初一数学第九章整式复习

第9章《整式乘法与因式分解》考点+易错知识梳理重难点分类解析考点1 运用整式乘法法则进行运算【考点解读】要根据算式的特点确定运算顺序，并正确运用运算法则进行计算. 例1 下列式子中，与2(21)(1)(2)x x x x +--+-的计算结果相同的是( ) A. 221x x -+ B. 223x x -- C. 23x x +- D. 23x - 分析:2222(21)(1)(2)(221)(2)21x x x x x x x x x x x +--+-=-+--+-=-+. 答案:A【规律·技法】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关健. 例2 (1)填空:()()a b a b -+= ; 22()()a b a ab b -++= ; 3223()()a b a a b ab b -+++= ;(2)猜想:1221()()n n n n a b a a b ab b -----++++=… (其中n 为正整数，且2n ≥) ;(3)利用(2)猜想的结论计算:98732222222-+-+-+….分析:(1)根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可;(2)根据(1)中的规律可得结果;(3)原式变形后，利用(2)得出的规律计算即可得到结果. 解答:(1) 22a b - 33a b - 44a b - (2)nn a b -(3)令98732222222S =-+-+-+…，则9873212222221S -=-+-+-+-…98732[2(1)](2222221)3=--⨯-+-+-+-÷… 10(21)3=--÷(10241)3341=-÷=，所以342S =，即98732222222342-+-+-+=….【规律·技法】本题考查了多项式乘以多项式的运算，弄清题中的规律是解本题的关键. 【反馈练习】1.已知m n mn +=，则(1)(1)m n --= .点拨:先化简(1)(1)m n --，再将m n mn +=整体代入计算. 2.计算:(25)(32)b a b a a b ++-= .点拨:先利用乘法分配律计算，再合并同类项. 考点2 乘法公式的应用【考点解读】正确而熟练地掌握乘法公式，在记住公式的基础上强化对公式的具体运用，并在运用公式的过程中把握公式的特点.例3 先化简，再求值: 2(2)()()5()x y x y x y x x y ++-+--，其中5x ==，15y =-. 分析:本题主要考查了整式混合运算中的化简、求值问题，在解题时要注意先把原式进行化简，再把未知数的值代入求解.解答:2(2)()()5()x y x y x y x x y ++-+--222224455x xy y x y x xy =+++--+9xy =.当5x ==，15y =-时，原式1995()95xy ==⨯⨯-=-. 【规律·技法】本题考查整式的混合运算——化简求值，解题的关键是明确整式混合运算的法则.例4 已知250x x +-=，则代数式2(1)(3)(2)(2)x x x x x ---++-的值为 .分析:先利用乘法公式展开，再合并得到原式23x x =+-，然后利用整体代入的方法计算.原式2222134x x x x x =-+-++-23x x =+-.因为250x x +-=， 所以25x x +=，所以原式532=-=. 答案:2 【规律·技法】本题考查的是整式的混合运算——化简求值，在有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似. 【反馈练习】3.已知43x y =，求代数式22(2)()()2x y x y x y y ---+-的值.点拨:先化简，再将43x y =代入计算.4.先化简，再求值:2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =-.点拨:先科用乘法公式化简，再将13x =-代入计算.考点3 因式分解及其应用【考点解读】根据所给多项式的特点确定因式分解的步骤与方法，一般来说，先提公因式，再运用公式法(平方差公式和完全平方公式)，要注意最后必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止.例5 分解因式: 22(2)(2)y x x y +-+.分析:原式利用完全平方公式或平方差公式化简，合并同类项即可得到结果. 解答:解法一: 22(2)(2)y x x y +-+222244(44)y xy x x xy y =++-++ 223()x y =- 3()()x y x y =+-.解法二: 22(2)(2)y x x y +-+[(2)(2)][(2)(2)]y x x y y x x y =++++-+(33)()x y x y =+- 3()()x y x y =+-.【规律·技法】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键. 例6 ()(4)a b a b ab --+分解因式的结果是 .分析:本题无法提取公因式，也无法直接套用公式因式分解，所以考虑先化简整理后再分解因式.