怎样证明弦切角

弦切角定理证明方法弦切角定理证明方法连oc、oa，则有oc⊥cd于点c。

得oc‖ad，知∠oca=∠cad。

而∠oca=∠oac，得∠cad=∠oac。

进而有∠oac=∠bac。

由此可知，0a与ab重合，即ab为⊙o的直径。

连接bc，且作ce⊥ab于点e。

立即可得△abc为rt△，且∠acb=rt∠。

由射影定理有ac²=ae*ab。

又∠cad=∠cae，ac公用，∠cda=∠cea，得△cea ≌△cda，有ad=ae，所以，ac²=ab*ad。

第一题重新证明如下：首先证明弦切角定理，即有∠acd=∠cba。

连接oa、oc、bc，则有∠acd+∠aco=90°===∠aco+∠aoc,所以∠acd=∠aoc，而∠cba=∠aoc，得∠acd=∠cba。

另外，∠acd+∠cad=90°，∠cad=∠cab，所以有∠cab+∠cba=90°，得∠bca=90°，进而ab为⊙o的直径。

2证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb∵∠boc=2∠cab∴∠tcb=∠cab证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o 的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.求证：证明：分三种情况：圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径，ab切⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：ef∥bc.证明：连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，求证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.证明：∵ab是⊙o直径∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，同理：bc平分∠ncd.弦切角逆定理证明已知角cae=角abc，求证ae是圆o 的切线证明：连接ao并延长交圆o于d，连接cd，则角adc=角abc=角cae而ad是直径，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae 所以角dae=角dac+角cae=90度故ae为切线弦切角定理证明弦切角定理编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角定理的证明与推导弦切角定理的证明与推导弦切角定理是数学的一种定理，这种定理的证明是怎么一回事呢？下面就是啦店铺给大家整理的弦切角定理的证明内容，希望大家喜欢。

弦切角定理示范弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。

过点A作TP的平行线交BC于D则∠TCB=∠CDA∵∠TCB=90-∠OCD∵∠BOC=180-2∠OCD∴,∠BOC=2∠TCB证明：分三种情况(1)圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A∴弧CmA=弧CA∵为半圆(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D弦切角定理介绍弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。

(与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的.夹角叫做弦切角。

)顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

如图所示线段PT所在的直线切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。

弦切角定理衍生问题及其证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧CmA是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半证明：分三种情况(1)圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径∴弧CmA=弧CA∵弧CA为半圆,∴弧CmA的度数为180°∵AB为圆的切线∴∠CAB=90°∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,在优弧m所对的劣弧上取一点E，连接EC、ED、EA。

则∵弧CD=弧CD∴∠CED=∠CAD∵AD是圆O的直径∴∠DEA=90°∵AB为圆的切线∴∠BAD=90°∴∠DEA=∠BAD∴ ∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC又∠CEA的度数等于弧CmA的度数的一半∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半(3)圆心O在∠BAC的外部过A作直径AD交⊙O于D，连接CD【弦切角定理的证明与推导】。

弦切角弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，一边和圆相切的角叫做弦切角。

(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵∠TCB=90°-∠OCB ∵∠BOC=180°-2∠OCB ∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角B点应在A点左侧（2）圆心O在∠BAC的内部. 过A作直径AD交⊙O于D, 若在优弧m所对的劣弧上有一点E 那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴∠CEA=∠CAB ∴（弦切角定理）（3）圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD交⊙O于D 那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90°∴∠CDA=∠CAB ∴（弦切角定理）弦切角推论推论内容：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°, AB=a 求BC长. 解：连结OA，OB. ∵在Rt△ABC中, ∠C=90 ∴∠BAC=30°∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半）例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EF//BC. 证明：连接DF AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC ⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDC EF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD. 证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90 ∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C ∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.。

