2015年佛山二模考试 数学(理科)试卷含答案

xy O CAB2015年佛山市普通高中高二教学质量检测数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题： （每题5 分，共 50 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项CABABDADCA二、填空题（每题 5分，共 20 分）11． 13- 或 12．213．1614．12p三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.【解析】(Ⅰ)顶点C 到斜边AB 的距离为( ) 22021810 25 512d +´-- === + , (3)分 所以斜边 245 AB d == , …………………………4 分 故 ABC D 的面积为 11254520 22S AB d =´´=´´= ．………6 分 (Ⅱ)解法 1:由题意知,CD AB ^ ,又 12AB k =- ,所以 2 CD k = , (7)分 所以直线CD 的方程为: 21 y x =- ,即210 x y --= , ……………………………9 分由 280 210 x y x y +-= ì í--= î ,解得 23x y = ì í = î ,………11 分所以点D 的坐标为( ) 2,3 ．…………12 分解法 2:因为 45 AB = ,所以 210 AC BC == , ……………………………8 分 所以 , A B 在以C 为圆心,210 为半径的圆上, ……………………………9 分 由 22280(1)40x y x y +-= ì í++= î ,解得 1 1 25 x y =- ì í= î 或 2 2 6 1 x y = ì í =î ,……………………………11分 因为D 为 AB 的中点,所以点D 的坐标为( ) 2,3 ．……………………………12 分16.【解析】(Ⅰ)连接BD 交 AC 于点O ,连接FO ,则点O 是BD 的中点．因为点F 为 1 A D 的中点,所以 1 A B ∥FO ．…………4 分 又 1 A B Ë平面 AFC ,FO Ì 平面 AFC ,所以 1 A B ∥平面 AFC ． ………………………………6 分(Ⅱ) 在正方体 1111 ABCD A B C D - 中, 1 = AA AD ,F 为 1 A D 的中点, 所以 1 AF A D ^ ,……………………8 分因为 11 A B ^平面 11 ADD A ,又 AF Ì平面 11 ADD A , 所以 11 AF A B ^ ,又 1111 = A B A D A I ,所以 11 AF A B D ^平面 ,……………………10 分又 AF Ì平面 AFC ,所以平面 11 A B D ^平面 AFC . ………………12 分 17.【解析】(Ⅰ)由题意知,圆心A 在直线 :40 l x y +-= 上,…………………………1分又圆A 与x 轴、 y 轴都相切,所以圆心A 也在直线 y x = 上, ……………………………………3 分BACDB 1C 1D 1A 1FBCDASPM所以圆心 ( ) 2,2 A ,半径 2 r = ,……………………………5 分所以圆A 的方程为( ) ( ) 22224 x y -+-= ．………………………6 分(Ⅱ) 解法 1:设直线 1 : l y kx = ,因为直线 1 l 将圆 A 的弧长分成1:3的两部分, 所以劣弧所对的圆心角为90 o,……………9 分则圆心A 到直线 1 l 的距离 2cos 4522 2d r ==´= o, ……………………………………12 分 又 222 2 1 k d k- == + ,解得 23 k =± ,所以直线l 的斜率为 23 k =± ． (14)分 解法 2:设直线 1 : l y kx = ,因为直线 1 l 将圆A 的弧长分成1:3的两部分, 所以劣弧所对的圆心角为90 o,……………9 分则圆心A 到直线 1 l 的距离 2cos 4522 2d r ==´= o, ……………………………………12 分 又 22 OA = ,所以OA 与直线l 的夹角为30 o,又直线OA 的倾斜角为45 o ,所以直线l 的倾斜角为75 o 或15 o ,故斜率 tan 7523 k ==+ o 或 tan1523 k ==- o ,所以直线 1 l 的斜率为 23 k =± ……………14 分 18.【解析】(Ⅰ)证明:在直角 PBC D 中, 4 = PC , 3 = BC , 3 : 5 : = DC PD ．所以 5 = PB , 2 5= PD , 23 = DC ．……………………………………1 分又 ° = Ð = Ð 90 C PAD , P P Ð = Ð ,所以 PAD D ∽D PCB ,即 BCADPB PD PC PA = = ． 所以 2 PD PC PA PB × == , 3 = - = PA PB AB , 32PD BC AD PB × == ．而D SAB 中, 2 = = PA SA , 13 = SB ．……………………………………3 分所以 2 2 2SB AB SA = + ,即 AB SA ^ ．………………………………4 分因为AD PB ^ ,所以 AD SA ^ ,又 A AD AB = I ,所以 ^ SA 平面ABCD ． ………6 分 (Ⅱ)解法 1:[传统法]在图 2 中,延长BA 、CD 相交于点P ． 连接SP ,取SP 中点M ,连接 MD MA 、 ,如图．………7 分 又 SA PA = , SD PD = ,所以 SP MA ^ , SP MD ^ ． 所以 AMD Ð 为所求二面角的平面角． …………9 分 又 AD SA ^ , PB AD ^ , A PB SA = I , 所以 ^ AD 平面SPB ,又 Ì MA 平面SPB , 所以 MA AD ^ ．……………………………………11 分在直角 SPA D 中, 2 = = SA PA ,M 为SP 中点,所以 2 2 = SP , 2 = MA ． 在 SPD D 中,由(Ⅰ)知 25= = SD PD ,M 为SP 中点,所以 22 172MD PD PM =-=,xyOP MBAl BC D ASyxz 所以 234cos 17 MA AMP MD Ð== ,即平面SAB 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值为 1734 2 .……14分 注:若不利用 MA AD ^ 这一结论,也可以利用余弦定理求出 AMP Ð cos .解法 2:[向量法]以A 为原点建立空间直角坐标系 A xyz - 如图所示,…………………………7 分由(Ⅰ)知, 2 = PA , 3 = AB , 23= AD , 2 = SA ,所以 ( ) 0,0,0 A , 3 ,0,0 2 D æöç÷ èø , ( ) 0,0,2 S , 126,,0 55 C æö ç÷ èø, 所以 3 ,0,2 2 SD æö =- ç÷ èø uuu r , 126,,2 55 SC æö =- ç÷ èøuuu r , …………9 分设平面SCD 的法向量为 ( ) ,, x y z = n ,则 SD SC ì ^ ï í ^ ï î uuu r uuu r n n ,即 320 2 126 20 55x z x y z ì -= ï ï í ï +-= ï î ,解得 4 3 x zy zì = ï í ï =- î , 令 1 z = ,得 ( ) 4,3,3 =-n ,…………11 分 显然平面SAB 的一个法向量为 3 ,0,0 2 AD æö= ç÷ èøuuu r ． …………12 分所以 6234cos , 3 17 34 2AD AD AD × <>===× ´ uuu ruuu r uuu r n n n ． …………13分 即平面SAB 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值为 17342 ．…14 分 19.【解析】(Ⅰ)直线l 与曲线C 相切,则由2 2 10x pyx y ì =- í+-= î 消去 y 并整理得, 2 220 x px p -+= .……3 分 由 ( ) 22420 p p D =-×= ,解得 2 p = ,所以曲线C 的方程为 24 x y =- .…………………………6 分(Ⅱ) 依题意可设 ( ) ( ) 1122 ,, A x y B x y 、 ,显然直线AB 的斜率存在, 设直线AB 的方程为 ( ) 2 y k x =- ,……………7分由 ( )24 2 x y y k x ì =- ï í =- ï î ,消去 y 整理得 2 480 x kx k +-= ,……………………………………………8 分 由韦达定理得 12 4 x x k +=- , 12 8 x x k =- ,…………………………………9分由题意有, 21111 11 4 4x y x k x x - ===- ,同理 2 24 x k =- ,…………………………………10 分 所以 12 12 4 x x k k k + +=-= , 1212162x x k k k ×==- ,…………………………………12分消去k 即有 12 12 2 k k k k + ×=-,即 12122 k k k k + =- , 所以 1 k 、 2 k 满足关系式1211 2 k k +=- ． ……………………………………………14分 20.【解析】(Ⅰ) 设圆C 的半径为r , 9 OC = ,………………1分依题意 821 OC r ++= ,解得 4 r = ,………………3 分所以圆C 的标准方程为:( ) 22916 x y -+= ．………………4 分(Ⅱ) 假设存在符合题意的定点 ( ) 0 ,0 P x ,当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为 ( ) 0 y k x x =- , 即 0 0 kx y kx --= ,………………5 分所以圆心O 到直线l 的距离为 0 1 21 kx h k- =+ ,由垂径定理得, ( ) 22 22 0 22 0111226464 22642 11 k x k x d r h k k -- =-=-= ++ ,………………6 分 同理,圆心C 到直线l 的距离为 0 2 29 1 k kx h k- =+ ,则 ( ) ( ) 2 22 200 022 22222 161865 9 22162 11 k x x k x d r h k k --+ - =-=-= ++ ,………………7 分 由题意有, 1 2 d d l = ,即 ( )( )22 0 1 22 2 00 6464 161865k x dd k x x l -- == --+ ,两边平方得, ( )() 22222000 6464161865 k x k x x l éù --=--+ ëû,整理得,( )() 22222 000 166******** x x x k l l éù -+---+= ëû,………………10 分由于对任意实数k ,上式均成立,故有 ( ) 2 22200016640 6418650 x x x l l ì -= ï í ---+= ï î ,解得 2 l = , 则 200 241080 x x -+= ,解得 06 x = 或 0 18 x = , …………12 分当 0 6 x = 时,考虑直线l 斜率不存在时,此时 1 27 d = , 2 7 d = 也符合题意． (13)分 故存在定点 ( ) 6,0 P 或 ( ) 18,0 P ,使得 1 d , 2 d 的比值总等于同一常数 2 l = ．………………14 分。

