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相交线与平行线一、填空题1.小明用图7-15的方法作了两条平行线,他的根据是____________________.图7-15答案：同位角相等，两直线平行提示：平行线的判定.2.答案：两条直线平行于同一条直线这两条直线平行真提示：3.如图7-16,如果AB∥EF,BC∥DE,那么∠E和∠B满足___________________的关系.图7-16答案：互补提示：平行线的性质.4.如图7-17,∠BAP与∠APD互补,∠BAE=∠CPF,求证:∠E=∠F.对于本题小丽是这样证明的,请你将她的证明过程补充完整.图7-17证明:∵∠BAP与∠APD互补,(已知)∴AB∥CD.( )∴∠BAP=∠APC.( )∵∠BAE=∠CPF,(已知)∴∠BAP-∠BAE=∠APC-∠CPF,( )即_________________=__________________.∴AE∥FP.∴∠E=∠F.答案：同旁内角互补，两直线平行两直线平行，内错角相等(平行线的性质) 等式性质∠EAP ∠APF (等角减去等角得等角)二、选择题5.如图7-18,已知AB∥CD,∠1=30°,∠2=90°,则∠3等于A.60°B.50°C.40°D.30°图7-18答案：A提示：过∠2顶点作AB的平行线,由两直线平行内错角相等.6.如图7-19,下列条件中,不能判断AD∥BC的是图7-19A.∠1=∠3B.∠2=∠4C.∠EAD=∠BD.∠D=∠DCF答案：B提示：平行线的判定.7.小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题.如图7-20,已知EF⊥AB,CD⊥AB, 小明说:“如果还知道∠CD G=∠BFE,则能得到∠AGD=∠ACB.”小亮说:“把小明的已知和结论倒过来,即由∠AGD=∠ACB,可得到∠CDG=∠BFE.”小刚说:“∠AGD一定大于∠BFE.”小颖说:“如果连结GF,则GF一定平行于AB.”他们四人中,有_________________个人的说法是正确的.图7-20A.1B.2C.3D.4答案：C提示：平行线的性质与判定.三、解答题8.如图7-21,已知∠1+∠2=180°,求证:∠3=∠4.图7-21证明：把∠2的对顶角注为∠5.∵∠2=∠5(对顶角相等),∠1+∠2=180°(已知),∴∠5+∠1=180°(等量代换).∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行).∴∠3=∠4(两直线平行，同位角相等).9.如图7-22,已知PA平分∠CAB,PC平分∠ACD,AB∥CD.求证:AP⊥PC.图7-22证明：∵PA 平分∠CAB ，PC 平分∠ACD,∴∠PAC=21∠CAB ，∠PCA=21∠ACD, ∴∠PAC+∠PCA=21∠CAB+21∠ACD=21(∠CAB+∠ACD). ∵AB ∥CD,∴∠CAB+∠ACD=180°.∴∠PAC+∠PCA=90°.∵△ACP 中，∠PAC+∠PCA+∠P=180°,∴∠P=90°,∴AP ⊥PC.10.如图7-23,玻璃厂工人为了测试一块玻璃的两个面是否平行,采用了这样一个小办法:一束光线从空气射入玻璃中会发生折射现象,光线从玻璃射入空气也会发生折射现象,如图所示,如果l ∥m,∠1=∠2,那么工人就会判定玻璃的两个面平行.你明白这个办法的道理吗?请给出证明.图7-23提示：反向延长l 、m,利用“对顶角相等”和“两直线平行，内错角相等”来说明.11.如图7-24,已知平面内有两条直线AB 、CD,且AB ∥CD,P 为一动点.图7-24(1)当点P 移动到AB 、CD 之间时,如图7-24(1),这时∠P 与∠A 、∠C 有怎样的关系?证明你的结论.(2)当点P 移动到AB 的外侧时,如图7-24(2),是否仍有(1)的结论?如果不是________________,请写出你的猜想(不要求证明).(3)当点P 移动到如图7-24(3)的位置时,∠P 与∠A 、∠C 又有怎样的关系?能否利用(1)的结论来证明?还有其他的方法吗?请写出一种.证明：(1)∠P=∠A+∠C,延长AP 交CD 与点E.∵AB ∥CD,∴∠A=∠AEC.又∵∠APC 是△PCE 的外角,∴∠APC=∠C+∠AEC.∴∠APC=∠A+∠C.(2)否；∠P=∠A-∠C.(3)∠P=360°-(∠A+∠C).①延长BA 到E ，延长DC 到F,由(1)得∠P=∠PAE+∠PCF.∵∠PAE=180°-∠PAB ，∠PCF=180°-∠PCD,∴∠P=360°-(∠PAB+∠PCD).②连结AC.∵AB ∥CD,∴∠CAB+∠ACD=180°.∵∠PAC+∠PCA=180°-∠P,∵∠CAB+∠ACD+∠PAC+∠PCA=360°-∠P,即∠P=360°-(∠PAB+∠PCD).(本题答案不唯一)。
第四章图形的初步认识与三角形、四边形第一节线段、角、相交线和平行线平行线的性质1．(2019遵义中考)如图，△ABC中，E是BC中点，A D是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F.若AB ＝11，AC＝15，则FC的长为( C )A．11 B．12 C．13 D．14,(第1题图)) ,(第2题图)) 2．(2019遵义中考)把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝30°，则∠2的度数为( D )A．45° B．30° C．20° D．15°3．(2019遵义中考)如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b上，则∠1＋∠2的值为( A )A．90° B．85° C．80° D．60°(第3题图)(第4题图)4．(2019遵义中考)如图，直线l1∥l2，∠1＝62°，则∠2的度数为( D )A．152° B．118° C．28° D．62°5．(2019遵义中考)如图，直线l1∥l2，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1＋∠2＝( A ) A．30° B．35° C．36° D．40°(第5题图)(第6题图)6．(2019遵义中考)如图，直线l1∥l2，若∠1＝140°，∠2＝70°，则∠3的度数是( A )A．70° B．80° C．65° D．60°直线与线段7．(2019遵义一中一模)直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中所标记的角中，与∠1互余的角有( B )A．2个 B．3个 C．4个 D．6个,中考考点清单)线段与直线1．线段(1)定义：线段的直观形象是拉直的一段线． (2)基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短．(3)线段的和与差：如图①，已知两条线段a 和b ，且a>b ，在直线l 上画线段AB ＝a ，BC ＝b ，则线段AC 就是线段a 与b 的和，即AC ＝__a ＋b__．如图②，在直线l 上画线段AB ＝a ，在AB 上画线段AD ＝b ，则线段DB 就是线段a 与b 的差，即DB ＝a －b.(4)线段的中点：如图③，线段AB 上的一点M ，把线段AB 分成两条线段AM 与MB.如果AM ＝MB ，那么点M 就叫做线段AB 的中点，此时有__AM__＝MB ＝12AB ，AB ＝2AM ＝2MB.2．直线(1)定义：沿线段向两边无限延伸所形成的图形． (2)基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．角及角平分线3．角的分类 (1)分类(2)周角、平角、直角之间的关系和度数 1周角＝2平角＝4直角＝360°， 1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°，1°＝60′，1′＝60″，1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫160°，1″＝⎝ ⎛⎭⎪⎫160′. 4．