关于绝对值函数的问题解决

绝对值的求解问题绝对值的求解是数学中一个常见的问题。

在解决这个问题时，我们需要找到一个数的绝对值，也就是该数与零的距离。

绝对值的定义数a的绝对值表示为|a|，表示a与零的距离。

如果a为正数或零，那么|a|的值等于a本身；如果a为负数，那么|a|的值等于a的相反数。

求解绝对值的方法求解绝对值的方法主要有以下几种：1. 直接取绝对值最简单的方法就是直接取这个数的绝对值。

例如，对于数-5，其绝对值为5；对于数6，其绝对值依然为6。

2. 使用条件语句另一种方法是使用条件语句进行求解。

我们可以通过判断数的正负来确定其绝对值。

如果数大于等于零，那么绝对值就是该数本身；如果数小于零，那么绝对值就是其相反数。

def absolute_value(num):if num >= 0:return numelse:return -num3. 使用绝对值函数绝对值函数是一种内置的数学函数，用于求解数的绝对值。

在大部分编程语言中，该函数通常被称为abs()函数。

abs(-5) # 输出结果为5abs(6) # 输出结果为64. 代数性质绝对值有一些常用的代数性质，例如：- |a * b| = |a| * |b|- |a + b| ≤ |a| + |b|这些代数性质可以在一些求解绝对值的问题中提供帮助。

总结绝对值的求解是数学中的一个基本问题，掌握了求解绝对值的方法能够帮助我们更好地理解数学知识，并解决相关的实际问题。

无论是直接取绝对值、使用条件语句，还是使用绝对值函数，我们都可以根据具体情况选择最适合的方法来求解绝对值问题。

绝对值函数的应用与问题解决绝对值函数是一种常见的数学函数，它有着广泛的应用和解决问题的能力。

本文将探讨绝对值函数的应用，并讨论如何应对与绝对值函数相关的问题。

一、绝对值函数的定义和性质绝对值函数是一个以0为中心的对称函数，表示一个数到0的距离。

它的定义如下：对于任意实数x，绝对值函数|x|的值为：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。

绝对值函数具有以下基本性质：1. 非负性质：对于任何实数x，|x|≥0。

2. 正负交替性质：如果x≠0，则有|−x|=|x|。

3. 三角不等式：对于任何实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|。

二、绝对值函数的应用1. 距离计算由于绝对值函数表示距离，它可以应用于计算两点之间的距离。

例如，在平面坐标系中，点A(x1, y1)和点B(x2, y2)之间的距离可以表示为：d = |x2 - x1| + |y2 - y1|2. 绝对值方程和不等式绝对值函数常用于解决与绝对值相关的方程和不等式。

一般来说，解绝对值方程或不等式的关键是根据定义对绝对值进行分析，并根据不同情况给出解的表达式。

例如，对于绝对值方程|2x - 1| = 3，可以分别考虑2x - 1的正值和负值进行求解，得到x的两组解。

3. 函数图像的变换绝对值函数还可以用于描述函数图像的变换情况。

当对函数进行平移、伸缩和翻转等操作时，绝对值函数的图像也会相应地进行变换。

例如，通过对函数y = |x|进行变换，可以得到y = |x - a|、y = a|x|等相关函数的图像。

三、与绝对值函数相关的问题解决1. 寻找极值点在一些优化问题中，绝对值函数经常和极值点相关。

我们可以利用绝对值函数的非负性质，配合求导等方法，来确定绝对值函数在特定区间内的最大值或最小值。

2. 求解不等式解决包含绝对值函数的不等式时，可以将不等式分为两个部分，并分别去掉绝对值符号，得到一个由不等式组成的方程组。

接下来，通过对不等式的符号进行讨论，可得到不等式的解集。

绝对值解题技巧
绝对值是数学中的一个重要概念，它表示一个数距离0的距离。

在解决数学问题时，绝对值常常会起到关键的作用。

以下是一些绝对值的解题技巧：
1. 理解绝对值的定义：
绝对值表示一个数距离0的距离，用数学符号表示就是 x。

如果x ≥ 0，那么 x = x；如果 x < 0，那么 x = -x。

2. 分段讨论：
在解决涉及绝对值的问题时，通常需要分段讨论。

根据绝对值的定义，可以将数轴分为几个区间，然后分别讨论每个区间内绝对值的表现形式。

3. 利用绝对值的三角不等式：
a -
b ≤ a + b ≤ a + b
这个不等式可以用来解决一些与绝对值相关的问题。

4. 利用绝对值的几何意义：
绝对值表示一个数距离0的距离，因此可以利用这个几何意义来理解问题。

例如，x 表示点 (x, 0) 到原点 (0, 0) 的距离。

5. 转化问题：
有时候，将问题转化为与绝对值相关的问题可以使问题更容易解决。

例如，在解方程时，可以将方程转化为分段函数的形式，然后利用绝对值的定义来求解。

6. 注意特殊情况：
在解决涉及绝对值的问题时，需要注意一些特殊情况。

例如，当 x = 0 时，x = 0；当 x = -0 时，x = 0。

这些特殊情况可能会影响问题的解。

通过掌握这些技巧，可以更好地理解和解决涉及绝对值的问题。

高中数学绝对值函数的应用实例及解题方法绝对值函数是高中数学中常见的一种函数形式，它在数学建模和实际问题中具有广泛的应用。

本文将通过具体的实例，来介绍绝对值函数的应用和解题方法，帮助高中学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、求解绝对值不等式绝对值不等式是绝对值函数应用的重要形式之一。

我们以一个简单的例子开始，假设有如下的不等式：|2x - 1| < 3要求解这个不等式，我们可以将其拆分为两个不等式，即：2x - 1 < 3 和 2x - 1 > -3解得：x < 2 和 x > -1所以，原始的不等式的解集为 -1 < x < 2。

这个例子展示了如何通过拆分不等式来求解绝对值不等式，这也是解决绝对值不等式常用的方法之一。

二、求解含有绝对值的方程除了不等式，绝对值函数还常常出现在方程的解中。

我们以一个实际问题为例，来说明如何求解含有绝对值的方程。

例题：某地的温度每天都在变化，已知温度的变化规律可以用函数T(t) = |t - 5| - 3来表示，其中t表示时间（单位：小时），T(t)表示温度（单位：摄氏度）。

现在要求解在什么时间温度为0度。

解答：根据题意，我们需要求解方程|t - 5| - 3 = 0。

将绝对值函数的定义展开，得到两个方程：t - 5 - 3 = 0 或者 -(t - 5) - 3 = 0解得：t = 8 或者 t = 2所以，温度为0度的时间有两个解，分别是t = 8和t = 2。

这个例子展示了如何通过将绝对值函数的定义展开，来求解含有绝对值的方程。

这是解决这类问题常用的方法之一。

三、绝对值函数在距离和模型中的应用绝对值函数在距离和模型中的应用也是高中数学中的重要内容。

我们以一个典型的例子来说明。

例题：甲、乙两地相距200公里，甲地有一辆车以每小时50公里的速度往乙地行驶，乙地有一辆车以每小时40公里的速度往甲地行驶。

问多少小时后，两车相遇？解答：设两车相遇的时间为t小时，则甲地车行驶的距离为50t公里，乙地车行驶的距离为40t公里。

绝对值的最值问题2页绝对值函数是一种常见的数学函数，它表示一个数与0的距离。

绝对值函数是一个有趣的函数，它在数学和物理中有着广泛的应用。

在这篇文章中，我将讨论绝对值函数的最值问题，并给出一些解决这类问题的方法。

首先，让我们来回顾一下绝对值函数的定义：对于任意实数x，绝对值函数表示为| x |，它的值等于x的绝对值，即当x大于等于0时，| x | = x，当x小于0时，| x | = -x。

