第四章 第4节 圆周运动

第4节 圆周运动一、圆周运动及其描述 1．匀速圆周运动(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。

(2)速度特点：速度的大小不变，方向始终与半径垂直。

[注1] 2．描述圆周运动的物理量二、匀速圆周运动的向心力1．作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。

2．大小：F ＝ma ＝m v 2r ＝mrω2＝mr 4π2T2＝mr 4π2n 2＝mωv 。

3．方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。

4．来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。

三、离心现象1．定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。

2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势。

3．受力特点(1)当F＝mω2r时，物体做匀速圆周运动，如图所示；(2)当F＝0时，物体沿切线方向飞出；(3)当F<mω2r时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力。

[注5]【注解释疑】[注1] 匀速圆周运动是变速运动，“匀速”指的是速率不变。

[注2] 线速度与角速度的对比理解线速度侧重于描述物体沿圆弧运动的快慢，角速度侧重于描述物体绕圆心转动的快慢。

[注3] 转速n和频率f含义相同，只是单位不同。

[注4] 向心加速度的方向也在时刻改变。

[注5] 物体做匀速圆周运动还是偏离圆形轨道完全是由实际提供的向心力和所需的向心力间的大小关系决定的。

[深化理解]1．对公式v＝ωr的理解(1)当r一定时，v与ω成正比。

(2)当ω一定时，v与r成正比。

(3)当v一定时，ω与r成反比。

2．对a＝v2r＝ω2r的理解(1)当v一定时，a与r成反比。

(2)当ω一定时，a与r成正比。

3．关于向心力的两点注意(1)向心力是效果力，在分析完物体受到的重力、弹力、摩擦力等性质力后，不能另外添加一个向心力。

(2)物体做匀速圆周运动时，向心力由合外力提供，物体做什么样的匀速圆周运动，就需要什么样的合外力，这就给对物体进行受力分析以及求解合力提出了“条件要求”和“思维方向”。

[基础自测]一、判断题(1)物体做匀速圆周运动时，其角速度是不变的。

(√)(2)物体做匀速圆周运动时，其合外力是不变的。

(×)(3)匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比。

(×)(4)匀速圆周运动的向心力是产生向心加速度的原因。

(√)(5)比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，比较物体绕圆心转动的快慢，看周期或角速度。

(√)(6)做匀速圆周运动的物体，当合外力突然减小时，物体将沿切线方向飞出。

(×)(7)摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故。

(×)二、选择题1．如图所示，一正方形木板绕其对角线上O1点在ABCD平面内匀速转动。

关于木板边缘的各点的运动，下列说法中正确的是()A．A点角速度最大B．B点线速度最小C．C、D两点线速度相同D．A、B两点转速相同解析：选D正方形木板绕O1点匀速转动时，木板边缘各点的角速度和转速均相同，由于B点不是木板边缘上离O1点最近的点，所以半径也不是最小，根据v＝ωr可知线速度不是最小，故D正确，A、B错误。

C、D两点虽然离O1点的距离相等，但转动过程中线速度的方向不同，两点线速度只是大小相等，故C错误。

2．[粤教版必修2 P37 T2] (多选)如图为甲、乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的关系图线，甲图线为双曲线的一支，乙图线为直线。

由图像可以知道()A．甲球运动时，线速度的大小保持不变B．甲球运动时，角速度的大小保持不变C．乙球运动时，线速度的大小保持不变D．乙球运动时，角速度的大小保持不变解析：选AD题图的图线甲中a与r成反比，由a＝v2r可知，甲球的线速度大小不变，由v＝ωr可知，随r的增大，角速度逐渐减小，A正确，B错误；题图的图线乙中a与r 成正比，由a＝ω2r可知，乙球运动的角速度大小不变，由v＝ωr可知，随r的增大，线速度大小增大，C错误，D正确。

3．(多选)如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。

若小球运动到P点时，拉力F发生变化。

下列关于小球运动情况的说法中正确的是()A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做直线运动B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动C ．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb 做离心运动D ．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc 做向心运动解析：选AB 在水平面上，细绳的拉力提供小球所需的向心力，当F ＝mω2r 时，小球做匀速圆周运动，当拉力突然消失时，小球将沿切线Pa 方向做匀速直线运动，A 正确；当拉力突然减小时，小球将沿Pb 做离心运动，B 正确，D 错误；当拉力突然增大时，小球将沿Pc 做向心运动，C 错误。

高考对本节内容的考查，主要集中在描述圆周运动的物理量及其之间的关系、向心力公式及其应用、对物体做离心运动条件的理解，主要以选择题的形式出现，难度一般。

而与平抛运动、机械能守恒定律等知识相综合也可以计算题的形式呈现，难度中等偏上。

考点一 描述圆周运动的物理量[基础自修类][题点全练]1．[摩擦传动类圆周运动问题]如图所示，水平放置的两个用相同材料制成的轮P 和Q 靠摩擦传动(两轮之间不相对滑动)，两轮的半径R ∶r ＝2∶1。