角平分线的概念及性质(1)定义：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线． (2)性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 警示：到角两边距离相等的点在角平分线上． 5．余角、补角、邻补角(1)余角：A.如果两个角的和为__90°__，那么这两个角互为余角； B ．同角(等角)的余角相等．(2)补角：A.如果两个角的和为__180°__，那么这两个角互为补角； B ．同角(等角)的补角相等．(3)邻补角：A.两个角有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角；B ．互为邻补角的两个角的和为180°.相交线三线八角(如图)6．同位角有：∠1与__∠5__，∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7.7．内错角有：∠2与__∠8__，∠3与∠5.8．同旁内角有：∠3与∠8，∠2与__∠5__．9．对顶角有：∠1与∠3，∠2与__∠4__，∠5与∠7，∠6与__∠8__．垂线及其性质10．定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．11．基本事实：经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．12．性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．13．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段长度．14．线段垂直平分线：(1)定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离__相等__．(2)逆定理：到一条线段的两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．平行线的判定及性质15．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．16．两条平行线之间的距离处处相等．17．性质(1)两直线平行，同位角相等，即∠1＝__∠2__．(2)两直线平行，内错角相等，即∠2＝__∠3__．(3)两直线平行，同旁内角互补，即∠3＋__∠4__＝180°.18．判定(1)基本事实：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行．(2)同位角相等，两直线平行．(3)内错角相等，两直线平行．(4)同旁内角互补，两直线平行．(5)平行于同一条直线的两条直线平行．命题与定理19．命题：判断一件事情的句子叫做命题，命题由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常写成“如果……那么……”的形式．20．真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题．21．假命题：题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题．22．定理：有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，推理过程叫做证明．【方法点拨】利用平行线性质求角度：先观察要求角与已知角的位置关系，再选择合理的角度进行等量代换，因此需要熟练掌握平行线的性质．另外在解题中要注意平角、直角及三角形内角和、三角形内外角关系等知识的运用．,中考重难点突破)补角、余角的计算【例1】(2019原创)一个角的度数是40°，那么它的余角的补角度数是( )A．130° B．140° C．50° D．90°【解析】若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．依此求出度数．【答案】A1．(2019遵义二中一模)将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有( C )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个(第1题图)(第2题图)2．(2019原创)如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是( D )A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠3＝180°C．∠2＋∠4<180° D．∠3＋∠5＝180°平行线的性质【例2】如图，直线a∥b，∠1＝85°，∠2＝35°，则∠3＝( )A．85° B．60°C．50° D．35°【解析】过A点作直线c∥b，则c∥a，∵a∥c，∴∠1＝∠4＝85°，又b∥c，∴∠3＝∠5，又∵∠2＝35°，∴∠5＝85°－35°＝50°，∴∠3＝50°.【答案】C3．(2019汇川升学模拟)如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝40°，则∠3的度数是( B )A．75° B．35° C．40° D．55°,(第3题图)),(第4题图)) 4．(2019重庆中考)如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC＝72°，∠ACD＝58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．解：∵EF∥GH，∴∠ABD＋∠FAC＝180°，∴∠ABD＝180°－72°＝108°.∵∠ABD＝∠ACD＋∠BDC，∴∠BDC＝∠ABD－∠ACD＝108°－58°＝50°.平行线的实际应用【例3】如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点，这时，∠ABC的度数是( )A．120° B．135° C．150° D．160°【解析】首先找准方位角，并从中找出互相平行的直线．【答案】C5．(2019遵义升学样卷)如图，直线a∥b，直角三角形ABC的直角顶点B在直线b上，∠1＝36°，则∠2＝__126°__ .,(第5题图)) ,(第6题图)) 6．(2019重庆中考)如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数．解：∵∠AEC＝42°，∴∠AED＝180°－∠AEC＝138°.∵EF平分∠AED，∴∠DEF＝∠AEF＝69°，又∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠DEF＝69°.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得 A. B. C.D.2．分式方程216111x x x +-=--的解是（ ） A ．x ＝﹣2B ．x ＝2C ．x ＝3D ．无解3．某小学为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10，15，10，17，18，20．对于这组数据，下列说法错误的是（ ） A.平均数是15B.众数是10C.中位数是17D.方差是4434．如图，在矩形ABCD 内放入六个小正方形后形成一个中心对称图形，其中顶点E 、F 分别在边BC 、AD 上，则长AD 与宽AB 的比为( )A.6：5B.13：10C.8：7D.4：35．已知点P （a+1，2a ﹣3）关于x 轴的对称点在第二象限，则a 的取值范围是（ ） A.﹣1＜a ＜B.﹣＜a ＜1C.a ＜﹣1D.a>6．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，AD ∥BC ，∠DAB ＝48°，则∠AOC 的度数是（ ）A ．48°B ．96°C ．114°D ．132°7．如图，将△ABC 绕C 顺时针旋转，使点B 落在AB 边上的点B′处，此时，点A 的对应点A′恰好落在BC 边的延长线上，则下列结论中错误的是（ ）A.∠BCB′＝∠ACA′B.∠ACB ＝2∠BC.B′C 平分∠BB′A′D.∠B′CA＝∠B′AC8．