高考数学高频易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。
也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。
本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。
加强思维的严密性训练。
● 忽视等价性变形，导致错误。
⎩⎨⎧ x >0 y >0 ⇔ ⎩⎨⎧ x + y >0 xy >0 ，但 ⎩⎨⎧ x >1 y >2 与 ⎩⎨⎧ x + y >3 xy >2不等价。
【例1】已知f(x) = a x + xb，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。
错误解法 由条件得⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤+≤-622303ba b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32338-≤≤-b ④ ③+④得 .343)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数bxax x f +=)(，其值是同时受b a 和制约的。
当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。
正确解法 由题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22)2()1(b a f ba f , 解得：).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .337)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。
只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。
●忽视隐含条件，导致结果错误。
【例2】(1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。
利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα有的学生一看到449-，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和。
高考数学复习易做易错题精选平面向量一、选择题：1．在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则⋅的值为 ( )A 20B 20-C 320D 320-错误认为,60BC CA C =︒∴选,从而出错.略解: ︒=120,故⋅202185-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=. 2．关于非零向量a 和b，有下列四个命题：（1）“b a b a +=+”的充要条件是“a 和b的方向相同”；（2）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 的方向相反”； （3）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 有相等的模”； （4）“b a b a -=-” 的充要条件是“a 和b 的方向相同”；其中真命题的个数是 （ ）A 1B 2C 3D 4错误分析:对不等式b a b a b a+≤±≤-取等号的条件认识不清.答案: B.3．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，点P 在线段AB 上且 AP =t AB (0≤t≤1)则² 的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当|OP |cos α最大时，OA ²OP 即为最大。
4．若向量 a =(cos α,sin α) ， b =()ββsin ,cos ， a 与b 不共线，则a 与b 一定满足（ ）A ． 与的夹角等于α-βB ．∥C ．(+)⊥(-)D ． ⊥正确答案：C 错因：学生不能把a 、b 的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。
5．已知向量 =(2cos ϕ，2sin ϕ)，ϕ∈(ππ,2)， =（0,-1)，则 与 的夹角为( )A ．π32-ϕB ．2π+ϕ C ．ϕ-2π D ．ϕ正确答案：A 错因：学生忽略考虑与夹角的取值范围在[0，π]。
6．o 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)²(+-2)=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形正确答案：B 错因：学生对题中给出向量关系式不能转化：2不能拆成(+)。
河南省驻马店市高考数学易错易混解答题精粹解答题含答案有解析1．已知圆C 的圆心为(1，1)，直线40x y +-=与圆C 相切. （1）求圆C 的标准方程；（2）若直线过点(2，3)，且被圆C 所截得的弦长为2，求直线的方程.2．某地统计局调查了10000名居民的月收入，并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图如图所示．（1）求居民月收入在[3000,3500）内的频率； （2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000中用分层抽样的方法抽出100人做进一步分析，则应从月收入在[2500,3000)内的居民中抽取多少人？3．定义在D 上的函数()y f x =，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称函数()y f x =是D 上的有界函数，其中M 称为函数的上界.