2019—2020学年度泰安市第一学期初三期末质量检测初中数学

山东省泰安市2020年九年级上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019九上·遵义月考) 已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A . ﹣1＜x＜4B . ﹣1＜x＜3C . x＜﹣1或x＞4D . x＜﹣1或x＞32. （2分） (2019九上·滦南期中) 若a：b=3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（）A . 4：3B . 3：4C . 3：2D . 2：33. （2分） (2016九上·上城期中) 如图是我市环北路改造后一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为4m，水面最深地方的高度为1m，则该输水管的半径为（）A . 2mB . 2.5mC . 4mD . 5m4. （2分） (2016九上·东城期末) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AC＝2，则cosA的值为（）A .C .D . 25. （2分）(2019·连云港) 在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）A . ①处B . ②处C . ③处D . ④处6. （2分） (2019九上·绍兴月考) 已知二次函数y=ax2-bx-2(a≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(-1，0)，当a-b为整数时，ab的值是（）A . 或1B . 或1C . 或D . 或7. （2分）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB=2，OD=3，则BC的长为（）A .B .C .8. （2分）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c图象时，列出了下面的表格：x…﹣2﹣10123…y…﹣9m﹣10﹣1﹣4…m的数值是（）A . 0B . ﹣1C . ﹣4D . 29. （2分）△ABC内接于⊙O，BC为⊙O直径，∠ACB=60°，AD为∠BAC的平分线交⊙O于D，BE⊥AD于E交⊙O于F，连AF、CD，OG⊥AF于G，BH⊥AF于H交AE于K，下列结论：①OG=DC；②OF=KF；③=，其中正确的有（）A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③10. （2分）(2020·浙江模拟) 如图，直线l1的解析式是y＝ x，直线l2的解析式是y＝ x，点A1在l1上，A1的横坐标为，作A1B1⊥l1交l2于点B1 ，点B2在l2上，以B1A1、B1B2为邻边在直线l1、l2间作菱形A1B1B2C1 ，延长B2C1交l1于点A2 ，点B3在l2上，以B2A2、B2B3为邻边在l1、l2间作菱形A2B2B3C2 ，………按照此规律继续作下去，则线段A2020B2020长为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2019九下·象山月考) 在一个不透明的布袋中装有4个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则n＝________．12. （1分） (2016八上·鞍山期末) 将抛物线图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为________．13. （1分）(2019·永康模拟) 60°的圆心角所对的弧长为2πcm，则此弧所在圆的半径为________.14. （1分） (2017八下·临沭期中) 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是________（只填一个）．15. （1分） (2017九上·丹江口期中) 如图，CA，CB分别切⊙O于点A，B，D为圆上不与A，B重合的一点，已知∠ACB=58°，则∠ADB的度数为________．16. （1分）(2020·武汉模拟) 已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，5），且无论m为何值，不等式a+b≥am2+bm 恒成立，则关于x的方程ax2+bx+c＝5的解为________.三、解答题 (共8题；共64分)17. （5分）(2019·方正模拟) 先化简再求值：÷（a﹣），其中a＝2cos30°+1，b＝tan45°．18. （10分） (2019九上·揭西期末) 如图所示，AB平分∠CAD，∠ABC＝∠D＝90°.（1）求证：△ABC∽△ADB；（2）若AC＝6cm，AD＝4 cm，求AB的长.19. （2分）将分别标有数字1、2、3的3个质地和大小完全相同的小球装在一个不透明的口袋中．（1）若从口袋中随机摸出一个球，其标号为奇数的概率为多少？（2）若从口袋中随机摸出一个球，放回口袋中搅匀后再随机摸出一个球，试求所摸出的两个球上数字之和小于4的概率（用树状图或列表法求解）．20. （2分） (2019七下·南海期末) 已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B＝60°；求∠AEC的度数．21. （10分）(2020·永嘉模拟) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C.（1）求a，b的值；（2）若点P为直线BC上一点，点P到A，B两点的距离相等，将该抛物线向左（或向右）平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点P，求新抛物线的顶点坐标.22. （10分）月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售.已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量 (万件)与销售价格（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分.设公司销售这种电子产品的年利润为（万元）.（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本.）（1）请求出（万件）与（元/件）之间的函数关系式；（2）求出第一年这种电子产品的年利润（万元）与（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值；（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格（元）定在8元以上（），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润（万元）与销售价格（元/件）的函数示意图，求销售价格（元/件）的取值范围.23. （15分）(2016·青海) 如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．（1）求证：∠BME=∠MAB；（2）求证：BM2=BE•AB；（3）若BE= ，sin∠BAM= ，求线段AM的长．24. （10分）(2013·湛江) 如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，﹣5）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共64分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、。

山东省泰安市岱岳区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题一．选择题1.如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：观察几何体，可知该几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是，故答案选D.考点：简单几何体的三视图.2. 一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（）A.310B. 925C.920D.35【答案】A【解析】分析】列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率：【详解】列表如下：∵所有等可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种，∴63P2010==两次红，故选A.3.关于x的一元二次方程x2x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【答案】B【解析】解：﹣关于x的一元二次方程2sin0x a+=有两个相等的实数根，﹣△=(24sin0α-=，解得：sinα=12﹣﹣α为锐角，﹣α=30°﹣故选B﹣4.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝30°，则∠BOD的度数是（）A. 75°B. 70°C. 65°D. 60°【答案】D 【解析】 【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案． 【详解】∵∠BCD ＝30°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2×30°＝60°． 故选：D ．【点睛】本题考查了圆的角度问题，掌握圆周角定理是解题的关键．5.一块圆形宣传标志牌如图所示，点A ，B ，C 在O e 上，CD 垂直平分AB 于点D ，现测得8dm AB =，2dm DC =，则圆形标志牌的半径为（ ）A. 6dmB. 5dmC. 4dmD. 3dm【答案】B 【解析】 【分析】连结OD ，OA ，设半径为r ，根据垂径定理得4,2AD OD r ==- ，在Rt ADO ∆中，由勾股定理建立方程，解之即可求得答案.【详解】连结OD ，OA ，如图，设半径为r ，∵8AB =，CD AB ⊥，∴4=AD ，点O 、D 、C 三点共线，∵2CD =， ∴2OD r =-， 在Rt ADO ∆中， ∵222AO AD OD =+，， 即2224(2)r r =+-， 解得=5r ， 故选B.【点睛】本题考查勾股定理，关键是利用垂径定理解答．6.如图，平面直角坐标系中，⊙P 经过三点A﹣8﹣0﹣﹣O﹣0﹣0﹣﹣B﹣0﹣6），点D 是⊙P 上的一动点．