弦切角，又称“弦切面”，是指两个弦之间的夹角。

它是几何中最基本的概念之一，广泛应用于几何学、数学、物理学等领域。

弦切角的判定是几何学中的一个重要问题，它可以帮助我们了解圆周上两个点之间的夹角大小。

弦切角判定的基本原理是：在一个圆周上，两个点之间的夹角等于圆心到这两个点所形成的角的度数。

由于圆周是一个无限大的空间，所以我们可以根据圆心到这两个点所形成的角度来判定它们之间的弦切角。

首先，我们需要找出圆周上两个点之间的距离，这可以通过计算圆周上的两个点的极坐标来实现。

极坐标是一种三维坐标系，它由一个极轴和一个极角组成，极轴表示圆心到点的距离，极角表示圆心到点所形成的角度。

极坐标可以用来计算圆周上两个点之间的弦切角。

其次，我们可以使用三角函数来判定弦切角。

通过计算圆心到两个点所形成的角度，我们可以计算出两个点之间的夹角。

根据三角函数的定义，我们可以将圆心到两个点所形成的角度转换为弦切角的大小，从而判定弦切角的大小。

最后，我们可以使用数学公式来判定弦切角。

圆周上的两个点之间的夹角可以用数学公式表示，即：弦切角=2π*(圆心到点1的距离/圆周长) + 2π*(圆心到点2的距离/圆周长)。

这样，我们就可以通过计算圆心到两点的距离来判定弦切角的大小。

总之，弦切角的判定是一个重要的几何学问题，可以通过极坐标、三角函数和数学公式等方法来判定。

这些方法可以帮助我们了解圆周上两个点之间的夹角大小，从而更好地理解几何学中的其他概念。

【初中数学】圆中弦切角及弦切角定理一、弦切角1、定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

如图：2、弦切角的三种情况（1）圆心在弦切角外；（2）圆心在弦切角的一条边上；（3）圆心在弦切角内；二、弦切角定理及证明定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角；弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。

已知：如图，PQ是圆O的切线，切点为P。

求证：∠APQ=∠ABP，2∠APQ=∠AOP.（1）当圆心在弦切角外部时证明：连接OA，OP，在非弦切角所夹弧优弧PA上任取一点B，连接BP和BA。

∵ OA=OP∴ ∠OPA=∠OAP∵ ∠OPA+∠OAP+∠POA=180°∴2∠OPA+∠POA=180°∵ PO为圆的切线，OP为半径∴ ∠OPA+∠APQ=90°∴ ∠OPA=90°-∠APQ∴ 2（90°-∠APQ）+∠POA=180°∴∠POA=2∠APQ∵ ∠POA=2∠ABP（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）∴ ∠APQ=∠ABP（2）当圆心在弦切角的一边上时证明：在非弦切角所夹弧AP上任取一点B，连接AB、PB ∵ AP为直径∴ ∠ABP=90°∵ PQ为圆的切线，OP为半径∴ ∠APQ=90°∴∠APQ=∠ABP∴2∠APQ=∠AOP（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）. （3）当圆心在弦切角的内部时证明：连接OA，OP，在非弦切角所夹弧劣弧PA上任取一点B，连接BP和BA。

∵ OA=OP∴ ∠OPA=∠OAP∵ ∠OPA+∠OAP+∠1=180°∴2∠OPA+∠1=180°∵ PO为圆的切线，OP为半径∴ ∠OPA=∠APQ-90°∴ 2（∠APQ-90°）+∠1=180°∴ ∠1+2∠APQ=360°∵ ∠1+∠2=360°∴∠2=2∠APQ∴ ∠POA=2∠APQ（这里的∠POA是大于180°的角，是优弧AP所对的圆心角）∵ ∠POA=2∠ABP（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）∴ ∠APQ=∠ABP三、例题例1、已知：如图，直线BC切⊙O于B点，AB=AC，AD=BD，求∠A．解：由弦切角定理可得，∠DBC=∠A∵ AD=BD∴ ∠A=∠ABD∵ AB=AC∴ ∠ABC=∠ACB=2∠A∵ ∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴5∠A=180°∴ ∠A=36°例2、已知：如图，直线DC与⊙O相切于点C，AB为⊙O直径，AD⊥DC于D，∠DAC=28°，求∠CAB的值。

弦切角定理证明及例题弦切角定理弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角??PCA=?PBC(?PCA为弦切角)弦切角定理弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明证明:设圆心为O，连接OC，OB，OA。