广东省12大市2015届高三二模数学（理）试题分类汇编2：函数一、选择题1 ．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）下列函数为奇函数的是（ ）A ．|sin |y x =B ．22x xy -=+C ．ln ||y x =D ．lnxy x1-=1+ 2 ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））函数f(x)= (x-1)cosx 2在区间[0,4]上的零点个数是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．73 ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））下列函数中既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递增的是 （ ）A ．y = x 2B ．y = x 3C ．y = -xD ．y = tanx4 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））下列四个函数中,既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是 （ ）A ．y =B ．x xy e e -=-C ．sin y x x =D ．1lg1xy x-=+ 5 ．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）已知函数()f x 是R 上的奇函数,若对于0x ≥,都有()2()f x f x +=, [)()()20,2,log 1x f x x ∈=+当时时,()()20132012f f -+的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．26 ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））函数1()3f x x =+-的定义域是 （ ）A ．[2,)+∞B ．[2,3)C ．(,3)(3,)-∞⋃+∞D ．()[2,3)3,⋃+∞7 ．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）已知函数1()ln(1)f x x x =-+,则()y f x =的图象大致为8．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））已知函数()39x f x x =+-的零点为0x ,则0x 所在区间为 （ ）A ．3122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．3522⎡⎤⎢⎥⎣⎦，9．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））记实数1x ,2x ,,n x 中的最大数为{}12max ,,n x x x …,,最小数为{}12min ,,n x x x …,,则 {}{}2max min 116x x x x +-+-+=，，（ ）A ．34B ．1C ．3D ．7210．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））已知函数⎩⎨⎧>≤=)0(log )0(2)(3x x x x f x ,那么)]31([f f =_______ 12．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））若对任意,,(,)(,),(,)x A y B A B f x y f x y ∈∈⊆⊆R R 有唯一确定的与之对应则称为关于x 、y 的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数(,)f x y 为关于实数x 、y 的广义“距离”; (1)非负性:(,)0,f x y x y ≥=当且仅当时取等号; (2)对称性:(,)(,)f x y f y x =;(3)三角形不等式:(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立. 今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于x 、y 的广义“距离”的序号:①(,)||f x y x y =-;②2(,)()f x y x y =-;③(,)f x y =能够成为关于的x 、y 的广义“距离”的函数的序号是____________.三、解答题13．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响,环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱,个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度()f x 与时间x (小时)的关系可近似地表示为:620363()1 366x x x f x x x ⎧--≤<⎪⎪+=⎨⎪-≤≤⎪⎩,只有当污染河道水中碱的浓度不低于13时,才能对污染产生有效的抑制作用.(1)如果只投放1个单位的固体碱,则能够维持有效的抑制作用的时间有多长? (2)第一次投放1单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到13时,马上再投放1个单位的固体碱,设第二次投放后．．．．．．水中碱浓度为()g x ,求()g x 的函数式及水中碱浓度的最大值.(此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加．．)广东省12大市2013届高三二模数学（理）试题分类汇编2：函数参考答案一、选择题1. D 解析: cos y x =是偶函数,,2x y =和 y x 3=-1是非奇非偶函数,故选D.2. C3. B4. B5. B6. D7. 令()ln(1)g x x x =-+,则1'()111xg x x x =-=++,由'()0,g x >得0,x >即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增,由'()0g x <得10x -<<,即函数()g x 在(1,0)-上单调递减,所以当0x =时,函数()g x 有最小值,min ()(0)0g x g ==,于是对任意的(1,0)(0,)x ∈-+∞,有()0g x ≥,故排除B 、D,因函数()g x 在(1,0)-上单调递减,则函数()f x 在(1,0)-上递增,故排除C,所以答案选A.8. 【解析】因为()3355,()90,902222f x f f ⎛⎫=-<=+-> ⎪⎝⎭为增函数又.故选D .9. D 10. C 二、填空题 11.1212. ①三、解答题13. ⑴由题意知03612 633x x x ≤<⎧⎪⎨--≥⎪+⎩或3611 63x x ≤≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩解得13x ≤<或34x ≤≤,即14x ≤≤能够维持有效的抑制作用的时间:413-=小时⑵由⑴知,4x =时第二次投入1单位固体碱,显然()g x 的定义域为410x ≤≤ 当46x ≤≤时,第一次投放1单位固体碱还有残留,故()g x =1 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+(4)626(4)3x x ⎡⎤---⎢⎥-+⎣⎦=116331x x ---;当610x <≤时,第一次投放1单位固体碱已无残留,故 当67x <≤时, (4)6()26(4)3x g x x -=---+ =86361x x ---; 当710x <≤时, 45()1636x xg x -=-=- ; 所以1164633186()673615 71036xx x xg x x x xx ⎧--≤≤⎪-⎪⎪=--<≤⎨-⎪⎪-<≤⎪⎩当46x ≤≤时, 116()331x g x x =---=101610()3313x x --+≤--103-当且仅当1631x x -=-时取“=”,即1[4,6]x =+(函数值与自变量值各1分) 当610x <≤时,第一次投放1单位固体碱已无残留,当67x <≤时, 2261(5)(7)()0(1)66(1)x x g x x x +-'=-=>--,所以()g x 为增函数;当710x <≤时,()g x 为减函数;故 max ()g x =1(7)2g =,又101(032--=>,所以当1x =+时,水中碱浓度的最大值为103- 答:第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时;第一次投放1+小时后,水中碱浓度的达到最大值为103-。