如图，P 是抛物线y ＝x 2﹣x ﹣4在第四象限的一点，过点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，则四边形OAPB 周长的最大值为( )A ．10B ．8C ．7.5D ．9．计算的结果为( )A.B.C. D.10．对于二次函数y=ax 2-(2a-1)x+a-1(a≠0)，有下列结论：①其图象与x 轴一定相交；②若a ＜0，函数在x ＞1时，y 随x 的增大而减小；③无论a 取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a 取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．下列运算正确的是（ ）A.222()x y x y +=+ B.632x x x ÷= 3=D.32361126xy x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭12．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，折叠△ABC 使得点C 落在AB 边上的E 处，连接DE 、CE ，下列结论：①△DEB 是等腰直角三角形；②AB ＝AC+CD ；③BE BDAC AB= ；④S △CDE ＝S △BDE ．其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝2，则⊙O的半径为_____．14．因式分解：xy2﹣4xy+4x＝_____．15．如图，在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD 的面积S=__________.16．绝对值等于2的数是_____．17．2﹣1π﹣2011）0+12-＝_____．18．为了进一步了解九年级学生的身体素质情况，体育老师对九年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，绘制出频数分布和得分统计表如下，那么得分的中位数是_____．．三、解答题19．方程组246434a b a b m +=⎧⎨-=⎩的解a ，b 都是正数，求非正整数m 的值．20．如图，已知在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，在AB 上取点D ，使得AD CD =，若//CD BE ． （1）求证：AB BE =；（2）若CD 平分ACB ∠，求ABE ∠的度数．21．如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转．如图2，从侧面看，踏板静止DE 上的线段AB 重合，测得BE 长为0.21m ，当踏板连杆绕着A 旋转到AC 处时，测得∠CAB ＝42°，点C 到地面的距离CF 长为0.52m ，当踏板连杆绕着点A 旋转到AG 处∠GAB ＝30°时，求点G 距离地面的高度GH 的长．（精确到0.1m ，参考数据：sin42°≈0.67，1.73≈）22．如图1，P （m ，n ）在抛物线y=ax 2-4ax （a ＞0）上，E 为抛物线的顶点．（1）求点E 的坐标（用含a 的式子表示）；（2）若点P 在第一象限，线段OP 交抛物线的对称轴于点C ，过抛物线的顶点E 作x 轴的平行线DE ，过点P 作x 轴的垂线交DE 于点D ，连接CD ，求证：CD ∥OE ；（3）如图2，当a=1，且将图1中的抛物线向上平移3个单位，与x 轴交于A 、B 两点，平移后的抛物线的顶点为Q ，P 是其x 轴上方的对称轴上的动点，直线AP 交抛物线于另一点D ，分别过Q 、D 作x 轴、y 轴的平行线交于点E ，且∠EPQ=2∠APQ ，求点P 的坐标．23．在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣8，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x 轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α＝45°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式；（2）如图3，若α为锐角，且tanα＝12，当EA⊥x轴时，正方形对角线EG与OF相交于点M，求线段AM的长；（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴正半轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，是否存在△OEP的：1？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．24．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段CD的端点均在小正方形的顶点上.（1）在图中画出以线段AB为斜边的等腰Rt ABE∆，且点E在小正方形的顶点上；（2）在图中画出以线段CD为边的矩形CDMN，矩形CDMN的面积为16，连接NE，并直接写出tan ENM∠的值.25．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝kx(k≠0)的图象交于A、B点，与y轴交于点C，其中点A的半标为(﹣2，3)(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)如图，若将点C沿y轴向上平移4个单位长度至点F，连接AF、BF，求△ABF的面积．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．13 414．x（y﹣2）215．3016．±217．-118．7三、解答题19．非正整数m的值是0，﹣1．【解析】【分析】先求出方程组的解，得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．【详解】解：解方程组246434a ba b m+=⎧⎨-=⎩得：891112411mamb+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∵a，b都是正数，∴890 1240mm+>⎧⎨->⎩，解得：﹣98＜m＜3，∴非正整数m的值是0，﹣1．【点睛】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组和一元一次不等式组，能得出关于m的不等式组是解此题的关键．20．（1）见解析；（2）∠ABE＝120°．【解析】【分析】（1）欲证明AB=BE，只需推知∠A=∠E即可．（2）由三角形内角和定理和等腰三角形的性质求得∠A=30°，结合（1）中的∠A=∠E和△ABE的内角和是180°解答．【详解】（1）∵AD＝CD ∴∠A＝∠ACD．又∵CD∥BE ∴∠ACD＝∠E．∴∠A＝∠E．∴AB＝BE；（2）∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°∴∠A+∠ACB＝90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD．又∵∠A＝∠ACD，∴∠A+∠ACD+∠BCD＝3∠A＝90°．∴∠A＝30°．∵由（1）得∠A＝∠E＝30°．∴∠ABE＝180°﹣2∠A＝120°．【点睛】考查了等腰三角形的性质，平行线的性质．解题过程中，注意“等角对等边”、“等边对等角”以及三角形内角和是180度等性质的运用，难度一般．21．G距离地面的高度GH的长约为0.4m【解析】【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可求得点G距离地面的高度GH的长.【详解】作CM⊥AB于点M，作GN⊥AB于点N，∵BE＝0.21m，CF＝0.52m，∴MB＝0.31m，设AC ＝am ，则AM ＝（a ﹣0.31）m ，∵∠CAB ＝42°，cos ∠CAM ＝AM AC ， ∴cos42°＝0.31a a-， 解得，a≈1.2，∵∠GAB ＝30°，cos ∠GAN ＝AN AG ，∴2 1.2AN =， 解得，AN≈1.0m，∵AB≈1.2m ，BE ＝0.21m ，∴AE ＝1.41m∴GH ＝AE ﹣AN≈0.4m，答：G 距离地面的高度GH 的长约为0.4m ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．