数学广角-鸽巢问题--整理复习

人教版小学数学六年级下册第五单元
如果没有您爱的滋润，怎么会绽放那么多美好的灵魂之花！
数学广角——鸽巢问题
一、鸽巢问题
1.把n+1(n 是大于0的自然数)个物体放进n 个“鸽笼”中，总有一个“鸽笼”至少放进了2个物体。

2.把多于kn(k 、n 都是大于0的自然数)个物体放进n 个“鸽
笼”中，总有一个“鸽笼”至少放进(k+1)个物体。

二、鸽巢问题的应用
1.如果有n(n 是大于0的自然数)个“鸽笼”，要保证有一
个“鸽笼”至少放进了2个物品，那么至少需要有n+1个
物品。

2.如果有n(n 是大于0的自然数)个“鸽笼”，要保证有一
个“鸽笼”至少放进了(k+1)(k 是大于0的自然数)个物品，
那么至少需要有(kn+1)个物品。

3.(分放的物体总数-1)÷(其中一个鸽笼里至少有的物体
个数-1)=a……b(b<a)，a 就是所求的鸽笼数。

4.利用“鸽巢问题”解决问题的思路和方法:①构造“鸽巢”，
建立“数学模型”;②把物体放入“鸽巢”，进行比较分析;③
说明理由，得出结论。

例如:有4只鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。

提示:解决“鸽巢问题”的关键是找准谁是“鸽笼”，谁是“鸽子”。

鸽巢问题的总结和答题技巧鸽巢问题是组合数学中常见的问题，涉及到把若干个元素分配到若干个集合中，要求每个集合中的元素个数不能超过一个给定值。

以下是鸽巢问题的总结和答题技巧：总结：1. 鸽巢问题中一般都要求每个集合中元素的个数不能超过一个给定值。

2. 鸽巢问题中的鸽子代表元素，集合代表巢。

3. 如果鸽子的数量大于巢的数量乘以每个巢中鸽子的最大数量，那么必然会出现至少一个巢中有两只鸽子。

答题技巧：鸽巢问题一般涉及到计数问题，我们可以通过以下技巧来简化计数过程：1. 确定鸽子的数量和巢的数量。

2. 确定每个巢中鸽子的最大数量。

3. 利用乘法原理计算总方案数。

4. 利用减法原理计算不符合要求的方案数。

5. 用总方案数减去不符合要求的方案数，得到符合要求的方案数。

6. 一般需要将符合要求的方案数转换为比例或百分数。

例如：1. 将12只鸽子放进4个巢里，每个巢最多只能放3只鸽子，问一种分配方案都不重复的可能性？解法：共有4^3种分配方法，但是有其中有放入3个鸽子的情况，会导致至少一个巢有两只鸽子，不符合要求。

