空间关系

人文地理学的空间概念
人文地理学的空间概念是该学科研究的重要内容之一，它强调了地理现象与空间的关系。

以下是一些人文地理学中常用的空间概念：
1. 地域：地域是指一定范围内具有一定界限、特定特征和联系的地理区域，如国家、地区、城市等。

2. 地方：地方是一个相对而言的概念，表示地理空间上与其他地区有明显差异的一个区域，它具有独特的自然环境、社会文化和经济特征。

3. 地景：地景是在人类活动过程中形成的具有某种特色的地理环境，包括自然景观和人文景观。

地景反映了特定地区的人文和自然条件。

4. 空间关系：空间关系是指地理现象在地理空间中的相互联系和相互作用。

它可以包括地理位置、距离和接近程度、区域之间的连接等方面。

5. 区域性：区域性是指在一定范围内具有相似性和差异性的地理现象。

人文地理学关注不同区域的特点和区域发展的规律。

6. 地域差异：地域差异是指地理空间上不同区域之间在环境、文化、经济等方面的差异。

人文地理学试图解释这些差异的形成原因。

7. 位置：位置是指一个区域在地理空间中的具体坐标或相对关系。

位置可以影响一个地区的人文特征、经济发展和区域关系等。

8. 空间分析：空间分析是通过空间数据和空间模型对地理现象进行研究和解释的方法。

它包括地理信息系统（GIS）和空间
统计等技术和方法。

这些空间概念在人文地理学研究中被广泛应用，帮助理解人类活动与地理环境之间的相互关系，揭示地方和区域发展的规律。

高二数学空间平行关系知识要点（一）直线与直线平行的判定方法1、利用定义：在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行；2、利用平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行；3、利用直线与平面平行的性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；4、利用平面和平面平行的性质定理：两个平面互相平行，和第三个平面相交，它们的交线互相平行；5、利用直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；6、利用直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行。

（二）直线与平面平行的判定方法1、利用定义：直线与平面无公共点，则该直线和该平面平行；2、利用直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线和平面内一条直线平行，则该直线和该平面平行（线线平行，则线面平行）。

3、利用平面和平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线都平行于第二个平面。

（三）平面和平面平行的判定方法1、利用定义：两个平面没有公共点，则这两个平面平行；2、利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线平行，则这两个平面平行；3、利用平面与平面平行的判定：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行；4、利用平面与平面平行的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行．5、利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（四）直线与平面平行的性质1、性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；2、直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行。

