天大《结构力学-1》学习笔记七

是很快的。对结构的全部节点轮流放松一遍，各进行一次力矩分配与传递，称为
一轮，通常进行两三轮计算就能满足工程精度。
（6）最后将各杆的固端弯矩，各次的分配弯矩和传递弯矩叠加，即得原结
构的各杆端弯矩。
（1）
（2）
结构力学-1—学习笔记七
（3） （4） （5） （6） 图 6 用力矩分配法计算连续梁的做法
教学目的要求： 1、掌握：用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。 2、熟悉：对称性的利用。超静定结构的特性、超静定结构与静定结构的比
较。 3、了解：无剪力分配法、剪力分配法、力法、位移法、力矩分配法的联合
应用。
8.1 概述 前面两章介绍的力法和位移法是计算超静定结构的两种基本方法。不论用哪
种方法计算超静定结构都要解联立方程组，当未知量的数日较多时，这项计算工 作将是十分繁重的。因此，人们寻求简化计算手续的新途径、力图避免组成和求 解多元联立方程组。近几十年来．已经提出了许多实用的计算方法。本章将阐述 其中的力矩分配法和无剪力分配法。
M
f i
表示。约束力矩规定以顺时针转向为
正。
2．结点 i 处实际上并没有附加刚臂，也不存在约束力矩，为了能恢复到实
际状态，抵消掉约束力矩
M
f i
的作用，我们在结点
i
处施加一个与它反向的外力
偶 Mi
=
−
M
f i
(注意 Mi 也以顺时针向为正)。结构在 Mi 作用下的各杆端弯矩，应
用一次基本运算即可求出。
为中心
的计算单元，由于力矩-
M
f C
所引起的固端弯矩，可利用力矩分配法的基本运算
结构力学-1—学习笔记七
求出：在经过图 6（3）所示的第一次力矩分配与传递后，节点 C 处的各杆端弯
矩已自相平衡，而节点
B
处的约束力矩称为
M
f B
+
M
f BC
。
(3)将结点 C 重新固定，放松结点 B；即相当于在结点 B 上施加与力矩
所示连续梁说明一般作法。
（1）用附加刚臂将结点 B 相 c 固定，然后施加荷载(图 6（2）)，这时连续
梁变成三根单跨超静定梁，其变形如图 6（2）中的虚线所示。在利用表 7—1 求
得各杆的固端弯矩
M
f BA
、
M
f AB
及
M
f CD
后，由结点
B、c
处的力矩平衡条件可分别
求得此两点的约束力矩
MBf
和
M
力矩分配法和无剪力分配法都是属于位移法类型的渐进解法，在计算过程中 采用逐步修正的步骤，其计算结果的精明度随着计算轮次的增加而提高。采用这 类计算方法。既可避免解算联立方程，又可遵循一定的步骤进行。因其易于掌握， 且可以直接算出杆端弯矩，故应用较广。
力矩分配法适用于无结点线位移的超静定梁及刚架。无剪力分配法适用于某 些持殊刚架，例如单跨多层对称刚架在反对称荷载作用下的内力计算。这时刚架 虽然会发生侧移，但是横粱两端无相对线位移，立杆的剪力都是静定的，根据这 些特点而提出的无剪力分配法可使计算工作大为简化。至于一般有结点线位移的 刚架，如采用手算，联合应用力矩分配法与位移法可能是一个减少计算工作量的 途径，在本章对此将加以介绍。
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8.2 力矩分配法的基本概念 力矩分配法的基本概念是由只有一个节点角位移的超静定结构计算问题导出的。 一、 力矩分配法的基本运算 设有如图 1 所示的刚架，其上各杆件均为等截面直杆。由图可知，它只有一个刚 节点，在一般忽略杆件轴向变形的情况下，该节点不发生线位移而只有角位移， 我们称它为力矩分配法的一个计算单元。
f C
。
(2)为了消去附加刚臂的影响，即消去上述两个约束力矩，必须放松结点 B
和 c。在此采用逐个结点依次放松的办法，使各结点逐步转动到实际应有的位置。
首先，设想光放松一个结点，设为结点 c(注意此时结点 B 仍被固定)，即相
当于在结点
c
处施加与约束力矩
M
f C
反号的力矩-
M
f C
。对于这个以结点
c
，亦即在结点
C
施加-
M
。
(5)同理，再在结点 B 作二次力矩分配和传递，如图 6（6）所示。按照以上
做法，轮流放松点 C 相结点 B，则附加刚臂给予结点的约束力矩将愈来愈小，经
过若干轮以后，当约束力矩小到可以忽略时，即认为已解除了附加刚臂的作用，
同时结构达到了其实的平衡状态。由于分配系数和传递系数均小于 1，所以收敛
二、具有一个节点角位移结构的计算
掌握了上述基本运算，再利用叠加原理，即可用力矩分配法计算荷载作用下
具有一个结点角位移的结构。其计算步骤为；