所以，需要减去这些不符合要求的方案。

3只鸽子放入每个巢中的情况有4种，所以总共有4^3-4种不重复的可能性。

2. 将10只鸽子分配到6个巢里，每个巢最多只能放2只鸽子，那么至少有几个巢中会有两只鸽子？解法：每个巢最多只能放2只鸽子，所以最多放入6*2=12只。

由于鸽子的数量是10只，所以必然会有至少1只鸽子没有被安排在巢里。

因此，最少会有1个巢中只有1只鸽子，那么剩下的9只鸽子必须被安排在剩下的5个巢中。

根据鸽巢原理，至少会有一个巢中有两只鸽子。

六年级数学下册期末总复习《5单元数学广角——鸽巢问题》必记知识点一、鸽巢问题基本原理•定义：鸽巢问题，也被称为抽屉原理或鸽笼原理，是一种组合数学原理。

它描述的是，如果n 个物体被放入m 个容器（n > m），那么至少有一个容器包含两个或更多的物体。

••简单示例：••如果有 3 个苹果放入 2 个盒子中，至少有一个盒子包含 2 个或更多的苹果。

•如果有 5 只鸽子飞入 4 个鸽笼，至少有一个鸽笼包含 2 只或更多的鸽子。

二、鸽巢问题的数学表达•公式：物体个数÷ 鸽巢个数= 商…… 余数，至少个数= 商+ 1（当余数存在时）。

••应用：••如果有10 个苹果放入9 个抽屉，那么至少有一个抽屉包含至少 2 个苹果（因为10 ÷ 9 = 1 …… 1，至少个数= 1 + 1 = 2）。

三、鸽巢原理的变种•鸽巢原理（二）：把多于kn 个物体任意分进n 个鸽巢中（k 和n 是非0自然数），那么一定有一个鸽巢中至少放进了(k+1) 个物体。

••应用：••如果有15 只鸽子飞入 4 个鸽笼，至少有一个鸽笼包含至少 4 只鸽子（因为15 = 3 × 4 + 3，所以至少有一个鸽笼包含3+1=4 只鸽子）。

四、摸球问题与鸽巢原理•摸同色球：•要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。

•如果有两种颜色的球，至少需要摸 3 个球来保证有两个同色的球；三种颜色则需要摸 4 个球，以此类推。

•极端思想：•在摸球时，先考虑最不利的情况（即先摸出不同颜色的球），然后再考虑下一个球，以确保满足条件。

五、鸽巢原理的应用实例•生日悖论：在一个至少有23 人的群体中，存在至少两个人的生日在同一天的概率超过50%。

•选举投票：在一个有n 个候选人和超过n 个选民的选举中，至少有一个候选人获得了超过1/2 的选票（通过多轮投票或淘汰制）。

六、解题步骤1.分析题意：明确“鸽巢”和“物体”分别是什么。

六年级下数学广角-鸽巢问题知识点甲景点？知识点一：“鸽巢原理”（一）告诉我们，把ｍ个物体任意分放进ｎ个鸽巢中（ｍ和ｎ是非０自然数，且ｍ＞ｎ），那么一定有一个鸽巢中至少放进了２个物体。

知识点二：“鸽巢原理”（二）告诉我们，把多于ｋｎ个物体任意分进ｎ个鸽巢中（ｋ和ｎ是非０自然数），那么一定有一个鸽巢中至少放进了（ｋ＋１）个物体。

知识点三：应用“鸽巢原理”解决简单的实际问题的步骤包括：（１）分析题意，把实际问题转化成“鸽巢问题”，即弄清楚“鸽巢”（“鸽巢”是什么，有几个鸽巢）和分放的物体；（２）设计“鸽巢”的具体形式；（３）运用原理得出某个“鸽巢”中至少分放的物体个数，最终解决问题。

误区警示：误区一的错解在计算抽屉里至少放的书的本数时出错，应该是“３（商）＋１”；误区二的错解在把小球的总数作为要分放物体的数量了，求得的结果也与问题要求不符。

正确的解法是将问题转化为已知鸽巢数量和分的结果，求要分放物体的数量，各种颜色小球的数量并与参与运算。

运用逆推法解决鸽巢问题的方法是，根据“鸽巢原理”（二），用分放的物体总数除以鸽巢数量求出平均每个鸽巢里所放物体的数量和余数，其中至少有一个鸽巢中有（平均每个鸽巢里所放物体的数量＋１）个物体。

例如，对于问题“把２５个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有５个玻璃球？”，可以把玻璃球的总数看成分放的物体总数，把盒子数看成鸽巢数，要使其中一个鸽巢里至少有５个玻璃球，则玻璃球的个数至少要比鸽巢数的（５－１）倍多１个。

因此，正确的解答是（２５－１）÷（５－１）＝６个。

典型例题“XXX组织８６２名同学去参观甲、乙、丙处景点。

规定每名同学至少参观一处，最多可以参观两处，至少有多少名同学参观甲景点？”可以把参观景点的同学数看成分放的物体总数，把景点数看成鸽巢数，要使其中一个鸽巢里至少有参观甲景点的同学数，则同学数至少要比鸽巢数的（２－１）倍多１个。

