函数极限的定理

第十三讲、函数极限的性质定理13.1.（唯一性）若极限0lim ()x x f x →存在，则极限值唯一.证明：我们使用反证法加以证明。

假设0lim ()x x f x A →=及0lim ()x x f x B →=，A B <。

取()/2B A ε=−，则存在δ>10，使得当010||x x δ<−<时 3()22A B A B A f x A εε−+=−<<+= （13.1） 存在δ>20，使得当020||x x δ<−<时3()22A B B A B f x B εε+−=−<<+= （13.2） 现取正数12min{,}δδδ=，则当00||x x δ<−<时，由（13.1）与（13.2）可得()()2A B f x f x +<< 矛盾！证毕。

定理13.2 .（函数极限的局部有界性）若极限0lim ()x x f x →存在，则存在δ>0，使得()f x 在邻域0(;)o U x δ内有界.定理13.3. 若0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=且A B <，则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x <.在上面的定理13.3中，取()0g x ≡，则有推论13.1 .( 局部保号性). 若0lim ()x x f x A →=且 A > 0 , ( A < 0 ) 则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()0f x >（()0f x <）.推论13.2 .( 保不等式) 若存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x ≤且0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=，则A B ≤。

导函数极限定理条件：()f x 在(),a b 连续，在()()00,,a x x b 可导，()0,x a b ∈；0lim ()x x f x →'（00lim (),lim ()x x x x f x f x +-→→''）∃∞或为 结论：00()lim ()x x f x f x →''=（0000()lim (),()lim ()x x x x f x f x f x f x +-+-→→''''==）∃∞或为 定理的证明（以0x x +→为例）：洛必达，拉格朗日()000000000000()()()lim lim ()()()()lim lim ()lim ()x x x x x x x x x x f x f x f x f x x x f x f x f x f f x x x x x ξξ++++++→→+→→→-''==--'''===<<-洛拉格 定理的意义：1.若()f x 在(),a b 可导（其实就是在原有条件基础上加0()f x '存在），则()f x '在(),a b 内不能有第一类间断点和无穷间断点；即()f x '在(),a b 内要么连续，要么有震荡间断点；2. 如果函数()f x 在区间I 上有第一类间断点或者无穷间断点，则在区间I 上()f x 没有原函数.3.若()f x 在0x x =处连续，0lim ()x x f x A →'=，则00()lim ()x x f x f x A →''==，即()f x '在0x x =处连续.显示了导函数()f x '连续性与()f x 连续性的不同.震荡间断点情况举例：2111sin ,0,2sin cos ,0,()()()0,0,0,0.x x x x x x x f x g x f x x x ⎧⎧≠-≠⎪⎪'===⎨⎨⎪⎪==⎩⎩()f x 处处可导，()f x '出现了震荡间断点；有：(1)0lim ()x f x →'不存在，(0)f '却存在；(2)()g x 不连续（有震荡间断点），但原函数()f x 存在.应用：分段函数在分段点处的导数1.必须判定()f x 0x x =处的连续性. 2.求出0x x ≠处的()f x '. 3.求00lim (),lim ()x x x x f x f x +-→→''： （1）若存在，则00(),()f x f x +-''存在. （2）若不存在，分情况： 0lim ()x x f x +→'（或0lim ()x x f x -→'）为无穷，则0()f x +'（或0()f x -'）为无穷，0()f x '不存；0lim ()x x f x +→'为震荡，则0()f x +'不确定存不存在，需要用定义判定（局限）.。

函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。

它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。

下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。

一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。

极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。

函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。

常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。

- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。

- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。

- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。

2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。

常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。

3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。

常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。

极限存在两个准则
数列极限存在的两个定理
1、 夹逼定理：
若∃N ，当n>N 时，≤≤
n y n x n z 存在条件A y n n =∞→lim =A z n n =∞
→lim ，则：
A x
n n =∞→lim 2、 单调有界数列必收敛定理：
单调上升数列有上界
收敛
单调下降有下界
收敛
函数极限存在的两个定理：
1、 夹逼定理：
存在∃δ>0,在δ<−<0x x 0时，有
n y ≤≤，
n x n z 存在条件A y n x x =→0x x →0
x x → 则：
x lim =，则： A z n =lim A x
n x x =→lim 0
其他趋近过程也有类似结论 2、 单侧极限与双侧极限的关系: A x f =)(lim 0
A x f =−0
0 0 h(x)
0<x<0+δ 只能分别求两侧极限。

