专题八第二讲分类讨论思想、化归与转化思想

分类与整合、化归与转化的思想
分类与整合的思想
当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。

分类与整合就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学思想.
化归与转化的思想
在研究与解决问题时采用某种形式，借助某些数学知识，将问题进行等价转化，是抽象问题具体化、复杂问题简单化、未知问题已知化等，进而达到解决问题的思想.。

分类讨论与转化化归本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（理）已知（3+i ）·z =-2i ，那么复数z 对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 （文）函数3sin sin2+-=x x y 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 2．函数)0(12>+=-x y x的反函数为（ ）A ．)21(11log 2<<-=x x yB ．)21(11log 2<<--=x x yC ．)21(11log 2≤<-=x x yD ．)21(11log 2≤<--=x x y 3．已知圆02:222=++++a y ax y xC ，定点A (1，2)，要使过点A 作圆C 的切线有两条，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-332,332••B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-33,33•• C ．()∞+∞-••, D ．()∞+•,04．在ABC ∆中，若0)2(=-，则ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形5．已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．22 C ．25 D ．332 6．函数1)(2-+=ax ax x f ，若f (x )<0在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．0≤a B ．4-<a C ．04<<-a D ．04≤<-a 7．已知单位正方体1111—D C B A ABCD 的对棱BB 1、DD 1上有两个动点E 、F ，BE =D 1F =λ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤λ<210，设EF 与AB 所成的角为α，与BC 所成的角为β，则α+β的最小值（ ）A ．不存在B ．等于60°C ．等于90°D ．等于120° 8．设直角三角形两直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则44b a+和44h c +的大小关系是（ ）A ．44b a +=44h c +B ．44b a +>44h c +C ．44b a+<44h c + D ．不能确定9．球的内接正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则该球的表面积等于（ ）A ．316π B ．34π C ．4π D ．38π10．若不等式0lg ])1[(<--a a n a 对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．210<<a B ．10<<a C ．121<<a D ．a >1 11．已知二次函数5)(2++=ax x x f 对任意实数t 都有)4()(t f t f --=成立，且在闭区间[m ，0]上有最大值5和最小值1，则m 的取值范围为（ ）A ．2-≤mB ．24-≤≤-mC ．02≤≤-mD ．04≤≤-m12．若实数•z •y •x •,,满足4,5,3322223=+=+=+x •z•z •y•y x ，则zx yz xy ++的最小值是（ ） A ．632-- B ．632-+ C ．632+- D ．632++第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 将答案填在题中的横线上.13．（理）已知函数⎩⎨⎧≥+-<π=,0,1)1(,0,cos )(••x •x f ••x •x •x f 则=⎪⎭⎫⎝⎛31f .（文）25.0tan =α，则α+α2sin 2cos 的值为 .14．设P 是曲线)1(42-=x y上的一个动点，则点P 到点A (0，2)的距离与点P 到y 轴的距离之和最小时，点P 的坐标为 .15．已知8⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x 展开式中的常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和为 . 16．设)30cos(cos )(x xx f -︒=，则=︒++︒+︒)59()2()1(f f f .