初中数学锐角三角函数的真题汇编及答案
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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB 的延长线于切点为G,连接AG交CD于K.(1)求证:KE=GE;(2)若KG2=KD•GE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由;(3)在(2)的条件下,若sinE=,AK=,求FG的长.【答案】(1)证明见解析;(2)AC∥EF,证明见解析;(3)FG= .【解析】试题分析:(1)如图1,连接OG.根据切线性质及CD⊥AB,可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE,根据等角对等边得到KE=GE;(2)AC与EF平行,理由为:如图2所示,连接GD,由∠KGE=∠GKE,及KG2=KD•GE,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似,又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD,可推知∠E=∠C,从而得到AC∥EF;(3)如图3所示,连接OG,OC,先求出KE=GE,再求出圆的半径,根据勾股定理与垂径定理可以求解;然后在Rt△OGF中,解直角三角形即可求得FG的长度.试题解析:(1)如图1,连接OG.∵EG为切线,∴∠KGE+∠OGA=90°,∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG=90°,又∵OA=OG,∴∠OGA=∠OAG,∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,∴KE=GE.(2)AC∥EF,理由为连接GD,如图2所示.∵KG2=KD•GE,即,∴,又∵∠KGE=∠GKE,∴△GKD∽△EGK,∴∠E=∠AGD,又∵∠C=∠AGD,∴∠E=∠C,∴AC∥EF;(3)连接OG,OC,如图3所示,∵EG为切线,∴∠KGE+∠OGA=90°,∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG=90°,又∵OA=OG,∴∠OGA=∠OAG,∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,∴KE=GE.∵sinE=sin∠ACH=,设AH=3t,则AC=5t,CH=4t,∵KE=GE,AC∥EF,∴CK=AC=5t,∴HK=CK-CH=t.在Rt△AHK中,根据勾股定理得AH2+HK2=AK2,即(3t)2+t2=(2)2,解得t=.设⊙O半径为r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r-3t,CH=4t,由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,即(r-3t)2+(4t)2=r2,解得r= t=.∵EF为切线,∴△OGF为直角三角形,在Rt△OGF中,OG=r=,tan∠OFG=tan∠CAH=,∴FG=【点睛】此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,垂径定理,勾股定理,锐角三角函数定义,圆周角定理,平行线的判定,以及等腰三角形的判定,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC.(1)求证:∠AEC=90°;(2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由;(3)若DC=2,求DH的长.【答案】(1)证明见解析;(2)四边形AOCD为菱形;(3)DH=2.【解析】试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出∠AEC=90°;(2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形);(3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长.试题解析:(1)连接OC,∵EC与⊙O切点C,∴OC⊥EC,∴∠OCE=90°,∵点CD是半圆O的三等分点,∴,∴∠DAC=∠CAB,∵OA=OC,∴∠CAB=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴AE∥OC(内错角相等,两直线平行)∴∠AEC+∠OCE=180°,∴∠AEC=90°;(2)四边形AOCD为菱形.理由是:∵,∴∠DCA=∠CAB,∴CD∥OA,又∵AE∥OC,∴四边形AOCD是平行四边形,∵OA=OC,∴平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形);(3)连接OD.∵四边形AOCD为菱形,∴OA=AD=DC=2,∵OA=OD,∴OA=OD=AD=2,∴△OAD是等边三角形,∴∠AOD=60°,∵DH⊥AB于点F,AB为直径,∴DH=2DF,在Rt△OFD中,sin∠AOD=,∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=,∴DH=2DF=2.考点:1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形.3.如图,PB为☉O的切线,B为切点,过B作OP的垂线BA,垂足为C,交☉O于点A,连接PA,AO.并延长AO交☉O于点E,与PB的延长线交于点D.(1)求证:PA是☉O的切线;(2)若=,且OC=4,求PA的长和tan D的值.【答案】(1)证明见解析;(2)PA =3,tan D=.【解析】试题分析: (1)连接OB,先由等腰三角形的三线合一的性质可得:OP是线段AB的垂直平分线,进而可得:PA=PB,然后证明△PAO≌△PBO,进而可得∠PBO=∠PAO,然后根据切线的性质可得∠PBO=90°,进而可得:∠PAO=90°,进而可证:PA是⊙O的切线;(2)连接BE,由,且OC=4,可求AC,OA的值,然后根据射影定理可求PC的值,从而可求OP的值,然后根据勾股定理可求AP的值.试题解析:(1)连接OB,则OA=OB,∵OP⊥AB,∴AC=BC,∴OP是AB的垂直平分线,∴PA=PB,在△PAO和△PBO中,∵,∴△PAO≌△PBO(SSS)∴∠PBO=∠PAO,PB=PA,∵PB为⊙O的切线,B为切点,∴∠PBO=90°,∴∠PAO=90°,即PA⊥OA,∴PA是⊙O的切线;(2)连接BE,∵,且OC=4,∴AC=6,∴AB=12,在Rt△ACO中,由勾股定理得:AO=,∴AE=2OA=4,OB=OA=2,在Rt△APO中,∵AC⊥OP,∴AC2=OC PC,解得:PC=9,∴OP=PC+OC=13,在Rt△APO中,由勾股定理得:AP==3.易证,所以,解得,则,在中,.考点:1.切线的判定与性质;2.相似三角形的判定与性质;3.解直角三角形.4.如图,某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度,由于教学楼底部不能直接到达,故兴趣小组在平地上选择一点C,用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°,再向主教学楼的方向前进24米,到达点E处(C,E,B三点在同一直线上),又测得主教学楼顶端A 的仰角为60°,已知测角器CD 的高度为1.6米,请计算主教学楼AB 的高度.(3≈1.73,结果精确到0.1米)【答案】22.4m 【解析】 【分析】首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造等量关系,进而求解. 【详解】解:在Rt △AFG 中,tan ∠AFG =3, ∴FG =tan 3AG AFG =∠,在Rt △ACG 中,tan ∠ACG =AGCG, ∴CG =tan AGACG ∠=3AG .又∵CG ﹣FG =24m ,即3AG ﹣3=24m , ∴AG =123m , ∴AB =123+1.6≈22.4m .5.如图,在ABC △中,10AC BC ==,3cos 5C =,点P 是BC 边上一动点(不与点,A C 重合),以PA 长为半径的P 与边AB 的另一个交点为D ,过点D 作DE CB ⊥于点E .()1当P与边BC相切时,求P的半径;()2联结BP交DE于点F,设AP的长为x,PF的长为y,求y关于x的函数解析式,并直接写出x的取值范围;()3在()2的条件下,当以PE长为直径的Q与P相交于AC边上的点G时,求相交所得的公共弦的长.【答案】(1)409;(2)()25880010320x x xy xx-+=<<+;(3)1025-【解析】【分析】(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP⊥BC,cosC=35,则sinC=45,sinC=HPCP=R10R-=45,即可求解;(2)PD∥BE,则EBPD=BFPF,即:2248805x x x yx y--+-=,即可求解;(3)证明四边形PDBE为平行四边形,则AG=GP=BD,即:AB=DB+AD=AG+AD=45,即可求解.【详解】(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP⊥BC,cosC=35,则sinC=35,sinC=HPCP=R10R-=45,解得:R=409;(2)在△ABC中,AC=BC=10,cosC=35,设AP=PD=x,∠A=∠ABC=β,过点B作BH⊥AC,则BH=ACsinC=8,同理可得:CH=6,HA=4,AB=45,则:tan∠CAB=2BP=()2284x+-=2880x x-+,DA=25x,则BD=45-25x,如下图所示,PA=PD,∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β,tanβ=2,则55EB=BDcosβ=(555x)525x,∴PD∥BE,∴EBPD=BFPF,即:2248805x x x yx y--+=,整理得:y=)2x8x800x103x20-+<<+;(3)以EP为直径作圆Q如下图所示,两个圆交于点G,则PG=PQ,即两个圆的半径相等,则两圆另外一个交点为D,GD为相交所得的公共弦,∵点Q时弧GD的中点,∴DG⊥EP,∵AG是圆P的直径,∴∠GDA=90°,∴EP∥BD,由(2)知,PD∥BC,∴四边形PDBE为平行四边形,∴AG=EP=BD,∴AB=DB+AD=AG+AD=45,设圆的半径为r,在△ADG中,AD=2rcosβ=5,DG=5,AG=2r,5+2r=45,解得:2r=51,则:DG=5=10-25,相交所得的公共弦的长为10-25.【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用,涉及到解直角三角形、勾股定理等知识,其中(3),要关键是根据题意正确画图,此题用大量的解直角三角形的内容,综合难度很大.6.关于三角函数有如下的公式:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ①cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ②tan(α+β)=③利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值,如:tan105°=tan(45°+60°)==﹣(2+).根据上面的知识,你可以选择适当的公式解决下面的实际问题:如图,直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°,底端C点的俯角β=75°,此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m,求建筑物CD的高.【答案】建筑物CD的高为84米.【解析】分析:如图,过点D作DE⊥AB于点E,由题意易得∠ACB=75°,∠ABC=90°,DE=BC=42m,∠ADE=60°,这样在Rt△ABC和在Rt△ADE中,结合题中所给关系式分别求出AB和AE的长,即可由CD=BE=AB-AE求得结果了.详解:如图,过点D作DE⊥AB于点E,由题意可得∠ACB=75°,∠ABC=90°,DE=BC=42m,CD=BE,∠ADE=60°,∴在Rt△ABC和Rt△ADEAB=BC•tan75°=42tan75°=,AE=,∴CD=AB﹣AE=(米).答:建筑物CD的高为84米.睛:读懂题意,把已知量和未知量转化到Rt△ABC和Rt△ADE中,这样利用直角三角形中边角间的关系结合题目中所给的“两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.7.如图,某次中俄“海上联合”反潜演习中,我军舰A测得潜艇C的俯角为30°.位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.(结果保留整数.参考数据:sin68°≈0.9,cos68°≈0.4,tan68°≈2.5,3≈1.7)【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米【解析】试题分析:过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D,则AD即为潜艇C的下潜深度,用锐角三角函数分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD,利用BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解.试题解析:过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D,则AD即为潜艇C的下潜深度,根据题意得:∠ACD=30°,∠BCD=68°,设AD=x,则BD=BA+AD=1000+x,在Rt△ACD中,CD=tan AD ACD=tan30x= 3x在Rt△BCD中,BD=CD•tan68°,∴325+x=3x•t an68°解得:x≈100米,∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米.点睛:本题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是作出辅助线,从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解.视频8.如图,在平行四边形ABCD中,平分,交于点,平分,交于点,与交于点,连接,.(1)求证:四边形是菱形;(2)若,,,求的值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】试题分析:(1)根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE,从而可知ABEF为平行四边形,又邻边相等,可知为菱形(2)由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°,过点P作PH⊥AD于H,即可得到PH、DH 的长,从而可求tan∠ADP试题解析:(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF∵AD//BC∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF∴AB=BE AB=AF∴AF=AB=BE∵AD//BC∴ABEF为平行四边形又AB=BE∴ABEF为菱形(2)作PH⊥AD于H由∠ABC=60°而已(1)可知∠PAF=60°,PA=2,则有PH=,AH=1,∴DH=AD-AH=5∴tan∠ADP=考点:1、平行四边形;2、菱形;3、直角三角形;4、三角函数9.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点O,且AC=80,BD=60.动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发,分别沿A→O→D和D→A运动,当点N到达点A时,M、N同时停止运动.设运动时间为t秒.(1)求菱形ABCD的周长;(2)记△DMN的面积为S,求S关于t的解析式,并求S的最大值;(3)当t=30秒时,在线段OD的垂直平分线上是否存在点P,使得∠DPO=∠DON?若存在,这样的点P有几个?并求出点P到线段OD的距离;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)在菱形ABCD中,∵AC⊥BD,AC=80,BD=60,∴。
中考数学总复习《锐角三角函数》专题训练(附带答案) 学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________命题点1直角三角形的边角关系及简单应用1(2022广西北部湾经济区)如图,某博物馆大厅电梯的截面图中,AB的长为12米,AB与AC的夹角为α,则高BC是() A.12sin α米B.12cos α米C.12sinα米 D.12cosα米(第1题) (第2题)2(2022福建)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44 cm,则高AD约为(参考数据:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan27°≈0.51)()A.9.90 cmB.11.22 cmC.19.58 cmD. 22.44 cm3(2022随州)如图,已知点B,D,C在同一直线的水平地面上,在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α,在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β,若CD=a,则建筑物AB的高度为()A.atanα-tanβB.atanβ-tanαC.atanαtanβtanα-tanβD.atanαtanβtanβ-tanα(第3题) (第4题)4(2022乐山)如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=√5,点D 是AC 上一点,连接BD.若tan A=12,tan ∠ABD=13,则CD 的长为 ( )A.2√5B.3C.√5D.25(2022益阳)如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,若sin A=45,则cos B= .(第5题) (第6题)6(2022常州)如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠ABC=90°,DB 平分∠ADC.若AD=1,CD=3,则sin ∠ABD= .7(2022广州)如图,AB 是☉O 的直径,点C 在☉O 上,且AC=8,BC=6.(1)尺规作图:过点O 作AC 的垂线,交AC ⏜于点D ,连接CD (保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)所作的图形中,求点O 到AC 的距离及sin ∠ACD 的值.命题点2解直角三角形的实际应用 角度1背靠背型8(2022安徽)如图,为了测量河对岸A ,B 两点间的距离,数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C ,测得A ,B 均在C 的北偏东37°方向上,沿正东方向行走90米至观测点D ,测得A 在D 的正北方向上,B 在D 的北偏西53°方向上.求A ,B 两点间的距离.参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75.9(2022抚顺)如图,B港口在A港口的南偏西25°方向上,距离A港口100海里处.