过点A作TP的平行线交BC于D，则?TCB=?CDA??TCB=90-?OCD??BOC=180-2?OCD更清楚的?,?BOC=2?TCB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半)??BOC=2?CAB??TCB=?CAB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)证明已知:AC是?O的弦，AB是?O的切线，A为切点，弧是弦切角?BAC所夹的弧.求证:.(弦切角定理)证明:分三种情况:(1) 圆心O在?BAC的一边AC上?AC为直径，AB切?O于A，?弧CmA=弧CA?为半圆,??CAB=90=弦CA所对的圆周角B点应在A点左侧 (2) 圆心O在?BAC的内部.过A作直径AD交?O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有:?CED=?CAD、?DEA=?DAB? ?CEA=?CAB? (弦切角定理)(3) 圆心O在?BAC的外部,过A作直径AD交?O于D那么 ?CDA+?CAD=?CAB+?CAD=90??CDA=?CAB?(弦切角定理)弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1:如图，在中，?C=90，以AB为弦的?O与AC相切于点A，?CBA=60? , AB=a 求BC长.解:连结OA，OB.?在中, ?C=90??BAC=30??BC=1/2a(,,?中30?角所对边等于斜边的一半)例2:如图，AD是ΔABC中?BAC的平分线，经过点A的?O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证:EF?BC.证明:连DF.AD是?BAC的平分线 ?BAD=?DAC?EFD=?BAD?EFD=?DAC?O切BC于D ?FDC=?DAC?EFD=?FDCEF?BC例3:如图，ΔABC内接于?O，AB是?O直径，CD?AB于D，MN切?O于C，求证:AC平分?MCD，BC平分?NCD.证明:?AB是?O直径??ACB=90?CD?AB??ACD=?B，?MN切?O于C??MCA=?B，??MCA=?ACD，即AC平分?MCD，同理:BC平分?NCD.。

弦切角定理的证明第一篇：弦切角定理证明弦切角定理证明弦切角定理编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线pt切圆o于点c，bc、ac为圆o的弦，∠tcb，∠tca，∠pca，∠pcb都为弦切角。

编辑本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠tcb(敬请期待好更好文章：)=∠cab（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.求证：(弦切角定理)证明：分三种情况：(1)圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径，ab切⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴(弦切角定理)(3)圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a 求bc长.解：连结oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：ef∥bc.证明：连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，求证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.证明：∵ab是⊙o直径∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，同理：bc平分∠ncd.第二篇：弦切角定理的证明弦切角定理的证明弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.(弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明证明：设圆心为o，连接oc，ob，oa。

弦切角定理怎么证明弦切角定理是几何学中一个基本的定理，它描述了一个弦与其所对的角的关系。

根据弦切角定理，一个弦所对的角等于其对应弧所对的角等于该弦所夹的两个弧的角和的一半。

为了证明弦切角定理，我们可以利用以下步骤：步骤1: 假设在一个圆上有一个弦AB，它所对的角为∠ACB。

我们需要证明∠ACB = 1/2(∠AOB + ∠APB)。

步骤2: 通过圆心O作弦AB的垂线，交弦AB于点P，并延长OP使其与圆相交于点C。

步骤3: 由于AO = OB（弦AB的中垂线），所以∠AOP = ∠BOP = α。

同时，由于∠OCP是弧APB所对的角，根据圆心角定理，我们知道∠OCP = 1/2∠APB = β。

步骤4: 观察三角形ACP和BCP。

根据直角三角形的定义，我们知道∠ACP = 90° - α，∠BCP = 90° - α。

步骤5: 由于三角形ACP和BCP的两个角分别等于∠ACB的两个角，根据三角形角和定理，我们可以得到∠ACB = ∠ACP + ∠BCP = (90° - α) + (90° - α) = 180° - 2α。

步骤6: 同时，我们可以通过两个角β和∠OCP的和来计算∠AOB。

根据直角三角形定义，我们知道∠OCP = 90° - β。

因此，∠AOB = ∠AOP + ∠BOP + ∠OCP = α + α + (90° - β) = 180° - 2β。

步骤7: 根据步骤5和步骤6的结果，我们可以得到∠ACB = 1/2 (∠AOB + ∠APB)。

这就证明了弦切角定理。

弦切角定理在几何学中具有广泛的应用，特别是在证明和解决与圆相关的问题时非常有用。

它不仅可以帮助我们计算弦所对的角，还可以用于证明弦所夹的两个弧的角和等于360°。

弦切角定理的证明方法证明弦切角定理时，需要使用到以下几何模型：1.一个圆，圆心为O，半径为r；2.在圆上选择两个点A和B，连接OA和OB；3.以A和B分别为圆心，r为半径，画两个与圆相交的圆弧。