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）（理）设函数1|2tan |tan )(2--+=x x x f .（1）讨论函数f (x )的奇偶性； （2）求函数f (x )的最小值. （文）设a >0，解关于x 的不等式.11•x ax<- 18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111—C B A ABC 中，a AA AC AB ===1，且︒=∠90ABC ，三棱锥ABC P —中，∈P 平面BB 1C 1C ， 且.23a •PC PB ==（1）求直线P A 与平面ABC 所成角的正切值； （2）求证：PB ∥平面C AB 1； （3）求点P 到平面AA 1B 1B 的距离.（理）在2007年元宵节灯谜晚会上，猜谜者需猜两条谜语（谜语1和谜语2），猜谜者对这两条谜语可以按自己选择的先后顺序去猜，如果他决定先猜谜语)2,1(••ii =，则只有当他猜对此谜语后才被允许猜另一条谜语，否则就不允许他猜另一条谜语了. 若猜谜者对谜语)2,1(••ii =，则奖i x 元，一中一得，设猜谜事件是互不影响的，试问：（1）他应先猜哪条谜语？ （2）若%80%,60,100,2002121====•p•p••x•x （p 1、p 2分别为猜中谜语1、2的概率），则应先猜哪条谜语？（文）阳光中学在一次科技知识竞赛中，每个参赛组需要回答三个问题，规定：其中前两个问题回答正确各得10分，若某题回答不正确，则该题得0分；第三个问题回答正确得20分，回答不正确得-10分. 如果某参赛组回答前两个问题正确的概率都为0.8，回答第三个问题正确的概率为0.6，且各个问题回答正确与否相互之间没有影响. （1）求该参赛组总得分为20分的概率； （2）求该参赛组总得分不少于20分的概率. 20．（本小题满分12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且ca bC B +=2cos cos .（1） 求角B 的大小； （2） 若4,13=+=c •a •b ，求ABC ∆的面积.（1）已知抛物线)0(22>=p px y，过焦点F 的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，O为坐标原点，试问：∙的值是否是一个定值？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由；（2）由（1）可知：过抛物线的焦点F 的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，存在定点P ，使得∙为定值. 请写出关于椭圆的类似结论，无需证明. 22．（本小题满分12分）（理）已知数列}{n a 与}{n b 满足下列关系：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=+=>=+a a a a •b •a a a •a •a a a n n nnn n ,21,)0(2211（∈n N *）. （1）证明数列}{lg n b 是等比数列； （2）求数列}{n b 的通项公式，并化简aa a a n n --+1；（3）设S n 是数列}{n a 的前n 项和，当2≥n 时，S n 与a n ⎪⎭⎫⎝⎛+34是否有确定的大小关系？若有，请加以证明，若没有，请说明理由. （文）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象过),(11•y •t A 、),(22y •t B 两点，且满足0)(21212=+++y y a y y a.（1）证明：a y a y -=-=21或；（2）证明：函数f (x )的图象必与x 轴有两个交点；（3）若关于x 的不等式f (x )>0的解集为)0}(|{<<<>m n n x m x x 或，解关于x 的不等式02>+-a bx cx.参考答案1．（理）C 由2i31i3i 2i 2)i 3(--=+-=⇒-=∙+z z ，所以复数z 对应的点位于第三象限.（文）D 将函数关系式变形为55)2(sin )1(sin 3sin sin2≤+-∙+=+-=x x x y .显然，当1sin-=x 时，5max =y .2．A 由12+=-x y 可得11l o g )1(l o g 22-=--=y y x ，将x 与y 互换得11log 2-=x y . ∵x >0，∴120<<-x，∴2121<+<-x ，故12+=-x y （x >0）的反函数为11log 2-=x y (1<x <2). 3．A 圆的方程为434)1(2222a y a x -=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 依据题意，点A (1，2)在圆外，得.0434)12(21222•a a >->++⎪⎭⎫ ⎝⎛+解得实数a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-332,332••. 4．B ∵0)2(=-BA BC BA ，∴2cos 2c B ac =，即acc B 2cos 2=，∵acb c a B 2cos 222-+=，∴a =b ，∴ABC ∆一定是等腰三角形.5．