试卷类型：A2015年佛山市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2015.4本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}40 <<∈=x N x A 的子集个数为（ ）A ． 3B ．4C ．7D ．82．若复数z 满足2)1()1(i z i +=-，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量a ()32, 0-=，b ()3, 1=，则向量a 在b 上的投影为（ ）A ．3-B ．3-C ．3D ．34．不可能肥直线b x y +=23作为切线的曲线是（）A ． xy 1-=B ．x y sin =C ． x y ln =D ．xe y =5．已知双曲线)0, 0( 12222>>=-b a by a x 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍倍，则其渐近线方程为（ ）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．034=±y xD ．043=±y x6．已知函数)( 11ln )(R a x a x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛+-=.命题p ：)(, x f R a ∈∃是奇函数；命题q ：)(, x f R a ∈∀在定义域内是增函数，那么下列命题为真命题的是（ ）A ．p ⌝B ．q p ∧C ．()q p ∧⌝D ．()q p ⌝∧7．已知a ,b ,c 均为直线，α,β为平面.下面关于直线与平面关系的命题： （1）任意给定一条直线a 与一个平面α，则平面α内必存在与a 垂直的直线； （2）任意给定的三条直线a ,b ,c ，必存在与a ,b ,c 都相交的直线； （3）α//β，βα⊂⊂b a , ，必存在与a ,b 都垂直的直线；（4）βαβαβα⊂⊂=⊥b a c , , , I ，若a 不垂直c ，则a 不垂直b . 其中真命题的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ．3D ．48．若集合P 具有以下性质：①P P ∈∈1, 0； ②若P y x ∈,，则P y x ∈-，且0≠x 时，P x∈1.则称集合P 是“Γ集”，则下列结论不正确的是( )A ．整数集Z 是“Γ集”B ．有理数集Q 是 “Γ集”C ．对任意的一个“Γ集”P ，若P y x ∈,，则必有P xy ∈D ．对任意的一个“Γ集”P ，若P y x ∈,，且0≠x ，则必有P xy∈二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9．不等式112<-x 的解集为 .10．已知等差数列{}n a 满足1243=+a a ，523a a =，则=6a .11．将编号为1,2,3,4,5的五个球放入编号为1,2,3,4,5的一个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为 . 12．在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若C c b B A b a sin )()sin )(sin (+=-+，则A ＝ .13．已知{}21 ),( ≤≤+=y x y x A ，{}02 ),( =-+=a y x y x B ，若ΦB A ≠I ，则实数a 的 最大值为 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（极坐标与参数方程选讲） 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==t y tx 4（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标为)4sin(24πθρ+=，则直线l 和曲线C 的公共点有 个.15．（几何选讲） 如图1，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F ，若2=CD ，则EF ＝ .三、解答题：本大题共6小题，满分8016．（本小题满分12分）已知函数R x x x x f ∈-++= , )62cos()32sin()(ππ.（1）求)4(πf 的值； （2）求函数)(x f 的值域和单调递增区间.17．（本小题满分12分）寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动，下表是今年某个档口某种精品已知摊位租金900元/档，精品进货价为9元/件，售价为12元/件，售余精品可以以进货价退回厂家. （1） 画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；（2） 从表中可知：2月14、15日这两个下雨天的平均销售量为80件/天，后三个非雨天平均销售量为100件/天，以此数据为依据，除天气外，其它条件不变.假如明年花市5天每天下雨的概率为51，且每天是否下雨相互独立，你准备在迎春花市租赁一个档口销售同样的精品，推测花市期间所租档口大约能售出多少件精品？（3） 若所获利润大于500元的概率超过0.6，则称为“值得投资”，那么在（2）条件下，你认为“值得投资”吗？18．（本小题满分14分）AB图1如图2，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝1200，D 为AC 的中点，P 为棱A 1B 上的动点. （1） 探究：AP 能否与平面A 1BC 垂直？（2） 若AA 1＝6，求二面角A 1－BD －B 1的余弦值. 19．（本小题满分14分）设数列{}n a 满足),2( 1, 11211*-∈≥-=+⋅⋅⋅++=N n n a a a a a n n（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 若数列{}n a 满足)1( log >=a a b n n a ，求证：111111132212-<-+⋅⋅⋅+-+-≤--a b b b b b b a a n n . 20．（本小题满分14分）已知椭圆E ：)0( 12222>>=+b a by a x 过点（0,－2），且离心率为35.（1） 求椭圆E 的方程；（2） 如图3，ABD 是椭圆E 的顶点，M 是椭圆E 上除顶点外的任意一点，直线DM 交x 轴于点Q ，直线AD交BM 于点P ，设BM 的斜率为k ，PQ 的斜率为m ，求动点N （m ,k ）轨迹方程.21．（本小题满分14分）设常数a ＞0，R ∈λ，函数32)()()(a x a x x x f +--=λ.（1） 若函数)(x f 恰有两个零点，求λ的值；（2） 若)(λg 是函数)(x f 的极大值，求)(λg 的取值范围.图2A 11A2015年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）数学（理科）参考答案 2015.4一、 选择题：DBAB CDBA二、 填空题：9．（0, 1）；10．11； 11．20；12．32π； 13．5；14．1；15：332答案解析：1．集合A 的元素是自然数，所以A ＝｛1,2,3｝,共3个元素，其子集个数为23＝8个2．()()()()()()()i i i i i i i i i i i z +-=+=+=+-++=-+=1121211111122与第二象限的点（－1,1）对应. 3．向量a 在b326)3(133202-=-=+⨯-==b a θ 4．对于B 选项：x x f cos )('=的最大值为1，所以x y sin =不存在斜率为23的切线。

2015年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}40 <<∈=x N x A 的子集个数为（ ）A ． 3B ．4C ．7D ．82．若复数z 满足2)1()1(i z i +=-，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量a ()32, 0-=，b ()3, 1=，则向量a 在b 上的投影为（ ）A ．3-B ．3-C ．3D ．34．不可能肥直线b x y +=23作为切线的曲线是（ ）A ． xy 1-= B ．x y sin = C ． x y ln =D ．x e y =5．已知双曲线)0, 0( 12222>>=-b a by a x 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍倍，则其渐近线方程为（ ）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．034=±y xD ．043=±y x6．已知函数)( 11ln )(R a x a x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=.命题p ：)(, x f R a ∈∃是奇函数；命题q ：)(, x f R a ∈∀在定义域内是增函数，那么下列命题为真命题的是（ ）A ．p ⌝B ．q p ∧C ．()q p ∧⌝D ．()q p ⌝∧7．已知a , b , c 均为直线，α, β为平面.下面关于直线与平面关系的命题： （1）任意给定一条直线a 与一个平面α，则平面α内必存在与a 垂直的直线；（2）任意给定的三条直线a , b , c ，必存在与a , b , c 都相交的直线； （3）α//β，βα⊂⊂b a , ，必存在与a , b 都垂直的直线； （4）βαβαβα⊂⊂=⊥b a c , , , ，若a 不垂直c ，则a 不垂直b . 其中真命题的个数为（ ） A ． 1 B ． 2C ．3D ．48．