接下来按照以下步骤进行证明：第一步：证明OA与OB垂直。

由于OA和OB是圆的半径，所以OA和OB相等，即OA≡OB。

根据等腰三角形的性质，OA和OB的中垂线也相等，即OM≡OM。

由此可得，△OMA≡△OMB。

根据等腰三角形的定义，可以得出∠MOA≡∠MOB。

而∠MOA和∠MOB是相交直线与两条相交弧所夹的角，因此根据垂直角的定义，可以得到OA与OB垂直。

第二步：证明角AOB的度数等于弦AB所对的圆心角的度数。

由于AOB是一个半圆角，根据半圆角的定义，它的度数等于180°。

另一方面，弦AB所对的圆心角的度数等于弧AMB的度数。

所以，要证明两者相等，我们只需要证明两个弧所对的角相等。

第三步：证明弦AB所对的圆心角的度数等于弦AB所对的切角的度数。

以A为圆心，r为半径，作弧周上的线段AC切圆于点C。

连接OC。

根据圆的切线定理，切线与半径垂直，所以OC与AC垂直。

又由于OA与OC是圆半径，所以∠OAC是一个直角。

因此，在△OAC中，∠OAC+∠OCA=90°。

由于∠OAC是弦AB所对的圆心角，OC是切线AC所对的切角。

根据三角形中角的性质，弦切角等于其所对的圆心角的补角，即∠OCA等于∠OAB的补角，即180°-∠OAB。

所以，∠OAC+∠OAB=90°。

综上所述，在△OAC中，∠OAC+∠OCA=90°，∠OAC+∠OAB=90°。

所以，∠OCA=∠OAB，即切角与圆心角相等。

第四步：综合前面的结论，得到结论弦切角定理的证明。

由第一步可得△OMA≡△OMB，由第二步可得∠AOB=180°。

由第三步可得∠OAC=∠OAB。

将这些结论整合起来，可以得到△OMA和螺旋△OAC与△OMB和螺旋△OBC全等，即∠MOA=∠COA，∠MOB=∠COB。

弦切角定理的证明第一篇：弦切角定理证明弦切角定理证明弦切角定理编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线pt切圆o于点c，bc、ac为圆o的弦，∠tcb，∠tca，∠pca，∠pcb都为弦切角。

编辑本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠t cb（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠tcb(敬请期待更好文章：a=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴(弦切角定理)(3)圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：ef∥bc.证明：连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab 于d，mn切⊙o于c，求证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.证明：∵ab是⊙o直径∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，同理：bc平分∠ncd.第二篇：弦切角定理的证明弦切角定理的证明弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.(弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明证明：设圆心为o，连接oc，ob，oa。

弦切角定理的证明-证明范本第一篇：弦切角定理证明弦切角定理证明弦切角定理编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线pt切圆o于点c，bc、ac为圆o的弦，∠tcb，∠tca，∠pca，∠pcb都为弦切角。

编辑本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.求证：弦切角定理证明：分三种情况：1圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径，ab切⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角2圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴弦切角定理3圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴弦切角定理编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac 相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2art△中30°角所对边等于斜边的一半例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：ef∥bc.证明：连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，求证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.证明：∵ab是⊙o直径∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，同理：bc平分∠ncd.第二篇：弦切角定理的证明弦切角定理的证明弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角就是切线与弦所夹的角弦切角定理证明证明：设圆心为o，连接oc，ob，oa。

怎样证明弦切角第一篇：怎样证明弦切角怎样证明弦切角设圆心为o，连接oc，ob，oa。

过点a作tp的平行线交bc于d，则∠tcb=∠cda∵∠tcb=90-∠ocd∵∠boc=180-2∠ocd∴,∠boc=2∠tcb(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半)∵∠boc=2∠cab∴∠tcb=∠cab(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)2接oboc过o做oe⊥bc所以∠a=1/2又因为∠oct=90°∠oec=90°所以∠eoc=∠tcb所以∠tcb=∠a3温馨提示设切点为a切线ab弦ac圆心为o过a作直径ad连oc角cab等于90度减角dac因为oa等于oc所以角aoc等于180度减去二倍的角dac即可证明角aoc等于二倍的角cab参考资料：弦切角是这弦所对的圆心角的一半4线段ad与线段ef互相垂直平分。