当点D 到弦OB 的距离最大时，tan ∠BOD 的值是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接AB ，过点P 作PE ⊥BO ，并延长EP 交⊙P 于点D ，求出⊙P 的半径，进而结合勾股定理得出答案．【详解】解：如图，连接AB ，过点P 作PE ⊥BO ，并延长EP 交⊙P 于点D﹣ 此时点D 到弦OB 的距离最大， ∵A﹣8﹣0﹣﹣B﹣0﹣6﹣﹣ ∴AO=8﹣BO=6﹣ ∵∠BOA=90°﹣∴，则⊙P 的半径为5﹣ ∵PE ⊥BO﹣ ∴BE=EO=3﹣∴∴ED=9﹣∴tan∠BOD=EDEO=3﹣故选B﹣【点睛】本题考查了圆周角定理以及勾股定理、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键．7.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则函数值y随x值的增大而减小时，x的取值范围是（）A. x＜1B. x＞1C. x＜2D. x＞2【答案】A【解析】【分析】首先根据抛物线与坐标轴的交点确定对称轴，然后根据其开口方向确定当x满足什么条件数值y随x值的增大而减小即可．【详解】∵二次函数图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1、3，∴AB中点坐标为（1，0），而点A与点B是抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵开口向上，∴当x＜1时，y随着x的增大而减小，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及判断方法是解题的关键．8.已知圆锥的高为12，底面圆的半径为5，则该圆锥的侧面展开图的面积为（）A. 65πB. 60πC. 75πD. 70π【答案】A【解析】【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【详解】∵圆锥的高为12，底面圆的半径为5，＝13，∴圆锥的侧面展开图的面积为：π×13×5＝65π，故选：A．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的面积问题，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．9.已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则函数y＝ax+b与y＝cx的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用二次函数、一次函数、反比例函数的性质分析得出答案．【详解】∵二次函数开口向下，∴a＜0，∵二次函数对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，∴b＞0，∵抛物线与y轴交在负半轴，∴c＜0，∴y＝ax+b图象经过第一、二、四象限，y＝cx的图象分布在第二、四象限，故选：C．【点睛】本题考查了函数的性质以及图象问题，掌握二次函数、一次函数、反比例函数的性质是解题的关键．10.如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是»AC上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=45，则AE的长是（）A1 B. 1.2 C. 2 D. 3【答案】A【解析】【分析】利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE和△BCE边长之间的关系，利用相似比求出线段AE的长度即可．.【详解】解：∵等腰Rt △ABC﹣BC=4﹣∴AB 为⊙O 的直径，﹣ ∴∠D=90°﹣在Rt △ABD 中，AD=45﹣ ∴BD=285﹣ ∵∠D=∠C﹣∠DAC=∠CBE﹣ ∴△ADE ∽△BCE﹣ ∵AD﹣BC=45﹣4=1﹣5﹣ ∴相似比为1﹣5﹣ 设AE=x﹣ ∴BE=5x﹣ ∴DE=285-5x﹣ ∴CE=28-25x﹣ ∵AC=4﹣ ∴x+28-25x=4﹣ 解得：x=1﹣ 故选A﹣【点睛】题目考查了圆的基本性质、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定及应用等知识点，题目考查知识点较多，是一道综合性试题，题目难易程度适中，适合课后训练．11.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，点(10,0)A ，4sin 5COA ∠=．若反比例函数(0,0)ky k x x=>>经过点C ，则k 的值等于（ ）A. 10B. 24C. 48D. 50【答案】C 【解析】【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点()6,8C ，将点C 坐标代入解析式可求k 的值． 【详解】解：如图，过点C 作CE OA ⊥于点E ，∵菱形OABC 的边OA 在x 轴上，点(10,0)A ， ∴10OC OA ==， ∵4sin 5CECOA OC∠==． ∴8CE =，∴6OE == ∴点C 坐标(6,8) ∵若反比例函数k(0,0)xy k x =>>经过点C ， ∴6848k =⨯= 故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C 坐标．12.已知二次函数y=a （x ﹣h ）2+k （a ＞0），其图象过点A （0，2），B （8，3），则h 的值可以是（ ） A. 6 B. 5C. 4D. 3【答案】D 【解析】【详解】解：根据题意可得当0＜x ＜8时，其中有一个x 的值满足y=2， 则对称轴所在的位置为0＜h ＜4 故选：D【点睛】本题考查二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．二．填空题13.二次函数y＝2（x﹣3）2+4的图象的对称轴为x＝______．【答案】3【解析】【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．【详解】∵y＝2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，对称轴为直线x＝3．故答案为3．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴问题，掌握抛物线的顶点式是解题的关键．14.在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是________﹣【答案】10【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】由题意可得，2n=0.2﹣解得，n=10﹣故估计n大约有10个．故答案为10﹣【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．15.如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA 的长为____．【答案】3【解析】【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，解直角三角形求出AP即可．【详解】连接OA，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∵切线PA交OC延长线于点P，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OC∴AP＝OA g tan60°3．故答案为：3．【点睛】本题考查了圆的切线问题，掌握圆周角定理、圆的切线性质是解题的关键．16.如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是»CD上一点，且»»，连接CF并延长交AD的延长线于点E，DF BC连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为______度．【答案】50【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，∵»»DF BC，∠BAC＝25°，∴∠DCE＝∠BAC＝25°，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°，故答案为：50．【点睛】本题考查了圆内接四边形的问题，掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形外角的性质是解题的关键．17.如图，反比例函数y＝kx（x＞0）经过A，B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，连接AD，已知AC＝1，BE＝1，S△ACD＝32，则S矩形BDOE＝______．【答案】4【解析】【分析】根据三角形的面积求出CD，OC，进而确定点A的坐标，代入求出k的值，矩形BDOE的面积就是|k|，得出答案．【详解】∵AC＝1，S△ACD＝32，∴CD＝3，∵ODBE是矩形，BE＝1，∴OD＝1，OC＝OD+CD＝4，∴A（1，4）代入反比例函数关系式得，k＝4，∴S矩形BDOE＝|k|＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质以及三角形的面积公式是解题的关键．18.如图，ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD＝OA＝2，则图中阴影部分的面积为______．【解析】【分析】根据题意，作出合适的辅助线，由图可知，阴影部分的面积＝△CBF的面积，根据题目的条件和图形，可以求得△BCF的面积，从而可以解答本题．【详解】连接OD、OF、BF，作DE⊥OA于点E，∵ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD＝OA＝2，∴OA＝OD＝AD＝OF＝OB＝2，DC∥AB，∴△DOA是等边三角形，∠AOD＝∠FDO，∴∠AOD＝∠FDO＝60°，同理可得，∠FOB＝60°，△BCD是等边三角形，∵弓形DF的面积＝弓形FB的面积，DE＝OD•sin60°【点睛】本题考查了求阴影部分面积的问题，掌握三角形面积公式是解题的关键．三．解答题19.