(1) E （2，﹣4a ）；(2)见解析;(3) P （2+1）．【解析】【分析】（1）将原式提取公因式然后化简即可解答（2）设直线OE 的解析式为：y ＝k x ，把E 点代入可得直线OE 的解析式为：y ＝﹣2ax ，由P （m ，n ）得直线OP 的解析式为：y ＝nx m，得到C （2，2n m ），然后设直线CD 的解析式为：y ＝kx+b ，得到：k ＝﹣2a ，即可解答（3）当a ＝1时，抛物线解析式为：y ＝x 2﹣4x ，向上平移3个单位得新的抛物线解析式为：y ＝x 2﹣4x+3＝（x ﹣2）2﹣1，然后设P （2，t ），可得AP 的解析式为：y ＝tx ﹣t ，D （3+t ，t 2+2t ），Q （2，﹣1），E （3+t ，﹣1），再设PE 交x 轴于F ，即可解答【详解】解：（1）y ＝ax 2﹣4ax ＝a （x 2﹣4x+4﹣4）＝a （x ﹣2）2﹣4a ，∴E （2，﹣4a ）；（2）设直线OE 的解析式为：y ＝kx ，把E （2，﹣4a ）代入得：2k ＝﹣4a ，k ＝﹣2a ，∴直线OE 的解析式为：y ＝﹣2ax ，由P （m ，n ）得直线OP 的解析式为：y ＝nx m ， ∴当x ＝2时，y ＝2n m ，即C （2，2n m）， ∵D （m ，﹣4a ），设直线CD 的解析式为：y ＝kx+b ， 将点D 和C 的坐标代入得：422km b a n k b m +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩（n ＝am 2﹣4am ）， 解得：k ＝﹣2a ，根据两直线系数相等，∴OE ∥CD ；（3）如图2，当a ＝1时，抛物线解析式为：y ＝x 2﹣4x ，向上平移3个单位得新的抛物线解析式为：y ＝x 2﹣4x+3＝（x ﹣2）2﹣1，∴Q （2，﹣1），A （1，0），B （3，0），设P （2，t ），可得AP 的解析式为：y ＝tx ﹣t ， 联立方程组为：243y tx t y x x =-⎧⎨=-+⎩ ，解得：1110x y =⎧⎨=⎩ ，22232x t y t t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩ ， ∴D （3+t ，t 2+2t ），∵Q （2，﹣1），∴E （3+t ，﹣1），∴PQ ＝QE ＝t+1，∴∠EPQ ＝45°，∵∠EPQ ＝2∠APQ ，∴∠APQ ＝22.5°，设PE 交x 轴于F ，∵∠DEP ＝45°，∴ME ＝FM ＝1，∴∠FPA ＝∠PAF ＝67.5°，∴PF ＝AF ＝t+1，∵FP，t ＝t+1，t+1，∴P （2 +1）．【点睛】此题为二次函数综合题，需要熟练掌握运算方法23．(1)直线EF 的解析式为y ＝(2)AM ＝；(3)满足条件的点P 的坐标为(0，8)，(﹣8，24)，(﹣24，48)．【解析】【分析】(1)过点E 作EH ⊥OA 于点H,进而求出点E 的坐标,再根据勾股定理求出OF 的值,然后利用待定系数法,即可求出直线EF 的解析式(2)作MN ⊥AM 交x 轴于点N,此时△AEM ≌△NOM,得到AE=ON=4,△AMN 是等腰直角三角形,即可求出AM 的长;(3)根据点F 落在y 轴正半轴上,通过改变正方形的边长,画出直线AE 与直线FG 相交的点P,并判断△OEP的其中两边之比能否为2:1,当△OEP :1时,再通过分类讨论确定出图形,根据图形性质,利用勾股定理、相似三角形、三角函数等知识求得点P 的坐标【详解】(1)∵OE ＝OA ＝8，α＝45°，∴E(﹣，F(0，)，设直线EF 的解析式为y ＝kx+b ，则有b b ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩， 解得1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线EF 的解析式为y ＝．(2)如图3中，作MH ⊥OA 于H ，MK ⊥AE 交AE 的延长线于K ．在Rt△AEO中，tan∠AOE＝12AEOA=，OA＝8，∴AE＝4，∵四边形EOGF是正方形，∴∠EMO＝90°，∵∠EAO＝∠EMO＝90°，∴E、A、O、M四点共圆，∴∠EAM＝∠EOM＝45°，∴∠MAK＝∠MAH＝45°，∵MK⊥AE，MH⊥OA，∴MK＝MH，四边形KAOM是正方形，∵EM＝OM，∴△MKE≌△MHO，∴EK＝OH，∴AK+AH＝2AH＝AE+EK+OA﹣OH＝12，∴AH＝6，∴AM＝．(3)如图2中，设F(0，2a)，则E(﹣a，a)．∵A(﹣8，0)，E(﹣a，a)，∴直线AP的解析式为y＝888a axa a+--，直线FG的解析式为y＝﹣x+2a，由22424,84884a ay x a xa ay x a aa a y⎧-=-+=⎧⎪⎪⎪⎨⎨=++⎪⎪--⎩=⎪⎩解得，∴P(2244,44a a a a-+)．①当POOE时，∴PO2＝2OE2，则有：2222(4)(4)1616a a a a-++＝4a2，解得a＝4或﹣4(舍弃)或0(舍弃)，此时P(0，8)．②当PO PE 时，则有：2222(4)(4)1616a a a a -++＝2[(22244+)44a a a a a a -++-（)2]， 解得：a ＝4或12，此时P(0，8)或(﹣24，48)，③当PE EO 时，[(22244+)44a a a a a a -++-（)2]＝4a 2， 解得a ＝8或0(舍弃)，∴P(﹣8，24)综上所述，满足条件的点P 的坐标为(0，8)，(﹣8，24)，(﹣24，48)．【点睛】本题考査了正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、解直角三角形、相似三角形的判定与性质，解题关键在于做辅助线24．（1）见解析；（2）见解析，tan 1ENM ∠=.【解析】【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；（2）利用矩形的性质画出正确的图形。
第四章图形的初步认识与三角形、四边形第一节线段、角、相交线和平行线1．(2019常德中考)若一个角为75°，则它的余角的度数为( D )A．285° B．105° C．75° D．15°2．(2019自贡中考)如图，a∥b，点B在直线a上，且AB⊥BC，∠1＝35°，那么∠2＝( C ) A．45° B．50° C．55° D．60°(第2题图)(第3题图)3．(2019百色中考)如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是( B )A．∠1＝∠6 B．∠2＝∠6C．∠1＝∠3 D．∠5＝∠74．(东营中考)如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A等于( C )A．30° B．35° C．40° D．50°(第4题图)(第5题图)5．(襄阳中考)如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝30°，则∠C的度数为( C )A．50° B．40° C．30° D．20°6．(2019福州中考)下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是( B ),A),B),C),D)7．(湘西中考)如图，直线CD∥EF，直线AB与CD，EF分别相交于点M，N，若∠1＝30°，则∠2＝__30°__．8．(2019荆州中考)一把直尺和一块三角板ABC(含30°，60°角)摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，且∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小为( D )A．40° B．45° C．50° D．10°(第8题图)(第9题图)9．(2019宁波中考)已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为( D ) A．