已知函数1112()1,()2412x xx x m f x a g x m -⋅⎛⎫⎛⎫=+⋅+= ⎪ ⎪+⋅⎝⎭⎝⎭. （1）当1a =时，求函数()y f x =在(,0)-∞上的值域，并判断函数()y f x =在(,0)-∞上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数()y f x =在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围； （3）若0m >，函数()y g x =在[]0,1上的上界是()T m ，求()T m 的解析式. 4．（1）从某厂生产的一批零件1000个中抽取20个进行研究，应采用什么抽样方法？ （2）对（1）中的20个零件的直径进行测量，得到下列不完整的频率分布表：（单位：mm ） 分组频数 频率 [155.5,160.5) 2[160.5,165.5)6[165.5,170.5) 8[170.5,175.5)合计201①完成频率分布表； ②画出其频率分布直方图.5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，38522a a a +=+． （1）求n a ； （2）设数列1{}n S 的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 6．设{}n a 是一个公比为q 的等比数列，且14a ，23a ，32a 成等差数列. （1）求q ；（2）若数列{}n a 前4项的和415S =，令2n n b na =（n *∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n T . 7．已知函数()2sin 22sin 16x x f x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，若()()sin 2f x A x ϕ=+，且A 0≥，02ϕπ≤<，求满足条件的A ，ϕ. 8．已知21()1f x x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. （1）当12a =时，解不等式()0f x ≥； （2）若0a >，解关于x 的不等式()0f x ≤.9．如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，D 为AB 上一点，且1//BC 平面1A CD .（1）求证：CD AB ⊥；（2）若四边形11BCC B 是矩形，且平面11BCC B ⊥平面ABC ，直线1A C 与平面ABC 所成角的正切值等于2，23ACB π∠=，23AB =，求三楼柱111ABC A B C -的体积. 10．已知函数()23sin cos cos f x m x x m x n =++（0m >）. （1）若()y f x =在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的值域为[]1,2，求实数,m n 的值； （2）在（1）的条件下，记ABC ∆的角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若()2f A =-，ABC ∆的面积为3，求边长a 的最小值； （3）当32m =，14n =时，在答题纸上填写下表，用五点法作出()y f x =的图像，并写出它的单调递增区间.2ππ32π2πy11．已知直角梯形ABCD 中， AB CD ∥， AB BC ⊥， 1AB =， 2BC =， 13CD =+，过A 作AE CD ⊥，垂足为E ， G F 、分别为AD CE 、的中点，现将ADE ∆沿AE 折叠，使得DE EC ⊥．（1）求证： BC CDE ⊥平面（2）在线段AE 上找一点R ，使得BDR DCB ⊥平面平面，并说明理由．12．某校准备从高一年级的两个男生,A B 和三个女生,,a b c 中选择2个人去参加一项比赛. （1）若从这5个学生中任选2个人，求这2个人都是女生的概率；（2）若从男生和女生中各选1个人，求这2个人包括A ，但不包括a 的概率. 13．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos a B b A b c -=+. （1）求角A 的大小；（2）若4a =，25b c +=，求ABC ∆的面积.14．已知()()()()1,1,0,1,1,OA OB OC m m R=-=-=∈．若,,A B C 三点共线，求实数m 的值． 15．对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数．（1）下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由； 第一组：；第二组：；（2）设，生成函数．若不等式在上有解，求实数的取值范围．16．设数列{}n a 的前n 项和n S .已知2*112121,,33n n S a a n n n N n +==---∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）是否对一切正整数n ，有121115131n a a a n ++⋯+<-+？说明理由. 17．已知函数21()1()f x x a x x R a ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭. （I ）当12a =时，求不等式()0f x <的解集； （II ）若关于x 的不等式()0f x <有且仅有一个整数解，求正实数．．．a 的取值范围.18．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足：128a a +=，且125,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式．（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+？若存在，请求出n 的最小值；若不存在，请说明理由．19．（6分）已知ABC ∆的顶点()1,2A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为50x y +-=，AC 边上的高BH 所在直线方程为220x y --=. （1）求C 点坐标； （2）求直线BC 的方程.20．