离散傅里叶变换及其性质
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离散傅⾥叶变换及其性质
1 ⼀维与⼆维离散傅⾥叶变换
以周期 对函数 f(t) 采样可表⽰为
，
对采样函数进⾏傅⾥叶变换得
，
整理得
。
由于对函数 f(t) 的采样周期为 ，采样函数的傅⾥叶变换的⼀个完整周期为 ，
同样的， 也是采样函数的傅⾥叶变换的⼀个完整周期，只是这个周期不是以原点对称的。
在 区间中取 M 个点，则第 m 个点的频率为 ，
带⼊公式得
，
其中， 为连续函数 f(t) 对应的 M 个离散值， 为取样函数 的傅⾥叶变换对应的 M 个离散值，
整理公式得
（由于函数仅在 [0,M-1] 上有⾮零值，故真实求和区间为 [0,M-1]）。
因此，⼀维离散傅⾥叶变换对为
，。
类似的，⼆维离散傅⾥叶变换对为
，。
2 傅⾥叶变换的性质
1）傅⾥叶变换平移特性 ，
⽤指数项乘以 f(t) 使得傅⾥叶变换后原点移动到 处，
使⽤负指数乘以 使得反傅⾥叶变换后原点移动到 处，证明如下： ，
使⽤ 替换 得 ，
因此有 ，类似推导可得 。
将平移特性扩展到⼆维离散变量上有 。
2）离散傅⾥叶变换⼀定具有周期特性，因为离散傅⾥叶变换的频率取值在 区间内，有限频率导致必然具有周期性，
连续傅⾥叶变换频率取值为⽆穷⼤，所以连续傅⾥叶变换⼀般不具有周期性（但也有所有频率都⼀样的函数）。
离散傅⾥叶变换周期性可表⽰为 。 观察公式
或
，
发现频率取值在 之间，⽽⼀个完整的频率应该在 之间，如下图：
如果直接应⽤公式进⾏傅⾥叶变换，得到的频率为 [0,M-1]区间，这是两个半周期组成的⼀个周期。
在图像中则表现为低频信号分布在4个⾓落，这显然不便于观察频率信息。
结合傅⾥叶变换的平移特性，可以将原函数乘以⼀个正指数项，使得平移后傅⾥叶变换再 [0,M-1]区间正好是⼀个完整的周期。
将原函数平移 M/2 可以实现该⽬标，具体分析如下：
原函数平移 M/2 得 ，
由于 x 为⾮负整数，,
最终得到 。
对于⼆维离散变量有相似结论 。
3）原函数（⼆维及以上）旋转⼀定⾓度，其傅⾥叶变换也旋转对应⾓度。
令 为原函数变量的列向量， 为傅⾥叶变换函数变量的列向量，对 的傅⾥叶变换可表⽰为 ，
对 旋转⼀定⾓度可表⽰为 ，其中 R 为旋转矩阵，
对 的傅⾥叶变换可表⽰为 ，
由 得 ，并将其带⼊上式得 ，
由于 ，
因此 ，使得傅⾥叶变换旋转相应⾓度。
4）傅⾥叶变换具有对称性，对于⼆维图像来说，由于图像值为实数，其傅⾥叶变换具有共轭对称性。 ，
由于 f(x,y) 为取值为实数，因此 。
在将傅⾥叶级数从三⾓函数转换为指数函数过程中，通过分析指数函数系数组成部分，可以知道傅⾥叶级数的共轭对称性。
⽽傅⾥叶变换是傅⾥叶级数在周期⽆限⼤情况下的极限表⽰，因此，傅⾥叶变换也应该满⾜共轭对称性。
3 图像上简单应⽤
1）由于离散傅⾥叶变换的平移与周期特性，在傅⾥叶变换乘以 可将频谱中⼼化。
由于频谱变化范围很⼴（在不同数量级），为了便于观察频谱信息，在可视化之前⼀般对频谱进⾏取对数处理，如 。
2）由于傅⾥叶变换的共轭对称性，在求解图像傅⾥叶变换时，只需要求解四分之⼀频谱信息，其他部分可通过共轭对称推导⽽来。
3）图像频谱可表⽰为 ，其中， 为傅⾥叶变换幅度， 为傅⾥叶变换频谱。
将傅⾥叶变换信息拆分为幅度信息与频谱信息，幅度信息表征了图像亮度特征，频谱信息表征了图像形状特征。
令 ，然后进⾏反傅⾥叶变换得到只包含形状的图像。
令 ，然后进⾏反傅⾥叶变换得到只包含亮度的图像。
4）当图像前景平移时，根据 可知，其傅⾥叶变换不发⽣改变。
5）当图像前景旋转时，根据 可知，其傅⾥叶变换进⾏相应旋转。
参考资料 Digital Image Processing Rafael C. Gonzalez & Richard E. Woods
