舍利取义的反例

重视反例

SCIbird

说明：建议所有读者将本文中提及的那些著名分析反例，亲自动手推导一遍。

本文是自己几年前的网上长文《如何提高自身数学水平》的扩展文章，重

点介绍数学中的反例。

反例是数学中的重要组成部分，但在教学中因为某些原因被低估了，原因

或者因为有的反例证明太难（所用数学工具较深），或者是纯粹技巧性的构造（没

有一般性），甚至或者认为“破坏”了数学的和谐性等等。

按笔者观点，反例属于数学中的“否定性定理”范畴，可能在某种程度上

限制了我们认识数学的边界。但换一个角度讲，很多反例的存在使得数学多了

层次性，反而激发了活力，打开了一个新的世界，比如：连续函数--光滑函数--

解析函数。

最有名的反例之一要数“单位正方形的对角线长度不能表示成两个正整数之比”了，即2是无理数，这个反例引发了无理数井喷。如果耐心一些，细数

数学分析教材（如《数学分析新讲》）中的反例，还是挺多的。

简单一点的反例，如举出一个光滑函数，不存在泰勒级数，这个反例是函

数：1/(),0;()0,0xfxexfxx−=>=≤. 这个函数在0x=点的任意阶导数均

为0，因此 这个函数在0x=点的泰勒级数恒为0，矛盾。

其它例子，如直观上，收敛的广义积分

0()fxdx∞<∞∫ 似乎应该有 lim()0xfx→∞=

如果()fx非负，则结论成立；如果()fx变号，则不一定成立，如2()sinfxx=.

级数方面，众所周知的结论是11

nn∞

==+∞∑，但是11,1pnpn∞

=<+∞>∑. 于是猜想：对正项级数，当1()naon=，是否有级数1nna∞

=<+∞∑. 直观上，似乎是对的，但是级数21lnnnn∞

==+∞∑就是这个猜想的反例。

上述几个例子都是与直观相违背的，这梯形我们在学习数学中不能丢弃直

观思维的启发，但直观想象不能代替严格的数学证明，想当然的习惯要不得。

可能有朋友还是有这种感觉，上面的例子还是有些做做，似乎是show技巧。

不知怎么的．我突然想拥她入怀　

给她细细梳理羽毛　

直至到老　

河琉上的背｛Ｉ｝乏　

紫气弥散．灌木林掩映下　

是一条河流的出生地　

我的一生都在追逐渐行渐远的白帆　夕阳将熄．弧形的河湾苍莽　

水岸有告别的人群送缕缕秋风　

有燕雀声声起于低矮的天空　

白帆终究要在河流的拐弯之处被雾霭吞没　我的手指终究够不着风吹的衣角　

消失的背影甚至来不及回头看我最后一眼　

被河流带走的人　

把我扔在岸上，让我孑然兀立在天空下　

遵　反　侈ＩＪ（组诗）　

海面　

风缓缓地吹着，平静的海面　

猝然掠过一只水鸟　

身体有些湿润了　

一些海水，已经不知不觉地进入她的肺腑　“在纸上．哏睛里．内心秘密的小径　

制造一个小阴谋　

在蜂蜜里，掺入毒药和致幻剂”　

服从了内心，就等于信仰自由，就等于身　体长出了　

一片又一片叶子　

夏日的雷声就要到来。落在纸上的抒情　就要，就要，摇晃起来……　

梦　

嘘．别说话啊　我就要睡了。如果茉莉开了　

我得钻进去　

我喜欢牛奶加果汁的生活，喜欢　

眼睛里的甜　屋子安睡了．蛐蛐开始歌唱　

萤火虫让我感觉奇异　

这令人屏住呼吸的微光，将会进入我无限的　

梦中。还有，悬垂的苹果　

秋风里的隐情以及无法描述的香气　

而１９８８年那条白围巾　

正裹着我。风从天边吹来　不停地吹啊，吹啊，吹我手里的蒲公英　

嘘．别说话　它们刚刚飘落在，我的睫毛上　

反例　

你记着那个人的伤感和　

轻轻吹过来的风。夜色加深　

你触摸到白衬衫上的心跳　

你开窗，唱小曲，优雅地打着火机　

雨后的街道明静　

灯光点亮树叶的水珠　

你有些冲动　

你想介入一种对应。不再提及风雨　

凡是美好的虚妄的　呵，点燃它，用光它，浪费它　

说声音，不要说林中梨花开放　

说月亮，要说花瓣覆盖了星光。你笑了　

你很认同此刻你和这个世界的微妙关系　

你随手拿起了桌子上一粒葡萄：　它离唇边很近，却惊叫着滚落在地　

带着碎裂的企图　

棉花糖　

那时你合上眼睛。他出现　

香甜的气息　

这丝绸般的缠绕。这被风吹落的云朵　除了你，谁都不给吃　

太甜了。粘在舌尖上，小小的心　

不因小利失大义

刘涵梦

利，我所欲也；义，亦我所欲也，两者不可得兼，舍利而取义者也。

利，如同一棵大树的直接价值，它可以盖房子做筷子；而义却如一棵大树的间接价值，它可以涵养水源、净化水质、释放氧气。若只顾眼前利益，贪图一时享乐，不将眼光放得长远一些，那么，这颗大树的价值远远体现不出来。所以不要因眼前的蝇头小利，而失去了仁义这笔巨大的财富。