（6分）已知三棱锥P ABC -中，AB AC ⊥，AB AP ⊥ .若平面α分别与棱PA PB BC AC 、、、相交于点,,,E F G H 且PC平面α.求证:（1）∥EH FG ； （2）AB FG ⊥. 21．（6分）已知函数，（1）写出函数的解析式；（2）若直线与曲线有三个不同的交点，求的取值范围； （3）若直线与曲线在内有交点，求的取值范围.22．（8分）已知函数()2sin 214f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.求： （1）函数()f x 的最大值、最小值及最小正周期； （2）函数()f x 的单调递增区间.23．（8分）设数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足11b =，22b =，()11n n n n a b b n b ++=+． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ； （3）设数列21log nn n a c b +=，试问是否存在正整数s ，()t s t ≠，使3c ，s c ，t c 成等差数列？若存在，求出s ，t 的值；若不存在，请说明理由.24．（10分）如图，某广场中间有一块绿地OAB ，扇形OAB 所在圆的圆心为O ，半径为r ,3AOB π∠=，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在AB 上选一点C ，过C 修建与OB 平行的小路CD ，与OA 平行的小路CE ，设所修建的小路CD 与CE 的总长为s ，COD θ∠=.（1）试将s 表示成θ的函数()s fθ=；（2）当θ取何值时，s 取最大值？求出s 的最大值.25．（10分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥底面 ABCD ，侧棱PA=PD ＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD=2AB=2BC=2,O 为AD 中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）线段AD 上是否存在点，使得它到平面PCD 3AQQD值；若不存在，请说明理由．26．（12分）某电视台有一档益智答题类综艺节日，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题.答题选手要从“科技”和“文艺”两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分. （1）若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号. 1622779439 4954435482 1737932378 8735209643 8426349164 8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676（2）若采用等距系统抽样法抽取答题选手，且抽取的最小编号为06，求抽取的最大编号.（3）某期节目的10名答题选手中6人选科技类题目，4人选文艺类题目.其中选择科技类的6人得分的平均数为7，方差为53；选择文艺类的4人得分的平均数为8，方差为52.求这期节目的10名答题选手得分的平均数和方差.27．（12分）正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜564. 28．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中13a =（，）， ,b c 为单位向量. (Ⅰ)若a / /c ，求 c 的坐标；(Ⅱ)若2a b + 与 2a b - 垂直，求a 与 b 的夹角θ.29．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且sin cos b A B =. （1）求角B ；（2）若3b =，2c a =，求,a c 的值.30．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点． 求证：(1)AC ⊥BC 1；(2)AC 1∥平面CDB 1.参考答案解答题含答案有解析1．（1）22(1)(1)2x y -+-=；（2）3460x y -+=或2x =．【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离可得：圆心(1,1)C 到直线40x y +-=的距离d ．根据直线40x y +-=与圆C 相切，可得r d =．即可得出圆的标准方程．（2）①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程：3(2)y k x -=-，即：320kx y k -+-=，可得圆心到直线l 的距离d ，又212d +=，可得：k ．即可得出直线l 的方程．②当l 的斜率不存在时，2x =，代入圆的方程可得：2(1)1y -=，解得y 可得弦长，即可验证是否满足条件．【详解】（1）圆心(1,1)C 到直线40x y +-=的距离d ==．直线40x y +-=与圆C 相切，r d ∴==∴圆的标准方程为：22(1)(1)2x y -+-=．（2）①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程：3(2)y k x -=-， 即：320kx y k -+-=，d =，又212d +=，1d ∴=．解得：34k =．∴直线l 的方程为：3460x y -+=．②当l 的斜率不存在时，2x =，代入圆的方程可得：2(1)1y -=，解得11y =±，可得弦长2=，满足条件．综上所述l 的方程为：3460x y -+=或2x =． 【点睛】本题考查直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．2．（1）0.15（2）2400（3）25人 【解析】 【分析】(1)由频率分布直方图计算可得月收入在[3000,3500）内的频率；(2)分别计算小长方形的面积值，利用中位数的特点即可确定中位数的值；(3)首先确定10000人中月收入在[2500,3000]内的人数，然后结合分层抽样的特点可得应抽取的人数. 