证明:设ad交ef于点g.因为ap为切线，所以弦切角等于所对的圆周角，即∠pac=∠b，又因为ad平分∠bac，所以∠dac=∠bad，从而∠pac+∠dac=∠b+∠bad,而∠pac+∠dac=∠pad，∠b+∠bad=∠pda，所以∠pad=∠pda，则△pad为等腰三角形，因pm平分∠apd，所以pm垂直平分ad，则ef垂直平分ad，从而ad垂直ef，则∠age=∠agf=90°，再由∠gaf=∠gae，得到△eag≌△fag，从而eg=fg，从而ad也垂直平分ef。

5(1)圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径，ab切⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴(弦切角定理)(3)圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：ef∥bc.证明：连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠d ac∠efd=∠fdcef∥bc第二篇：弦切角的逆定理的证明弦切角逆定理证明已知角cae=角abc，求证ae是圆o的切线证明：连接ao并延长交圆o于d，连接cd，则角adc=角abc=角cae而ad是直径，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae所以角dae=角dac+角cae=90度故ae为切线第三篇：弦切角定理证明弦切角定理证明弦切角定理编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角定理证明方法弦切角定理证明方法(1)连oc、oa，则有oc⊥cd于点c。

得oc‖ad，知∠oca=∠cad。

而∠oca=∠oac，得∠cad=∠oac。

进而有∠oac=∠bac。

由此可知，0a与ab重合，即ab为⊙o的直径。

(2)连接bc，且作ce⊥ab于点e。

立即可得△abc为rt△，且∠acb=rt∠。

由射影定理有ac²=ae*ab。

又∠cad=∠cae，ac公用，∠cda=∠cea，得△cea≌△cda，有ad=ae，所以，ac²=ab*ad。

第一题重新证明如下：首先证明弦切角定理，即有∠acd=∠cba。

连接oa、oc、bc，则有∠acd+∠aco=90°=(1/2)(∠aco+∠cao+∠aoc)=(1/2)(2∠aco+∠aoc)=∠aco+(1/2)∠aoc,所以∠acd=(1/2)∠aoc，而∠cba=(1/2)∠aoc(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)，得∠acd=∠cba。

另外，∠acd+∠cad=90°，∠cad=∠cab，所以有∠cab+∠cba=90°，得∠bca=90°，进而ab为⊙o的直径。

2证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠tcb=∠cab(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角) 证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.求证：(弦切角定理)证明：分三种情况：(1)圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径，ab切⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴(弦切角定理)(3)圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：ef∥bc.证明：连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn 切⊙o于c，求证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.证明：∵ab是⊙o直径∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，同理：bc平分∠ncd.第二篇：弦切角的逆定理的证明弦切角逆定理证明已知角cae=角abc，求证ae是圆o的切线证明：连接ao并延长交圆o于d，连接cd，则角adc=角abc=角cae而ad是直径，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae所以角dae=角dac+角cae=90度故ae为切线第三篇：弦切角定理证明弦切角定理证明弦切角定理编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==弦切角定理证明方法第一篇：弦切角定理证明方法弦切角定理证明方法(1)连oc、oa，则有oc⊥cd于点c。

得oc‖ad，知∠oca=∠cad。

而∠oca=∠oac，得∠cad=∠oac。

进而有∠oac=∠bac。

由此可知，0a与ab重合，即ab为⊙o的直径。

(2)连接bc，且作ce⊥ab于点e。

立即可得△abc为rt△，且∠acb=rt∠。

由射影定理有ac²=ae*ab。

又∠cad=∠cae，ac公用，∠cda=∠cea，得△cea≌△cda，有ad=ae，所以，ac²=ab*ad。

第一题重新证明如下：首先证明弦切角定理，即有∠acd=∠cba。

连接oa、oc、bc，则有∠acd+∠aco=90°=(1/2)(∠aco+∠cao+∠aoc)=(1/2)(2∠aco+∠aoc)=∠aco+(1/2)∠aoc,所以∠acd=(1/2)∠aoc，而∠cba=(1/2)∠aoc(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)，得∠acd=∠cba。