绝对值函数的最值问题可以分为两种情况：一种是求绝对值函数的最大值，另一种是求绝对值函数的最小值。

我们将分别讨论这两种情况。

首先，我们来考虑求绝对值函数的最大值。

为了求绝对值函数的最大值，我们需要找到使得绝对值函数取得最大值的实数。

由于绝对值函数的图像是一个抛物线，开口向上，所以我们可以通过求解二次方程来找到最大值。

假设绝对值函数的表达式为| x | = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数常数。

我们可以将绝对值函数的表达式分为两个部分来分别讨论x大于等于0和x小于0的情况。

当x大于等于0时，| x | = x，所以我们可以将绝对值函数的表达式简化为x = ax^2 + bx + c。

通过求解这个二次方程，我们可以得到x的值。

假设x1和x2是方程的两个解，那么在x1和x2之间的任意值都可以使得绝对值函数取得最大值。

当x小于0时，| x | = -x，所以我们可以将绝对值函数的表达式简化为-x = ax^2 + bx + c。

同样地，通过求解这个二次方程，我们可以得到x的值。

假设x3和x4是方程的两个解，那么在x3和x4之间的任意值都可以使得绝对值函数取得最大值。

综上所述，绝对值函数的最大值可以通过求解二次方程来找到。

我们可以找到x的取值范围，并检查在这个范围内的值，然后找到使得绝对值函数取得最大值的实数。

接下来，我们来考虑求绝对值函数的最小值。

为了求绝对值函数的最小值，我们需要找到使得绝对值函数取得最小值的实数。

微专题24 绝对值函数问题【题型归纳目录】题型一：含一个绝对值的函数与不等式问题 题型二：含两个绝对值的和的问题 题型三：含两个绝对值的差的问题 题型四：含多个绝对值的问题 【典型例题】题型一：含一个绝对值的函数与不等式问题 例1．不等式|23|5x -<的解集为( ) A ．(1,4)- B ．(-∞，1)(4-⋃，)+∞C ．(,4)-∞D ．(1,)-+∞【解析】解：|23|5x -<， 5235x ∴-<-<，解得：14x -<<， 故选：A ．例2．不等式|1|3x -<的解集是( ) A ．(-∞，2)(4-⋃，)+∞ B ．(2,4)-C ．(1,4)D ．(-∞，1)(4⋃，)+∞【解析】解：|1|3x -<，313x ∴-<-<，24x ∴-<<， 故不等式的解集是(2,4)-， 故选：B ．例3．若不等式|2|3a x x -+对任意[0x ∈，2]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)-B ．[1-，3]C ．(1,3)D ．[1，3]【解析】解：由不等式|2|3a x x -+对任意[0x ∈，2]上恒成立，可得()|2|f x a x =-的图象在[0x ∈，2]上恒位于直线3y x =+的下方或在直线3y x =+上， 如图所示：∴02(2)|4|5af a ⎧<⎪⎨⎪=-⎩①，或02(2)|4|5(0)||3a f a f a ⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩②．由①可得10a -<，由②可得03a ，故实数a 的取值范围是{|10a a -<，或者03}[1a =-，3]，故选：B ．变式1．已知t 为常数，函数2|4|y x x t =--在区间[0，6]上的最大值为10，则t = 2或6 ． 【解析】解：函数22|4||(2)4|y x x t x t =--=---在区间[0，6]上的最大值为10， 故有2(62)410t ---=，或410t +=，求得2t =，或6t =， 故答案为：2或6．变式2．已知不等式|3|1x a x ->-对任意(0,2)x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 (,3)[7-∞，)+∞【解析】解：|3|1x a x ->-等价于31x a x ->-或31x a x -<-，解得12a x ->或14a x +<， 当1124a a -+<，即3a <时，不等式解集为R ，显然符合题意． 当3a 时，(0，2)(⊆-∞，11)(42a a +-⋃，)+∞， 所以124a +或102a -，解得7a 或1a （舍去）， 综上，实数a 的取值范围是7a 或3a <． 故答案为：(,3)[7-∞，)+∞．变式3．已知a R ∈，函数4()||f x x a a x =+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 (-∞，9]2． 【解析】解：由题可知4||5x a a x +-+，即4||5x a a x+--，所以5a ， 又因为4||5x a a x+--， 所以455a x a a x -+--， 所以4255a x x-+，又因为14x ，445x x +， 所以254a -，解得92a， 故答案为：(-∞，9]2．变式4．若函数4||y a x a x=-+-在区间[1，4]上的最小值是4，实数a 的取值范围是 [4.5，)+∞ ． 【解析】解：由4y x x=+在[1，2)递减，[2，4]递增， 可得4y x x=+的最小值为4，最大值为5， 函数4||y a x a x=-+-的最值在顶点或区间的端点处取得， 若f （1）取得最小值4，即|5|4a a --=，可得 4.5a =， 即有4() 4.5| 4.5|f x x x=-+-，且此时f （1）f =（2）f =（4）取得最小值，成立； 若f （2）取得最小值4，即|4|4a a --=，即有4a ；此时f （1）|5|a a =--，f （4）|5|a a =--，f （2）4=，由f （2）f （1），解得 4.5a ； 当f （4）取得最小值4，即|5|4a a --=，解得 4.5a =，成立． 综上可得a 的范围是[4.5，)+∞． 故答案为：[4.5，)+∞．题型二：含两个绝对值的和的问题例4．不等式|1||2|4x x -++的解集是( ) A ．53(,)22-B ．53[,]22-C ．3[2,]2-D ．5[,1)2-【解析】解：令()|1||2|f x x x =-++， 则21,2()3,2121,1x x f x x x x ---⎧⎪=-<<⎨⎪+⎩，∴当2x -时，|2||1|4214x x x ++-⇔--，522x ∴--； 当21x -<<时，有34恒成立，当1x 时，|2||1|4214x x x ++-⇔+，312x∴． 综上所述，不等式|2||1|4x x ++-的解集为5[2-，3]2．故选：B ．例5．不等式2|1||2|2x x a a ++--恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(,3)-∞B ．(3,)+∞C ．[1-，3]D ．(-∞，1][3-，)+∞【解析】解：|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-++-=，|1||2|x x ∴++-的最小值为3，2|1||2|2x x a a ++--恒成立，∴只需223a a -，13a ∴-，a ∴的取值范围为[1-，3]．故选：C ．例6．若关于x 的不等式|2||1|x x a -+-在R 上恒成立，则a 的最大值是( ) A ．0B ．1C ．1-D ．2【解析】解：由绝对值的性质得()|2||1||(2)(1)|1f x x x x x =-+----=，所以()f x 最小值为1，从而1a ，解得1a ， 因此a 的最大值为1． 故选：B ．变式5．若关于x 的不等式|2|||x x a a -+-在R 上恒成立，则a 的最大值是( )A ．0B ．1C ．1-D ．2【解析】解：化简得：|2||||(2)()||2|x x a x x a a a -+----=-，当20a -，即2a 时，上式化为2a a -，实数a 无解；当20a -，即2a 时，上式化为2a a -，解得22a ，解得1a ， 综上，实数a 的范围为1a ， 则实数a 的最大值为1． 故选：B ．变式6．不等式|1||24|6x x ++->的解集为 (-∞，1)(3-⋃，)+∞ ． 【解析】解：由于33,1|1||24|5,1233,2x x x x x x x x -<-⎧⎪++-=--<⎨⎪-⎩，故当1x <-时，不等式即336x ->，解得1x <-． 当12x -<时，不等式即56x ->，解得x 无解．当2x 时，不等式即336x ->，解得3x >． 综上可得，不等式的解集为(-∞，1)(3-⋃，)+∞， 故答案为(-∞，1)(3-⋃，)+∞．变式7．关于x 的不等式|2||8|x x a -+-在R 上恒成立，则a 的最大值为 6 ． 【解析】解：由绝对值的性质得()|2||8||(2)(8)|6f x x x x x =-+----=，所以()f x 最小值为6，从而6a ，解得6a ， 因此a 的最大值为6． 故答案为：6．变式8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时，1()(|||2|3||)2f x x a x a a =-+--．若集合{|(1)()0x f x f x -->，}x R ∈=∅，则实数a 的取值范围为 1(,]6-∞ ．【解析】解：若{|(1)()0x f x f x -->，}x R ∈=∅， 则等价为(1)()0f x f x --恒成立，即(1)()f x f x -恒成立， 当0x 时，1()(|||2|3||)2f x x a x a a =-+--．若0a ，则当0x 时，1()(23)2f x x a x a a x =-+-+=，()f x 是奇函数，∴若0x <，则0x ->，则()()f x x f x -=-=-，则()f x x =，0x <，综上()f x x =，此时函数为增函数，则(1)()f x f x -恒成立， 若0a >，若0x a 时，1()[(2)3]2f x x a x a a x =-+---=-；当2a x a <时，1()[(2)3]2f x x a x a a a =----=-；当2x a >时，1()(23)32f x x a x a a x a =-+--=-．即当0x 时，函数的最小值为a -， 由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 当0x <时，()f x 的最大值为a ， 作出函数的图象如图： 由于x R ∀∈，(1)()f x f x -，故函数(1)f x -的图象不能在函数()f x 的图象的上方，结合图可得133a a -，即61a ，求得106a <， 综上16a， 故答案为：(-∞，1]6题型三：含两个绝对值的差的问题例7．若存在实数x 使得不等式2|1||1|3x x a a +---成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(-∞317317][2-+，)+∞ B ．(-∞，2][1-，)+∞C ．[1，2]D ．(-∞，1][2，)+∞【解析】解：令2,1()|1||1|2,112,1x f x x x x x x --⎧⎪=+--=-<<⎨⎪⎩，则2()2f x -，即2|1||1|2x x -+--，若存在实数x 使得不等式2|1||1|3x x a a +---成立， 则232a a --， 解得2a 或1a ． 故选：D ．例8．若关于x 的不等式2|1||2|2x x a a +-->+有实数解，则实数a 的取值范围为( ) A ．(3,1)-B ．(1,3)-C ．(-∞，3)(1-⋃，)+∞D ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞【解析】解：|1||2||(1)(2)|3x x x x +--+--=，3|1||2|3x x ∴-+--，由不等式2|1||2|2x x a a +-->+有实数解， 知232a a >+，解得31a -<<．故选：A ．例9．若关于x 的不等式2|1||2|4x x a a +--<-有实数解，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，1)(3⋃，)+∞B ．(1,3)C ．(-∞，3)(1--⋃，)+∞D ．(3,1)--【解析】解：|1||2|x x +--表示数轴上的x 对应点到1-的距离减去它到2的距离，它的最大值为3，最小值等于3-，243a a ->-，2430a a -+>，3a ∴>，或1a <，故实数a 的取值范围为(-∞，1)(3⋃，)+∞，故选：A ．变式9．对所有的x R ∈，不等式2|20||5|2x x a a ---+恒成立，实数a 的取值范围是 (-∞，5][3-，)+∞【解析】解：|20||5|15x x ---，对所有的x R ∈，不等式2|20||5|2x x a a ---+恒成立，则2215a a +，解得5a -或3a ．故答案为(-∞，5][3-，)+∞．变式10．关于x 的不等式2|3||1|5x x a a +---的解集不是∅，则实数a 的取值范围为 (-∞，1][4，)+∞ ．【解析】解：|3||1||(3)(1)|4x x x x +---+--=-， (|3||1|)4min x x ∴+--=-．不等式2|3||1|5x x a a +---的解集不是∅，∴只需25(|3||1|)4min a a x x -+--=-，2540a a ∴-+，4a ∴或1a ，a ∴的取值范围为(-∞，1][4，)+∞．故答案为：(-∞，1][4，)+∞． 题型四：含多个绝对值的问题例10．