2020届天津市第一中学高三上学期第二次月考数学试题

A．1, 2
B．3, 4,5
C．2,3, 4,5
D．1, 2,3, 4,5
2．“ 2 1”是“ a2 4 ”成立的（ ） a
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若
sin
π 2
3 ，则 cos2 4
（
）
A． 7 4
B． 7 4
1 C． 8
4．函数
f
x
1
f
x1
g x2 ，
则实数 a 的取值范围是（ ）
A． a 1
B． a 1
C．
a
1 2
D．
a
1 2
7．已知函数 f x ex ex ，x R ，若对任意 x m, m 1，都有 f 2m x f m x 0 2
成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． 0,
B．0,
C． 2,
D．2,
8．在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，若 sin 2C sin C ，b 6 ，且 ABC
试卷第 1页，共 3页
的面积为 6 3 ，则 ABC 的周长为（ ）
A．38
B．10 2 7
C． 8 2 7
D． 6 7 3
9．若函数 f x ex a x 1 b 在区间 1, 2 上有零点，则 a2 b2 的最小值为（ ）
的取值范围为
．
三、解答题 16．现有 6 道数学题，其中代数题 4 道，几何题 2 道，某同学从中任取 3 道题解答．
(1)在该同学至少取到一道代数题的条件下，求他取到的题目不是同一类的概率；
(2)已知所取的 3 道题中有 2 道代数题，1 道几何题．该同学答对每道代数题的概率都是

【考试时间：11月30日16：15~18：15】数学试题卷注意事项：1.答卷前､考生务必将自已的姓名､准考证号码填写在答题卡上2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单项选择题（本大题共8小题､每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数满足，则可以为（ ）A. B. C. D.2.已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.为等比数列的前项和，若，且，则等于（）A.2 B.4050 C. D.4.已知实数满足，则的最小值为（ ）A.20 B.25 C.30 D.355.若为锐角，已知（ ）A. B. C. D.6.已知函数的定义域为，若函数与函数的交点为，则（ ）A.0 B. C.2025 D.40507.已知圆，直线，点为直线上的动点.过点作圆的两条切线，切点分别为.若使得四边形为正方形的点有且只有一个，则实数的值为（）A.或B.或5C.3或D.3或58.已知点分别为椭圆的左､右焦点，过点作轴的垂线交椭圆于两点，分别为的内切圆圆心，则的周长是（ ）z i z z =⋅z 1i -1i +12i +12i -()()1,2,,1a b m ==- 2m <a b n S {}n a n 12a =20222030a a +=2025S 2-4050-x 104x <<1914x x +-αsin cos αα-=cos2α=2525-3535-()f x ()(),22f x f x =--R ()11221x x g x --=-+()f x ()()()112220252025,,,,,,x y x y x y 20251i i x ==∑2025222:(1)4C x y +-=:0l x y m ++=P l P C ,M N PMCN P m 3-5-3-5-12,F F 22:11612x y C +=1F x C ,M N 123,,O O O 12122,,MF F NF F F MN 123O O OC. D.二､多项选择题（本大题共3小题､每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的､全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选借的得0分）9.函数的部分图象如图所示，则下列结论正砳的是（ ）A.B.C.关于直线对称D.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象10.已知抛物线的焦点为，过点的直线交该抛物线于，两点，点，则下列结论正确的是（ ）A.B.C.若直线的斜率为1，则D.面积的最小值为11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A.在上是增函数B.若关于的方程有两个不相等的实根，且，则C.若，不等式恒成立，则的取值范围为2+22+2-()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭2ω=π3ϕ=()f x 11π12x =()f x 5π12()2cos2g x x =24x y =F F ()()1122,,,A y B x y x ()0,1P -1214x x ⋅=-111AF BF+=AB 8AB =ABP ()()e ,ln x f x x g x x x =-=-()ln g x ()1,∞+x ()g x a =12,x x 12x x <1223x x +>0,0a x >∀>()e ln 1xa f f x x x ⎛⎫⋅-+ ⎪⎝⎭…a 2,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D.若，且，则的最大值为三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若直线与直线平行，则实数__________.13.点为平面直角坐标系的原点，，点满足，点为圆上一动点，则的最小值为__________.14.若数列满足对任意都有，则称数列为上的“凹数列”.已知，若数列为上的“凹数列”，则实数的取值范围是__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）记的内角的对边分别为.已知为边的中点，且.（1）求证：；（2）若，求的面积.16.（本小题满分15分）已知数列的前项和为，且.（1）若，求；（2）若数列是单调递增数列，求首项的取值范围.17.（本小题满分15分）某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的成绩，现规定：成绩在的同学为“成绩顶尖”，在的同学为“成绩优秀”，低于90分的同学为“不及格”.