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常微分方程的解是千儿的首篇笔记啦(^_−)☆这一系列笔记大概是来梳理一下各种常微分方程的解法。
证明部分暂时不会作为重点。
这篇笔记将梳理常微分方程的基本解法。
笔记主要采用的教材是丁同仁老师的《常微分方程教程》。
〇、一些名词1、常微分方程凡是联系自变量 x ，这个自变量的未知函数 y = y(x)及其直到 n 阶导数在内的函数方程f(x,y,y',y'',...,y^{(n)}) = 0 叫做常微分方程，并称 n为常微分方程的阶。
如果在上式中， f 对 y,y',...,y^{(n)} 而言都是一次的，那么我们称该方程为线性常微分方程，否则称其为非线性的。
如果未知函数是多元的，那么称之为偏微分方程。
在学习常微分方程的过程中，需要辩证地看待常微分方程和偏微分方程的关系，并及时进行转换。
这样就可以灵活地求解常微分方程。
2、解和通解若函数 y = \varphi (x) 在区间 j 内连续，且存在直到n 阶的导数。
若把 \varphi (x) 及其对应的各阶导数代入原方程，得到关于 x 的恒等式，那么我们称 y = \varphi(x)是原方程在区间 j 上的一个解。
如果解 y = \varphi(x, c_1,c_2,...,c_n) 中包含 n 个独立的任意常数c_1,c_2,...,c_n ，那么我们称其为通解。
若解中不包含任意常数，那么我们称其为特解。
3、初等积分法初等积分法是用一些初等函数或它们的积分来表示微分方程的解的方法。
这也是我们在本节中讨论的方法。
一、恰当方程对于形如 p(x,y)\text dx + q(x,y)\text dy = 0 的方程，如果存在一个可微函数 \phi (x,y) 使得 \text d \phi (x,y) = p(x,y)\text dx = q(x,y) \text dy，那么我们称其为一个恰当方程，或全微分方程。
恰当方程有解的充要条件是 \frac {\partial p(x,y)} {\partial y} = \frac{ \partial q(x,y)}{\partial x} 。
* *第一章一阶微分方程的解法的小结⑴、可分别变量的方程：①、形如dyf ( x)g ( y) dx当 g( y)dyf (x)dx ，两边积分即可获取结果；0 时，获取g( y)当 g( 0 )0 时，则 y(x)0 也是方程的解。
例、dyxy dx解：当 ydy x20时，有xdx ，两边积分获取 ln y C (C为常数 ) y2x2所以 y C1 e 2(C1为非零常数且C1e C )y0 显然是原方程的解；x2综上所述，原方程的解为y C1e 2(C1为常数 )②、形如 M ( x) N ( y)dx P(x)Q ( y)dy0当 P( x) N ( y)M (x)Q( y)0 时，可有dx dy ，两边积分可得结果；P(x)N ( y)当 N ( y0 )0 时， y y0为原方程的解，当P(x0）0 时， x x0为原方程的解。
例 1.2 、x( y21)dx y( x21) dy0解：当 ( x21)( y21)0时，有y dy x dx 两边积分获取1y 2x21ln x21ln y 21ln C(C 0) ，所以有( x21)( y21) C (C 0)；当 ( x21)( y21)0 时，也是原方程的解；综上所述，原方程的解为( x21)( y21) C (C为常数 ) 。
⑵可化为变量可分别方程的方程：dy y①、形如g( )dx x* *解法：令 uy，则 dyxduudx ，代入获取 xduu g(u) 为变量可分别方程， 获取xydxf (u, x, C ) 0(C 为常数 ) 再把 u 代入获取 f (, x,C) 0 (C 为常数 ) 。
xdyG (ax by), (ab 0)②、形如dxadx du1 du a解法：令 uaxby ，则 dyG(u) 为变量可分别方程，b ，代入获取b dxb获取 f (u, x,C )0 (C 为常数 ) 再把 u 代入获取 f (ax by, x,C ) 0 (C 为常数 ) 。
常微分方程小结姓名：邱俊铭学号：2010104506姓名：李林学号：2010104404姓名：曾治云学号: 2010104509初等积分法：变量分离形式一、一阶微分程：dy/dx=h(x)g(y) ，其中函数h(x)在区间(a,b)上连续，g(y)在区间(c,d)上连续且不等于0.经过分离变量得: dy/g(y)=h(x)dx 两端积分得：G(y)=H(x)+c ,其中c任意的常数且G(y)= ∧dy/g(y)，H(x)= ∧h(x)®x，所以G’(y)=1/g(y)不为0，故G存在逆函数，从而得到：y= (H(x)+c).例1. dy /dx=2xy解：当y ≠0时，分离变量后得：dy/ y =2xdx ,两边积分得：ln|y|=x^2+c1 ，此外y=0也是方程的解，从而方程的解为y=Ce^(x^2),g(y)=0,则y=是方程的解，其中C为任意的常数。
初值问题的解，即y取任意一个数得到的结果，代入通解中，求出具体y 值。
例2.y(1+x^2)dy=x(1+y^2)dx,y(0)=1;解：这是变量分离的方程，分离变量后得：y/(1+y^2)dy=x/(1+x^2),两边积分得其通解为：1+y^2=C(1+x^2),其中C为任意常数，代入初值条件得：C=2.。
故所给的初值问题的解为y=.二、常数变易法一阶非线性方程：dy/dx=a(x)y+f(x).（1）当f(x)=0时，方程为齐次线性方程，解法和上述的一样，通解为y=C ,C为任意的常数。
