专题分段函数与函数零点答案

11. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0，

则关于x 的不等式f(x 2)＞f(3－2x)的解集是__________

11. (－∞，－3)∪(1，3) 解析：x≤32

时原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x≤32；x ＞32时原不等式化为x 2＞(3－2x)2，解得32

＜x ＜3.综上x ＜－3或1＜x ＜3.本题考查分类讨论的思想，考查解不等式的能力．本题属于中等题．

11. 已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝－x ＋2，则不等式f(x)－x 2≥0的解集为________．

11. [－1，1] 解析：∵ f(x)≥x 2，而f(x)示意图如下：

令x 2＝－x ＋2，得x ＝1(x>0)，从而由图象知，原不等式解集为[－1，1]．

本考查了函数的综合运用，以及数形结合数学思想．本题属于中等题．

13. 已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f(x 2)＋f(k －x)只有一个零点，则实数k 的值是__________．

13. 14

解析：不妨设f(x)＝x ，则x 2＋k －x ＝0只有一个解，从而1－4k ＝0，得k ＝14

. 12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是____________．

12. (4，＋∞) 解析：由题意得f(x)＝⎩⎨⎧－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x>0，

f(x －1)＝⎩

⎨⎧－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1>0， 即f(x －1)＝⎩

⎨⎧－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x>1， 所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为⎩⎨⎧－x 2－x ＋2>－x ＋4，x ≤1，

或⎩⎨⎧x 2－5x ＋4>－x ＋4，x>1，

解得x ＞4.

11. 已知f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋x （x≥0），－x 2＋x （x<0），

则不等式f(x 2－x ＋1)<12的解集是________．

11. (－1，2) 解析：由函数图象知f(x)为R 上的增函数且f (3)

＝12.从而x 2－x ＋1＜3，即x 2

－x －2＜0，∴ －1＜x ＜2.本题主要考查函数的奇偶性、单调性的综合运用，属于中等题．

12. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x<0，（x －1）2

，x ≥0.若f(f(－2))>f(k)，则实数k 的取值范围为________．

12. (log12

9，4) 解析：由f(x)解析式画出f(x)示意图如下，又

f(－2)＝4，∴ 原不等式等价于f(4)>f(k)．设x<0，令f(x)＝f(4)＝9，解得x ＝log129，设x>0，(x －1)2＝9，得x ＝4从而x

9，

4)．本题考查分段函数的图象，以及利用图象解决不等式问题，同时考查了分类讨论与数形结合的数学思想．本题属于中等题．

12. 若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增

函数，如果实数t 满足f(lnt)＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫ln 1t ≤2f(1)，那么t 的取值范围是________．

12. ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1e ，e 解析：f(lnt)＋f(－lnt)＝2f(lnt)≤2f(1) ，即f(lnt)≤f(1)，又f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，从而有

|lnt|≤1，∴ －1≤lnt ≤1，即t∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1e ，e .本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用．本题属于中等题．

13. 设函数f(x)＝⎩⎨⎧1－|x －1|，x<2，

12f （x －2），x ≥2，

则方程xf(x)－1＝0根的个数为

________．

13. 6 解析：方程xf(x)－1＝0，显然x ＝0不是方程的解，因而原

方程等价于y ＝f(x)与y ＝1x

两个函数图象的交点个数，f(x)示意图如下图所示．

∵ f(7)＝18<17，从而x>7时f(x)＝1x

无交点，因而原方程有6个解． 设函数f(x)＝⎩

⎨⎧14x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，－x ＋1，x ∈⎝ ⎛⎦

⎥⎤12，1，g(x)＝asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －a ＋2(a>0)．若存在x 1、x 2∈[0，1]，使得f(x 1)＝g(x 2)成立，则实数a 的取值范围为

________．

14. 已知函数f(x)＝⎩

⎨⎧kx ＋k ，x ≤0lnx ，x>0(其中k≥0)，若函数y ＝f[f(x)]＋1有4个零点，则实数k 的取值范围是________．

14. k ≥1e

解析：令t ＝f (x)，则 f (t)＋1＝0，∴ ⎩⎨⎧f （t ）＝－1，t ＝f （x ），

关于x 有4个解，又t ＝f (x)示意图如图．

f (t)＝－1有两解：

t 2＜－1，t 1＝1e

， 而f (x)＝t (k≥0)，当t 2＜－1时，由图象可知方程f(x)＝t 肯定

有两解；当t 1＝1e 时，由题意知，方程f (x) ＝ 1e

在x∈R 上必须有两解，由图象知k≥1e

.本题考查函数与方程的综合运用以及数形结合的数学思想．本题属于难题．

12. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x 2，当x ＞1时，f(x ＋1)＝f(x)＋f(1)．若直线y ＝kx 与函数y ＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为__________． 12. 22－2 解析：f(1)＝1，从而f(x ＋1)＝f(x)＋1，当1≤x≤2时，f(x)＝f(x －1)＋1＝(x －1)2＋1，直线y ＝kx 与y ＝f(x)图象关于原点对称，从而原题等价于直线y ＝kx 与y ＝f(x)在x 轴右边有2个交点(原点除外)，从而y ＝kx 与y ＝(x －1)2＋1在1≤x≤2有唯一交点，即x 2－2x ＋2＝kx 有1解，令Δ＝(k ＋2)2－8＝0得k ＝－2±22，又k ＞0，从而k ＝22－2.

已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)

＝|x 2－2x ＋12

|.若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是____________．

(0，12

) 13. 已知函数f(x)＝⎩

⎨⎧（2x －x 2）e x ，x ≤0，－x 2＋4x ＋3，x ＞0，g(x)＝f(x)＋2k.若函数g(x)恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为__________．

13. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－32∪(2＋1e 2

，0) 解析：g(x)＝0等价于－2k ＝f(x)有两个解．又函数f(x)的示意图如图所示．

即－(22＋2)e －2＜－2k ＜0或3＜－2k ＜7.