相似三角形综合题精选

九年级数学提升练习--相似三角形的综合题

1．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数经过点，且与一次函数的图象交于点.

（1）求一次函数与二次函数的解析式.

（2）在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

2．将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A

分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（﹣3，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面

积最大时，求点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相

等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图

（1）（感知）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=.

（2）（探究）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的

延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H.求证：BH=GH.

（3）（拓展）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过

E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G.求证：BG=CG.

4．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为

点D、E.

（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB=AC=，分别求出线设BD、CE和DE的长；

（2）规律探究：

（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE

的数量关系并说明理由；

（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于

点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；

（3）尝试应用：在图③中，延长线设BD交线段AC于点F，若CE=3，DE=1，求S△BFC．

5．如图，在RtABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CF.

（1）如图1所示，求证ABE∼CBF，并直接写出的值；

（2）在正方形BDEF绕点B旋转过程中，当A、E、F三点共线时，求CF的长；

（3）如图2所示，在正方形BDEF旋转过程中，设AE的中点为M，连接FM，请直接写出FM

长度的最大值.6．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连

线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连结AD，若，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”.

（1）如图2，△ABC的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”.

（2）△ABC中，BC=9，，，点D是BC边上的“好点”，求线段BD

的长.

（3）如图3，△ABC是的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交于

点D.①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”.

②若的半径为9，∠ABD=90°，OH=6，请直接写出的值.

7．已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接

DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．

（1）求证：AD=DE；

（2）若CE=2，求线段CD的长；

（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．8．如图，已知AC为⊙O的直径，连接AB，BC，OB，过点O作OE⊥AB于点E，点F是半径OC

的中点，连接EF，BF.

（1）如图1，设⊙O的半径为2，若∠BAC＝30°，求线段EF的长.

（2）如图2，设BO交EF于点P，延长BO交⊙O于点D，连接DF.①求证：PE＝PF；

②若DF＝EF，求∠BAC的度数.

9．如图1，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，

折痕为AE，已知AB＝8，AD＝10，并设点B坐标为（m，0），其中m＜0.

（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；

（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；

（3）如图2，设抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM＝90°，求a、h、m的值.10．综合与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组

继续利用上述结论进行探究.

提出问题：

如图1，在线段同侧有两点B，D，连接，，，，如果，

那么A，B，C，D四点在同一个圆上.

探究展示：

如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，则（依据1）

点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

点B，D在点A，C，E所确定的上（依据2）

点A，B，C，E四点在同一个圆上

（1）反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：；依据2：.

（2）图3，在四边形中，，，则的度数为.

（3）展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的

中点重合），连接.作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接，.

①求证：A，D，B，E四点共圆；

②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由.

11．如图，和均为等腰直角三角形，.现将绕点C旋转.（1）如图1，若三点共线，，求点B到直线的距离；

（2）如图2，连接，点F为线段的中点，连接，求证：；

（3）如图3，若点G在线段上，且，在内部有一点O，请直接写出的最小值.

12．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC

于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．

（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；

（2）求证：AB•AC＝2R•h；

（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．

13．抛物线经过点和，与x轴交于另一点B.

（1）则抛物线的解析式为；

（2）点P为第四象限内抛物线上的点，连接，，，设点P的横坐标为

.

①如图1，当时，求的值；②如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，过点C作的垂线，与射线交于点

E，与x轴交于点F.连接，当时，求m的值.

14．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A(-1，0)，B(5，0)两点，与y

轴交与点C.

（1）求抛物线的函数表达式;

（2）若点D是y轴上的点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标;

（3）如图2，CE//x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y

轴平行的直线与BC、CE分别相交于点F，G，试探求当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最

大，求点H的坐标及最大面积.15．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB

于点F.

（1）尝试探究：如图1，当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是；

（2）类比延伸：如图2，当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若

成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）拓展迁移：如图3，当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数量关系.16．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连

线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“好点”.

（1）如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）边上的“好点”；

（2）中，，，，点是边上的“好

点”，求线段的长；

（3）如图3，是⊙O的内接三角形，点在上，连结并延长交

⊙O于点.若点是中边上的“好点”.

①求证：；

②若，⊙O的半径为，且，求的值.答案解析部分

1．【答案】（1）∵一次函数的图象与轴交于点，

∴当x=0时，y=-2，B（0，-2），∵一次函数的图象过点，∴，∴，∴一次函数解析式为，∵经过点，点，代入得，解方程组得，∴二次函数解析式为：；

（2）存在，理由如下，∵已知一次函数的图象与轴交于点，

∴y=0，x=2，

∴A(2,0),B(0,-2),

∴OA=2,OB=2,∠AOB=90°，

在Rt△AOB中，由勾股定理AB=，

由勾股定理BC=，

①当点M为直角顶点时，CM⊥y轴，CM∥OA，∴∠MCB=∠OAB，∠MBC=∠OBA，

∴△CMB∽△AOB，∴即，∴，

∴OM=MB-OB=6-2=4，

∴M（0，4），②当点C为直角顶点时，

∴CM⊥BC，

∴∠MCB=∠AOB=90°，∠MBC=∠ABO，

∴△MCB∽△AOB，∴即，∴，

∴OM=MB-OB=12-2=10，

∴M（0，10），∴以点，，为顶点的三角形与相似点的坐标为M（0，4）或（0，10）.

2．【答案】（1）解：如图，∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（0，6），∴c=6．∵抛物线的图象又经过点（﹣3，0）

和（6，0），∴，解之得，故此抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+6．

（2）解：设点P的坐标为（m，0），则PC=6﹣m，S△ABC=BC•AO=×9×6=27；∵PE∥AB，

∴△CEP∽△CAB；∴，即=（）2，∴S△CEP=（6﹣m）2，∵S△APC=PC•AO=（6﹣m）×6=3（6﹣m），

∴S△APE=S△APC﹣S△CEP=3（6﹣m）﹣（6﹣m）2=﹣（m﹣）2+；当m=时，S△APE有最大面积为；

此时，点P的坐标为（，0）．

（3）解：如图，过G作GH⊥BC于点H，设点G的坐标为G（a，b），

连接AG、GC，

∵S梯形AOHG=a（b+6），S△CHG=（6﹣a）b，∴S四边形AOCG=a（b+6）+（6﹣a）b=3（a+b）．∵S△AGC=S

四边形AOCG﹣S△AOC，∴=3（a+b）﹣18，∵点G（a，b）在抛物线y=﹣x2+x+6的图象上，∴b=﹣a2+a+6，∴=3（a﹣a2+a+6）﹣18，化简，得4a2﹣24a+27=0，解之得a1=，a2=；故

点G的坐标为（，）或（，）．

3．【答案】（1）证明：∵∠C=∠D=∠AEB=90°，

∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，

∴∠BEC=∠EAD，

∴Rt△AED∽Rt△EBC，