()(4)a b a b ab --+ 2254a ab b ab =-++ 2244a ab b =-+ 2(2)a b =-答案: 2(2)a b -【规律·技法】本题主要考查了多项式的乘法运算以及公式法分解因式，体现了这二者间的联系.【反馈练习】5. (2018·连云港)分解因式: 216x -= . 点拨:利用平方差公式进行因式分解即可.6. (2018·成都)已知0.2x y +=，31x y +=，则代数式2244x xy y ++的值为 . 点拨:先把原式因式分解，再将已知等式变形后代入计算求值. 7.如果221()x mx x n ++=+，且0m >，那么n 的值是 . 点拨:看清完全平方式三项的结构，注意0m >的条件，可知n 也大于0. 易错题辨析易错点1 运算中符号出错例1 (2018·无锡月考)计算: 23(4)x x x --+. 错误解答:原式326312x x x =---.错因分析:在进行单项式与多项式乘法运算时，应将单项式与多项式的每一项分别相乘，同时应注意多项式的“项”包括它前面的符号，错解忽略了第二项前面的符号. 正确解答:原式326312x x x =-+-.易错辨析:将多项式看作几个单项式的和直接参与运算. 易错点2 漏乘了多项式中的项“1”例2计算: 13(1)3(2)22x x x x +--.错误解答:原式2221964622x x x x x =-+=-+. 错因分析:单项式x 与多项式112x +相乘时，漏乘了多项式中的项“1”.正确解答:原式2221964722x x x x x x =+-+=-+.易错点3 运算法则理解错误易错辨析:单项式与多项式相乘的实质是乘法分配律的运用. 例3计算: (5)(7)x y x y +-. 错误解答:原式2235x y =-.错因分析:错解只把首项和首项相乘、尾项与尾项相乘，这是初学多项式乘法时最常见错误. 正确解答:原式22227535235x xy xy y x xy y =-+-=--. 易错辨析:进行多项式乘法运算时不要漏乘. 易错点4 运算结果没有化到最简例4计算: 222(3)(3)3(1)x x x x x x x ++----. 错误解答:原式3323233333x x x x x x x =++--++.错因分析:本题在运用法则运算时并没有错，问题在于其结果没有合并同类项，不是最简形式.正确解答:原式3323233333x x x x x x x =++--++36x x =-+. 易错辨析:去括号后，不要忘了合并同类项，将结果化为最简形式. 易错点5 乘法公式混淆导致计算错误 例5计算: 2(25)x y -.错误解答:错解一: 22222(25)(2)(5)425x y x y x y -=-=-.错解二: 22222(25)(2)225(5)2205x y x x y y x xy y -=-+=-+g g. 错因分析:错解一将完全平方公式与平方差公式混淆;错解二忘记了系数要平方.正确解答: 22222(25)(2)225(5)42025x y x x y y x xy y -=-+=-+g g. 易错辨析:正确使用乘法公式是解题的关键.222()2a b a ab b ±=±+.计算中要注意字母、系数都要平方，同时注意符号不要出错.易错点6 运用公式计算时，没有找准“a ”与“b ” 例6 计算: (23)(23)a b c a b c +---.错误解答:(23)(23)a b c a b c +---[(23)](23)a b c a b c =+--- 22(23)a b c =--2224129a b bc c =-+-.错因分析:错解在找平方差公式中的“a ”与“b ”时产生了错误.对于此类题型，只要将各括号内的符号相同项结合为一组，看作公式中的“a ”，再将符号相反项结合为一组，看作公式中的“b ”，就可避免出现上述错误. 正确解答: (23)(23)a b c a b c +--- [(3)2][(3)2]a c b a c b =-+-- 22(3)(2)a c b =-- 222694a ac c b =-+-.易错辨析:两个因式中符号相同的视为“a ”，符号相反的视为“b ”. 易错点7 分解因式不彻底例7 分解因式: 42228(2)x y x y --错误解答:原式42228(2)x y x y --222(4)x y =-4224816x x y y =-+.错因分析:运用完全平方公式是正确的，但分解不彻底，224x y -还可分解为(2)(2)x y x y +-.正确解答:原式4224816x x y y =-+222(4)x y =- 22(2)(2)x y x y =+-.易错辨析:分解因式要分解到不能再分解为止.反馈练习1.下面因式分解正确的是( )A. 221(2)1x x x x ++=++ B. 23(4)4x x x x -=- C. ()ax bx a b x +=+ D. 2222()m mn n m n -+=+ 点拨:因式分解的结果必须为几个因式积的形式. 2.下列运算中，正确的是( )A. 222()a b a b +=+B. 22(2)(2)2a b a b a b +-=- C. 22()()a b a b a b +--=- D. 22()()a b a b a b -+--=- 点拨:利用平方差或完全平方公式运算即可.3. (2018·常州月考)由完全平方公式可知22232355(35)64+⨯⨯+=+=，运用这一方法计算: 224.32108.6420.67900.6790+⨯+= . 