【详解】（1）居民月收入在[3000,3500]内的频率为0.0003(3500-3000)=0.15⨯ （2）因为0.0002(15001000)0.1⨯-=，0.0004(20001500)0.2⨯-=， 0.0005(25002000)0.25⨯-=，0.1+0.2+0.25=0.55>0.5，所以样本数据的中位数为0.5(0.10.2)20002000400=24000.0005-++=+.（3）居民月收入在[2500,3000]内的频率为0.0005(30002500)=0.25⨯-， 所以这10000人中月收入在[2500,3000]内的人数为0.2510000=2500⨯. 从这10000人中用分层抽样的方法抽出100人，则应从月收入在[2500,3000]内的居民中抽取25001002510000⨯=(人).【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.3．（1）见解析；（2）51a -≤≤；（3）1,012()12,12m m mT m m m m ⎧-<≤⎪+⎪=⎨-⎪>⎪+⎩. 【解析】 【分析】（1）通过判断函数()y f x =的单调性，求出()y f x =的值域，进而可判断()y f x =在(,0)-∞上是否为有界函数；（2）利用题中所给定义，列出不等式，换元，转化为恒成立问题，通过分参求构造函数的最值，就可求得实数a 的取值范围；（3）通过分离常数法求()y g x =的值域，利用新定义进而求得()T m 的解析式． 【详解】（1）当1a =时，11()124x xf x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在(,0)-∞上递减，∴()(0)3,f x f >=∴函数()y f x =在(,0)-∞上的值域为(3,)+∞，故不存在常数0M >，使得|()|f x M ≤成立，∴函数()y f x =在(,0)-∞上不是有界函数（2）()y f x =在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，即|()|3f x ≤，令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1131324xxa ⎛⎫⎛⎫-≤+⋅+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2313,01at t t -≤++≤<<由213at t ++≤得2(01)a t t t≤-<<， 令2()(01)h t t t t=-<<，()h t 在(0,1)上单调递减，所以()(1)1h t h >= 由213at t ++≥-得4(01)a t t t ⎛⎫≥-+<<⎪⎝⎭， 令4()(01)h t t t t ⎛⎫=-+<<⎪⎝⎭，()h t 在(0,1)上单调递增，所以()(1)5h t h <=-所以51a -≤≤；（3）122()1,0,01,()1221x x xm g x m x g x m m -⋅==->≤≤∴+⋅⋅+在[]0,1上递减， (1)()(0)g g x g ∴≤≤，即121()121m mg x m m--≤≤++，当1121|2m m m m --≥++时，即当02m <≤时，1|()|1m g x m -≤+ 当1121|2m m m m --<++时，即当m >时，12|()|12m g x m -≤+∴1,012()12,122m m mT m m m m ⎧-<≤⎪+⎪=⎨-⎪>⎪+⎩.【点睛】本题主要考查学生利用所学知识解决创新问题的能力，涉及到函数求值域的有关方法，以及恒成立问题的常见解决思想．4．（1）系统抽样；（2）①分布表见解析；②直方图见解析. 【解析】 【分析】（1）因需要研究的个体很多，且差异不明显，适宜用系统抽样. （2）①直接计算频率即可.②根据①中计算出的数据，用每一组的频率/组距作为纵坐标，即可做出频率分布直方图. 【详解】某厂生产的一批零件1000个, 差异不明显, 且因需要研究的个体很多. 所以适宜用系统抽样. （2）①频率分布表为合计20 1②频率分布直方图为. 分组频数 频率 频率/组距 [155.5,160.5) 20.10.02[160.5,165.5) 6 0.3 0.06[165.5,170.5) 8 0.4 0.08[170.5,175.5)4 0.2 0.04 合计201【点睛】本题考查频率分布表和根据频率分布表绘制频率分布直方图，属于基础题. 5．（1）21n a n =+；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）设公差为d ，由28S =，38522a a a +=+可得1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =，从而可得结果；（2） 由（1），21n a n =+，则有()232122n nS n n n =++=+，则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）设公差为d ，由题1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =．所以21n a n =+．（2） 由（1），21n a n =+，则有()232122n nS n n n =++=+． 则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． 所以n T 11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭34<． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2） 1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 6．（1）2q ，1q = （2）()1122n n T n +=-⋅+或()1514n T n n =+ 【解析】 【分析】（1）根据14a ，23a ，32a 成等差数列，得到2320q q -+=，解得答案.