设函数()|1||2||2018||1||2||2018|()f x x x x x x x x R =++++⋯+++-+-+⋯+-∈，下列四个命题中真命题的序号是( ) （1）()f x 是偶函数；（2）当且仅当0x =时，()f x 有最小值； （3）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（4）方程2(55)(2)f a a f a -+=-有无数个实根 A ．（1）（4）B ．（1）（2）C ．（1）（2）（3）D ．（2）（3）（4）【解析】解：()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =++++⋯+++-+-+⋯+-，()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x ∴-=-++-++⋯+-++--+--+⋯+-- |1||2||2018||1||2||2018|()x x x x x x f x =-+-+⋯+-+++++⋯++=， ()f x ∴为偶函数，故（1）正确．根据绝对值的几何意义可得()(|1||1|)(|2||2|)(|3||3|)(|2018||2018|)f x x x x x x x x x =++-+++-+++-+⋯+++- 2018(24036)2464036201820192++++⋯+==⨯，当且仅当11x -时，取等号．故（2）错误；由于1()2f f =（1），显然函数()f x 在(0,)+∞上不是增函数，故（3）不正确；由于2(55)(2)f a a f a -+=-，且函数()f x 为偶函数，2552a a a ∴-+=-，或255(2)a a a -+=--，或21551121a a a ⎧--+⎨--⎩． 解得1a =，或3a =，或32a =或13a ，故方程2(55)(2)f a a f a -+=-有无数个实根，故（4）正确． 故答案为：（1）（4） 故选：A ．例11．若|1||2||10||11|x x x x m -+-+-+-对一切x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围为 (-∞，18] ． 【解析】解：244,(1)222,(12)|1||2||10||11|18,(210)22,(1011)424,(11)x x x x x x x x x x x x x -⎧⎪-<⎪⎪-+-+-+-=<⎨⎪-<⎪->⎪⎩，可得|1||2||10||11|18x x x x -+-+-+-，若|1||2||10||11|x x x x m -+-+-+-对一切x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围为(-∞，18]． 故答案为：(-∞，18]．例12．已知函数()|1||21||31||1001|f x x x x x =-+-+-+⋯+-，则当x = 171时，()f x 取得最小值． 【解析】解：()|1||21||31||1001|f x x x x x =-+-+-+⋯+- 111|1|2||3||100||23100x x x x =-+-+-+⋯+-111111|1|||||||||||||22333100x x x x x x x =-+-+-+-+-+-+⋯+-共有1(1100)10050502+⨯⨯=项 又||||||x a x b a b -+--（注:||x a -为x 到a 的距离⋯||||x a x b -+-即为x 到a 的距离加上x 到b 的距离，当x 在a ，b 之间时，||||x a x b -+-最小且值为a 到b 的距离） 所以()f x 的5050项 前后对应每两项相加，使用公式||||||x a x b a b -+--111()(1)()1002100f x -+-+⋯+⋯当x 在每一对a ，b 之间时，等号成立 由于170(170)24852⨯+⨯= 171(711)25562⨯+⨯= 所以()f x 最中间的两项（第2525，2526项）是1||71x - 所以11111()(1)()()10021007171f x -+-+⋯+- 当171x =时等号成立 则当171x =时()f x 取得最小值 变式11．已知函数()|1||21||31|f x x x x =-+-+-．则f （2）= 9 ，()f x 的最小值为 ． 【解析】解：（1）f （2）|21||221||321|9=-+⨯-+⨯-= （2）136,3111,()32141,1263,1x x x f x x x x x ⎧-⎪⎪⎪<⎪=⎨⎪-<⎪⎪⎪->⎩， 由()f x 单调性知，最小值为1．变式12．已知函数()|1||2||3||20|f x x x x x =-+-+-+⋯+-，x N +∈且120x ．（1）分别计算f （1），f （5），(20)f 的值；（2）当x 为何值时，()f x 取得最小值？最小值是多少？ 【解析】解：（1）由()|1||2||3||20|f x x x x x =-+-+-+⋯+-， 得f （1）19(119)012191902⨯+=+++⋯+==；f （5）15(115)43210121510101201302⨯+=+++++++⋯+=+=+=； 19(191)(20)19181732101902f ⨯+=+++⋯++++==． （2）设x 是1~20中的某一整数，则()(1)(2)321012(20)f x x x x =-+-+⋯+++++++⋯+- (1)[1(1)](20)[1(20)]22x x x x -+--+-=+222121399(242420)21210()224x x x x x =-+=-+=-+． 因为x N +∈，所以当10x =或11时，()f x 取最小值， (10)(11)100f f ==，即最小值是100．【过关测试】 一、单选题1．（2022·安徽·芜湖一中高一阶段练习）已知集合{}21A x x =-≤，{}1,2,3,4B =，则A B =（ ） A ．{}4 B ．{}3,4 C ．{}2,3,4 D ．{}1,2,3【答案】D【解析】因为{}{}{}2112113A x x x x x x =-≤=-≤-≤=≤≤，故{}1,2,3A B =. 故选：D.2．（2022·江苏·扬州市邗江区蒋王中学高一阶段练习）设a ∈R ，若不等式22112480x x ax x x x-+++-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]1,5- B ．[]1,6- C ．[]2,6- D ．[]2,2-【答案】C【解析】由题意可得()221142+++8a x x x x x-≤-，且0x ≠. 当0x >时，可得2211842+++a x x x x x-≤-， 由绝对值三角不等式可得222211811888++++++=2+22x x x x x x x x x x x x x x-≥-≥⋅， 当且仅当=2x 时，等号成立，所以，428a -≤，可得2a ≥-；当<0x 时，可得222211811842++a x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-≥--+---=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()222211811888++2228x x x x x x x x x x x x x x--≥-++-=-+≥-⋅=--， 当且仅当=2x -时，等号成立，故428a -≥-，解得6a ≤.综上所述，26a -≤≤.故选：C.3．（2022·河南·新密市第一高级中学高一阶段练习）设a ，b 是实数，集合{}1,A x x a x R =-<∈，{}|||3,B x x b x R =->∈，且A B ⊆，则a b -的取值范围为（ ）A ． []0,2B ．[]0,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】D【解析】集合{}{}1,|11A x x a x R x a x a =-<∈=-<<+，{}{3,|3B x x b x R x x b =-∈=<-或}3x b >+ 又A B ⊆，所以13a b +≤-或13a b -≥+即4a b -≤-或4a b -≥，即4a b -≥所以a b -的取值范围为[)4,+∞故选：D4．（2022·浙江·温州中学高一期中）已知函数()()122021122021f x x x x x x x x R =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-∈，且实数a 满足()()221f a a f a --=+，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3a =或1a =11315a --≤≤B ．3a =或1a =C ．3a =或1a =-D ．3a =或1a =或1a =-【答案】A【解析】因为函数()f x 的定义域为R ，而()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，又112x x ++-≥，当且仅当11x -≤≤时取等号， 224x x ++-≥，当且仅当22x -≤≤时取等号，……202120214042x x ++-≥，当且仅当20212021x -≤≤时取等号，所以()()1220211220212122021f x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-≥+++，当且仅当11x -≤≤时取等号，当12x ≤≤时，()()122021122021=2222021f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-+++，当23x ≤≤时，()()122021122021=4232021f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-+++，…… 当20202021x ≤≤时，()122021122021=404022021f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-+⨯， 当2021x >时，()122021122021=4042f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-，故函数()f x 在[)1,+∞上递增，再根据函数()f x 为偶函数，所以()f x 在(],1-∞-上递增，因此()()221f a a f a --=+可等价于221a a a --=+或()221a a a --=-+或2121111a a a ⎧-≤--≤⎨-≤+≤⎩，解得1a =-或3a =或1a =11315a --≤≤ 故选：A ．5．（2022·江苏·海安高级中学高一阶段练习）若不等式21x x a +--≤对一切x R ∈恒成立．则实数a 的取值范围为（ ）A ．3a >B ．3a <C ．3a ≥D ．3a ≤【答案】C 【解析】设21y x x =+--，当21x -≤≤时，()2121y x x x =++-=+；当1x >时，()()213y x x =+--=；当<2x -时，()()213y x x =-++-=-， 故21y x x =+--有最大值3． 21x x a +--≤对一切x ∈R 恒成立，则a 必大于等于21y x x =+--的最大值3．故取值范围为[)3,+∞．故选：C ．6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()1,f x ax b a b R x =++∈，当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，设()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1【答案】B【解析】函数()()1,f x ax b a b R x =++∈，当1[2x ∈,2]时，()f x 的最大值为(,)M a b ， 可得1(,)(2)|2|2M a b f a b ≥=++，11(,)()|2|22M a b f a b ≥=++，(,)(1)|1|M a b f a b ≥=++，可得1(3M a ,2)(3b M a +,)(b M a +,211124)1336333b a b a b a b ≥++++++++ 211124113363332a b a b a b ≥+++++---=， 即()12,2M a b ≥，即有()1,4M a b ≥，则(,)M a b 的最小值为14， 故选：B 7．（2022·浙江杭州·高一期末）当[1,1]x ∈-时，不等式2||||1ax b x c ++≤恒成立，则||||||a b c ++的最大值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】B【解析】因为[1,1]x ∈-， 所以[0,1]x ∈， 当0x =时，可得1c ≤①， 当12x =时，可得142a b c ++≤②， 当1x =时，可得1a b c ++≤③， 由①②③可得114()()84222a b a c a b c c =++-++-≤， 134()()84244a b b c a b c c =++-++-≤， 所以88117a b c ++≤++=，故选：B8．（2022·江苏省太湖高级中学高一期中）设{}|22A x x =-≥，{}|1B x x a =-<，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围为（ ）A ．1a <B ．01a <≤C ．1a ≤D ．