实验二：时域采样与频域分析
一、实验原理与方法
1、时域采样定理：
（a ）对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号
的频谱)(Ωj X )是原模拟信号频谱)(ωj X a 以采样角频率)2(T s s π=ΩΩ为周期进行
周期延拓。公式为：[]∑∞-∞
=Ω-Ω==Ωn s a a a jn j X T t x FT j X )(1)()()) （b ）采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。
2、频域采样定理：
公式为：[])()()()(n R iN n x k X IDFT n x N i N N N ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+==∑∞-∞=。由公式可知，频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M(即N ≥M)，才能使时域不产生混叠，则N 点[])(k X IDFT N 得到的序列()N x n 就是原序列)(n x ,即)()(n x n x N =。
二、实验内容
1、时域采样理论的验证。给定模拟信号
)()sin()(0t u t Ae t x t a Ω=-α
式中A =444.128，α=502π，0Ω=502πrad/s ，它的幅频特性曲线如图2.1
图2.1 )(t x a 的幅频特性曲线
现用DFT(FFT)求该模拟信号的幅频特性，以验证时域采样理论。
按照)(t x a 的幅频特性曲线，选取三种采样频率，即s F =1k Hz ，300Hz ，200Hz 。观测时间选ms T p 50=。
为使用DFT ，首先用下面公式产生时域离散信号，对三种采样频率，采样序列按顺序用)(1n x ，)(2n x ，)(3n x 表示。
)()sin()()(0nT u nT Ae nT x n x nT a Ω==-α
因为采样频率不同，得到的)(1n x ，)(2n x ，)(3n x 的长度不同， 长度（点数） 用公式s p F T N ⨯=计算。选FFT 的变换点数为M=64，序列长度不够64的尾部加零。
[])()(n x FFT k X = 1,,3,2,1,0-=M k Λ
式中k 代表的频率为 k M
k πω2=。 要求：编写实验程序，计算)(1n x 、)(2n x 和)(3n x 的幅度特性，并绘图显示。 观察分析频谱混叠失真。程序见附录2.1、实验结果见图2.2。
2、频域采样理论的验证。给定信号如下：
⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤-≤≤+=其它02614271301)(n n n n n x
编写程序分别对频谱函数()FT[()]j X e x n ω=在区间[]π2,0上等间隔采样32和16点，得到)
()(1632k X k X 和
32232()() , 0,1,2,31j k X k X e k ωπω===L
16216()() , 0,1,2,15j k X k X e k ωπω===L
再分别对)()(1632k X k X 和进行32点和16点IFFT ，得到)()(1632n x n x 和
323232()IFFT[()] , 0,1,2,,31x n X k n ==L
161616()IFFT[()] , 0,1,2,,15x n X k n ==L
分别画出()j X e ω、)()(1632k X k X 和的幅度谱，并绘图显示x (n)、)()(1632n x n x 和的波形，进行对比和分析，验证总结频域采样理论。程序见附录2.2、实验结果见图2.3
提示：频域采样用以下方法容易编程实现。
（1） 直接调用MATLAB 函数fft 计算3232()FFT[()]X k x n =就得到()j X e ω在
]2,0[π的32点频率域采样。
（2）抽取32()X k 的偶数点即可得到()j X e ω在]2,0[π的16点频率域采样16()X k ，即1632()(2) , 0,1,2,,15X k X k k ==L 。
（3）当然，也可以按照频域采样理论，先将信号x (n)以16为周期进行周期延拓，取其主值区（16点），再对其进行16点DFT(FFT),得到的就是()j X e ω在]2,0[π的16点频率域采样16()X k 。
三、实验结果和分析、讨论及结论
1、实验结果：
图2.2采样频率幅度特性曲线
实验分析、讨论及结论：
（1）通过图可以发现，时域采样，频域周期延拓，延拓周期为Fs。当采样频率为1000 Hz时，频谱混叠很小：当采样频率为300 Hz时，频谱混叠很严重；当采样频率为200 Hz时，频谱混叠更加严重。所以要满足Fs>2Fc。
（2）fft函数的调用格式：
Xk=fft(xn,N)
调用参数xn为被交换的时域序列向量，N是DFT变换的区间长度，当N 大于xn的长度时，fft函数自动在xn后面补零。当N小于xn的长度时，fft 函数计算xn的前面N个元素构成的N长序列的N点DFT,忽略xn后面的元素。
2、实验结果：
图2.3频谱函数采样及波形
实验分析、讨论及结论：
（1）此结果验证了频域采样理论和频域采样定理。 对信号)(n x 的频谱函数)(ωj e X 在[]π2,0上等间隔采样16=N 时，N 点[])(k x IDFT N 得到的序列正是原
序列)(n x 以16为周期进行周期延拓后的主值区序列。即频域采样定理证明,对)(n x N 点频域采样反映到时域内就是就是)(n x 进行以N 为周期延拓序列的主值区间。
当N=16时，由于N当N=32时，由于N>M ，频域采样定理，所以不存在时域混叠失真。 上述条件说明，如果采样点数过少，那么进行IDFT 所得到的信号就会混叠