现在求齐次线性方程的通解，常数C换成x的函数c(x),得到：y= c(x)，对x 求导，然后代入（1）中化简，两端积分，得：y=C +f x e ..例3. dy/dx-2xy=x.解：dy/dx=2xy+x ，这里a(x)=2x,f(x).从而可求出原方程的通解为： Y=exp(2 ∧x ®x)(c+ ∧xexp(-2∧x ®x)®x)=-1/2+ce^(x^2),即-1/2+ce^(x^2)，其中c 为任意的常数。
高中数学中的常微分方程知识点一、引言常微分方程是数学中的一个重要分支，它在自然科学、社会科学和工程技术等领域有着广泛的应用。
高中数学中的常微分方程知识点主要包括一阶微分方程、二阶微分方程和常微分方程的解法等内容。
二、一阶微分方程1. 概念一阶微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程，其中P(x)和Q(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）分离变量法：将方程中的y和x分离，化为y = f(x)的形式，然后对两边进行积分。
（2）积分因子法：找出一个函数μ(x)，使得原方程两边乘以μ(x)后，可以化为dy/dx + μP(x)y = μQ(x)的形式，然后利用积分因子公式求解。
（3）变量替换法：选择一个合适的变量替换，将原方程化为简单的一阶微分方程，然后求解。
3. 例子求解方程dy/dx + 2y = e^x。
（1）分离变量法：dy/y = e^x dx∫ dy = ∫ e^x dxy = e^x + C其中C是积分常数。
（2）积分因子法：μ(x) = e^(-∫ 2dx) = e^(-2x)μ(dy/dx + 2y) = μQ(x)e^(-2x)dy/dx + 2e^(-2x)y = e(-2x)e x(-dy/dx + 2y)e^(2x) = 1-dy/dx + 2y = e^(-2x)利用积分因子公式求解，得到：y * e^(2x) = -∫ e^(-2x) dx + Cy = (-1/2)e^(-2x) + C/e^(2x)三、二阶微分方程1. 概念二阶微分方程是指形如d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = R(x)的方程，其中P(x)、Q(x)和R(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）常数变易法：假设y = e^(αx)，代入原方程，得到关于α的二次方程，求解得到α的值，进而求出y的解。
（2）待定系数法：假设y = e^(αx)的系数为待定系数，代入原方程，得到关于待定系数的方程，求解得到待定系数的值，进而求出y的解。
一阶常微分方程的解法微积分是数学的重要分支之一，常微分方程是微积分中的重要内容。
在微积分中，我们经常遇到一阶常微分方程的求解问题。
本文将介绍一阶常微分方程的解法及其应用。
1. 分离变量法一阶常微分方程常常可以通过分离变量的方法求解。
具体步骤如下：（1）将方程中的未知函数和其导数分离到方程的两侧；（2）对方程两边同时积分，得到未知函数的通解；（3）根据方程的边界条件，确定通解中的常数。
例如，考虑一阶常微分方程 dy/dx = x^2。
我们可以将方程重写为 dy = x^2dx，并对其两边同时积分。
通过求不定积分，我们得到 y = x^3/3+ C，其中 C 是常数。
这样我们就求得了方程的通解。
2. 齐次方程的解法对于一些特殊的一阶常微分方程，我们可以使用齐次方程的解法。
如果方程可以重写为 dy/dx = f(y/x)，其中 f 是一个只与 y/x 相关的函数，那么我们可以通过变量代换 y = vx，化简方程并求解得到原方程的解。
例如，考虑一阶常微分方程 y' = y/x。
我们可以通过变量代换 y = vx，其中 v 是关于 x 的函数。
将代换后的方程进行化简，得到 xdv/dx + v = v，整理后得到xdv/dx = 0。
显然，这是一个齐次方程，其解为v = C1，其中 C1 是常数。
将 v 代回原方程中，得到 y = C1x，即为方程的解。
3. 一阶线性方程的解法一阶线性方程是一种常见的一阶常微分方程形式，可以写作 dy/dx+ P(x)y = Q(x)，其中 P(x) 和 Q(x) 是已知函数。
一阶线性方程的解法如下：（1）求出方程的积分因子μ(x) = e^(∫P(x)dx)；（2）将方程两侧同时乘以积分因子μ(x)；（3）对方程两侧同时积分，得到y = (∫Q(x)μ(x)dx + C)/μ(x)，其中C 是常数。
例如，考虑一阶线性方程 dy/dx + 2xy = x。
首先，我们求出方程的积分因子μ(x) = e^(∫2xdx) = e^(x^2)。
常微分方程的分类及其解法常微分方程是数学中非常重要的一门学科，它涉及到的领域很广，如物理学、工程学、经济学等等都有很多应用。
常微分方程的分类及其解法，是常微分方程学习的重要内容，下面本文将就此做出一定的阐述。
一、常微分方程的分类常微分方程按照阶数，可以分为一阶常微分方程、二阶常微分方程、三阶常微分方程以及高阶常微分方程。
按照变量的个数，可以分为一元常微分方程和多元常微分方程。
按照系数的定性，可以分为常系数微分方程和变系数微分方程。
二、常微分方程的解法1. 一阶常微分方程的解法（1）可分离变量方程法对于形如$y^{'}=f(x)g(y)$的方程，如果能将变量x和y分离到等式两端，即$$\frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx$$两端对x积分，得到$$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$$式中C为常数。