20° B．30° C．45° D．50°10．(枣庄中考)如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是( B ) A．75°36′ B．75°12′ C．74°36′ D．74°12′(第10题图)(第11题图)11．(昆明中考)如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝20°，则∠B的度数为__40°__．12．(宜宾中考)如图，直线a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠P＝__75°__．(第12题图)(第13题图)13．(2019德州中考)如图，利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l平行线的方法，其理由是__同位角相等，两直线平行__．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图为二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象，则下列说法：①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④当-1<x<3时，y>0 其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.42．已知：32251025x xx x-++﹣M＝55xx-+，则M＝( )A．x2B．25xx+C．2105x xx-+D．2105x xx++3．如图，在△ABC中，∠B的平分线为BD，DE∥AB交BC于点E，若AB＝9，BC＝6，则CE长为（）A.185B.165C.145D.1254．如图，已知CA、CB分别与⊙O相切于A、B两点，D是⊙O上的一点，连接AD、BD，若∠C＝56°，则∠D等于（）A.72°B.68°C.64°D.62°5．合肥市教育教学研究室为了了解该市所有毕业班学生参加2019年安徽省中考一模考试的数学成绩情况（满分：150分，等次：A等，130分:150分；B等，110分:129分；C等，90分:109分；D 等，89分及以下），从该市所有参考学生中随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果制作了如下的统计图表（部分信息未给出）：2019年合肥市一模数学成绩频数分布表2019年合肥市一模教学成绩频数分布直方图根据图表中的信息，下列说法不正确的是（ ） A ．这次抽查了20名学生参加一模考试的数学成绩 B ．这次一模考试中，考试数学成绩为B 等次的频率为0.4C ．根据频数分布直方图制作的扇形统计图中等次C 所占的圆心角为105︒D ．若全市有20000名学生参加中考一模考试，则估计数学成绩达到B 等次及以上的人数有12000人 6．广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年.光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米.则“比邻星”距离太阳系约为（ ） A ．13410⨯千米B ．12410⨯千米C ．139. 510⨯千米D ．129. 510⨯千米7．一个不透明的布袋里装有1个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出2个球，都是黄球的概率为( ) A ．16B ．15C ．13D ．128．已知AB 是圆O 的直径，AC 是弦，若AB ＝4，AC ＝，则sin ∠C 等于（ ）A ．2B ．12C ．3D ．39．二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图，则反比例函数y=ax与一次函数y=bx ﹣c 在同一坐标系内的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．10．如图，点O 是等边三角形ABC 内的一点，BOC=150∠︒，将BCO ∆绕点C 按顺时针旋转60︒得到ACD ∆，则下列结论不正确的是( )A.BO=ADB.DOC=60∠︒C.OD AD ⊥D.OD//AB11．如果a 2+2a ﹣1＝0，那么代数式(a ﹣4a )•22a a -的值是( )A.1B.12D.212．已知函数6y x -= 与y ＝﹣x+1的图象的交点坐标是（m ，n ），则11m n+的值为（ ） A ．﹣16 B ．16C ．﹣6D ．6二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC 是正方形，点A 的坐标为(1,1)，弧1AA 是以点B 为圆心，BA 为半径的圆弧；弧12A A 是以点O 为圆心，1OA 为半径的圆弧，弧23A A 是以点C 为圆心，2CA 为半径的圆弧，弧34A A 是以点A 为圆心，3AA 为半径的圆弧.继续以点B ，O ，C ，A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A …称为正方形的“渐开线”，则点2019A 的坐标是__________．14．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AC、BD相交于点E，若AB1CD4=，则AEAC=______．15．分解因式：mn2﹣6mn+9m=_____．16．正方形EFGH的顶点在边长为3的正方形ABCD边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y与x 的函数关系式为______．17．已知函数，那么______．18．张老师上班途中要经过1个十字路口，十字路口红灯亮30秒、黄灯亮5秒、绿灯亮25秒，张老师希望上班经过路口是绿灯，但实际上这样的机会是___．三、解答题19．“腹有诗书气自华，阅读路伴我成长”，我区某校学生会以“每天阅读1小时”为问卷主题，对学生最喜爱的书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅末完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（1）把折线统计图（图1）补充完整；（2）该校共有学生1200名，请估算最喜爱科普类书籍的学生人数．20．如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点G是BA延长线上一点，点F是AC上一点，AG＝AF，连接GF并延长交BC于E．(1)若AB＝8，BC＝6，求AD的长；(2)求证：GE⊥BC．21．为丰富学生的课余生活，学校准备购买部分体育器材，以满足学生们的需求．学校对“我最喜爱的体育运动”进行了抽样调查（每个学生只选一次），根据调查结果绘成如图所示的两幅不完整统计图，请你根据统计图提供的信息解答下列问题．（1）求m、n的值；（2）若该校有2000名学生，请你根据样本数据，估算该校喜欢踢足球的学生人数是多少？22．已知，如图，BD为⊙O的直径，点A、C在⊙O上并位于BD的两侧，∠ABC＝45°，连结CD、OA并延长交于点F，过点C作⊙O的切线交BD延长线于点E．（1）求证：∠F＝∠ECF；（2）当DF ＝6，tan ∠EBC ＝12，求AF 的值．23．（1）计算：10124303)cos -︒⎛⎫-++-- ⎪⎝⎭（2）先化简，再求值：2222121111a a a a a a a +-+⋅---+，其中a ＝﹣12． 24．如图，正比例函数y ＝﹣2x 与反比例函数y ＝kx的图象相交于A （m ，4），B 两点． （1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标； （2）当﹣2x≤kx时，请直接写出x 的取值范围．25．计算： （1）﹣30﹣（12）﹣2﹣（14）2010×（﹣4）2011（2）（﹣3a ）3﹣（﹣a ）•（﹣3a ）2．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．(2019,1)-14．1 515．m（n﹣3）2 16．