角平分线的性质是八年级数学中的重要内容之一，它是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。下面是关于角平分线的性质的总结，包括定义、性质和应用：
一、定义：
角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。角平分线是角的重要构造之一
二、性质：
1.角平分线将角分成两个相等的角。即如果一条线段是一个角的平分线，则它将这个角分成两个度数相等的角。
2.角平分线与角的两边相交于一个点。即角平分线与角的两边交于角的顶点。
3.角平分线与角的两边垂直相交于角平分线的中点。即角平分线与角的两边垂直相交于角平分线上的一个点，该点同时也是角平分线的中点。
4.角平分线上的点到角的两边的距离相等。即角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
5.两条平行线与角的顶点与顶边所在的线段构成的两个相似三角形，它们的角平分线平行。即如果一条线段是一个角的平分线，另一条与之平行的线段也是这个角的平分线。
三、应用：
1.判断角平分线。当我们需要判断一个线段是否为一个角的平分线时，可以使用角平分线的定义和性质进行判断，即判断这个线段能否将角分成两个相等的角。 2.利用角平分线的性质解决问题。当我们遇到需要将角分成两个相等的角的问题时，可以使用角平分线的性质进行解决。例如，在解决相似三角形的问题中，可以利用角平分线的性质进行角的划分。
3.构造角平分线。当我们需要构造角的平分线时，可以利用直尺和圆规进行构造。常见的构造方法有尺规作图法和五线谱法等。
四、例题：
1.已知角ABC，其中角平分线AD交角的两边于E、F两点，证明：AE=AF。
证明：根据角平分线的性质4，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即DE=DF，又因为AD为角ABC的平分线，所以∠DAE=∠DAF。再根据等腰三角形的性质，得知AE=AF。
2.已知直角三角形ABC中，角A=90°，角B的平分线BD与AC相交于点D，求证：∠ADB=45°。
初中数学 什么是角的平分线定理
角的平分线定理是指：如果一条直线通过一个角的顶点，将这个角分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
详细解释如下：
1. 角的平分线：角的平分线是指一条直线，通过一个角的顶点，将这个角分成两个相等的角。平分线可以从角的内部或外部出发，但必须经过角的顶点。
2. 平分线的性质：如果一条直线是一个角的平分线，那么它具有以下性质：
- 平分线将角分为两个相等的部分。这意味着分割后的两个角的度数相等，它们具有相同的大小和形状。
- 平分线与角的两边相交于不同的点。这些交点分别位于角的两边上，且与角的顶点不重合。
3. 角的平分线定理：根据角的平分线的定义和性质，我们可以得出角的平分线定理，即："如果一条直线通过一个角的顶点，将这个角分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。"
角的平分线定理在几何证明和构造中经常被使用。它提供了角度分割和角度计算的便利，使我们能够更方便地处理角度相关的问题。对于初中数学学习者来说，理解角的平分线定理非常重要，它可以帮助他们解决与角有关的几何问题，并在构造角的过程中正确应用平分线的性质。
第7讲 角平分线的处理方法
板块一 角平分线的性质
条件:OC 平分∠AOB. PD⊥OA 于点D,PE⊥OB 于点E.
结论:PD=PE.
典 例 精 讲
题型一 知两垂
【例1】如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为 F,BD=CD.求证:BE=CF.
题型二 作一垂
【例2】如图,在四边形 ABCD 中,∠B=∠C=90°,E 为 BC 上一点,且 AE 平分∠BAD,DE 平分∠ADC.求证:BE=CE.
题型三 作两垂
【例3】如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,BD 平分∠ABC,AD=CD.求证:AD⊥CD.
实 战 演 练
如图,在四边形ABCD中,∠BAC=∠BDC=36°,∠ADB=72°.求证:AB=AC.
板块二证角平分线
类型 判定 旁心图
隐角平分线
图形
条件 PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE. OP 平分∠AOB,AP 平分∠BAD,PD⊥OA,PE⊥OB,PF⊥AB. OP 平分∠AOB,
∠OAP+∠BAP=180°.
结论 OC 平分∠AOB. PB平分∠ABE. ①PA 平分∠BAD;②PB平分∠ABE.
典 例 精 讲
题型一 直接用判定
【例1】如图,在△ABC 中,AC=BC,E 为△ABC 外一点,且∠CAE=∠CBE.求证:CE 平分△ABE 的外角.
题型二 旁心
【例2】如图,在△ABC中,AP 平分∠BAC,BP 平分∠CBD.
(1)求证:CP 平分∠BCE;
(2)设∠BAC=α,则∠BPC= (用含α的式子表示).
实 战 演 练
题型三 隐角平分线
如图,在四边形 AEDC 中,∠EAC+∠EAD=180°,且 CE 平分∠ACD.若∠EAD=α,求∠DEC 的度数.
板块三 角平分线与面积法
类型1 内心向三边作垂
类型2 面积比与边长比
1 课程基本信息
课例编号 2020QJ08SXRJ021 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季
课题 角的平分线的性质（第一课时）
教科书
学生信息
姓名 学校 班级 学号
课后练习
1.（教材12.3 复习巩固）用三角尺可按下面方法画角平分线,在已知的∠AOB的两边上,分别取OM＝ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB,为什么？
2. 如图所示,在△ABC中:
（1）下列操作中,作∠ABC的平分线的正确顺序是 （将序号按正确的顺序写在横线上）．
①分别以点M,N为圆心,大于12MN的长为半径作圆弧,在∠ABC内,两弧交于点P；
②以点B为圆心,适当长为半径作圆弧,交AB于点M,交BC于N点；
③画射线BP,交AC于点D．
（2）能说明∠ABD＝∠CBD的依据是 （填序号）．
①SSS．②ASA．③AAS．④角平分在线的点到角两边的距离相等．
（3）若AB＝18,BC＝12,S△ABC＝120,过点D作DE⊥AB于点E,求DE的长．