这里需要注意的是，$g(y)$不能为0，如果出现$g(y)$为0的情况，需要特别处理。
（2）积分因子法对于形如$y^{'}+P(x)y=Q(x)$的方程，如果能找到一个函数$\mu(x)$，使得方程两端同时乘上$\mu(x)$得到的新方程，可以写成$$\mu(x)y^{'}+\mu(x)P(x)y=\mu(x)Q(x)$$其中左边一项可以通过链式法则写成$(\mu(x)y)^{'}$的形式，于是方程可以转化为$$ (\mu(x)y)^{'}=\mu(x)Q(x)$$这是一个可积的方程，可以积分得到原方程的解。
（3）直接积分法对于形如$y^{'}=f(x)$的方程，可以直接对方程两边积分得到$$y=\int f(x)dx+C$$式中C为常数。
2. 二阶常微分方程的解法（1）常系数齐次线性方程法形如$y^{''}+py^{'}+qy=0$的方程称为齐次线性方程，如果其系数不随自变量x的变化而变化，即p、q为常数，那么称为常系数齐次线性方程。
变量分离法常数变易法积分因子法变量分离法1) 变量分离方程 形如()()dyf xg y dx=(或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=) 的方程，称为变量分离方程，其中函数()f x 和()g y 分别是,x y 的连续函数.2)求解方法 如果()0g y ≠，方程()()dyf xg y dx =可分离变量化为，()()dy f x dx g y = 两边同时积分,得到()()dyf x dx cg y =+⎰⎰3) 例题例1 求解方程dy x dx y=- 解将变量分离，ydy xdx =-两边积分，即得22222y x c =-+ 通解为22x y c +=（c 是任意的正常数） 或解出显式形式y =例2 解方程2cos dyy x dx=并求满足初始条件：当0x =时.1y =的特解.解将变量分离，得2cos dyxdx y = 两边积分，即得1sin x c y-=+ 通解为1sin y x c=-+为确定所求的特解，以0x =.1y =代入通解中确定常数c ，得到1c =-。
因而，所求的特解为11sin y x=-注: 1.常数c 的选取保证通解表达式有意义；2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解,即将遗漏的解要弥补上；3.微分方程的通解表示的是一族曲线特解表示的是满足特定条件00()y x y =的一个解，表示的是一条过点00(,)x y 的曲线.2、可化为变量分离方程的类型1）齐次方程dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭利用变量替换可化为变量分离方程再求解.同时对x 求导于是dy dux u dx dx=+ 代入原方程变为()dux u g u dx+= 整理后，得到()du g u udx x-=一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量， 所得的解便是原方程的解.例5 求解方程(0).dyxy x dx+=<方程 以,y dy du u xu x dx dx==+代入，则原方程变为dux dx =dx x = 两边积分ln()x c =-+ 即2[ln()](ln()0)u x c x c =-+-+>①这里的c是任意常数.此外，还有解0u =，注意，此解不包括在通解中. 将①代回原来的变量，即得原方程的通解2[ln()](ln()0)y x x c x c =-+-+>及解0y =.原方程的通解还可表为：2[ln()],ln()0,0,x x c x c y ⎧-+-+>=⎨⎩它定义于整个负半轴上.注：1.对于齐次方程dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的求解方法关键的一步是令y u x =后，解出y ux =，再对两边求关于x 的导数得dy duu xdxdx =+，再将其代入齐次方程使方程变为关于,u x 的可分离方程（x 为自变量，y 为因变量）；2.齐次方程也可以通过变换xv y=而化为变量分离方程.这时x vy =，再对两边求关于y 的导数得dx dv v ydy dy =+，将其代入齐次方程dxx f dy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭使方程变为,v y 的可分离方程（y 为自变量，x 为因变量）；2）形如111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的121212,,,,,a a b b c c 均为常数. （1）120c c ==情形. 这时方程属齐次方程，1122a x b y dy y g dx a x b y x +⎛⎫== ⎪+⎝⎭. 分子分母同除以x （2）11220a b a b =，即1122a ba b =的情形. 设1122a b k a b ==，则方程可写成 22122222()()()k a x b y c dy f a x b y dx a x b y c ++==+++则方程化为22()dua b f u dx=+这是一变量分离方程（3）1112220,a b c c a b ≠及不全为零的情形.这时方程111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++右端的分子、分母都是,x y 的一次式，因此 1112220a xb yc a x b y c ++=⎧⎨++=⎩代表xy 平面上两条相交的直线，设交点为(,)αβ. 