一艘货轮航行到C处,发现A港口在货轮的北偏西25°方向,B港口在货轮的北偏西70°方向.求此时货轮与A港口的距离(结果取整数.参考数据:sin 50°≈0.766,cos 50°≈0.643,tan 50°≈1.192,√2≈1.414)角度2母子型10(2022天津)如图,某座山AB的顶部有一座通讯塔BC,且点A,B,C在同一条直线上.从地面P处测得塔顶C的仰角为42°,测得塔底B的仰角为35°.已知通讯塔BC的高度为32 m,求这座山AB的高度(结果取整数).(参考数据:tan 35°≈0.70,tan 42°≈0.90)11(2022连云港)我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔,是苏北地区现存最高和最古老的宝塔.小明与小亮要测量阿育王塔的高度,如图所示,小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角∠CAE=45°,再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE=53°,AB=10 m;小亮在点G处竖立标杆FG,小亮所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上,FG=1.5 m,GD=2 m.(1)求阿育王塔的高度CE;(2)求小亮与阿育王塔之间的距离ED.(注:结果精确到0.01 m.参考数据:sin 53°≈0.799,cos 53°≈0.602,tan 53°≈1.327)角度3拥抱型12(2021自贡)如图,在一次数学课外实践活动中,小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°,从综合楼底部A处测得办公楼顶部C 处的仰角恰好是30°,综合楼高24米.请你帮小明求出办公楼的高度.(结果精确到0.1米.参考数据:tan 37°≈0.75,tan 53°≈1.33,√3≈1.73)角度4实物型13(2022吉林)动感单车是一种新型的运动器械.图(1)是一辆动感单车的实物图,图(2)是其侧面示意图.△BCD为主车架,AB为调节管,点A,B,C在同一直线上.已知BC长为70 cm,∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34 cm时,求点A到CD的距离AE的长度(结果精确到1 cm).(参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan58°≈1.60)图(1)图(2)14(2022成都)2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”,某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动.如图,当张角∠AOB=150°时,顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10 cm,此时用眼舒适度不太理想.小组成员调整张角大小继续探究,最后联系黄金比知识,发现当张角∠A'OB=108°时(点A'是点A的对应点),用眼舒适度较为理想,求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长.(结果精确到1 cm.参考数据:sin 72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan 72°≈3.08)角度5其他类型15(2022山西)随着科技的发展,无人机已广泛应用于生产和生活,如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB,CD两座楼之间的距离,他们借助无人机设计了如下测量方案:如图,无人机在AB,CD两楼之间上方的点O处,点O距地面AC的高度为60 m,此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°,楼CD上点E处的俯角为30°,沿水平方向由点O飞行24 m到达点F,测得点E处俯角为60°,其中点A,B,C,D,E,F,O均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB 与CD 之间的距离AC 的长(结果精确到1 m.参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75,√3≈1.73).分类训练15 锐角三角函数1.A2.B 【解析】 ∵AB=AC ,AD ⊥BC ,∴BD=CD=12BC=22 cm .在Rt △ABD 中,tan ∠ABD=ADBD ,∴AD=BD ·tan ∠ABD=22×tan 27°≈22×0.51=11.22(cm). 3.D 【解析】 设AB=x.在Rt △ABD 中,tan β=AB BD =x BD ,∴BD=xtanβ,∴BC=CD+BD=a+xtanβ.在Rt △ABC 中,tan α=ABBC =xa+xtanβ,∴x=atanαtanβtanβ-tan α.4.C 【解析】 如图,过点D 作DE ⊥AB 于点E.∵tan A=DE AE =12,tan ∠ABD=DE BE =13,∴AE=2DE ,BE=3DE ,∴2DE+3DE=5DE=AB.在Rt △ABC 中,tan A=12,BC=√5,∴BC AC =√5AC =12,∴AC=2√5,∴AB=√AC 2+BC 2=5,∴DE=1,∴AE=2,∴AD=√AE 2+DE 2=√22+12=√5,∴CD=AC-AD=√5,故选C .5.456.√66 【解析】 如图,过点D 作DE ⊥BC ,垂足为E ,则四边形ABED 是矩形,∴BE=AD=1,DE=AB ,∠ADB=∠CBD.∵DB 平分∠ADC ,∴∠ADB=∠CDB ,∴∠CBD=∠CDB ,∴CB=CD=3,∴CE=BC-BE=3-1=2,∴DE=√CD 2-CE 2=√32-22=√5,∴BD=√DE 2+BE 2=√(√5)2+12=√6,∴sin ∠ABD=AD BD =√6=√66.7.【答案】 (1)作图如图所示.(2)设(1)中AC 的垂线交AC 于点F ,则OF ⊥AC∴AF=CF=12AC=4. 又点O 是AB 的中点∴OF 是△ABC 的中位线∴OF=12BC=3,即点O 到AC 的距离为3. ∵AB 是☉O 的直径 ∴∠ACB=90°∴AB=√AC 2+BC 2=√82+62=10 ∴OD=5∴DF=OD-OF=5-3=2∴在Rt △CDF 中,CD=√DF 2+CF 2=√22+42=2√5 ∴sin ∠ACD=DFCD =2√5=√55.8.【答案】如图,由题意知,∠ECA=37°,CD=90,∠ADC=90°,∠ADB=53°,AD∥EC∴∠BCD=53°,∠BDC=∠ADC-∠ADB=37°,∠A=37°∴∠BCD+∠BDC=90°∴∠CBD=90°,即AC⊥BD.在Rt△CBD中,BD=CD cos∠BDC=90cos 37°≈90×0.80=72.在Rt△ABD中,AB=BDtanA =72tan37°≈720.75=96.答:A,B两点间的距离为96 m.9.【答案】如图,过点B作BH⊥AC于点H,根据题意,得∠BAC=25°+25°=50°,∠BCA=70°-25°=45°.在Rt△ABH中,AB=100,∠BAH=50°,sin∠BAH=BHAB ,cos∠BAH=AHAB∴BH=AB·sin∠BAC≈100×0.766=76.6,AH=AB·cos∠BAC≈100×0.643=64.3.在Rt△BHC中,∠BCH=45°∴CH=BH=76.6∴AC=AH+CH=64.3+76.6≈141.答:货轮距离A港口约141海里.10.【答案】根据题意,得BC=32,∠APC=42°,∠APB=35°.在Rt△PAC中,tan∠APC=ACPA∴PA=ACtan∠APC.在Rt△PAB中,tan∠APB=ABPA∴PA=ABtan∠APB.∵AC=AB+BC∴AB+BCtan∠APC =AB tan∠APB∴AB=BC·tan∠APBtan∠APC-tan∠APB =32×tan35°tan42°−tan35°≈32×0.700.90−0.70=112(m).答:这座山AB的高度约为112 m.11.【答案】(1)在Rt△CAE中,∵∠CAE=45°∴CE=AE.∵AB=10∴BE=AE-10=CE-10.在Rt△CEB中,由tan 53°=CEBE =CE CE-10得tan 53°(CE-10)=CE,∴CE≈40.58.答:阿育王塔的高度约为40.58 m.(2)由题意知Rt△FGD∽Rt△CED∴FGCE =GDED,即 1.540.58=2ED,∴ED≈54.11.答:小亮与阿育王塔之间的距离约为54.11 m.归纳总结解直角三角形实际应用的一般步骤①审题:根据题意画出图形,建立数学模型.②构造直角三角形:将已知条件转化到示意图中,把实际问题转化为解直角三角形问题.③列关系式:选择合适的边角关系式,使运算简便、准确.④检验:得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,同时还要注意结果有无对精确度的要求.12.【答案】在Rt△BAD中,tan∠BDA=ABAD,∠BDA=53°∴AD=ABtan53°≈18.05(米).在Rt△CAD中,tan∠CAD=CDAD,∠CAD=30°第 11 页 共 11页 ∴CD=AD ·tan ∠CAD=√33AD ≈10.4(米).故办公楼的高度约为10.4米.13.【答案】 在Rt △ACE 中,∠AEC=90°,∠C=58°,AC=AB+BC=34+70=104 ∴AE=AC sin C=104×sin 58°≈104×0.85≈88.答:点A 到CD 的距离AE 的长度约为88 cm .14.【答案】 在Rt △ACO 中,∠AOC=180°-∠AOB=30°,AC=10 cm∴OA=2AC=20 cm .在Rt △A'DO 中,∠A'OD=180°-∠A'OB=72°,OA'=OA=20 cm∴A'D=A'O sin ∠A'OD ≈20×0.95=19(cm).答:顶部边缘A'处离桌面的高度A'D 的长约为19 cm .15.【答案】 分别延长AB ,CD 与直线OF 交于点G ,点H ,如图则∠AGO=∠EHO=90°.又∵∠GAC=90°,∴四边形ACHG 是矩形∴GH=AC.由题意,得AG=60,OF=24,∠AOG=70°,∠EOF=30°,∠EFH=60°.在Rt △AGO 中,∠AGO=90°,tan ∠AOG=AG OG ∴OG=AG tan∠AOG =60tan70°≈602.75≈21.8.∵∠EFH 是△EOF 的外角∴∠FEO=∠EFH-∠EOF=60°-30°=30°∴∠EOF=∠FEO ,∴EF=OF=24.在Rt △EHF 中,∠EHF=90°,cos ∠EFH=FH EF ∴FH=EF ·cos ∠EFH=24×cos 60°=12∴AC=GH=GO+OF+FH=21.8+24+12≈58(m).答:楼AB 与CD 之间的距离AC 的长约为58 m.。
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心,OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE.(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)求证:BC2=2CD•OE;(3)若314cos,53BAD BE∠==,求OE的长.【答案】(1)DE为⊙O的切线,理由见解析;(2)证明见解析;(3)OE =356.【解析】试题分析:(1)连接OD,BD,由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角,可得出△BCD为直角三角形,E为斜边BC的中点,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到CE=DE,从而得∠C=∠CDE,再由OA=OD,得∠A=∠ADO,由Rt△ABC中两锐角互余,从而可得∠ADO与∠CDE互余,可得出∠ODE为直角,即DE垂直于半径OD,可得出DE为⊙O的切线;(2)由已知可得OE是△ABC的中位线,从而有AC=2OE,再由∠C=∠C,∠ABC=∠BDC,可得△ABC∽△BDC,根据相似三角形的对应边的比相等,即可证得;(3)在直角△ABC中,利用勾股定理求得AC的长,根据三角形中位线定理OE的长即可求得.试题解析:(1)DE为⊙O的切线,理由如下:连接OD,BD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,∴CE=DE=BE=BC,∴∠C=∠CDE,∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,∵∠ABC=90°,∴∠C+∠A=90°,∴∠ADO+∠CDE=90°,∴∠ODE=90°,∴DE⊥OD,又OD为圆的半径,∴DE为⊙O的切线;(2)∵E是BC的中点,O点是AB的中点,∴OE是△ABC的中位线,∴AC=2OE,∵∠C=∠C,∠ABC=∠BDC,∴△ABC∽△BDC,∴,即BC2=AC•CD.∴BC2=2CD•OE;(3)解:∵cos∠BAD=,∴sin∠BAC=,又∵BE=,E是BC的中点,即BC=,∴AC=.又∵AC=2OE,∴OE=AC=.考点:1、切线的判定;2、相似三角形的判定与性质;3、三角函数2.如图,抛物线C1:y=(x+m)2(m为常数,m>0),平移抛物线y=﹣x2,使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上,得到抛物线C2.抛物线C2交x轴于A,B两点(点A 在点B的左侧),交y轴于点C,设点D的横坐标为a.(1)如图1,若m=.①当OC=2时,求抛物线C2的解析式;②是否存在a,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;(2)如图2,当OB=2﹣m(0<m<)时,请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标(用含m的式子表示).【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2.②.(2)P1(﹣m,1),P2(﹣m,﹣3),P3(﹣﹣m,3),P4(3﹣m,3).【解析】试题分析:(1)①首先写出平移后抛物线C2的解析式(含有未知数a),然后利用点C (0,2)在C2上,求出抛物线C2的解析式;②认真审题,题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上,“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC.画出图形,如图1所示,利用三角函数(或相似),求出a的值;(2)解题要点有3个:i)判定△ABD为等边三角形;ii)理论依据是角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等;iii)满足条件的点有4个,即△ABD形内1个(内心),形外3个.不要漏解.试题解析:(1)当m=时,抛物线C1:y=(x+)2.∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a,∴D(a,(a+)2).∴抛物线C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+)2(I).①∵OC=2,∴C(0,2).∵点C在抛物线C2上,∴﹣(0﹣a)2+(a+)2=2,解得:a=,代入(I)式,得抛物线C2的解析式为:y=﹣x2+x+2.②在(I)式中,令y=0,即:﹣(x﹣a)2+(a+)2=0,解得x=2a+或x=﹣,∴B(2a+,0);令x=0,得:y=a+,∴C(0,a+).设直线BC的解析式为y=kx+b,则有:,解得,∴直线BC的解析式为:y=﹣x+(a+).假设存在满足条件的a值.∵AP=BP,∴点P在AB的垂直平分线上,即点P在C2的对称轴上;∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC,只有OP⊥BC时等号成立,∴OP⊥BC.如图1所示,设C2对称轴x=a(a>0)与BC交于点P,与x轴交于点E,则OP⊥BC,OE=a.∵点P在直线BC上,∴P(a,a+),PE=a+.∵tan∠EOP=tan∠BCO=,∴,解得:a=.∴存在a=,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"(3)∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a,∴D(a,(a+m)2).∴抛物线C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+m)2.令y=0,即﹣(x﹣a)2+(a+m)2=0,解得:x1=2a+m,x2=﹣m,∴B(2a+m,0).∵OB=2﹣m,∴2a+m=2﹣m,∴a=﹣m.∴D(﹣m,3).AB=OB+OA=2﹣m+m=2.如图2所示,设对称轴与x轴交于点E,则DE=3,BE=AB=,OE=OB﹣BE=﹣m.∵tan∠ABD=,∴∠ABD=60°.又∵AD=BD,∴△ABD为等边三角形.作∠ABD的平分线,交DE于点P1,则P1E=BE•tan30°=×=1,∴P1(﹣m,1);在△ABD形外,依次作各个外角的平分线,它们相交于点P2、P3、P4.在Rt△BEP2中,P2E=BE•tan60°=•=3,∴P2(﹣m,﹣3);易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形,∴DP3=DP4=AB=2,且P3P4∥x轴.∴P3(﹣﹣m,3)、P4(3﹣m,3).综上所述,到△ABD 的三边所在直线的距离相等的所有点有4个,其坐标为:P 1(﹣m ,1),P 2(﹣m ,﹣3),P 3(﹣﹣m ,3),P 4(3﹣m ,3).【考点】二次函数综合题.3.如图,某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB 的高度,由于教学楼底部不能直接到达,故兴趣小组在平地上选择一点C ,用测角器测得主教学楼顶端A 的仰角为30°,再向主教学楼的方向前进24米,到达点E 处(C ,E ,B 三点在同一直线上),又测得主教学楼顶端A 的仰角为60°,已知测角器CD 的高度为1.6米,请计算主教学楼AB 的高度.(3≈1.73,结果精确到0.1米)【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造等量关系,进而求解.【详解】解:在Rt △AFG 中,tan ∠AFG 3,∴FG =tan 3AG AFG =∠, 在Rt △ACG 中,tan ∠ACG =AG CG , ∴CG =tan AG ACG∠=3. 又∵CG ﹣FG =24m ,33=24m , ∴AG 3, ∴AB 3+1.6≈22.4m .4.2018年12月10日,郑州市城乡规划局网站挂出《郑州都市区主城区停车场专项规划》,将停车纳入城市综合交通体系,计划到2030年,在主城区新建停车泊位33.04万个,2019年初,某小区拟修建地下停车库,如图是停车库坡道入口的设计图,其中MN是水平线,MN∥AD,AD⊥DE,CF⊥AB,垂足分别为D,F,坡道AB的坡度为1:3,DE =3米,点C在DE上,CD=0.5米,CD是限高标志屏的高度(标志牌上写有:限高米),如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长,则该停车库限高多少米?(结果精确到0.1米,参考数据2≈1.41,3≈1.73)【答案】该停车库限高约为2.2米.【解析】【分析】据题意得出3tan3B=,即可得出tan A,在Rt△ADE中,根据勾股定理可求得DE,即可得出∠1的正切值,再在Rt△CEF中,设EF=x,即可求出x,从而得出CF3的长.