直角三角形相似的判定定理

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来！ 蒋老师

1 第3讲 相似三角形的判定(A)

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【基础知识精讲】

(一)相似图形：(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

(二)相似多边形对应角相等，对应边成比例；

相似多边形对应边的比叫做相似比（用k表示）；（当k=1时两个多边形全等；）

（三）相似三角形的概念：

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．

相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．

相似三角形对应角相等，对应边成比例；

注：

①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相

似三角形的对应角和对应边．

②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．

③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．

④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．

（四）三角形相似的等价关系与三角形相似判定的预备定理：

(1)相似三角形的等价关系：

①反身性：对于任一ABC有ABC∽ABC．

②对称性：若ABC∽'''CBA，则'''CBA∽ABC．

③传递性：若ABC∽CBA''，且CBA''∽CBA，则ABC∽CBA

(2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

定理的基本图形：

用数学语言表述是：BCDE//， ∴ ADE∽ABC．

（五）三角形相似的判定方法

1、平行法（预备定理）：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角

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每年中考的“相似度”都是必修的，一篇文章就可以轻松搞定！

相似三角形在初中数学中占有很大比重，难度较大，一直被很多同学所讨厌！偏偏这个大老虎还是中考必修内容~~那么，“相似三角形”有哪些知识点呢？常见的解题技巧有哪些类型？

对应角相等、对应边成比例的三角形称为相似三角形。相似性用符号“”表示，读作“类似于”。相似三角形对应边的比值称为相似比(或相似系数)。

一条平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，形成的三角形与原三角形相似。

1、三角形相似的判定方法

定义方法：两个对应角相等、对应边成比例的三角形相似

平行法：一条平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边延长线)相交，形成的三角形与原三角形相似

判断定理1:如果一个三角形的两个角等于另一个三角形的两个角，那么这两个三角形相似，可以简单描述为两个角相等，两个三角形相似。

判断定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边相等且夹角相同，那么这两个三角形相似，可以简单描述为两条边成比例且夹角相等，两个三角形相似。

判断定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边成正比，那么这两个三角形相似，可以简单描述为三条边成正比，两个三角形相似

2、直角三角形相似的判定方法

以上判断方法均适用

定理：如果一个直角三角形的斜边和一个直角边与另一个直角三角形的斜边和一个直角边成正比，那么这两个直角三角形是相似的

垂直法：两个直角三角形除以斜边上的高度，与原三角形相似。

1、A型或仿A型相似

2、8型或仿8型相似

3、K型相似

4、子母型相似 用DE//AB，DG/AF=GE/BF。

如果AD等于BAC，AB/AC=BD/CD。

Ae=effg如果四边形ABCD是平行四边形。

如果DAC=DBC，ADE~BCE，AEB~DEC可以推导出来，即上下相似可以导致左右相似。

同理，左右相似可以导致上下相似。

三角形相似判定定理

(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。(简叙为两角对应相等两三角形相似).

(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.)

(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.)

(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似

直角三角形相似的判定定理:

(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.

相似三角形的性质定理:

(1)相似三角形的对应角相等. (2)相似三角形的对应边成比例.

(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.

(4)相似三角形的周长比等于相似比. (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.

相似三角形的定义

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相似三角形的判定

1.如图，锐角ABC的高CD和BE相交于点O，图中

与ODB相似的三角形有 （ ）

A 4个 B 3个 C 2个 D 1个

2.如图，在ABC中，CABC2，BD平分ABC，

试说明：AB·BC = AC·CD

3.已知：ΔACB为等腰直角三角形，∠ACB=900 延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=1350 求证：ΔEAC∽ΔCBF

4.已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.

求证:ΔABC∽ΔEAD.

5.、如图，点C、D在线段AB上，且ΔPCD是等边三角形.

(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ΔACP∽ΔPDB；

(2)当ΔPDB∽ΔACP时，试求∠APB的度数.

6.如图，4531BCDEABDB，，，

（1）ABC∽ADE吗？说明理由。

（2）求AD的长。 A

E D

C B O

7.已知:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP.

求证:CE2=ED·EP.

8.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.

(1)ΔABE与ΔADF相似吗？说明理由.

(2)ΔAEF与ΔABC相似吗？说说你的理由.

9.如图，D为ΔABC内一点，E为ΔABC外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4.

(1)ΔABD与ΔCBE相似吗？请说明理由.

(2)ΔABC与ΔDBE相似吗？请说明理由.

10.已知:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP.

求证:CE2=ED·EP.