03a <≤【答案】C 【解析】由22x -≥得22x -≤-或22x -≥，解得0x ≤或4x ≥，所以(][),04,A =-∞⋃+∞， 由1x a -<得1a x a -<-<，解得11a x a -<<+，所以()1,1B a a =-+.当0a ≤时，B =∅，A B ⋂=∅，符合题意. 当0a >时，由于A B ⋂=∅，所以1014a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得01a <≤. 综上所述，a 的取值范围是1a ≤.故选：C9．（2022·辽宁·沈阳二中高一阶段练习）已知函数()1f x mx x =--（0m >），若关于x 的不等式()0f x <的解集中的整数恰有3个，则实数m 的取值范围为（ ）A ．01m <≤B ．4332m ≤<C ．312m <<D ．322m ≤< 【答案】B【解析】()0f x <可化为1mx x <-，作函数y mx =与函数1y x =-的图象如下，结合图象可知，关于x 的不等式()0f x <的解集中的3个整数解为0，1-，2-； 故只需使221331m m ⎧-<--⎪⎨-≥--⎪⎩，解得4332m ≤<； 故选：B ．二、多选题10．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若函数{}2()min 33,|3|3f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[,]m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[,]m n 长度可以是（ ） A ．74B ．72C ．114D ．1【答案】AD 【解析】令23333x x x -+≤--+①，当3x ≥时，不等式可整理为2230x x --≤，解得13x -≤≤，故3x =符合要求，当3x <时，不等式可整理为2430x x -+≤，解得13x ≤≤，故13x ≤<，所以不等式①的解为13x ≤≤； 由上可得，不等式23333x x x -+>--+的解为1x <或3x >，所以()233,1333,13x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--+⎪⎩或， 令23334x x -+=，解得32x =，令27334x x -+=，解得52x =或12，令3334x --+=，解得34x =或214，令7334x --+=，解得74x =或174，所以区间[],m n 的最小长度为1，最大长度为74. 故选：AD.11．（2022·江苏·靖江高级中学高一阶段练习）若R x ∃∈，使得|21||32|x x m +--<成立是假命题，则实数m 可能取值是（ ）A ．5B ．4C ．4-D ．5-【答案】CD【解析】因为R x ∃∈，使得|21||32|x x m +--<成立是假命题，所以R x ∀∈，都有|21||32|x x m +--≥.记()|21||32|f x x x =+--，只需()min m f x ≤. ()34,213=|2+1||32|=42,<2214,<2x f x x x x x x ≥----≤--⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩， 所以()min 4f x =-，所以4m ≤-.对照四个选项，C 、D 符合题意.故选：CD12．（2022·辽宁·沈阳市第五中学高一阶段练习）下面命题中正确的为（ ）A ．不等式|1||2|3x x ++->的解集为RB ．不等式|1||2|3x x ++-≥的解集为RC ．不等式|1||2|5++->x x 的解集为(2,3)x ∈-D ．不等式|1||2|5++->x x 的解集为(,2)(3,)x ∈-∞-⋃+∞【答案】BD【解析】对于A ，当0x =时，|1||2|3x x ++-=，故选项A 错误；对于B ，因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥---=，即不等式|1||2|3x x ++-≥恒成立，所以不等式|1||2|3x x ++-≥的解集为R ，故选项B 正确；对于C ，不等式|1||2|5++->x x ，当1x <-时，则125x x --+->，解得<2x -；当12x -≤≤时，则125x x ++->，解得x ∈∅；当2x >时，则125x x ++->，解得3x >.综上所述，不等式|1||2|5++->x x 的解集为(,2)(3,)x ∈-∞-⋃+∞，故选项C 错误,D 正确.. 故选：BD.三、填空题13．（2022·天津市汇文中学高一阶段练习）关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋1|≤10的解集为___________．【答案】911,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】当x ＞2时，原不等式可化为：(x －2)＋x ＋1≤10，解得2＜x ≤112；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为：－(x －2)＋x ＋1≤10，即3≤10，所以－1≤x ≤2；当x ＜－1时，原不等式可化为：－(x －2)－(x ＋1)≤10，即－2x ≤9，解得92-≤x ＜－1． 综上所述，原不等式的解集是911,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故答案为：911,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．14．（2022·全国·高一专题练习）不等式122x x x -+-<+的解集为_________. 【答案】153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ 【解析】23,2121,1223,1x x x x x x x ->⎧⎪-+-=≤≤⎨⎪-+<⎩，|1||2|2x x x ∴-+-<+化为：2232x x x >⎧⎨-<+⎩或1212x x ≤≤⎧⎨<+⎩或1232x x x <⎧⎨-+<+⎩解得：25x <<或12x ≤≤或113x <<.∴不等式|1||2|2x x x -+-<+的解集为：153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭故答案为：153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭15．（2022·全国·高一专题练习）设1234T x x x x =-+-+-+-，如果x 可取任意实数值，那么T 的最小值是_____.【答案】4【解析】根据绝对值的几何意义可知，可转化为在数轴上有A B C D ，，，四点，其对应的值分别为1234，，，，求一点M ，使得MA MB MC MD +++最小，当M 在线段AD 上时，MA MD +的最小值为3，当M 在线段BC 上时，MB MC +的最小值为1， 故当M 在线段BC 上时，MA MB MC MD +++的最小值是4.故答案为：4.16．（2022·全国·高一专题练习）不等式12x x m -++≥恒成立，则m 的取值范围是_________.【答案】3m ≤ 【解析】12123y x x x x =-++≥---=,即函数的最小值是3，若不等式12x x m -++≥恒成立，则3m ≤.故答案为：3m ≤四、解答题17．（2022·广东实验中学附属天河学校高一阶段练习）已知集合{}|123A x x x =-+-<，{}2|4B x x ax =+≤，A B ⋂=∅，求a 的取值范围． 【解析】123x x -+-<表示数轴上的点x 到1与2的距离之和小于3，∴03x <<，∴()0,3A =，{}2|4B x x ax =+≤，A B ⋂=∅，∴24x ax +≤在()0,3上无解，即4≥+a x x 在()0,3上无解， ∴ ()0,3x ∀∈，4a x x <+恒成立， 444x x x x+≥⋅，当且仅当2x =时，等号成立，4a <， ∴a 的取值范围为(),4-∞18．（2022·湖北武汉·高一期中）已知函数()21f x x x =-++.(1)求不等式()4f x ≥的解集；(2)当R x ∈时，若()2f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）由于()21,1213,1221,2x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≥⎩，当1x <-时，214x -+≥，解得32x ≤-，此时32x ≤-； 当12x -≤<时，34≥不成立，此时无解；当2x ≥时，214x -≥，解得52x ≥，此时52x ≥. 综上：()4f x ≥的解集为35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. （2）∵()()()21213f x x x x x =-++≥--+=，当且仅当[]1,2x ∈-时等号成立∴23m m -≤，即230m m --≤113113m -+≤≤ ∴m 的取值范围是113113⎡-+⎢⎣⎦. 19．（2022·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知函数()|1|||f x x x a =-+-(1)若函数()f x 的值域为[2，)+∞，求实数a 的值(2)若(2)(2)f a f -≥，求实数a 的取值范围．【解析】（1）函数()|1||||1()||1|f x x x a x x a a =-+----=-，当()()10x x a --≤时，等号成立，|1|2a ∴-=，解得=3a 或1a =-．（2）由(2)(2)f a f -≥，可得3121a a ---≥，则13(1)(2)1a a a ≤---≥⎧⎨⎩或1<23(1)(2)1a a a ≤---≥⎧⎨⎩或>23(1)(2)1a a a ⎧⎨---≥⎩， 解得：0a ≤或322a ≤≤或2a >．综上，a 的范围是：3(,0],2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭． 20．（2022·浙江·高一阶段练习）已知a ，b ，c ∈R ，函数2y ax bx c =++．(1)若1a =，关于x 的不等式222430ax bx c x x ++≤--对任意x ∈R 恒成立，求b ，c 的值； (2)若a ，*b ∈N ，1c =，关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根，且均大于1-小于0，求a b +的最小值．【解析】（1）由224300x x --=，解得5x =或3x =-，则当5x =或3x =-时，2550930a b c a b c ⎧++≤⎪⎨-+≤⎪⎩，即2550930a b c a b c ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，由1a =，解得215b c =-⎧⎨=-⎩，∴2b =-，15c =-；（2）由题意得2Δ4010200b ac b a a b c c ⎧=->⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-+>⎪>⎪⎩，∴2241ba b a a b⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪+>⎪⎪⎩，由244b a >≥得3b ≥，若3b =，∴329413a a a ⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪+>⎪⎪⎩，则924<<a ，无解，若4b =，∴2414aa a >⎧⎪<⎨⎪+>⎩，则34a <<，无解，若5b =，∴5225415a a a ⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪+>⎪⎪⎩，则2544a <<，∴5a =或6a =，显然5a =时，a b +更小，为10，若6b ≥，由1a b +>，得2111a b b +>-≥，∴a b +的最小值为10，当5a =，5b =时取得．21．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）（1）求不等式2421x x x -++≥-的解集；（2）若不等式2321x x x mx ++--≥的解集包含(]0,1，求实数m 的取值范围；（3）已知2214x a x a -+-+≥在R x ∈时恒成立，求a 的取值范围.【解析】（1）①当1x ≥时不等式为2422x x x -++≥-解得：12x ≤≤②当1x <时，不等式为2422x x x -++≥-3171x -≤≤ 综上得：不等式的解集为：3172x x ⎧⎫-⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭∣（2）2321x x x mx ++--≥的解集包含(]0,1，故原不等式转化为：231x x mx ++≥在(]0,1恒成立，即13x m x ++≥在(]0,1恒成立，而对勾函数13y x x =++在区间(]0,1上单调递减，∴当1x =时，13y x x =++有最小值5，5m ∴≤.（3）()()222212121x a x a x a x a a a -+-+≥---+=-+， 2214x a x a ∴-+-+≥恒成立化为：2214a a -+≥，解得3a ≥或1a ≤-.。

