函数的零点问题

函数零点问题

处理函数零点问题时，我们不但要掌握零点存在性定理，还要充分运用等价转化、函数与方程、数形结合等思想方法，才能有效地找到解题的突破口．

近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但却与函数、导数知识密不可分．用导数解决函数的零点问题是近几年高考命题的热点题型，此类题一般属于压轴题，难度较大．

[典例] (理)(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14

，g (x )＝－ln x .

(1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；

(2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，讨论h (x )零点的个数．

[思路演示]

解：(1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)，则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0，

即⎩⎪⎨⎪⎧

x 30＋ax 0＋14＝0，

3x 20＋a ＝0，

解得⎩⎨⎧

x 0＝12

，

a ＝－3

4.

因此，当a ＝－3

4

时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线．

(2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0，从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0，故h (x )在(1，＋∞)上无零点．

当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋5

4≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故x ＝1是h (x )的零

点；若a <－5

4

，则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0，故x ＝1不是h (x )的零点．

当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x >0，所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数．

①若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)上无零点，故f (x )在(0,1)上单调．而f (0)＝1

4，f (1)

＝a ＋5

4

，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)上有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0,1)上没有零点．

②若－3

⎛⎭⎫0，

－a 3上单调递减，在⎝⎛⎭

⎫

－a 3，1上单调递增，故在(0,1)上，当x ＝

－a

3时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭

⎫ －a 3＝2a

3 －a 3＋14

. 若f ⎝⎛⎭

⎫

－a 3＞0，即－34＜a ＜0，则f (x )在(0,1)上无零点． 若f ⎝

⎛⎭

⎫

－a 3＝0，即a ＝－34，则f (x )在(0,1)上有唯一零点．

上有两个零点；当－3

4

时，f (x )在(0,1)上有一个零点．

综上，当a >－34或a <－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时，h (x )有两个零点；当－5

4

－3

4时，h (x )有三个零点．

[解题师说]

对于已知参数的取值范围，讨论零点个数的情况，借助导数解决的办法有两个：

[典例] (文)设函数f (x )＝ln x ＋m

x

，m ∈R.

(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x

3零点的个数．

[方法演示]

解：(1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e

x ，则f ′(x )＝x －e x 2，

∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减， 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋e

e

＝2，∴f (x )的极小值为2.

(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－1

3x 3＋x (x ＞0)．

设φ(x )＝－1

3x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)．

当x ∈(0,1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0,1)上单调递增；

当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．

∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝2

3

. 又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x ) 的图象(如图)，

可知，①当m ＞2

3时，函数g (x )无零点；

②当m ＝2

3时，函数g (x )有且只有一个零点；

③当0＜m ＜2

3时，函数g (x )有两个零点；

④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．

综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝2

3或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当

0＜m ＜2

3时，函数g (x )有两个零点．

[解题师说]

对于已知参数的取值范围，讨论零点个数的情况，借助导数解决的办法有两个：

[应用体验]

1．已知函数f (x )＝－x 3＋ax －1

4

，g (x )＝e x －e(e 为自然对数的底数)．

(1)若曲线y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线与曲线y ＝g (x )在(0，g (0))处的切线互相垂直，求实数a 的值；

(2)设函数h (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

f (x )，f (x )≥

g (x )，

g (x )，f (x )＜g (x )，试讨论函数h (x )零点的个数．

解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋a ，g ′(x )＝e x ，所以f ′(0)＝a ，g ′(0)＝1，由题意，知a ＝－1. (2)易知函数g (x )＝e x －e 在R 上单调递增，仅在x ＝1处有一个零点，且x ＜1时，g (x )＜0， 又f ′(x )＝－3x 2＋a ，

①当a ≤0时，f ′(x )≤0，f (x )在R 上单调递减，且过点⎝⎛⎭⎫0，－14，f (－1)＝3

4－a ＞0，即f (x )在x ≤0时必有一个零点，此时y ＝h (x )有两个零点；

②当a ＞0时，令f ′(x )＝－3x 2＋a ＝0，得两根为x 1＝－

a

3

＜0，x 2＝ a

3

＞0，