某超市抽奖规则如下：在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1、2、3、4的4个小球，它们的形状、大小、质地完全相同，顾客先从盒子里随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，然后把小球放回盒子并搅拌均匀，再从盒子中随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，并计算两次记下的数字之和若两次所得的数字之和为8，则可获得50元代金券一张：若所得的数字之和为6，则可获得30元代金券一张；若所得的数字之和为5，则可获得15元代金券一张：其他情况都不中奖．（1）请用列表或树状图的方法，把抽奖一次可能出现的结果表示出来；（2）假如你参加了该超市开业当天的一次抽奖活动，求能中奖的概率P．【答案】（1）见解析；（2）12．【解析】【分析】（1）列表可得其可能出现的结果；（2）从表格中得出能中奖的结果数，再根据概率公式求解可得．【详解】（1）列表得：（2）由列表可知，所有可能出现的结果一共有16种，这些结果出现的可能性相同，其中两次所得数字之和为8、6、5的结果有8种，所以抽奖一次中奖的概率为：P＝816＝12．答：抽奖一次能中奖的概率为12．【点睛】本题考查了概率统计的问题，掌握概率公式是解题的关键．20.如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝mx的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C，BD垂直于y轴于点D．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）求△ABD的面积；（3）若M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）是反比例函数y＝mx上的两点，当x₁＜x₂＜0时，直接写出y₂与y₁的大小关系【答案】（1）y＝﹣x+1，y＝﹣2x；（2）S△ADB＝3；（3）y2＞y1．【解析】【分析】（1）把B点坐标代入y＝mx得m＝﹣2，则反比例函数解析式为y＝﹣2x，再利用反比例函数解析式确定A点坐标；然后利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用一次函数解析式确定C（﹣4，0），根据三角形面积公式，利用S△AOB＝S△AOC+S△BOC进行计算；（3）根据反比例函数的性质求解．【详解】（1）把B（2，﹣1）代入y＝mx得m＝2×（﹣1）＝﹣2；∴反比例函数解析式为y ＝﹣2x， 把A （﹣1，n ）代入y ＝﹣2x得﹣n ＝﹣2，解得n ＝2； 把A （﹣1，2），B （2，﹣1）分别代入y ＝kx+b 得221k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得k 1b 1=-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为y ＝﹣x+1，当y ＝0时，﹣x+1＝0，解得x ＝1，则C （1，0） ∵S △ADB ＝S △ADC ﹣S △BDC ＝12×2×1+12×2×2＝3； （3）y 2＞y 1．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键． 21.如图，海中有两个小岛C ，D ，某渔船在海中的A 处测得小岛D 位于东北方向上，且相距，该渔船自西向东航行一段时间到达点B 处，此时测得小岛C 恰好在点B 的正北方向上，且相距50nmile ，又测得点B 与小岛D 相距． (1)求sin ABD ∠的值；(2)求小岛C ，D 之间的距离(计算过程中的数据不取近似值)．【答案】(1)sin 5ABD ∠=；(2)小岛C 、D 相距50nmile . 【解析】 【分析】(1)如图，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，在Rt AED ∆中，先求出DE 长，然后在在Rt BED ∆中，根据正弦的定义由sin EDABD BD∠=即可求得答案； (2)过点D 作DF BC ⊥，垂足为F ，则四边形BEDF 是矩形，在Rt BED ∆中，利用勾股定理求出BE 长，再由矩形的性质可得40DF EB ==，20BF DE ==，继而得CF 长，在Rt CDF ∆中，利用勾股定理求出CD 长即可.【详解】(1)如图，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，在Rt AED ∆中，AD =45DAE ∠=o ，∴sin 4520DE ==o在Rt BED ∆中，BD =∴sinED ABD BD ∠===； (2)过点D 作DF BC ⊥，垂足为F ，则四边形BEDF 是矩形，在Rt BED ∆中，20DE =，BD =∴40BE ===，∵四边形BFDE 是矩形，∴40DF EB ==，20BF DE ==， ∴30CF BC BF =-=，在Rt CDF ∆中，50CD ===，因此小岛C 、D 相距50nmile .【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形，灵活运用相应三角形函数是解题的关键.22.如图，在△ABC 中，O 是AB 边上点，以O 为圆心，OB 为半径的⊙0与AC 相切于点D ，BD 平分∠ABC ，AD ，AB ＝12，求CD 的长．【答案】CD ＝ 【解析】 【分析】由切线的性质得出AC ⊥OD ，求出∠A ＝30°，证出∠ODB ＝∠CBD ，得出OD ∥BC ，得出∠C ＝∠ADO ＝90°，由直角三角形的性质得出∠ABC ＝60°，BC ＝12AB ＝6，得出∠CBD ＝30°，再由直角三角形的性质即可得出结果．【详解】∵⊙O 与AC 相切于点D ， ∴AC ⊥OD ， ∴∠ADO ＝90°，∵AD OD ，∴tanA ＝OD AD ＝3∴∠A ＝30°， ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠OBD ＝∠CBD ， ∵OB ＝OD ， ∴∠OBD ＝∠ODB ， ∴∠ODB ＝∠CBD ， ∴OD ∥BC ，∴∠C ＝∠ADO ＝90°， ∴∠ABC ＝60°，∴BC ＝12AB ＝6， ∴∠CBD ＝12∠ABC ＝30°，∴CD ＝3BC ＝3×6＝． 【点睛】本题考查了圆的切线问题，掌握圆的切线的性质以及直角三角形的性质是解题的关键． 23.已知二次函数y ＝x 2+2mx+（m 2﹣1）（m 是常数）． （1）若它的图象与x 轴交于两点A ，B ，求线段AB 的长； （2）若它的图象的顶点在直线y ＝12-x+3上，求m 的值． 【答案】AB=2；（2）m ＝4． 【解析】 【分析】（1）令y ＝0求得抛物线与x 轴的交点，从而求得两交点之间的距离即可；（2）用含m 的式子表示出顶点坐标，然后代入一次函数的解析式即可求得m 的值． 【详解】（1）令y ＝x 2+2mx+（m 2﹣1）＝0， ∴（x+m+1）（x+m ﹣1）＝0， 解得：x 1＝﹣m ﹣1，x 2＝﹣m+1，∴AB ＝|x 1﹣x 2|＝|﹣m ﹣1﹣（﹣m+1）|＝2； （2）∵二次函数y ＝x 2+2mx+（m 2﹣1）， ∴顶点坐标为（﹣2m ，()224144m m --），即：（﹣2m ，﹣1）， ∵图象的顶点在直线y ＝12-x+3上， ∴﹣12×（﹣2m ）+3＝﹣1， 解得：m ＝4．【点睛】本题考查了解二次函数的问题，掌握二次函数的性质以及解二次函数的方法是解题的关键． 24.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若DE =C ＝30°，求»AD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）23．【解析】【分析】（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可；（2）连接AD，根据AC是直径，得到∠ADC=90°，利用AB=AC得到BD=CD，解直角三角形求得BD，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD，根据题意证得△AOD是等边三角形，即可OD=AD，然后利用弧长公式求得即可．【详解】（1）证明：连接OD；∵OD＝OC，∴∠C＝∠ODC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE＝∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（2）连接AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD，∴∠OAD＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵DEB＝30°，∠BED＝90°，∴CD＝BD＝2DE＝∴OD＝AD＝tan30°•CD=3⨯，∴»AD长为：6022 1803ππ⋅=．【点睛】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．25.如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A﹣1﹣0﹣﹣B﹣3﹣0﹣，交y轴于点C﹣﹣1﹣求这个二次函数的表达式；﹣2﹣点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；﹣3﹣直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M﹣N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．【答案】﹣1）这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3﹣﹣2﹣S△BCP最大=278﹣﹣3）当△BMN是等腰三角形时，m﹣1﹣2﹣【解析】分析：﹣1）根据待定系数法，可得函数解析式；的﹣2）根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE 的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；﹣3）根据等腰三角形的定义，可得关于m 的方程，根据解方程，可得答案．详解：（1）将A﹣1﹣0﹣﹣B﹣3﹣0）代入函数解析式，得309330a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝﹣ 解得14a b ⎧⎨-⎩＝＝﹣ 这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3﹣﹣2）当x=0时，y=3，即点C﹣0﹣3﹣﹣设BC 的表达式为y=kx+b ，将点B﹣3﹣0）点C﹣0﹣3）代入函数解析式，得300k b b +⎧⎨⎩＝＝﹣ 解这个方程组，得13k b -⎧⎨⎩＝＝ 直线BC 的解析是为y=-x+3﹣过点P 作PE ∥y 轴﹣交直线BC 于点E﹣t﹣-t+3﹣﹣PE=-t+3-﹣t 2-4t+3﹣=-t 2+3t﹣∴S △BCP =S △BPE +S CPE =12﹣-t 2+3t﹣×3=-32﹣t -32﹣2+278﹣∵-32﹣0﹣∴当t=32时，S△BCP最大=278.﹣3﹣M﹣m﹣-m+3﹣﹣N﹣m﹣m2-4m+3﹣MN=m2--3|﹣当MN=BM时，①m2--3），解得②m2-3m=-3），解得m=当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°﹣m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°﹣-﹣m2-4m+3﹣=-m+3，解得m=2或m=3（舍），当△BMN是等腰三角形时，m﹣﹣1﹣2﹣点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．。