另外，∠acd+∠cad=90°，∠cad=∠cab，所以有∠cab+∠cba=90°，得∠bca=90°，进而ab为⊙o的直径。

2证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠tcb=∠cab(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.求证：(弦切角定理)证明：分三种情况：(1)圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径，ab切⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴(弦切角定理)(3)圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：ef∥bc.证明：连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，求证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.证明：∵ab是⊙o直径∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，同理：bc平分∠ncd.第二篇：弦切角的逆定理的证明弦切角逆定理证明已知角cae=角abc，求证ae是圆o的切线证明：连接ao并延长交圆o于d，连接cd，则角adc=角abc=角cae而ad是直径，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae所以角dae=角dac+角cae=90度故ae为切线第三篇：弦切角定理证明弦切角定理证明弦切角定理编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角定理及其推论定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.证明：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵∠TCB=90°-∠OCB∵∠BOC=180°-2∠OCB∴∠BOC=2∠TCB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）弦切角定理推论：两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。

应用举例：第一个算出地球周长的人──埃拉托色尼2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长。

这个人就是古希腊的埃拉托色尼。

埃拉托色尼博学多才，他不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。

细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。

但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。

他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。

从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。

按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。

埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40076公里)相差无几。

他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近。

这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧。

埃拉托色尼是首先使用“地理学”名称的人，从此代替传统的“地方志”，写成了三卷专著。

书中描述了地球的形状、大小和海陆分布。

弦切角定理的证明第一篇：弦切角定理证明弦切角定理证明弦切角定理编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线pt切圆o于点c，bc、ac为圆o的弦，∠tcb，∠tca，∠pca，∠pcb都为弦切角。

编辑本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠tcb(敬请期待好范文网更好文章：xxxx)=∠cab（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac 所夹的弧.求证：(弦切角定理)证明：分三种情况：(1)圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径，ab切⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴(弦切角定理)(3)圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：ef∥bc.证明：连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，求证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.证明：∵ab是⊙o直径∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，同理：bc平分∠ncd.第二篇：弦切角定理的证明弦切角定理的证明弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.(弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明证明：设圆心为o，连接oc，ob，oa。

怎样证明弦切角设圆心为O，连接OC，OB，OA。

过点A作TP的平行线交BC于D，则∠TCB=∠CDA∵∠TCB=90-∠OCD∵∠BOC=180-2∠OCD∴,∠BOC=2∠TCB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半)∵∠BOC=2∠CAB∴∠TCB=∠CAB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)2接OB OC 过O做OE⊥BC所以∠A=1/2又因为∠OCT=90°∠OEC=90°所以∠EOC=∠TCB所以∠TCB=∠A3温馨提示设切点为A 切线AB 弦AC 圆心为O 过A作直径AD 连OC角CAB等于90度减角DAC因为OA等于OC 所以角AOC等于180度减去二倍的角DAC即可证明角AOC等于二倍的角CAB参考资料：弦切角是这弦所对的圆心角的一半4线段AD与线段EF互相垂直平分。

证明:设AD交EF于点G.因为AP为切线，所以弦切角等于所对的圆周角，即∠PAC=∠B，又因为AD平分∠BAC，所以∠DAC=∠BAD，从而∠PAC+∠DAC=∠B+∠BAD,而∠PAC+∠DAC=∠PAD，∠B+∠BAD=∠PDA，所以∠PAD=∠PDA，则△PAD为等腰三角形，因PM平分∠APD，所以PM垂直平分AD，则EF垂直平分AD，从而AD垂直EF，则∠AGE=∠AGF=90°，再由∠GAF=∠GAE，得到△EAG≌△FAG，从而EG=FG，从而AD也垂直平分EF。

5(1)圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 (2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴ ∠CEA=∠CAB∴ (弦切角定理)(3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90∴∠CDA=∠CAB∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长.解：连结OA，OB.∵在Rt△ABC中, ∠C=90∴∠BAC=30°∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC∠EFD=∠BAD∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC∠EFD=∠FDCEF∥BC。