（2）讨论2q 和1q =两种情况，利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1）因为{}n a 是一个公比为q 的等比数列，所以11n n a a q -=.因为14a ，23a ，32a 成等差数列，所以213642a a a =+即2320qq -+=.解得2q ，1q =.（2）①若2q，又它的前4和415s =，得()411151a q q-=-，解得11a =所以12n n a ，因为22n n n b na n ==⋅，（n *∈N ），∴231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，∴23122222n n n T n +-=++++-⋅，∴()11122212212n n n n T n n +++⎛⎫-=--⋅=-⋅+⎪-⎝⎭②若1q =，又它的前4和415s =，即1415a =，1154a ∴=因为2n n b na =，（n *∈N ），所以()()1515123124n T n n n =++++=+. 【点睛】本题考查了等比数列的计算，错位相减法，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 7．A =23ϕπ=【解析】 【分析】利用三角恒等变换，化简()f x 的解析式，从而得出结论． 【详解】 解：()2sin 22sin 16x x f x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭()sin cos 2cossin 2cos 266x x x f x ππ=-+∴()13cos 22cos 22cos 222x x x x x f x ∴=+=+1sin 2cos 222x x ⎫=-+⎪⎪⎭()2x ϕ=+，∴A =待定系数，可得1cos 2sin ϕϕ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又02ϕπ≤<，∴23ϕπ=，∴A =23ϕπ=.本题主要考查三角恒等变换，属于基础题． 8．（1）1{|2x x ≤或}2x ≥；（2）答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】 （1）将12a =代入，解对应的二次不等式可得答案； （2）对a 值进行分类讨论，可得不同情况下不等式()0f x ≤的解集． 【详解】 解：（1）当12a =时，有不等式2()1025f x x x =-+≥， 1(2)02x x ⎛⎫∴--≥ ⎪⎝⎭，∴不等式的解集为1{|2x x ≤或}2x ≥ （2）∵不等式1()()0f x x x a a ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭又0a >当01a <<时，有1a a >，∴不等式的解集为1|x a x a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭； 当1a >时，有1a a <，∴不等式的解集为1|x x a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭； 当1a =时，不等式的解集为{}1. 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解二次不等式，难度中档．9．（1）见详解；（2）【解析】 【分析】（1）连接1AC 交1A C 于点E ，连接DE ，利用线面平行的性质定理可得1//DE BC ，从而可得D 为AB 的中点，进而可证出CD AB ⊥（2）利用面面垂直的性质定理可得1BB ⊥平面ABC ，从而可得三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，在ABC ∆中，根据等腰三角形的性质可得2CA CB ==，进而可得棱柱的高为4，利用柱体的体积公式即可求解.（1）连接1AC 交1A C 于点E ，连接DE ，如图：由1//BC 平面1A CD ，且平面1ACD ⋂平面1ABC , 所以1//DE BC ，由E 为1AC 的中点， 所以D 为AB 的中点， 又CA CB =，∴CD AB ⊥（2）由四边形11BCC B 是矩形，且平面11BCC B ⊥平面ABC ， 所以1BB ⊥平面ABC ，即三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， 在ABC ∆中，CA CB =，23ACB π∠=，23AB = 所以2CA CB ==，因为直线1A C 与平面ABC 所成角的正切值等于2，在1A AC ∆中，11tan 2AA ACA AC∠==，所以14AA =. 111111123144322A ABC ABC BC V S AA AB CD AA -=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、面面垂直的性质定理，同时考查了线面角以及柱体的体积公式，属于基础题.10．（1）2,1m n ==-；（2）min 23a =；（3）填表见解析，作图见解析， ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）.【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式可把()f x 化简为()sin 262mf x m x n π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，再求出26x π+的范围后根据正弦函数的性质可得关于,m n 的方程组，解方程组可得它们的值.（2）先求出A ，再根据面积求出bc ，最后根据余弦定理和基本不等式可求a 的最小值. （3）根据五点法直接作出图像，再根据正弦函数的性质可得函数的单调增区间.()sin 262m f x m x n π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 则1sin 2126x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭. 