（1）已知高三年级共有2000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学人数（小数按四舍五入取整处理）；（2）现在要从“成绩顶尖”的甲乙同学和“成绩优秀”的丙丁戊己共6位同学中随机选4人作为代表交流学习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”同学入选的条件下，求同学丙入选的概率：（3）为了了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学为142分.请问：能否判断该班成绩明显优于或者差于年级整体情况，并说明理由.（参考数据：若，则，()()()12e 1f x g x a a ==>-210x x >>()21ln e ln x ax a a -+-e-21:20l x m y m ++=2:210l x y ++=m =O ()3,0A -P 2PA PO =Q 22:(3)(4)1C x y -+-=PQ PC +{}n a *n ∈N 212n n n a a a +++…{}n a *N 244m n n mn n b +=-{}n b {}*2n n ∈N ∣…m ABC ,,A B C ,,a b c 12cos ,a c B D c a+=+AC sin sin BD ABC a C ∠=BD b =4b =ABC {}n a n n S 1221n n a S n +=+-11a =n S {}n a 1a ()110,100N ξ~[140,150][)130,140()2,X N u σ~()0.6827P u X u σσ-+=……）18.（本小题满分17分）已知双曲线，其左顶点，离心率.（1）求双曲线方程及渐近线方程；（2）过右焦点的直线与双曲线右支交于两点，与渐近线分别交于点，直线分别与直线交于.（i）求的取值范围；（ii ）求证：以为直径的圆过定点，并求出该定点.19.（本小题满分17分）已知函数.（1）讨论函数极值点的个数；（2）当时，数列满足：.求证：的前项和满足.()()220.9544,330.9973P u X u P u X u σσσσ-+=-+=…………()2222:10,0x y C a b a b-=>>()2,0A -32e =F ,P Q ,M N ,AP AQ 43x =,R T PQMN RT ()293ln 32f x x ax x =+-+()f x 32a ={}n a ()113,126n n n f a a a a +==+{}n a n 23n n S n <<+。

2020-2021学年天津市滨海新区塘沽第一中学高一上学期第二次月考数学试题一、单选题 1．sin330︒等于A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】B【详解】01sin 330sin(36030)sin(30)sin 302=-=-=-=-故选B 2．已知3cos 5α=-，3(,)2αππ∈，则tan α的值是（ ） A ．43-B ．34-C ．34D ．43【答案】D【分析】由同角间的三角函数关系求得sin α，然后再求tan α．【详解】因为3cos 5α=-，3(,)2αππ∈，所以4sin 5α==-，所以sin 4tan cos 3ααα==． 故选：D ．3．已知函数()()()2log ,03,0x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩则14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是（ ） A ．9 B ．16C ．19D ．-2【答案】C【分析】首先计算124f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，再计算()124f f f ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可. 【详解】因为211log 244f ⎛⎫==-⎪⎝⎭， 所以()2112349f f f -⎡⎤⎛⎫=-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：C4．下列函数中，在定义域上是单调递增是（ ）A ．1y x=B ．tan y x =-C ．12x y +=D ．0.5log y x =【答案】C【分析】根据指数函数、对数函数，正切函数，幂函数的单调性判断． 【详解】在定义域内，1y x=与tan y x =-都不是单调函数，12x y +=递增，0.5log y x =递减． 故选：C ．5．函数2()44x xx f x -=+的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】由函数为偶函数，可排除B,D 选项，又()2044x xx f x -=≥+恒成立，可排除C 选项，得出答案.【详解】2()()()44--==+x xx f x f x ，则()f x 是偶函数，排除B ，D ； 又因为2()044->=+x xx f x 恒成立，所以排除C ； 故选：A ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．函数()21log f x x x=-+的一个零点落在下列哪个区间（ ） A ．（0，1） B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）【答案】B【分析】求出()1f 、()2f ，由()()120f f ⋅<及零点存在定理即可判断. 【详解】()21log 111f =-+=-，()2112log 222f =-+=，()()120f f ∴⋅<，则函数的一个零点落在区间()1,2上.故选：B【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题.7．函数212()log (62)f x x x =+-的单调递增区间是（ ） A ．1[,)4+∞B ．1[,2)4C ．31(,]24-D ．1(,]4-∞【答案】B【分析】先求出函数的定义域，然后换元，再利用复合函数求单调区间“同增异减”的方法求解即可【详解】解：由2620x x +->，得322x -<<， 所以函数的定义域为322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭， 令226226t x x x x =+-=-++（322x -<<），则12log y t =， 因为226t x x =-++在31(,]24-上递增，在1[,2)4上递减，因为12log y t =在定义域内为减函数， 所以212()log (62)f x x x =+-的递增区间为1[,2)4， 故选：B8．