显然，0α≠或0β≠，否则必有120c c ==，这正是情形（1）（只需进行坐标平移，将坐标原点(0,0)移至(,)αβ就行了，112200a X b Y a X b y +=⎧⎨+=⎩，原方程化为1122a X bY dY Y g dX a X b Y X +⎛⎫== ⎪+⎝⎭因此，得到这种情形求解的一般步骤如下：(1)解联立代数方程1112220a x b y c a x by c ++=⎧⎨++=⎩，设其解为,x y αβ==；(2)1122a X bY dY Y g dX a X b Y X +⎛⎫== ⎪+⎝⎭； (3)再经变换Yu X=将齐次方程化为变量分离方程； (4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程的解.例6 求解方程13dy x y dx x y -+=+-解解方程组1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得1, 2.x y ==令12x X y Y =+⎧⎨=+⎩代入方程，则有齐次方程dY X YdX X Y-=+Y uX =分离变量化为2112dX udu X u u +=-- 两边积分，得22ln ln 21X u u c=-+-+因此22(21)c X u u e +-=±2212Y XY X c +-=记1,c e c ±= 并代回原变量，就得 221(2)2(1)(2)(1)y x y x c -+----=此外，易验证2210u u +-=即2220Y XY X +-= 也就是齐次方程的解.因此原方程的通解为22262y xy x y x c +---=其中c 为任意的常数.常数变易法（一阶非齐次线性微分方程、n阶非齐次线性微分方程、非齐次常系数线性方程组）是否只能解决常系数？1()dyP x ydx=它的通解为()P x dxy ce⎰=2）求解步骤：求出对应的一阶齐次线性微分方程的通解()P x dxy ce⎰=两边微分，得()()()()()P x dx P x dxdy dc xe c x P x edx dx⎰⎰=+代入原方程，得到()()()()()()()()()P x dx P x dx P x dxdc xe c x P x e P x c x e Q xdx⎰⎰⎰+=+即()()()P x dxdc xQ x edx-⎰=积分后得到()()()P x dxc x Q x e dx c-⎰=+⎰代入()()P x dxy c x e⎰=注: 非齐次线性方程的通解是它对应的齐次线性方程的通解与它的某个特解之和.初值问题()()()dyP x y Q xdxy x y⎧=+⎪⎨⎪=的解为例2 求方程22dy ydx x y=-的通解.解原方程颠倒改写为2dxx ydy y=-把x看作未知函数，y看作自变量先求齐次线性方程2dxxdy y=的通解为2x cy=于是2()2()dx dc yy c y ydy dy=+代入原方程，得到()lnc y y c=-+从而，原方程的通解为2(ln)x y c y=-这里c 是任意的常数,另外0y=也是方程的解.3求解步骤：用n y -乘方程两边，得到1()()nn dyy y P x Q x dx--=+ 引入变量变换1n z y -=（2.40）从而(1)n dz dyn y dx dx-=-（2.41） 将（2.40）、（2.41）代入原方程，得到(1)()(1)()dzn P x z n Q x dx=-+- 这是线性方程，用上面介绍的方法求得它的通解， 然后再代回原来的变量，便得到伯努利方程的通解. 此外，当0n >时，方程还有解0y =.例5 求方程331dy dx xy x y=+的解 解将方程改写为33dxyx y x dy=+这是一个自变量为y ，因变量为x 的伯努利方程.解法同上.例4 求方程26dy yxy dx x=-的通解 解这是2n =时的伯努利方程，令1z y -=,得2dz dy y dx dx-=- 代入原方程得到6dz z x dx x =-+这是线性方程，求得它的通解为268c x z x =+代回原来的变量y ，得到2618c x y x =+，或者688x x c y -=这是原方程的通解. 此外，方程还有解0y =.例6 求方程23y dye x dx x+=的通解 原方程改写为2223du x u u dx x x=+便是伯努利方程.4()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数。
用积分因子法解常微分方程摘要：每一个微分方程通过转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此非恰当微分方程转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要.此论文主要研究几类微分方程积分因子，从而使微分方程的求解变得较简便.