舍利取义，正气存于心。

不顾自身安危，在漫天大火中闯入火场救下年仅2岁女童的杨科璋。他用生命诠释着在他人生命与自身安危前的选择。掉入电梯井的他，完全可以张开双臂撑住墙体进而生存下来，他却选择了双臂紧抱小女孩，为她打开生命之门。孟子曰：“王何必曰利？亦有仁义而已矣。”可见义对于国君的重要性，对平常之人亦是如此。

见利忘义，尊严失于世。

赵国将军赵括，随通晓军事谋略，但却不像他的父亲那样体恤士兵。他总是将所有的功劳和赏赐的金钱财宝揽在自己的怀中。因此不得军心，在长平之战中军队被秦军击溃自己也中箭而亡。他率领的四十万赵国大军被秦军坑杀，导致赵国元气大伤，最终走向灭亡。只贪蝇头小利的赵括因失信于人战败而亡，被后人耻笑只懂纸上谈兵。由此，见利忘义之人，成大事几乎是不可能的。正如孔子所言：“见小利，则大事不成》”

先义后利，仁义恒久远。

马云为什么那么有钱？是因为他高明的商业手段吗？我想不是的。是他赢得了人们心中的“义”。在未与商品谋面，仅靠几张图片就能使顾客将钱付给别人，靠的就是诚信和仁义。也正因如此才造就了中国最大的电商平台。正所谓：“先义后利者荣。”

仁义也需要理智，不能像宋襄公那样在敌人面前打着“仁义之师”的旗号，国破家亡。

面对利益和仁义之时，要懂得取舍知道在不失礼义的情况下，为自己乃至他人争取最大的利益。

透视反例的价值

美国数学家B.R.盖尔鲍姆和J.M.H.奥姆斯特德指出:“冒着过于简单化的风险，我们可以说数学由两大类(证明与反例)组成，而数学发现也是朝着两个主要的目标:提出证明与构造反例。”由此可见，证明虽然在数学学习中占据着重要的地位，但反例在数学学习中的重要性也不容忽视。

一、 修正“直觉猜测”

学生在数学学习中的创造性,往往离不开直觉思维，但由于直觉思维不够严密，所以依靠直觉得到的只是猜想。这时, 可以借助反例，帮助学生及时发现猜想中的谬误，修正猜测的结果。

例如，教学二年级（上册）的“认识图形”，教师最后设计了这样一个练习：一个正方形有四个角，剪掉一个角，还剩几个角？问题一出示，学生马上凭直觉认为还剩三个角，教师并没有马上说出结论，而是让学生动手操作，自己去探明究竟。操作后，学生很快发现：把正方形剪去一个角后，还可能剩下四个角或五个角。这些反例有效地修正了学生的直觉猜测，帮助学生建立了正确的认识。

二、 直抵“概念内核”

如果仅要求学生从正面去认识、理解数学知识,容易使学生的思维处于惰性状态，认识肤浅而不能深入。适时穿插反例，就能促使学生进行深层次的思考。

例如，面对研讨的问题，当学生指出第一、三、四个图形的涂色部分不是整个图形的1/4时，教师还应追问理由，让学生深刻体会到：只有在平均分的情况下，才会产生分数。对于第一和第三幅图，教师还可以引导学生想办法把它们平均分，然后再说一说涂色部分是整个图形的几分之几。通过正例和反例的有机沟通，帮助学生深刻理解概念，直抵概念内核。

三、 克服“思维定势”

学生在某一阶段的学习中,由于受过去认识的习惯性影响,对当前事物的感知容易产生思维定势。教师要根据学生的心理特点,抓住机会恰当地利用反例，帮助学生消除思维定势。

例如，教学六年级（下册）“圆锥的体积计算”， 如果教师仅仅让学生准备等底等高的圆柱和圆锥来做实验的话，往往会让学生产生这样的思维定势：圆锥体积是圆柱体积的1/3。在教学时，教师可让学生准备几组底、高并不相等的圆柱和圆锥，通过实际操作中的观察、比较，强化圆锥是和它等底等高的圆柱体积的1/3。课堂上，教师如果能充分发挥反例的作用，就能有效地克服学生的思维定势。