给出下列四个说法：①函数()2sin cos f x x x =的最小正周期是2π； ②“x y e e <”是“ln ln x y <”的必要不充分条件； ③“4x k ππ=+，k Z ∈”是“tan 1x =”的充分不必要条件；④命题“0x ∀>，都有12x x+≥”的否定是“00x ∃≤，使得0012x x +<”；其中正确的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】根据三角函数的周期，充分必要条件的定义，命题的否定的定义判断各选项． 【详解】()2sin cos sin 2f x x x x ==，最小正周期是22T ππ==，①错； x y e e <中，当0x <时，ln x 不存在，得不出ln ln x y <，但由ln ln x y <得0x y <<，从而有x y e e <，②正确；4x k ππ=+且k Z ∈时，tan 1x =，同样tan 1x =时,4x k k Z ππ=+∈．是充要条件，③错；命题“0x ∀>，都有12x x+≥”的否定是“00x ∃>，使得0012x x +<”， ④错正确命题只有一个． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，解题时注意事项：三角函数的问题一般要把函数式化为一个角一个三角函数形式，即()sin()f x A x k ωϕ=++形式，结合正弦函数性质求解，涉及到对数函数时注意对数函数的定义域，否则易出错． 9．已知定义在R 上的函数()31x mf x +=-(m 为实数)为偶函数，记13(2)a f =，14(log 3)b f =，(21)c f m =+，则a ､b､c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】D【分析】由偶函数求得m 的值，确定函数的单调性，然后利用偶函数的性质和单调性比较大小．【详解】()f x 是偶函数，则()31()31x m x mf x f x -++-=-==-，x m x m -+=+，平方整理得0mx =，所以0m =，()31xf x =-，在(0,)+∞上递增，1444(log 3)(log 3)(log 3)b f f f ==-=，1321>，40log 31<<，211m +=，所以134(log 3)(1)(2)f f f <<，即b c a <<． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的奇偶性与单调性，解题方法是由奇偶性把自变量的值转化到函数的同一单调区间上，然后利用单调性得出函数值的大小关系． 10．当0x >时，函数()2ln f x x =-，当0x ≤时，函数2()23f x x x =--+，方程()21f x m =+有四个不同的根，从小到大依次记为a ､b ､c ､d ，则abcd 的取值范围是（ ） A ．[)0,4e B ．(4,)e +∞C ．)40,e⎡⎣D ．44(3,)e e -【答案】C【分析】作出函数()f x 图象，由它与直线21=+y m 有四个交点得出四根的性质，从而求得结论．【详解】作出函数()f x 的大致图象（反映其单调性），如图， 则有2a b +=-，10b -<≤，2ln ln 2c d -=-， 由2ln ln 2c d -=-得ln 4cd =，4cd e =，44242(2)(2)(1)1abcd e b b e b b e b ⎡⎤=--=--=-++⎣⎦，因为10b -<≤，所以20(1)11b ≤-++<，所以40abcd e ≤<． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查方程根的性质，解题方法是数形结合思想，把方程的根转化为函数图象与直线的交点的横坐标，由图象得出根的性质（主要是范围，关系），然后求得关于根的式子的范围．二、填空题11．22cos 15sin 15︒-︒=______________【答案】2【详解】由二倍角公式可得：()223cos 15sin 15cos 215cos30︒-︒=⨯==.12．函数()f x =___________.【答案】3,14⎛⎤⎥⎝⎦【分析】使得二次根式和对数式有意义即可． 【详解】由题意23log (43)0x -≥，0431x <-≤，314x <≤，定义域为3,14⎛⎤⎥⎝⎦．故答案为：3,14⎛⎤⎥⎝⎦． 13．若一个扇形的圆心角为2，半径为1，则该扇形的面积为__． 【答案】1【分析】由已知直接利用扇形的面积公式求解． 【详解】解答：解：扇形的圆心角2θ=，半径1r =，∴该扇形的面积221112122S r θ==⨯⨯=． 故答案为1．【点睛】本题考查了扇形面积计算公式，是基础题．14．定义{}max ,,a b c 为a ，b ，c 中的最大值，设{}max 2,23,6xM x x =--，则M的最小值是___________. 【答案】4【分析】由定义确定M 的解析式，然后由函数的性质得结论． 【详解】2xy =是增函数，23y x =-是增函数，6y x =-是减函数，2x ≥时，2223x x x ≥>-，02x ≤<时，2223x x >>-，0x <时，2023x x >>-， 所以223x x >-，所以{}max 2,23,6max{2,6}xxM x x x =--=-，又2xy =与6y x =-的交点是(2,4)，所以6,22,2xx x M x -<⎧=⎨≥⎩，它在(,2]-∞上递减，在[2,)+∞上递增，所以2x =时，min 4M =． 故答案为：4．【点睛】思路点睛：本题考查新定义函数，求新定义函数的最值．一般方法是作出函数图象，由图象得出新函数的图象与解析式，从而得出新函数性质，本题中由于有两个式子的大小关系是确定的，因此三个式子的最值转化为两个数的最值，只要考虑这两个函数的单调性即易得结论．15．已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则22sin sin 2cos()4ααπα+=-_______.【答案】5-【详解】1tan()42πα+=，且02πα-<<，所以1tan 11,tan 1tan 23ααα+=∴=--,sin α∴=22sin sin 2(cos()4αααπα+===-=-. 16．已知存在正数a ，b2log (1)x ≥+成立，则x 的取值范围___________.【答案】(1]-【分析】342a b +≤，的最大值为12，再由题意可得21log (1)2x ≥+，进而可求出x 的取值范围 【详解】解：因为a ，b 为正数，243422a b a a b+++=≤=，34112342a b a b +≤⋅=+，当且仅当24a b a =+时取等号，所以34a b+的最大值为12，因为存在正数a ，b 2log (1)x ≥+成立，所以21log (1)2x ≥+，所以12012x <+≤，即11x -<≤，所以x 的取值范围为(1]-，故答案为：(1]-【点睛】关键点点睛：此题考查基本不等式的应用，对数不等式的解法，解题的关键是的最大值为12，从而将问题转化为21log (1)2x ≥+，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题三、解答题 17．