空间向量立体几何学案
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空间向量与立体几何复习学案
教学目标：复习空间向量解立体几何 教学重点：空间角的求法 教学难点：空间角和距离 教学过程
知识点一 空间向量的线性运算
选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．
空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致．
例1 如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论：
①SA
→＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA
→＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA
→－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA
→·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA
→·SC →＝0，其中正确结论的序号是________． 知识点二 空间向量与空间位置关系
利用空间向量主要研究空间中的平行或垂直问题． (1)证明线面平行问题可以有以下三种方法： ①利用线线平行证明线面平行．
②向量p 与两个不共线的向量a ，b 共面的充要条件是存在实数对x ，y ，使
p ＝xa ＋yb .利用共面向量定理可以证明线面平行问题．
③设n 为平面α的法向量，a 为直线l 的方向向量，要证明l ∥α，只需证明a·n ＝0.
(2)证明线面垂直的常用方法有：
①设a 为直线l 的方向向量，n 为平面α的法向量，则a ＝λn (λ为非零实数)⇔a 与n 共线⇔l ⊥α.
②l 是交线a ，b 所在平面α外的直线，a ，b 不共线，l ，a ，b 分别为直线l ，a ，b 的方向向量，则有l·a ＝0且l·b ＝0⇔l ⊥a 且l ⊥b ⇔l ⊥α.
例2 如图，在矩形ABCD 中AB ＝2BC ，P 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，EP ⊥平面ABCD .
(1)求证：AQ ∥平面CEP ； (2)求证：平面AEQ ⊥平面DEP .
知识点三 空间向量与空间角 1．求异面直线所成的角．
设两异面直线的方向向量分别为n 1、n 2，那么这两条异面直线所成的角为θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉，∴cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|.
2．求二面角的大小．
如图，设平面α、β的法向量分别为n 1、n 2.因为两平面的法向量所成的角(或其补角)就等于平面α、β所成的锐二面
角θ，所以cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|.
3．求斜线与平面所成的角．
如图，设平面α的法向量为n 1，斜线OA 的方向向量为n 2，斜线OA 与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|.
例3. 四棱锥PABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝2，点M ，N 分别在棱PD ，PC 上，且PC ⊥平面AMN .
(1)求AM 与PD 所成的角； (2)求二面角P-AM-N 的余弦值；
(3)求直线CD 与平面AMN 所成角的余弦值．
知识点四 空间向量与空间距离
计算两点之间的距离和线段的长度是几何度量最基本的课题．计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离．
几种常见的距离的求法： (1)求
A 、B
两点间的距离一般用|AB |＝
AB
→·AB →＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（z 1－z 2）2. (2)求点到平面的距离．
如图所示，已知点B (x 0，y 0，z 0)，平面α内一点A (x 1，y 1，z 1)，平面α的一个法向量n ，直线AB 与平面α所成的角为φ，θ＝〈n ，AB →〉
，
则sin φ＝|cos 〈n ，AB →〉|＝|cos θ|.由数量积的定义知，n ·AB →＝|n |·|AB →|cos θ，
∴点B 到平面α的距离d ＝|AB →|·sin φ＝|AB →
|·|cos θ|＝|n ·AB →|
|n |
.
(3)求异面直线间的距离．
如图若CD 是异面直线a 、b 的公垂线，A 、B 分别为a 、b 上的任意两点，令向量n ⊥a ，n ⊥b ，，则n ∥CD .则由AB →＝AC →＋CD →＋DB →得，AB →·n ＝AC →·n
＋CD
→·n ＋DB →·n ，∴AB →·n ＝CD →·n . ∴|AB →·n |＝|CD →|·|n |，∴|CD →
|＝|AB →·n ||n |.
∴两异面直线a 、b 间的距离为d ＝|AB
→·n ||n |.
(4)求直线到平面的距离．
设直线a ∥平面α，A ∈a ，B ∈α，n 是平面α的法向量，过A 作AC ⊥α，垂足为C ，则AC
→∥n ，
∵AB →·n ＝(AC →＋CB →)·n ＝AC →·n . ∴|AB
→·n |＝|AC →|·|n |. ∴直线a 到平面α的距离为d ＝|AC →|＝
|AB →·n ||n |.
(5)求两平行平面间的距离．
设n 是两平行平面的一个法向量，A 、B 分别是两平行平面上的任意两点，则两平行平面的距离d ＝|AB
→·n ||n |
.
例4.如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；
(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．。