D 由122+=a c ，右准线122+=a a x ，右焦点为)0,(•c •F ，得321112222=⇒=+-+a a a a ，所以，双曲线的离心率.33232•e ==6．D 当a =0时，01)(<-=x f 恒成立；当a ≠0是，要使0)(<x f 在R 上恒成立，只需a <0且042<+=∆a a ，即04<<-a . 综上可得.04•a ≤<-7．C 可取两个特殊位置，当E 、F 分别为BB 1DD 1的中点时，︒=β=α45，从而︒=β+α90，而当E 、F 分别为B 、D 1时，可得2arct an =β=α，从而02221222t an )t an(<-=-=α=β+α，即.90•︒>β+α 8．C 注意到222c b a=+，显然有2222h c b a +<+. 两边平方并注意到ab=ch ，得4444h c b a +<+.9．A 因为正三棱柱底面正三角形的边长为1，所以底面正三角形的外接圆的半径为33，球心到底面的距离为1，所以球的半径为332，球的表面积为.316344•π=⨯π10．A 当a >1时，易知0lg ])1[(<--a a n a 是恒成立；当0<a <1时，0lg <a ，所以0)1(>--a n a 恒成立，即a a n ->1恒成立，只需a a ->11恒成立，可得.210•a << 11．B 显然m =0不合要求，故C ，D 错；当m =-5时，f (x )的对称轴为x = -2，则1)2()(2++=x x f 在[-5，0]的最大值是10，不符合要求，A 错.12．A 解已知中关于223,,•z••y •x的三元一次方程，得3,2,1223===•z••y•x；于是有四组解：x =1，3,2==•z •y ；x =1，3,2-=-=•z •y ；x =1，3,2=-=•z •y ；x =1，.3,2••z •y -== 从而，当x =1，••z •y 3,2-==时，代数式zx yz xy ++的最小值为632--.13．（理）.21132cos 13211313121•f f •f =+⎪⎭⎫⎝⎛π-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛（文）1716 ∵.17161tan 1cos sin cos sin 2cos 22222•a =+α=α+αα=α+14．()222,224--•• 如图，抛物线顶点（1，0），焦点F (2，0)，准线x =0.则.22||||||||||•AF PF PA PB PA =≥+=+等号成立的条件为A 、P 、F 三点共线.联立方程⎩⎨⎧=+-=2)1(42y x x y ，可得)222,224(--••P .15．1或83 由于()8288881C C ---+-=⎪⎭⎫⎝⎛-=r r rrr r r x a x a x T ，所以有082=-r ，r =4，于是1201)(C 4485•a T =-=，解出2±=a . 当a =2时，展开式中各项系数的和为11218=⎪⎭⎫ ⎝⎛-；当a =-2时，展开式中各项系数的和为.312188•=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 16．23329+事实上， 3)30cos()60cos(cos )30cos()60cos()30cos(cos )60()(=-︒-︒+=︒--︒+-︒=-︒+x x x x x x x x f x f ，即3)60()(=-︒+x f x f . 于是++︒+︒+︒+︒=︒++︒+︒ )]58()2([)]59()1([)59()2()1(f f f f f f f.23329)30()]31()29([•f f f +=︒+︒+︒ 17．（理）（1）.31|21|14,11|21|14••f •f =---+=⎪⎭⎫⎝⎛π-=--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛π 显然⎪⎭⎫⎝⎛π-≠⎪⎭⎫ ⎝⎛π-⎪⎭⎫ ⎝⎛π≠⎪⎭⎫⎝⎛π-44,44f •f •f f ，所以，函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数.（2）令x t t an =，则t ∈R ，于是1|2|)()(2--+==t t t g x f ，t ∈R. 于是有⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+)2.(1)2(,3)(22t •t t t ••t t t g 由于)(t g 在[)∞+••,2上的最小值为g (2)=3，在()2,••∞-内的最小值为4321=⎪⎭⎫ ⎝⎛g ，所以函数)(t g 在()∞+∞-••,内的最小值为43. 故函数f (x )的最小值为43.思路点拨 绝对值函数在高考中是一个冷点，但复习时不应忽视. 判断一个函数的奇偶性是比较常见的问题，但既不是奇函数，又不是偶函数的解答题却比较少见，只要举出反例. 举反例是很重要的，特别是在高等数学里，处处可以见到. 要考查学习数学的“潜能”，就需要在高等数学与初等数学的结合点处命制新颖问题. （文）∵011,11<-+-<-x x ax ••x ax ，∴0)1](1)1[(<-+-x x a . 