已知02πα<<，4sin 5α. （1）求cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）若02πβ<<且1cos()2αβ+=-，求sin β的值.【答案】（1）；（2． 【分析】（1）由平方关系求得cos α，然后由二倍角公式得sin 2,cos 2αα，再由两角和的余弦公式计算；（2）求出sin()αβ+，然后由两角差的正弦公式计算．【详解】（1）因为02πα<<，4sin 5α，所以3cos 5α=，所以24sin 22sin cos 25ααα==，27cos 22cos 125αα=-=-，724cos(2)cos 2cos sin 2sin 44425225250πππααα+=-=-⨯-⨯=-；（2）因为,(0,)2παβ∈，所以(0,)αβπ+∈，所以sin()αβ+==，所以3144sin sin[()]sin()cos cos()sin 252510βαβααβααβα⎛⎫=+-=+-+=--⨯= ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查三角函数的求值问题，解题关键是确定已知角与未知角的关系，确定选用的公式和顺序，以便正确快速地求解．解题中要注意“单角”和“复角”的相对性． 18．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期和()f x 的单调递增区间； （2）当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值，并求当()f x 取最值时相应x 的取值.【答案】（1）最小正周期是π，增区间是5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）12x π=时，max ()1f x =，4x π=时，min 1()2f x =． 【分析】（1）结合正弦函数性质求解； （2）由（1）得函数在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的单调性，结合端点处函数值可得最值． 【详解】（1）最小正周期为22T ππ==， 由222232k x k πππππ-≤+≤+得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）由（1）得()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以12x π=时，max ()()112f x f π==，又(0)sin32f π==， 1()sin cos 42332f ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以min 1()2f x =，此时4x π=． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质，三角函数问题一般都需要化为一个角的一个三角函数形式，即()sin()f x A x k ωϕ=++形式，然后由正弦函数性质．19．已知函数2()22f x x kx =-+，3141()log 141x xxg x x--=+++. （1）若函数()y f x =在[]1,3有两个零点，求k 的取值范围； （2）若对于区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内每一个x ，都有()4x g x m >+恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（132k <≤；（2）103m <-． 【分析】（1）由()0f x =在[1,3]上有两个不等实根可得；（2）求出()4xy g x =-在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值可得结论． 【详解】（1）由题意2220x kx -+=在[1,3]上有两个不等实根，所以248013(1)320(3)1160k k f k f k ⎧∆=->⎪<<⎪⎨=-≥⎪⎪=-≥⎩32k <≤；（2）不等式()4x g x m >+化为()4xg x m ->恒成立，设3141()()4log 4141x xxxx h x g x x--=-=+-++， 322()41log (1)141xx h x x =--+-++， 设121122x x -≤<≤，则121201414,011x xx x <+<+<+<+，1244x x ,12221414x x >++，1222111x x >>++， 31222log 1log 111x x ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以12123312222241log (1)41log (1)141141x x x x x x --+->--+-++++，即12()()h x h x >，所以()h x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，min 110()()23h x h ==-，所以由()4xg x m ->恒成立，得103m <-． 【点睛】方法点睛：本题考查一元二次方程根的分布，考查函数不等式恒成立．不等式恒成立问题可采用分离参数法分离参数，然后求得函数的最值妈阿中得参数范围．解题关键是确定函数单调性得出函数最值．。

2022届天津市静海区第一中学高三上学期第二次阶段检测数学试题一、单选题1．已知集合{}15A x x =≤<，{}3C x a x a =-<≤+，若CA C =，则a 的取值范围为（ ）A ．312a -<≤-B ．32a ≤-C ．1a ≤-D ．32a >-【答案】C 【分析】由C A C =得出C A ⊆，再分类集合C 是空集和不是空集求解a 的取值范围即可. 【详解】C A C =，C A ∴⊆，{}3C x a x a =-<≤+，当3a a -≥+时，即32a ≤-时，C =∅，满足C A ⊆，当C ≠∅时，有3135a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩，解得312a -<≤-，综上，a 的取值范围为1a ≤-， 故选：C.2．设x ∈R ，则“20x -≥”是“11x +≤”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】首先求出不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：由20x -≥，解得2x ≤，由11x +≤，即111x -≤+≤，解得20x -≤≤， 又[]2,0- (],2-∞，由20x -≥推不出11x +≤，故充分不成立， 由11x +≤推得出20x -≥，即必要性成立， 所以“20x -≥”是“11x +≤”的必要不充分条件. 