若集合P 具有以下性质：① P P ∈∈1, 0； ② 若P y x ∈,，则P y x ∈-，且0≠x 时，P x∈1.则称集合P 是“Γ集”，则下列结论不正确的是( ) A ．整数集Z 是“Γ集” B ．有理数集Q 是 “Γ集”C ．对任意的一个“Γ集”P ，若P y x ∈,，则必有P xy ∈D ．对任意的一个“Γ集”P ，若P y x ∈,，且0≠x ，则必有P xy∈二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9．不等式112<-x 的解集为 .10．已知等差数列{}n a 满足1243=+a a ，523a a =，则=6a .11．将编号为1, 2, 3, 4, 5的五个球放入编号为1, 2, 3, 4, 5的一个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为 . 12．在△ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，若C c b B A b a sin )()sin )(sin (+=-+，则A ＝ .13．已知{}21 ),( ≤≤+=y x y x A ，{}02 ),( =-+=a y x y x B ，若ΦB A ≠ ，则实数a 的 最大值为 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（极坐标与参数方程选讲） 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==t y tx 4（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标为)4sin(24πθρ+=，则直线l和曲线C 的公共点有 个. 15．（几何选讲） 如图1，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F ，若2=CD ，则EF ＝ .三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数R x x x x f ∈-++= , )62cos()32sin()(ππ.（1）求)4(πf 的值；（2）求函数)(x f 的值域和单调递增区间.A B图117．（本小题满分12分）寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动，下表是今年某个已知摊位租金900元/档，精品进货价为9元/件，售价为12元/件，售余精品可以以进货价退回厂家.（1） 画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；（2） 从表中可知：2月14、15日这两个下雨天的平均销售量为80件/天，后三个非雨天平均销售量为100件/天，以此数据为依据，除天气外，其它条件不变.假如明年花市5天每天下雨的概率为51，且每天是否下雨相互独立，你准备在迎春花市租赁一个档口销售同样的精品，推测花市期间所租档口大约能售出多少件精品？ （3） 若所获利润大于500元的概率超过0.6，则称为“值得投资”，那么在（2）条件下，你认为“值得投资”吗？18．（本小题满分14分）如图2，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝1200，D 为AC 的中点，P 为棱A 1B 上的动点.（1） 探究：AP 能否与平面A 1BC 垂直？ （2） 若AA 1＝6，求二面角A 1－BD －B 1的余弦值.图2A 11A19．（本小题满分14分）设数列{}n a 满足),2( 1, 11211*-∈≥-=+⋅⋅⋅++=N n n a a a a a n n（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 若数列{}n a 满足)1( log >=a a b n n a ，求证：111111132212-<-+⋅⋅⋅+-+-≤--a b b b b b b a a n n .20．（本小题满分14分）已知椭圆E ：)0( 12222>>=+b a b y a x 过点（0, －2），且离心率为35.（1） 求椭圆E 的方程；（2） 如图3，ABD 是椭圆E 的顶点，M 是椭圆E 上除顶点外的任意一点，直线DM 交x 轴于点Q ，直线AD 交BM 于点P ，设BM 的斜率为k ，PQ 的斜率为m ，求动点N （m , k ）轨迹方程.21．（本小题满分14分）设常数a ＞0，R ∈λ，函数32)()()(a x a x x x f +--=λ.（1） 若函数)(x f 恰有两个零点，求λ的值；（2） 若)(λg 是函数)(x f 的极大值，求)(λg 的取值范围.2015年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）数学（理科）参考答案选择题：DBAB CDBA一、填空题：9．（0, 1）； 10．11； 11．20；12．32π； 13．5；14．1；15：332 答案解析：1．集合A 的元素是自然数，所以A ＝｛1,2,3｝,共3个元素，其子集个数为23＝8个2．()()()()()()()i i i i i i i i i i i z +-=+=+=+-++=-+=1121211111122与第二象限的点（－1,1）对应.3．向量a 在b326)3(133202-=-=+⨯-==θ 4．对于B 选项：x x f cos )('=的最大值为1，所以x y sin =不存在斜率为23的切线。

UNM 第1题图桂城中学2015届高三高考模拟试题理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U 是实数集R ,{}|2M x x =≥,{}|3N x x =<,则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{}|23x x ≤<B ．{}|2x x <C ．{}|2x x ≤D ．{}|3x x ≥2．如果复数21m ii+-是纯虚数,那么实数m 等于（ ）A ．1-B ．1C ．0或1D ．1或1-3． 函数()412x xf x +=的图象（ ） A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x 对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称 4. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为 “伞数”。

现从1，2，3，4，5，6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( ) A ．120个 B ．80个 C ．40个 D ．20个6．已知数列{}n a 满足331log 1log n n a a ++=*()n N ∈且2469a a a ++=,则15793log ()a a a ++的值是（ ）A ．5-B ．15-C ．5D ．157.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[)20,45岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的众数．．大约是( )A ． 27.5岁B ． 30岁C ． 32.5岁D ． 35岁第15题图8. 设V 是平面向量的集合，映射f ：V V →满足⎪⎩⎪⎧≠==. 0 , ||,0 ,0 )(a a a a f ，则对 a ∀、V b ∈ ，R ∈∀λ，下列结论恒成立的是（ ）A ．)()()(b f a f b a f +=+B ．)]()([)|| |(|b f a f f b b a a f +=+⋅C ．)() |(|a f a a f =⋅D ．)]()([)|| |(|b f a f f b a a b f +=+⋅二、填空题：（本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按第14小题给分，共30分）（一）必做题（9～13题） 9. 不等式11x<的解集为_______. 10. 若椭圆1222=+my x 的离心率为21，则实数m 为_______.11. 在6(1)x -的展开式中, 二项式系数最大的项是________.12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=)10(,1)01(,1)(2x x x x x f ,则⎰-=11)(dx x f _______13. 在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若60B A =+︒,2b a =,则A = ． （二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分） 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(),ρθ中,过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆θρsin 4=的切线,则切线的极坐标方程为_______________.15.(几何证明选做题)如图,两个等圆⊙O 与⊙O '外切,过O 作⊙O '的两条切线,,OA OB ,A B 是切点,点C 在圆'O 上且不与点,A B 重合,则ACB ∠= ．图6三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数x x x f sin 32cos 2)(+= （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）函数)(x f y =图象由x y cos =图象如何变换得到？ （Ⅲ）若)23,2(ππα∈,且1320)65(=+παf ,试求)4tan(πα+的值.17．（本小题满分12分） 设不等式组222x y -⎧⎨⎩≤≤≤≤0确定的平面区域为U ，20200x y x y y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩-++-≥≤≥确定的平面区域为V ． （I ）定义坐标为整数的点为“整点”．在区域U 内任取3个整点，求这些整点中至多有1个整点在区域V 的概率；（II ）在区域U 内任取3个点，记此3个点在区域V 的个数为X ，求X 的概率分布列及其数学期望．18.（本题满分14分）如图，在五棱锥P —ABCDE 中，PA ⊥平面ABCDE ， AB ∥CD ，AC ∥ED，AE ∥BC ， ∠ABC =45°，AB BC =2AE =4， 三角形PAB 是等腰三角形． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的余弦；（Ⅲ）若Q 为线段PC 上一点，当二面角Q AB D --为4π时， 求三棱锥E AQD -的体积．19（本题满分14分）已知二次函数()y f x =在3x =处的切线方程为370x y --=，且满足(3)()f x f x -=(Ⅰ) 求()y f x =的表达式，并求()f x 的零点；(Ⅱ) 数列{}n a 和{}n b ，若对任意的实数1)()(+=++n n n x b x a x g x f x 都满足，()n N ∈*，()g x 其中定义在实数集R 上的一个函数。

