常微分方程 稳定性理论

§6.4 李雅普诺夫第二方法上一节我们介绍了稳定性概念,但是据此来判明系统解的稳定性,其应用范围是极其有限的.
李雅普诺夫创立了处理稳定性问题的两种方法:第一方法要利用微分方程的级数解,在他之后没有得到大的发展;第二方法是在不求方程解的情况下,借助一个所谓的李雅普诺夫函数)(x V 和通过微分方程所计算出来的导数
dt
x dV )
(的符号性质,就能直接推断出解的稳定性,因此又称为直接法.本节主要介绍李雅普诺夫第二方法.
为了便于理解,我们只考虑自治系统 )(x F dt
dx
=n R x ∈ (6.11)
假设T n x F x F x F ))(,),(()(1 =在{}
K x R x G n ≤∈=上连续,满足局部利普希茨条件,且
O O F =)(.
为介绍李雅普诺夫基本定理,先引入李雅普诺夫函数概念. 定义6.3 若函数
R G x V →:)(
满足0)(=O V ,)(x V 和
i
x V
∂∂),,2,1(n i =都连续,且若存在K H ≤<0,使在{}
H x x D ≤=上)0(0)(≤≥x V ,则称)(x V 是常正(负)的;若在D 上除O x ≠外总有
)0(0)(<>x V ,则称)(x V 是正(负)定的;既不是常正又不是常负的函数称为变号函数.
通常我们称函数)(x V 为李雅普诺夫函数.易知: 函数2
22
1x x V +=在),(21x x 平面上为正定的; 函数 )(2
22
1x x V +-=在),(21x x 平面上为负定的; 函数222
1x x V -=在),(21x x 平面上为变号函数;
函数 2
1x V =在),(21x x 平面上为常正函数. 李雅普诺夫函数有明显的几何意义. 首先看正定函数),(21x x V V =.
在三维空间),,(21V x x 中, ),(21x x V V =是一个位于坐标面21Ox x 即0=V 上方的曲面.它与坐标面21Ox x 只在一个点,即原点)0,0,0(O 接触(图6-1(a)).如果用水平面
C V =(正常数)与),(21x x V V =相交,并将截口垂直投影到21Ox x 平面上,就得到一组一个套一个的闭曲线族C x x V =),(21 (图6-1(b)),由于),(21x x V V =连续可微,且
0)0,0(=V ,故在021==x x 的充分小的邻域中, ),(21x x V 可以任意小.即在这些邻域中
存在C 值可任意小的闭曲线C V =.
对于负定函数),(21x x V V =可作类似的几何解释,只是曲面),(21x x V V =将在坐标面21Ox x 的下方.
对于变号函数),(21x x V V =,自然应对应于这样的曲面,在原点O 的任意邻域,它既有在21Ox x 平面上方的点,又有在其下方的点.
定理6.1 对系统(6.11),若在区域D 上存在李雅普诺夫函数)(x V 满足 (1) 正定;
(2)
)(1
)
11.5(x F x V
dt
dV i n
i i
∑
=∂∂=常负,
(a)
(b)
图 6-1
则(6.11)的零解是稳定的.
图 6-2
证明 对任意)(0H <>εε,记
{}
ε==Γx x
则由)(x V 正定、连续和Γ是有界闭集知
0)(min >=Γ
∈x V b x
由0)(=O V 和)(x V 连续知存在0>δ(εδ<),使当δ≤x 时, b x V <)(,于是有δ≤x 时,
,),,(00ε<x t t x
0t t ≥
(6.12)
若上述不等式不成立,由εδ<≤x 和),,(00x t t x 的连续性知存在01t t >,当[)10,t t t ∈时,
,),,(00ε<x t t x 而,),,(001ε=x t t x 那么由b 的定义,有
b x t t x V ≥)),,((001
(6.13)
另一方面,由条件(2)知
0dt
)
) x , t ,(t x (00≤dV 在[]10,t t 上成立,即[]10,t t t ∈时,
b x V x t t x V <≤)()),,((000
自然有b x t t x V <)),,((001.这与(6.13)矛盾,即(6.12)成立. (图6-2为n=2的情况.)