点拨:把4.3210看作“a ”，把0.6790看作“b ”，用完全平方公式运算. 4.计算:(1) 234110()2x yz xy -g ； (2) 221(2)32ab ab ab -g ；(3) 2(21)(21)(21)t t t +-+-； (4) (21)(21)x y x y -+--.点拨:注意公式的运用和计算的顺序. 5. (1)已知2(23)4656x y x y --+-=-，求235x y-的值(2)已知230x -=，求代数式22()(5)9x x x x x -+--的值.点拨:把已知或结论中较为繁琐的式子先化简. 6.把下列各式分解因式:(1) 322x x x -+； (2) 2225()9m n n +-； (3) 2(1)(1)a b a -+-； (4) 5x x -点拨:有公因式先提取公因式，再考虑使用乘法公式，注意是否分解彻底. 探究与应用探究1 含字母系数的多项式中的存在问题例1已知22(3)(3)x nx x x m ++-+的展开式中不含2x 和3x 的项，求,m n 的值.点拨:先把原式展开，从中找出含2x 和3x 的项，再让它们的系数分别为0，从而得到关于,m n 的关系式，求解即可.解答:原式432(3)(33)(9)3x n x m n x mn x m =+-++-+-+.因为展开式中不含2x 和3x 的项，所以30330n m n -=⎧⎨+-=⎩，解得63m n =⎧⎨=⎩.故,m n 的值分别是6，3.规律·提示先进行多项式的乘法运算得到展开式，展开式中不含哪一项，则该项的系数为0. 【举一反三】1.已知多项式2x x a ++与2x b +的乘积中含2x 的项的系数为3，含x 的项的系数为2，求a b +=的值.探究2 多项式的乘法与图形面积之间的联系例2 利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性. (1)根据图①写出一个代数恒等式;(2)恒等式22(2)()23a b a b a ab b ++=++，也可以利用图②的面积解释，请用图②的面积说明: 22(2)()23a b a b a ab b ++=++;(3)已知正数,,a b c 和,,m n l 满足a m b n c l k +=+=+=，试构造边长为k 的正方形，利用面积来说明: 2al bm cn k ++<.点拨:(1)利用面积法，各部分面积用代数式表示即可;(2)利用图②的两种面积表示方法即可说明;(3)利用面积法构造正方形，使其边长为a m b n c l k +=+=+=(注意a b c ≠≠，m n l ≠≠)，并且正方形里有长和宽分别是,a l a ；,b m ；,c n 的长方形，通过画成的图③可发现，2al bm cn k ++<.解答:(1)答案不唯一，如:224()()ab a b a b =+--.(2)因为图②的面积可表示为(2)()a b a b ++，也可表示为2223a ab b ++，所以22(2)()23a b a b a ab b ++=++.(3)如图③，构造一个边长为k 的正方形，显然a m b n c l k +=+=+=.根据图形可知正方形内部3个长方形的面积和小于正方形的面积，即2al bm cn k ++<.规律·提示要理解完全平方公式的几何背景及公式间的相互转化，利用几何图形推导代数恒等式时，要注意几何图形整体面积与各部分面积的关系.【举一反三】2.我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图①可以得到22(2)()32a b a b a ab b ++=++.请解答下列问题:(1)写出图②中所表示的数学等式;(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题:已知11a b c ++=，38ab bc ac ++=，求222a b c ++的值;(3)小明同学用3张边长为a 的正方形纸片，4张边长为b 的正方形纸片，7张长和宽分别为,a b 的长方形纸片拼出了一个大长方形，那么大长方形较长一边的边长为多少? (4)小明同学又用x 张边长为a 的正方形纸片，y 张边长为b 的正方形纸片，z 张长和宽分别为,a b 的长方形纸片拼出了一个面积为(257)(1845)b a b ++的大长方形，那么x y z ++= 。

3）x n x 2 x m1
4）m 2n m3n2 m 2n3
同底数幂的乘法
1)
2
2 2
3 3
3) 2 22 213
2)1 12 17
4) (x） (x4 ) (x3）
5) (x）5 x 4 (x）2 x7
6) (x y z）5 ( y z x）2
算
顺
m、n指的都是正整数
序
二、精选例题：
1．判断题：（正确的在括号内填入“√”，错误的 在括号内填入“×”，并说理）
（1） x3 x3 (x6)．2x3 ×
不是同底数幂的乘法， 而是合并同类项。
（2） x3 x 1 x2 (x5)．x6 ×
（3）
1 3
a2
3
(
1 9
)a．5
1 a6 27
×
a4b6
（4） a2b3 2( )a．4b6 ×
不能漏加指数1.