理科数学试题（二）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）CBDA A BCBAD CC. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．23π. 14. 23n n a =. 15.14. 16. 2016 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）11sincos 2222ααα-=，11c o s 22αα-=，所以1sin()62πα-=，又因为α为锐角，所以3πα=. ………………6分（Ⅱ）2()cos 22sin 2sin 2sin 1f x x x x x =+=-++,令sin t x =，则2221(11)y t t t =-++-≤≤，由二次函数的图像知：当12t =时，max 32y =；当1t =-时，min 3y =-， 所以函数()f x 的值域为3[3,]2-. ………………12分18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）证明：PD ⊥平面ABCD ，BC Ü平面ABCD ，BC PD ∴⊥,又,BC CD CD PD D ⊥=,BC PCD ∴⊥面,又PC PCD 面Ü,∴BC PC ⊥. …………6分（Ⅱ）因为,//BC CD AD BC ⊥,所以AD DC ⊥，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，不妨设1AD =,则(1,0,0)A ,(0,0,2)P ,(0,2,0)C ,(2,2,0)B ,设平面PBC 的一个法向量为(,,)m x y z =，又(2,0,0)BC =-,(0,2,2)PC =-,由00m BC m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20220x y z -=⎧⎨-=⎩，不妨取1y =，则(0,1,1)m =，(1,0,2)PA =-,∴PA 与平面PBC 所成角θ的正弦值sin cos ,52PA m PA m PA mθ⋅=<>===⋅. ……………12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由图知，m 名学生中星期日运动时间少于60分钟的频率为：111()30750300020+⨯=，所以1520m ⨯=，所以100m =；设星期日运动时间在[)90,120内的频率为x ，则1111111()3013000750300100200300600x ++++++⨯+=，所以14x =.所以星期日运动时间在[)90,120内的频率为14. ……………6分 （Ⅱ）由图知，第一组有1人、第二组有4人、第七组有10人，第八组有5人，四组共20人，其中星期日运动时间少于60分钟的有5人.所以ξ可能取值为0,1,2,3，且3515320()(0,1,2,3)i i C C P i i C ξ-⋅===.所以ξ的分布列为所以ξ的期望=0+1+2+3==2282282282282284E ξ⨯⨯⨯⨯. …………12分20.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由c a =,及222a b c =+,设2,,(0)a k c b k k ===>,则由四个顶点构成的四边形面积为4得12242a b ⋅⋅=,即14242k k ⋅⋅=,解得1k =, ∴椭圆22:14x C y +=. ……………5分 （Ⅱ）设直线:l x ty m =+,即0x ty m --=,1m ≥,则由直线l 与圆221x y +=相切得1=,即221t m =-, 由222244()44x y ty m y x ty m⎧+=⇒++=⎨=+⎩,即222(4)240t y tmy m +++-=,易知0∆>恒成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理知：12221222444tm y y t m y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，∴由弦长公式得12AB y =-21212)4]y y y y =+-⋅==,∵1m ≥,∴23AB m m ==≤=+,当且仅当3m m =,即m =时等号成立,所以max 2AB =，所以OAB ∆的面积最大值为12112⨯⨯=. ……………12分21.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得，221ln ln ()=ex xf x x x--'=.由()0f x '>得01x <<；由()0f x '<得1x >.所以函数()y f x =的单调增区间为：(0,1)，单调减区间为(1,)+∞.……………5分（Ⅱ）不等式()()f x g x ≥恒成立⇔不等式1+ln 1x kx x ≥+恒成立 ⇔不等式(1)(1+ln )x x k x+≤恒成立,令(1)(1+ln )1()1(1+ln )(1)x x h x x x x x +⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，则min ()k h x ≤.因为2ln ()x x h x x-'=，令()l n (1)x x xx ϕ=-≥，则()h x '与()x ϕ同号，因为1()0x x x ϕ-'=≥（当且仅当1x =时取等号），所以()x ϕ在[1,)+∞上递增，所以()(1)10x ϕϕ≥=>，所以()0h x '>，所以()h x 在[1,)+∞上递增，所以min ()(1)2h x h ==，所以 2.k ≤ ……………12分22.证明：（Ⅰ）因为A C B D =,所以ABC BCD ∠=∠.又因为EC 与圆相切于点C ，故ACE ABC∠=∠,所以ACE BCD ∠=∠. ………………5分 （Ⅱ）因为ECB CDB ∠=∠，EBC BCD ∠=∠，所以BDCECB ∆∆，故B C C DB E B C=.即2BC BE CD =⋅.又82BE ,CD ,==所以=4BC . ………………10分23.解：（Ⅰ）曲线1:2cos C ρθ=化为普通方程为：22(1)1x y -+=；直线2C的参数方程x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数).0y -=.所以曲线1C 是以1C ()1,0为圆心，1r =为半径的圆.所以圆心1C ()1,00y -=的距离为：d ==.所以1AB ==.………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆10分 24.解: 1,1()1223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩（Ⅰ）不等式()2f x x >,即112x x ≤⎧⎨->⎩或12232x x x <<⎧⎨->⎩或212x x≥⎧⎨>⎩,解得12x <-,所以不等式()2f x x >的解集为12x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭. ……………5分（Ⅱ）存在x R ∈，使得2()1f x t t >-+,即2max ()1f x t t >-+∵max ()1f x =, ∴只要22110(0,1)t t t t t >-+⇔-<⇔∈即(0,1)t ∈ ……………10分。