因为0m >，所以22122m m n m m n ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得21m n =⎧⎨=-⎩，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）由()2sin 226f A A π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()0,A π∈得23A π=， 又ABC ∆所以1sin 2bc A =4bc =， 所以222222cos 42412a b c bc A b c bc =+-=++≥+=， 当且仅当2b c ==时，min a =. （3）由题意得()3sin 2126f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 填表作图如下图：由222262k x k πππππ-≤+≤+得36k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），所以函数()f x 的单调递增区间是,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）.【点睛】本题考查正弦型函数在给定范围上的最值、余弦定理、三角形中的面积公式、正弦型函数的图像与单调性以及基本不等式，本题综合性较高，为中档题. 11．（1）见解析 （2）153【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知得：DE AE DE EC DE ⊥⊥⇒⊥，面ABCE DE BC ⇒⊥，BC CE BC ⊥⇒⊥面DCE ；（II ）分析可知，R 点满足3AR RE =时，面BDR ⊥面BDC ． 理由如下先计算1321222,,,2,2CD BD CR DR CQ =====， 再求得5RQ =， ⇒ 222CQ RQ CR CQ RQ +=⇒⊥ ，再证CQ BD CQ ⊥⇒⊥面BDR ⇒面BDC ⊥ 面BDR ． 试题解析：（Ⅰ）由已知得：DE AE DE EC DE ⊥⊥∴⊥，面ABCE DE BC ∴⊥．，BC CE BC ⊥∴⊥，面DCE（II ）分析可知，R 点满足3AR RE =时，面BDR ⊥面BDC ． 理由如下：取BD 中点Q ，连接DR BR CR CQ RQ 、、、、容易计算 1321222,,,2,22CD BD CR DR CQ =====， 在BDR 中∵521,222BR DR BD === 可知5RQ =， ∴在CQR 中，222CQ RQ CR CQ RQ +=∴⊥，．又在BDC 中，CD CB Q =，为BD 中点CQ BD CQ ∴⊥∴⊥，面BDR ， ∴面BDC ⊥ 面BDR ．12．（1）310； （2）13. 【解析】 【分析】（1）写出从5个学生中任选2个人的所有等可能基本事件，计算事件2个人都是女生所含的基本事件个数；（2）写出从男生和女生中各选1个人的所有等可能基本事件，计算事件2个人包括A ，但不包括a 所含的基本事件个数. 【详解】（1）由题意知，从5个学生中任选2个人，其所有等可能基本事件有：{},A B ，{},A a ，{},A b ，{},A c ，{},B a ，{},B b ，{},B c ，{},a b ，{},a c ，{},b c ，共10个,选2个人都是女生的事件所包含的基本事件有{},a b ，{},a c ，{},b c ，共3个, 则所求事件的概率为310P =. （2）从男生和女生中各选1个人，其所有可能的结果组成的基本事件有{},A a ，{},A b ，{},A c ，{},B a ，{},B b ，{},B c ，共6个,包括A ，但不包括a 的事件所包含的基本事件有{},A b ，{},A c ，共2个, 则所求事件的概率为2163P ==. 【点睛】本题的两问均考查利用古典概型的概率计算公式，求事件发生的概率，求解过程中要求列出所有等可能结果，并指出事件所包含的基本事件个数，最后代入公式计算概率.13．（1）23A π=；（2【解析】 【分析】（1）利用边角互化思想得sin cos sin cos sin sin A B B A B C -=+，由()sin sin C A B =+结合两角和的正弦公式可求出cos A 的值，于此得出角A 的大小；（2）由余弦定理()22222cos 22cos a b c bc A b c bc bc A =+-=+--可计算出bc ，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆的面积． 【详解】（1）∵,,A B C 是ABC ∆的内角，∴sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+且sin 0B ≠， 又由正弦定理：sin sin sin a b cA B C==得： sin cos sin cos sin sin cos cos sin A B B A B A B A B -=++，化简得：1cos 2A =-，又∵(0,)A π∈，∴23A π=；（2）∵4a =，b c +=，∴由余弦定理和（1）得2222cos a b c bc A =+- 2()b c bc =+-， 即1620bc =-，可得：4bc =，又∵sin 2A =，故所求ABC ∆的面积为1sin 2ABC S bc A ∆=.【点睛】本题考查正弦定理边角互化的思想，考查余弦定理以及三角形的面积公式，本题巧妙的地方在于将22b c +配凑为()2222b c b c bc +=+-，避免利用方程思想求出边的值，考查计算能力，属于中等题． 14．3m =- 【解析】 【分析】计算出CA AB ，由,,A B C 三点共线解出即可． 【详解】解：()()2,1,1,2CA m AB =--=-，∵,,A B C 三点共线，∴122m--=-，∴3m =- 【点睛】本题考查3点共线的向量表示，属于基础题． 15．（1）见解析；（2）【解析】 【分析】 【详解】 （1）①设，即，取，所以是的生成函数．②设，即，则，该方程组无解．所以不是的生成函数．（2）因为，所以，不等式在上有解，等价于在上有解，令，则，由，知取得最大值，所以．考点：①创新题型即新定义问题②不等式有解球参数范围问题16．（1）2n a n =；（2）对一切正整数n ，有121115131n a a a n ++⋯+<-+. 【解析】 【分析】（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）对一切正整数n ，有121115131n a a a n ++⋯+<-+，考虑当3n ≥时，22111111(1211n a n n n n =<=---+），再由裂项相消求和，即可得证。