【详解】解:由题意得,3 tan B=∵MN∥AD,∴∠A=∠B,∴tan A=33,∵DE⊥AD,∴在Rt△ADE中,tan A=DEAD,∵DE=3,又∵DC=0.5,∴CE=2.5,∵CF⊥AB,∴∠FCE+∠CEF=90°,∵DE⊥AD,∴∠A+∠CEF=90°,∴∠A=∠FCE,∴tan∠FCE=3.在Rt△CEF中,设EF=x,CF=3x(x>0),CE=2.5,代入得(52)2=x2+3x2,解得x=1.25,∴CF=3x≈2.2,∴该停车库限高约为2.2米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,坡面坡角问题和勾股定理,解题的关键是坡度等于坡角的正切值.5.如图1,以点M(-1,0)为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D,直线y=-x-与⊙M相切于点H,交x轴于点E,交y轴于点F.(1)请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长;(2)如图2,弦HQ交x轴于点P,且DP:PH=3:2,求cos∠QHC的值;(3)如图3,点K为线段EC上一动点(不与E、C重合),连接BK交⊙M于点T,弦AT 交x轴于点N.是否存在一个常数a,始终满足MN·MK=a,如果存在,请求出a的值;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)OE=5,r=2,CH=2(2);(3)a=4【解析】【分析】(1)在直线y=-x-中,令y=0,可求得E的坐标,即可得到OE的长为5;连接MH,根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2;再由EC=MC=2,∠EHM=90°,可知CH 是RT△EHM斜边上的中线,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长;(2)连接DQ、CQ.根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QPD,从而求得DQ的长,在直角三角形CDQ中,即可求得∠D的余弦值,即为cos∠QHC的值;(3)连接AK,AM,延长AM,与圆交于点G,连接TG,由圆周角定理可知,∠GTA=90°,∠3=∠4,故∠AKC=∠MAN,再由△AMK∽△NMA即可得出结论.【详解】(1)OE=5,r=2,CH=2(2)如图1,连接QC、QD,则∠CQD =90°,∠QHC =∠QDC,易知△CHP∽△DQP,故,得DQ=3,由于CD=4,;(3)如图2,连接AK,AM,延长AM,与圆交于点G,连接TG,则,由于,故,;而,故在和中,;故△AMK∽△NMA;即:故存在常数,始终满足常数a="4"解法二:连结BM,证明∽得6.兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩,南至七里河马滩,是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图,小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°,拉索AB的长为152米,主塔处桥面距地面7.9米(CD的长),试求出主塔BD的高.(结果精确到0.1米,参考数据:sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)【答案】主塔BD的高约为86.9米.【解析】【分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度,再由BD=BC+CD可得出.【详解】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,sin BCAAB=.∴sin152sin311520.5279.04BC AB A︒=⨯=⨯=⨯=.79.047.986.9486.9BD BC CD=+=+=≈(米)答:主塔BD的高约为86.9米.【点睛】本题考察了直角三角形与三角函数的结合,熟悉掌握是解决本题的关键.7.如图,正方形OABC的顶点O与原点重合,点A,C分别在x轴与y轴的正半轴上,点A的坐标为(4,0),点D在边AB上,且tan∠AOD=12,点E是射线OB上一动点,EF⊥x轴于点F,交射线OD于点G,过点G作GH∥x轴交AE于点H.(1)求B,D两点的坐标;(2)当点E在线段OB上运动时,求∠HDA的大小;(3)以点G为圆心,GH的长为半径画⊙G.是否存在点E使⊙G与正方形OABC的对角线所在的直线相切?若不存在,请说明理由;若存在,请求出所有符合条件的点E的坐标.【答案】(1)B(4,4),D(4,2);(2)45°;(3)存在,符合条件的点为(8﹣42,8﹣42)或(8+42,8+42)或42164216,⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭或16421642,77⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,理由见解析 【解析】 【分析】(1)由正方形性质知AB=OA=4,∠OAB=90°,据此得B (4,4),再由tan ∠AOD= 12得AD=12OA=2,据此可得点D 坐标; (2)由1tan 2GF GOF OF ∠==知GF=12OF ,再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF ,即GF=12EF ,根据GH ∥x 轴知H 为AE 的中点,结合D 为AB 的中点知DH 是△ABE 的中位线,即HD ∥BE ,据此可得答案;(3)分⊙G 与对角线OB 和对角线AC 相切两种情况,设PG=x ,结合题意建立关于x 的方程求解可得. 【详解】解:(1)∵A (4,0), ∴OA =4,∵四边形OABC 为正方形, ∴AB =OA =4,∠OAB =90°, ∴B (4,4),在Rt △OAD 中,∠OAD =90°, ∵tan ∠AOD =12, ∴AD =12OA =12×4=2, ∴D (4,2);(2)如图1,在Rt △OFG 中,∠OFG =90°∴tan∠GOF=GFOF =12,即GF=12OF,∵四边形OABC为正方形,∴∠AOB=∠ABO=45°,∴OF=EF,∴GF=12EF,∴G为EF的中点,∵GH∥x轴交AE于H,∴H为AE的中点,∵B(4,4),D(4,2),∴D为AB的中点,∴DH是△ABE的中位线,∴HD∥BE,∴∠HDA=∠ABO=45°.(3)①若⊙G与对角线OB相切,如图2,当点E在线段OB上时,过点G作GP⊥OB于点P,设PG=x,可得PE=x,EG=FG2x,OF=EF=2x,∵OA=4,∴AF=4﹣2,∵G为EF的中点,H为AE的中点,∴GH为△AFE的中位线,∴GH=12AF=12×(4﹣2)=22,则x=22x,解得:x=22,∴E(8﹣2,8﹣2如图3,当点E在线段OB的延长线上时,x=2x﹣2,解得:x=2+2,∴E(8+42,8+42);②若⊙G与对角线AC相切,如图4,当点E在线段BM上时,对角线AC,OB相交于点M,过点G作GP⊥OB于点P,设PG=x,可得PE=x,EG=FG2,OF=EF=2x,∵OA=4,∴AF=4﹣2,∵G为EF的中点,H为AE的中点,∴GH为△AFE的中位线,∴GH=12AF=12×(4﹣2)=22,过点G作GQ⊥AC于点Q,则GQ=PM=3x﹣2∴3x﹣2=22x,∴227x=,∴42164216,77E⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭;如图5,当点E 在线段OM 上时,GQ =PM =22﹣3x ,则22﹣3x =2﹣2x , 解得4227x -=, ∴16421642,77E ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭; 如图6,当点E 在线段OB 的延长线上时,3x ﹣22=2x ﹣2, 解得:4227x -=(舍去); 综上所述,符合条件的点为(8﹣42,8﹣42)或(8+42,8+42)或42164216,⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭或16421642,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题是圆的综合问题,解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的定义、三角形中位线定理及分类讨论思想的运用.8.如图,建筑物上有一旗杆,从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为,观测旗杆底部的仰角为,求旗杆的高度.(参考数据:,,)【答案】旗杆的高度约为.【解析】【分析】在Rt△BDC中,根据tan∠BDC=求出BC,接着在Rt△ADC中,根据tan∠ADC==即可求出AB的长度【详解】解:∵在Rt△BDC中,tan∠BDC==1,∴BC=CD= 40m 在Rt△ADC中,tan∠ADC==∴tan50°= =1.19∴AB7.6m答:旗杆AB的高度约为7.6m.【点睛】此题主要考查了三角函数的应用9.已知抛物线y=﹣16x2﹣23x+2与x轴交于点A,B两点,交y轴于C点,抛物线的对称轴与x轴交于H点,分别以OC、OA为边作矩形AECO.(1)求直线AC的解析式;(2)如图,P为直线AC上方抛物线上的任意一点,在对称轴上有一动点M,当四边形AOCP 面积最大时,求|PM﹣OM|的值.(3)如图,将△AOC沿直线AC翻折得△ACD,再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'.使得点A′、C'在直线AC上,是否存在这样的点D′,使得△A′ED′为直角三角形?若存在,请求出点D′的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1) y=13x+2;(2) 点M坐标为(﹣2,53)时,四边形AOCP的面积最大,此时|PM﹣OM|有最大值61; (3)存在,D′坐标为:(0,4)或(﹣6,2)或(35-,195).【解析】【分析】(1)令x=0,则y=2,令y=0,则x=2或﹣6,求出点A、B、C坐标,即可求解;(2)连接OP交对称轴于点M,此时,|PM﹣OM|有最大值,即可求解;(3)存在;分①A′D′⊥A′E;②A′D′⊥ED′;③ED′⊥A′E三种情况利用勾股定理列方程求解即可.【详解】(1)令x=0,则y=2,令y=0,则x=2或﹣6,∴A(﹣6,0)、B(2,0)、C(0,2),函数对称轴为:x=﹣2,顶点坐标为(﹣2,83),C点坐标为(0,2),则过点C的直线表达式为:y=kx+2,将点A坐标代入上式,解得:k13=,则:直线AC的表达式为:y13=x+2;(2)如图,过点P作x轴的垂线交AC于点H.四边形AOCP面积=△AOC的面积+△ACP的面积,四边形AOCP面积最大时,只需要△ACP的面积最大即可,设点P坐标为(m,16-m223-m+2),则点G坐标为(m,13m+2),S△ACP12=PG•OA12=•(16-m223-m+213-m﹣2)•612=-m2﹣3m,当m=﹣3时,上式取得最大值,则点P 坐标为(﹣3,52).连接OP 交对称轴于点M ,此时,|PM ﹣OM |有最大值,直线OP 的表达式为:y 56=-x ,当x =﹣2时,y 53=,即:点M 坐标为(﹣2,53),|PM ﹣OM |的最大值为:2222555(32)()2()233-++--+=61. (3)存在.∵AE =CD ,∠AEC =∠ADC =90°,∠EMA =∠DMC ,∴△EAM ≌△DCM (AAS ),∴EM =DM ,AM =MC ,设:EM =a ,则:MC =6﹣a .在Rt △DCM 中,由勾股定理得:MC 2=DC 2+MD 2,即:(6﹣a )2=22+a 2,解得:a 83=,则:MC 103=,过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点N ,交EC 于点H .在Rt △DMC 中,12DH •MC 12=MD •DC ,即:DH 10833⨯=⨯2,则:DH 85=,HC 2265DC DH =-=,即:点D 的坐标为(61855-,); 设:△ACD 沿着直线AC 平移了m 个单位,则:点A ′坐标(﹣61010,D ′坐标为(618551010,-++),而点E 坐标为(﹣6,2),则2''A D =22618(6)()55-++=36,2'A E =22(2)1010+=2410m +,2'ED =22248(()551010+=2128510m +.若△A ′ED ′为直角三角形,分三种情况讨论:①当2''A D +2'A E =2'ED 时,36+2410m -=2128510m +,解得:m =105,此时D ′(618551010,-++)为(0,4); ②当2''A D +2'ED =2'A E 时,36+2128510m +=2410m +,解得:m =8105-,此时D ′(618551010,-++)为(-6,2); ③当2'A E +2'ED =2''A D 时,2410m -++2128510m ++=36,解得:m =810-或m =10,此时D ′(618551010,-++)为(-6,2)或(35,195). 综上所述:D 坐标为:(0,4)或(﹣6,2)或(35,195). 【点睛】本题考查了二次函数知识综合运用,涉及到一次函数、图形平移、解直角三角形等知识,其中(3)中图形是本题难点,其核心是确定平移后A ′、D ′的坐标,本题难度较大.10.问题探究: (一)新知学习:圆内接四边形的判断定理:如果四边形对角互补,那么这个四边形内接于圆(即如果四边形EFGH 的对角互补,那么四边形EFGH 的四个顶点E 、F 、G 、H 都在同个圆上). (二)问题解决:已知⊙O 的半径为2,AB ,CD 是⊙O 的直径.P 是上任意一点,过点P 分别作AB ,CD的垂线,垂足分别为N ,M . (1)若直径AB ⊥CD ,对于上任意一点P (不与B 、C 重合)(如图一),证明四边形PMON 内接于圆,并求此圆直径的长;(2)若直径AB ⊥CD ,在点P (不与B 、C 重合)从B 运动到C 的过程汇总,证明MN 的长为定值,并求其定值;(3)若直径AB 与CD 相交成120°角. ①当点P 运动到的中点P 1时(如图二),求MN 的长;②当点P (不与B 、C 重合)从B 运动到C 的过程中(如图三),证明MN 的长为定值. (4)试问当直径AB 与CD 相交成多少度角时,MN 的长取最大值,并写出其最大值.【答案】(1)证明见解析,直径OP=2; (2)证明见解析,MN 的长为定值,该定值为2; (3)①MN=;②证明见解析;(4)MN 取得最大值2.【解析】试题分析:(1)如图一,易证∠PMO+∠PNO=180°,从而可得四边形PMON内接于圆,直径OP=2;(2)如图一,易证四边形PMON是矩形,则有MN=OP=2,问题得以解决;(3)①如图二,根据等弧所对的圆心角相等可得∠COP1=∠BOP1=60°,根据圆内接四边形的对角互补可得∠MP1N=60°.根据角平分线的性质可得P1M=P1N,从而得到△P1MN是等边三角形,则有MN=P1M.然后在Rt△P1MO运用三角函数就可解决问题;②设四边形PMON的外接圆为⊙O′,连接NO′并延长,交⊙O′于点Q,连接QM,如图三,根据圆周角定理可得∠QMN=90°,∠MQN=∠MPN=60°,在Rt△QMN中运用三角函数可得:MN=QN•sin∠MQN,从而可得MN=OP•sin∠MQN,由此即可解决问题;(4)由(3)②中已得结论MN=OP•sin∠MQN可知,当∠MQN=90°时,MN最大,问题得以解决.试题解析:(1)如图一,∵PM⊥OC,PN⊥OB,∴∠PMO=∠PNO=90°,∴∠PMO+∠PNO=180°,∴四边形PMON内接于圆,直径OP=2;(2)如图一,∵AB⊥OC,即∠BOC=90°,∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°,∴四边形PMON是矩形,∴MN=OP=2,∴MN的长为定值,该定值为2;(3)①如图二,∵P1是的中点,∠BOC=120°,∴∠COP1=∠BOP1=60°,∠MP1N=60°,∵P1M⊥OC,P1N⊥OB,∴P1M=P1N,∴△P1MN是等边三角形,∴MN=P1M.∵P1M=OP1•sin∠MOP1=2×sin60°=,∴MN=;②设四边形PMON的外接圆为⊙O′,连接NO′并延长,交⊙O′于点Q,连接QM,如图三,则有∠QMN=90°,∠MQN=∠MPN=60°,在Rt△QMN中,sin∠MQN=,∴MN=QN•sin∠MQN,∴MN=OP•sin∠MQN=2×sin60°=2×=,∴MN是定值.(4)由(3)②得MN=OP•sin∠MQN=2sin∠MQN.当直径AB与CD相交成90°角时,∠MQN=180°﹣90°=90°,MN取得最大值2.考点:圆的综合题.。