关键词：微分方程恰当微分方程积分因子通解Abstract：After each differential equation through into the appropriate equation, can use the appropriate equations for solving non appropriate formula, the differential equation is transformed into an appropriate equation is an important step in solving differential equations, into the appropriate equation requires the solution of the integral factor, thus solving the integral factor becomes very important. This paper mainly research for several kinds of differential equation of integral factor, to make it easy for solving differential equations.Key Words：Differential equation Exact differential equation Integrating factor General solution自变量只有一个的微分方程称为常微分方程.常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置.本文通过运用求微分方程的积分因子来将微分方程转化为恰当微分方程求解.常微分方程是解决实际问题的重要工具[1].1 恰当微分方程1.1 常微分方程联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式称为微分方程. 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.方程2(),2d y dy b cy f t dt dt++= （1.1） 20dy dy t y dt dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭++= （1.2） 就是常微分方程的例子，这里y 是未知数，t 是自变量. 1.2 恰当微分方程考虑一阶方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += （1.3） 这里假设(,)M x y dx ，(,)N x y dy 在某矩形区域内是x ，y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数.若方程（1.3）的左端恰好是某个二元函数(,)u x y 的全微分，即(,)(,)(,)M x y dx N x y dy du x y += （1.4） 则称（1.3）为恰当微分方程（全微分方程）.恰当微分方程（1.3）的通解就是(,),u x y c = （1.5） 这里c 是任意常数.定理1[2] 设函数(,)M x y dx 和(,)N x y dy 在一个矩形区域R 中连续且有连续的一阶偏导数，则称（2.1）为恰当微分方程的充要条件是(,)(,).M x y N x y x y∂∂=∂∂ （1.6） 1.3 恰当微分方程的解法方法1 凑微分法：利用熟知的二元函数微分公式，重新分组组合，分块凑成全微分式 方法2 不定积分法：利用关系式：(,)(,)(,)M x y dx N x y dy du x y +=由此，函数(,)u x y 应适合方程组(,),(,)u u M x y N x y x y∂∂==∂∂对(,)u M x y x∂=∂关于x 积分得 (,)()u M x y dx y ϕ=+⎰两端关于y 求导数，并利用恰当微分方程的充要条件，得''()()(,)u M N dx y dx y N x y y y xϕϕ∂∂∂=+=+=∂∂∂⎰⎰ 通过对方程'()(,)N dx y N x y xϕ∂+=∂⎰ 关于y 积分，解出()y ϕ，从而可得(,)()u M x y dx y ϕ=+⎰的表达式，令 (,)()M x y dx y c ϕ+=⎰即得方程的通解. 如果对(,)u N x y x∂=∂关于y 积分，同理可得方程的通解为 (,)()N x y dx x c ψ+=⎰其中()x ψ可类似于()y ϕ求解的方法得到.方法3 公式法：方程的通解为000(,)(,)x y x y M x y dx N x y dy c +=⎰⎰ 或 000(,)(,)x y x y M x y dx N x y dy c +=⎰⎰ 其中c 是任意常数[3].例1 求2()(2)0x y dx x y dy ++-=的通解解 这里2,2M x y N x y =+=-,在xy 平面上有连续偏导数，这时 1,1,M N yx∂∂==∂∂ 因此方程为恰当微分方程. 方法1（不定积分法） 现在求u ，使它同时满足如下两个方程：2u x y x∂=+∂， （1）2u x y y ∂=-∂. （2） 由（1）对x 积分，得到31()3u x xy y ϕ=++， （3） 将（3）对y 求导数，并使它满足（2），即得()2ud y x x y y dy ϕ∂=+=-∂，于是()2,d y y dy ϕ=-积分后得2(),y y ϕ=-将()y ϕ代入（3），得到321.3u x xy y =+-因此，方程的通解为321,3x xy y c +-=这里c 是任意常数.方法2 （公式法） 取00(,)(0,0)x y =因此00(,)(,)(,)xy u x y M x y dx N x y dy=+⎰⎰200()(2)x yx y dx x y dy =++-⎰⎰321()003x y x xy y =+- 3213x xy y =+- 因此，方程的通解为321,3x xy y c +-= 这里c 是任意常数.方法3（凑微分法） 将方程重新“分项组合”，得到220x dx ydx xdy ydy ++-=即32103d x dxy dy +-= 或者写成321()03d x xy y +-= 因此，方程的通解为321,3x xy y c +-= 这里c 是任意常数.2 用积分因子法解常微分方程恰当微分方程可通过积分求出它的通解,但并非所有的微分方程均为恰当微分方程。