故选：B3．函数y 2222x xx x--+=-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据函数的定义域，奇偶性，单调性进行判断即可. 【详解】因为函数()2222x xx x f x --+=-的定义域为{|0}x x ≠，故排除C ；因为()()222202222x x x xxx x xf x f x ----+++-=+=--，且定义域关于原点对称， 则其为奇函数，故排除B ； 又()2222112221x x x x f x --⨯=+=+--，当0x >时，是单调减函数，故排除A . 故选：D.【点睛】本题考查函数图像的选择，涉及函数单调性，奇偶性的判断以及指数函数的单调性，属基础题.4．某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频数分布直方图如图所示，其中阅读时间是810-小时的组频数和组频率分别是（ ）A ．15和0.125B ．15和0.25C ．30和0.125D ．30和0.25【答案】D【分析】由频率分布直方图求解.【详解】解：由频率分布直方图知：阅读时间是810-小时的组频率是0.12520.25⨯=， 阅读时间是810-小时的组频数是1200.2530⨯=， 故选：D5．已知7log 5a =，9log 7b =，0.11.11c =，则a ，b ，c 的大小为（ ） A ．c<a<b B ．a b c << C ．b a c << D ．c b a <<【答案】B【分析】先分析得到1,,1c a b ><，再利用作差法结合基本不等式判断,a b 大小即得解.【详解】解：0.1077991.11 1.111,log 5log 71,log 7log 91,c a b =>==<==<=2lg5lg7lg9lg5(lg7)lg7lg9lg7lg9a b ⋅--=-=⋅，因为2222222lg9lg5lg45lg49lg9lg5(lg7)(lg7)(lg7)(lg7)0222+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅--=-<-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：B.6．如图所示，ABCD —EFGH 为边长等于1的正方体，若P 点在正方体的内部且满足321432AP AB AD AE =++，则P 点到直线BC 的距离为（ ）A ．34B 5C ．45D 5【答案】B【分析】以D 为坐标原点，,,DA DC DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 由题意，计算出BC 和BP 的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式22BP BC d BP BC ⎛⎫⋅⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭即可求解. 【详解】如图，以D 为坐标原点，,,DA DC DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()0,0,0D ，()1,1,0B ，()1,0,1E ，()0,1,0C 所以()0,1,0AB =，()1,0,0AD =-，()0,0,1AE =， 231,,323214324AP AB AD AE =++⎛=⎫- ⎪⎝⎭，131,,342P ∴⎛⎫ ⎪⎝⎭211,,342P B ⎛⎫=--∴ ⎪⎝⎭，()1,0,0BC =-，23BP BC BC⋅∴=，2222211109342144BP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴=所以点P 到BC 的距离221094514494BP BC d BP BC ⎛⎫⋅⎪=-= ⎪ ⎪-=⎝⎭． 故选：B.7．已知函数()sin 3f x x x =-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12()x x ，上具有单调性，则12x x +的最小值为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．43π 【答案】C【分析】根据12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12()x x ，上具有单调性，由12x x ，关于函数的对称中心对称求解.【详解】()sin 32sin 3f x x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，令,3x k k Z ππ-=∈,得函数的对称中心为,0,3k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又因为12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12()x x ，上具有单调性， 所以1223k x x ππ=++，当0k =时，12x x +的最小值为23π. 故选：C.8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ） A ．22172x y -=B ．2262511x y -=C ．22154x y -=D ．22145x y -=【答案】C【分析】先根据圆的方程求出圆心和半径，结合渐近线和圆相切以及焦点可求方程. 【详解】圆22:650C x y x +-+=的圆心为()3,0C ，半径为2r =.由题意双曲线的渐近线的方程为0bx ay ±=2=；因为双曲线的右焦点为圆C 的圆心，所以3c =，2229b a c +==， 所以2b =；又2225c a b =-=，所以双曲线的方程为22154x y -=.故选：C.9．已知函数()2x x f x e=，若关于x 的方程()()210f x mf x m ++⎤⎦-⎣=⎡恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()0,2 B ．11,2e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．241,1e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．