因此，正确的解答是（８６２－１）÷（２－１）＝８６１名同学。

（期末复习）解答题-数学广角-鸽巢问题（专项突破）一、解答题1．有5种颜色的袜子各10只混装在纸箱内，从纸箱中至少取出多少只，能保证有3双袜子？2．高老头让儿子小高去买馒头，分给高家庄上下老小40口人，请问小高至少要买多少个馒头，才能保证总有人至少能够分到5个馒头？3．9个苹果放在4个抽屉里，“抽屉王”里至少有几个苹果呢？4．7个小朋友相约去看电影，共有《哈利·波特》、《驯龙高手》、《功夫熊猫》三部电影可选择，每个小朋友可选一个电影组合（不重复的两部电影）观看，至少有几个小朋友选的电影组合相同？5．在一个直径为2m的圆形花坛周围放上7盆花，那么至少有2盆花之间的距离不超过1米，为什么？（提示：可以通过计算后画图说明）6．不透明的袋子中，有外形完全一样的红黄蓝，三种颜色的球各10个，每个小朋友从中摸出一个球，至少有多少个小朋友摸球才能保证一定有5个小朋友摸的球颜色一样？7．王老师借来了历史、文艺和科普三种书若干本．每个同学从中任意借一本或两本，那么至少要几个同学借阅才能保证一定有两人借的图书一样？8．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？9．把11支圆珠笔发给5名同学，不管怎么发，总有一名同学至少发到3支圆珠笔。

为什么？10．参加数学竞赛的210名学生中，能否保证有18名或18名以上的学生出生的月份相同？为什么？11．把一些桃子放进了3个盘子里，总有一个盘子里至少有3个桃子，这些桃子一定是7个。

这句话对吗？为什么？12．操场上有20名同学在跳绳，这些同学是六年级3个班的，至少有多少名同学是同一个班的？13．六（2）班有48人，每人至少订一份刊物，现有甲、乙、丙三种刊物，每人有几种选择方式？这个班订相同刊物的至少有多少人？14．“六一”儿童节，李老师拿133个小礼物发给班里的所有学生，如果至少有一名学生拿到了4个小礼物，那么，李老师班里最多有多少名学生？15．张叔叔参加打靶比赛，5发子弹打了47环，至少有2发子弹打了10环你知道为什么吗？16．同学们都喜欢玩“剪刀、石头、布”的游戏吧！4个同学一起玩，同时出，出现的手势会有什么必然的规律呢？17．六（1）班有6名同学参加知识竞赛，满分100分。

六年级下册数学广角鸽巢问题
# 一、鸽巢原理（抽屉原理）的基本概念
1. 定义
把多于公式个的物体放到公式个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

例如：把公式个苹果放到公式个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有公式个苹果。

2. 公式表示
如果物体数除以抽屉数有余数，那么至少有一个抽屉里的物体数等于商加上公式。

用字母表示为：物体数公式抽屉数公式（公式），至少数公式。

# 二、典型题目及解析
（一）简单的鸽巢问题
1. 题目
把公式本书放进公式个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进几本书？
2. 解析
首先计算公式，这里商是公式，余数是公式。

根据鸽巢原理，至少数公式。

也就是说，总有一个抽屉至少放进公式本书。

（二）求物体数的鸽巢问题
1. 题目
一个抽屉里放着若干个玻璃球，要保证有一个抽屉里至少有公式个玻璃球，那么玻璃球的总数至少有多少个？（这里假设抽屉数为公式个）
2. 解析
已知至少数是公式，抽屉数是公式。