如果能将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程，则求其通解将变得简单。
为此本文寻求微分方程各类积分因子,化微分方程为恰当方程求解，这样给解题带来很大的方便。
2.1 积分因子的基本概念如果存在连续可微的函数(,)0x y μμ=≠，使得(,)(,)(,)(,)0x y M x y dx x y N x y dy μμ+= （2.1）为一恰当微分方程，即存在函数υ，使Mdx Ndy d μμυ+≡， （2.2） 则称(,)x y μ为方程（2.1）的积分因子.因此求解非恰当方程的关键是寻找合适的积分因子，从而将非恰当微分方程转化为恰当微分方程的求解问题.性质1 只要方程（1.3）有解，则必有积分因子，而且不是唯一的，对于不同的积分因子，通解可能具有不同的形式.性质2 方程（1.3）的任意两个积分因子1(,)x y μ和2(,)x y μ之间必有函数关系. 性质3 若方程（1.3）的有两个积分因子1(,)x y μ和2(,)x y μ，且12(,)(,)x y x y μμ≠常数，则该方程的通积分为 12(,)(,)x y c x y μμ=. 注意：方程两端同乘以积分因子可能出现使此因子为零的多余特解，注意检查.2.2 积分因子的存在的充要条件根据微分方程(,)(,)(,)(,)0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=为全微分方程的充要条件是[(,)(,)][(,)(,)]x y M x y x y N x y y xμμ∂∂=∂∂ 即(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)M x y x y N x y x y x y M x y x y N x y y y x xμμμμ∂∂∂∂+=+∂∂∂∂ 令 (,)x y μμ=，(,)M x y M =，(,)N x y N =.整理上式即1()M N N M x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂. (2.3) 故(,)x y μμ=为方程（1.3）的积分因子的充要条件是(,)x y μμ=为方程（2.3）的解[4].2.3 积分因子法解常微分方程积分因子的形式各异，以致积分因子存在的充要条件的形式各异.函数(,)x y μ为方程（1.3）的积分因子的充要条件是()()M N N M x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂ （1） (,)=()x y x μμ有关的积分因子充要条件是()M N y x x Nϕ∂∂-∂∂= 此时，积分因子为()()x dx x e ϕμ⎰=.例2 求2(2)(2)0x xy ye dx y e dy +++=的积分因子及通解.解 这里22,2x x M y ye N y e =+=+,在xy 平面上有连续偏导数，这时 22,,x x M N y e e yx∂∂=+=∂∂ (不是恰当微分方程) 因为 2x M N y e y x ∂∂-=+∂∂ 所以 212xx M N y e y x N y e∂∂-+∂∂==+ 与x 有关， 积分因子为()dx x x e e μ⎰==， 将积分因子同时乘以方程两边得222(2)(2)0x x x x y e ye dx ye e dy +++=即22()0x x d y e ye +=因此，方程的通解为22x x y e ye c +=这里c 为任意常数.（2） (,)=()x y y μμ有关的积分因子充要条件是()M N y x y Mψ∂∂-∂∂=- 此时，积分因子为()()y dy y e ψμ⎰=.例3 求2()0xydx x y dy ++=的积分因子及通解解 这里2,M xy N x y ==+,在xy 平面上有连续偏导数，这时 ,2,M N x x yx ∂∂==∂∂ (不是恰当微分方程) 因为 M N x y x∂∂-=-∂∂ 所以 1M N x y x M xy y∂∂--∂∂==-- 与y 有关， 积分因子为1()dx y y ey μ⎰==， 将积分因子同时乘以方程两边得 222()0xy dx x y y dy ++=即2221()02d x y y dy += 因此，方程的通解为22212x y y c += 这里c 为任意常数.（3） (,)=()x y xy μμ有关的积分因子充要条件是()M N y x f xy Ny Mx∂∂-∂∂=- 此时，积分因子为()()(,)e f xy d xy u x y ⎰=.例4 求方程32(3)0ydx x x y dy +-=的积分因子及通解解 这里32,3M y N x x y ==-,在xy 平面上有连续偏导数，这时 221,19,M N x y yx ∂∂==-∂∂ (不是恰当微分方程) 因为 229M N x y y x∂∂-=∂∂ 333Ny Mx x y -=-所以 3M N y x Ny Mx xy∂∂-∂∂=-- 与xy 有关， 积分因子为3()31()()d xy xy xye xy μ-⎰==， 将积分因子同时乘以方程两边得 32323313()0x x y dx dy x y x y-+= 此时是恰当微分方程.即221(3ln )02d y x y+= 因此，方程的通解为 2213ln 2y c x y+= 这里c 为任意常数.（4） (,)=()x y x y μμ±有关的积分因子充要条件是()M N y x f x y N M∂∂-∂∂=± 此时，积分因子为()()(,)e x y d x y u x y ±±⎰=. 