241,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】利用导数研究()f x 的单调性和最值，画出函数图像，数形结合，即可求得. 【详解】因为()2x x f x e=，故可得()()2x x x f x e '-=，令()0f x '=，解得0x =或2x =，故可得()f x 在区间(),0-∞和()2,+∞单调递减，在区间()0,2单调递增. 且()()2400,2f f e ==，当x 趋近于正无穷时，()f x 趋近于零. 故其函数图像如下所示：令()t f x =，故关于x 的方程()()210f x mf x m ++⎤⎦-⎣=⎡， 即为210t mt m ++-= 解得1t =-或1t m =-.当1t =-时，()1f x =-没有实数根；故要满足题意，只需()1f x m =-有三个实数根即可. 数形结合可知，只需()24012m f e <-<=， 解得m ∈241,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，涉及方程与函数之间的相互转化，属综合中档题.二、填空题10．设复数z 满足()1234i z i +=-（i 为虚数单位），则z 的值为__________． 5【详解】分析：由条件()1234i z i +=-得到复数的代数形式，即可求得复数模长. 详解：因为()1234i z i +=-，所以3412i z i -=+=()()()()34121212i i i i --+-=12i --， 所以5z =点睛：本题考查复数的四则运算，意在考查学生的计算能力．11．已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m =______.【答案】1-4【分析】化双曲线方程为标准方程，求得,a b 的值，依题意列方程，解方程求得m 的值. 【详解】双曲线方程化为标准方程得2211y x m-=-，故1,a b == 依题意可知2b a =2=，解得14m =-.【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的虚轴和实轴，考查运算求解能力，属于基础题.12．5(12)x -展开式中3x 的系数为__________. 【答案】-80【解析】求出5(12)x -的展开式的通项即得解.【详解】5(12)x -的展开式的通项为155(2)(2)r r r r rr T C x C x +=-=-，令3r =，所以3x 的系数为335(2)80C -=-.故答案为：80-【点睛】方法点睛：求二项展开式的某一项的系数，一般利用二项展开式的通项求解.13．一盒子装有4件产品，其中有3件一等品，1件二等品.从中不放回地抽取两次，每次任取一件，设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”，则条件概率()|P B A 的值为______. 【答案】23【分析】根据条件概率的公式解题. 【详解】由已知可得，()34P A =，()321432P AB ⨯==⨯， ()()()122|334P AB P B A P A ===.故答案为：23.三、双空题14．已知正实数a ，b 满足22a b +=，则()()22411a b +⋅+的最小值为___________.22242214a b b a a b -+--+++的最小值为___________.【答案】 412+【分析】空1先把22a b +=两边平方，再对所求式子进行换元，利用二次函数求解最值，（或根据柯西不等式直接求解）；空2先分离常数，然后根据均值不等式求解. 【详解】空1方法一，由22a b +=得22444a ab b ++=，22444a b ab +=-，()()2222222221411441445442a b a b a b a b ab ab ⎛⎫+⋅+=+++=-+=-+ ⎪⎝⎭，当12ab =且22a b +=时，即112a b ==，时，()()22411a b +⋅+取得最小值4.空1方法二，由柯西不等式得()()()()()222224114112 4.ab a b a b +⋅+=+⋅+≥+=当112a b ==，时，()()22411a b +⋅+取得最小值4.故答案为：4.空2，22242214a b b a a b -+--+++22222414a a b b a b +++-=+++22(1)2148146a a b b a b ++++=++-++ 28282311414a b a b a b =++-+=-++++++()1212(1)(48184a b a b ⎛⎫=-+++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭ 12(4)14881146(1)a b a b +⎛⎫=-++++ ⎪++⎝⎭+12(4)11281146(1)a b a b +⎛⎫=-+++ ⎪++⎝⎭+(11128≥-++ 12=当5,12a b ==-.故答案为：12+15．在菱形ABCD 中，3AB =，60BAD ∠=，E ，F 分别为线段BC ，CD 上的点，2CE EB =，2CF FD =，点M 在线段EF 上，且满足5()6AM xAB AD x R =+∈，则x =___________；若点N 为线段BD 上一动点，则AN MN ⋅的取值范围为___________. 【答案】12； 373[,]164-【分析】根据菱形的性质，建立以AC 为x 轴，BD 为y 轴的直角坐标系，利用向量的坐标表示形式分别表示出,,AM AB AD →→→，根据它们的关系求得x 的值及M 的坐标；设(0,)N t ，表示出AN MN →→⋅的函数关系，根据二次函数的性质求得取值范围.【详解】根据菱形的性质，建立以AC 为x 轴，BD 为y 轴的直角坐标系，如图所示：则33(A ，3(0,)2B ，3(0,)2D -，333()2AB →=，333()2AD →=-，由题知，EF AC ⊥，且13BE BC =，设3()M y ，则3,)AM y →=，由56AM x AB AD →→→=+， 则33533236353()262x y x ⎧+⎪⎪⎨⎪=+⋅-⎪⎩，解得12x =，12y =-，设(0,)N t ，33[,]22t ∈-，33()AN t →=，31()2MN t →=+则233193(()2224t AN MN t t t →→⋅=++=+-，33[,]22t ∈-则29373[,]24164t AN MN t →→⋅=+-∈-故答案为：12；373[,]164-.四、解答题16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos b A c =． （1）求B 的大小；（2）若3,2c a b +=，求ABC 的面积． 