2013年1月高三教学质量调研考试理 科 数 学本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页. 考试时间120分钟。
满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题:(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1. 设全集U R =，集合2{|230}M x x x =+-≤，{|14}N x x =-≤≤，则M N 等于A ．{|14}x x ≤≤B ．}31|{≤≤-x xC ．{|34}x x -≤≤D ．{|11}x x -≤≤2. 复数12ii+-表示复平面内的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 设0.30.33,log 3,log a b c e π===则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b << 4. 将函数 ()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后，所得的图象对应的解析式为A ．y =sin 2xB ．y =cos 2xC ．y =2sin(2)3x π+D ．y =sin(2)6x π- 5. 已知函数()()12xx f x e e -=-， 则()f x 的图象 A. 关于原点对称 B ．关于y 轴对称C ．关于x 轴对称 D. 关于直线y x =对称6. 一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面 选项中，不可能是该锥体的俯视图的是11主视图左视图11(第6题)11111111（第11题）7. 已知椭圆方程22143x y +=,双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点是椭圆的顶点, 顶点 是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为A.2B.3C. 2D. 38. 设实数,x y 满足不等式组 1103300x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，则 2z x y =+的最大值为A. 13B. 19C. 24D. 299. 已知等比数列{}n a 满足213562,4a a a a =⋅=，则3a 的值为A.12B. 1C. 2D. 1410. 非零向量,a b 使得||||||a b a b +=-成立的一个充分非必要条件是A. //a bB. 20a b +=C.||||a ba b =D. a b =11. 设函数()2xf x =，则如图所示的函数图象对应的函数是 A. ()||y f x = B. ()||y f x =- C. ()||y f x =-- D. ()||y f x =-12. 已知定义在R 上的函数()f x ，对任意x R ∈，都有()()()63f x f x f +=+成立，若函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称，则()2013f =A.0B.2013C.3D.2013-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分) 13.221x dx =⎰；14. 已知程序框图如右图所示，则输出的i = ； 15. 若圆C 以抛物线24y x =的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆 的标准方程是 ；开始1S =3i =100S ≥i 输出S S i=⨯是否1A. B. C. D.16. 根据下面一组等式123456712354561578+9+10=3411121314156516171819202111122232425262728175S S S S S S S ==+==++==+=++++==+++++==++++++=可得 13521n S S S S -++++= .三、解答题:(本大题共6小题，共74分) 17. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 且满足()2cos cos .b c A a C -= （1）求角A 的大小；（2）若2,3b c ==，求||AB AC +.18. (本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，365,36a S ==， （1）求数列{}n a 的通项公式；（2） 设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .19. (本小题满分12分)设函数()sin x f x e x =（1）求函数()f x 单调递增区间；（2）当[0,]x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值. 20. (本小题满分12分) 已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形,1//,,12AB CD AD AB AD AB CD ⊥===,PD ABCD ⊥面,2PD =,E 是PC 的中点（1）证明：//BE PAD 面； （2）求二面角E BD C --的大小.21. (本小题满分13分)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点()0,1,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ,各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ== （1）求椭圆的标准方程；（2）若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点.22. (本小题满分13分)设函数()2ln f x x ax x =+-.（1）若1a =,试求函数()f x 的单调区间；（2）过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线，证明:切点的横坐标为1； （3）令()()xf xg x e =，若函数()g x 在区间（0，1］上是减函数，求a 的取值范围. 2013届高三教学质量调研考试理科数学参考答案一、 选择题:1.D2. A3. B4. D5. A6.C7.C8.A9.B 10.B 11.C 12.A 二、填空题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分) 13.7314. 9 15. 22(1)13x y -+=; 16. 4n 三、解答题:17. 解：（1）由正弦定理可得：2sin cos sin cos cos sin ,B A C A C A =+ -------------------------3分2s i n c o s s i n ()s B A A C B ∴=+=-----------------------5分1sin 0,cos .2B A ≠∴=.3A π∴=-------------------------------------------------------------8分222(2)2cos AB AC AB AC AB AC A +=++ 72 3.=+---------------------------------------------------------11分723AB AC ∴+=+-------------------------12分18. 解: （1）设{}n a 的公差为d , 36535a S =⎧∴⎨=⎩;则1125656362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩------3分 即112556a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩,-----------------------------------------6分*12(1)21,()n a n n n N ∴=+-=-∈.-------------------------------8分 (2) 2122n an n b -==135212222n n T -∴=++++--------------------------------------10分2(14)2(41)143n n --==-------------------------------------------12分19.