初中数学锐角三角函数的真题汇编及答案
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初中数学锐角三角函数的真题汇编及答案一、选择题
1.如图,△ABC的外接圆是⊙O,半径AO=5,sinB=2
5
,则线段AC的长为()
A.1 B.2 C.4 D.5
【答案】C
【解析】
【分析】
首先连接CO并延长交⊙O于点D,连接AD,由CD是⊙O的直径,可得∠CAD=90°,又由
⊙O的半径是5,sinB=2
5
,即可求得答案.
【详解】
解:连接CO并延长交⊙O于点D,连接AD,
由CD是⊙O的直径,可得∠CAD=90°,
∵∠B和∠D所对的弧都为弧AC,
∴∠B=∠D,即sinB=sinD=2
5
,
∵半径AO=5,∴CD=10,
∴
2 sin
105
AC AC
D
CD
===,
∴AC=4,
故选:C.
【点睛】
本题考查了同弧所对的圆周角相等,以及三角函数的内容,注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AC=2,cosA=2
3
,那么AB的长是()
A.3 B.4
3
C.5D.13
【答案】A 【解析】
根据锐角三角函数的性质,可知cosA=AC
AB
=
2
3
,然后根据AC=2,解方程可求得AB=3.
故选A.
点睛:此题主要考查了解直角三角形,解题关键是明确直角三角形中,余弦值
cosA=
A
的邻边
斜边
,然后带入数值即可求解.
3.图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2,它的双翼展开时,双翼边缘的端点A与B 之间的距离为10cm,双翼的边缘AC=BD=54cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为()
A.(543+10) cm B.(542+10) cm C.64 cm D.54cm
【答案】C
【解析】
【分析】
过A作AE⊥CP于E,过B作BF⊥DQ于F,则可得AE和BF的长,依据端点A与B之间的距离为10cm,即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度.
【详解】
如图所示,
过A作AE⊥CP于E,过B作BF⊥DQ于F,则
Rt △ACE 中,AE=12AC=12
×54=27(cm ), 同理可得,BF=27cm ,
又∵点A 与B 之间的距离为10cm , ∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64(cm ), 故选C .
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值,特殊角的三角函数值应用广泛,一是它可以当作数进行运算,二是具有三角函数的特点,在解直角三角形中应用较多.
4.如图所示,在△ABC 中,∠C =90°,AB =8,CD 是AB 边上的中线,作CD 的中垂线与CD 交于点E ,与BC 交于点F .若CF =x ,tanA =y ,则x 与y 之间满足( )
A .2244x y
+= B .2244x y -= C .2288x y -= D .2288x y
+= 【答案】A
【解析】
【分析】 由直角三角形斜边上的中线性质得出CD =
12AB =AD =4,由等腰三角形的性质得出∠A =∠ACD ,得出tan ∠ACD =GE CE
=tan A =y ,证明△CEG ∽△FEC ,得出GE CE CE FE =,得出y =2FE ,求出y 2=24FE ,得出24y
=FE 2,再由勾股定理得出FE 2=CF 2﹣CE 2=x 2﹣4,即可得出答案.
【详解】
解:如图所示:
∵在△ABC 中,∠C =90°,AB =8,CD 是AB 边上的中线,
∴CD =
12
AB =AD =4, ∴∠A =∠ACD ,
∵EF 垂直平分CD , ∴CE =12
CD =2,∠CEF =∠CEG =90°,
∴tan ∠ACD =GE CE =tanA =y , ∵∠ACD+∠FCE =∠CFE+∠FCE =90°,
∴∠ACD =∠FCE ,
∴△CEG ∽△FEC ,
∴GE CE =CE FE
, ∴y =2FE
, ∴y 2=
24FE , ∴24y
=FE 2, ∵FE 2=CF 2﹣CE 2=x 2﹣4,
∴24y
=x 2﹣4, ∴24y
+4=x 2, 故选:A .
【点睛】
本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识;熟练掌握直角三角形的性质,证明三角形相似是解题的关键.
5.如图,在矩形ABCD 中,AB =23,BC =10,E 、F 分别在边BC ,AD 上,BE =DF .将△ABE ,△CDF 分别沿着AE ,CF 翻折后得到△AGE ,△CHF .若AG 、CH 分别平分∠EAD 、∠FCB ,则GH 长为( )
A .3
B .4
C .5
D .7
【答案】B
【解析】
【分析】
如图作GM⊥AD于M交BC于N,作HT⊥BC于T.通过解直角三角形求出AM、GM的长,同理可得HT、CT的长,再通过证四边形ABNM为矩形得MN=AB=23,BN=AM=3,最后证四边形GHTN为平行四边形可得GH=TN即可解决问题.
【详解】
解:如图作GM⊥AD于M交BC于N,作HT⊥BC于T.
∵△ABE沿着AE翻折后得到△AGE,
∴∠GAM=∠BAE,AB=AG=23,
∵AG分别平分∠EAD,
∴∠BAE=∠EAG,
∵∠BAD=90°,
∴∠GAM=∠BAE=∠EAG=30°,
∵GM⊥AD,
∴∠AMG=90°,
∴在Rt△AGM中,sin∠GAM=GM
AG
,cos∠GAM=
AM
AG
,
∴GM=AG•sin30°=3,AM=AG•cos30°=3,
同理可得HT=3,CT=3,
∵∠AMG=∠B=∠BAD=90°,
∴四边形ABNM为矩形,
∴MN=AB=23,BN=AM=3,
∴GN=MN﹣GM=3,
∴GN=HT,
又∵GN∥HT,
∴四边形GHTN是平行四边形,
∴GH=TN=BC﹣BN﹣CT=10﹣3﹣3=4,
故选:B.
【点睛】
本题考查翻折变换,解直角三角形,矩形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.
6.如图,要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C,测得PC=100米,∠PCA=35°,则小河宽PA等于()