函数极限的定理

第十三讲、函数极限的性质定理13.1.（唯一性）若极限0lim ()x x f x →存在，则极限值唯一.证明：我们使用反证法加以证明。

假设0lim ()x x f x A →=及0lim ()x x f x B →=，A B <。

取()/2B A ε=−，则存在δ>10，使得当010||x x δ<−<时 3()22A B A B A f x A εε−+=−<<+= （13.1） 存在δ>20，使得当020||x x δ<−<时3()22A B B A B f x B εε+−=−<<+= （13.2） 现取正数12min{,}δδδ=，则当00||x x δ<−<时，由（13.1）与（13.2）可得()()2A B f x f x +<< 矛盾！证毕。

定理13.2 .（函数极限的局部有界性）若极限0lim ()x x f x →存在，则存在δ>0，使得()f x 在邻域0(;)o U x δ内有界.定理13.3. 若0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=且A B <，则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x <.在上面的定理13.3中，取()0g x ≡，则有推论13.1 .( 局部保号性). 若0lim ()x x f x A →=且 A > 0 , ( A < 0 ) 则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()0f x >（()0f x <）.推论13.2 .( 保不等式) 若存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x ≤且0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=，则A B ≤。

导函数极限定理条件：()f x 在(),a b 连续，在()()00,,a x x b 可导，()0,x a b ∈；0lim ()x x f x →'（00lim (),lim ()x x x x f x f x +-→→''）∃∞或为 结论：00()lim ()x x f x f x →''=（0000()lim (),()lim ()x x x x f x f x f x f x +-+-→→''''==）∃∞或为 定理的证明（以0x x +→为例）：洛必达，拉格朗日()000000000000()()()lim lim ()()()()lim lim ()lim ()x x x x x x x x x x f x f x f x f x x x f x f x f x f f x x x x x ξξ++++++→→+→→→-''==--'''===<<-洛拉格 定理的意义：1.若()f x 在(),a b 可导（其实就是在原有条件基础上加0()f x '存在），则()f x '在(),a b 内不能有第一类间断点和无穷间断点；即()f x '在(),a b 内要么连续，要么有震荡间断点；2. 如果函数()f x 在区间I 上有第一类间断点或者无穷间断点，则在区间I 上()f x 没有原函数.3.若()f x 在0x x =处连续，0lim ()x x f x A →'=，则00()lim ()x x f x f x A →''==，即()f x '在0x x =处连续.显示了导函数()f x '连续性与()f x 连续性的不同.震荡间断点情况举例：2111sin ,0,2sin cos ,0,()()()0,0,0,0.x x x x x x x f x g x f x x x ⎧⎧≠-≠⎪⎪'===⎨⎨⎪⎪==⎩⎩()f x 处处可导，()f x '出现了震荡间断点；有：(1)0lim ()x f x →'不存在，(0)f '却存在；(2)()g x 不连续（有震荡间断点），但原函数()f x 存在.应用：分段函数在分段点处的导数1.必须判定()f x 0x x =处的连续性. 2.求出0x x ≠处的()f x '. 3.求00lim (),lim ()x x x x f x f x +-→→''： （1）若存在，则00(),()f x f x +-''存在. （2）若不存在，分情况： 0lim ()x x f x +→'（或0lim ()x x f x -→'）为无穷，则0()f x +'（或0()f x -'）为无穷，0()f x '不存；0lim ()x x f x +→'为震荡，则0()f x +'不确定存不存在，需要用定义判定（局限）.。

函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。

它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。

下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。

一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。

极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。

函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。

常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。

- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。

- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。

- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。

2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。

常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。

3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。

常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。