注意系数的乘方、幂的乘 方法则的正确使用。
关注符号
（5）
y m1
2
2
( y 2)m．1
×
不要漏乘2
整式的加减：
1）2a 4b (c 2d )
2）3a 2 3b2 5(a 2b2 -1) 20
3）2x 1 2
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2x2
22 y
1 2
(x
2y)
4
3x2
x2
整式的加减：
1) 1- 3m 2 5m 3 2m ,当m 2 时，求代数式的值
2
3
4
3
2)若m n 1 ,求3 3 m 5 2n 的值.

（2） x3 x1 x2 (x5)．x6 ×
（3）
1 3
a2
3
(
91)a．5
1 a6 27
×
a4b6
（4） a2b3 2( )a．4b6 ×
不能漏加指数1.
注意系数的乘方、幂的乘 方法则的正确使用。
关注符号
（5）
ym1
2
2
( y2)m．1
×
不要漏乘2
11
整式的加减：
1）2a 4b (c 2d)
1 m4n2 8m5 7 5
2x2 xy xy 4x4 y4
6
四、同类项
同类项概念：两同；两无关
已知 3amb4 与 5a 4bn1是同类项，
求（1）m • n 的值.
2
7
四、合并同类项
已知关于x、y的多项式中不含有 xy项，
6x2 2mxy 2y2 4xy 5x 2
求下列代数式的值： m3 2m2 m 1 m3 m 2m2 5
复习9.1-9.9
1
基本概念回顾
1.什么叫做代数式？代数式的值？ 2.什么叫做单项式、多项式？ 3.什么叫做整式？ 4.什么叫做同类项？ 5.什么叫做合并同类项？
2
一、典型代数式
1）a与b的和的平方. 2）a与b的平方的和. 3）a与b的平方和. 4）a与b两数的平方的差. 5）a与b两数的积的倒数.
6) (x y z）5 ( y z x）2
15
8
五、去括号与加括号
1）6x2 （2xy 2x2） (5 4xy) (5x2 2)
2）（m 2m2 m2) (1 m2 m) (2m2 5) 3）100a2 57a 43a 120 17 a2 5 a2 100

感悟新知
知4－讲
二定：确定公式中的a 和b，除a 和b 是单独一个 数或字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须 用括号括起来，表示一个整体.
三套：套用平方差公式进行分解. 四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最 简的.
感悟新知
知4－讲
特别解读
1. 因式分解中的平方差公式法是乘法公式中的平
方差公式逆用的形式.
D 选项中，括号内最后一项漏掉了，应该是a2b＋
5ab－b=b(a2＋5a－1)，故错误.
答案：B
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知识点 4 运用平方差公式分解因式
知4－讲
1. 平方差公式法 用字母表示：a2－b2=(a＋b)(a－b). 文字描述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两 个数的差的积.
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知4－讲
感悟新知
(3) 116a2－ 12ab＋b2 ；
知5－练
解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”“b”，再运用
完全平方公式分解因式.
解：原式=( 14a)2－2×14a·b＋b2 = (14a－b)2.
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知5－练
(4)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.
解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”“b”，再运用
公因式中的字母，各字母的指数取其中次数最低的．
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3. 注意
知2－讲
若多项式各部分中含有相同的多项式因式，则应将其看
成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式.
如3x(x－y)＋x2(x－y)的公因式是x(x－y).
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知2－讲
特别解读 1. 公因式可以是数，也可以是单项式或多项式. 2. 若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可