达标训练基础•巩固1.在Rt △ABC 中,如果各边长度都扩大2倍,则锐角A 的正弦值和余弦值( )A.都没有变化B.都扩大2倍C.都缩小2倍D.不能确定 思路解析:当Rt △ABC 的各边长度都扩大二倍,所得新三角形与原三角形相似,故锐角A 大小不变. 答案:A2.已知α是锐角,且cosα=54,则sinα=( )A.259 B.54 C.53 D.2516 思路解析:由cosα=54,可以设α的邻边为4k ,斜边为5k ,根据勾股定理,α的对边为3k ,则sinα=53. 答案:C 3.Rt △ABC 中,∠C=90°,AC ∶BC=1∶3,则cosA=_______,tanA=_________.思路解析:画出图形,设AC=x ,则BC=x 3,由勾股定理求出AB=2x ,再根据三角函数的定义计算. 答案:21,34.设α、β为锐角,若sinα=23,则α=________;若tanβ=33,则β=_________.思路解析:要熟记特殊角的三角函数值 答案:60°,30°5.用计算器计算:sin51°30′+ cos49°50′-tan46°10′的值是_________. 思路解析:用计算器算三角函数的方法和操作步骤. 答案:0.386 06.△ABC 中,∠BAC=90°,AD 是高,BD=9,tanB=34,求AD 、AC 、BC.思路解析:由条件可知△ABC 、△ABD 、△ADC 是相似的直角三角形,∠B=∠CAD ,于是有tan ∠CAD=tanB=34,所以可以在△ABD 、△ADC 中反复地运用三角函数的定义和勾股定理来求解.解:根据题意,设AD=4k ,BD=3k ,则AB=5k.在Rt △ABC 中,∵tanB=34,∴AC=34AB=320k.∵BD=9,∴k=3. 所以AD=4×3=12,AC=320×3=20. 根据勾股定理25152022=+=BC .综合•应用7.已知α是锐角,且sinα=54,则cos(90°-α)=( )A.54B.43C.53D.51 思路解析:方法1.运用三角函数的定义,把α作为直角三角形的一个锐角看待,从而对边、邻边、斜边之比为4∶3∶5,(90°-α)是三角形中的另一个锐角,邻边与斜边之比为4∶5,cos(90°-α)=54.方法2.利用三角函数中互余角关系“sinα=cos(90°-α)”. 答案:A8.若α为锐角,tana=3,求ααααsin cos sin cos +-的值. 思路解析:方法1.运用正切函数的定义,把α作为直角三角形的一个锐角看待,从而直角三角形三边之比为3∶1∶10,sinα=103,cosα=101,分别代入所求式子中.方法2.利用tanα=ααcos sin 计算,因为cos α≠0,分子、分母同除以cosα,化简计算. 答案:原式=213131tan 1tan 1cos sin cos cos cos sin cos cos =+-=+-=+-αααααααααα. 9.已知方程x 2-5x·sinα+1=0的一个根为32+,且α为锐角,求tanα. 思路解析:由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是32-,进而可求出sinα=54,然后利用前面介绍过的方法求tanα.解:设方程的另一个根为x 2,则(32+)x 2=1 ∴x 2=32-∴5sinα=(32+)+(32-),解得sinα=54.设锐角α所在的直角三角形的对边为4k ,则斜边为5k ,邻边为3k , ∴tanα=3434=k k . 10.同学们对公园的滑梯很熟悉吧!如图28.1-13是某公园(六·一)前新增设的一台滑梯,该滑梯高度AC=2 m ,滑梯着地点B 与梯架之间的距离BC=4 m.图28.1-13(1)求滑梯AB 的长(精确到0.1 m);(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围,请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求?思路解析:用勾股定理可以计算出AB 的长,其倾斜角∠ABC 可以用三角函数定义求出,看是否在45°范围内.解:(1)在Rt △ABC 中,2242+=AB ≈4.5. 答:滑梯的长约为4.5 m.(2)∵tanB=5.0=BCAC ,∴∠ABC≈27°, ∠ABC≈27°<45°.所以这架滑梯的倾斜角符合要求. 11.四边形是不稳定的.如图28.1-14,一矩形的木架变形为平行四边形,当其面积变为原矩形的一半时,你能求出∠α的值吗?图28.1-14思路解析:面积的改变实际上是平行四边形的高在改变,结合图形,可以知道h=b 21,再在高所在的直角三角形中由三角函数求出α的度数.解:设原矩形边长分别为a ,b ,则面积为ab , 由题意得,平行四边形的面积S=21ab.又因为S=ah=a(bsinα),所以21ab=absinα,即sinα=21.所以α=30°.回顾•展望12.(2010海南模拟) 三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3-15所示,则sinα的值是( )图28.1-15A.43B.34C.53D.54思路解析:观察格点中的直角三角形,用三角函数的定义. 答案:C13.(2010陕西模拟) 如图28.1-17,⊙O 是△ABC 的外接圆,AD 是⊙O的直径,连接CD ,若⊙O 的半径23 r ,AC=2,则cosB 的值是( )图28.1-17A.23B.35C.25D.32 思路解析:利用∠BCD=∠A 计算. 答案:D14.(浙江模拟) 在△ABC 中,∠C=90°,AB=15,sinA=31,则BC=( )A.45B.5C.51D.451 思路解析:根据定义sinA=ABBC ,BC=AB·sinA. 答案:B 15.(广西南宁课改模拟) 如图28.3-16,CD 是Rt △ABC 斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos ∠BCD=( )图28.1-16A.53B.43C.34D.54思路解析:直径所对的圆周角是直角,设法把∠B 转移到Rt △ADC 中,由“同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等”,得到∠ADC=∠B. 答案:B16.(浙江舟山模拟) 课本中,是这样引入“锐角三角函数”的:如图28.1-18,在锐角α的终边OB 上,任意取两点P 和P 1,分别过点P和P 1做始边OA 的垂线PM 和P 1M 1,M 和M 1为垂足.我们规定,比值________叫做角α的正弦,比值________叫做角α的余弦.这是因为,由相似三角形的性质,可推得关于这些比值得两个等式:________,________.说明这些比值都是由________唯一确定的,而与P 点在角的终边上的位置无关,所以,这些比值都是自变量α的函数.图28.1-18思路解析:正弦、余弦函数的定义.答案:11111,,,OP OM OP OM OP M P OP PM OP OM OP PM ==,锐角α 17.(2010重庆模拟) 计算:2-1-tan60°+(5-1)0+|3|;思路解析:特殊角的三角函数,零指数次幂的意义,负指数次幂的意义. 解:2-1-tan60°+(5-1)0+|3|=21-3+1+3=23.18.(2010北京模拟) 已知:如图28.1-19,△ABC 内接于⊙O ,点D 在OC 的延长线上,sinB=21,∠CAD=30°.图28.1-19(1)求证:AD 是⊙O 的切线; (2)若OD ⊥AB ,BC=5,求AD 的长. 思路解析:圆的切线问题跟过切点的半径有关,连接OA ,证∠OAD=90°.由sinB=21可以得到∠B=30°,由此得到圆心角∠AOD=60°,从而得到△ACO 是等边三角形,由此∠OAD=90°.AD 是Rt △OAD 的边,有三角函数可以求出其长度.(1)证明:如图,连接OA.∵sinB=21,∴∠B=30°.∴∠AOD=60°.∵OA=OC ,∴△ACO 是等边三角形. ∴∠OAD=60°.∴∠OAD=90°.∴AD 是⊙O 的切线.(2)解:∵OD ⊥AB ∴ OC 垂直平分AB. ∴ AC=BC=5.∴OA=5. 在Rt △OAD 中,由正切定义,有tan ∠AOD=OA AD . ∴ AD=35.。
ACOP D B图3锐角三角函数(一)测试题一、 选择题(每小题3分,共30分)1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB 于点D ,已知AC=5,BC=2,那么sin ∠ACD=( )A 、35B 、32C 、552D 、252、如图1,某飞机于空中A 处探测到地平面目标B ,此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°,飞行高度AC=1200米,则飞机到目标B 的距离AB 为( ) A 、1200m B 、2400m C 、4003m D 、12003m3、(08)在正方形网格中,△ABC 的位置如图所示,则cos ∠B 的值为( )A .12B .22C .32D .334、在Rt △ABC 中,∠C=90°,若tanA=43,则sinA=( )A 、34B 、43C 、35D 、535、如图2,CD 是平面镜,光线从A 点射出,经CD 上点E 反射后照射到B 点,若入射角为α(入射角等于反射角),AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,垂足分别为C 、D ,且AC=3,BD=6,CD=11,则tan α的值为( )A 、311B 、113C 、119D 、9116、在△ABC 中,∠A 、∠B 都是锐角,且sinA=21,cosB=22ABC 三个角的大小关系是( )A 、∠C >∠A >∠B B 、∠B >∠C >∠A C 、∠A >∠B >∠CD 、∠C >∠B >∠A7、若关于x 的方程x 2-2x+cos α=0有两个相等的实数根,则锐角α为( )A 、30°B 、45°C 、60°D 、0°8、如图3,∠AOB=30°,OP 平分∠AOB ,PC ∥OB ,PD ⊥DB , 如果PC=6,那么PD 等于( ) A 、4 B 、3 C 、2 D 、19、已知∠A 为锐角,且cosA ≤21,则( )A 、 0°≤A ≤60°B 、60°≤A <90°C 、0°<A ≤30°D 、30°≤A ≤90°10、如图4,在矩形ABCD 中,CE ⊥BD 于点E ,BE=2,DE=8,设∠ACE=α,则 tan α的值为( )ABC( α 图1CEDAB图2(αA 、21B 、34C 、43D 、2二、 填空题(每小题3分,共30分)11、直线y=kx-4与y 轴相交所成的锐角的正切值为21,则k 的值为。
中考数学复习《锐角三角函数》专项练习题-附带有答案一、选择题1.已知α是锐角,若sinα=12,则α的度数是()A.30°B.45°C.60°D.75°2.如图,在Rt△ABC中,BC=3,斜边AC=5,则下列等式正确的是()A.sinC=35B.cosC=43C.tanA=34D.sinA=453.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA= 513,则tanB的值为()A.1213B.512C.1312D.1254.如图所示,河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:2,堤高BC=4m,则坡面AB的长度是()mA.8 B.16 C.4√5D.4√35.如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sin∠A的值为()A.12B.√1010C.√55D.2√556.如图,点A到点C的距离为100米,要测量河对岸B点到河岸AD的距离.小明在A点测得B在北偏东60°的方向上,在C点测得B在北偏东30°的方向上,则B点到河岸AD的距离为()A.100米B.50米C.200√33米D.50√3米7.图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC .若 AB=BC=1,∠AOB=α,则 OC2的值为()A.sin2α+1B.1sin2α+1C.cos2α+1D.1cos2α+18.如图所示,正方形ABCD中AB=4,点E为BC中点,BF⊥AE于点G,交CD边于点F,连接DG,则DG长为()A.95√5B.4 C.165D.85√5二、填空题9.已知∠A是锐角tanA=√32,则sinA=.10.平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋,其示意图如图所示,量得∠A为54°,∠B 为36°,边AB的长为2m,BC边上露出部分BD的长为0.9m,则铁板BC边被掩埋部分CD的长是m.(参考数据:sin54°≈0.8,cos54°≈0.6,tan54°≈1.4).11.如图,在⊙O中,弦AB的长为12√3,圆心到弦AB的距离为6,则∠BOC的度数为.12.如图,△ABC的顶点B、C的坐标分别是(1,0)、(0,√3),且∠ABC=90°,∠A=30°,则顶点A的坐标是.13.如图,正方形AFEB和正方形BEDC的边长相等,点A、B、C在同一条直线上.连接AD、BD,那么cos ∠ADB的值为.三、解答题14.计算:2sin30°+cos30°•tan60°.15.先化简,再求值:xx2−1÷(1−1x+1),其中x=√2sin45°+2tan60°.16.为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想,某森林保护区开展了寻找古树活动.如图,在一个坡度(或坡比)i=1:2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米,在距山脚点A水平距离6米的点E处,测得古树顶端D的仰角∠AED=48°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上,古树CD与直线AE垂直),则古树CD的高度约为多少米?(参考数据:sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11)17.今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区,风力强,累计降雨量大,影响范围大,有极强的破坏力.如图,台风“烟花”中心沿东西方向AB 由A 向B 移动,已知点C 为一海港,在A 处测得C 港在北偏东45°方向上,在B 处测得C 港在北偏西60°方向上,且 AB =400+400√3 千米,以台风中心为圆心,周围600千米以内为受影响区域.(1)海港C 受台风影响吗?为什么?(2)若台风中心的移动速度为20千米/时,则台风影响该海港持续的时间有多长?(结果保留整数,参考数据 √2≈1.41 √3≈1.73 √5≈2.24 )18.如图所示,已知BC 是⊙O 的直径,A 、D 是⊙O 上的两点,连接AD 、AC 、CD ,线段AD 与直径BC 相交于点E.(1)若∠ACB =60°,求sin∠ADC 的值.(2)当CD ⌢=12AC ⌢时 ①若CE =√2,BC⋅CE AB =2求∠COD 的度数.②若CD =1,CB =4求线段CE 的长.参考答案1.A2.C3.D4.C5.C6.D7.B8.B9.√217 10.0.711.60°12.(4,√3)13.3√101014.解:原式=2× 12 + √32× √3 =1+ 32= 5215.解: x x 2−1÷(1−1x+1)=x (x+1)(x−1)÷x+1−1x+1 =x (x+1)(x−1)⋅x+1x=1x −1 当x =√2sin45°+2tan60°=√2×√22+2×√3=1+2√3时 1x −1=11+2√3−1=12√3=√36原式=√36. 16.解:延长DC 交EA 的延长线于点F ,则CF ⊥EF∵山坡AC上坡度i=1:2.4∴令CF=km,则AF=2.4km在Rt△ACF中,由勾股定理得CF2+AF2=AC2∴k2+(2.4k)2=262解得k=10∴AF=24m,CF=10m∴EF=30m在Rt△DEF中,tanE=DFEF∴DF=EF•tanE=30×tan48°=30×1.11=33.3(m)∴CD=DF﹣CF=23.3m因此,古树CD的高度约为23.3m.17.(1)解:如下图,过点C作CH⊥AB交AB于点H设CH=x在Rt△ACH中在Rt△BCH中∴AB=(√3+1)x=400+400√3∴x=400,∴CH=400∵400<600,海港C受台风影响(2)解:如下图,以CP=600千米为半径画弧交AB于P、Q两点,此时台风在PQ之间时,海港受到影响在 Rt △PCH 中∴PH =√CP 2−CH 2=200√5∴PQ =2PH =400√5则时间: t =400√520=20√5≈45 (小时)答:台风影响该海港持续的时间有45小时.18.(1)解:∵BC 是⊙O 的直径∴∠BAC =90°∵∠ACB =60°∴∠B =30°∵AC ⌢=AC ⌢∴∠ADC =∠B =30°∴sin∠ADC =sin30°=12所以sin∠ADC 的值为12;(2)解:①∵CE =√2 BC⋅CE AB =2∴BC AB =√2∵∠BAC =90°∴cos∠B =AB BC =√22∴∠B =45°∵CD ⌢=12AC ⌢∴∠CAD =12∠B =22.5°∴∠COD =2∠CAD =45°即∠COD 的度数为45°;②∵CD ⌢=12AC ⌢∵∠ADC=∠COD,∠OCD=∠DCE ∴△OCD∽△DCE∴CDOC =CECD∵BC=4∴OC=2∴12=CE1∴CE=12∴线段CE的长为12.。
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD,其中∠BAC=45°,∠ACD=30°,点E为CD边上的中点,连接AE,将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E,D′E交AC于F 点.若AB=6cm.(1)AE的长为 cm;(2)试在线段AC上确定一点P,使得DP+EP的值最小,并求出这个最小值;(3)求点D′到BC的距离.【答案】(1);(2)12cm;(3)cm.【解析】试题分析:(1)首先利用勾股定理得出AC的长,进而求出CD的长,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案:∵∠BAC=45°,∠B=90°,∴AB=BC=6cm,∴AC=12cm.∵∠ACD=30°,∠DAC=90°,AC=12cm,∴(cm).∵点E为CD边上的中点,∴AE=DC=cm.(2)首先得出△ADE为等边三角形,进而求出点E,D′关于直线AC对称,连接DD′交AC 于点P,根据轴对称的性质,此时DP+EP值为最小,进而得出答案.(3)连接CD′,BD′,过点D′作D′G⊥BC于点G,进而得出△ABD′≌△CBD′(SSS),则∠D′BG=45°,D′G=GB,进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离.试题解析:解:(1).(2)∵Rt△ADC中,∠ACD=30°,∴∠ADC=60°,∵E为CD边上的中点,∴DE=AE.∴△ADE为等边三角形.∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E,∴△AD′E为等边三角形,∠AED′=60°.∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°,∴∠EFA=90°,即AC所在的直线垂直平分线段ED′.∴点E,D′关于直线AC对称.如答图1,连接DD′交AC于点P,∴此时DP+EP值为最小,且DP+EP=DD′.∵△ADE是等边三角形,AD=AE=,∴,即DP+EP最小值为12cm.(3)如答图2,连接CD′,BD′,过点D′作D′G⊥BC于点G,∵AC垂直平分线ED′,∴AE=AD′,CE=CD′,∵AE=EC,∴AD′=CD′=.在△ABD′和△CBD′中,∵,∴△ABD′≌△CBD′(SSS).∴∠D′BG=∠D′BC=45°.∴D′G=GB.设D′G长为xcm,则CG长为cm,在Rt△GD′C中,由勾股定理得,解得:(不合题意舍去).∴点D′到BC边的距离为cm.考点:1.翻折和单动点问题;2.勾股定理;3.直角三角形斜边上的中线性质;4.等边三角形三角形的判定和性质;5.轴对称的应用(最短线路问题);6.全等三角形的判定和性质;7.方程思想的应用.2.2018年12月10日,郑州市城乡规划局网站挂出《郑州都市区主城区停车场专项规划》,将停车纳入城市综合交通体系,计划到2030年,在主城区新建停车泊位33.04万个,2019年初,某小区拟修建地下停车库,如图是停车库坡道入口的设计图,其中MN是水平线,MN∥AD,AD⊥DE,CF⊥AB,垂足分别为D,F,坡道AB的坡度为13DE =3米,点C在DE上,CD=0.5米,CD是限高标志屏的高度(标志牌上写有:限高米),如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长,则该停车库限高多少米?(结果精确到0.12,3)【答案】该停车库限高约为2.2米.【解析】【分析】据题意得出3tan B=,即可得出tan A,在Rt△ADE中,根据勾股定理可求得DE,即可得出∠1的正切值,再在Rt△CEF中,设EF=x,即可求出x,从而得出CF3的长.【详解】解:由题意得,3 tan3B=∵MN∥AD,∴∠A=∠B,∴tan A3,∵DE⊥AD,∴在Rt△ADE中,tan A=DEAD,∵DE=3,又∵DC=0.5,∴CE=2.5,∵CF⊥AB,∴∠FCE+∠CEF=90°,∵DE⊥AD,∴∠A+∠CEF=90°,∴∠A=∠FCE,∴tan∠FCE3在Rt△CEF中,设EF=x,CF3x(x>0),CE=2.5,代入得(52)2=x2+3x2,解得x=1.25,∴CF3x≈2.2,∴该停车库限高约为2.2米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,坡面坡角问题和勾股定理,解题的关键是坡度等于坡角的正切值.3.如图1,以点M(-1,0)为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D,直线y=-x-与⊙M相切于点H,交x轴于点E,交y轴于点F.(1)请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长;(2)如图2,弦HQ交x轴于点P,且DP:PH=3:2,求cos∠QHC的值;(3)如图3,点K为线段EC上一动点(不与E、C重合),连接BK交⊙M于点T,弦AT 交x轴于点N.