2019-2020学年山东省泰安市肥城市九年级（上）期末数学试卷1.分别画出下列四组图形，必是相似三角形的为( )A. 两个直角三角形B. 有一个角为110°的两个等腰三角形C. 有一个角为55°的两个等腰三角形D. 两条边对应成比例，其中一边的对角对应相等的两个三角形2.如图，DE是△ABC的中位线，已知△ABC的面积为18cm2，则△ADE的面积为( )A. 92cm2 B. 9cm2 C. 12cm2 D. 6cm23.下列函数，是反比例函数且图象经过第二、四象限是( )A. y=−2xB. y=2x C. y=−3xD. y=−2x24.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA=2，OB=OD=3，OC=4.5，那么下列结论中，正确的是( )A. ∠OAD=∠OBCB. ABCD=12C. S△AOBS△COD=12D. S△AODS△BOC=195.如图，一辆小车沿斜坡向上行驶13米，小车上升的高度5米，则斜坡的坡度是( )A. 1：2.4B. 1：2.6C. 12：13D. 5：136.x=2±√(−2)2−4×3×(−1)2×3是下列哪个一元二次方程的根( )A. 3x2+2x−1=0B. 2x2+4x−1=0C. −x2−2x+3=0D. 3x2−2x−1=07.若A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点都在函数y=kx(k>0)的图象上，若x1<x2<x3，则y1、y2、y3的大小关系不可能是( )A. y1>y2>y3B. y2>y3>y1C. y3>y1>y2D. y3>y2>y18.如图，⊙O中，弦AB⊥CD于E，若∠A=30°，⊙O的半径等于6，则弧AC的长为( )A. 6πB. 4πC. 5πD. 8π9.在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都是格点，则tan∠BAC的值为( )A. 3√510B. 2√55C. 12D. √5510.已知⊙O的半径为5，点P在直线l上，且OP=5，直线l与⊙O的位置关系是( )A. 相切B. 相交C. 相离D. 相切或相交11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3.线段PE的两个端点都在AB上，且PE=1，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，空白部分面积S四边形DPEC的大小变化的情况是( )A. 一直减小B. 一直增大C. 先增大后减小D. 先减小后增大12.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为(12,1)，下列结论：①abc<0；②4ac<b2；③a+b+c<0；④方程ax2+bx+c−1=0一定有两个相等的实数根，其中正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13.若关于x的一元二次方程x2−4x+m=0没有实数根，请写出一个满足条件的m值______．14.若二次函数y=x2−4x+c的图象经过点(0,3)，则函数y的最小值是______．15.在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，D是边AB上的一点，AD=1，E是边AC上的一点(E与端点不重合)，如果以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，那么AE的长是______．16.计算2sin60°tan60°−√2sin45°cos60°的结果为______．17.如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCD的外角∠CDM=70°，则∠AOC的度数为______．18.我国古代数学著作中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门二十步有木，出西门四十五步见木，问：邑方几何？”其大意是：一座正方形城池，西、北边正中各开一道门，从北门往正北方向走20步后刚好有一树木，若从西门往正西方向走45步后正好看到树木，则正方形城池的边长为______步．19.按要求解下列方程．(1)2x2−6x+1=0(用配方法解)(2)9(x−2)2=4(2x−5)2(用你喜欢的方法解)．20.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于B、A两点，与反比例函数y=kx的图象交于点C，连接CO，过C作CD⊥x轴于D，直线AB的解析式为y=−12x+2，CD=3．(1)求tan∠ABO的值和反比例函数的解析式；(2)根据图象直接写0<−12x+2<kx的自变量x的范围．21.如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30√2km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求(1)∠C的度数．(2)A，C两港之间的距离为多少km．22.如图，在△AEC中，B为EC上一点，且满足∠ABD=∠C=∠E．(1)求证：△AEB∽△BCD；(2)当AE//BD时，∠C=30°，CD=10，求AD的长．23、如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，AD是⊙O的直径，E为DA延长线上一点，且∠E=∠DBC，若DB平分∠ADC．(1)求证：BE为⊙O的切线；(2)若CB=10，tan∠ABE=12，求⊙O的面积．24、如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．(1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围；(2)要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？(3)当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？(结果保留两位小数)26、如图△ABC，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=3，CD=1，求△ABC的面积．x+25、如图，抛物线y=−x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y=−122经过点B，C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m.求△PBC面积最大值和此时m的值；(3)Q是抛物线上一点，若∠ABC=∠CBQ，直线BQ与y轴的交点M，请直接写出M的坐标．答案和解析1.【答案】B【解析】解：两个直角三角形不一定相似；因为只有一个直角相等，∴A不一定相似；有有一个角为110°的两个等腰三角形一定相似；因为110°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴B一定相似；一个角为55°的两个等腰三角形不一定相似；因为55°的角可能是顶角，也可能是底角，∴C不一定相似；两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；因为这个对应角不一定是夹角；∴D不一定相似；故选：B．根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定方法得出A、C、D不一定相似，B一定相似；即可得出结果．本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质；熟练掌握相似三角形的判定方法和等腰三角形的性质是解决问题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵DE为中位线，∴DE//BC，DE=12BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC=1：4，∵S△ABC=18cm2，∴S△ADE=92cm2．故选：A．由DE为△ABC的中位线，可得DE//BC，DE=12BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得S△ADE：S△ABC=1：4，又由△ABC的面积为18cm2，即可求出答案．此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．3.【答案】C【解析】解：A、对于函数y=−2x，是正比例函数，不是反比例函数；B、对于函数y=2x，是反比例函数，图象位于一、三象限；C、对于函数y=−3x，是反比例函数，图象位于第二、四象限；D、对于函数y=−2x2，是二次函数，不是反比例函数；故选：C．根据是反比例函数且图象经过第二、四象限判断即可．本题考查了反比例函数、反比例的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．4.【答案】A【解析】解：∵OA=2，OB=OD=3，OC=4.5，∴OA OB =ODOC，∵∠AOD=∠BOC，∴△OAD∽△OBC，∴∠OAD=∠OBC，S△AODS△BOC =49，同理可得△AOB∽△DOC，AB CD =AOOD=23，S△AOBS△COD=49，故B，C，D选项不正确，故选：A．由条件可证明△OAD∽△OBC，△AOB∽△DOC，根据相似三角形的性质可判断结论即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5.