编译原理 作业标准答案

《编译原理》第一次作业参考答案

一、 下列正则表达式定义了什么语言（用尽可能简短的自然语言描述）？

1. b*(ab*ab*)*

所有含有偶数个a的由a和b组成的字符串.

2. c*a(a|c)*b(a|b|c)* | c*b(b|c)*a(a|b|c)*

答案一：所有至少含有1个a和1个b的由a，b和c组成的字符串.

答案二：所有含有子序列ab或子序列ba的由a，b和c组成的字符串.

说明：答案一要比答案二更好，因为用自然语言描述是为了便于和非专业的人员交流，而非专业人员很可能不知道什么是“子序列”，所以相比较而言，答案一要更“自然”.

二、 设字母表∑={a,b}，用正则表达式（只使用a，b，，|，*，+，？）描述下列语言：

1. 不包含子串ab的所有字符串.

b*a*

2. 不包含子串abb的所有字符串.

b*(ab?)*

3. 不包含子序列abb的所有字符串.

b*a*b?a*

注意：关于子串（substring）和子序列（subsequence）的区别可以参考课本第119页方框中的内容.

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《编译原理》第二次作业参考答案

一、 考虑以下NFA：

1. 这一NFA接受什么语言（用自然语言描述）？

所有只含有字母a和b，并且a出现偶数次或b出现偶数次的字符串.

2. 构造接受同一语言的DFA.

答案一（直接构造通常得到这一答案）： 2 / 11

答案二（由NFA构造DFA得到这一答案）：

二、 正则语言补运算

3. 画出一个DFA，该DFA恰好识别所有不含011子串的所有二进制串.

1. 画出一个DFA，该DFA恰好识别所有不含011子串的所有二进制串.

规律：构造语言L的补语言L’的DFA，可以先构造出接受L的DFA，再把这一DFA的接受状态改为非接受状态，非接受状态改为接受状态，就可以得到识别L’的DFA.

说明：在上述两题中的D状态，无论输入什么符号，都不可能再到达接受状态，这样的状态称为“死状态”.

在画DFA时，有时为了简明起见，“死状态”及其相应的弧（上图中的绿色部分）也可不画出.

2. 再证明：对任一正则表达式R，一定存在另一正则表达式R'，使得L(R')是L(R)的补集.

证明：根据正则表达式与DFA的等价性，一定存在识别语言L(R)的DFA. 设这一DFA为M，则将M的所有接受状态改为非接受状态，所有非接受状态改为接受状态，得到新的DFA M’. 易知M’识别语言L(R)的补集. 再由正则表达式与DFA的等价性知必存在正则表达式R’，使得L(R’)是L(R)的补集.

三、 设有一门小小语言仅含z、o、/（斜杠）3个符号，该语言中的一个注释由/o开始、以o/结束，并且注释禁止嵌套.

1. 请给出单个正则表达式，它仅与一个完整的注释匹配，除此之外不匹配任何其他串. 书写正则表达式时，要求仅使用最基本的正则表达式算子（，|，*，+，？）.

参考答案一：/o(o*z|/)*o+/

思路：基本思路是除了最后一个o/，在注释中不能出现o后面紧跟着/的情况；还有需要考虑的是最后一个o/之前也可以出现若干个o.

参考答案二（梁晓聪、梁劲、梁伟斌等人提供）：/o/*(z/*|o)*o/

2. 给出识别上述正则表达式所定义语言的确定有限自动机（DFA）. 你可根据问题直接构造DFA，不必运用机械的算法从上一小题的正则表达式转换得到DFA.

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《编译原理》第三次作业参考答案

一、 考虑以下DFA的状态迁移表，其中0，1为输入符号，A~H代表状态：

0 1 A B

A

B A C

C D B

D D A

E D F

F G E

G F G

H G D

其中A为初始状态，D为接受状态，请画出与此DFA等价的最小DFA，并在新的DFA状态中标明它对应的原DFA状态的子集.

说明：有些同学没有画出状态H，因为无法从初始状态到达状态H. 从实用上讲，这是没有问题的. 不过，如果根据算法的步骤执行，最后是应该有状态H的.

二、 考虑所有含有3个状态（设为p，q，r）的DFA. 设只有r是接受状态. 至于哪一个状态是初始状态与本问题无关. 输入符号只有0和1. 这样的DFA总共有729种不同的状态迁移函数，因为对于每一状态和每一输入符号，可能迁移到3个状态中的一个，所以总共有3^6=729种可能. 在这729个DFA中，有多少个p和q是不可区分的（indistinguishable）？解释你的答案.

解：考虑对于p和q，在输入符号为0时的情况，在这种情况下有5种可能使p和q无法区分：p和q在输入0时同时迁移到r（1种可能），或者p和q在输入0时，都迁移到p或q（4种可能）.