（五）平面与平面平行的性质1、平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

2、平面与平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线均平行于第二个平面。

空间中三种平行关系的转化平行关系是空间中线面位置关系的重要类型,空间中的直线和直线平行，直线和平面平行，平面和平面平行三者之间有着互为因果、相互转化的关系：线线平行线面平行面面平行．因此，我们在判定空间的平行关系时，不可孤立地对待，要将三者联系起来．本文举例说明．一、线与面平行关系转化一般来说，线线或面面平行关系都可以转化为线面平行关系来分析解决，其关系如下表所示：线线平行−−−←−−→−性质判定线面平行−−−←−−→−性质判定面面平行． 例1 如图1，平面四边形ABCD 的四个顶点A B C D ，，，均在平行四边形A B C D ''''所确定的平面外，且AA BB CC DD ''''，，，互相平行．求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：四边形A B C D ''''是平行四边形，A DBC ''''∴∥．AA BB ''∥，且，是平面AA D D ''内的两条相交直线，，是平面BB C C ''内的两条相交直线，平面AA D D ''∥平面BB C C ''． 又AD BC ，分别是平面ABCD 与平面AA D D ''，平面BB C C ''的交线，故AD BC ∥．四边形ABCD 是平行四边形．点评：该题灵活应用判定定理与性质之间的转化关系，先将线线平行转化为面面平行，再由面面平行转化为线线平行，从而使问题轻松获解．二、创设辅助线与面如果已知条件中找不出现成的平行或垂直关系，此时要根据ABDC C 1D 1A 1B 1 MN图1题意灵活作出有理有据的辅助线或辅助面，适当添加辅助线或辅助面是面是促进转化的重要环节．例2 正方体ABCD —ABCD 中，M 、N 分别是对角线AB 、BC 上两点，且MA M B 1=NBNC 1，求证：MN ∥平面ABCD ．分析：在图中，根据已知条件找不出现成的线线平行关系，怎么办？往往通过两条途径去探索证明思路：①用“面面平行线面平行”；②添加辅助线，创设使用线面平行判定定理的条件，具体方法如下：⑴由“面面平行线面平行”去证．在面AB 内，作M K ∥AB ，交BB 于K 点，连接K N ，由平行线截割定理知MA M B 1=KB K B 1，而MA M B 1=NB N C 1已知），∴KB K B 1 =NBNC 1 ，则K N ∥BC ， ∴平面M K N ∥平面ABCD ， 即平面M K N 平面ABCD =， 而MN 平面M K N ， ∴MN ∥平面ABCD ．⑵添加辅助线，由“线线平行线面平行”去证．连接BM 并延长交AB 于P 点，连接P C ，则可证△BM P ∽△AMB ，∴MA M B 1=MB PM ，而MA M B 1=NBN C 1（已知），∴MB PM =NBN C 1，由平行截割定理得：MN ∥P C ， 而P C 平面ABCD ，∴MN ∥平面ABCD ．点评：辅助线、辅助面所具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断．类题练习:1.正方体中，Ｅ、Ｆ分别为CD 、的中点，Ｍ、Ｎ分别为、上的点，并且Ｍ＝A BDCC 1D 1A 1B 1MKN ABDC C 1D 1 A 1 B 1N MABC DO EN HMA 1B 1C 1D 1 图1AN ，求证：（１）EF ∥平面11BDD B ，（２）ＭＮ∥平面11CDD C ． 证明：（１）如图１，设BD 的中点为Ｏ，连结OE ，则OE ∥21BC ∥Ｆ． ∴Ｏ∥EF ．又Ｏ平面11BDD B ，EF 平面11BDD B ， ∴ EF ∥平面11BDD B ． （２）作MH ∥，连结NH ． ∵111111D A HA C A M A =，且ＡＮ＝Ｍ，＝， ∴1111D A H A AD AN=． 故ＮＨ∥∥． ∴ 平面MNH ∥平面11CDD C ． ∴ＭＮ∥平面11CDD C ．2. 如图：已知正方体ABCD —ABCD 中，面对角线A B ，BC 上分别有两点E 、F ，且B E = CF ．求证：⑴EF ∥平面ABCD ；⑵平面AC D ∥平面ABC ．⑴证明：过E 、F 分别作AB 、BC 的垂线，EM 、FN 分别交AB 、BC 于M 、N ，连接MN ，∵BB ⊥平面ABCD ，∴BB ⊥AB ，BB ⊥BC ，∴EM ∥BB ，FN ∥BB ，∴EM ∥FN ． ∵A B = BC ，BE = CF ，∴AE = BF ，又∠BAB =∠CBC = 45°，∴Rt △AME ≌Rt △BNF ，∴EM = FN ．∴四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN ． 又MN 平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD ．⑵证明：如图 ∵正方体ABCD —ACD 中，AD ∥BC ，CD ∥B A ， 又ADCD = D ，BCB A = B ， ∴平面ACD ∥平面ABC ．C 1D 1ABDCA 1B 1。

空间里的平行关系（精选7篇）空间里的平行关系篇1教学建议一、知识结构在平行线知识的基础上，教科书以学生对长方体的直观认识为基础，通过观察长方体的某些棱与面、面与面的不相交，进而把它们想象成空间里的直线与平面、平面与平面的不相交，来建立空间里平行的概念.培养学生的空间观念.二、重点、难点分析能认识空间里直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系既是本节教学重点也是难点.本节知识是线线平行的相关知识的延续，对培养学生的空间观念，进一步研究空间中的点、线、面、体的关系具有重要的意义.1.我们知道在同一平面内的两条直线的位置关系有两种：相交或平行，由于垂直和平行这两种关系与人类的生产、生活密切相关，所以这两种空间位置关系历来受到人们的关注，前面我们学过在平面内直线与直线垂直的情况，以及在空间里直线与平面，平面与平面的垂直关系.2.例如：在图中长方体的棱AA'与面ABCD垂直,面A'ABB'与面ABCD互相垂直并且当时我们还从观察中得出下面两个结论:(1)一条棱垂直于一个面内两条相交的棱,这条棱与这个面就互相垂直.(2)一个面经过另一个面的一条垂直的棱,这两个面就互相垂直.正如上述，在空间里有垂直情况一样，在空间里也有平行的情况，首先看棱AB与面A'B'C'D'的位置关系,把棱AB向两方延长,面A'B'C'D'向各个方向延伸,它们总也不会相交,像这样的棱和面就是互相平行的,同样,棱AB与面DD'C'C是互相平行的,棱AA'与面BB'C'C、与面DD'C'C 也是互相平行的.再看面ABCD与A'B'C'D',这两个面无论怎样延展,它们总也不会相交,像这样的两个面是互相平行的,面AA'B'B与DD'C'C也是互相平行的.3.直线与平面、平面与平面平行的判定（1）不在平面内的一条直线，只要与平面内的某一条直线平行，那么，这条直线与这个平面平行。