y=2x2﹣6x+9 17．218．5 12．三、解答题19．（1）见解析；（2）320人．【解析】【分析】（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得总人数，根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可；（2）用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解．【详解】解：（1）一共调查了45÷30%＝150（名），艺术的人数：150×20%＝30（名），其它的人数：150×10%＝15（名）；补全折线图如图：（2）最喜爱科普类书籍的学生人数为：40150×1200＝320（人），答：估算最喜爱科普类书籍的学生有320人．【点睛】考查折线统计图, 用样本估计总体, 扇形统计图，是中考常考题型，难度一般.20．(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意可知AD⊥BC，BD＝CD＝3，再根据勾股定理即可解答（2）根据题意可知GA＝GF，得到∠G＝∠AFG，再通过∠BAC＝∠G+∠AFG＝2∠AFG，∠BAC＝2∠CAD，得到AD∥EG，即可解答【详解】(1)∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD＝3，在Rt△ABD中，AD=．(2)∵GA＝GF，∴∠G＝∠AFG，∵∠BAC＝∠G+∠AFG＝2∠AFG，∠BAC＝2∠CAD，∴∠AFG＝∠CAD，∴AD∥EG，∵AD⊥BC，∴GE⊥BC．【点睛】此题考查了直角三角形的定理和性质，解题关键在于利用两角相等证明两条线平行21．（1）m＝40，n＝60；（2）该校喜欢踢足球的学生人数是400人．【解析】【分析】（1）根据喜爱篮球的人数÷其所占的百分比得到总人数，再由总人数乘以喜爱排球的人数所占百分比得到n，用总人数-喜爱篮球人数-喜爱排球的人数-喜爱其他人数，即可确定出m的值；（2）求出喜欢踢足球的学生人数所占的百分比，乘以2000即可得到结果．【详解】（1）70÷35%＝200（人）n＝200×30%＝60，m＝200﹣70﹣60﹣40＝40；（2）2000×40200＝400 （人）答：该校喜欢踢足球的学生人数是400人．【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．22．（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）连结OC，根据切线的性质得到OC⊥CE，根据圆周角定理得到∠AOC＝90°，计算即可证明；（2）DC＝x，根据正切的定义用x表示出BC、BD、OC，根据正切的定义列式计算即可．【详解】（1）证明：连结OC，∵CE切圆O于C，∴OC⊥CE，∴∠OCF+∠FCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∴∠F+∠OCF＝90°，∴∠F＝∠ECF；（2）设DC＝x，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵BD为圆O的直径∴∠BCO+∠OCD＝90°，∵∠ECD+∠OCD＝90°，∴∠OBC＝∠ECD，∵∠F＝∠ECD，∴∠F＝∠EBC，在Rt△BCD中，tan∠EBC＝12，则BC＝2DC＝2x，BD，∴OC＝OA x，在Rt△FOC中，tanF＝tan∠EBC＝1 2∴FC，即6+x x，解得，x＝4，∴OF ＝2OC ＝∴AF ＝OF ﹣AO ＝ 【点睛】本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 23．（1）4；（2）1a，-2. 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值以及绝对值的意义进行计算； （2）将原式的分子、分母因式分解，约分后计算减法，再代值计算即可． 【详解】（1） ）0+（13）﹣1+4cos30°﹣＝1+3+4×2﹣＝＝4； （2）2222121111a a a a a a a+-+-+-- ＝22111(1)(1(1)1a a a a a a a +--+--+（））＝21(1)(1)a aa a a a +-++＝1(1)a a a ++＝1a， 当a ＝﹣12 时，原式＝11-2＝﹣2．【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值．解答（1）题的关键是根据零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值以及绝对值的意义进行计算；解答（2）题的关键是把分式化到最简，然后代值计算． 24．（1）8y x=- ，B （2，﹣4）；（2）﹣2≤x＜0或x≥2． 【解析】【分析】（1）将A 坐标代入正比例函数2y x =-求出m 的值，将(24A -，）代入反比例解析式求k 的值，根据A 、B 关于O 点对称即可确定出B 坐标；（2）根据图象和交点坐标找出正比例函数图象位于反比例函数图象下方时x 的范围即可． 【详解】解：（1）将4A m （，）代入正比例函数2y x =-得：42m =-， 解得2m =-，∴(24A ﹣，），∵反比例函数ky x=的图象经过24A （﹣，） ， ∴248k =-⨯=- ， 则反比例解析式为8y x=- ， ∵A 、B 关于O 点对称 ∴B （2，﹣4）；（2）由图象得：当2kx x≤﹣时，x 的取值范围为20x -≤＜或2x ≥． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 25．（1）-1；（2）﹣18a 3 【解析】 【分析】（1）直接利用负指数幂的性质以及积的乘方运算法则化简得出答案；（2）直接利用积的乘方运算法则以及结合单项式乘以单项式运算法则计算得出答案． 【详解】（1）原式＝﹣1﹣4+（14×4）2010×4 ＝﹣5+4 ＝﹣1；（2）原式＝﹣27a 3+a•9a 2 ＝﹣27a 3+9a 3 ＝﹣18a 3． 【点睛】此题主要考查了负指数幂的性质以及积的乘方运算、积的乘方运算法则以及单项式乘以单项式运算，正确掌握运算法则是解题关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形上，AB 与CD 相交于点O ，则tan ∠AOD 等于（ ）A ．12B ．2C ．1D2．在使用科学计算器时，依次按键的方法如图所示，显示的结果在数轴上对应的点是( )A.点DB.点CC.点BD.点A3．一个整数8150…0用科学记数法表示为8.15×1010，则原数中“0”的个数为( ) A ．7B ．8C ．9D ．104．在一个不透明的口袋中装有6个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其它差别，从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（ ） A ．1B ．14C ．12D ．345．港珠澳大桥是中国第一例集桥、双人工岛、隧道为一体的跨海通道. 其中海底隧道是由33个巨型沉管连接而成，沉管排水总量约76000吨. 将数76000用科学记数法表示为（ ） A ．47.610⨯B ．37610⨯C ．50.7610⨯D ．57.610⨯6．在ABC ∆中，E 、F 是BC 边上的三等分点，BM 是AC 边上的中线，AE 、AF 分BM 为三段的长分别是x 、y 、z ，若这三段有x y z >>，则::x y z 等于( )A ．3:2:1B ．4:2:1C ．5:2:1D ．5:3:27．如图，小明想用长为12米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD ，则矩形ABCD 的最大面积是（ ）平方米．A ．16B ．18C ．20D ．24 8．分式方程的解是( )A.B.C.D.9．若点()1A -3y ，，()2B -1y ，，()3C 2y ，在反比例函数2k +1y=x (k 为常数)的图象上，则123y y y ，，的大小关系是( )A.213y y y <<B.123y y y <<C.231y y y <<D.321y y y <<10．