例5 求方程2222(2)(2)0x xy y dx x xy y dy --++-=的积分因子及通解.解 这里22222,2M x xy y N x xy y =--=+-,在xy 平面上有连续偏导数，这时 4,4,M N x y x y yx ∂∂=--=+∂∂ (不是恰当微分方程) 因为 555()M N x y x y y x∂∂-=--=-+∂∂ 2222()N M x xy y x y -=++=+所以 25()5()M N x y y x N M x y x y∂∂--+-∂∂==-++ 与x y +有关， 积分因子为5()51()()d x y x y x ye x y μ-++⎰+==+， 将积分因子同时乘以方程两边得 22225522()()0()()x xy y x xy y dx dy x y x y --+-+=++ 此时是恰当微分方程.所以2252(,)()()x xy y u x y dx y x y ϕ--=++⎰ 25()3()()()x y y x y dx y x y ϕ+-+=++⎰ 3413()()()y dx dx y x y x y ϕ=-+++⎰231()2()()y y x y x y ϕ-=++++又22'345(,)122()()()()u x y x y x xy y y y x y x y x y ϕ∂-+-=++=∂+++， 那么'()0y ϕ=则()0y ϕ=，故231(,)2()()yu x y x y x y -=+++， 因此，方程的通解为2312()()yc x y x y -+=++ 这里c 为任意常数.(5) ()()22,x y x y μμ=±形式的积分因子[5] 充要条件为22()2()M Ny xf x y Nx My ∂∂-∂∂=±此时，积分因子为2222()()(,)ex y d x y u x y ±±⎰=.例6 求方程()220x y y dx xdy ++-= 的积分因子及通解.解 这里22M x y y =++， N x =-，在xy 平面上有连续偏导数，M 、N 均为x 、y 的多项式，这时21,1,MNy yx∂∂=+=-∂∂ (不是恰当微分方程) 因为2+2M Ny y x ∂∂-=∂∂223222()(1)Nx My x x y y y x y y -=----=-++所以 22222(1)12()2()(1)M Ny y x Nx My x y y x y∂∂-+∂∂=-=--+++ 与22x y +有关， 积分因子为()22221221d xy x y ex yμ-++⎰==+将积分因子同时乘以方程两边得 22220y xdx dy x y x y -=++ 此时是恰当微分方程.凑微分将方程为221(ln())02d x y += 因此，方程的通解为221ln()2x y c += 这里c 为任意常数.（6） (,)=(x y x y αβμμ）（α、β为待定常数）有关的积分因子的充要条件是=M N N M y x x yαβ∂∂--∂∂ 且积分因子为(,)u x y x y αβ=（α、β为待定常数）.此结论适用于M 、N 均为x 、y 的多项式.例7 求方程22(34)(23)0y xy dx x x y dy +++=的积分因子及通解.解 这里2234),23M y xy N x x y =+=+,在xy 平面上有连续偏导数，M 、N 均为x 、y 的多项式，这时38,26,MNxy xy y x∂∂=+=+∂∂ (不是恰当微分方程) 因为12M Nxy y x∂∂-=+∂∂ =M N N M y x x yαβ∂∂--∂∂ 所以231342αβαβ-=⎧⎨-=⎩ 解得21αβ=⎧⎨=⎩ 积分因子为2x y μ=，将积分因子同时乘以方程两边得2233342(34)(23)0x y x y dx x y x y dy +++=此时是恰当微分方程.凑微分将方程为3243()0d x y x y +=因此，方程的通解为3243x y x y c +=这里c 为任意常数.（7）分组组合法[6].分组组合方法的原理：若方程（2.1）可进行下列分组组合1122[(,)(,)][(,)(,)]0M x y dx N x y dy M x y dx N x y dy +++=并且 1111(,)((,)(,))(,)x y M x y dx N x y dy du x y μ+= 2222(,)((,)(,))(,)x y M x y dx N x y dy du x y μ+=寻找适当的可微函数1()t ϕ和2()t ϕ使得1122(,)()(,)()x y u x y u μϕμϕ=，则原方程的积分因子为1122(,)()(,)()x y u x y u μϕμϕ=.例8 求方程324(22)0x y y dx x dy -+=的积分因子及通解 解 将方程重新组合为342()20x ydx x dy y dx +-=， （1） 前一组有积分因子31x和通积分xy c =，后一组有积分因子21y 和通积分x c =， 可为函数1()G xy 和2()G x 使123211()()G xy G x x y=， 取1221()G xy x y =，251()G x x=， 从而得到方程的积分因子 521x yμ=，将积分因子同时乘以（1）两边，得到22225112()0dx dy dx x y x y x+-= 即41()02y d dx x x+= 因此，方程的通解为412y c x x+= 这里c 为任意常数.3 常见一阶微分方程的积分因子解法根据微分方程(,)(,)(,)(,)0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=(,)x y μμ=为分方程的积分因子的充要条件是1()M N N M x y y x μμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂. 