2015 年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分． 题号 答案1C2C3B4A5D 11．  或6A7B8A二、填空题：本大共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分． [必做题] 9．1 [选做题] 14． 2 10． ,  2  4,  15．112．96 625(或 0.1536 )13． 101 2 2 2三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.【解析】(Ⅰ)依题意得   π ,解得 2 ,所以 f  x sin 2 x  ,„„„„„„2 分  4              所以 f sin  sin cos cos sin  3 2 1 2  6  2 .„„„4 分         3 4 3 4 2 2 2 2 4 6  3 4    5  3 (Ⅱ)因为   x  ,所以   2 x    ,列表如下:„„„„„„„„6 分 2 2 4 4 4     3     3  x   8 8 2 2 8 8    3  2x   5      0    2 4 4 4 22π2 0 0  1 2     上的图像如图所示! 画出函数 y  f x 在区间  ,  2 2 y  y12 2„„„8 分1 2 3  8  8O1 21 23 82x8x 在  , 由图象可知函数 y  f 1„„„10 分        3   上的单调递减区间为  ,  , , .„„„„12 分  2 2   2 8   8 2       17.【解析】(Ⅰ) 频率分布表(3 分)；频率分布直方图(6 分) (Ⅱ) 支持,理由如下:1   19 2013年 11 月的优良率为: 20  0.005  0.005  0.015  0.010  , „„„„8 分   3 30   26 2014 年 11 月的优良率为: , „„„„9 分 30佛山一模(理科数学) 第 1 页 共 5 页因此26 19 7   23.3% 20% „„„„11 分 30 30 302014 年 11 月份 AQI 数据频率分布表 分组 频数 频率 2014 年 11 月份 AQI 数据频率分布直方图频率 组距所以数据信息可支持“比去年同期空气质量的优良率提高了 20 多个百分点”.„„„„„„„12 分20, 40 40, 60 60, 80 80,100 100,120 120,1402 7 12 5 1 31 15 7 30 2 5 1 6 1 30 1 100.025 0.020 0.015 0.010 0.005 20 40 60 80 100 120 140 A QI18.【解析】(Ⅰ)取 AD 中点 O ,连结 OP, OC, AC ,依题意可知△ PAD ,△ ACD 均为正三角形, 所以 OC  AD , OP  AD ,又 OC  OP O , OC 平面 POC , OP 平面 POC , 所以 AD 平面 POC ,又 PC 平面 POC ,所以 AD PC , 因为 BC // AD ,所以 BC PC ,即 PCB 90,从而△ PBC 为直角三角形.„„„„„„5 分 说明:利用 PC 平面 AMD 证明正确,同样满分! (Ⅱ)[向量法]由(Ⅰ)可知 PO  AD ,又平面 PAD 平面 ABCD , 平面 PAD  平面 ABCD  AD , PO 平面 PAD ,所以 PO 平面 ABCD .„„„„„„6 分 以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O xyz 如图所示,则P zM AP 0, 0, 3 , A  0, 1, 0 , D  0,1, 0 , C O 3, 0,0 , D   B C PC  3, 0,  3 „„„„„„7 分 x     3, 0, 3  3 ,„„„„„„9 分 由 PM PC  3, 0,  3 可得点 M 的坐标为     所以 AM  3,1, 3  3 , DM  3, 1, 3  3 ,   3x y  3  3 z 0 设平面 MAD 的法向量为 n  x, y, z ,则  n AM 0 ,即        3x y  3  3 z 0  n DM 0  1  z  x  解得   ,令 z ,得 n  1, 0, ,„„„„„„11 分  y 0  显然平面 PAD 的一个法向量为 OC  3, 0, 0 ,„„„„„„12 分  n OC 3  1  2 5 1 依题意 cos n, OC     ,解得   或 1 (舍去), 2 5 3 n OC 2  1  3 y    所以,当  1 3时,二面角 P AD M 的余弦值为2 5 5.„„„„„„14 分佛山一模(理科数学) 第 2 页 共 5 页[传统法]由(Ⅰ)可知 AD 平面 POC ,所以 AD OM , AD OP , 所以 POM 为二面角 P AD M 的平面角, 即 cos POM 2 5 5,„„„„„„8 分P在△ POM 中, sin POM 55    所以 sin PMO sin POM   4    sin POM cos, PO  3 , OPM 4,M A O D,„„„10 分 B C cos POM sin   4 10 PM PO PM 3 6 由正弦定理可得  ,即  ,解得 PM  ,„„„„„„12 分 3 sin POM sin PMO 5 3 10 5 10 PM 1 2 2  , 又 PC  PO OC  6 ,所以  PC 3 1 2 5 所以,当  时,二面角 P AD M 的余弦值为 .„„„„„„14 分 3 5 5 19.【解析】(Ⅰ)当 n 2 时, S2 4a2 2 ,解得 a2  ； „„„„„„„„„„„„„„1 分 6 11 当 n 3 时, S3 9a3 6 , 解得 a3  ； „„„„„„„„„„„„„„„„2 分 12 2 (Ⅱ)方法一：当 n 2 时， S n  S S n(n 1) ，整理得43 10n1 „„„„„„„„„„„„„„„„„5 分 Sn n Sn1 n(n 1) ，即 n 1 n   n 1Sn  所以数列  是首项为 1,公差为 1 的等差数列. „„„„„„„„„„„„„„„„„6 分 n    n 1Sn n2 所以 n ，即 Sn  „„„„„„„„„„„„„„„„„7 分 n 1 n 1 . „„„„„„„„„„„„„„„„„8 分 代入 S n n 2 a n n(n 1) 中可得 an  1  n  n 1 1 5 11 1 方法二：由(Ⅰ)知: a1  , a2  , a3  ,猜想 an 1  ,„„„„„„„„„„„„„4 分 2 6 12 n  n 1下面用数学归纳法证明: ①当 n 1 时， a  1 nn2 12 n 1Snnn 1nSn1112*1 11，猜想成立；„„„„„„„„„„„„„„„„„5 分②假设 n  k k N,猜想也成立,即 ak1 21 ,则 k  k 1当 n k  1 时,有 ak 1 Sk 1 S k  k 1 a k 1  k 1 k k 2a k k  k 1佛山一模(理科数学) 第 3 页 共 5 页整理得  k 2  ak 1 kak 2 ，从而 1   k 2 ak 1 kak 2 k  即 n k  1 时猜想也成立.1112 k 2  ，于是 ak 1 1    k  k  1 k 1  k  1  k 2  1 . n  n 1„„„„„„„„„„„„„„„„„8 分所以对于任意的正整数 n ,均有 an  1 2 (Ⅲ) 由(Ⅱ)得 Sn  n , bn n 1n 2 , n  n 12„„„„„„„„„„„„„„„„9 分当 k 2 时，b kk 2k k (k  1) k k (k  1) k (k  1) k 2  k 1 3 5 当 n 1 时, T1   成立； „„„„„„„„„„„„„„„„„„„12 分 2 2 5 1  1  5  2  当 n 2 时,所以 T  3 2 1 1 1 1     n       2  n n  1   2 n  1 2  2 3   3 4 综上所述,命题得证. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14 分 20.【解析】(Ⅰ) 因为曲线 E 为双曲线,所以 m  m 10 ,解得 0 m 1 , 所以实数 m 的取值范围为 0,1 .„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4 分 (Ⅱ)结论: l 与曲线 E 相切.„„„„„„„„„5 分 证明:当 m 4 时,曲线 E 为2k 21k k1221  1  „„„11 分 k k  1   x22  y 1,即 3x2 4 y2 12 , 4 3 2设 P  x0 , y0 ,其中 x0 1 y0 16 ,„„„„„„„„„„„„„„6 分 线段 PA 的中点为 Qx0  1 y0  , ,直线 AP 的斜率为 k  y0 ,„„„„„„„„„„„„7 分  2  2   x0  1 当 y0 0 时，直线 l 与曲线 E 相切成立. 2 2 y x0 y0  1 x  1  x0  1  x  1 当 y 0 时，直线 l 的方程为 y  0  0 0 x  ,„9 分 x  ,即 y  0 2 y0  2  y0 2 y0 x0  1 x0 7 2 2 2 2 因为 x 1 y 16 ,所以 x y  1 2 x 14 ,所以 y  x  ,„„„„„„10 分 0 0 0 0 0 y0 y0 x  1 x 7  代入 3 x 4 y 12 得 3x 4 0 x  0    12 , y0   y0 2 2 2  2  化简得 4 x 1 3 y x 8x 1x 7 x 4  x 7  12 y2 0 ,„„„„12 分 0 0 0 0 0   2 02 2 即 x 7 x 8 x 1x 7 x  16 x 1 0 ,2 2 2 2所以 64  x 1 0020x07  4 x 7  16 1 0 x2 0 00 20 2所以直线 l 与曲线 E 相切.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14 分 说明:利用参数方程求解正确同等给分!佛山一模(理科数学) 第 4 页 共 5 页21.【解析】(Ⅰ)当 a 1 时,函数 f  x  的定义域是  1, 0   0, ,„„„„„„1 分x对fx求导得 f x  x  1ln x 1 x2,„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 分x ln x 1,只需证: x 0 时, g x0 . x 1 x 1 1  又 g   x 0 ,„„„„„„„„„„„„3 分 2  2 x 1 x  1 x 1令 g x  故 g x 是 0, 上的减函数,所以 g x  g  0ln1 0 „„„„„„„„„„5 分 所以 f x  0 ,函数 fx是 0, 上的减函数.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6 分(Ⅱ)由题意知, f x x1 1,„„„„„„„„„„„„„„„„7 分a ln 1a 0 „„„„„„„„„„„„„8 分 1 a 1 a a 1 1 0 ,„„„„„„„„„„„„„9 分 令 t  a  ln 1a  , a 1,则 t   a  2  1 a 1a  1 a即1ln 1a 1,故 t  a  是 ,1 上的增函数,又 t  0  0 ,因此 0 是 t  a  的唯一零点,a ln 1a 0 有唯一实根 0 ,所以 a 0 ,„„„„„„„„„„„„„10 分 1 a x [说明]利用两函数 y  与 y ln 1x  图象求出 a 0 (必须画出大致图象),同样给至 10 分. 1 x ln  e x 1 1   x ln ex ln  e x 11  ln x  1   , 故原不等式等价于 ,„„„11 分 (Ⅲ)因为    x x x x e 1 e 1 e 1 x e 1 ln x 1 由(Ⅰ)知,当 a 1 时, f x  是  0, 上的减函数,„„„„„„„„„„„„„12 分 x x 故要证原不等式成立,只需证明:当 x 0 时, x e 1 , x x 令 h x e x  1 , 则 hx e  1 0 , h x 是 0, 上的增函数,„„„„„„„„„„13 分即方程 所以 h x  h  0  0 ,即 x  e 1, 故 fx即ln x 1 ln  e x 11  x   „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14 分 x ex 1 ex 1x f  e x 1 ,佛山一模(理科数学) 第 5 页 共 5 页。