专题13统计易错点一：统计用表中概念不清、识图不准致误（频率分布直方图、总体取值规律）频率分布直方图作频率分布直方图的步骤①求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差.②决定组距与组数将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来.③将数据分组④列频率分布表各小组的频率＝小组频数样本容量.⑤画频率分布直方图纵轴表示频率组距，频率组距实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率.频率分布直方图的性质①因为小矩形的面积＝组距×频率组距＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.③频数相应的频率＝样本容量.④频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性.易错提醒：频率分布条形图和频率分布直方图是两个完全不同的概念，考生应注意两者之间的区别.虽然它们的横轴表示的内容是相同的，但是频率分布条形图的纵轴表示频率；频率分布直方图的纵轴表示频率与组距的比值，其各小组的频率等于该小组上的矩形的面积.例：如图所示是某公司（共有员工300人）2021年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有______人.易错分析：解本题容易出现的错误是审题不细，对所给图形观察不细心，认为员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的频率为()10.020.080.1020.60-++⨯=，从而得到员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有3000.60180⨯=（人）的错误结论.正解：由所给图形，可知员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的频率为()10.020.080.080.100.1020.24-++++⨯=，所以员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有3000.2472⨯=（人）.故72.易错警示：考生误认为频率分布直方图中纵轴表示的是频率，这是错误的，而是“频率/组距”，所以频率对应的是各矩形的面积.变式1：某大学有男生2000名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校100名男生的体重，并将这100名男生的体重（单位：kg ）分成以下六组：[)54,58、[)58,62、[)62,66、[)66,70、[)70,74、[]74,78，绘制成如下的频率分布直方图：70,78上的男生大约有人．该校体重（单位：kg）在区间[]变式2：现对某类文物进行某种物性指标检测，从1000件中随机抽取了200件，测量物性指标值，得到如下频率分布直方图，据此估计这1000件文物中物性指标值不小于95的件数为.变式3：如图是根据我国部分城市某年6月份的平均气温数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20，26]，样本数据的分组为[20，21)，[21，22)，[22，23)，[23，24)，[24，25)，[25，26].已知样本中平均气温低于22°C的城市个数为11，样本中平均气温不低于25°C的城市个数是.1．已知某班全体学生在某次数学考试中的成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则图中a所代表的数值是.2．某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（满分：这400名学生的竞赛成绩分组如下：分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于3．从某小学所有学生中随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：图），其中样本数据分组[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150)4．某工厂抽取100件产品测其重量（单位：[[[[,42]，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在40,40.5),40.5,41),41,41.5),41.5件数为．5．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．设函数()()()f c p c q c =+，则函数()f c 在区间[95,105]取得最小值时c =．6．某大学有男生10000名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校100100名男生的体重（单位：kg ）分成以下六组：[)54,58、[)58,62、[)62,66、[66,70kg []7．某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了秒），将数据按照[)11.5,12，[)12,12.5，…8．某工厂对一批产品的长度（单位：mm）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在20mm以下的产品有30个，9．某中学为了解学生的数学学习情况，在全体学生中随机抽取30,40成绩，将所得的数据分为7组：[)图，则在被抽取的学生中，该次数学考试成绩不低于10．某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这平均成绩的估计值为．11．