解：(1)'()(sin cos )x f x e x x =+ --------- --------------------------------2分2sin()4x e x π=+-----------------------------------4分'()0,sin()0.4f x x π≥∴+≥-----------------------------6分322,22,444k x k k x k ππππππππ∴≤+≤+-≤≤+即 3()2,2,44f x k k k Zππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调增区间为--------------------8分 （2）[]0,,x π∈3310,,44x x πππ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由（）知，是单调增区间，是单调减区间----10分3432(0)0,()0,(),42f f f e πππ===所以43ma x22)43(ππe f f ==,0)()0(min ===πf f f-----------------------------------12分20. (本小题满分12分)证明：取PD 的中点为,F 连接,EF,21,//CD EF CD EF =------------2分 又,,//CD 21AB //AB EF AB EF CD AB =∴=，且 BE //,ABEF AF ∴∴是平行四边形，---------4分BE PAD AF PAD BE //PAD.⊄⊂∴又面，面，面----------------------6分（2）建系：以DA ，DB ，DP 分别为x 轴、y 轴、z 轴，),2,0,0(),0,2,0(),0,1,1(P C B 则2(0,1,)2E------------------------------7分2(1,1,0),(1,0,)2DB BE ==-Fyzx------------------------------8分(,,)n x y z =设平面EDB 的法向量为0202x y x z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩(,,2)(1,1,2)n x x x x ∴=-=----------------------- -------10分 令 x=1,则(1,1,2)n ∴=-又因为ABCD (0,0,1),m =平面的法向量为,22,cos =n m 二面角CBD E --为.450------------------12分21.解：(1)设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，焦距为2c ，-----------------1分由题意知 b =1,且2222222）（）（）（c b a =+，又222a b c =+得32=a .----------------------------------3分所以椭圆的方程为1322=+y x----------------------------5分(2) 由题意设),(),,(),0,(),,0(22110y x N y x M x Q m P ，设l 方程为)(m y t x -=， 由MQ PM 1λ=知),(),(110111y x x m y x --=-λ ∴111λy m y -=-，由题意1≠λ，∴111-=y mλ -----------------7分同理由2PN NQ λ=知221my λ=- ∵321-=+λλ，∴0)(2121=++y y m y y （*）------8分联立⎩⎨⎧-==+)(3322m y t x y x 得032)3(22222=-+-+m t y mt y t∴需0)3)(3(4422242>-+-=∆m t t t m （**）且有33,32222212221+-=+=+t m t y y t mt y y （***） -------10分（***）代入（*）得023222=⋅+-mt m m t ，∴1)(2=mt ，由题意<mt ，∴1-=mt (满足（**）)，----------12分得l方程为1+=ty x ,过定点(1,0),即P 为定点.---------------13分 22.解:（1）1a =时,2()(0)f x x x lnx x =+->-----------------1分1'()21f x x x ∴=+-(21)(1)x x x-+=------------------------3分()()110,,'0,,,'022x f x x f x ⎛⎫⎛⎫∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 的减区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭,增区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭-------------------5分（2）设切点为()(),M t f t ，()1'2f x x ax x=+- 切线的斜率12k t a t=+-，又切线过原点()f t k t =()22212ln 211ln 0f t t a t at t t at t t t t=+-+-=+-∴-+=，即：-------------7分1t =满足方程21ln 0t t -+=，由21,ln y x y x =-=图像可知21ln 0x x -+=有唯一解1x =，切点的横坐标为1；----------------------------------8分或者设()21ln t t t ϕ=-+,()1'20t t tϕ=+>()()0+t ϕ∞在，递增,且()1=0ϕ,方程21ln 0t t -+=有唯一解-----------------9分 （3）()()()''xf x f xg x e-=，若函数()g x 在区间（0，1］上是减函数， 则()()()(0,1],'0,:'x g x f x f x ∀∈≤≤即，所以()212ln 10x x x a x x-+-+-≥---（*）------------10分()()212ln 1h x x x x a x x =-+-+-设()()()222122111'222x x x h x x a a x x x-++=---+=--+ 若2a ≤，则()'0,h x ≤()h x 在(]0,1递减，()()10h x h ≥=即不等式()()',(0,1],f x f x x ≤∀∈恒成立----------------------11分 若2a >,()()232112122'20x x x x x x x ϕϕ=---∴=++> ()x ϕ在(]0,1上递增,()()12x ϕϕ≤=-()()000,1,x x aϕ∃∈=-使得()()0,1,x x x a ϕ∈>-,即()'0h x >,()(]0,1h x x 在上递增,()()10h x h ≤=这与(]0,1x ∀∈,()212ln 10x x x a x x-+-+-≥矛盾----------------------------12分 综上所述,2a ≤-----------------------------------------13分解法二: ()()()''xf x f xg x e-=，若函数()g x 在区间（0，1］上是减函数， 则()()()(0,1],'0,:'x g x f x f x ∀∈≤≤即，所以()212ln 10x x x a x x-+-+-≥-----------------10分 显然1x =,不等式成立当()0,1x ∈时,212ln 1x x xx a x-+-≤-恒成立-------------------------------------11分设()()()22221112ln 21ln ,'11x x x x x xx x x h x h x x x -+--+--+-==-- 设()()()()()223121121ln ,'210x x x x x x x x x x x ϕϕ-+=-+--+-=-+> ()x ϕ在()0,1上递增,()()10x ϕϕ<= 所以()'0h x <-----------------------------12分()h x 在()0,1上递减,()()221112ln 111limlim 2221x x x x xx h x h x x x x →→-+-⎛⎫>==-+++= ⎪-⎝⎭所以2a ≤----------------------------------------------------------------13分。