2015～2016学年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）数 学（理科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．函数1ln(1)y x=-的定义域为（ ）A ． (,0]-∞B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(,0)(1,)-∞+∞【答案】D2．已知复数(2)1,z i ai a R +=+∈,i 是虚数单位，若z 是纯虚数，则a =（ ） A ． －2 B ．－12 C ．12D 、2 【答案】A3．已知正项等差数列{}n a 中，12315a a a ++=，若1232,5,13a a a +++成等比数列，则10a =（ ） A ．19 B ．20 C ．21 D ．22 【答案】C4．已知函数sin(2)y x ϕ=+在6x π=处取得最大值，则函数cos(2)y x ϕ=+的图象（ ）A ．关于点(0)6π,对称 B ．关于点(0)3π,对称C ．关于直线6x π=对称 D ．关于直线3x π=对称【答案】A5．已知直线:20l x y b +-=，圆C：22(4x y +=，则“0＜b ＜1”是“l 与C 相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A6. 已知集合 Q ＝(,)|1040y x x y y x y ⎧≤⎫⎧⎪⎪⎪-≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪+-≤⎩⎩⎭，P ＝{}2(,)|2,0x y x py p =>，若P Q ≠∅。

则 p 的最小值为( )A . 2B . 1C .12 D .14【答案】C7．下列函数中，a ∀∈R ，都有得()()1f a f a +-=成立的是（ ） A．()f x = B ．2()cos ()4f x x π=-C ．22(1)()1x f x x -=+D ．2()21xx f x =-【答案】B8．现从男、女共8名学生干部中选出3名同学(要求3人中既有男同学又有女同学)分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动,共有270 种不同的安排方案,那么8 名学生男、女同学的人数分布可能是( ) A . 男同学1人,女同学7 人 B . 男同学2 人,女同学6 人 C . 男同学3 人,女同学5 人 D . 男同学4 人,女同学4 人 【答案】C9．执行如图的程序框图，若输出i 的值为12，则①、②处可填入的条件分别为（ ）A ．384,1S i i >=+B ．384,2S i i ≥=+C ．3840,1S i i >=+D ．3840,2S i i ≥=+【答案】D10.已知一个几何体的三视图如图 2 所示,则该几何体的体积为( )A ．33B ．33C 3D ．3【答案】B11．已知双曲线C 的两条渐近线为l 1 , l 2，过右焦点F 作 FB // l 1 且交l 2于点B ，过点B 作 BA ⊥l 2 且交l 1于点 A .若 AF ⊥x 轴，则双曲线C 的离心率为( ) ） A 3B 23C 6D ．2【答案】B12．定义在( 0, +¥∞) 上的函数 f ( x ) 满足:对任意正数a , b ,若 f ( a ) － f ( b ) = 1 ,则 a － b < 1 ,称 f ( x ) 是( 0, +∞ ) 上的“Ⅰ级函数”.给出函数 f ( x ) = x 3 , g ( x ) = e x , h ( x ) = x + ln x ,其中“Ⅰ级函数”的个数为( )S=1,i =2i输出结束开始否是①②S S i =⨯A . 0B . 1C . 2D . 3【答案】D二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．广铁集团针对今年春运客流量进行数据整理,调查广州南站从2 月4 日到2 月8 日的客流量,根据所得数据画出了五天中每日客流量的频率分布图如图3 所示.为了更详细的分析不同时间的客流人群,按日期用分层抽样的方法抽样,若从2 月7 日这个日期抽取了40 人,则一共抽取的人数为________.【答案】200 14、定积分220(2)x x dx --⎰的值为＿＿＿＿＿【答案】12π-15.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =-，32n n a S n =+（其中*)n ∈N ，则n S = . 【答案】1(1)(2)6n n n ++ 16．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点Q 边CD 上一个动点，CQ QD λ=，点P 为线段BQ (含端点)上一个动点,若λ= 1 ,则PA PD 的取值范围为【答案】4[,4]5三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知A 、B 、C 、D 为同一平面上的四个点，且满足2AB =，1BC CD DA ===，设BAD θ∠=，ABD ∆的面积为S ，BCD ∆的面积为T ．（1）当3πθ=时，求T 的值；（2）当S T =时，求cos θ的值； 【解析】（1）在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos BD AB AD AB AD θ=+-⋅2211221232=+-⨯⨯⨯=， 在BCD ∆中，由余弦定理得222cos 2BC CD BD BCD BC CD +-∠=⋅2221112112+-==-⨯⨯，∵(0,180)BCD ∠∈，∴cos 60BCD ∠=．∴11sin 112224T BC CD BCD =⋅∠=⨯⨯⨯=． （2）1sin sin 2S AD AB BCD θ=⋅∠=． 2222cos 54cos BD AB AD AB AD θθ=+-⋅=-, 2224cos 3cos 22BC CD BD BCD BC CD θ+--∠==⋅,11sin sin 22T BC CD BCD BCD =⋅∠=∠, ∵S T =,∴1sin sin 2BCD θ=∠,∴2224cos 34sin sin 1cos 1()2BCD BCD θθ-=∠=-∠=-, ∴7cos 8θ=．18．（本小题满分12分）从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表： 上一年的出险次数 01 2 3 4 5次以上（含5次）下一年保费倍率 85% 100% 125% 150% 175%200%连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据(,)x y （其中x （万元）表示购车价格，y （元）表示商业车险保费）：(8,2150)、(11,2400)、(18,3140)、(25,3750)、(25,4000)、(31,4560)、(37,5500)、(45,6500)，设由这8组数据得到的回归直线方程为：1055y bx =+． （1）求b ；(Ⅱ) 有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000 辆调查,得到一年中出险次数的频数分布如下(并用相应频率估计车辆2016 年度出险次数的概率):广东李先生2016 年1月购买一辆价值20 万元的新车.根据以上信息,试估计该车辆在2017 年1月续保时应缴交的保费(精确到元),并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担.(假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保） 【解析】（1）1200(811182525313745)2588x =+++++++==万元， 13200(21502400314037504000456055006500)400088y =+++++++==元，直线1055y bx =+经过样本中心(,)x y ，即(25,4000)．∴105540001055117.825y b x---===．(Ⅱ)设该车辆2017 年的保费倍率为X ,则X 为随机变量, X 的取值为0.85 ,1,1.25 ,1.5 ,1.75 , 2 . ………7 分 且 X 的分布列为计算得下一年保费的期望倍率为EX ＝0.85×0.5＋1×0.38+ 1.25×0.1 +1.5×0.015 +1.75×0.004 + 2×0.001 = 0.9615 … 10 分该车辆估计2017年应缴保费为:(1 17.8× 20 +1055) × 0.9615 = 3279.677 ≈3280 元. … 11 分 因0.96 < 1 (或3280 < 3411 ),基于以上数据可知,车险新政总体上减轻了车主负担.