【答案】A 【解析】解：由勾股定理得，水平距离=√132−52=12，∴斜坡的坡度=5：12=1：2.4，故选：A．根据勾股定理求出水平距离，根据坡度的概念计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：A、3x2+2x−1=0中，x=−2±√22−4×3×(−1)2×3，不合题意；B、2x2+4x−1=0中，x=−4±√42−4×2×(−1)2×2，不合题意；C、−x2−2x+3=0中，x=2±√(−2)2−4×(−1)×32×(−1)，不合题意；D、3x2−2x−1=0中，x=2±√(−2)2−4×3×(−1)2×3，符合题意；故选：D．用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值；②求出b2−4ac的值(若b2−4ac<0，方程无实数根)；③在b2−4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．7.【答案】D【解析】解：∵k>0，∴反比例函数图象在一、三象限内，且在每个象限内y随x的增大而减小，若0<x1<x2<x3或x1<x2<x3<0，∴y1>y2>y3，若x1<0<x2<x3，则y2>y3>y1，若x1<x2<0<x3，则y3>y1>y2．故不可能是y3>y2>y1，故选：D．根据x1，x2，x3与0的不同大小关系，由反比例函数的性质，可以判断出y1、y2、y3的大小关系，本题得以解决．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．8.【答案】B【解析】解：连接OA、OC，∵AB⊥CD，∴∠AED=90°，∴∠D=90°−∠DAE=60°，由圆周角定理得，∠AOC=2∠D=120°，∴弧AC的长=120π×6180=4π，故选：B．连接OA、OC，根据直角三角形的性质求出∠D，根据圆周角定理求出∠AOC，根据弧长公式计算，得到答案．本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式l=nπr180是解题的关键．9.【答案】C【解析】【分析】考查直角三角形的边角关系，勾股定理等知识，在网格中构造直角三角形是解决问题的关键，熟练利用勾股定理求出边长是前提．连接格点，在网格中构造直角三角形，利用勾股定理求出边长，再利用直角三角形的边角关系求出答案．【解答】解：连接格点D、C，CD=√12+12=√2，AD=√22+22=2√2，AC=√12+32=√10，∵(√2)2+(2√2)2=(√10)2，即CD2+AD2=AC2，∴CD⊥AB，∴tan∠BAC=CDAD =√22√2=12，故选：C．10.【答案】D【解析】解：∵⊙O的半径为5，OP=5，∴点O到直线l的距离≤5，∴直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．故选：D．根据垂线段最短，则点O到直线l的距离≤5，则直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．此题要特别注意OP不一定是点到直线的距离．判断点和直线的位置关系，必须比较点到直线的距离和圆的半径之间的大小关系．11.【答案】C【解析】解：在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=√42+32=5，如右图，过点C作CH⊥AB于H，∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CH，∴CH=AC⋅BCAB =125，由图知，∠ADP=∠ACB=90°，∴DP//CB，∴△ADP∽△ACB，设AP=x，则AD=45x，DP=35x，BE=4−x，∴S四边形DPEC=S△ABC−S△ADP−S△CEB=12×4×3−12×45x×35x−12×125(4−x)，=−625x2+65x+65=−625(x−52)2+2710，由题意知，0≤x≤4，又−625<0，∴根据二次函数的图象及性质可知，S四边形DPEC的值先增大，后减小，故选：C．过点C作CH⊥AB于H，设AP=x，可分别求出△ADP，△BCE，△ABC的面积，相减可得四边形DPEC的面积，由二次函数的图象及性质可知道S四边形DPEC的大小变化的情况．本题考查了相似三角形的判定与性质，四边形的面积，二次函数的图象及性质等，解题关键是能将不规则四边形的面积转化为几个规则图形的面积的和或差．12.【答案】C【解析】解：①∵根据图示知，抛物线开口方向向下，∴a<0．由对称轴在y轴的右侧知b>0，∵抛物线与y轴正半轴相交，∴c>0，∴abc<0．故①符合题意；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2−4ac>0．∴4ac<b2．故②符合题意；③如图所示，当x=1时，y=a+b+c>0，故③不符合题意；④∵二次函数y=ax2+bx+c的最大值为1，即ax2+bx+c≤1，∴方程ax2+bx+c=1有两个相等的实数根．故④符号题意．综上所述，正确的结论有①②④，共3个．故选：C．①根据抛物线的开口方向、对称轴位置和抛物线与y轴的交点坐标即可确定；②根据抛物线与x轴交点个数即可判定；③根据x=1时对应的y的值的符号即可判定；④根据抛物线的最大值为1及二次函数与一元二次方程的关系即可判定．本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+ bx+c(a≠0)的系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．13.【答案】5(答案不唯一)【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−4x+m=0没有实数根，∴△=(−4)2−4m<0，解得：m>4，∴满足条件的m值5(答案不唯一)．故答案为：5(答案不唯一)．根据方程没有实数根得到其根的判别式小于0，据此得到m的取值范围，然后从中找到一个值即可．本题考查了根与系数的关系，解题的关键是知道当方程没有实数根时，其根的判别式小于0．14.【答案】−1【解析】解：∵二次函数y=x2−4x+c的图象经过点(0,3)，∴c=3，∴二次函数为y=x2−4x+3，∵y =x 2−4x +3=(x −2)2−1， ∴函数y 的最小值是−1， 故答案为−1．根据待定系数法求得c 的值，然后把一般式化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，把一般式画出顶点式是关键．15.【答案】45或54【解析】解：∵∠C =90°，AC =4，BC =3， ∴AB =√42+32=5，∵A ，D ，E 三点组成的三角形与△ABC 相似， ∴△ABC∽△ADE 或△ABC∽△AED ， ∴ABAD =ACAE ，或ABAE =ACAD ， ∴51=4AE 或5AE =41， 解得：AE =45，或AE =54，故答案为：45或54．分两种情况，由相似三角形的性质可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理；利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．16.【答案】52【解析】解：2sin60°tan60°−√2sin45°cos60°=2×√32×√3−√2×√22×12=3−12=52，故答案为：52．将三角函数值化为实数，再根据实数的运算法则运算即可．本题考查实数的运算；牢记特殊三角函数值是解题的关键．17.【答案】140°【解析】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠B =∠CDM =70°，由圆周角定理得，∠AOC =2∠B =140°， 故答案为：140°．根据圆内接四边形的性质求出∠B ，根据圆周角定理计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．18.【答案】60【解析】解：设正方形城池的边长为x步，由题意可得，Rt△ABE∽Rt△CED，∴AB CE =AECD，即2012x=12x45，解得，x1=60，x2=−60(不合题意，舍去)，答：正方形城池的边长为60步，故答案为：60．根据题意，可知Rt△ABE∽Rt△CED，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形城池的边长．本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．19.【答案】解：(1)方程变形得：x2−3x=−12，配方得：x2−3x+94=−12+94，即(x−32)2=74，所以，x−32=±√72，解得：x1=3+√72，x2=，3−√72；(2)移项得：9(x−2)2−4(2x−5)2=0，分解因式得：[3(x−2)+2(2x−5)][3(x−2)−2(2x−5)]=0，可得7x−16=0或−x+4=0，解得：x1=167，x2=4．【解析】(1)方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解；(2)移项，方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．此题考查了解一元二次方程−因式分解法及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．20.【答案】解：(1)在直线ABy=−12x+2中，令y=0，解得x=4；令x=0，则y=2，∴A(0,2)，B(4,0)，∴OB=4，OA=2，把y=3代入y=−12x+2，求得x=−2，∴C(−2,3)，∴DB=2+4=6∵CD⊥x轴，∴tan∠ABO=CDBD=36=12，将C(−2,3)代入y=kx，得k=−2×3=−6∴反比例函数解析式为y=−6x；(2)由图象可知，0<−12x+2<kx的自变量x的范围是−2<x<0．【解析】(1)根据直线解析式求得点A、点B以及点C的坐标，利用点C的坐标求得反比例函数解析式；(2)根据图象求得即可．本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积等．求得交点坐标是解题的关键．21.【答案】解：(1)由题意得：∠ACB=20°+40°=60°；(2)由题意得，∠CAB=65°−20°=45°，∠ACB=40°+20°=60°，AB=30√2，过B作BE⊥AC于E，如图所示：∴∠AEB=∠CEB=90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB=30√2，∴AE=BE=√22AB=30，在Rt△CBE中，∵∠ACB=60°，tan∠ACB=BECE，∴CE=BEtan60∘=30√3=10√3，∴AC=AE+CE=30+10√3，∴A，C两港之间的距离为(30+10√3)km．