是否存在一个常数a,始终满足MN·MK=a,如果存在,请求出a的值;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)OE=5,r=2,CH=2(2);(3)a=4【解析】【分析】(1)在直线y=-x-中,令y=0,可求得E的坐标,即可得到OE的长为5;连接MH,根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2;再由EC=MC=2,∠EHM=90°,可知CH 是RT△EHM斜边上的中线,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长;(2)连接DQ、CQ.根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QPD,从而求得DQ的长,在直角三角形CDQ中,即可求得∠D的余弦值,即为cos∠QHC的值;(3)连接AK,AM,延长AM,与圆交于点G,连接TG,由圆周角定理可知,∠GTA=90°,∠3=∠4,故∠AKC=∠MAN,再由△AMK∽△NMA即可得出结论.【详解】(1)OE=5,r=2,CH=2(2)如图1,连接QC、QD,则∠CQD =90°,∠QHC =∠QDC,易知△CHP∽△DQP,故,得DQ=3,由于CD=4,;(3)如图2,连接AK,AM,延长AM,与圆交于点G,连接TG,则,由于,故,;而,故在和中,;故△AMK∽△NMA;即:故存在常数,始终满足常数a="4"解法二:连结BM,证明∽得4.超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速,如图,观测点设在到万丰路(直线AO)的距离为120米的点P处.这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒且∠APO=60°,∠BPO=45°.(1)求A、B之间的路程;(2)请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度?请说明理由.(参考数≈≈).据:2 1.414,3 1.73【答案】【小题1】73.2【小题2】超过限制速度.【解析】AB=-73.2 (米).…6分解:(1)100(31)(2) 此车制速度v==18.3米/秒5.关于三角函数有如下的公式:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ①cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ②tan(α+β)=③利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值,如:tan105°=tan(45°+60°)==﹣(2+).根据上面的知识,你可以选择适当的公式解决下面的实际问题:如图,直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°,底端C点的俯角β=75°,此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m,求建筑物CD的高.【答案】建筑物CD的高为84米.【解析】分析:如图,过点D作DE⊥AB于点E,由题意易得∠ACB=75°,∠ABC=90°,DE=BC=42m,∠ADE=60°,这样在Rt△ABC和在Rt△ADE中,结合题中所给关系式分别求出AB和AE的长,即可由CD=BE=AB-AE求得结果了.详解:如图,过点D作DE⊥AB于点E,由题意可得∠ACB=75°,∠ABC=90°,DE=BC=42m,CD=BE,∠ADE=60°,∴在Rt△ABC和Rt△ADEAB=BC•tan75°=42tan75°=,AE=,∴CD=AB﹣AE=(米).答:建筑物CD的高为84米.睛:读懂题意,把已知量和未知量转化到Rt△ABC和Rt△ADE中,这样利用直角三角形中边角间的关系结合题目中所给的“两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.6.如图,AB为⊙O的直径,P是BA延长线上一点,CG是⊙O的弦∠PCA=∠ABC,CG⊥AB,垂足为D(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)求证:PA AD PC CD;(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E,交CD于点F,连接BE,若sin∠P=35,CF=5,求BE的长.【答案】(1)见解析;(2)BE=12.【解析】【分析】(1)连接OC,由PC切⊙O于点C,得到OC⊥PC,于是得到∠PCA+∠OCA=90°,由AB为⊙O的直径,得到∠ABC+∠OAC=90°,由于OC=OA,证得∠OCA=∠OAC,于是得到结论;(2)由AE∥PC,得到∠PCA=∠CAF根据垂径定理得到弧AC=弧AG,于是得到∠ACF=∠ABC,由于∠PCA=∠ABC,推出∠ACF=∠CAF,根据等腰三角形的性质得到CF=AF,在R t△AFD中,AF=5,sin∠FAD=35,求得FD=3,AD=4,CD=8,在R t△OCD中,设OC=r,根据勾股定理得到方程r2=(r-4)2+82,解得r=10,得到AB=2r=20,由于AB为⊙O的直径,得到∠AEB=90°,在R t△ABE中,由sin∠EAD=35,得到BEAB=35,于是求得结论.【详解】(1)证明:连接OC,∵PC切⊙O于点C,∴OC⊥PC,∴∠PCO=90°,∴∠PCA+∠OCA=90°,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ABC+∠OAC=90°,∵OC=OA,∴∠OCA=∠OAC,∴∠PCA=∠ABC;(2)解:∵AE∥PC,∴∠PCA=∠CAF,∵AB⊥CG,∴弧AC=弧AG,∴∠ACF=∠ABC,∵∠PCA=∠ABC,∴∠ACF=∠CAF,∴CF=AF,∵CF=5,∴AF=5,∵AE∥PC,∴∠FAD=∠P,∵sin∠P=35,∴sin∠FAD=35,在R t△AFD中,AF=5,sin∠FAD=35,∴FD=3,AD=4,∴CD=8,在R t△OCD中,设OC=r,∴r2=(r﹣4)2+82,∴r=10,∴AB=2r=20,∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°,在R t△ABE中,∵sin∠EAD=35,∴35BEAB,∵AB=20,∴BE=12.【点睛】本题考查切线的性质,锐角三角函数,圆周角定理,等腰三角形的性质,解题关键是连接OC构造直角三角形.7.如图,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过点,.点为轴上一动点,过点且垂直于轴的直线分别交直线及抛物线于点,.(1)填空:点的坐标为,抛物线的解析式为;(2)当点在线段上运动时(不与点,重合),①当为何值时,线段最大值,并求出的最大值;②求出使为直角三角形时的值;(3)若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是,请直接写出此时由点,,,构成的四边形的面积.【答案】(1),;(2)①当时,有最大值是3;②使为直角三角形时的值为3或;(3)点,,,构成的四边形的面积为:6或或.【解析】【分析】(1)把点A坐标代入直线表达式y=,求出a=−3,把点A、B的坐标代入二次函数表达式,即可求解;(2)①设:点P(m,),N(m,)求出PN值的表达式,即可求解;②分∠BNP=90°、∠NBP=90°、∠BPN=90°三种情况,求解即可;(3)若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h,则只能出现:在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N,在直线AB上方的交点有两个,分别求解即可.【详解】解:(1)把点坐标代入直线表达式,解得:,则:直线表达式为:,令,则:,则点坐标为,将点的坐标代入二次函数表达式得:,把点的坐标代入二次函数表达式得:,解得:,故:抛物线的解析式为:,故:答案为:,;(2)①∵在线段上,且轴,∴点,,∴,∵,∴抛物线开口向下,∴当时,有最大值是3,②当时,点的纵坐标为-3,把代入抛物线的表达式得:,解得:或0(舍去),∴;当时,∵,两直线垂直,其值相乘为-1,设:直线的表达式为:,把点的坐标代入上式,解得:,则:直线的表达式为:,将上式与抛物线的表达式联立并解得:或0(舍去),当时,不合题意舍去,故:使为直角三角形时的值为3或;(3)∵,,在中,,则:,,∵轴,∴,若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是,则只能出现:在直线下方抛物线与过点的直线与抛物线有一个交点,在直线上方的交点有两个.当过点的直线与抛物线有一个交点,点的坐标为,设:点坐标为:,则:,过点作的平行线,则点所在的直线表达式为:,将点坐标代入,解得:过点直线表达式为:,将拋物线的表达式与上式联立并整理得:,,将代入上式并整理得:,解得:,则点的坐标为,则:点坐标为,则:,∵,,∴四边形为平行四边形,则点到直线的距离等于点到直线的距离,即:过点与平行的直线与抛物线的交点为另外两个点,即:、,直线的表达式为:,将该表达式与二次函数表达式联立并整理得:,解得:,则点、的横坐标分别为,,作交直线于点,则,作轴,交轴于点,则:,,,则:,同理:,故:点,,,构成的四边形的面积为:6或或.【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识,其中(3)中确定点N的位置是本题的难点,核心是通过△=0,确定图中N点的坐标.8.在等腰△ABC中,∠B=90°,AM是△ABC的角平分线,过点M作MN⊥AC于点N,∠EMF=135°.将∠EMF绕点M旋转,使∠EMF的两边交直线AB于点E,交直线AC于点F,请解答下列问题:(1)当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时,求证:BE+CF=BM;(2)当∠EMF绕点M旋转到如图②,图③的位置时,请分别写出线段BE,CF,BM之间的数量关系,不需要证明;(3)在(1)和(2)的条件下,tan∠BEM=,AN=+1,则BM=,CF=.【答案】(1)证明见解析(2)见解析(3)1,1+或1﹣【解析】【分析】(1)由等腰△ABC中,∠B=90°,AM是△ABC的角平分线,过点M作MN⊥AC于点N,可得BM=MN,∠BMN=135°,又∠EMF=135°,可证明的△BME≌△NMF,可得BE=NF,NC=NM=BM进而得出结论;(2)①如图②时,同(1)可证△BME≌△NMF,可得BE﹣CF=BM,②如图③时,同(1)可证△BME≌△NMF,可得CF﹣BE=BM;(3) 在Rt△ABM和Rt△ANM中,,可得Rt△ABM≌Rt△ANM,后分别求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的长,结合(1)(2)的结论对图①②③进行讨论可得CF的长.【详解】(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠BAC=∠C=45°,∵AM是∠BAC的平分线,MN⊥AC,∴BM=MN,在四边形ABMN中,∠,BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°,∵∠ENF=135°,,∴∠BME=∠NMF,∴△BME≌△NMF,∴BE=NF,∵MN⊥AC,∠C=45°,∴∠CMN=∠C=45°,∴NC=NM=BM,∵CN=CF+NF,∴BE+CF=BM;(2)针对图2,同(1)的方法得,△BME≌△NMF,∴BE=NF,∵MN⊥AC,∠C=45°,∴∠CMN=∠C=45°,∴NC=NM=BM,∵NC=NF﹣CF,∴BE﹣CF=BM;针对图3,同(1)的方法得,△BME≌△NMF,∴BE=NF,∵MN⊥AC,∠C=45°,∴∠CMN=∠C=45°,∴NC=NM=BM,∵NC=CF﹣NF,∴CF﹣BE=BM;(3)在Rt△ABM和Rt△ANM中,,∴Rt△ABM≌Rt△ANM(HL),∴AB=AN=+1,在Rt△ABC中,AC=AB=+1,∴AC=AB=2+,∴CN=AC﹣AN=2+﹣(+1)=1,在Rt△CMN中,CM=CN=,∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1,在Rt△BME中,tan∠BEM===,∴BE=,∴①由(1)知,如图1,BE+CF=BM,∴CF=BM﹣BE=1﹣②由(2)知,如图2,由tan∠BEM=,∴此种情况不成立;③由(2)知,如图3,CF﹣BE=BM,∴CF=BM+BE=1+,故答案为1,1+或1﹣.【点睛】本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合,难度较大,需综合运用所学知识求解.9.问题探究:(一)新知学习:圆内接四边形的判断定理:如果四边形对角互补,那么这个四边形内接于圆(即如果四边形EFGH的对角互补,那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上).(二)问题解决:已知⊙O的半径为2,AB,CD是⊙O的直径.P是上任意一点,过点P分别作AB,CD 的垂线,垂足分别为N,M.(1)若直径AB⊥CD,对于上任意一点P(不与B、C重合)(如图一),证明四边形PMON内接于圆,并求此圆直径的长;(2)若直径AB⊥CD,在点P(不与B、C重合)从B运动到C的过程汇总,证明MN的长为定值,并求其定值;(3)若直径AB与CD相交成120°角.①当点P运动到的中点P1时(如图二),求MN的长;②当点P(不与B、C重合)从B运动到C的过程中(如图三),证明MN的长为定值.(4)试问当直径AB与CD相交成多少度角时,MN的长取最大值,并写出其最大值.【答案】(1)证明见解析,直径OP=2;(2)证明见解析,MN的长为定值,该定值为2;(3)①MN=;②证明见解析;(4)MN取得最大值2.【解析】试题分析:(1)如图一,易证∠PMO+∠PNO=180°,从而可得四边形PMON内接于圆,直径OP=2;(2)如图一,易证四边形PMON是矩形,则有MN=OP=2,问题得以解决;(3)①如图二,根据等弧所对的圆心角相等可得∠COP1=∠BOP1=60°,根据圆内接四边形的对角互补可得∠MP1N=60°.根据角平分线的性质可得P1M=P1N,从而得到△P1MN是等边三角形,则有MN=P1M.然后在Rt△P1MO运用三角函数就可解决问题;②设四边形PMON的外接圆为⊙O′,连接NO′并延长,交⊙O′于点Q,连接QM,如图三,根据圆周角定理可得∠QMN=90°,∠MQN=∠MPN=60°,在Rt△QMN中运用三角函数可得:MN=QN•sin∠MQN,从而可得MN=OP•sin∠MQN,由此即可解决问题;(4)由(3)②中已得结论MN=OP•sin∠MQN可知,当∠MQN=90°时,MN最大,问题得以解决.试题解析:(1)如图一,∵PM⊥OC,PN⊥OB,∴∠PMO=∠PNO=90°,∴∠PMO+∠PNO=180°,∴四边形PMON内接于圆,直径OP=2;(2)如图一,∵AB⊥OC,即∠BOC=90°,∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°,∴四边形PMON是矩形,∴MN=OP=2,∴MN的长为定值,该定值为2;(3)①如图二,∵P1是的中点,∠BOC=120°,∴∠COP1=∠BOP1=60°,∠MP1N=60°,∵P1M⊥OC,P1N⊥OB,∴P1M=P1N,∴△P1MN是等边三角形,∴MN=P1M.∵P1M=OP1•sin∠MOP1=2×sin60°=,∴MN=;②设四边形PMON的外接圆为⊙O′,连接NO′并延长,交⊙O′于点Q,连接QM,如图三,则有∠QMN=90°,∠MQN=∠MPN=60°,在Rt△QMN中,sin∠MQN=,∴MN=QN•sin∠MQN,∴MN=OP•sin ∠MQN=2×sin60°=2×=,∴MN 是定值.(4)由(3)②得MN=OP•sin ∠MQN=2sin ∠MQN .当直径AB 与CD 相交成90°角时,∠MQN=180°﹣90°=90°,MN 取得最大值2. 考点:圆的综合题.10.已知Rt △ABC,∠A=90°,BC=10,以BC 为边向下作矩形BCDE,连AE 交BC 于F. (1)如图1,当AB=AC,且sin ∠BEF=35时,求BF CF 的值;(2)如图2,当tan ∠ABC=12时,过D 作DH ⊥AE 于H,求EH EA ⋅的值; (3)如图3,连AD 交BC 于G,当2FG BF CG =⋅时,求矩形BCDE 的面积【答案】(1)17;(2)80;(3)100. 【解析】 【分析】(1)过A 作AK ⊥BC 于K ,根据sin ∠BEF=35得出35FK AK =,设FK =3a ,AK =5a ,可求得BF =a ,故17BF CF =;(2)过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ,得△EGA ∽△EHD ,利用相似三角形的性质即可求出;(3)延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T ,根据相似三角形的性质可求出BE =ED ,故可求出矩形的面积. 【详解】解:(1)过A 作AK ⊥BC 于K , ∵sin ∠BEF =35,sin ∠FAK =35, ∴35FK AK =, 设FK =3a ,AK =5a , ∴AK =4a ,∵AB =AC ,∠BAC =90°, ∴BK =CK =4a ,∴BF =a , 又∵CF =7a , ∴17BF CF = (2)过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED , ∵∠AGE =∠DHE =90°, ∴△EGA ∽△EHD , ∴EH EDEG EA=, ∴·EH EA EG ED ⋅=,其中EG =BK , ∵BC =10,tan ∠ABC =12, cos ∠ABC∴BA =BC · cos ∠ABCBK= BA·cos ∠ABC 8= ∴EG =8,另一方面:ED =BC =10, ∴EH ·EA =80(3)延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T , ∵BC ∥KT , BF AF FG KE AE ED==, ∴BF KE FG DE =,同理:FG EDCG DT= ∵FG 2= BF ·CG ∴BF FGFG CG =, ∴ED 2= KE ·DT ∴KE EDDE DT= , 又∵△KEB ∽△CDT ,∴KE CDBE DT=, ∴KE ·DT =BE 2, ∴BE 2=ED 2 ∴ BE =ED∴1010100BCDE S =⨯=矩形【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质,解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解.。