如图是某市一天内的气温变化情况，则下列说法中错误的是( )A ．这一天的最高气温是24CB ．从2时至14时，气温在逐渐升高C ．从14时至24时，气温在逐渐降低D ．这一天的最高气温与最低气温的差为14C11．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（ ） A ．一组对边平行，另一组对边相等 B ．一组对边平行，一组对角相等 C ．一组对边平行，一组邻角互补 D ．一组对边相等，一组邻角相等 12．下列说法中正确的是( )A ．三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等B ．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等C ．三角形三条中线的交点到三个顶点的距离相等D．三角形三条中线的交点到三边的距离相等二、填空题13．矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为________．14．若2x＝3，2y＝5，则22x+y＝_____．15．用一组的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是a=___.16．某校为了加强学生的综合体能素质，准备购买些体育用品，已知购买5个篮球和3个足球共需900元，购买3个篮球和5个足球共需860元，则篮球和足球的售价分别是多少元？设篮球的售价是x元，足球的售价是y元，依题意，可列出方程组为_____．17．今有甲、乙、丙三名候选人参与某村村长选举，共发出1800张选票，得票数最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内．全村设有四个投票点，目前第一、第二、第三投票点已公布投票结果，剩下第四投票点尚未公布投票结果，如表所示：（单位：票）三名候选人_____有机会当选村长（填甲、乙、丙），并写出你的推断理由_____．18_____．三、解答题19．（1）计算：（﹣2）2﹣（π﹣3.14）0；（2）化简：（x﹣3）（x+3）+x（2﹣x）．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，EF⊥AB于点F，交AC于点E，且AF＝BF，若AB＝10，3A=．求线段EF长．sin521．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F．（1）根据题意补全图形．（2）如果AF＝1，求CF的长．22．央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注，我市也在各个学校开展了传承经典的相关主题活动“戏曲进校园”．某校对此项活动的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两副尚不完整的统计图，请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”．（1）被调查的总人数是人，扇形统计图中B部分所对应的扇形圆心角的度数为，并补全条形统计图；（2）若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果估计该校学生中A类有多少人；（3）在A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树状图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．23．在女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S(米)与所用时间t(秒)之间的函数关系分別如图中线段OA和折线OBCD所示．(1)谁先到终点，当她到终点时，另一位同学离终点多少米？(请直接写出答案)(2)起跑后的60秒内谁领先？她在起跑后几秒时被追及？请通过计算说明．24．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．①求证：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．25．某社区准备五一组织社区内老年人去到县参加采摘节，现有甲、乙两家旅行社表示对老年人优惠，甲旅行社的优惠方式为：在原来每人100元的基础上，每人按照原价的60%收取费用;乙旅行社的优惠方式为：在收取一个600元固定团费的基础上，再额外收取每人40元.设参加采摘节的老年人有x人，甲、乙两家旅行社实际收费为1y元、2y元.（Ⅰ）根据题意，填写下表：（Ⅱ）求1y、2y关于x的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）？（Ⅲ）如果50x>，选择哪家旅行社合算？【参考答案】***一、选择题二、填空题13或．14．15．-1，-2（答案不唯一）16．53900 35860 x yx y+=⎧⎨+=⎩17．甲或丙∵第一、第二、第三投票箱甲得票数为：200+286+97＝583；乙得票数为：211+85+41＝337；丙得票数为：147 + 244 + 205 ＝596：∴596﹣583＝13丙目前领先甲13票，所以，第四投票所甲赢丙14票以上，则甲当选，故甲可能当选；第四投票所甲赢丙13票以下，则丙当选，故丙可能当选；而596﹣337＝259＞250，若第四投票点的250票皆给乙，乙的总票数仍然比丙低，故乙不可能当选，即：甲或丙有机会当选村长，18三、解答题19．（1）；（2）2x﹣9．【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂，零指数幂，化简二次根式，然后计算加减法；（2）先利用平方差公式和单项式乘多项式去括号，然后计算加减法．【详解】（1）原式＝4﹣（2）原式＝x2﹣9+2x﹣x2＝2x﹣9．【点睛】考查了平方差公式，实数的运算，单项式乘多项式，零指数幂等知识点，熟记计算法则即可解答，属于基础题．20．EF=15 4【解析】【分析】由已知AF=BF，AB=10，可以求出AF的长，由sinA＝35EFAE=，用同一未知数表示出AE，EF，用勾股定理列方程即可求出．【详解】解：∵AF＝BF，AB＝10，∴1AB52AF==又EF⊥AB，∴∠AFE＝90°，在Rt△AFE中sinA＝35 EFAE=，设EF＝3x，那么AE＝5x，根据勾股定理有（5x）2﹣（3x）2＝52，∴x＝54，∴5153344 EF x==⨯=；【点睛】此题主要考查了解直角三角形和勾股定理应用，用同一未知数表示出AE，EF，是解决问题的关键．21．（1）如图所示，见解析；（2）CF＝2．【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法画出图形即可；（2）过点D作DG∥BF，交AC于点G，根据三角形中位线定理即可得出结论．【详解】（1）如图，（2）作DH∥AC交BF于H，如图，∵DH∥AF，∴∠EDH＝∠EAF，∠EHD＝∠EFA，∴△EDH≌△EAF，∴DH＝AF＝1，∵点D为BC的中点，DH∥CF，∴DH为△BCF的中位线，∴CF＝2DH＝2．【点睛】本题考查的是作图-复杂作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．22．（1）50，216°，图见解析；（2）A类有180人；(3) 2 5【解析】【分析】（1）用A类人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，用B类人数所占的百分比乘以360°得到扇形统计图中B部分所对应的扇形圆心角的度数，然后计算C类的人数后补全条形统计图；（2）用1800乘以样本中A类人数所占的百分比即可；（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出被抽到的两个学生性别相同的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】解：（1）5÷10%＝50，所以被调查的总人数是50人，扇形统计图中B部分所对应的扇形圆心角的度数＝360°×3050＝216°C类的人数为50﹣5﹣30﹣5＝10（人），条形统计图为：（2）1800×10%＝180，所以根据上述调查结果估计该校学生中A类有180人；（3）画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中被抽到的两个学生性别相同的结果数为8，所以被抽到的两个学生性别相同的概率＝820＝25．