纵观近几年的高考试卷，有关含绝对值函数的问题呈现出综合性强、立意新颖、难度大等特点，正日益成为高考的热点.利用绝对值函数的图象和性质在解有关含绝对值函数的客观题时，要运用好绝对值函数的图象和性质，根据题意，利用函数y=f（x）图象的翻折和平移得到y=f（x），y=f（x），y=f（x-m）等含绝对值函数的图象，然后利用图象求解.对于常见的含绝对值的函数的图象和性质，要熟练掌握，才有利于提升解题速度.如：y=ax（a>0，a≠1），y=ax-1，y=logax，y=logax（a>0，a≠1），y=ax2+bx+c，y=，y=x+（a>0），y=ax-b，y=ax2+bx+c等.例1 函数f（x）=2xlog0.5x-1的零点个数为 .（A）1 （B）2 （C）3 （D）4解析：由f（x）=2xlog0.5x-1=0可得log0.5x=x，设h（x）=x，g（x）=log0.5x，在同一坐标系中分别画出函数g（x）和h（x）的图象（如图1所示），可以发现两个函数的图象有2个交点，即函数f（x）有2个零点.所以答案选B.点评：解例1的关键是作出g（x）=log0.5x的图象，然后观察它与函数h（x）=x 的图象的交点个数，交点个数即为函数f（x）零点的个数.例2 已知函数f（x）=x-4+，x∈（0，4），当x=a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）=x+b的图象为 .解析：f（x）=x-4+=（x+1）+-5≥2-5=1，当且仅当x+1=时函数f（x）取到最小值1，即（x+1）2=9. 因为x∈（0，4），故x=2.由题意可知：a=2，b=1，故g（x）=x+1，其图象可由函数y=x的图象先进行翻折变换得到函数y=x的图象，然后再将所得图象向左平移1个单位后得到，所以答案为B.点评：根据均值不等式及其取等条件求得a，b的值，再根据函数图象变换得出函数g （x）的图象.转化为分段函数，进行分类讨论一般地，对于y=f（x）和y=f（x）这两种最典型的含绝对值的函数，可根据f（x）或x取值的正负分类，得到分段函数：y=f（x）= f（x），f（x）≥0，-f（x），f（x）<0和y=f （x）= f（x），x≥0，f（-x），x<0.对于含有x-a的绝对值函数，可先根据x≤a和x>a进行分类，再结合函数的图象求解.对于含参数的问题，还要对参数进行分类讨论.例3 函数f（x）=2log2x-x-的大致图象为 .解析：函数f（x）的定义域为（0，+∞），其中1是log2x和x-的零点，所以可先根据零点将f（x）转化为分段函数：当0当x>1时，f（x）=2log2x-x-=.即：f（x）=，x>1，x，0点评：例3中虽有两个绝对值符号，但它们有共同的零点x=1，故可根据01这两种情况，将函数f（x）转化为分段函数进行求解.例4 函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰好有两个交点，则实数k的取值范围是.解析：函数y==（x≠1），其中x2-1的零点为：x=±1.当x>1时，y=x+1;当-1≤x<1时，y=-x-1;当x<-1时，y=x+1.故函数y=x+1，x>1，-x-1，-1≤x<1x+1，x<-1.，函数y=kx-2的图象为恒过定点（0，-2）的直线族.如图2所示.要使函数y=的图象与y=kx-2的图象有两个不同的交点，则直线族y=kx-2应在图中阴影所示的两个区域内.边界线l1经过点（1，2）和点（0，-2），可得l1的斜率k==4，但是x≠1，函数y=kx-2的图象不经过点F（1，2），故k≠4;l2经过点（2，0）和（0，-2），可得l2的斜率k==1，但是当k=1时直线l2与函数y=的图象只有一个交点，故k≠1.l3与x轴平行，又x≠1，故函数y=kx-2的图象不经过点E，即k≠0.综上所述，实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）.点评：例4根据x2-1的零点将函数y=分段为x>1，-1≤x<1，x<-1这三种情形，然后画出函数图象，利用数形结合的方法求解.通过去绝对值分离参数，等价转化为求函数最值问题对于绝对值含参恒成立问题，一般可通过去绝对值、分离参数进行等价转化. 常规解题思路为：a-f（x）≤g（x）恒成立？圳-g（x）≤a-f（x）≤g（x）恒成立？圳f（x）-g（x）≤a≤f（x）+g（x）恒成立？圳a≥[f（x）-g（x）]max且a≤[f（x）+g（x）]min.a-f（x）≥g（x）恒成立？圳a-f（x）≤-g（x）恒成立或a-f（x）≥g（x）恒成立？圳a≤f （x）-g（x）恒成立或a≥f（x）+g（x）恒成立？圳a≤[f（x）-g（x）]min或a≥[f（x）+g （x）]max.例5 已知函数f（x）=1+a·x+x.（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域.（2）若对任意x∈[0，+∞），总有f（x）≤3成立，求实数a的取值范围.解析：（1）当a=1时，f（x）=1+x+2x，令t=x，则f（t）=t+x+.因为x∈（-∞，0），所以t∈（1，+∞）. 而f（t）在（1，+∞）上是增函数，又f（1）=3，所以所求值域为（3，+∞）.（2）令t=x，则f（t）=1+at+t2，由x∈[0，+∞）知t∈（0，1].因此f（x）≤3在x∈[0，+∞）上恒成立等价于f（t）≤3在t∈（0，1]上恒成立，所以-3≤f（t）≤3，整理得-4-t2≤a·t≤2-t2，即--t≤a≤-t在t∈（0，1]上恒成立.令h（t）=--t，g（t）=-t，若要满足题意则h（t）max≤a≤g（t）min.因为h（t）在（0，1]上递增，g（t）在（0，1]上递减，所以h（t）max=h（1）=-5，g（t）min=g （1）=1，故-5≤a≤1，实数a的取值范围为[-5，1].点评：例5的求解过程，体现了分离参数、将问题等价转化为求相关函数最值问题的思路.例6 已知函数f（x）=x-a+（x>0）.（1）当a=1时，求f（x）的最小值.（2）若对于任意的正数x，f（x）≥恒成立，求a的取值范围.解析：（1）当a=1时，f（x）=x-1+=x+-1，x≥1，1+-x，0<x<1.当x≥1时，f （x）递增，故f（x）≥f（1）=1;当0<x<1时，f（x）递减，故f（x）>1，因此f（x）的最小值为1.（2）f（x）≥恒成立可转化为：a-x≥-在x>0时恒成立.当-<0，即0<x<2时，a-x≥-恒成立，这时a∈R.当-≥0，即x≥2时，a-x≥-恒成立可转化为：a-x≥-或a-x≤--恒成立，即a≥x-+或a≤x+-在x≥2时恒成立.令h（x）=x-+，g（x）=x+-. a≥h（x）恒成立等价于a≥h（x）max，又h（x）在[2，+∞）上单调递增，并且当x→+∞时，h（x）→+∞，所以a≥h（x）max不能成立.a ≤g（x）恒成立等价于a≤g（x）min，又g（x）在[2，+∞）上单调递增，所以g（x）min=g（2）=2，因此a≤2.综上所述，当a≤2时，f（x）≥恒成立.点评：例6第（2）小题求解的主要流程就是先将原恒等式转化为求a-x≥-恒成立的形式，再通过去绝对值分离参数，最终通过求函数的最值来解题.在求解含绝对值的函数问题时，要根据绝对值的意义，结合常见的含绝对值的函数的图象和性质，充分运用分类讨论、数形结合、等价转化和函数与方程的数学思想求解.。