讨论：（1）当a =1时，x <1； （2）当a >1时，111<<--x a ； （3）当0<a <1时，111<->x ax 或. 综上可得，当a =1时，解集为}1|{<x x ；当a >1时，解集为}111|{<<--x a x ；当0<a <1时，解集为}111|{<->x ax x 或. 思路点拨 含字母的不等式求解，往往需要进行分类讨论. 关于解不等式的解答题目，虽然不是年年都出现，但我们也应当多关注. 18．（1）取BC 的中点M ，连结AM ，PM ，∵PB=PC ，∴PM ⊥BC ，∵面PBC ⊥面ABC ，∴PM ⊥面ABC ，∴∠P AM 是直线P A 与面ABC 所成的角，在R t ABC ∆中，AB =AC =a ，∠CAB =90°，∴AM =a 22，在Ｒt PBM ∆中，a •B M •a PB 22,23==，∴a PM21=，∴.22tan •AM PM PAM == （２）由（１）知BM =a •P M a •21,22=, ∴22tan =PBM ，又22tan 1=CB B ， ∴CB B PBM 1tan tan =，∠PBM =∠B 1CB ，PB ∥CB 1.∵⊄PB 面⊂11,•C B C •AB 面C AB 1，∴PB ∥面C AB 1.（3）在面BB 1C 1C 中，BC B •B BC •PM ⊥⊥1,，∴PB ∥BB 1. 又B B AA PM11面⊄，∴PM ∥面AA 1B 1B ，作MN ⊥AB ，垂足为N .∵面ABC ⊥面AA 1B 1B ，∴MN ⊥面AA 1B 1B ，∴MN 的长等于P 到面AA 1B 1B 的距离，在Rt ABC ∆中，MN 是中位线，a AC MN 2121==，∴点P 到面AA 1B 1B 的距离为.21a • 思路点拨 立体几何问题的求解，需要将空间的问题转化为平面的问题，然后利用平面几何、三角函数、代数的知识来解答. 19．（理）（1）设猜中谜语)2,1(••i i =的概率为)2,1(••ip i =；若先猜谜语1，则所得奖金的分布列为所获奖金的期望2121121212111)()1(p p x p x p p x x p p x E +=++-=ξ；所获奖金的期望2112212211222)()1(p p x p x p p x x p p x E +=++-=ξ；当21ξ>ξE E ，即2112221211p p x p x p p x p x +>+时，先猜谜语1； 当21ξ<ξE E ，即2112221211p p x p x p p x p x +<+时，先猜谜语2；当21ξ=ξE E ，即2112221211p p x p x p p x p x +=+，先猜谜语1和先猜谜语2一样.（2）由题设可得1ξE =168，2ξE =176，因为21ξ<ξE E ，所以应先猜谜语2.思维拓展 概率与统计是高考的热点内容，和实际结合是命题的趋向. 该问题里的比较大小，需要分类讨论. （文）（1）记总得分数为ξ，则024.06.02.02.0)20(=⨯⨯==ξP .（2）192.06.02.08.0C )30(12=⨯⨯⨯==ξP ，384.06.08.08.0)40(=⨯⨯==ξP .所以，总得分不少于20分的概率为.6.0)40()30()20(•P P P P ==ξ+=ξ+=ξ=思维拓展 概率与统计的试题，文科与理科的差别比较大. 文科一般考查高二下的内容，也就是概率计算的知识；而理科一般考查高三的选学内容，也就是概率计算，分布列与数学期望等知识. 20．（1）解法一 由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，得 .sin 2,sin 2,sin 2C •R •c B •R •b A •R a ===将上式代入条件CA BC B ••c a b C B sin sin 2sin cos cos ,2cos cos +-=+-=得，即,0sin cos cos sin cos sin2•B C B C B A =++.0)sin(cos sin 2•C B B A =++∵π=++C B A ，∴A C B sin)sin(=+，∴0sin cos sin 2=+A B A .∵0sin≠A ，∴21cos -=B ，∵角B 为三角形的内角，∴π=32B. 解法二 由余弦定理得：abc b a C ••ac b c a B 2cos ,2cos 222222-+=-+=. 将上式代入c a bbc a ab ac b c a ••c a b C B +-=-+⨯-++-=222,2cos cos 222222得， 整理，得ac b c a-=-+222，∴2122cos 222-=-=-+=ac ac ac b c a B .∵角B 为三角形的内角，∴.32•Bπ=（2）将π==+=32,4,13•B •c •a •b ，代入余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得B ac ac c a bcos 22)(22--+=，∴⎪⎭⎫⎝⎛--=21121613ac ，∴ac =3.∴343sin 21==∆B ac S ABC. 思维拓展 三角形的三角函数问题，一种转化是化为三角函数的问题来求解，另一种是转化为三边的问题，用代数的恒等变形来作答. 