有限元讲义2-2

Finite Element Structural Analysis

1 Homework (H.W.) NO.2

姓名：XXX 学号：SX1101185

Using the beam element stiffness formulation, find (a) the displacement and

rotations at all nodal points, (b) the shear force diagrams, and (c) the bending moment

diagram for the problem given in Fig.1 and Fig.2. All beam members are assumed as

inextensible with bending rigidity EI.

Figure 1

Figure 2 Finite Element Structural Analysis

2 1) Because the frame show in Fig.1 is a structure of double symmetry. We establish

a model show in Fig.3.

For the element show in Fig.3，0121vv,0241MM.

We have

22112222114626vvLEILEILEILEIneedednotMYMY

The solution is

EILM1602 ，

88383266000222121MLMLMLEILEILEIMYY

The shear force and bending moment diagrams for the element is shown in Fig.4.

ANSYS有限元上机报告（二）

班级：T1043-2 学号：20100430245 姓名：颜雷

题目：图示正方形平板，板厚t=0.1m,材料常数为：弹性模量E=210GPa,u=0.33，承受垂直于板平面的均布载荷p=20kN/m2,平板外缘各边采用固定的约束方式.

1、 属于那类力学问题：

属于薄板弯曲问题

2、单位制：N，m, pa

单元类型：shell 4 node 63，每个单元有四个节点，每个节点4个自由度。

实常数：t=0.1m

材料常数：E=210GPa=2.1e11pa u=0.33

1）Main Menu > Preferences>structural

2）Main Menu > Preprocessor> Element Type>Add/Edit/Delete>Add> structural shell>4

nodes 63>OK

3）Main Menu > Preprocessor>Real Constants>Add>只在no I框中输入0.1,下面的空格中都默认为0.1

4）Main Menu>Preprocessor>Material Props>Material

Models>Structural>Linear>Elastic>Isotropic

EX=2.1E11，PRXY=0.33

3、通过如下操作生成实体模型：

1）Main Menu > Preprocessor>Modeling >Create>Areas>Rectangle>By Dimensions

X1=-2,X2=2 Y1=-2,Y2=2

2）Main Menu > Preprocessor>Modeling >Create>Lines>Lines Fillet

选择直线L1，L2 Apply，形成一个圆角，同样方式形成4个圆角

有限元方法讲义

第1讲抛物问题有限元方法

1、椭圆问题有限元方法

考虑椭圆问题边值问题：

（1）

问题（1）的变分形式：求使满足

（2）

的性质，广义解的正则性结果。

区域的剖分，矩形剖分，三角剖分，剖分规则，正则剖分条件，拟一致剖分条件。

剖分区域上分片次多项式构成的有限元空间。

的逼近性质，逆性质：

这里，为的插值逼近。

问题（2）的有限元近似：求使满足

（3）

（3）的解唯一存在，且满足。

（3）的解所满足的矩阵方程（离散方程组）形式：

（4）

刚度矩阵的由单元刚度矩阵组装而成。

模误差分析：由（2）－（3）可得

（5）

由（5）可首先得到

则得到

（6）

－模误差分析

设满足

用与此方程做内积，由（5）式和插值逼近性质得到

再利用模误差估计结果，得到

（7） 最优阶误差估计和超收敛估计概念。

当与时间相关时（为抛物问题准备），由（5）式得

（8）

利用（7），类似分析可得

（9）

2、抛物问题半离散有限元方法

考虑抛物型方程初边值问题：

（10）

（10）的变分形式：求使满足

（11）

（11）的半离散有限元近似：求使满足

（12）

令，代入（12），依次取可导出常微分方程组：

（13）

其中为质量矩阵，K为刚度矩阵。。

求解常微分方程组（13），得到代回的表达式，即得半离散有限元解。

定理1.问题（12）的解唯一存在且满足稳定性估计：

（14）

证明：在（12）中取得到

整理为（注意是正定的）

对此式积分，证毕。

误差分析。引进解的椭圆投影逼近：满足

（15）

根据椭圆问题的有限元结果可知

（16）

分解误差：

的估计由（16）式给出，只须估计。

由（11），（12）和（15）知，满足

取，类似稳定性论证可得 （17）

可取为的投影，插值逼近等。

由（17）式，三角不等式和（16），得到

（18）

3、抛物问题全离散有限元近似

剖分时间区间：。

引进差分算子：

规定，当为连续函数时，，则有

有限元法基础及应用

上机报告

（二）

班 级： K1143-1

学 号：***********

* 名： ***

作业三：

图示正方形平板，板厚t=0.1m,材料常数为：弹性模量E=210GPa,u=0.33，承受垂直于板平面的均布载荷p=20kN/m2,平板外缘各边采用固定的约束方式。

一、有限元模型的分析

（1）属于那类力学问题：

属于薄板弯曲问题

（2）单位制：N，m, pa

单元类型：shell 4 node 63，每个单元有四个节点，每个节点4个自由度。

实常数：t=0.1m

材料常数：E=210GPa=2.1e11pa u=0.33

二、实体建模

（1）定义正方形

Main Menu > Preprocessor>Modeling >Create>Areas>Rectangle>By Dimensions输入X1=-2,X2=2 Y1=-2,Y2=2，点击OK；

（2）定义四周圆弧

Main Menu > Preprocessor>Modeling >Create>Lines>Lines Fillet（选择直线L1，L2 Apply，形成一个圆角，同样方式形成4个圆角）; （3）将弧线与直角形成面

Main Menu > Preprocessor>Modeling >Create>Areas>Arbitrary>By line；

（4）定义圆

Main Menu > Preprocessor>Modeling >Create>Areas>Circle>Solid Circle（WP

X=0,WP Y=0 R=1）

（5）面图元的减运算

Main Menu > Preprocessor>Modeling>Opreate>Blooeans>Subtract>Areas（选择整个正方形，点击Apply，然后选择四个圆角面，点击OK）；

Main Menu > Preprocessor>Modeling>Opreate>Blooeans>Subtract>Areas（选择整个面，点击Apply，然后选择中间的圆，点击OK）；