1．先在本来是发生角位移的刚结点 i 处假想加入附加刚臂，仅其不能转动。 由表 7 一 l 算出汇交于 i 点各杆端的固端弯矩后，利用该结点的力矩平衡条件求
出附加刚臂给予结点的约束力矩，并以
在刚结点处作用有一集中力偶 M，求汇交于该结点各杆的杆端弯矩，该运算
称为力矩分配法的基本运算。
设在 M 的作用下，结点 1 产生的角位移为 Z1。利用转角位移方程，可以写
出各杆端弯矩（z1 尚为未知）
M12 =3i12Z1 M13 =4i13Z1 M14 =i14 Z1
（a）
M21=0 M31 =2i13 Z1 M41= i14 Z1
（b）
取节点 1 为隔离体，由弯矩平衡可知：
M12 +M13 +M14 =M 将式（a）带入可得：
Z1= 3i12
+
M 4i13
+
i14
（c）
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然后再回代（a）和（b）式，即可求出各杆的杆端弯矩值
M12 =
3i12
3i12 +4i13
+i14
⎫ M⎪
⎪
M13 =
3i12
4i13 +4i13
逐次渐进的作法，就可以求出各杆端的弯矩。
图 6（1）所示三跨等截面连续梁在 AB 跨和 CD 跨受荷载作用，变形曲线如
图 6（1）中的虚线所示。用位移法计算时有两个基本未知量，（节点 B 和 C 的角
位移），可建立两个位移方程，联立求解就可得出这两个角位移，从而求得各杆
件内力。采用力矩分配法计算时不建立和求解联立方程组。下面结合图 6（1）
汇交于此结点的各杆端(称为近端)，由此求得的各近端弯矩称为分配弯矩，分配
弯矩以 M1µk 表示。因此可不必求出转角 Z1，而直接由式(8-1)求得汇交于结点 1 各杆端的分配弯矩。
基本运算中杆端弯矩的计算方法归纳为：
当集中力偶 M 作用在结点 1 时，按分配系数分配给各杆的近端即得到近端杆
端弯矩；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。
各杆端弯矩可统一写成：
∑ M1k =
S1k M S 1k
(1)
=µ1kM
∑ µ1k =
S1k S1k
(1)
∑ 式中： S1k 表示汇交于结点 1 的各杆在 1 端的转动刚度之和。µ1k 的值永
(1)
远小于 1，而 ∑ µ1k =1。
(1)
3. 传递系数
各杆端弯矩可统一写成：
Mk1=C1kM1k (h)
的几个定义，并用力矩分配和传递的概念进行以上计算。
1. 转动刚度
式（a）中列出的各杆端弯矩可统一写成：
M1k =S1k Z1 S1k 为 1K 杆的 1 端的转动刚度，它表示在 1K 的 1 端产生一单位转角时，在
该端所需作用的弯矩。它的值依赖于杆件的线刚度和杆件另一端的支承情况。例
如：12 杆的远端是铰支端， S12 =3i12 ；13 杆的远端是固定端， S13 =4i13 ；14 杆的远端是定向支座， S14 =i14 。 2. 分配系数
3．结构的实际受力状态，为以上两种情况的叠加。将第 1 步中各杆端的因
端弯矩分别和第 2 步中的各杆端的分配弯矩或传递弯矩叠加，即得汇交于点之各
杆的近端或远端的最后弯矩。
8.3 用力矩分配法计算连续梁和无节点线位移刚架
上节用只有一个结点角位移未知量的结构说明了力矩分配法的基本概念。对
于具有两个以上节点的连续梁和无节点线位移的刚架，只要应用上述概念和采用
M
f B
+
M
f BC
反号的-
M
f B
+
M
f BC
。对于当前的以结点
B
为中心的计算单元，同样可
用力矩分配法的基本运算求得这时所产生的杆端弯矩。在结点 B 通过第一次力矩
分配传递(图 6（4）)后，此点的各杆端弯矩即自相平衡。
(4)由于结点
B
被放松时，结点
c
处的附加刚臂又产生新的约束力矩
M
C CB
，
所以还须重新固定结点 B，再放松点 c
C1k 称为 1K 杆 1 端的传递系数，它表示当杆件近端发生转角时，远端弯矩
与近端弯矩的比值。
对于不同的远端支承情况，相应的传递系数也不同。例如：12 杆的远端是
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铰支座， C12 =0 ；13
杆的远端是固定端，
C13
=
1 2
，14
杆的远端是定向支座，
C14 = 1。
作用于结点 1 的力偶 M 可按汇交于该结点各杆的转动刚度 S1k 的比例分配给
+i14
M ⎪⎪⎬ ⎪
(e)
M14
=
3i12
i14 +4i13
+i14
⎪ M⎪
⎪⎭
M21=0
M31= M41=
3i12