锐角三角函数一、选择题1. sin30°的值为〔 〕 A .32B .22C .12D .332.如图,在Rt ABC △中,ACB ∠=Rt ∠,1BC =,2AB =,则下列结论正确的是〔 〕 A . 3sin 2A =B .1tan 2A = C .3cos 2B = D .tan 3B =3.三角形在方格纸中的位置如图所示,则tan α的值是〔 〕 A .34B .43 C .35 D .454.如图,在平地上种植树木时,要求株距〔相邻两树间的水平距离〕为4m .如果在坡度为0.75的山坡上种树,也要求株距为4m ,那么相邻两树间的坡面距离为〔 〕 A .5m B .6m C .7m D .8m5.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,452AOC OC ∠==°,,则点B 的坐标为〔 〕A .(21),B .(12),C .(211)+,D .(121)+,6.如图,直线AB 与⊙O 相切于点A ,⊙O 的半径为2,若∠OBA = 30°,则OB 的长为〔 〕 A .43.4C .23.27.图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB .CD 分别表示一楼.二楼地面的水平线,∠ABC =150°,BC 的长是8 m ,则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是〔 〕A 833m B .4 mC .43 mD .8 m8)如图,小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离,在A 点测得30BAD ∠=°,在C 点测得60BCD ∠=°,又测得50AC =米,则小岛B 到公路l 的距离为〔 〕米.A .25B .253C .10033D .253+9.如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径,若O ⊙的半径为32,2AC =,则sin B 的值是〔〕A .23 B .32C .34D .4310.将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状,那么折痕PQ 的长是〔〕A .233cmB .433cmC .5cmD .2cm 11.如图,在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于E ,∠EDC ∶∠EDA=1∶3,且AC=10,则DE 的长度是〔〕 A .3B .5C .25D .225 12.如图,已知△ABC 中,∠ABC =90°,AB =BC ,三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1,l 2,l 3上,且l 1,l 2之间的距离为2 , l 2,l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是〔 〕A .172B .52C .24D .713.如图4,在Rt ABC △中, 90=∠ACB ,86AC BC ==,,将ABC △绕AC 所在的直线k 旋转一周得到一个旋转体,则该旋转体的侧面积为〔 〕 A .30π B .40πC .50π D .60π14.在一次夏令营活动中,小亮从位于A 点的营地出发,沿北偏东60°方向走了5km 到达B 地,然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C 地,测得A 地在C 地南偏西30°方向,则A .C 两地的距离为〔 〕 〔A 〕km 3310 〔B 〕km 335〔C 〕km 25 〔D 〕km 35 15.如图,在梯形ABCD 中,AD//BC ,AC ⊥AB ,AD =CD ,cos ∠DCA=54,BC =10,则AB 的值是〔 〕 A .3B .6C .8D .916.如图,AB 是O ⊙的直径,弦CD AB ⊥于点E ,连结OC ,若5OC =,8CD =,则tan COE ∠=〔 〕A .35 B .45 C .34 D .4317.为测量如图所示上山坡道的倾斜度,小明测得图中所示的数据(单位:米),则该坡道倾斜角α的正切值是〔 〕 A .14B .4C .117D .41718.如图,先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为5米,那么这两树在坡面上的距离AB 为〔 〕 A. αcos 5 B.αcos 5 C. αsin 5 D. αsin 519. 如图,菱形ABCD 的周长为20cm ,DE ⊥AB ,垂足为E ,54A cos =,则下列结论中正确的个数为〔 〕 ①DE=3cm ; ②EB=1cm ; ③2ABCD 15S cm =菱形.A .3个B .2个C .1个D .0个20.已知圆锥的底面半径为5cm ,侧面积为65πcm 2,设圆锥的母线与高的夹角为θ〔如图所示〕,则sinθ的值为〔 〕 〔A 〕125 〔B 〕135 〔C 〕1310 〔D 〕131221.如图,已知RtΔABC 中,∠ACB =90°,AC = 4,BC=3,以AB 边所在的直线为轴,将ΔABC 旋转一周,则所得几何体的表面积是〔 〕. A .π5168 B .π24C .π584D .π12 22.如图,在ABC △中,C ∠9060B D =∠=°,°,是AC 上一点,DE AB ⊥于E ,且21CD DE ==,,则BC 的长为〔 〕A .2B .433C .23D .4323.某人想沿着梯子爬上高4米的房顶,梯子的倾斜角〔梯子与地面的夹角〕不能大于60°,否则就有危险,那么梯子的长至少为〔 〕 A .8米B.CD.3米 24.〕已知在Rt ABC △中,390sin 5C A ∠==°,,则tan B 的值为〔 〕 A .43B .45C .54D .3425. 2sin 30°的值等于〔 〕A .1 BCD .2 26.已知在Rt ABC △中,390sin 5C A ∠==°,,则tan B 的值为〔 〕 A .43B .45C .54D .3427.某人想沿着梯子爬上高4米的房顶,梯子的倾斜角〔梯子与地面的夹角〕不能大于60°,否则就有危险,那么梯子的长至少为〔 〕 A .8米B.CD米 28.一根电线杆的接线柱部分AB 在阳光下的投影CD 的长为1米,太阳光线与地面的夹角60ACD ∠=°,则AB 的长为〔 〕 A .12米B米C.2米 D.3米 二、计算题〔每小题3分,共12分〕 1.计算:()1200911sin 602-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭°2.10120094sin 3022⎛⎫--+-- ⎪⎝⎭-(3.计算:0200912sin 603tan 30(1)3⎛⎫-++- ⎪⎝⎭°°.4.先化简.再求值.22 ()2111a a a a a ++÷+-- 其中a =tan60°-2sin30°.三、解答题1.〕如图,AC 是O ⊙的直径,PA ,PB 是O ⊙的切线,A ,B 为切点,AB =6,PA =5.求〔1〕O ⊙的半径;〔2〕sin BAC ∠的值.2.〔4分〕〔20XXXX 〕如图,一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行,在A 处测得灯塔C 在北偏西30°方向,轮船航行2小时后到达B 处,在B 处测得灯塔C 在北偏西60°方向.当轮船到达灯塔C 的正东方向的D 处时,求此时轮船与灯塔C 的距离.〔结果保留根号〕CDBA北60°30°CCAB60° 45°北北3.〕为打击索马里海盗,保护各国商船的顺利通行,我海军某部奉命前往该海域执行护航任务.某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45︒并距该岛20海里的B 处待命.位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击,船长发现在其北偏东60︒的方向有我军护航舰〔如图9所示〕,便发出紧急求救信号.我护航舰接警后,立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援.问我护航舰需多少分钟可以到达该据:2 1.43 1.7≈,≈〕商船所在的位置C 处?〔结果精确到个位.参考数4.如图,某飞机于空中A 处探测到地平面目标B ,此时从飞机上看目标B 的俯角为α,若测得飞机到目标B 的距离AB 约为2400米,已知sin 0.52α=,求飞机飞行的高度AC 约为多少米?5.如图,热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为︒60,看这栋高楼底部的俯角为︒30,热气球与高楼的水平距离为66 m ,这栋高楼有多高?〔结果精确到0.1 m ,参考数据:73.13≈〕BC AαC AB1.C 2. D 3。
最新初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析一、选择题1.如图,某建筑物的顶部有一块标识牌CD,小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为 45°,沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为 60°,已知斜坡AB的坡角为30°,AB=AE=10 米.则标识牌CD的高度是( )米.A.15-53B.20-103C.10-53D.53-5【答案】A【解析】【分析】过点B作BM⊥EA的延长线于点M,过点B作BN⊥CE于点N,通过解直角三角形可求出BM,AM,CN,DE的长,再结合CD=CN+EN−DE即可求出结论.【详解】解:过点B作BM⊥EA的延长线于点M,过点B作BN⊥CE于点N,如图所示.在Rt△ABE中,AB=10米,∠BAM=30°,∴AM=AB•cos30°=3BM=AB•sin30°=5(米).在Rt△ACD中,AE=10(米),∠DAE=60°,∴DE=AE•tan60°=3在Rt△BCN中,BN=AE+AM=10+3CBN=45°,∴CN=BN•tan45°=10+3(米),∴CD=CN+EN−DE=10+33=3故选:A.【点睛】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题及解直角三角形−坡度坡脚问题,通过解直角三角形求出BM,AM,CN,DE的长是解题的关键.2.菱形ABCD的周长为20cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA=35,则下列结论正确的个数有()①DE=3cm; ②BE=1cm; ③菱形的面积为15cm2; ④BD=210cm.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析,从而得到答案【详解】∵菱形ABCD的周长为20cm∴AD=5cm∵sinA=3 5∴DE=3cm(①正确)∴AE=4cm∵AB=5cm∴BE=5﹣4=1cm(②正确)∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2(③正确)∵DE=3cm,BE=1cm∴BD=10cm(④不正确)所以正确的有三个.故选C.【点睛】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义,熟练掌握性质是解题的关键3.一个物体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是全等的等边三角形,俯视图是圆,根据图中所示数据,可求这个物体的表面积为()A.πB.2πC.3πD.31)π【答案】C【解析】【分析】由三视图可知:该几何体是一个圆锥,其轴截面是一个高为3的正三角形.可计算边长为2,据此即可得出表面积.【详解】解:由三视图可知:该几何体是一个圆锥,其轴截面是一个高为3的正三角形.∴正三角形的边长32 sin60==︒.∴圆锥的底面圆半径是1,母线长是2,∴底面周长为2π∴侧面积为12222ππ⨯⨯=,∵底面积为2rππ=,∴全面积是3π.故选:C.【点睛】本题考查了圆锥的计算,正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键,理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.4.如图,△ABC内接于半径为5的⊙O,圆心O到弦BC的距离等于3,则∠A的正切值等于()A.35B.45C.34D.43【答案】C【解析】试题分析:如答图,过点O作OD⊥BC,垂足为D,连接OB,OC,∵OB=5,OD=3,∴根据勾股定理得BD=4.∵∠A=12∠BOC,∴∠A=∠BOD.∴tanA=tan∠BOD=43 BDOD=.故选D.考点:1.垂径定理;2.圆周角定理;3.勾股定理;4.锐角三角函数定义.5.如图,为了测量某建筑物MN的高度,在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°,向N点方向前进16m到达B处,在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°,则建筑物MN的高度等于( )A.31)m B.31)mC.31)m D.31)m【答案】A【解析】设MN=xm,在Rt△BMN中,∵∠MBN=45∘,∴BN=MN=x,在Rt△AMN中,tan∠MAN=MN AN,∴tan30∘=16xx+=3√3,解得:3,则建筑物MN的高度等于3 +1)m;故选A.点睛:本题是解直角三角形的应用,考查了仰角和俯角的问题,要明确哪个角是仰角,哪个角是俯角,知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角,俯角是向下看的视线与水平线的夹角,并与三角函数相结合求边的长.6.如图,从点A看一山坡上的电线杆PQ,观测点P的仰角是45︒,向前走6m到达B 点,测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60︒和30°,则该电线杆PQ的高度()A .623+B .63+C .103-D .83+【答案】A【解析】 【分析】 延长PQ 交直线AB 于点E ,设PE=x 米,在直角△APE 和直角△BPE 中,根据三角函数利用x 表示出AE 和BE ,列出方程求得x 的值,再在直角△BQE 中利用三角函数求得QE 的长,则问题求解.【详解】解:延长PQ 交直线AB 于点E ,设PE=x .在直角△APE 中,∠A=45°,AE=PE=x ;∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE 中,33x , ∵AB=AE-BE=6米,则x-33x=6, 解得:3则3.在直角△BEQ 中,QE=33BE=33(3)3 ∴3(3)3答:电线杆PQ 的高度是(3)米.故选:A .【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用,解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题.7.如图,在矩形ABCD 中E 是CD 的中点,EA 平分,BED PE AE ∠⊥交BC 于点P ,连接PA ,以下四个结论:①EB 平分AEC ∠;②PA BE ⊥;③32AD AB =;④2PB PC =.其中结论正确的个数是( )A .4个B .3个C .2个D .1个【答案】A【解析】【分析】 根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ADE ≌△BCE (SAS ),进而求出△ABE 是等边三角形,再求出△AEP ≌△ABP (SSS ),进而得出∠EAP =∠PAB =30°,再分别得出AD 与AB ,PB 与PC 的数量关系即可.【详解】解:∵在矩形ABCD 中,点E 是CD 的中点,∴DE =CE ,又∵AD =BC ,∠D =∠C ,∴△ADE ≌△BCE (SAS ),∴AE =BE ,∠DEA =∠CEB ,∵EA 平分∠BED ,∴∠AED =∠AEB ,∴∠AED =∠AEB =∠CEB =60°,故:①EB 平分∠AEC ,正确;∴△ABE 是等边三角形,∴∠DAE =∠EBC =30°,AE =AB ,∵PE ⊥AE ,∴∠DEA +∠CEP =90°,则∠CEP =30°,故∠PEB =∠EBP =30°,则EP =BP ,又∵AE =AB ,AP =AP ,∴△AEP≌△ABP(SSS),∴∠EAP=∠PAB=30°,∴AP⊥BE,故②正确;∵∠DAE=30°,∴tan∠DAE=DEAD=tan30°=3,∴AD=3DE,即32AD CD=,∵AB=CD,∴③3AD AB=正确;∵∠CEP=30°,∴CP=12 EP,∵EP=BP,∴CP=12 BP,∴④PB=2PC正确.综上所述:正确的共有4个.故选:A.【点睛】此题主要考查了四边形综合,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形性质以及三角函数等知识,证明△ABE是等边三角形是解题关键.8.如图,在x轴的上方,直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数1yx=-、2yx=的图象交于B、A两点,则∠OAB大小的变化趋势为()A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变【答案】D【解析】【分析】如图,作辅助线;首先证明△BEO ∽△OFA ,,得到BE OE OF AF =;设B 为(a ,1a -),A 为(b ,2b ),得到OE=-a ,EB=1a-,OF=b ,AF=2b ,进而得到222a b =,此为解决问题的关键性结论;运用三角函数的定义证明知tan ∠OAB=2为定值,即可解决问题. 【详解】解:分别过B 和A 作BE ⊥x 轴于点E ,AF ⊥x 轴于点F ,则△BEO ∽△OFA ,∴BE OE OF AF=, 设点B 为(a ,1a -),A 为(b ,2b ), 则OE=-a ,EB=1a-,OF=b ,AF=2b , 可代入比例式求得222a b =,即222a b=, 根据勾股定理可得:OB=22221OE EB a a +=+,OA=22224OF AF b b+=+, ∴tan ∠OAB=2222222212244b a OB a b OA b b b b++==++=222214()24b b b b ++=2 ∴∠OAB 大小是一个定值,因此∠OAB 的大小保持不变.故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题;解题的方法是作辅助线,将分散的条件集中;解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答.9.如图,在ABC ∆中,4AC =,60ABC ∠=︒,45C ∠=︒,AD BC ⊥,垂足为D ,ABC ∠的平分线交AD 于点E ,则AE 的长为( )A .22B .22C .42D .32 【答案】C【解析】【分析】在Rt △ADC 中,利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度,在Rt △ADB 中,由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度,在Rt △EBD 中,由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度,再利用AE=AD−DE 即可求出AE 的长度.【详解】∵AD ⊥BC∴∠ADC=∠ADB=90︒在Rt △ADC 中,AC=4,∠C=45︒∴AD=CD=22在Rt △ADB 中,AD=22,∠ABD=60︒∴BD=33AD=263. ∵BE 平分∠ABC ,∴∠EBD=30°.在Rt △EBD 中,BD=26,∠EBD=30° ∴DE=3BD=22 ∴AE=AD −DE=22-22=42 故选:C【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质,以及利用特殊角三角函数解直角三角形.10.如图,菱形ABCD 的两个顶点B 、D 在反比例函数y =的图象上,对角线AC 与BD 的交点恰好是坐标原点O ,已知点A (1,1),∠ABC =60°,则k 的值是( )A.﹣5 B.﹣4 C.﹣3 D.﹣2【答案】C【解析】分析:根据题意可以求得点B的坐标,从而可以求得k的值.详解:∵四边形ABCD是菱形,∴BA=BC,AC⊥BD,∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∵点A(1,1),∴OA=,∴BO=,∵直线AC的解析式为y=x,∴直线BD的解析式为y=-x,∵OB=,∴点B的坐标为(−,),∵点B在反比例函数y=的图象上,∴,解得,k=-3,故选C.点睛:本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质,解答本题的关键是明确题意,利用反比例函数的性质解答.11.