为偶函数，则有)()(x f x f -=；观察两式，可以发现)()4(x f x f -=-⇒函数)(x f 具有周期性，其中一个周期为4；答案：[6,2]x ∈--时，]2,2[4-∈+x ，根据周期性1)4()4()(2++-=+=x x f x f ；也可以借助图像，利用对应点的方法（圆锥曲线中称为相关点法）求解函数解析式.4. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时， 2()2f x x x =-，如果函数()()g x f x m =-( m ∈R ) 恰有4个零点，则m 的取值范围是____．答案：)0,1(-解析：函数的零点⇔方程的根⇔方程组的解⇔两个函数交点的横坐标；函数()()g x f x m =- ( m ∈R ) 恰有4个零点⇔m x f =)(有4个根⎩⎨⎧==⇔m y x f y )(有4个交点;函数()f x 是定义在R 上的偶函数⇒函数图像关于0=x 对称；当x ≥0时， 2()2f x x x =-做出图像，利用对称性，得到函数)(x f 的全部图像：利用图形得到答案.5.定义在R 上的偶函数()f x 在区间(),0-∞上单调递增，且有()()2221321f a a f a ++<-+求a 的取值范围。