将一个容量为100的样本数据，按照从小到大的顺序分为组号123456频数10161815若第6组的频率是第3组频率的12．节约用水是中华民族的传统美德，某市政府希望在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理易错点二：统计中的数字特征的实际意义理解不清楚致误（频率分布直方图特征数考查）众数、中位数、平均数①众数：一组数据中出现次数最多的数.②中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.③平均数：如果n个数x1，x2，…，x n，那么()∑==+++=niinxnxxxnx12111叫做这n个数的平均数.总体集中趋势的估计①平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.②一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数.频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法①样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替.②在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等.③将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值.易错提醒：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.例．某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，估计该班本次测试众数为．变式1：为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择自行车，他记录了100次骑车所用时间（单位：分钟），得到频率分布直方图，则骑车时间的众数的估计值是分钟变式2：数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学的部分统计结果如下：甲同学：中位数为3，方差为2.8；乙同学：平均数为3.4，方差为1.04；丙同学：中位数为3，众数为3；丁同学：平均数为3，中位数为2.根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是同学.变式3：以下5个命题中真命题的序号有.①样本数据的数字特征中，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息；②若数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的标准差为S ，则数据1ax b +，2ax b +，3ax b +，…，n ax b +的标准差为aS ；③将二进制数(2)11001000转化成十进制数是200；④x 是区间[0,5]内任意一个整数，则满足“3x <”的概率是35.1．2022年11月卡塔尔世界杯如期举行，这是世界足球的一场盛宴．为了了解全民对足球的热爱程度，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了1000名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：[)70,75，[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100，得到如图所示的频率分布直方图．图中部分数据丢失，若已知这1000名观众评分的中位数估计值为87.5，则m=.2．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为o m ，平均数为x ，则,,e o m m x 的大小关系是．3．《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取数据，按[)40,45，[)45,50，[50,55所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的中位数是4．为了解某校高三学生的数学成绩，随机地抽查了该校布直方图如图所示.请根据以上信息，估计该校高三学生数学成绩的中位数为两位）5．2021年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于按如下方式分成六组：第一组[12,13该100名考生的成绩的中位数（保留一位小数）是6．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为.7．某快递驿站统计了近期每天代收快件的数量，并制成如下图所示的频率分布直方图．则该快递驿站每天代收包裹数量的中位数为8．某质检部门对某新产品的质量指标随机抽取10．某大学天文台随机调查了该校100位天文爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图，则估计该校100名天文爱好者的平均岁数为.11．众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，､､分别表示众数､平均数､形态中，m n p12．如图为某工厂工人生产能力频率分布直方图，则估计此工厂工人生产能力的平均值为易错点三：运用数字特征作评价时考虑不周（方差、标准差的求算）方差、标准差①假设一组数据为n x x x x ,,,321，则这组数据的平均数()∑==+++=ni i n x n x x x n x 12111 ，方差为()()()[]()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-+-+-=∑∑=2221222212111n ii n i i n x n x n x x n x x x x x x ns ，标准差()211∑=-=ni i x x n s ②若假设一组数据为n x x x x ,,,321，它的平均数为x ，方差为2s ，则一组数据为b ax b ax b ax b ax n ++++ ,,,321，的平均数为b x a +，方差为22s a 。