【答案】（1）6π； （23【分析】（13sin cos A A B =，求得3cos B 即可求解；（2）由余弦定理可得2233a b a -+=，结合2a b +=，求得1a b ==，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）因为3cos 2b A ac +=， 由正弦定理可得3sin cos sin sin 2B A AC +=， 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以3sin sin cos 2A AB =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以3cos 2B =， 因为(0,)B π∈，所以6B π=.（2）因为6B π=，3c =，由余弦定理可得2233cos 223a b B a +-==⨯，整理得2233a b a -+=， 又2a b +=，解得1a b ==， 所以1113sin 132224ABCSac B ==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．17．如图，在三掕台111ABC A B C 中,90,4BAC AB AC ︒∠===,111112A A A B AC ===,侧棱1A A ⊥平面ABC ,点D 是棱1CC 的中点.(1)证明:1BB ⊥平面1AB C (2)求点1B 到平面ABD 的距离;(3)求平面BCD 与平面ABD 的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 31030【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质,可得11AB BB ⊥,根据线面垂直的性质定理以及判定定理,可得1AC BB ⊥,再结合线面垂直判定定理,可得答案.(2)利用等体积法,由三棱雉1B ABD -的体积等于三棱雉1D ABB -,可得答案;(3)建立空间直线坐标系,求两个平面的法向荲,利用向量叫夹角公式,根据面面角与法向䵣夹角的关系,可得答案.【详解】（1）在平面11ABB A 内,过1B 作1B E AB ⊥,且1B E AB E ⋂=，则11112,2B E AA A B AE ====,在1ABB 中,112,B E AE BE B E AB ===⊥,易知190AB B ︒∠=,即11AB BB ⊥,1AA ⊥平面,ABC AC ⊂平面1,ABC AA AC ∴⊥,AC AB ⊥,且11,,AA AB A AB AA ⋂=⊂平面11,ABB A AC ∴⊥平面11ABB A ,1BB ⊂平面11111,,,ABB A AC BB AC AB A ACAB ∴⊥⋂=⊂平面1ACB ,1BB ∴⊥平面1ACB .（2）取1AA 的中点F ，连接1,DF DB ，则//DF AC ,即()111||||32DF AC AC =+=,且DF ⊥平面11ABB A , 在Rt DFA 中,222DF AF AD +=,则10AD =, 1AA ⊥平面ABC ,且AB ⊂平面1,ABC AA AB ∴⊥,1,AB AC AA AC A ⊥⋂=,且1,AC AA ⊂平面11,ACC A AB ∴⊥平面11ACC A ,AD ⊂平面11,ACC A AB AD ∴⊥,故a 1||||2102ABD S AB AD =⋅⋅=,由（1）易得11||42ABQSAB B E =⋅⋅=, 设1B 到平面ABD 的距离为h ,由三棱雉1B ABD -的体积等于二棱雉1D ABB -, 则111||33ABDABB h S DF S ⋅⋅=⋅⋅,即1||343105210ABB ABDDF S h S⋅⋅===.（3）以点A 为原点,分别以1,,AB AC AA 所在的直线为,,x y z 轴,建立空间直线坐标系，则1(0,0,0),(4,0,0),(0,4,0),(0,2,2)A B C C ,由点D 为1CC 的中点,则(0,3,1)D 在平面BCD 中,取(4,4,0),(4,3,1)BC BD =-=-,设该平面的法向量()111,,n x y z =, 则00n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即111111111440,430x y y x x y z z x ⎧-+==⎧⎪⎨⎨-++==⎪⎩⎩,今11x =,解得111,1==y z , 故平面BCD 的一个法向量(1,1,1)n =,在平面ABD 中,取(4,0,0),(0,3,1)AB AD ==,设该平面的法向量()222,,m x y z =, 则00m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222222400,303x x y z z y ⎧==⎧⎪⎨⎨+==-⎪⎩⎩,今21y =,解得220,3x z ==-, 故平面ABD 的一个法向量(0,1,3)m =-,则cos ,||||11n m n m n m ⋅<>===⋅+, 故平面BCD 与平面ABD 18．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()112n n n S S a =-+， (1)求{}n a 的通项公式； (2)设()()1111n n n n a c a a ++=++，若数列{}n c 的前n 项和为n T ，且对任意的*N n ∈满足223n T λλ<+，求实数λ的取值范围. 【答案】(1)12n na = (2)(]1,,13⎡⎫+∞-∞-⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出{}n a 为等比和首项均为12的等比数列，利用等比数列通项公式求出答案； （2）变形得到1112121n n n c +=-++，利用裂项相消法求和得到11113213nn T +=-<+，结合223n T λλ<+恒成立，从而得到22133λλ+≥，求出实数λ的取值范围.【详解】（1）()112n n n S S a =-+整理为1n n S a =-+， 当1n =时，111S a =-+，即111a a =-+，解得：112a =， 当2n ≥时，111n n S a --=-+，1n n S a =-+与111n n S a --=-+相减得：1n n n a a a -=-+，即112n n a a -=， 故{}n a 为等比和首项均为12的等比数列，所以1111222n n na -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭； （2）()()111111112111*********n n nn n n n n n a c a a +++++===-++++⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故12223113111111212121212121nn n n T c c c c +=-+-++-++=++++++++1111111121213213n n ++=-=-<+++， 因为对任意的*N n ∈满足223n T λλ<+，故只需22133λλ+≥，解得：13λ≥或1λ≤-， 故实数λ的取值范围是(]1,,13⎡⎫+∞-∞-⎪⎢⎣⎭.19．