如图,已知⊙O上三点A,B,C,半径OC=1,∠ABC=30°,切线PA交OC延长线于点P,则PA的长为()A.2 B3C2D.1 2【答案】B【解析】【分析】连接OA,由圆周角定理可求出∠AOC=60°,再根据∠AOC的正切即可求出PA的值.【详解】连接OA,∵∠ABC=30°,∴∠AOC=60°,∵PA是圆的切线,∴∠PAO=90°,∵tan∠AOC =PA OA,∴PA= tan60°×1=3.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识,根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.12.“奔跑吧,兄弟!”节目组,预设计一个新的游戏:“奔跑”路线需经A、B、C、D四地.如图,其中A、B、C三地在同一直线上,D地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西45°方向.C地在A地北偏东75°方向.且BD=BC=30m.从A地到D地的距离是()A.3B.5C.2m D.6m【答案】D【解析】分析:过点D作DH垂直于AC,垂足为H,求出∠DAC的度数,判断出△BCD是等边三角形,再利用三角函数求出AB的长,从而得到AB+BC+CD的长.详解:过点D作DH垂直于AC,垂足为H,由题意可知∠DAC=75°﹣30°=45°.∵△BCD是等边三角形,∴∠DBC=60°,BD=BC=CD=30m,∴DH=32×30=153,∴AD=2DH=156m.故从A地到D地的距离是156m.故选D.点睛:本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题,结合航海中的实际问题,将解直角三角形的相关知识有机结合,体现了数学应用于实际生活的思想.13.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的点,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E,若∠A=30°,则sin∠E的值为()A.12B.22C.3D.3【答案】A【解析】【分析】首先连接OC,由CE是⊙O切线,可证得OC⊥CE,又由圆周角定理,求得∠BOC的度数,继而求得∠E的度数,然后由特殊角的三角函数值,求得答案.【详解】如图,连接OC,∵CE是⊙O的切线,∴∠OCE=90°,∵OA=OC,∴∠OCA=∠A=30°,∴∠COE=∠A+∠OCA=60°,∴∠E=180°-90°-60°=30°,∴sinE=sin30°=1 2 .故选A.14.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是菱形,点B的坐标是(0,4),点D的坐标是(83,4),点M和点N是两个动点,其中点M从点B出发,沿BA以每秒2个单位长度的速度做匀速运动,到点A后停止,同时点N从点B出发,沿折线BC→CD以每秒4个单位长度的速度做匀速运动,如果其中一个点停止运动,则另一点也停止运动,设M,N两点的运动时间为x,△BMN的面积为y,下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据两个点的运动变化,写出点N在BC上运动时△BMN的面积,再写出当点N在CD上运动时△BMN的面积,即可得出本题的答案;【详解】解:当0<x⩽2时,如图1:连接BD,AC,交于点O′,连接NM,过点C作CP⊥AB垂足为点P,∴∠CPB=90°,∵四边形ABCD是菱形,其中点B的坐标是(0,4),点D的坐标是3,4),∴BO′3,CO′=4,∴BC=AB=228O B O C +'=', ∵AC=8, ∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∴CP=BC×sin60°=8×32=43,BP=4, BN=4x ,BM=2x , 242BM x x BP ==,2BN x BC =, ∴=BM BN BP BC, 又∵∠NBM=∠CBP ,∴△NBM ∽△CBP ,∴∠NMB=∠CPB=90°,∴114438322CBP S BP CP =⨯⨯=⨯⨯=V ; ∴2NBM CBP S BN S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭V V , 即y=22283=232NBM CBP BN x S S x BC ⎛⎫⎛⎫=⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭V V , 当2<x ⩽4时,作NE ⊥AB ,垂足为E ,∵四边形ABCD 是菱形,∴AB ∥CD ,∴3BM=2x ,∴y=11=2434322BM NE x x ⨯⨯=g g ; 故选D.【点睛】 本题主要考查了动点问题的函数图象,掌握动点问题的函数图象是解题的关键.15.一艘轮船从港口O出发,以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A 处,此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B.若以港口O为坐标原点,正东方向为x轴的正方向,正北方向为y轴的正方向,1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系(如图),则小岛B所在位置的坐标是()A.(303-50,30) B.(30, 303-50) C.(303,30) D.(30,303)【答案】A【解析】【分析】【详解】解:OA=15×4=60海里,∵∠AOC=60°,∴∠CAO=30°,∵sin30°=OCAO=12,∴CO=30海里,∴AC=303海里,∴BC=(303-50)海里,∴B(303-50,30).故选A【点睛】本题考查掌握锐角三角函数的应用.16.如图,点E是矩形ABCD的边AD的中点,且BE⊥AC于点F,则下列结论中错误的是()A.AF=12 CFB.∠DCF=∠DFCC.图中与△AEF相似的三角形共有5个D.tan∠CAD【答案】D【解析】【分析】由AE=12AD=12BC,又AD∥BC,所以12AE AFBC FC==,故A正确,不符合题意;过D作DM∥BE交AC于N,得到四边形BMDE是平行四边形,求出BM=DE=12BC,得到CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论,故B正确,不符合题意;根据相似三角形的判定即可求解,故C正确,不符合题意;由△BAE∽△ADC,得到CD与AD的大小关系,根据正切函数可求tan∠CAD的值,故D错误,符合题意.【详解】解:A、∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF,∴AEBC=AFFC,∵AE=12AD=12BC,∴AFFC=12,故A正确,不符合题意;B、过D作DM∥BE交AC于N,∵DE∥BM,BE∥DM,∴四边形BMDE是平行四边形,∴BM=DE=12 BC,∴BM=CM,∴CN=NF,∵BE⊥AC于点F,DM∥BE,∴DN⊥CF,∴DF=DC,∴∠DCF=∠DFC,故B正确,不符合题意;C、图中与△AEF相似的三角形有△ACD,△BAF,△CBF,△CAB,△ABE共有5个,故C正确,不符合题意.D 、设AD =a ,AB =b 由△BAE ∽△ADC ,有b a =2a . ∵tan ∠CAD =CD AD =b a =2,故D 错误,符合题意. 故选:D .【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,矩形的性质,图形面积的计算,正确的作出辅助线是解题的关键.17.如图,等边ABC V 边长为a ,点O 是ABC V 的内心,120FOG ∠=︒,绕点O 旋转FOG ∠,分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点,连接DE ,给出下列四个结论:①ODE V 形状不变;②ODE V 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一;③四边形ODBE 的面积始终不变;④BDE V 周长的最小值为1.5a .上述结论中正确的个数是( )A .4B .3C .2D .1【答案】A【解析】【分析】 连接OB 、OC ,利用SAS 证出△ODB ≌△OEC ,从而得出△ODE 是顶角为120°的等腰三角形,即可判断①;过点O 作OH ⊥DE ,则DH=EH ,利用锐角三角函数可得OH=12OE 和3OE ,然后三角形的面积公式可得S △ODE 32,从而得出OE 最小时,S △ODE 最小,根据垂线段最短即可求出S △ODE 的最小值,然后证出S 四边形ODBE =S △OBC =2312即可判断②和③;求出BDE V 的周长=a +DE ,求出DE 的最小值即可判断④.【详解】解:连接OB 、OC∵ABC V 是等边三角形,点O 是ABC V 的内心,∴∠ABC=∠ACB=60°,BO=CO ,BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB∴∠OBA=∠OBC=12∠ABC=30°,∠OCA=∠OCB=12∠ACB=30° ∴∠OBA=∠OCB ,∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=120° ∵120FOG ∠=︒∴∠=FOG ∠BOC∴∠FOG -∠BOE=∠BOC -∠BOE∴∠BOD=∠COE在△ODB 和△OEC 中BOD COE BO COOBD OCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ODB ≌△OEC∴OD=OE∴△ODE 是顶角为120°的等腰三角形,∴ODE V 形状不变,故①正确;过点O 作OH ⊥DE ,则DH=EH∵△ODE 是顶角为120°的等腰三角形∴∠ODE=∠OED=12(180°-120°)=30° ∴OH=OE·sin ∠OED=12OE ,EH= OE·cos ∠OED=3OE ∴DE=2EH=3OE∴S △ODE =12DE·OH=34OE 2 ∴OE 最小时,S △ODE 最小,过点O 作OE′⊥BC 于E′,根据垂线段最短,OE′即为OE 的最小值∴BE ′=12BC=12a 在Rt △OBE ′中OE′=BE′·tan ∠OBE ′=12a ×3=6a∴S △ODE 22 ∵△ODB ≌△OEC∴S 四边形ODBE =S △ODB +S △OBE = S △OEC +S △OBE =S △OBC =12BC·OE′=212∵248=14×212a ∴S △ODE ≤14S 四边形ODBE 即ODE V 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一,故②正确;∵S 四边形ODBE 2 ∴四边形ODBE 的面积始终不变,故③正确;∵△ODB ≌△OEC∴DB=EC∴BDE V 的周长=DB +BE +DE= EC +BE +DE=BC +DE=a +DE∴DE 最小时BDE V 的周长最小∵OE∴OE 最小时,DE 最小而OE 的最小值为∴DE =12a ∴BDE V 的周长的最小值为a +12a =1.5a ,故④正确; 综上:4个结论都正确,故选A .【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用,掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键.18.如图,一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α,水平飞行m 千米后到达点B 处,又测得标志物P 的俯角为β,那么此时飞机离地面的高度为( )A .cot cot m αβ-千米B .cot cot m βα-千米C .tan tan m αβ-千米 D .tan tan m βα-千米【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答.【详解】在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O ,由锐角三角函数知,AO=PO cot α,BO=PO cot β,又AB=m=AO-BO= PO cot α- PO cot β=cot cot m αβ-. 所以答案选A. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念,熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.19.如图,正方形ABCD 的边长为4,点E 、F 分别在AB 、BC 上,且AE=BF=1,CE 、DF 交于点O ,下列结论:①∠DOC=90°,②OC=OE ,③CE=DF ,④tan ∠OCD=43,⑤S △DOC =S 四边形EOFB 中,正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】D【解析】 分析:由正方形ABCD 的边长为4,AE =BF =1,利用SAS 易证得△EBC ≌△FCD ,然后全等三角形的对应角相等,易证得①∠DOC =90°正确,③CE =D F 正确;②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质,可得②错误;易证得∠OCD =∠DFC ,即可求得④正确;由①易证得⑤正确.详解:∵正方形ABCD 的边长为4,∴BC =CD =4,∠B =∠DCF =90°.∵AE =BF =1,∴BE =CF =4﹣1=3.在△EBC 和△FCD 中,BC CD B DCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△EBC ≌△FCD (SAS ),∴∠CFD =∠BEC ,CE =DF ,故③正确,∴∠BCE +∠BEC =∠BCE +∠CFD =90°,∴∠DOC =90°;故①正确;连接DE ,如图所示,若OC =OE .∵DF ⊥EC ,∴CD =DE .∵CD =AD <DE (矛盾),故②错误;∵∠OCD +∠CDF =90°,∠CDF +∠DFC =90°,∴∠OCD =∠DFC ,∴tan ∠OCD =tan ∠DFC =DC FC =43,故④正确; ∵△EBC ≌△FCD ,∴S △EBC =S △FCD,∴S △EBC ﹣S △FOC =S △FCD ﹣S △FOC ,即S △ODC =S 四边形BEOF .故⑤正确;故正确的有:①③④⑤.故选D .点睛:本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识.此题综合性较强,难度适中,注意掌握数形结合思想与转化思想的应用.20.如图,已知圆O 的内接六边形ABCDEF 的边心距2OM =,则该圆的内接正三角形ACE 的面积为( )A .2B .4C .63D .43【答案】D【解析】【分析】 连接,OC OB ,过O 作ON CE ⊥于N ,证出COB ∆是等边三角形,根据锐角三角函数的定义求解即可.【详解】解:如图所示,连接,OC OB ,过O 作ON CE ⊥于N ,∵多边形ABCDEF 是正六边形,∴60COB ∠=o ,∵OC OB =,∴COB ∆是等边三角形,∴60OCM ∠=o ,∴sin OM OC OCM =•∠, ∴43()sin 60OM OC cm ︒==. ∵30OCN ∠=o , ∴123,22ON OC CN ===, ∴24CE CN ==, ∴该圆的内接正三角形ACE 的面积123344323=⨯⨯⨯=, 故选:D .【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数;熟练掌握正六边形的性质,由三角函数求出OC 是解决问题的关键.。
->锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图•从地而上的点A 看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P 的仰角是45。
,向前 走6m 到达B 点,测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60。
和30。
.拐P(2)求该电线杆PQ 的高度(结果精确到lm ).备用数据:盯农1_7, 缶L4 【答案】(1) ZBPQ=30°;(2)该电线杆PQ 的髙度约为9m.【解析】试题分析:(1)延长PQ 交直线AB 于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可:(2)设PE=x 米,在直角AAPE 和直角ABPE 中,根据三角函数利用x 表示出AE 和BE,根 AB=AE-BE 即可列岀方程求得x 的值,再在直角ABQE 中利用三角函数求得QE 的长,则 PQ 的长度即可求解.试题解析:延长PQ 交直线AB 于点E,Z A 二45°,••• AB=AE -BE=6 米,在直角ABPE 中, BE 二迈PE 二』Ex米,33 A B(1) 求Z BPQ 的度数:(1) Z BPQ 二90°・60°二30°;(2) 设 PE 二x 米. 在直角△ APE 中, 则AE=PE=x 米: •・• ZPBE=60° ・・・Z BPE=30°贝I」x-^^-x=6t3解得:x=9+3jj・则BE= (3 JJ+3)米.在直角ABEQ 中,QE=JI B E=』](3J3+3) = (3+JJ )米.3 3PQ=PE-QE=9+3 73 -(3+^3)=6+2 ^3 =9 (米).答:电线杆PQ的髙度约9米.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.2.已知RtA ABC中,AB是00的弦,斜边AC交。
0于点D,且AD=DC,延长CB交00 Array(1)图1的A、B、C、D、E五个点中,是否存在某两点间的距离等于线段CE的长?请说明理由:(2)如图2,过点E作OO的切线,交AC的延长线于点F.①若CF=CD时,求sinZ CAB的值;②若CF=aCD (a>0)时,试猜想sinZ CAB的值.(用含a的代数式表示,直接写岀结果)p3 ^/a^TZ【答案】(1) AE=CE;(2)①3;②a + 2.【解析】试题分析:(1)连接AE、DE,如图1,根据圆周角泄理可得Z ADE=Z ABE=90%由于AD=DC,根据垂直平分线的性质可得AE=CE;(2)连接AE、ED,如图2,由Z ABE=90°可得AE是。