【解析】(1)由由题意即可得出答案；(2)由题意得，∠CAB=65°−20°=45°，∠ACB=40°+20°=60°，AB=30√2，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到答案．本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．22.【答案】(1)证明：∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠E+∠EAB，又∵∠ABD=∠E，∴∠CBD=∠EAB，∵∠C=∠E，∴△AEB∽△BCD．(2)解：作DH⊥BC于H．∵∠C=30°，CD=10，∴DH=12CD=5，∵AE//BD，∴∠CBD=∠E，∵∠C=∠E，∴∠DBC=∠C=∠ABD=30°，∴∠ADB=∠DBC+∠C=60°，∴∠BAD=90°，∵BD平分∠ABC，DA⊥BA，DH⊥BC，∴DA=DH=5．【解析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．(2)作DH⊥BC于H.解直角三角形求出DH，再证明DA=DH即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23.【答案】(1)证明：连接OB，∵∠EAB=∠C，∠E=∠DBC，∴△AEB∽△CBD，∴∠ABE=∠BDC，∵DB平分∠ADC，∴∠BDC=∠BDA，∴∠ADE=∠BDA，∵AD是⊙O的直径，∴∠BDA+∠DAB=90°，∵∠BAD=∠OBA，∴∠EBA+∠ABO=90°，∴BE为⊙O的切线；(2)解：∵∠BDC=∠BDA，∴AB⏜=BC⏜，∴AB=BC=10，∵∠ABE=∠ADB，∴tan∠ABE=tan∠ADB=12，∴ABBD=12，∴BD=20，∴AD=√102+202=10√5，∴⊙O的面积=(10√52)2⋅π=125π．【解析】(1)连接OB，根据相似三角形的性质得到∠ABE=∠BDC，根据角平分线的定义得到∠BDC=∠BDA，求得∠ADE=∠BDA，根据切线的判定定理即可得到结论；(2)解直角三角形得到BD=20，由勾股定理得到AD=√102+202=10√5，根据圆的面积公式即可得到结论．本题考查切线的性质和判定，解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．24.【答案】解：(1)根据题意，得S=x(24−3x)=−3x2+24x，∵0<24−3x≤10，∴143≤x<8．答：S与x的函数关系式为S=−3x2+24x，x值的取值范围是143≤x<8．(2)根据题意，得当S=45时，−3x2+24x=45，整理，得x2−8x+15=0，解得x1=3，x2=5，当x=3时，BC=24−9=15>10不成立，当x=5时，BC=24−15=9<10成立．答：AB的长为5m．(3)S=−3x2+24x=−3(x−4)2+48∵143≤x<8，对称轴x=4，开口向下，∴当x=143m时，有最大面积的花圃．即x=143m，最大面积为：24×143−3×(143)2=46.67m2．答：当AB的长是143米时，围成的花圃的面积最大，最大面积为46.67m2．【解析】(1)根据矩形的面积即可写出函数关系式；(2)根据(1)中所得函数关系式当S为45时，列出一元二次方程即可求出AB的长；(3)根据(1)中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积．本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是综合掌握二次函数和一元二次方程的应用．25.【答案】解：(1)针对于直线y=−12x+2，令x=0，则y=2，∴C(0,2)，令y=0，则−12x+2=0，∴x=4，∴B(4,0)，∵抛物线y=−x2+bx+c过点B，点C，∴{c=2−16+4b+c=0，∴{b=72c=2，∴抛物线的解析式为y=−x2+72x+2；(2)如图1，过点P作PD//y轴交直线BC于D，∵点P的横坐标为m，∴P(m,−m2+72m+2)，D(m,−12m+2)，∴PD=−m2+72m+2−(−12m+2)=−m2+4m，∴S△PBC=12PD(x B−x C)=12(−m2+4m)×4=−2(m−2)2+8，当m=2时，S△PBC最大，其值为8．(3)如图2，过点C作CN⊥BM于N，∴∠MNC=90°=∠BOC，∵∠ABC=∠CBQ，∴CN=OC=2，∵∠CMN=∠BMO，∠CNM=∠BOM=90°，∴△MNC∽△MOB，∴MN MO =CNOB，∴MN OM =24，∴OM=2MN，∴CM=OM−OC=2MN−2，在Rt△CNM中，根据勾股定理得，MN2+CN2=CM2，∴MN2+4=(2MN−2)2，∴MN=0(舍)或MN=83，∴OM=2MN=163，∴M(0,163).【解析】(1)先确定出点B，C坐标，再代入抛物线解析式中，建立方程组求解即可得出结论；(2)先表示出点P，D坐标，进而表示出PD，再用三角形的面积公式建立函数关系，即可得出结论；(3)先求出CN=2，再判断出△MNC∽△MOB，得出OM=2MN，再用勾股定理建立方程求出MN，即可得出结论．此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积公式，勾股定理，用方程的思想解决问题是解本题的关键．26.【答案】解：过点B作BE⊥AC于点E，交AD于F，∵∠BAC=45°，∴∠ABE=∠BAC=45°，∴AE=BE，∵∠C+∠DAC=90°，∠C+∠EBC=90°，∴∠DAC=∠EBC，且∠AEF=∠BEC=90°，AE=BE，∴△AEF≌△BEC(AAS)∴AF=BC=BD+CD=4，EF=CE，∵∠ADC=∠BDF=90°，∠DAC=∠DBF，∴△ADC∽△BDF，∴AD BD =DCDF，∴4+DF3=1DF，∴DF=2+√7，DE=−2−√7(舍去)，∴S△ABC=12×4×(2+√7)=4+2√7．【解析】过点B作BE⊥AC于点E，交AD于F，由“AAS”可证△AEF≌△BEC，可得AF=BC=BD+CD=4，EF=CE，通过证明△ADC∽△BDF，可得ADBD =DCDF，可得DF长，由三角形面积公式可求解．本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出DF的长是本题的关键．。

山东省泰安市岱岳区19-20学年九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是()A. B. C. D.2.一个不透明的袋子里装有质地、大小都相同的3个红球和1个绿球；随机从中摸出一个球，不再放回，充分搅匀后再随机摸出一球，则两次都摸到红球的概率是()A. 13B. 23C. 12D. 143.关于x的一元二次方程x2−√2x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于()A. 15∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘4.如图，A、B、C在⊙O上，∠A=50°，则∠OBC的度数是()A. 50°B. 40°C. 100°D. 80°5.一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为()A. 6dmB. 5dmC. 4dmD. 3dm6.如图，已知半径为5的⊙A经过点E、B、C、O，且点A的纵坐标为4，O(0,0)，则cos∠OBC的值为()A. 34B. 35C. 45D. 3167.对于二次函数y=x2−2mx−3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个交点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③如果x=3时的函数值与x=2013时的函数值相等，则该函数图象的对称轴是直线x=1005．其中正确的说法是()A. 只有①B. 只有①②C. 只有②③D. 只有①③8.一个圆锥的高为8cm，底面圆的半径为6cm，则这个圆锥的侧面积为()A. 20πcm2B. 30πcm2C. 40πcm2D. 60πcm29.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=bx+a(b≠0)与反比例函数y=a+b+cx(a+b+c≠0)同一平面直角坐标系中的图象大致是()A. B.C. D.10.如图，已知⊙O是等腰直角三角形ABC的外接圆，D是AC⏜上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=45，则AE的长是()A. 3B. 2C. 1D. 1.211.如图，菱形OBAC的边OB在x轴上，点A(8,4)，tan∠COB=4，若3(k≠0)的图象经过点C，则k的值为()反比例函数y=kxA. 6B. 12C. 24D. 3212.9.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A(−5,0)，对称轴为直线x=−2，给出四个结论：①abc>0；②4a−b=0；③若点B(−3,y1).C(0,y2)为函数图象上的两点，则y1<y2；④a+b+c=0；其中，正确结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.二次函数y=−2(x−1)2+5的图象的对称轴为______ ，顶点坐标为______ ．14.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为．15.如图，点A，B，C是⊙O上三点，经过点C的切线与AB的延长线交于D，OB与AC交于E.若∠A=45°，∠D=75°，OB=√6，则CE的长为______．16.如图，四边形ABCD内接于⊙O，B是AC⏜的中点，连接OA，OC，若∠ABC=2∠D，则∠BCO=___________度．(x>0)17.如图，矩形ABCD中，E是AC的中点，点A、B在x轴上，若函数y=6x的图象过D、E两点，则矩形ABCD的面积为______18.如图，在平行四边形ABCD中，AB<AD，∠A=150°，CD=4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.将如图所示的牌面数字分别是1、2、3、4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．