21．（1）若直线l 垂直于x 轴，则.,2,,2•p ••p •B ••p •p A ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛ .432222•p p p -=-⎪⎭⎫⎝⎛=∙若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()11,,2•y•x •A •p x k y⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，()22,•y •x B.由⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,2,22px •y •p x k y 得.04)2(22222•k p x k p x k =++- 于是.4,)2(2212221•p x •x p •kk x x =∙+=+ ∴)2)(2(212212121px p x k x x y y x x OBOA --+=+=∙.434)2(24)1(4)(2)1(2222222222212212•p k p k p k k p p k k p x x k p x x k -=++∙-+=++-+=综上，∙=243p -为定值.（2）关于椭圆有类似的结论：过椭圆)0,0(12222>>=+•b •a by a x 的一个焦点F 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，存在定点P ，使得∙为定值.方法探究 类比思维是发现问题，提出问题的有效方法，读者要多多训练，多多感悟.这种解题的“潜能”，“隐性”的解题能力. 是需要从“做题”和“读题”的过程中去体会.22．（理）（1）因为a a a a b n n n -+=（n ∈N ﹡），,2121•a a a a n n n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+ 所以,0)()(212122222111•b a a a a a a aa aa a a a a a ab n n n n n n n n n n >=-+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=+++ 于是，两边取常用对数得n n b b lg 2lg 1=+，即}{lg n b 是以2为公比等比数列.（2）因为3111=-+=aa aa b ，所以.32)3(lg lg 121•b b n n n n --=⇒∙=所以.1312,13131211212•b a a a a a a a •a •a n n n n n n n n n +=+=-=---+=-+--即 （3）当2≥n 时，.)(10113121•a a aa a a n n n n -≤+-=--+当且仅当n =2时，上面的不等式中取“=”. ∴.)(101,,)(101,)(10113423•a a a •a •••a a a •a •a a a a n n -<--<--≤-- ∴.])2([101)2(1121•a n a S a n a a S n n ---<----- ∵,45,221a ••aa •a == ∴,)2(2)2(1026510a •n a a S a n a S n n n----<---故a n a n S n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-<--911825)13(9131861)2(1212 .341823a •n a n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=思维拓展 数列试题和递推关系的结合是比较常见的，当中，通项和前n 项的和结合的问题，也是热点之一. 要知道，解答里的关系)(1011a a a a n n-<--，若看作等式，似乎有了对应新的等比数列了. 这自然是化归转化的数学思想方法，值得回味. （文）（1）∵•y y a y y a0)(21212=+++， ∴a •ya •y ••y a y a -=-==++2121,0))((或得.（2）当a >0时，二次函数f (x )图象开口向上，图象上的点A 、B 的纵坐标均为-a 且大于零，所以图象与x 轴有两个交点； 当a <0时，二次函数f (x )的图象开口向下，图象上的点A 、B 的纵坐标均为-a 且大于零，所以图象与x 轴有两个交点. 所以函数f (x )的图象与x 轴有两个不同交点. （3）∵02>++c bx ax 的解集为)}0(|{<<<>m n n •x m •x x 或， ∴.0,0,0••c ••b •a >>>从而方程02=++a bx cx的两个根为n•x •mx 1,121==，则方程02=+-a bx cx 的两个根为n•x •mx 1,121-=-=.因为n <m <0，所以mn 11-<-， 故不等式02>+-a bx cx的解集为}11|{n•x •m xx -<->或. 思维拓展 数学思想方法的学习是一不断反思，不断体验，不断深化的过程. 想想看，分类与整合思想是怎样应用的. 为什么要用？不用可以吗？这样的思考应当不断地加强.。