例 1 考虑无阻尼线性振动方程
02..
=+x x ω
(6.14)
的平衡位置的稳定性.
解 把(6.14)化为等价系统
⎪⎩⎪⎨⎧-==x
y y
x 2
.
.ω (6.15)
(6.14)的平衡位置即(6.15)的零解.作V 函数
)1
(21),(222y x y x V ω
+=)
有
)15.5(.
2
.
)
15.5()1
(y y x x dt
dV
⋅+
⋅=ω
即),(y x V 正定, 0)
15.5(≤dt
dV
.于是由定理6.1 知(6.15)的零解是稳定的,即(6.14)的平衡
位置是稳定的.
引理 若)(x V 是正定(或负定)的李雅普诺夫函数,且对连续有界函数)(t x 有 0))((lim =∞
→t x V t
则O t x t =∞
→)(lim .
证明由读者自己完成.
定理 6.2 对系统(6.11),若区域D 上存在李雅普诺夫函数)(x V 满足 (1) 正定;
(2)
)(1
)
11.5(x F x V
dt
dV i n
i i
∑
=∂∂=负定, 则(6.11)的零解渐近稳定.
证明 由定理 6.1 知(6.11)的零解是稳定的.取-
δ为定理6.1 的证明过程中的δ,于是当-
≤δx 时, )),,((00x t t x V 单调下降.若00=x ,则由唯一性知O x t t x ≡),,(00,自然有
O x t t x t =+∞
→),,(lim 00
不妨设00≠x .由初值问题解的唯一性,对任意t , .),,(00O x t t x ≠从而由)(x V 的正定性
知0)),,((00>x t t x V 总成立,那么存在0≥a 使 a x t t x V t =+∞
→)),,((lim 00
假设0>a ,联系到)),,((00x t t x V 的单调性有 )()),,((000x V x t t x V a << 对0t t >成立.从而由0)(=O V 知存在,0>h 使0t t ≥时
ε<<),,(00x t t x h
(6.16)
成立.
由条件(2)有
0max <=≤≤dt
dV
M x h ε
故从(6.16)知
M dV ≤dt
)
) x , t ,(t x (00
对上述不等式两端从0t 到0t t >积分得
)()()),,((0000t t M x V x t t x V -≤- 该不等式意味着
-∞=+∞
→)),,((lim 00x t t x V t
矛盾.故0=a ,即
0)),,((lim 00=+∞
→x t t x V t
由于零解是稳定的,所以),,(00x t t x 在[]+∞,0t 上有界,再由引理知O x t t x t =+∞
→),,(lim 00.定
理证毕.
例 2 证明方程组
⎪⎩⎪⎨⎧-++=-++-=)
1()1(2
2.
22.y x y x y y x x y x
(6.17)
的零解渐近稳定.
证明 作李雅普诺夫函数
)(2
1),(22
y x y x V += 有
)17.5(.
.)
17.5()(y y x x dt
dV
+=
)1)((2222-++=y x y x 在区域{}
1),(22<+=y x y x D 上),(y x V 正定,
)
17.5(dt
dV 负定,故由定理 6.2 知其零解渐
近稳定.
最后,我们给出不稳定性定理而略去证明.
定理 6.3 对系统(6.11)若在区域D 上存在李雅普诺夫函数)(x V 满足
(1)
)(1)
11.5(x F x V
dt
dV i n
i i
∑
=∂∂=正定; (2) )(x V 不是常负函数, 则系统(6.11)的零解是不稳定的.
6.3 平面自治系统的基本概念本节考虑平面自治系统
⎪⎩⎪⎨⎧==),(),(..y x Q y y x P x
(6.18)
以下总假定函数),(),,(y x Q y x P 在区域
H y H x D <<,:, )(+∞≤H
上连续并满足初值解的存在与唯一性定理的条件.。