如何解决绝对值方程绝对值方程是一个常见的数学问题，需要找到使得方程中的绝对值表达式等于某个给定的值的未知数的取值。

解决绝对值方程的方法有很多，下面将介绍几种常见的解决方法。

一、用绝对值的定义解绝对值方程绝对值的定义是：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。

在解决一个绝对值方程时，可根据绝对值的定义将绝对值表达式拆分成两个情况，分别对应x≥0和x<0两种情况。

然后解得两个方程，得到两组解。

例如，解方程|2x-3|=5时，可以将绝对值表达式拆分成2x-3=5和2x-3=-5两个方程，然后解得x=4和x=-1，得到解集{x=4, x=-1}。

二、利用绝对值的性质解绝对值方程1. 若|a|=|b|，则a=b或a=-b。

即若两个绝对值相等，则去掉绝对值符号后的表达式相等。

利用这个性质，可以简化解绝对值方程的步骤。

例如，解方程|2x+1|=3，由性质可知2x+1=3或2x+1=-3，然后解得x=1和x=-2，得到解集{x=1, x=-2}。

2. 若|a|>c，则a>c或a<-c。

即若一个绝对值大于一个正数，则去掉绝对值符号后的表达式大于这个正数。

利用这个性质，可以将不等式转化成一组简单的不等式。

例如，解不等式|2x-1|>4，由性质可知2x-1>4或2x-1<-4，然后解得x>2.5或x<-1.5，得到解集{x:x>2.5或x<-1.5}。

三、用图像法解绝对值方程可以通过绘制绝对值函数的图像，来解决绝对值方程。

绘制出函数的图像后，再找到与给定值相等的函数值对应的x值即可得到解。

例如，解方程|2x-3|=5，可绘制出y=|2x-3|和y=5两个函数的图像，然后找到它们的交点对应的x值，即可得到解。

总结：解决绝对值方程的方法有多种，包括用绝对值的定义解方程、利用绝对值的性质解方程以及利用图像法解方程等。

不同的方法适用于不同的问题，需要根据具体情况选择合适的方法来解决。

解题宝典等，可能收到意想不到的效果.例6.已知a ,b ∈()0,+∞且a +b =1，求证：æèöø1+1a ⋅æèöø1+1b ≥9.证明：æèöø1+1a æèöø1+1b =æèöø1+a +b a æèöø1+a +b b =æèöø2+b a æèöø2+a b =4+2a b +2b a +1=5+2æèöøa b +b a ≥5+9，当且仅当a =b 时等号成立.这里将不等式中“1a ”“1b ”的分子“1”用“a +b ”来代替，通过化简得到a b +ba，然后利用基本不等式求得æèöø1+1a æèöø1+1b 的最值，证明不等式成立.例7.已知正数x ，y 满足x +3y =5xy ，求证：3x +4y ≥5.证明：因为x ,y 为正数，可将x +3y =5xy 等式两边同时除以5xy 得：x +3y5xy=1，即15y +35x=1，则3x +4y =1∙()3x +4y =æèçöø÷15y +35x ()3x +4y =135+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5，当且仅当3x 5y =12y 5x ，即x =1,y =12时等号成立，故3x +4y ≥5，命题得证.我们首先将已知关系式变形，构造出常数“1”，再将“1”进行代换，化简3x +4y ，利用基本不等式求得3x +4y 的最小值，进而证明不等式成立.总之，“1”在解高中数学题中发挥着重要的作用.同学们在日常学习中，要注意多积累解题经验，总结与“1”有关的代数式，在解题时将其进行代换，合理进行恒等变换，便能有效地提高解题的正确率和速度.（作者单位：江苏省东海县石榴高级中学）函数最值问题一直是高考数学试题中的热点题目，近几年浙江省数学高考试题中多次出现含绝对值的函数最值问题.此类问题不仅考查了函数的图象和性质、处理绝对值的方法，还考查了求最值的方法，属于综合性较强的一类问题.解答此类问题的关键去掉绝对值符号，将问题转化为常规函数最值问题来求解.下面，笔者结合一道例题来谈一谈求解含绝对值的函数最值问题的方法.例题：已知a ∈R ，函数f (x )=||||||x +4x-a +a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是______.本题中的函数含有绝对值，为了将其转化为常规函数问题，我们可以从绝对值和函数两个角度来寻找解题的思路，有以下5种方法.方法一：分段讨论法此方法是解答含绝对值问题的常用方法，首先，将定义域划分为几个区间段，然后分别求出各个区间段上函数的表达式，根据函数的图象和性质讨论函数的最值.对于本题，可先求出对勾函数y =x +4x 在[1,4]上的值域，然后对a 进行分类讨论，去掉绝对值后再求每个区间段上函数的最大值，建立关系式，便可求得a 的取值范围.解：∵x ∈[1,4]，∴x +4x∈[4,5]，①当a ≥5时，f (x )=a -x -4x +a =2a -x -4x，函数f (x )的最大值2a -4=5，解得a =92，不符合题意，舍去；②当a ≤4时，f (x )=x +4x -a +a =x +4x≤5，符合题意；③当4≤a ≤5时，f (x )max =max{|4-a |+a ,|5-a |+a }，则{|4-a |+a ≥|5-a |+a ，|4-a |+a =5，或{|4-a |+a <|5-a |+a ，|5-a |+a =5，解得a =92或a <92.综上可得，a 的范围是(-∞,92].绝对值函数本质上是一个分段函数，可根据绝对值的定义去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数的42解题宝典最值问题.但运用该方法解题，过程比较繁琐，容易出现重复和遗漏分类的情况.方法二：利用数轴利用数轴也是解答含绝对值问题的基本方法.在解题时，需利用绝对值的几何意义，将绝对值里面的式子看作是数轴上任意点到定点的距离，从而确定取.图1解：令x +4x=t ∈[4,5]，则f (t )=||t -a +a ，t ∈[4,5]，如图1所示，当a ≤0时，f (t )=||t -a +a =t ≤5成立；当0<a ≤t 时，f (t )=||t -a +a =||a -t +||a -0=t ≤5成立；当a >t 时，f (t )=||t -a +a =a -t +a ≤5恒成立，即a ≤4.5，则a 的范围是(-∞,92].这里首先确定t 的范围，将t 看作数轴上的任意一点，结合数轴找出f (t )的最值，使其小于或等于5，便可求得a 的取值范围.方法三：利用V 型函数V 型函数是一类常见的含绝对值的函数模型.在解题时，可将含绝对值函数转化为分段函数，借助函数的图象来分析函数的最值，将代数问题几何化，运用数形结合思想来解题.axyO 图2解：当f (x )取最大值时|t -a |取最大值，为5-a ，如图2，结合V 型函数图象可得：①当a ≤92时，f (x )max =|5-a |+a =5-a +a =5，符合题意；②当a >92时，f (x )max =|4-a |+a =a -4+a =5，∴a =92（矛盾），舍去；故a 的取值范围是(-∞,92].我们将含绝对值函数转换为分段函数，结合函数的图象便能快速求得a 的取值范围，这样可以获得事半功倍的效果.方法四：分离参数法运用分离参数法解题的基本思路是通过将参数进行分离，将问题转化为不等式恒成立问题来求解，在分离参数后求出函数的值域，验证取等号的条件，便可求出参数的取值范围.解：令x +4x=t ∈[4,5]，则问题可转化为g (t )=|t -a |+a 在t ∈[4,5]上的最大值是5，则问题等价于ìíî∀t ∈[4,5],|t -a |+a ≤5， ①∃t 0∈[4,5],|t 0-a |+a =5. ② 由①得∀t ∈[4,5], a -5≤t -a ≤5-a ，即a ≤t +52恒成立，所以a ≤æèöøt +52 min =92；由②知，当t 0=5时，|t 0-a |+a =5；综上所述a ≤92.我们先分析对勾函数y =x +4x在x ∈[1,4]上的值域，然后将其看成一个整体，解一次绝对值不等式即可使问题快速获解，这样避免了繁琐的分类讨论，能有效地提高解题的速度和准确性.方法五：以值代参本方法是通过用函数值来代替参数，使问题获解的方法.以值代参既起到了消参作用，又构建了变量与函数值之间的关系.解：令x +4x=t ∈[4,5]，则f (t )=|t -a |+a ，t ∈[4,5]，则f (t )的最大值为f (t )max =max{f (4),f (5)}，即ìíîf (4)=|4-a |+a =5，f ()5=|5-a |+a ≤5，或ìíîf (4)=|4-a |+a ≤5，f ()5=|5-a |+a =5，解得{a =4.5，a ≤5，或{a ≤4.5，a ≤5，则a 的取值范围是(-∞,92].我们借助函数值的范围，建立不等式，便求得参数的范围.运用以值代参方法解题,能获得出奇制胜的效果.含绝对值的函数最值问题是一类常考的题目，也是很多同学感觉困难的题目.因此，掌握一些解题的技巧是很有必要的.在解答含绝对值的最值问题时，同学们要注意从绝对值和函数两个角度，通过处理绝对值、分析函数的图象和性质来破解难题.（作者单位：浙江省诸暨市学勉中学）43。