类似地，在输入符号为1时，也有5种可能使p和q无法区分.

如果再考虑r的迁移，r的任何迁移对问题没有影响. 于是r在输入0和输入1时各有3种可能的迁移，总共有3*3=9种迁移.

因此，总共有5*5*9=225个DFA，其中p和q是不可区分的.

三、 证明：所有仅含有字符a，且长度为素数的字符串组成的集合不是正则语言.

证明：用反证法.

假设含有素数个a的字符串组成的集合是正则语言，则必存在一个DFA接受这一语言，设此DFA为D. 由于D的状态数有限，而素数有无限多个，所以必存在两个不同的素数p和q（设p

考虑仅含有字母a，长度为p+p(q-p)的字符串T. T从初始状态出发，经过p个a到达状态s，再经过(q-p)个a仍然到达s；同样，经过p(q-p)个a后仍然到达s. 因此，从初始状态出发，经过p+p(q-p)个a后必然到达状态s. 由于p+p(q-p)=p(q-p+1)是合数，而s为接受状态，因而得出矛盾. 原命题得证.

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5 / 11 《编译原理》第四次作业参考答案

一、 用上下文无关文法描述下列语言：

1. 定义在字母表∑={a, b}上，所有首字符和尾字符相同的非空字符串.

S  aTa | bTb | a | b

T  aT | bT | є

说明：

1. 用T来产生定义在字母表∑={a, b}上的任意字符串；

2. 注意不要漏了单个a和单个b的情况.

2. L={0i1j|i≤j≤2i且i≥0}.

S  0S1 | 0S11 | є

3. 定义在字母表∑={0, 1}上，所有含有相同个数的0和1的字符串（包括空串）.

S  0S1 | 1S0 | SS | є

思路：

分两种情况考虑.

1) 如果首尾字母不同，那么这一字符串去掉首尾字母仍应该属于我们要定义的语言，因此有S  0S1 | 1S0；

2) 如果首尾字母相同，那么这一字符串必定可以分成两部分，每一部分都属于我们要定义的语言，因此有S  SS.

二、 考虑以下文法：

S  aABe

A  Abc|b

B  d

1. 用最左推导（leftmost derivation）推导出句子abbcde.

S ==> aABe ==> aAbcBe ==> abbcBe ==> abbcde

2. 用最右推导（rightmost derivation）推导出句子abbcde.

S ==> aABe ==> aAde ==> aAbcde ==> abbcde

3. 画出句子abbcde对应的分析树（parse tree）.

三、 考虑以下文法：

S  aSb

S  aS

S  

1. 这一文法产生什么语言（用自然语言描述）？

所有n个a后紧接m个b，且n>=m的字符串.

2. 证明这一文法是二义的.

对于输入串aab，有如下两棵不同的分析树

3. 写出一个新的文法，要求新文法无二义且和上述文法产生相同的语言.

答案一：

S  aSb | T

T  aT | 

答案二：

S  TS’

T  aT | 

S’  aS’b | 

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《编译原理》第五次作业参考答案

一、 考虑以下文法：

S  aTUV | bV

T  U | UU

U   | bV

V   | cV

写出每个非终端符号的FIRST集和FOLLOW集.

FIRST(S)={a, b} FIRST(T)={є, b} FIRST(U)={ є, b} FIRST(V)={є, c}

FOLLOW(S)={$} FOLLOW(T)={ b, c, $} FOLLOW(U)={ b, c, $} FOLLOW(V)={b, c , $}

二、 考虑以下文法：

S  (L) | a

L  L, S | S

1. 消除文法的左递归.

S  (L) | a

L  SL’

L’  ,SL’ | 

2. 构造文法的LL(1)分析表.

FIRST(S) = {‘(‘, ‘a’} FIRST(L) = {‘(‘, ‘a’} FIRST(L’) = {‘,’, }

FOLLOW(S) = {‘$’, ‘,’, ‘)’} FOLLOW(L) = {‘)’ } FOLLOW(L’) = {‘)’}

NON-TERMINAL INPUT SYMBOL

( ) a , $

S S  (L) S  a

L L  SL’ L  SL’

L’ L’   L’  ,SL’

3. 对于句子(a, (a, a))，给出语法分析的详细过程（参照课本228页的图4.21）.

MATCHED STACK INPUT ACTION

S$ (a, (a, a))$

(L)$ (a, (a, a))$ output S  (L)

( L)$ a, (a, a))$

( SL’)$ a, (a, a))$ output L  SL’

( aL’)$ a, (a, a))$ output S  a

(a L’)$ , (a, a))$

(a ,SL’)$ , (a, a))$ output L’  ,SL’