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．23．(1)小莹比小梅先到终点，此时小梅距离终点200米；(2)小梅在起跑后5407秒时被追及．【解析】【分析】（1）小莹比小梅先到终点，此时小梅距离终点200米；（2）根据图象可以知道跑后的60秒内小梅领先，根据线段的交点坐标可以求出小梅被追及时间．【详解】(1)小莹比小梅先到终点，此时小梅距离终点200米； (2)根据图象可以知道跑后的60秒内小梅领先， 小莹的速度为：800401809= (米/秒)， 故线段OA 的解析式为：y ＝409x ， 设线段BC 的解析式为：y ＝kx+b ，根据题意得：60300180600k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k 2.5b 150=⎧⎨=⎩， ∴线段BC 的解析式为y ＝2.5x+150， 解方程40 2.51509x x =+，得5407x =， 故小梅在起跑后5407秒时被追及． 【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． 24．（1）详见解析；（2）75° 【解析】 【分析】①求出∠ABE=∠CBD ，然后利用“边角边”证明△ABE 和△CBD 全等即可；②先根据等腰直角三角形的锐角都是45°求出∠CAB ，再求出∠BAE ，然后根据全等三角形对应角相等求出∠BCD ，再根据直角三角形两锐角互余其解即可； 【详解】①证明：∵∠ABC=90°，D 为AB 延长线上一点， ∴∠ABE=∠CBD=90°， 在△ABE 和△CBD 中，AB CB ABE CBD BE BD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ABE ≌△CBD （SAS ）； ②∵AB=CB ，∠ABC=90°， ∴∠CAB=45°， ∵∠CAE=30°，∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，∵△ABE ≌△CBD ， ∴∠BCD=∠BAE=15°，∴∠BDC=90°-∠BCD=90°-15°=75°； 【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，是基础题；掌握判定是关键.25．（Ⅰ）甲旅行社：600，1200；乙旅行社：1000，1400；（Ⅱ）160y x =；240600y x =+；（Ⅲ）当50x >时，选择乙旅行社比较合算.【解析】 【分析】（Ⅰ）根据甲、乙两旅行社的优惠方法填表即可；（Ⅱ）根据甲、乙两旅行社的优惠方法，找出甲旅行社收费y 1，乙旅行社收费y 2与旅游人数x 的函数关系式；（Ⅲ）当x 50>时，根据（Ⅱ）的解析式，求出1y 与2y 的差，根据一次函数的增减性得出哪家旅行社合算． 【详解】 解：（Ⅰ）（Ⅱ）110060%60y x =⨯=；240600y x =+； （Ⅲ）设1y 与2y 的差为y 元.则6040600y x x =-+（），即20600y x =-，当0y =时，即206000x -=，得30x =. ∵200>，∴y 随x 的增大而增大. 又当50x =时，4000y =>∴当50x >时，选择乙旅行社比较合算. 【点睛】本题考查一次函数的应用—方案选择问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．。
第一部分 第四章 课时161．如图，已知点B ，C ，D 在同一条直线上，AC ＝BC ，DC ＝EC, ∠ACB ＝∠ECD ，BE 交AC 于点F ，AD 交CE 于点G .则下列结论中正确的是( A )第1题图A ．AD ＝BEB ．BE ⊥ACC ．△CFG 为等边三角形D ．FG ＝12BC 【解析】∵∠ACB ＝∠ECD ，∴∠ACD ＝∠ECB .在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，DC ＝EC ，∴△ACD ≌△BCE (SAS)， ∴AD ＝BE ，结论A 正确. 根据已知条件不能推出其他选项结论的正确性，故选A ．2．已知，如图，正边形ABCD 的边长为5，对角线BD 与AC 相交于点O ，OE ⊥OF ，点E ，F 在AB ，BC 上. 若BF ＝3，则BE ＝__2__.第2题图【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝5, ∠ABO ＝∠BCO ＝45°，∠BOC ＝90°， BO ＝CO .又∵OE ⊥OF ，∴∠EOF ＝90°， ∴∠EOB ＝∠FOC .在△BEO 和△CFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠EOB ＝∠FOC ，OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，∴△BEO ≌△CFO (ASA)，∴BE ＝CF ＝BC －BF ＝5－3＝2.3．已知：△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，BC ＝AD ，AB ＝AE ，BC ∥DE .第3题图求证：(1)△ABC ≌△EAD ；(2)BA ⊥EA .证明：(1)∵∠C ＝90°，BC ∥DE ，∴∠ADE ＝∠EDC ＝90°.在Rt △ABC 和Rt △EAD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧ AB ＝AE ，BC ＝AD ，∴Rt △ABC ≌Rt △EAD (HL)．(2)∵Rt △ABC ≌Rt △EAD ，∴∠BAC ＝∠AED .又∵∠AED ＋∠DAE ＝90°，∴∠BAC ＋∠DAE ＝90°，即∠BAE ＝90°，∴BA ⊥EA .（本资料素材和资料部分来自网络，供参考。
1第一部分第四章课时162019权威•预测1.如图，已知点 B , C, D 在同一条直线上， AC= BC DC= EC, / ACB=Z ECD BE 交ACA. AD= BEB. BEL ACC. A CFG^等边三角形1 D. FG=尹C 【解析】•••/ ACB=Z ECD ^Z ACD=Z ECBAC= BC,在厶 ACDFH A BCE 中, Z ACD=Z BCEDC= EC,•••△ ACD^ BCE SAS ）,••• AD= BE 结论A 正确.根据已知条件不能推出其他选项结论的正确性，故选 A.2.已知，如图，正边形 ABC 啲边长为5,对角线 BD 与 AC 相交于点 O OELOF 点E, F 在 AB BC 上.若 BF = 3,贝U BE=【解析】•••四边形 ABCDI 正方形，• AB= BC ^ 5, Z AB QZ BC Q 45° , Z BOC= 90° , BO= CO又••• OEL OF •Z EOF= 90° , EOB=Z FOCZ EOB=Z FOC 在厶 BEOFH A CFC 中 , OB= OCZ OBE=Z OCE= 45 •••△ BEO^ CFO ASA),• BE= CF = BC — BF = 5 — 3= 2.于点F ，AD 交CE 于点G 则下列结论中正确的是（A ）第1题图第2题图BC= AD AB= AE BC// DE3.已知：△ ABC是直角三角形，/ C= 90°,⑵ BAL EA证明：（1）•••/ C^ 90°,BC// DE•••/ ADE=Z EDC= 90°.AB= AE 在Rt △ ABC和Rt △ EAD中,BC= AD••• Rt△ABC^ Rt△EAD HL）.⑵••• Rt△ABC^Rt △EAD •/ BAO Z AED又•••/ AED^Z DAE= 90°,•••/ BAO Z DAE= 90°,即Z BAE= 90°,「. BA L EA2。
