2011年上海市高考数学试卷(文科)答案与解析

1 2011年上海市高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）

1．（4分）（2011•上海）若全集U=R，集合A={x|x≥1}，则∁UA=

{x|x＜1} ．

【考点】补集及其运算．

【专题】计算题．

【分析】由补集的含义即可写出答案．

【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x≥1}，

∴CUA={x|x＜1}．

故答案为：{x|x＜1}．

【点评】本题考查补集的含义．

2．（4分）（2011•上海）计算= ﹣2 ．

【考点】极限及其运算．

【专题】计算题．

【分析】根据题意，对于，变形可得，分析可得，当n→∞时，有的极限为3；进而可得答案．

【解答】解：对于，变形可得，当n→∞时，有→3；

则原式=﹣2；

故答案为：﹣2．

【点评】本题考查极限的计算，需要牢记常见的极限的化简方法．

3．（4分）（2011•上海）若函数f（x）=2x+1的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（﹣2）= ．

【考点】反函数．

【专题】计算题．

【分析】问题可转化为已知f（x0）=﹣2，求x0的值，解方程即可

【解答】解：设f（x0）=﹣2，即2x0+1=﹣2，解得

故答案为

【点评】本题考查反函数的定义，利用对应法则互逆可以避免求解析式，简化运算．

4．（4分）（2011•上海）函数y=2sinx﹣cosx的最大值为 ．

【考点】三角函数的最值．

【专题】计算题．

【分析】利用辅角公式对函数解析式化简整理，利用正弦函数的性质求得其最大值． 2 【解答】解：y=2sinx﹣cosx=sin（x+φ）≤ 故答案为：

【点评】本题主要考查了三角函数的最值．要求能对辅角公式能熟练应用．

5．（4分）（2011•上海）若直线l过点（3，4），且（1，2）是它的一个法向量，则直线l的方程为

x+2y﹣11=0 ．

【考点】直线的点斜式方程；向量在几何中的应用．

【专题】直线与圆．

【分析】根据直线的法向量求出方向向量，求出直线的斜率，然后利用点斜式方程求出直线方程．

【解答】解：直线的法向量是（1，2），直线的方向向量为：（﹣2，1），所以直线的斜率为：﹣，所以直线的方程为：y﹣4=﹣（x﹣3），

所以直线方程为：x+2y﹣11=0．

故答案为：x+2y﹣11=0．

【点评】本题是基础题，考查直线的法向量，方向向量以及直线的斜率的求法，考查计算能力．

6．（4分）（2011•上海）不等式的解为 {x|x＞1或x＜0} ．

【考点】其他不等式的解法．

【专题】计算题．

【分析】通过移项、通分；利用两个数的商小于0等价于它们的积小于0；转化为二次不等式，通过解二次不等式求出解集．

【解答】解：

即

即x（x﹣1）＞0

解得x＞1或x＜0

故答案为{x|x＞1或x＜0}

【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出

7．（4分）（2011•上海）若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为 3π ．

【考点】由三视图求面积、体积．

【专题】计算题． 3 【分析】根据圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形，得到圆锥的母线长是3，底面直径是2，代入圆锥的侧面积公式，得到结果．

【解答】解：∵圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形，

∴圆锥的母线长是3，底面直径是2，

∴圆锥的侧面积是πrl=π×1×3=3π，

故答案为：3π

【点评】本题考查由三视图求表面积和体积，考查圆锥的三视图，这是比较特殊的一个图形，它的主视图与侧视图相同，本题是一个基础题．

8．（4分）（2011•上海）在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为 千米．

【考点】解三角形的实际应用．

【专题】解三角形． 【分析】先由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，利用三角形内角和求得∠ACB，进而表示出AD，进而在Rt△ABD中，表示出AB和AD的关系求得x．

【解答】解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，

∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，

∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45° ∴AD=x ∴在Rt△ABD中，AB•sin60°=x

x=（千米）

答：A、C两点之间的距离为千米．

故答案为：

下由正弦定理求解：

∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，

∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°

又相距2千米的A、B两点

∴，解得AC=

答：A、C两点之间的距离为千米．

故答案为：

【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．主要是利用了三角形中45°和60°这两个特殊角，建立方程求得AC．

4 9．（4分）（2011•上海）若变量x，y 满足条件，则z=x+y得最大值为 ．

【考点】简单线性规划．

【专题】计算题．

【分析】先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数z=x+y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．

【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：

由图分析，当x=，y=时，

z=x+y取最大值，

故答案为．

【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．

10．（4分）（2011•上海）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 2 ．

【考点】分层抽样方法．

【专题】计算题．

【分析】根据本市的甲、乙、丙三组的数目，做出全市共有组的数目，因为要抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以丙组的数目，得到结果．

【解答】解：∵某城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8．

本市共有城市数24，

∵用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本

∴每个个体被抽到的概率是 ， 5 ∵丙组中对应的城市数8，

∴则丙组中应抽取的城市数为×8=2，

故答案为2．

【点评】本题考查分层抽样，是一个基础题，解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，做出一种情况的概率，问题可以解决．

11．（4分）（2011•上海）行列式（a，b，c，d∈{﹣1，1，2}）所有可能的值中，最大的是 6 ． 【考点】二阶行列式的定义．

【专题】计算题．

【分析】先按照行列式的运算法则，直接展开化简得ad﹣bc，再根据条件a，b，c，d∈{﹣1，1，2}进行分析计算，比较可得其最大值． 【解答】解：，

∵a，b，c，d∈{﹣1，1，2}

∴ad的最大值是：2×2=4，bc的最小值是：﹣1×2=﹣2，

∴ad﹣bc的最大值是：6．

故答案为：6．

【点评】本题考查二阶行列式的定义、行列式运算法则，是基础题．

12．（4分）（2011•上海）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=

．

【考点】向量在几何中的应用．

【专题】计算题；数形结合；转化思想．

【分析】根据AB=3，BD=1，确定点D在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．

【解答】解：∵AB=3，BD=1，

∴D是BC上的三等分点，

∴，

∴=

==9﹣=，

故答案为．

【点评】此题是个中档题．考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和转化的思想． 6

13．（4分）（2011•上海）随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 0.985 （默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【专题】概率与统计．

【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到结果．

【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，

试验发生包含的事件数129，

至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，

∴要求的事件的概率是1﹣=1﹣≈0.985，

故答案为：0.985

【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查对立事件的概率，是一个基础题，也是一个易错题，注意本题的运算不要出错．

14．（4分）（2011•上海）设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为 [﹣2，7] ．

【考点】函数的值域；函数的周期性．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】先根据g（x） 是定义在R 上，以1为周期的函数，令x+1=t进而可求函数在[1，2]时的值域，再令x+2=t可求函数在[2，3]时的值域，最后求出它们的并集即得（x） 在区间[0，3]上的值域．

【解答】解：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）

函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]（正好是一个周期区间长度）的值域是[﹣2，5]…（1）

令x+1=t，

当x∈[0，1]时，t=x+1∈[1，2]

此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=[x+g（x）]+1

所以，在t∈[1，2]时，f（t）∈[﹣1，6]…（2）

同理，令x+2=t，

在当x∈[0，1]时，t=x+2∈[2，3]

此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x）=[x+g（x）]+2

所以，当t∈[2，3]时，f（t）∈[0，7]…（3）

由已知条件及（1）（2）（3）得到，f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]

故答案为：[﹣2，7]．

【点评】本题主要考查了函数的值域、函数的周期性．考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）

15．（5分）（2011•上海）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞） 上单调递减的函数是（ ）