已知圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线3480x y +-=相切． （1）求圆C 的标准方程；（2）直线:2l y kx =+与圆C 交于A ，B 两点． ①求k 的取值范围；②证明：直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值．【答案】（1）()2211x y -+=；（2）（ⅰ）3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（ⅱ）具体见解析.【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案； （2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案； （ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案. 【详解】（1）由题意，设圆心为(),0(0)C a a >，因为圆C 过原点，所以半径r =a ， 又圆C 与直线3480x y +-=相切，所以圆心C 到直线的距离|38|15a d a a -==⇒=（负值舍去），所以圆 C 的标准方程为：()2211x y -+=.（2）（ⅰ）将直线l 代入圆的方程可得：()()2214240k x k x ++-+=，因为有两个交点，所以()()2234216104k k k ∆=--+>⇒<-，即k 的取值范围是3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，由根与系数的关系：12212242141k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩，所以()1212121212122222OA OB x x y y kx kx k k k x x x x x x ++++=+=+=+2242212141k k k k --⋅+=+=+. 即直线OA ,OB 斜率之和为定值. 20．设函数()212x f x =-(1)若函数()()e xg x k x f x =--在R 上单调递增，求k 的最小值.(2)证明：当0x ≥时，()cos f x x ≥-；(3)若对于任意的0x ≥，不等式e sin cos 2ax x x ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)[)1,+∞【分析】（1）根据题意，得到()e 10x g x k x '=--≥，转化为1e x x k +≥，通过导数求出1e xx +的最大值，进而得到k ；（2）问题转化为转化为2cos 102x x +-≥(0)x ≥，设2()cos 12x g x x =+-，分两次求导，讨论()g x 的单调性，进而得到()(0)0g x g ≥=，从而题目得证；（3）由（2）得，0x ≥时，sin x x ≥，21cos 2x x -≥-，则有21sin cos 22x x x x ++≥-+，构造2()e 12xx G x x =---，通过讨论()G x 的导数，得到()(0)0G x G ≥=，进而得到2e 1sin cos 22xx x x x ≥++≥-+，再分类讨论1a <与1a ≥，即可得到满足题意时，a 的取值范围.【详解】（1）()()e xg x k x f x =--21e 2xk x x =-+-，函数()()e xg x k x f x =--在R 上单调递增，()e 10x g x k x '=--≥，故1e x x k +≥，令1()ex x h x +=，2e (1)e ()(e )e x x x x x x h x -+'==- 当(,0)x ∈-∞，()0h x '>，()h x 单调递增； 当,()0x ∈+∞，()0h x '<，()h x 单调递减； ()(0)1h x h ≤=，得[]max ()1h x =，则max11e x x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故1k ≥时，满足函数()()e xg x k x f x =--在R 上单调递增，故k 的最小值为1（2）若0x ≥时，()cos f x x ≥-，则()21cos 2x f x x =-≥-，转化为2cos 102x x +-≥(0)x ≥，设2()cos 12x g x x =+-，则()sin g x x x -'=，设()sin x x x ϕ=-，则()1cos x x ϕ'=-，当0x ≥时，()1cos 0x x ϕ'=-≥，即()sin x x x ϕ=-为增函数，所以()(0)0g x g ''≥=，()g x ∴在(0,)+∞时为增函数，所以，()(0)0g x g ≥=，得2cos 102x x +-≥，()21cos 2x f x x =-≥-，故当0x ≥时，()cos f x x ≥-成立.（3）由（2）得，0x ≥时，sin x x ≥，21cos 2x x -≥-，则有21sin cos 22x x x x ++≥-+，设2()e 12xx G x x =---，则()e 1x G x x '=--，设()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-，当0x ≥时，()e 10x h x '=-≥，所以()e 1x h x x =--为增函数，所以，()()(0)0G x h x h '=≥=，所以()G x 为增函数，所以，()(0)0G x G ≥=，所以2e 1sin cos 22xx x x x ≥++≥-+对任意的0x ≥恒成立，又0x ≥，1a ≥时，e e ax x ≥，所以1a ≥时，e sin cos 2ax x x ≥-+对任意的0x ≥恒成立；当1a <时，设()e sin cos 2ax m x x x =-+-，则()e cos sin ax m x a x x '=--，(0)10m a '=-<，所以存在实数00x >，使得任意()00,x x ∈，均有()0m x '<，所以()m x 为减函数，所以在()00,x x ∈时，()(0)0m x m <=，此时，e sin cos 20ax x x -+-<，e sin cos 2ax x x ≤-+，与题意不符，所以1a <时不符合题意. 综上，实数a 的取值范围为[)1,+∞.。