(1)从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是__________；(2)从中随机抽出两张牌，牌面数字的和是5的概率是__________；(3)先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字．请用画树状图法或列表法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=−5的图象相交于点A(−1,m)、B(n,−1)两x点．(1)求一次函数表达式；(2)求△AOB的面积．21.某渔船向正东方向航行，上午8点在A处时发现渔船、小岛B和小岛C在同一条直线上，渔船以30海里/小时的速度继续向正东方向航行，上午10点到达位于小岛C的正南方向上的D处，此时小岛B在渔船的西偏北63°的方向上，如图，已知小岛C在小岛B的东偏北45°的方向上，求小岛B和小岛C之间的距离．(结果精确到1海里，参考数据：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0，√2≈1.4)22.如图，在△ABC中，∠C=90°，点O是AB边上一点，以O为圆心，OA为半径的圆与边BC相切于点D．(1)请用无刻度的直尺画出∠BAC的角平分线，并说明理由；(2)若⊙O的半径为2，AC=3，求BD的长．23.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx−3a经过直线y=4x+4与x轴的交点.求抛物线的对称轴．24.如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E．(1)求证：AD=CD．(2)求证：DE为⊙O的切线．(3)若∠C=60°，DE=√3，求⊙O半径的长．25.如图，抛物线y=−x2+bx+c交x轴于点A(−3,0)和点B，交y轴于点C(0,3)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P在抛物线上，且S△AOP=4S△BOC，求点P的坐标；(3)如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：[分析]观察几何体，找出左视图即可．[详解]解：观察几何体，可知该几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是，故答案选D．[点睛]此题考查了简单几何体的三视图，左视图是从物体左边看的视图．2.答案：C解析：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．列举出所有情况，看两个球颜色相同的情况数占总情况数的多少即可．解：列表得：(红，绿)(红，绿)(红，绿)(红，红)(红，红)(绿，红)(红，红)(红，红)(绿，红)(红，红)(红，红)(绿，红)∴一共有12种情况，两次都摸到红球的6种，∴两次都摸到红球的概率是0.5，故选C．3.答案：B解析：.本题属于基础题，本题考查了根的判别式以及特殊角的三角形函数值，解题的关键是求出sinα=12难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程(不等式或不等式组)是关键．，再由α为锐角，即可得出结论．由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出sinα=12解：∵关于x的一元二次方程x2−√2x+sinα=0有两个相等的实数根，∴Δ=(−√2)2−4sinα=2−4sinα=0，，解得：sinα=12∵α为锐角，∴α=30°．故选B．4.答案：B解析：此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．根据圆周角定理可得∠BOC=100°，然后根据BO=CO可得∠OBC=∠OCB，进而可利用三角形内角和定理可得答案．解：∵∠BAC=50°，∴∠BOC=100°，∵BO=CO，∴∠OBC=(180°−100°)÷2=40°，故选：B．5.答案：B解析：解：连接OA，OD，∵点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．AB=8dm，DC=2dm，∴AD=4dm，设圆形标志牌的半径为r，可得：r2=42+(r−2)2，解得：r=5，故选：B．连接OA，OD，利用垂径定理解答即可．此题考查勾股定理，关键是利用垂径定理解答．6.答案：B解析：本题考查圆周角定理，坐标与图形性质，解直角三角形，连接EC，由∠COE=90°，根据圆周角定理可得：EC是⊙A的直径，由圆周角定理可得∠OBC=∠OEC，然后求出cos∠OEC的值，即可得cos∠OBC的值．解：连接EC，∵∠COE=90∘，∴EC是⊙A的直径，∵点A的纵坐标为4，∴OC=8，由勾股定理得：OE=6，∵∠OBC=∠OEC，∴cos∠OBC=cos∠OEC=OE:EC=6:10=3:5．故选B．7.答案：A解析：本题考查了二次函数的性质，a>0是开口向上，对称轴的左侧，y随x的增大而减小；对称轴的右侧，y随x的增大而增大．根据判别式的大小，可判断①，根据a的大小，对称轴的位置，可判断②，根据根据函数值相等，可判断③．解：①y=x2−2mx−3，当x2−2mx−3=0时，△=b2−4ac=(−2m)2−4×1×(−3)=4m2+ 12>0，它的图象与x轴有两个交点，故①正确；②y=x2−2mx−3，a=1>0开口向上，x=−b2a =−−2m2=1，m≥1，对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故②错误；③x=3时的函数值与x=2013时的函数值相等，则该函数图象的对称轴是直线x=1008，故③错误；故选A．8.答案：D解析：解：圆锥的母线=2+82=10cm，圆锥的底面周长2πr=12π(cm)，圆锥的侧面积=12lR=12×12π×10=60π(cm2).故选D．根据圆锥的底面半径和高求出母线长，圆锥的侧面积是展开后扇形的面积，列式计算即可．本题考查了圆锥的计算，圆锥的高、圆锥的底面半径与圆锥的母线组成直角三角形，扇形的面积公式为12lR．9.答案：B解析：此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键.直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，∴a>0，∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，∴a、b异号，即b<0．∵当x=1时，y<0，∴a+b+c<0．∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y=a+b+c的图象分布在第二、四象x限，故选B．10.答案：C解析：本题考查了圆的基本性质、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定及应用等知识点，题目考查知识点较多，是一道综合性试题，题目难易程度适中．利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE 和△BCE边长之间的关系，利用相似比求出线段AE的长度即可．【详解】解：∵△ABC为等腰直角三角形，BC=4，∴AB为⊙O的直径，AC=4，AB=4√2，∴∠D=90°，∵在Rt△ABD中，AD=4，AB=4√2，5∴BD=28，5∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE，∴△ADE∽△BCE，∶4=1∶5，∵AD∶BC=45∴△ADE与△BCE的相似比为1∶5，−5x，设AE=x，则BE=5x，DE=285∴CE=28−25x，∵AC=4，∴x+28−25x=4，解得x=1，即AE=1．故选C．11.答案：B解析：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k.也考查了菱形的性质，作AH⊥x轴于H，利用菱形的性质得到OC//AB，AC//OB，OB=AB=AC，所以∠ABH=∠COB，在Rt△ABH中，利用正切的定义得到BH=3，则OB=5，从而得到C(3,4)，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值．解：作AH⊥x轴于H，如图，∵A(8,4)，∴OH=8，AH=4，∵四边形ABOC为菱形，∴OC//AB，AC//OB，OB=AB=AC，∴∠ABH=∠COB，在Rt△ABH中，tan∠ABH=AHBH =43，∴BH=34AH=3，∴OB=AB=5，∴C(3,4)，∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点C，∴k=3×4=12．故选B．12.答案：C解析：根据二次函数图象的性质即可判断．【详解】解：由图象可知：开口向下，故a<0，抛物线与y轴交点在x轴上方，故c>0，<0，∵对称轴x=−b2a∴b<0，∴abc>0，故①正确；∵对称轴为x=−2，=−2，∴−b2a∴b=4a，∴4a−b=0，故②正确；当x<−2时，此时y随x的增大而增大，∵点B(−3,y1)与对称轴的距离比C(0,y2)与对称轴的距离小，∴y1>y2，故③错误；∵图象过点A(−5,0)，对称轴为直线x=−2，∴点A关于x=−2对称点的坐标为：(1,0)令x=1代入y=ax2+bx+c，∴y=a+b+c=0，故④正确，故选：C．此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于根据函数图象进行解答13.答案：x=1；(1,5)解析：解：∵y=−2(x−1)2+5，∴抛物线顶点坐标为(1,5)，对称轴为x=1，故答案为：x=1，(1,5)．由抛物线解析式可求得其顶点坐标及对称轴．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k)．14.答案：15解析：本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．属于基础题．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．×100%=20%，解：由题意可得3a解得a=15．故答案为15．15.答案：2√2解析：解：连接OC，如图，∵∠A=45°，∠D=75°，∴∠ACD=60°，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠OCE=30°，∵∠BOC=2∠A=90°，∴OB//CD，∴∠CEO=∠ACD=60°，在Rt△COE中，OB=OC=√6，CE=2OE，由勾股定理，CE2=OE2+OC2，即4OE2=OE2+6，解得OE=√2(负值舍去)，∴CE=2OE=2√2．