课前篇 自主预习
一二 三
(6)由初中函数定义可知上述问题1~4都是函数,它们有哪些共同
特征?
提示:(1)每个问题中的变量均涉及两个非空数集,用A,B来表示;
(2)两个数集间都有一种确定的对应关系,在此关系下,对于数集A
中任意一个x,数集B中都有唯一确定的数y和它对应.
2.填表
设 A,B 是非空的实数集,如果对于集合 A 中的任意一个数 函数的 x,按照某种确定的对应关系 f,在集合 B 中都有唯一确定的 概念 数 y 和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一
定义
名称
符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间
[a,b]
{x|a<x<b} 开区间
(a,b)
{x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b)
{x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b]
一二 三
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2.实数集R及x≥a,x>a,x≤a,x<a如何用区间表示? 提示:
定义 R
{x|x≥a}
符号 (-∞,+∞) [a,+∞)
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变式训练 2(1)集合{x|0<x<1或2≤x≤11}用区间表示
为
.
(2)若集合A=[2a-1,a+2],则实数a的取值范围用区间表示
为
.
解析:(2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b.
∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.
分析:判断两个函数f(x)和g(x)是否是同一个函数的方法是:先求 函数f(x)和g(x)的定义域,如果定义域不同,那么它们不是同一个函 数;如果定义域相同,再化简函数的表达式,如果化简后的函数表达 式相同,那么它们是同一个函数,否则它们不是.
探究一
x→y= ������,x∈[0,4]⇒y∈[0,2],故成立.故选 C.
答案:C
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区间
例3已知集合A={x|5-x≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A∩B用区间可
表示为
.
解析:∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.
∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.
;
(3){x|x<-3或x≥10}用区间表示为
.
解析:(1){x|2<x≤4}用区间表示为(2,4].
(2){x|x>1,且x≠2}用区间表示为(1,2)∪(2,+∞).
答案:(1)(2,4] (2)(1,2)∪(2,+∞)
(3)(-∞,-3)∪[10,+∞)
一二 三
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三、同一个函数 1.(1)一个函数有自变量和因变量两个变量,两个变量和对应关系 可以用任意的字母表示,如f(x)=2x,f(t)=2t,g(a)=2a等,那么,不同的字 母表示对两个函数是否为同一个函数有影响吗? 提示:自变量、因变量和对应关系用什么字母表示与函数无关, 不影响两个函数的关系. 如f(x)=2x,f(t)=2t,g(a)=2a,只要自变量取值范围相同,它们就是同 一个函数.
答案:①④ 反思感悟 结合函数的定义,对集合A中任意一个x,判断在集合B 中是否有唯一确定的y值与之对应.
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变式训练 1集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A
到B的函数的是( )
AB..xx→→yy==���3���2������ C.x→y=23������
2.填空 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的 自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.
一二 三
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3.做一做 已知函数f(x)=|x|,则下列哪个函数与y=f(x)表示同一个函数( )
A.g(x)=( ������)2 B.h(x)= ������2
∴a<3,
∴实数a的取值范围是(-∞,3).
答案:(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,三
探究四
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求函数的定义域 例3求下列函数的定义域:
(1)y=(������+2)0; (2)f(x)=������2-1 − 4-������.
|������|-������
C.s(x)=x
D.y=������������2
答案:B
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函数的定义
例1下列对应是实数集R到R上的一个函数的是
.(只
填序号)
①f:把 x 对应到 x;②g:把 x 对应到27������;③h:把 x 对应到 ������;④r:把 x 对应到 x2.
解析:①中对应关系 f 是 R 到 R 上的一个函数;②中对应关系 g 不 是 R 到 R 上的一个函数,因为当 x=0 时,27������的值不存在;③中对应关 系 h 不是 R 到 R 上的一个函数,因为当 x<0 时, ������的值不存在;④中
对应关系 r 是 R 到 R 上的一个函数.
一二 三
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6.判断正误: (1)对应关系与值域都相同的两个函数是相等函数.( ) (2)函数的值域中每个数在定义域中都只存在一个数与之对应.
()
答案:(1)× (2)×
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一二 三
二、区间的概念及表示 1.阅读教材P64相关内容,关于区间的概念,请填写下表: 设a,b∈R,且a<b,规定如下:
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变式训练 3(1)求函数 y=
2������ + 3 −
1 2-������
+
���1���的定义域.
(2)已知函数 f(x)的定义域是[-1,4],求函数 f(2x+1)的定义域.
2������ + 3 ≥ 0,
解:(1)要使函数有意义,需 2-������ > 0,
个函数
函数的 记法
y=f(x),x∈A
定义域 x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域
值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域
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一二 三
3.一个函数的构成有哪些要素?起决定作用的是哪些?为什么? 提示:定义域A、对应关系f和值域{f(x)|x∈A},共三个要素.起决定 作用的是函数对应关系和定义域,因为函数的值域由函数的定义域 和对应关系确定,当两个函数的定义域和对应关系相同时,值域一 定相同. 4.在函数的定义中,值域与集合B有怎样的关系? 提示:值域是集合B的子集. 5.新的函数定义与传统的函数定义有什么异同? 提示:两个定义中的定义域与值域的意义完全相同;两个定义中 的对应关系实际上也一样,只不过叙述的出发点不同,初中的定义 是从运动变化的观点出发,新定义的对应关系是从集合与对应的观 点出发.
一二 三
一、函数的概念 1.(1)初中我们已经学习过函数的概念,它是如何用函数描述变量 之间的依赖关系的呢? 提示:在一个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定了一个x值,相 应地就确定唯一的一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变 量,y是因变量. (2)教材P60中的问题1,你能得出列车运行0.1 h,0.2 h,0.5 h时列车 行进的路程吗?t的变化范围是多少?变量t与变量S之间有什么关系? 提示:列车运行0.1 h,0.2 h,0.5 h时列车行进的路程分别为35 km,70 km,175 km. 其中t的变化范围是0≤t≤0.5.在t的变化范围内,任给一个t,按照 给定的关系式,都有唯一的一个路程S与之对应.
∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤3.
2
∴函数
f(2x+1)的定义域是
-1,
3 2
.
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同一个函数 例4 试判断以下各组函数是否表示同一个函数: (1)f(x)=( ������)2,g(x)= ������2; (2)y=x0与y=1(x≠0); (3)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z).
{x|x>a} (a,+∞)
{x|x≤a} (-∞,a]
3.判断正误: (1)所有的数集都能用区间表示.( ) (2)所有的区间都能用数集表示.( )
答案:(1)× (2)√
{x|x<a} (-∞,a)
一二 三
课前篇 自主预习
4.做一做:
用区间表示下列集合:
(1){x|2<x≤4}用区间表示为
;
(2){x|x>1,且x≠2}用区间表示为
������-1
分析:观察函数解析式的特点→列不等式(组)→求自变量的取值
范围
解:(1)要使函数有意义,自变量
x
的取值必须满足
������ + 2 ≠ 0, |������|-������ ≠ 0,
即
������ ≠ -2,解得 |������| ≠ ������,
x<0,且
x≠-2.
故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).
函数的概念与性质
3.1.1 函数的概念
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