空间平行关系的相互转化山东省莱芜市第五中学数学组（271121） 刘峰空间的平行关系包括线线平行，线面平行，面面平行。

解决此类问题的关键是利用相关的定理，性质将三者或其中的两者之间进行合理的转化，下面我们将空间的平行关系进行总结。

三种平行关系的相互转化可用下图来表示： 线线平行线面平行面面平行（1）（2）（3）（4）（5）（6）其中（1）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（2）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（3）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．（4）面面平行的性质：如果两个平面相互平行那么其中一个平面内的一条直线平行于另一个平面.（5）（面面平行判定定理的推论）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面互相平行．（6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 下面我们通过几个例题来看一下在具体题目中如何进行转化。

例1、已知平面l αβ=，直线//,//.a a αβ 求证：//a l【证明】如右图：过直线a 作平面c γα=. 则由//a α得//.a c过直线a 作平面b δβ=，则由//a β 得//.//a b b c ∴.又,,//b c b ααα⊄⊂∴.而,,//,//.l b b l a b βαβ=⊂∴又//a l ∴.【点评】（1）本题综合应用线面平行的判定和性质，实现线面平行和线线平行的相互转化；（2）由本题得到了一个重要的结论：如果一条直线同时与两个相交平面平行，那么这条直线和这两个相交平面的交线平行。

例 2.如右图，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M AC ∈，N FB ∈且AM FN =.求证：//MN BCE 面.【证法一】如右图,过M 作MP ⊥BC ，NQ ⊥BE ，P 、Q 为垂足，连结PQ. ∵MP ∥AB ，NQ ∥AB ，∴MP ∥NQ . 又22,,,22MP MC NQ BN MC BN MP NQ ===∴=又,∴MPQN 是平行四边形.∴MN ∥PQ ，又PQ ⊂平面BCE .而MN ⊄平面BCE ，∴MN ∥平面BCE.【证法二】如右图，过M 作MG ∥BC ，交AB 于点G ，连结NG∵MG ∥BC ，BC ⊂平面BCE ，MG ⊄平面BCE ，∴MG ∥平面BCE,,,AM AG AG FN AM FN AC BF AC AB AB BF===∴=且 ∴GN ∥AF ∥BE ，又BE ⊂平面BCE ，GN ⊄平面BCE ，∴GN ∥平面BCE又MG NG G =，∴平面MNG ∥平面BCE又MN ⊂平面MNG ∴MN ∥平面BCE【点悟】证明线面平行是一个考查的重点，证明时通常采用以下两种方法：①利用线面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用面面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行例3、如右图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，设,,,M N E F 分别是棱11111111,,,A B A D C D B C 的中点.（1） 求证：,,,E F B D 四点共面；（2） 求证：面//AMN EFBD 面.【证明】（1）连结11B D ，则11//EF B D ，又11//B D BD ，//EF BD ∴，故,,,E F B D 四点共面.（2）连结ME ，则1111//,ME A D ME A D =且，又1111//AD A D AD A D =且，//AD ME AD ME ∴=且 ∴四边形ADEM 是平行四边形，故//,,,//;AM DE AM EFBD DE EFBD AM EFBD ⊄⊂∴又面面面同理//AN EFBD 面.又AM AN A =，∴面//AMN EFBD 面.【点评】证明面面平行一般利用面面平行的判定定理，在一个平面内找两条相交直线分别平行于另一个平面。