3、 一元函数极限不存在时常用的两种方法：
① 左右侧极限存在，但是不相等
)( x -δ<x<
x x x
求极限时，指数函数 y=
x a 反正切函数y=arctanx 反余切函数
y=arccotx 必须要求两侧的极限值。

② ⅰ、∃
→，≠； n x 0x n x 0x
不存在， )(lim n
n x f +∞→ⅱ、∃→，→，
n x 0x n y 0x 但是≠ )(lim n n x f +∞→)(lim n n y f +∞→。

函数极限的证明函数极限是数学中非常重要的概念之一。

它在微积分和实分析等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍函数极限的定义以及证明函数极限的基本定理。

函数极限的定义：设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，对于一切满足0<|x-x0|<δ的x，都有|f(x)-L|<ε成立，则称函数f(x)在点x0处极限为L，记作lim┬(x→x0) f(x)=L。

下面我们来证明函数极限的基本定理。

定理1：函数极限的唯一性如果函数f(x)在点x0处极限存在，那么它的极限是唯一确定的。

证明：假设函数f(x)在点x0处的极限存在，并且设存在两个极限L1和L2，且L1≠L2。

我们来证明这个假设不成立。

由于lim┬(x→x0) f(x)=L1，根据函数极限的定义，对于任意给定的ε>0，存在一个δ1>0，对于所有满足0<|x-x0|<δ1的x，都有|f(x)-L1|<ε。

同理，由于lim┬(x→x0) f(x)=L2，根据函数极限的定义，对于任意给定的ε>0，存在一个δ2>0，对于所有满足0<|x-x0|<δ2的x，都有|f(x)-L2|<ε。

我们取ε=|L1-L2|/2，那么存在δ1和δ2，使得对于满足0<|x-x0|<δ1的x，有|f(x)-L1|<ε，以及对于满足0<|x-x0|<δ2的x，有|f(x)-L2|<ε。

选择δ=min{δ1,δ2}，那么满足0<|x-x0|<δ的x，既满足0<|x-x0|<δ1，也满足0<|x-x0|<δ2。

根据上述不等式，我们有：|f(x)-L1|+|f(x)-L2|<2ε根据三角不等式，我们有：|L1-L2|=|f(x)-L1+L1-L2|≤|f(x)-L1|+|L1-L2|<2ε而我们之前选择了ε=|L1-L2|/2，所以上述不等式可以写为：|L1-L2|<2ε=|L1-L2|这与假设L1≠L2相矛盾，所以我们的假设不成立，函数极限的极限是唯一确定的。

函数中心极限定理
函数中心极限定理，是概率论中的重要定理之一。

它指出在一定条件下，若将许多相同分布的随机变量作加和，那么这些随机变量的均值
趋向于正态分布。

函数中心极限定理有三个基本条件：独立、同分布、有限一阶矩。

独
立是指这些随机变量彼此之间没有任何关联；同分布是指这些随机变
量服从相同的分布；有限一阶矩是指这些随机变量的期望存在且有限。

函数中心极限定理的表述如下：令X1，X2，...，Xn为n个独立同分
布的随机变量，它们的期望为μ，方差为σ2，那么这n个随机变量的和Sn的分布，对于任何实数x，都可以表示为
P{Sn≤x}≈Φ (z)
其中z = (x - nμ) / (σ√n)，Φ (z)是标准正态分布的分布函数值。

函数中心极限定理的重要性在于，它将一些随机变量的和，转变成了
均值服从正态分布。

这对于统计学和数据分析非常有用。

例如，如果
我们想估计一个总体的均值，但是由于种种原因只能获得一小部分样本，而且不知道总体的分布形态，这时我们就可以使用函数中心极限
定理来近似估计总体的均值，而不需要知道样本的具体分布。