初中数学锐角三角函数的真题汇编及答案一、选择题1.如图,△ABC的外接圆是⊙O,半径AO=5,sinB=25,则线段AC的长为()A.1 B.2 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】首先连接CO并延长交⊙O于点D,连接AD,由CD是⊙O的直径,可得∠CAD=90°,又由⊙O的半径是5,sinB=25,即可求得答案.【详解】解:连接CO并延长交⊙O于点D,连接AD,由CD是⊙O的直径,可得∠CAD=90°,∵∠B和∠D所对的弧都为弧AC,∴∠B=∠D,即sinB=sinD=25,∵半径AO=5,∴CD=10,∴2 sin105AC ACDCD===,∴AC=4,故选:C.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等,以及三角函数的内容,注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AC=2,cosA=23,那么AB的长是()A.3 B.43C.5D.13【答案】A 【解析】根据锐角三角函数的性质,可知cosA=ACAB=23,然后根据AC=2,解方程可求得AB=3.故选A.点睛:此题主要考查了解直角三角形,解题关键是明确直角三角形中,余弦值cosA=A的邻边斜边,然后带入数值即可求解.3.图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2,它的双翼展开时,双翼边缘的端点A与B 之间的距离为10cm,双翼的边缘AC=BD=54cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为()A.(543+10) cm B.(542+10) cm C.64 cm D.54cm【答案】C【解析】【分析】过A作AE⊥CP于E,过B作BF⊥DQ于F,则可得AE和BF的长,依据端点A与B之间的距离为10cm,即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度.【详解】如图所示,过A作AE⊥CP于E,过B作BF⊥DQ于F,则Rt △ACE 中,AE=12AC=12×54=27(cm ), 同理可得,BF=27cm ,又∵点A 与B 之间的距离为10cm , ∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64(cm ), 故选C .【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值,特殊角的三角函数值应用广泛,一是它可以当作数进行运算,二是具有三角函数的特点,在解直角三角形中应用较多.4.如图所示,在△ABC 中,∠C =90°,AB =8,CD 是AB 边上的中线,作CD 的中垂线与CD 交于点E ,与BC 交于点F .若CF =x ,tanA =y ,则x 与y 之间满足( )A .2244x y+= B .2244x y -= C .2288x y -= D .2288x y+= 【答案】A【解析】【分析】 由直角三角形斜边上的中线性质得出CD =12AB =AD =4,由等腰三角形的性质得出∠A =∠ACD ,得出tan ∠ACD =GE CE=tan A =y ,证明△CEG ∽△FEC ,得出GE CE CE FE =,得出y =2FE ,求出y 2=24FE ,得出24y=FE 2,再由勾股定理得出FE 2=CF 2﹣CE 2=x 2﹣4,即可得出答案.【详解】解:如图所示:∵在△ABC 中,∠C =90°,AB =8,CD 是AB 边上的中线,∴CD =12AB =AD =4, ∴∠A =∠ACD ,∵EF 垂直平分CD , ∴CE =12CD =2,∠CEF =∠CEG =90°,∴tan ∠ACD =GE CE =tanA =y , ∵∠ACD+∠FCE =∠CFE+∠FCE =90°,∴∠ACD =∠FCE ,∴△CEG ∽△FEC ,∴GE CE =CE FE, ∴y =2FE, ∴y 2=24FE , ∴24y=FE 2, ∵FE 2=CF 2﹣CE 2=x 2﹣4,∴24y=x 2﹣4, ∴24y+4=x 2, 故选:A .【点睛】本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识;熟练掌握直角三角形的性质,证明三角形相似是解题的关键.5.如图,在矩形ABCD 中,AB =23,BC =10,E 、F 分别在边BC ,AD 上,BE =DF .将△ABE ,△CDF 分别沿着AE ,CF 翻折后得到△AGE ,△CHF .若AG 、CH 分别平分∠EAD 、∠FCB ,则GH 长为( )A .3B .4C .5D .7【答案】B【解析】【分析】如图作GM⊥AD于M交BC于N,作HT⊥BC于T.通过解直角三角形求出AM、GM的长,同理可得HT、CT的长,再通过证四边形ABNM为矩形得MN=AB=23,BN=AM=3,最后证四边形GHTN为平行四边形可得GH=TN即可解决问题.【详解】解:如图作GM⊥AD于M交BC于N,作HT⊥BC于T.∵△ABE沿着AE翻折后得到△AGE,∴∠GAM=∠BAE,AB=AG=23,∵AG分别平分∠EAD,∴∠BAE=∠EAG,∵∠BAD=90°,∴∠GAM=∠BAE=∠EAG=30°,∵GM⊥AD,∴∠AMG=90°,∴在Rt△AGM中,sin∠GAM=GMAG,cos∠GAM=AMAG,∴GM=AG•sin30°=3,AM=AG•cos30°=3,同理可得HT=3,CT=3,∵∠AMG=∠B=∠BAD=90°,∴四边形ABNM为矩形,∴MN=AB=23,BN=AM=3,∴GN=MN﹣GM=3,∴GN=HT,又∵GN∥HT,∴四边形GHTN是平行四边形,∴GH=TN=BC﹣BN﹣CT=10﹣3﹣3=4,故选:B.【点睛】本题考查翻折变换,解直角三角形,矩形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.6.如图,要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C,测得PC=100米,∠PCA=35°,则小河宽PA等于()A.100sin35°米B.100sin55°米C.100tan35°米D.100tan55°米【答案】C【解析】【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度.【详解】∵PA⊥PB,PC=100米,∠PCA=35°,∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米.故选:C.【点睛】此题考查解直角三角形的应用,解题关键在于掌握解直角三角形的一般过程是:①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三角形问题).②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案.7.如图,菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上,对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O,已知点A(1,1),∠ABC=60°,则k的值是()A.﹣5 B.﹣4 C.﹣3 D.﹣2【答案】C【解析】分析:根据题意可以求得点B的坐标,从而可以求得k的值.详解:∵四边形ABCD是菱形,∴BA=BC,AC⊥BD,∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∵点A(1,1),∴OA=,∴BO=,∵直线AC的解析式为y=x,∴直线BD的解析式为y=-x,∵OB=,∴点B的坐标为(−,),∵点B在反比例函数y=的图象上,∴,解得,k=-3,故选C.点睛:本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质,解答本题的关键是明确题意,利用反比例函数的性质解答.8.如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向,与灯塔P的距离为30海里的A处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为( )A.60海里B.45海里C.3D.3【答案】D【解析】【分析】根据题意得出:∠B=30°,AP=30海里,∠APB=90°,再利用勾股定理得出BP的长,求出答案.【详解】解:由题意可得:∠B=30°,AP=30海里,∠APB=90°,故AB=2AP=60(海里),则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为:22303-=AB AP故选:D.【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角,正确应用勾股定理是解题关键.9.如图,AB 是O 的弦,直径CD 交AB 于点E ,若3AE EB ==,15C ∠=,则OE 的长为( )A .3B .4C .6D .33【答案】D【解析】【分析】 连接OA .证明OAB ∆是等边三角形即可解决问题.【详解】如图,连接OA .∵AE EB =,∴CD AB ⊥,∴AD BD =,∴230BOD AOD ACD ∠=∠=∠=,∴60AOB ∠=,∵OA OB =,∴AOB ∆是等边三角形,∵3AE =,∴tan 6033OE AE =⋅=故选D .【点睛】本题考查圆周角定理,勾股定理,垂径定理,解直角三角形等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.10.利用量角器可以制作“锐角余弦值速查卡”.制作方法如下:如图,设1OA =,以O 为圆心,分别以0.05,0.1,0.15,0.2,…,0.9,0.95长为半径作半圆,利用“锐角余弦值速查卡”可以读出相应锐角余弦的近似值.例如:cos300.87︒≈,cos450.71︒=.下列角度中余弦值最接近0.94的是( )A .30B .50︒C .40︒D .20︒【答案】D【解析】【分析】 根据“锐角余弦值速查卡”解答即可.【详解】从“锐角余弦值速查卡”可以读出cos 20︒≈0.94,∴余弦值最接近0.94的是20︒,故选:D.【点睛】此题考查“锐角余弦值速查卡”,正确读出“锐角余弦值速查卡”是解题的关键.11.如图,在Rt △ABC 内有边长分别为a ,b ,c 的三个正方形.则a 、b 、c 满足的关系式是( )A .b=a+cB .b=acC .b 2=a 2+c 2D .b=2a=2c【答案】A【解析】【分析】 利用解直角三角形知识.在边长为a 和b 两正方形上方的两直角三角形中由正切可得a b c b a c-=-,化简得b =a +c ,故选A. 【详解】请在此输入详解!12.如图,在矩形ABCD 中,4,AB DE AC =⊥,垂足为E ,设ADE α∠=,且3cos 5α=,则AC 的长为( )A.3 B.163C.203D.165【答案】C【解析】【分析】根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠BAC=∠ACD,然后求出AC.【详解】解:∵DE⊥AC,∴∠ADE+∠CAD=90°,∵∠ACD+∠CAD=90°,∴∠ACD=∠ADE=α,∵矩形ABCD的对边AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD,∵cosα=35,35ABAC∴=,∴AC=520433⨯=.故选:C.【点睛】本题考查了矩形的性质,勾股定理,锐角三角函数的定义,同角的余角相等的性质,熟记各性质并求出BC是解题的关键.13.将一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E =30°,∠A=45°,AC=122,则CD的长为()A.3B.12﹣3C.12﹣3D.3【答案】B【解析】【分析】过点B作BM⊥FD于点M,根据题意可求出BC的长度,然后在△EFD中可求出∠EDF=60°,进而可得出答案.【详解】解:过点B作BM⊥FD于点M,在△ACB中,∠ACB=90°,∠A=45°,AC=122,∴BC=AC=122.∵AB∥CF,∴BM=BC×sin45°=2 122122⨯=CM=BM=12,在△EFD中,∠F=90°,∠E=30°,∴∠EDF=60°,∴MD=BM÷tan60°=43,∴CD=CM﹣MD=12﹣43.故选B.【点睛】本题考查了解直角三角形,难度较大,解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用所学的三角函数的关系进行解答.14.如图,已知△A1B1C1的顶点C1与平面直角坐标系的原点O重合,顶点A1、B1分别位于x轴与y轴上,且C1A1=1,∠C1A1B1=60°,将△A1B1C1沿着x轴做翻转运动,依次可得到△A2B2C2,△A3B3C3等等,则C2019的坐标为()A.(30)B.(3,0)C.(4035233D.(30)【答案】B【解析】【分析】根据题意可知三角形在x轴上的位置每三次为一个循环,又因为20193673÷=,那么2019C 相当于第一个循环体的3673C 个即可算出.【详解】由题意知,111C A =,11160C A B ︒∠=,则11130C B A ︒∠=,11222A B A B ==,1122333C B C B C B ===,结合图形可知,三角形在x 轴上的位置每三次为一个循环,20193673÷=,∴2019673(123)20196733OC =++=+,∴2019C (20196733,0)+, 故选B .【点睛】考查解直角三角形,平面直角坐标系中点的特征,结合找规律.理解题目中每三次是一个循环是解题关键.15.已知圆锥的底面半径为5cm ,侧面积为60πcm 2,设圆锥的母线与高的夹角为θ,则sinθ的值为( )A .313B .513C .512D .1213【答案】C【解析】【分析】先求出圆锥底面周长可得到圆锥侧面展开图扇形的弧长,再利用扇形面积公式12S lr =可求出母线的长,最后利用三角函数即可求出答案.【详解】解:∵圆锥底面周长为2510ππ⨯=,且圆锥的侧面积为60π,∴圆锥的母线长为2601210ππ⨯=, ∴sin θ=512. 故选C.【点睛】本题考查了圆锥和三角函数的相关知识.利用所学知识求出圆锥母线的长是解题的关键.16.如图,两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上,量得60BAC ∠=︒,70DAC ∠=︒,则竹竿AB 与AD 的长度之比为( ).A .2sin70︒B .2cos70︒C .2tan70︒D .2tan 70︒【答案】B【解析】【分析】 直接利用锐角三角函数关系分别表示出AB ,AD 的长,即可得出答案.【详解】解:∵∠BAC=60°,∠DAC=70°,∴cos60°=12AC AB =, 则AB=2AC , ∴cos70°=AC AD, ∴AC=AD •cos70°, AD=cos70AC ︒, ∴2cos70AC AC AB AD=︒=2cos70°. 故选:B .【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用,正确表示出各边长是解题关键.17.如图,基灯塔AB 建在陡峭的山坡上,该山坡的坡度i =1:0.75.小明为了测得灯塔的高度,他首先测得BC =20m ,然后在C 处水平向前走了34m 到达一建筑物底部E 处,他在该建筑物顶端F 处测得灯塔顶端A 的仰角为43°.若该建筑物EF =20m ,则灯塔AB 的高度约为(精确到0.1m ,参考数据:sin43°=0.68,cos43°=0.73,tan43°=0.93)( )A .46.7mB .46.8mC .53.5mD .67.8m【答案】B【解析】【分析】 根据山坡的坡度i =1:0.75,可得BD CD =43,设BD =4x ,CD =3x ,然后利用勾股定理求得BD =4x =16m ,CD =3x =12m ;再利用矩形的性质求出FG =DE =46m ,BG =DG ﹣DB =4m ,最后利用三角函数解直角三角形即可.【详解】解:如图,∵∠ADC =90°,i =1:0.75,即BD CD =43, ∴设BD =4x ,CD =3x ,则BC =22(4)(3)x x =5x =20m ,解得:x =4,∴BD =4x =16m ,CD =3x =12m ,易得四边形DEFG 是矩形,则EF =DG =20m ,FG =DE =DC+CE =12+34=46(m ),∴BG =DG ﹣DB =4m ,在Rt △AFG 中,AG =FG·tan ∠AFG =46·tan43°≈46×0.93=42.78(m ), ∴AB =AG+BG =42.78+4≈46.8(m ),故选:B .【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角和俯角问题、坡度坡比问题,灵活运用三角函数是解答本题的关键..18.如图,矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,AB :BC =2:1,且BE ∥AC ,CE ∥DB ,连接DE ,则tan ∠EDC =( )A.14B.16C .26D.310【答案】B【解析】【分析】过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F,连接OE交BC于点G.根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形,则OE与BC垂直平分,易得EF=12 x,CF=x.再由锐角三角函数定义作答即可.【详解】解:∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB:BC=2:1,∴BC=AD,设AB=2x,则BC=x.如图,过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F,连接OE交BC于点G.∵BE∥AC,CE∥BD,∴四边形BOCE是平行四边形,∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OC,∴四边形BOCE是菱形.∴OE与BC垂直平分,∴EF=12AD=12x,OE∥AB,∴四边形AOEB是平行四边形,∴OE=AB=2x,∴CF=12OE=x.∴tan∠EDC=EFDF=122xx x=16.故选:B.【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形,解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质,属于中考常考题型.19.如图,已知⊙O上三点A,B,C,半径OC=1,∠ABC=30°,切线PA交OC延长线于点P,则PA的长为()A .2B .3C .2D .12【答案】B【解析】【分析】 连接OA ,由圆周角定理可求出∠AOC=60°,再根据∠AOC 的正切即可求出PA 的值.【详解】连接OA ,∵∠ABC=30°,∴∠AOC=60°,∵PA 是圆的切线,∴∠PAO=90°,∵tan ∠AOC =PA OA, ∴PA= tan60°×1=3.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识,根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.20.如图,AB 是垂直于水平面的建筑物.为测量AB 的高度,小红从建筑物底端B 点出发,沿水平方向行走了52米到达点C ,然后沿斜坡CD 前进,到达坡顶D 点处,DC BC =.在点D 处放置测角仪,测角仪支架DE 高度为0.8米,在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角AEF ∠为27︒(点A ,B ,C ,D ,E 在同一平面内).斜坡CD 的坡度(或坡比)1:2.4i =,那么建筑物AB 的高度约为( )(参考数据sin 270.45︒≈,cos270.89︒≈,tan 270.51︒≈)A .65.8米B .71.8米C .73.8米D .119.8米【答案】B【解析】【分析】 过点E 作EM AB ⊥与点M ,根据斜坡CD 的坡度(或坡比)1:2.4i =可设CD x =,则2.4 CG x =,利用勾股定理求出x 的值,进而可得出CG 与DG 的长,故可得出EG 的长.由矩形的判定定理得出四边形EGBM 是矩形,故可得出EM BG =,BM EG =,再由锐角三角函数的定义求出AM 的长,进而可得出结论.【详解】解:过点E 作EM AB ⊥与点M ,延长ED 交BC 于G ,∵斜坡CD 的坡度(或坡比)1:2.4i =,52BC CD ==米,∴设DG x =,则 2.4 CG x =.在Rt CDG ∆中,∵222DG CG DC +=,即222(2.4)52x x +=,解得20x,∴20DG =米,48CG =米,∴200.820.8EG =+=米,5248100BG =+=米.∵EM AB ⊥,AB BG ⊥,EG BG ⊥,∴四边形EGBM 是矩形,∴100EM BG ==米,20.8BM EG ==米.在Rt AEM ∆中,∵27AEM ︒∠=,∴•tan 271000.5151AM EM ︒=≈⨯=米,∴5120.871.8AB AM BM =+=+=米.故选B .【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.。