课堂新坐标2016_2017学年高中数学4.2曲线的极坐标方程5常见曲线的极坐标方程学业分层测评

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 4.2 曲线的极坐标方程 5
常见曲线的极坐标方程学业分层测评 苏教版选修4-4
(建议用时：45分钟)
学业达标]
1．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是什么？
【解】 由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox 反向的射线．
2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标．
【解】 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的直角坐标方程分别为x ＋y ＝1和y －x ＝1，两条直线的交点的直角坐标为(0,1)，化为极坐标为(1，π
2
)．
3．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π
6
(ρ∈R )的距离．
【解】 极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x 2
＋y
2
＝4y ，即x 2＋(y －2)2
＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π6
转化为平面直角坐标系中的方程为
y ＝
3
3
x ，即3x －3y ＝0. ∴圆心(0,2)到直线3x －3y ＝0的距离为|0－3×2|
3＋9
＝ 3.
4．已知A 是曲线ρ＝3cos θ上任意一点，则点A 到直线ρcos θ＝1距离的最大值
和最小值分别为多少？
【解】 将极坐标方程ρ＝3cos θ转化成直角坐标方程：
x 2＋y 2＝3x ，
即⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322＋y 2＝94.
ρcos θ＝1即x ＝1，直线与圆相交，所以所求距离的最大值为2，最小值为0.
图4­2­3
5．如图4­2­3，点A 在直线x ＝5上移动，等腰三角形OPA 的顶角∠OPA ＝120°(O 、P 、
A 按顺时针方向排列)，求点P 的轨迹方程．
【解】 取O 为极点，x 轴正半轴为极轴正方向建立极坐标系，则直线x ＝5的极坐标方程为ρcos θ＝5.
设P 、A 的坐标依次为(ρ，θ)，(ρ0，θ0)， 则ρ0＝3ρ，θ0＝θ－30°.
代入直线的极坐标方程ρcos θ＝5，得3ρcos(θ－30°)＝5，即为点P 的轨迹方程．
6．在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝
⎛⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝3.
(1)写出圆C 的极坐标方程；
(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且OQ ∶QP ＝3∶2，求动点P 的轨迹方程．
【导学号：98990014】
【解】 (1)圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π6.
(2)设P 的坐标为(ρ，θ)，因为P 在OQ 的延长线上，且OQ ∶QP ＝3∶2，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35ρ，θ，因为点Q 在圆C 上运动，所以35ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，即ρ＝10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，
故点P 的轨迹方程为ρ＝10cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π6.
7．已知圆M 的极坐标方程为ρ2
－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，求ρ的最大值．
【解】 原方程化为ρ2
－42ρ(
22cos θ＋2
2
sin θ)＋6＝0. 即ρ2
－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0 ∴圆的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－4x －4y ＋6＝0， 圆心M (2,2)，半径为2， ∴ρ
max
＝OM ＋2＝22＋2＝3 2.
能力提升]
8．(江苏高考)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－
3
2
与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．
【解】 在ρsin(θ－π3)＝－3
2中令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P (2，π
4)，
所以圆C 的半径
PC ＝
2 2＋12
－2×1×2cos π4
＝1，
于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.。