另外，
函数中心极限定理也可以用于假设检验、构造置信区间等问题的解决。

总之，函数中心极限定理是概率论中非常重要的定理之一，它将随机
变量的和转变成了均值服从正态分布，成为了统计学和数据分析中不
可缺少的工具之一。

然而，在具体应用时还需要注意参数的选择和条
件的满足，在此基础上进行进一步的推断和分析。

夹逼定理,也称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理、挟挤定理、三明治定理，是判定极限存在的两个准则之一，是函数极限的定理。

定义,一.如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件：（1）当n>No时，其中No∈N*，有Yn≤Xn≤Zn，（2）当n→+∞，limYn =a；当n→+∞ ，limZn =a,那么，数列{Xn}的极限存在，且当n→+∞，limXn =a。

证明.,因为limYn=a limZn=a 所以根据数列极限的定义，对于任意给定的正数ε，存在正整数N1，N2，当n>N1时，有〡Yn-a∣﹤ε，当n>N2时，有∣Zn-a∣﹤ε，现在取N=max{No，N1，N2}，则当n>N时，∣Yn-a∣<ε，∣Zn-a∣<ε同时成立，且Yn≤Xn≤Zn，即a-ε<Yn<a+ε，a-ε<Zn<a+ε，有a-ε<Yn≤Xn≤Zn<a+ε，即∣Xn-a∣<ε成立。

也就是说limXn=a二.函数的夹逼定理F(x)与G(x)在Xo连续且存在相同的极限A，即x→Xo时, limF(x)=limG(x)=A则若有函数f(x)在Xo的某邻域内恒有F(x)≤f(x)≤G(x)则当X趋近Xo,有limF(x)≤limf(x)≤limG(x)即A≤limf(x)≤A故limf(Xo)=A简单的说：函数A>B,函数B>C，函数A的极限是X，函数C的极限也是X ，那么函数B的极限就一定是X，这个就是夹逼定理.应用1.设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为：a.若存在N，使得当n>N时，都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限为a.2.夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限。

高数必背定理：函数与极限函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界;如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。

函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

3、函数的极限函数极限的定义中0定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。

函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。

一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。

如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。

函数极限单调有界定理函数极限单调有界定理是数学中的一个重要定理，它与函数的极限、单调性和有界性密切相关。

本文将对这个定理的含义、证明方法以及实际运用进行详细阐述。

一、定理表述设函数$f(x)$在$x_0$的某一去心邻域内有定义，若$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$，而$f(x)$在$x_0$的某一去心邻域内单调，则$f(x)$在该去心邻域内有界。

二、定理证明运用反证法进行证明。

设$f(x)$在$x_0$的某一去心邻域内单调，但不存在较大的正数$M$，使得$|f(x)|\leq M$。

则对于任何正整数$n$，总存在$x_n\in(x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n})$，使得$|f(x_n)|>n$。

由于$f(x)$单调，若在$x_0$左侧存在$x_n$，使得$f(x_n)<0$，则在$x_n$左侧一定有$f(x)<0$，因此$f(x_n)\leq -n$，与$|f(x_n)|>n$矛盾。

同理，若在$x_0$右侧存在$x_n$，使得$f(x_n)>0$，则在$x_n$右侧一定有$f(x)>0$，因此$f(x_n)\geq n$，也与$|f(x_n)|>n$矛盾。

因此，只能有$f(x)\geq0$或$f(x)\leq0$，即$f(x)$的符号在$x_0$左右两侧不变。

设$f(x)\to +\infty$，当$x\to x_0^-$，则对于任给的正数$M$，总存在$x_1\in(x_0-\delta,x_0)$，使得$f(x_1)>M$。

有了上面的符号结论，我们可以设$\epsilon>0$，并设$f(x_2)=A+\epsilon$。

则对于任意正整数$n$，总存在$x_n\in(x_0-\frac{1}{n},x_0)$，使得$f(x_n)>A+\epsilon$。

但这与$f(x)\to A$矛盾。

同理，可以证明当$x\to x_0^+$时，$f(x)\to-\infty$的情形也是不允许的。