故答案为2√2．连接OC，如图，先根据三角形内角和计算出∠ACD=60°，再根据切线的性质得∠OCD=90°，∠OCE= 30°，根据圆周角定理得∠BOC=90°，则可判定OB//CD，从而得到∠CEO=∠ACD=60°，然后在Rt△COE中利用勾股定理求出OE、CE的长．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造直角三角形图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理，含30°角的直角三角形，勾股定理．16.答案：60解析：本题主要考查了圆周角定理，园内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系等知识点，属于中档题．先根据条件求出∠D的值，由圆心角和圆周角所对的弧相等，得到∠AOC，又因为OA=OC，B是AC⏜的中点，所以AB=BC，∠BCO=∠BAO，从而得到答案．解：因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠ABC+∠D=180°，因为∠ABC=2∠D，所以2∠D+∠D=180°，解得∠D=60°，所以∠AOC=2∠D=120°，在四边形ABCO中，∠OAB+∠OCB=360°−∠AOC−∠ABC=120°，又因为OA=OC，B是AC⏜的中点，所以AB=BC，所以∠BCO=∠BAO=60°，故答案为60．17.答案：12解析：解：过E作EF⊥AB于F，∵点E是矩形ABCD对角线的交点，∴AE=CE，∴EF是△ABC的中位线，∴AD=2EF，设点D的横坐标为m，且点D在反比例函数y=6x(x>0)上，∴D点坐标为(m,6m)，∴AD=6m，∴EF=3m，∴F(2m,3m)，∴AF=m，∴AB=2m，∴矩形ABCD的面积=2m⋅6m=12，故答案为12．过E作EF⊥AB于F，由三角形中位线定理可得AD=2EF，设点D的横坐标为m，D点坐标为(m,6m)，得出AD=6m ，即可得出EF=3m，根据图象上的坐标特征得出E的横坐标为2m，继而得出AB=2m，然后根据矩形的面积公式即可求得．本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形中位线定理等相关知识，难度适中．18.答案：2π3+√3解析：解：如图，连接OE，作OF⊥DE于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A=150°，∴∠D=30°，则∠COE=2∠D=60°，∵CD=4，∴CO=DO=2，∴OF=12OD=1，DF=ODcos∠ODF=2×√32=√3，∴DE=2DF=2√3，∴图中阴影部分的面积为60⋅π⋅22360+12×2√3×1=2π3+√3，故答案为：2π3+√3．连接OE，作OF⊥DE，先求出∠COE=2∠D=60°、OF=12OD=1，DF=ODcos∠ODF=√3，DE= 2DF=2√3，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得．本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：S=nπr2360是解题的关键．19.答案：(1)12(2)1 3解：(3)根据题意，画树形图如图所示．由树形图可知，共有16种等可能的结果：11，12，13，14，21，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，44；其中恰好是4的位数的共有4种：12，24，32，44，所以P(4的倍数)=．解析：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.根据概率=所求情况数与总情况数之比计算即可解答.依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可． 解：(1)A ，2，3，4共有4张牌，随意抽取一张为偶数的概率为24=12； (2)1+4=5；2+3=5，但组合一共有3+2+1=6，故概率为26=13； 故答案为(1)12；(2)13 (3)见答案．20.答案：解：(1)把A(−1,m)，B(n,−1)代入y =−5x ，得m =5，n =5，∴A(−1,5)，B(5,−1)，把A(−1,5)，B(5,−1)代入y =kx +b 得 {−k +b =55k +b =−1，解得{k =−1b =4， ∴一次函数解析式为y =−x +4；(2)x=0时，y=4，∴OD=4，∴△AOB的面积=S△AOD+S△BOD=12×4×1+12×4×5=12．解析：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，也考查了待定系数法求函数解析式．(1)先利用反比例函数解析式确定A点和B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；(2)先求OD的长，根据面积和可得结论．21.答案：解：由题意得，AD=30×2=60海里，过B作BE⊥CD于E，∵∠CBE=45°，∴∠C=45°，∵∠AD=90°，∴∠A=∠C=45°，∴CD=AD=60，∵BE⊥CD，AD⊥CD，∴BE//AD，∴∠DBE=∠ADB=63°，∴DE=BE⋅tan63°=2BE，∴BE+2BE=CD=60，∴BE=20，∴BC=√2BE=60√2≈84海里，答：小岛B和小岛C之间的距离约为84海里．解析：根据题意求得AD=30×2=60海里，过B作BE⊥CD于E，得到CD=AD=60，根据平行线的性质得到∠DBE=∠ADB=63°，根据三角函数的定义得到DE=BE⋅tan63°=2BE，于是得到结论．本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．22.答案：(1)连接AD，则AD就是∠BAC的角平分线；理由：连接OD，∵BD是圆O的切线，∴∠BDO=90°，又∠C=90°，∴OD//AC，∴∠CAD=∠ODA，∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，∴∠OAD=∠CAD，∴AD平分∠BAC；(2)过O作OE⊥AC于E，则∠OEA=90°，四边形ODCE为j矩形，∴CE=OD=2，∴AE=3−2=1，∴OE=√3，∵OD//AC，∴∠BOD=∠OAE，又∠BDO=∠C=90°，∴△BDO∽△OEA，∴BD：OE=OD：AE，即BD：√3=2：1，∴BD=2√3．解析：本题主要考查切线的性质和相似三角形的判定和性质，证出△BDO∽△OEA是关键．(1)连接OD；根据切线的性质知：OD⊥BC；由∠C=90°，可得：OD//AC，∠CAD=∠ODA；再根据OA=OD，可得∠ODA=∠OAD，进而得出答案；(2)作OE⊥AC，可求出AE、OE，再证△BDO∽△OEA，利用相似三角形的性质可得解．23.答案：解：在y=4x+4中，令y=0，得x=−1，即直线y=4x+4与x轴的交点坐标为(−1,0)．把(−1,0)代入y=ax2+bx−3a，得0=a−b−3a，化简，得b=−2a，∴−b2a =−−2a2a=1，∴抛物线的对称轴为直线x=1．解析：本题考查了二次函数的性质以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程和二次函数的性质．根据抛物线y=ax2+bx−3a经过直线y=4x+4与x轴的交点，求出直线y=4x+4与x轴的交点坐标(−1,0)，再把(−1,0)代入y=ax2+bx−3a即可．24.答案：(1)证明：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵BA=BC，∴AD=CD；(2)证明：连接OD，如图，∵AD=CD，AO=OB，∴OD为△BAC的中位线，∴OD//BC，∵DE⊥BC，∴∠ODE=∠BED=90°，∴OD ⊥DE ，∴DE 为⊙O 的切线；(3)解：在Rt △CDE 中，∠C =60°，DE =√3，∴CE =√33DE =√33×√3=1，∴CD =2CE =2，∵∠A =∠C =60°，AD =CD =2，在Rt △ADB 中，AB =2AD =4，即⊙O 半径的长为2．解析：(1)先利用圆周角定理得到∠ADB =90°，再根据等腰三角形的性质得AD =CD ；(2)连接OD ，如图，先证明OD 为△BAC 的中位线，则OD//BC ，再利用DE ⊥BC 得到OD ⊥DE ，然后根据切线的判定定理得到结论；(3)先在Rt △CDE 中计算出CE =√33DE =2，CD =2CE =2，再利用∠A =∠C =60°，AD =CD =2，然后在Rt △ADB 中利用AB =2AD 求解．本题考查了切线的判定与性质和圆周角定理的应用．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．25.答案：解：(1)把A(−3,0)，C(0,3)代入y =−x 2+bx +c ，得{0=−9−3b +c 3=c， 解得{b =−2c =3， 故该抛物线的解析式为：y =−x 2−2x +3；(2)设点P(x,−x 2−2x +3)，由(1)知，该抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3，则易得B(1,0)， ∵ S △AOP =4S △BOC ，∴12×3×|−x 2−2x +3|=4×12×1×3，整理，得(x +1)2=0或x 2+2x −7=0，解得x =−1或x =−1±2√2，则符合条件的点P 的坐标为：(−1,4)或(−1+2√2,−4)或(−1−2√2,−4)；(3)设直线AC 的解析式为y =kx +t ，将A(−3,0)，C(0,3)代入，得{−3k +t =0t =3， 解得{k =1t =3， 即直线AC 的解析式为y =x +3．设Q 点坐标为(x,x +3)，(−3≤x ≤0)，则D 点坐标为(x,−x 2−2x +3)，QD =(−x 2−2x +3)−(x +3)=−x 2−3x=−(x +32)2+94， ∴当x =−32时，QD 有最大值为94．解析：本题主要考查用待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式，二次函数的性质和最值，三角形的面积．解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．(1)用待定系数法求抛物线解析式的方法，将A 、C 两点坐标代入解析式，建立关于b 、c 的方程，解之即可；(2)利用三角形的面积公式与S △AOP =4S △BOC 即可；(3)先用待定系数法求出直线AC 的解析式，再表示出点D 和点Q 的坐标，继而表示出DQ 的长度，利用二次函数求最值方法求解．。