典例精析知识点典例_《认识无理数》知识点典例

认识无理数
重难点典例剖析
1．估计数值的大小
难点突破：第一步应确定被估算数的整数取值范围；第二步以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始减0.1)，并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求出其近似值．
【例1】 面积为7的正方形的边长为x ，请你回答下列问题．
(1)x 的整数部分是多少？
(2)把x 的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？
(3)x 是有理数吗？请简要说明理由．
解：令正方形的面积为S ，则S ＝x 2＝7，当2＜x ＜3时，4＜x 2＜9，当2.6＜x ＜2.7时，
6.76＜x 2＜
7.29；
当2.64＜x ＜2.65时，6.969 6＜x 2＜7.022 5；
当2.645＜x ＜2.646时，6.996 025＜x 2＜7.001 316；
…
则有：
(1)x 的整数部分为2.
(2)精确到十分位时，x ≈2.6，精确到百分位时，x ≈2.65．
(3)x 不是有理数．因为没有一个整数的平方
等于7，也没有一个分数的平方等于7，另由计算可知，x 是无限不循环小数．
释疑点 如何四舍五入
利用四舍五入法取近似值时要比精确到的位数多考查一位．
2．无理数
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
重点突破：学习无理数应把握住无理数的三个特征：①无理数是小数；②无理数是无限小数；③无理数是不循环小数．判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个也不能少．
有理数与无理数的区别
事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数或无
限循环小数也都是有理数．如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为31
这样的分数形式；无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化为3750
． 有理数与无理数的主要区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能．
无理数的常见类型
判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：
(1)一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数．
看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 0001…(相邻两个1之间0的个数逐次增加
1)是无理数．
(2)圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数．
(3)开方开不尽的数(下一节学到)．
【例2】 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.141 592 6，－43
，2.5·8·，6.751 755 175 551 7…(相邻7，1之间5的个数逐次加1)，0，227，－5.23·，－π2
． 分析：有理数指有限小数或无限循环小数，整数和分数都是有理数，无理数指无限不循环小数．
解：有理数有：3.141 592 6，－43，2.5·8·，0，227
，－5.23·； 无理数有：6.751 755 175 551 7…(相邻7，1之间5的个数逐次加1)，－π2
．。