积分因子的形式各异，用形式简单、易行的方法解出常见的一阶微分方程，相比传统的解法更快捷、省时.下面给出常见的几种一阶微分方程的积分因子存在形式.3.1 一阶线性方程的积分因子解法形如()()dyp x y f x dx+= （3.1） 的方程为一阶线性微分方程.将方程改为对称式为[]()()0p x y f x dx dy -+=令()()(,),(,)1p x y f x P x y Q x y -==， 那么()P Q y xp x Q∂∂-∂∂=是关于x 的函数, 此时，积分因子为()()p x dxx e μ⎰=.例9 求方程cos dy y xdx x x+=的积分因子及通解 解 这里1()p x x=,在xy 平面上有连续偏导数，这时积分因子 1()()dx p x dx xx e e x μ⎰⎰===将积分因子同时乘以方程两边得cos 0xdy ydx xdx +-=凑微分得()(sin )0d xy d x -=两边积分得sin xy x c -=因此，方程的通解为3243x y x y c +=这里c 为任意常数.3.2 伯努力微分方程的积分因子解法形如()()n dyP x y Q x y dx=+ （3.2）的方程，称为伯努力微分方程，这里()P x ，()Q x 为x 的连续函数，0,1n ≠是常数. 方程两边同时乘以(0)ny y -≠并令nz y-=得(1)()(1)()dzn P x z n f x dx+-=- （3.3）由线性方程的积分因子知方程（3-3）的积分因子为(1)()(,)n p x dxn x y y eμ--⎰=例10 求方程2(sin cos )dyy x x y dx+=-的积分因子及通解 解 这里()1P x =-,在xy 平面上有连续偏导数，这时积分因子122(,)dxx x y y e y e μ----⎰==将积分因子同时乘以方程两边，并化对称式为：21(sin cos )x x x y e dy y e dx x x e dx -----+=-凑微分得1()(sin )x x d e y d e x ---=-两边积分得1sin x x e y e x ----=-因此，方程的通解为1sin x x e y e x c ----+=这里c 为任意常数.3.3 可分离变量方程的积分因子解法形如1122()()()()0p x q y dx p x q y dy += （3.4）用观察法可以求得可分离变量方程的积分因子，方程两边同时乘以211()()p x q y得1221()()0()()p x q y dx dy p x q y += 这里1221()()(,),(,)()()p x q y P x y Q x y p x q y ==因此0P Q x y∂∂==∂∂ 可分离变量方程的积分因子为211(,)()()x y p x q y μ=例11 求方程(1)()0xy x y dx xy x dy +--+-=的积分因子及通解. 解 将方程变形为(1)(1)(1)0x y dx x y dy --+-= 方程的积分因子为2111(,)()()(1)x y p x q y x y μ==+ 将积分因子同时乘以方程两边，并化为：1101x y dx dy x y --+=+ 凑微分得(ln )(ln(1))0d x x d y y --++=两边积分得ln 2ln(1)0x x y y ---+=即ln (1)0x y x y --+=因此，方程的通解为ln (1)x y x y c --+=这里c 为任意常数.3.4 齐次方程的积分因子的解法设(,)(,)0P x y dx Q x y dy += （3.5）的方程为齐次方程.将方程化为：(,)()(,)P x y x f Q x y y -= （形如()dy yf dx x=） （3.6）将方程（3-6）两边同时乘以1(,)Q x y ，并令yxμ=代入得[()]0u f u dx xdu -+= （3.7）方程（3-7）为可分离变量方程，其积分因子为：1[()]x u f u μ=-将yxμ=代入并乘以1(,)Q x y 得齐次方程（3-5）的积分因子为：1(,)(,)xP x y yQ x y μ=+注：当()dx xg dy y=时有相同的积分因子. 例12 求方程(12)(1)0xyxe dx dy y++-=的积分因子及通解. 解 方程的积分因子为11(,)()()2x yx y xP x yQ y x yeμ==++将积分因子同时乘以方程两边得2(1)12022x x yy x x yyxe ey dx dy x yex ye+++=++取00(,)(0,1)x y = 因此，由全微分公式得1(,)(,)(,)x yu x y P x y dx Q x y dy =+⎰⎰112222x y xyx yedx dy yx ye+=++⎰⎰ln(2)ln 01x yx yx ye y =++ln(2)ln 2x yx ye =+-因此，方程的通解为1ln(2)ln 2ln x yx ye c +-=即2x yx ye c +=（12c c =）这里c 是任意常数.一般说来,对于以上常见的四种类型的微分方程,均可以找到以上类型的积分因子从而化为全微分方程求解.参考文献[1]王高雄，朱思铭，周之铭，王寿松.常微分方程第三版[M].北京：高等教育出版社，2006. 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