开绝对值的方法和技巧绝对值是数学中常用的概念，表示一个数与零的距离。

在解决问题时，我们常常需要求解绝对值，因此掌握开绝对值的方法和技巧是非常重要的。

我们来看一下绝对值的定义。

对于任意实数x，其绝对值记作| x |，表示x与0之间的距离。

如果x大于或等于零，则| x |等于x本身；如果x小于零，则| x |等于-x。

在解决绝对值问题时，我们可以采用以下方法和技巧：1. 利用绝对值的性质：绝对值的性质是绝对值的非负性和绝对值的定义。

利用这两个性质，我们可以简化绝对值的运算。

例如，当我们需要求解| x - a | = b时，可以将其转化为两个方程：x - a = b 和x - a = -b，然后分别求解这两个方程，得到两个解。

2. 利用绝对值的图像：绝对值的图像是一条以原点为对称中心的折线。

通过观察绝对值的图像，我们可以得到一些直观的结论。

例如，当绝对值的参数发生变化时，图像向上平移或向下平移，这可以帮助我们理解绝对值方程的解的变化规律。

3. 利用绝对值的性质进行分类讨论：有时候，我们需要根据绝对值的性质进行分类讨论。

例如，当我们需要求解| x + 2 | > 3时，可以将其分为两种情况讨论：x + 2 > 3和x + 2 < -3。

然后解这两个不等式，得到解的区间。

4. 利用绝对值的等价关系：绝对值的等价关系是绝对值的定义的推论。

根据绝对值的等价关系，我们可以将含有绝对值的方程转化为一个或多个不含绝对值的方程。

例如，当我们需要求解| x - 1 | = | 3 - x |时，可以将其转化为两个方程：x - 1 = 3 - x和x - 1 = x - 3，然后解这两个方程，得到两个解。

5. 利用绝对值的性质进行变量代换：有时候，我们可以通过引入新的变量来简化含有绝对值的方程。

例如，当我们需要求解| x + 1 | + | x - 2 | = 3时，可以引入新的变量y = x + 1，将方程转化为| y | + | y - 3 | = 3，然后根据绝对值的性质进行分类讨论，最后将y的解转化为x的解。

用绝对值函数解决问题绝对值函数是一种常见的数学函数，它在现实生活和应用问题中起着重要的作用。

本文将探讨如何使用绝对值函数来解决各种问题，并简要介绍该函数的定义和性质。

一、绝对值函数的定义与性质绝对值函数（Absolute Value Function）是指以x为自变量，y=|x|为因变量的函数。

在数学符号中，绝对值函数通常用竖线表示。

对于任意实数x，其绝对值函数的定义如下：| x | = x, x ≥ 0| x | = -x, x < 0绝对值函数具有以下性质：1.非负性：对于任何实数x，| x | ≥ 0。

2.自反性：对于任何实数x，| x | = | -x |。

3.三角不等式：对于任何实数x和y，| x + y | ≤ | x | + | y |。

4.分段函数性质：绝对值函数可以表示为分段函数形式，便于处理不同区间的情况。

二、用绝对值函数解决实际问题1.距离问题绝对值函数在处理距离问题时经常被使用。

例如，设有两个点A和B在数轴上，其坐标分别为x1和x2。

则点A到点B的距离可以表示为：d = | x2 - x1 |绝对值函数保证了距离的非负性，且当x2 > x1时，距离为x2 - x1；当x2 < x1时，距离为-(x2 - x1) = x1 - x2。

2.不等式问题绝对值函数在解决不等式问题时也具有重要作用。

例如，考虑以下不等式：| x - a | < ε其中a为固定实数，ε为任意正数。

解决该不等式可以转化为求满足以下条件的x的区间：-a < x - a < a或 a - ε < x < a + ε通过绝对值函数的性质，可以得到不等式的解集，从而解决问题。

3.优化问题绝对值函数在解决优化问题时也发挥了重要作用。

例如，考虑以下问题：求函数f(x) = | x - a | 的最小值通过求导数和分析函数的凹凸性，可以确定绝对值函数的极值点。

当x = a时，函数取得最小值为0。

数学教案：应用绝对值函数解决实际问题应用绝对值函数解决实际问题一、教学目标1、引入绝对值函数的概念，能正确理解其定义和图像特征。

2、掌握绝对值函数的性质和基本操作，能熟练求绝对值函数的值。

3、学会应用绝对值函数解决实际问题。

二、教学重点和难点1、掌握绝对值函数的性质和基本操作。

2、学会应用绝对值函数解决实际问题。

三、教学内容及方法1、绝对值函数的定义对于任意实数x，定义其绝对值函数为：| x | = x (x≥0)| x | = -x (x<0)2、绝对值函数的图像特征绝对值函数y=|x| 的图像如下：图1 绝对值函数图像由图1可知：（1）当x≥0时，y=x；（2）当x<0时，y=-x。

由此可以发现，在直线x=0处，有个尖点，这是绝对值函数的一个特点。

3、绝对值函数的性质和基本操作（1）非负性：对于任意实数x，有| x |≥0。

（2）对称性：对于任意实数x，有| x |=| -x |。

（3）可加性：对于任意实数x和y，有| x + y |≤| x |+| y |。

（4）可乘性：对于任意实数x和y，有| xy |=| x || y |。

（5）基本操作：① 计算绝对值：对于任意实数x，有| x |=x(x≥0)，| x |=-x(x<0)。

② 解绝对值方程：| x |=a(a>0)的解为x=a或x=-a。

③ 解不等式：△x< a，解为：-a< x < a。

△x> a，解为：x< -a或x> a。

四、教学设计1、教师引入（1）回顾数学运算中的绝对值符号。

（2）通过开头的实际问题，意在唤起学生的兴趣，以培养学生应用绝对值函数解决实际问题的能力。

2、示范操作（1）引导学生分析实际问题，解释应用绝对值函数的必要性。

（2）示范解决实际问题的步骤和方法。

3、学生实践（1）学生根据教师的操作示范，自行完成一些练习题，以巩固所学内容。

（2）学生自己思考实际问题，然后进行应用绝对值函数解决的训练。

绝对值的十一种常见问题绝对值是数学中常见且重要的概念，而在使用绝对值时，有一些常见问题需要注意。

以下是绝对值的十一种常见问题及其解答：1. 什么是绝对值？绝对值是一个数与零之间的距离。

绝对值表示一个数的大小，但忽略了它的正负。

2. 如何计算一个数的绝对值？一个数的绝对值可以通过取该数的绝对值函数来计算。

绝对值函数表示为|a|，其中a是一个数。

3. 绝对值函数的图像是什么样子的？绝对值函数的图像呈现V形，开口向上或向下。

图像关于y轴对称，过原点。

4. 绝对值可以为负数吗？不可以，绝对值总是非负的。

无论输入是正数、负数，或零，绝对值的结果都不会是负数。

5. 绝对值可以为零吗？是的，绝对值可以是零。

当输入为零时，绝对值的结果也是零。

6. 如何解决含有绝对值的方程或不等式？含有绝对值的方程或不等式可以分情况讨论来解决。

根据绝对值的定义，将绝对值分开，并根据绝对值的正负情况得出不同的解。

7. 绝对值有哪些常见的性质？- |a| ≥ 0，即绝对值总是非负的。

- |a| = 0 当且仅当a = 0。

- |ab| = |a| |b|，即绝对值的乘积等于各个数的绝对值的乘积。

- |a/b| = |a| / |b|，即绝对值的除法等于被除数和除数的绝对值的除法。

8. 如何求解包含多个绝对值的复杂方程？对于包含多个绝对值的复杂方程，可以将绝对值分情况讨论，并使用不等式或方程来解决每种情况。

9. 绝对值可以用于求解哪些实际问题？绝对值可以用于求解诸如距离、温度变化、利润等实际问题。

它提供了一种对数值的无偏估计。

10. 绝对值存在什么常见误区？一个常见的误区是错误地认为|a + b| = |a| + |b|。

实际上，只有当a和b同时具有相同的符号时，该等式才成立。

11. 绝对值可以应用于复数吗？绝对值可以应用于复数。

对于复数a + bi，其绝对值定义为√(a^2 + b^2)。

希望这份文档能帮助你对绝对值的理解更加深入。

函数绝对值的最大值的最小值问题----切比雪夫逼近下的图像法题目：已知函当时，的最大值记，的最小值为解：如图，画在上的图像，为一直线，即考虑这两个函数竖直方向距离的最大值。

取水平直，则此，取其上一点，将绕点旋转，易知其对应的均大，再考虑不过点的，其必与前面过点的某条直线平行，比较可知，不过点更大，的最小值为。

从此题的解答，有点用到切比雪夫逼近理论：定理 1（限定参数下的平行线逼近法）：已知y =f (x) 是闭区间 D 上的连续函数，若存在过y =f (x)上点的直线h1(x) =ax +b1，h2 (x) =ax +b2，使h2 (x) ≤f (x) ≤h1(x)恒成立，记 f (x) -ax -b在 D 上的最大值为(2 - a ) - (1- 2a )1+ a 1M (a ,b ) ，则M (a , b ) ≥推论 1：已知 y = f (x ) 是闭区间 D 上的连续函数，则 f (x ) - b 在 D 上最大值为M (b ) ，则M a (b ,)≥ fx () xa m f -x (n )im2当且仅当b =f (x )max + f (x )min2时取等号。