… 12 分19．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，60,,BAD AB BD BC CD ∠===．（1）求证：平面11ACC A ⊥平面1A BD ；（2）若BC CD ⊥,直线BC 与平面A1BD 所成的角能否为45°？并说明理由．【解析】（1）证明：∵,60AB BD BAD =∠=， ∴ABD ∆为正三角形，∴AB AD =． ∵CB CD =,AC 为公共边， ∴ABC ADC ∆≅∆．∴CAB CAD ∠=∠,∴AC BD ⊥．∵四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱， ∴1AA ⊥平面ABCD ，∴1AA BD ⊥． ∵1AC AA A =，∴BD ⊥平面11ACC A ．∵BD ⊂平面1A BD ，∴平面1A BD ⊥平面11ACC A ．（2）设AC BD = O ,以O 为原点,建立空间直角坐标系O - xyz 如图所示,不妨设 AB = 2 , AA 1 = h ( h > 0 ),则 OA = 3 , OB = OD = OC = 1 ,设平面 A 1 BD 的法向量为 n = ( x , y , z ) ,则ABC DA 1C 1B 1D 1若直线BC 与平面A1 BD 所成的角为45°,则故直线BC 与平面A1 BD 所成的角不可能为45°.…12 分20．（本小题满分12分）已知点C 是圆F : ( x -1) 2 + y 2 = 16 上任意一点,点F'与点F 关于原点对称.线段CF'的中垂线与CF 交于P 点.(Ⅰ) 求动点P 的轨迹方程E ；(Ⅱ) 设点A ( 4,0 ) ,若直线PQ ⊥x 轴且与曲线E 交于另一点Q,直线AQ与直线PF 交于点B .(1) 证明:点B 恒在曲线E 上；(2) 求△PAB 面积的最大值．所以点B 恒在椭圆E 上.…………………………8 分21．（本小题满分12分）设函数()ln (0)f x ax b x x a =+->，函数22()1xg x x=+．若直线 y = e - x 是曲线C : y = f ( x ) 的一条切线,其中e 是自然对数的底数,且 f ( 1) = 1 . (Ⅰ) 求a , b 的值；(Ⅱ) 设0 < n < m < 1 ,证明: f ( m ) > g ( n )选做题：请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，点,,,A B D E 在O 上，ED 、AB 的延长线交于点C ，AD 、BE 交于点F ，AE EB BC ==．（1）证明：DE BD =；（2）若2DE =，4AD =，求DF 的长． 【解析】（1）证明：∵EB BC =，∴C BEC ∠=∠． ∵BED BAD ∠=∠，∴C BED BAD ∠=∠=∠． ∵2EBA C BEC C ∠=∠+∠=∠，AE EB =， ∴2EAB EBA C ∠=∠=∠，又C BAD ∠=∠． ∴EAD C ∠=∠，∴BAD EAD ∠=∠． ∴DE BD =．（2）由（1）知EAD C FED ∠=∠=∠， ∵EAD FDE ∠=∠，∴EAD ∆∽FED ∆，∴DE ADDF ED=． ∵2DE =，4AD =，∴1DF =．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程为4sin()3πρθ=-,以极点为原点, 极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系xOy ． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )ϕϕ（其中)ϕ∈R ，求PQ 的最大值． 【解析】（1）∵4sin()3πρθ=-，∴4(sin coscos sin )33ππρθθ=-，∴22sin 23cos ρρθρθ=-，∴曲线C 的直角坐标方程为222320x y x y ++-=．FODBA（2）曲线C可化为22((1)4x y +-=，∴曲线C 是圆心，半径为2的圆，∵点Q 的直角坐标是(cos ,sin )ϕϕ，∴点Q 在圆O ：221x y +=， ∴125PQ OC ≤++=，即PQ 的最大值为5．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()32,f x x x t t =-++∈R ．（1）当1t =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在实数a 满足()32f a a +-<，求t 的取值范围．【解析】（1）当1t =时，()321f x x x =-++，由()5f x ≥，得3215x x -++≥，∴35122x x ⎧-≥<⎪⎨⎪-⎩，或13254x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+⎩≥，或3325x x ≥>⎧⎨-⎩， 解得1x ≤-或13x ≤≤或3x >，∴原不等式的解集为(,1][1,)-∞-+∞．（2）()3232f x x x x t +-=-++(26)(2)6x x t t ≥--+=+，∵原命题等价于min (()3)2f x x +-<，∴62t +<，解得84t -<<-，∴t 的取值范围是(8,4)--．。

广东重点中学2015届高三理科数学模拟试题本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知z 是z 的共轭复数，若1z i =+（i 是虚数单位），则z z ⋅=A ．2-B ．1-C ．0D ．22．已知集合2{|20}A x xx =--…，{|ln(1)}B x y x ==-，则A B =A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[1,1)-D ．(1,1)-3．已知椭圆E 的焦点与双曲线221412x y -=的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆E 的离心率等于 A.35 B. 45 C. 54 D. 344. 已知数列{}n a 为等比数列，191,3a a ==，则5a =A. 2B.C. D. 5. 给出下列四个命题，其中假．命题是 A ．从匀速传递的新产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件新产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；B ．样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度；C ．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；D ．设随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，若(1),P x p >=则1(10)2P x p -<<=-. 6. 若如下框图所给的程序运行结果为35S =,那么判断框中应填入的关于k 的条件是A. 7k =？B. 6k …？C. 6<k ？D. 6>k ？7．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是ODCBAPA. 14l l ⊥B. 14//l lC. 14,l l 既不垂直也不平行D. 14,l l 的位置关系不确定8. 对于各数互不相等的正数数组(12,,...,n i i i )(n 是不小于2的正整数),如果在p q <时有p q i i <,则称“p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”,一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”.例如,数组(2,4,3,1)中有“顺序”“2,4”、“2,3”,其“顺序数”等于2.若各数互不相等的正数数组1234(,,,a a a a ,5)a 的“顺序数”是4,则54321(,,,,)a a a a a 的“顺序数”是A. 7B. 6C. 5D. 4二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9—13题） 9. 不等式112x x +≥-的解集是_________.10. 曲线ln1)y x =-（2在点(1,0)处的切线方程为_________. 11. 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为_________. 12. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为_________.13. 已知实数,a b 满足13a b ≤+≤且11a b -≤-≤，则42a b +的取值范围为_________. （二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆θρsin 4=的圆心到直线3πθ= 的距离是________.15．（几何证明选讲选做题）如图所示，AB 是半径等于3的圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，BA ,CD 的延长线交于点P ，若4PA =，5PD =，则CBD ∠=_________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数.cos 2sin cos 32)(2x x x x f += （1）求()6f π;(2) 求()f x 的最小正周期； （3）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求函数)(x f 的值域. 17.（本小题满分12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200-分）.设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。