当主动轮Q 匀速转动时，在Q 轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在Q 轮边缘上，此时Q 轮转动的角速度为ω1，木块的向心加速度为a 1；若改变转速，把小木块放在P 轮边缘也恰能静止，此时Q 轮转动的角速度为ω2，木块的向心加速度为a 2，则( )A ．ω1ω2＝12B ．ω1ω2＝21C ．a 1a 2＝11D ．a 1a 2＝12解析：选C 根据题述， a 1＝ω12r ，ma 1＝μmg ，联立解得μg ＝ω12r 。

小木块放在P 轮边缘也恰能静止，μg ＝ω2R ＝2ω2r 。

由ωR ＝ω2r 联立解得ω1ω2＝22，选项A 、B 错误。

又因为ma ＝μmg ，所以a 1a 2＝11，选项C 正确，D 错误。

2．[同轴传动类圆周运动问题]汽车后备厢盖一般都配有可伸缩的液压杆，如图甲所示，其示意图如图乙所示，可伸缩液压杆上端固定于后盖上A 点，下端固定于箱内O ′点，B 也为后盖上一点，后盖可绕过O 点的固定铰链转动。

在合上后备厢盖的过程中( )A ．A 点相对O ′点做圆周运动B ．A 点与B 点相对于O 点转动的线速度大小相等C ．A 点与B 点相对于O 点转动的角速度大小相等D ．A 点与B 点相对于O 点转动的向心加速度大小相等解析：选C 在合上后备厢盖的过程中，O ′A 的长度是变化的，因此A 点相对O ′点不是做圆周运动，A 错误；在合上后备厢盖的过程中，A 点与B 点都是绕O 点做圆周运动，相同的时间绕O 点转过的角度相同，即A 点与B 点相对O 点的角速度相等，又由于OB 大于OA ，根据v ＝rω，可知B 点相对于O 点转动的线速度大，故B 错误，C 正确；根据向心加速度a ＝rω2可知，B 点相对O 点的向心加速度大于A 点相对O 点的向心加速度，故D 错误。

3．[圆周运动中的追及相遇(共线)问题]如图所示，质点a 、b 在同一平面内绕质点c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比T a ∶T b ＝1∶k (k ＞1，为正整数)。

从图示位置开始，在b 运动一周的过程中( )A ．a 、b 距离最近的次数为k 次B ．a 、b 距离最近的次数为k ＋1次C ．a 、b 、c 共线的次数为2k 次D ．a 、b 、c 共线的次数为2k －2次解析：选D 设每隔时间T ，a 、b 相距最近， 则(ωa －ωb )T ＝2π，所以T ＝2πωa －ωb ＝2π2πT a －2πT b＝T a T b T b －T a故b 运动一周的过程中，a 、b 相距最近的次数为： n ＝T b T ＝T b －T a T a ＝kT a －T a T a＝k －1即a 、b 距离最近的次数为k －1次，故A 、B 均错误。

设每隔时间t ，a 、b 、c 共线一次，则(ωa －ωb )t ＝π， 所以t ＝πωa －ωb ＝π2πT a －2πT b＝T a T b 2(T b －T a )；故b 运动一周的过程中，a 、b 、c 共线的次数为：n＝T bt＝2(T b－T a)T a＝2kT a－2T aT a＝2k－2故C错误，D正确。

[名师微点]1．圆周运动各物理量间的关系2．常见的三类传动方式及特点(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即v A＝v B。

(2)摩擦传动和齿轮传动：如图丙、丁所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即v A＝v B。

(3)同轴传动：如图戊、己所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v ＝ωr知v与r成正比。

考点二水平面内的匀速圆周运动[师生共研类]1．水平面内的匀速圆周运动轨迹特点运动轨迹是圆且在水平面内。

2．匀速圆周运动的受力特点(1)物体所受合外力大小不变，方向总是指向圆心。

(2)合外力充当向心力。

3．解答匀速圆周运动问题的一般步骤(1)选择研究对象，找出匀速圆周运动的圆心和半径。

(2)分析物体受力情况，其合外力提供向心力。

(3)由F n ＝m v 2r 或F n ＝mrω2或F n ＝mr 4π2T2列方程求解。

[典例] (多选)(2016·浙江高考)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R ＝90 m 的大圆弧和r ＝40 m 的小圆弧，直道与弯道相切。

大、小圆弧圆心O 、O ′距离L ＝100 m 。

赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍。

假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动。

要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g ＝10 m/s 2，π＝3.14)，则赛车( )A ．在绕过小圆弧弯道后加速B ．在大圆弧弯道上的速率为45 m/sC ．在直道上的加速度大小为5.63 m/s 2D ．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s[解析] 赛车做圆周运动时，由F ＝m v 2R 知，在小圆弧上的速度小，故赛车绕过小圆弧后加速，选项A 正确；在大圆弧弯道上时，根据F ＝m v 2R 知，其速率v ＝FR m ＝2.25mgRm ＝45 m/s ，选项B 正确；同理可得在小圆弧弯道上的速率v ′＝30 m/s 。