接下来我们来尝试定理 1 及推论 1 的应用例 1：（2016 年 4 月浙江学考第 18 题）设函数f (x ) =2- ax - b ,若对于 x任意正实数 a 和实数 b ，总存在x 0 ∈[1, 2] ，使得f (x 0 ) ≥ m 成立，则实数m 的取值范围是 。

解法 1：（利用定理 1）记 2- ax - b 在[1, 2] 上的M (a ,b ) 最大值为 x可 知 g (x ) = 2 x图 像 夹 在 两 直 线h 1 (x ) = ax - a + 2 ，h 2 (x ) = ax - 2a +1(a > 0) 之间，由定理 1 得，M (a ,b ) ≥ =，22∈ ( , 2 +∞) ，所以m ≤ 12解 法 2 ： 由， 所 以g (x ) = 2 - ax x在 [1, 2] 单 调 递 减 ，g (x ) max = 2 - a , g (x )min =1- 2a ， M (a ,b ) ≥ (2 - a ) - (1- 2a ) = 1+ a ，2 2所以m ≤ 1+ a 对a > 0 恒成立， 1+ a ∈ (1 , +∞) ，可得m ≤ 12 2 2 2上面我们用定理 1 及推论 1 很好的解决了例 1，若题目条件中a > 0 变b 1 - b 22a > 0, 1+ a 2a > 0b 1 -b 22为任意实数 a，由于此时g(x) =2-ax 的最值不容易求，所以我们需要x更加一般的方法来解决。

绝对值函数最值问题及解题技巧绝对值函数是数学中常见的一种函数形式。

在求解绝对值函数的最值问题时，存在几种常用的解题技巧。

技巧一：图像法绘制绝对值函数的图像是解决最值问题的一个有效方法。

通过观察图像可以获得函数的最值。

例如，对于绝对值函数 $f(x) = |x|$，我们可以绘制其图像，并观察到 $x = 0$ 时，函数取得最小值为 0。

技巧二：函数定义法另一种解决绝对值函数的最值问题的方法是使用函数定义。

对于一般形式的绝对值函数 $f(x) = |g(x)|$，我们可以将其转化为无绝对值的函数定义。

具体步骤如下：1. 当 $g(x) \geq 0$ 时，$f(x) = g(x)$；2. 当 $g(x) < 0$ 时，$f(x) = -g(x)$。

通过转化后的函数定义，我们可以求解函数的最值。

技巧三：矩阵法矩阵法也是解决绝对值函数最值问题的常用技巧。

首先将绝对值函数表示为矩阵形式：$f(x) = \begin{cases} g(x) & \text{if } x \geq 0 \\ -g(x) & \text{if } x < 0 \end{cases}$。

然后，通过求解矩阵中的最值，可以得到绝对值函数的最值。

技巧四：导数法对绝对值函数求导有助于解决最值问题。

对于一般形式的绝对值函数 $f(x) = |g(x)|$，我们可以对其进行求导。

然后，通过求导结果的特点和函数的定义域，可以得到函数的最值。

需要注意的是，当绝对值函数在某点不可导时，可以通过左极限和右极限来确定最值。

以上是解决绝对值函数最值问题的几种常用技巧。

在实际应用中，根据具体问题的特点选择合适的方法来求解最值，可以更高效地解决问题。

乇乇乇乇乇乇乇乇乇乇乇乇乇乇知识导航含绝对值的函数问题较为复杂，一般除了含有绝对值，还含有参数，因此在解答此类问题时，我们需灵活运用分类讨论思想来辅助解题.同时，函数图象是解答函数问题的重要工具，所以我们不仅要熟练掌握各种初等函数的图象及其画法，还要学会借助函数图象来解题.解答含有绝对值的函数问题的常规思路是，首先看定义区间是否为定区间，若为定区间，就需去掉绝对值符号，求出定区间上函数的解析式，并画出函数的图象;若定义区间不为定区间，就需结合参数的取值进行讨论.然后结合函数的图象来分析函数的零点、单调性、最值以及参数的取值范围.例1.已知函数f (x )=x ||x 2-a ，若存在x ∈[]1,2，使得f (x )<2，则实数a 的取值范围是．分析：由题意可知，只要求得f (x )的最小值，便可建立新的不等式，求得a 的取值范围.因为x ∈[1,2]，所以x 2∈[1,4]，当a ∈[1,4]时，|x 2-a |的最小值是0.当a >4和a <1时，可以直接去绝对号，运用分类讨论思想进行讨论，这样方便会很多.解：①当1≤a ≤4时，f ()x min =0，②当a >4时，f ()x =x (a -x 2)，则f ′()x =-3x 2+a ，根据导数可以画出如图1所示的图象所以f ()x min =f ()2，③当a <1时，f ()x =x (x 2-a ),则f ′()x =3x 2-a ，根据导数可以得y =f ()x 在[1，2]上单调递增，所以f ()x min =f ()1，综上所述，f (1)<2或者f (2)<2，解得-1<a <5.我们根据变量讨论参数的范围，并根据参数的范围去掉绝对值符号，这样就将问题化简为一般的初等函数的最值问题.例2.已知函数f （x ）=x|x-a|+2x-3．（1）当a =4，2≤x ≤5时，求函数f (x )的最大值和最小值；（2）当x ∈[1，2]时，f （x ）≤2x -2恒成立，求实数a 的取值范围．分析：对于第一个问题，我们需先去掉绝对值符号，得到一个二次函数，然后分区间进行讨论，根据二次函数的图象和性质来求最值.由于函数的定义域受a 影响，所以第二个问题属于动区间问题.需要首先对x -a 的正负进行分类讨论，然后将参数、变量分离，通过求不含参数式子的最值，建立新不等式，求得a 的取值范围.解：（1）当a =4时，f (x )=x |x -4|+2x -3；①当2≤x <4时，f (x )=-x 2+6x -3，当x =2时，f （x ）min =5；当x =3时，f （x ）max =6，②当4≤x ≤5时，f （x ）=x 2-2x -3=（x -1）2-4，当x =4时，f （x ）min =5；当x =5时，f （x ）max =12，综上可知，函数f （x ）的最大值为12，最小值为5.（2）若x <a ，原不等式化为f （x ）=-x 2+ax ≤1，即a ≤(x -1)x在x ∈[1，2]上恒成立，由图2可得a ≤2.若x ≥a ，原不等式化为f （x ）=x 2-ax ≤1，也即a ≥(x -1)x在x ∈[1，2]上恒成立，由图3可得a ≥32.综上可知，a 的取值范围为32≤a ≤2．我们仔细分析可以发现x|x-a|≤1可以化简为|x-a|≤1x，可在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图4所示，根据两个函数图象来分析问题.图2图3图4因为y =1x是固定不变的，将y =|x-a|左右移动可以得32≤a ≤2.可见，借助函数图象，运用数形结合思想来辅助解题，能有效提升解题的效率.总之，在解答含绝对值的函数问题时，我们首先要关注函数的定义域区间，看它是定区间还是动区间，然后运用分类讨论思想对不同区间上的函数进行讨论，再运用数形结合思想，借助函数的图象来寻找切入点.（作者单位：江苏省海安高级中学）图135。

绝对值函数的性质与应用绝对值函数是一种常见的数学函数，在许多实际问题中有着广泛的应用。

本文将介绍绝对值函数的性质，并探讨其在数学和现实生活中的应用。

一、绝对值函数的定义和性质绝对值函数是一个以|x|的形式表示的函数，其中|x|表示实数x的绝对值。

该函数的定义如下：f(x) = |x|对于任意实数x，其绝对值函数的值都是非负实数。

绝对值函数具有以下性质：1. 非负性：对于任意实数x，有f(x) ≥ 0。

2. 对称性：对于任意实数x，有f(-x) = f(x)。

3. 三角不等式：对于任意实数x和y，有f(x+y) ≤ f(x) + f(y)。

二、绝对值函数的应用1. 解决实数问题绝对值函数在求解实数问题时非常有用。

例如，当我们需要计算一个实数的距离或误差时，可以使用绝对值函数。

另外，在代数方程中，绝对值函数常常用于求解方程的根。

2. 处理数据范围绝对值函数可以用于处理数据的范围问题。

当我们需要将数据限制在一定的范围内时，可以使用绝对值函数。

例如，在编程中，我们可以使用绝对值函数来确保变量的值不超出所需的范围。

3. 表示物理量绝对值函数在物理学中也有广泛应用。

例如，当我们需要表示速度、加速度或力的大小时，可以使用绝对值函数。

这是因为这些物理量都是以方向性和大小性两个方面进行描述的，而绝对值函数可以将方向性忽略并只保留大小性。

4. 建模与优化绝对值函数在数学建模和优化中也起着重要的作用。

在建模中，我们常常使用绝对值函数来描述实际问题中的约束条件。

在优化中，绝对值函数可以被用作优化目标或约束函数。

总结：绝对值函数是一个重要的数学函数，具有非负性、对称性和三角不等式等性质。

它在解决实数问题、处理数据范围、表示物理量以及数学建模与优化中有着广泛的应用。

通过了解绝对值函数的性质和应用，我们可以更好地理解和应用这一函数，从而解决各种实际问题。

以上就是关于绝对值函数的性质与应用的文章，希望对您有所帮助。