根据公式至少数公式，可以推出公式。

那么物体数（玻璃球总数）至少为公式个。

（三）生活中的鸽巢问题
1. 题目
六（1）班有公式名学生，至少有几名学生的生日在同一个月？
2. 解析
一年有公式个月，相当于公式个抽屉，公式名学生相当于物体数。

公式，商是公式，余数是公式。

至少数公式。

所以至少有公式名学生的生日在同一个月。

数学广角—鸽巢问题知识盘点知识点1：鸽巢原理1、原理1：（n+1）只鸽子飞进n（n为整数，n≥2）个鸽巢，则必定有一个鸽巢里至少飞进2只鸽子。

2、原理2：把多于kn个物体任意分放进n个鸽巢中（k和n是非0自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k+1）个物体知识点2：用鸽巢原理解决问题要保证摸出两个同色的球，至少摸出的球的数量要比颜色数多1。

易错集合易错点：运用鸽巢问题解决实际问题典例把16个苹果放进7个抽屉，总有一个抽屉里至少放了（）个苹果；10只鸽子飞进4个巢，总有一个鸽巢至少飞进（）只鸽子。

（个），即平均每个抽屉放2个苹果后，还余2个，余下的2个无论放到哪个抽屉，总有一个抽屉里至少会有2＋1＝3（个）苹果；10只鸽子飞进4个巢，10÷4＝2（只）……2（只），即平均每个鸽巢飞进2只鸽子后，还有2只鸽子没有飞进，余下的2只无论飞进哪个鸽巢里，总有一个鸽巢至少飞进2＋1＝3（只）。

解答16÷7＝2（个）……2（个），2＋1＝3（个）；10÷4＝2（只）……2（只），2＋1＝3（只）。

✨针对练习学校有数学、英语、美术、书法四个兴趣小组，每名学生最多参加两个兴趣小组（可以不参加），至少选多少名学生，才能保证有零名学生参加兴趣小组的情况完全相同？跟踪训练一、选择题1、某小学六年级有38名学生是四月份出生的，那么他们至少有（）人生日在同一天。

A、8B、7C、3D、22、10个同学分到4个班，至少有一个班分到的学生人数不少于（）人。

A、1B、2C、3D、43、一个盒子里装有黄、白乒乓球各5个，要想取出的乒乓球中一定有两个黄色的，则至少取（）个。

A、3B、5C、6D、74、某班有男生25人，女生18人，下面说法正确的是（）。

A、至少有2名男生是在用一个月出生的B、至少有2名女生是在同一个月出生的C、至少有5个人是在同一个月出生的D、以上选项都错误5、在学校科技比赛中，有31名同学报名参加了航模、海模和创意制作三个项目的比赛，总有一个项目至少有（）名同学参加。

中，个物品，，例如:有4只鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。

提示:解决“鸽巢问题”的关键是找准谁是“鸽笼”，谁是“鸽子”。

附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。

1、首先，认真研究考试办法。

这一点对知识水平比较高的考生非常重要。

随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。

最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。

很多老师也会讲解考试的办法。

但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。

有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。

2、其次，试着从考官的角度思考问题。

考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。

如果你只把自己当成一个考生，你难免会惶惶不安，因为你觉得自己完全是个被摆布者。

如果从考官的角度去看考试，你就成了一名主动的参与者。

具体的做法就是，面对那些知识点，你想像你是一名考官，并考虑，你该用什么形式来考这个知识点。

高考前两个半月，我用这个办法梳理了一下所有课程，最后起到了匪夷所思的效果，令我在短短两个半月，从全班第19名升到了全班第一名。

当然，这有一个前提——考试范围内的知识点，我基本已完全掌握。

3、再次，适当思考一下考试后的事。

如觉得未来不可预测，我们必会焦虑。

那么，对未来做好预测，这种焦虑就会锐减。

这时要明白一点：考试是很重要，但只是人生的一个重要瞬间，所谓胜败也只是这一瞬间的胜败，它的确会带给我们很多，但它远不能决定我们一生的成败。