第五章 离散傅里叶变换
1 离散傅里叶变换(DFT)的推导
(1) 时域抽样：
目的：解决信号的离散化问题。
效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。
(2) 时域截断：
原因：工程上无法处理时间无限信号。
方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。
结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。
(3) 时域周期延拓：
目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。
方法：周期延拓中的搬移通过与)(snTt的卷积来实现。
表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。
结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。
(4)
经抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。过程见图1。
有卷积波纹
N N 原函数
用于抽样
抽样后
用于截断
截断后
用于延拓
延拓后
定义DFT 叠加干涉 0
t
0 t
0 t
0 t
0 t
0 t
0 t
0 t 或nTs 0 f或kf0 0 f 0 f 0 f 0 f 0 f
0 f
0 f
图1 DFT推导过程示意图
(5) 处理后信号的连续时间傅里叶变换：kNnNknjskffenThfH)()()(~010/2
离散数学是数学中的一个分支，其研究对象是离散的数学结构和离散的数学对象。离散数学在计算机科学、电子工程和通信工程等领域中有着广泛的应用。在离散数学中，离散变换和傅里叶变换是两个重要的概念。
离散变换是一种将离散的数据序列转化为另一种形式的方法。在离散数学中，我们常常需要对一组数进行处理和分析，离散变换可以帮助我们更好地理解和处理这些数。离散变换的一个重要应用是图像处理。在图像处理中，我们经常需要对图像进行分析和处理，离散变换可以将图像的像素转化为频域上的表示，从而更好地理解图像的特征和结构。
在离散变换中，傅里叶变换是一种重要的变换方法。傅里叶变换是将一个连续函数表示为一系列正弦和余弦函数的和的方法。在离散数学中，我们常常需要对离散的数据进行傅里叶变换。离散傅里叶变换（DFT）是一种将离散序列转化为频域上的表示的方法。离散傅里叶变换在信号处理和通信领域中有着广泛的应用。
离散傅里叶变换有很多重要的性质和定理。其中一个重要的定理是离散傅里叶变换的逆变换定理。根据逆变换定理，离散傅里叶变换的逆变换可以表示为原始离散序列的线性组合。这个定理在恢复原始信号时是非常有用的。
除了离散傅里叶变换，还有许多其他的离散变换方法。例如，离散余弦变换（DCT）是一种将离散序列转化为频域上的表示的方法。离散余弦变换在图像和视频压缩中有着广泛的应用。另外，离散小波变换（DWT）是一种将离散序列转化为时域上的多尺度表示的方法。离散小波变换在图像和信号处理中也有着广泛的应用。
总的来说，离散变换和傅里叶变换是离散数学中重要的概念和方法。离散变换可以帮助我们更好地理解和处理离散数据，傅里叶变换则可以将离散序列转化为频域上的表示。离散傅里叶变换在信号处理和通信领域中有着广泛的应用，而离散余弦变换和离散小波变换则在图像和视频处理中起着重要的作用。
离散数学中的离散变换和傅里叶变换是我们在处理和分析离散数据时常用的工具。通过学习离散变换和傅里叶变换，我们可以更好地理解和处理数据，同时也可以为实际应用提供有力支持。因此，对于任何关心离散数学和相关领域的人来说，理解离散变换和傅里叶变换是非常重要的。通过不断学习和实践，我们可以更好地掌握这些方法，并在实际应用中发挥出最大的价值。
1. [][]()()jjaxnbynaXebXe
Proof:
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2. (1)[]()djnjdxnnXee
Proof:
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(2) 00()[]()jnjexnXe
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3. []()jxnXe
Proof:
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Proof:
()[]()()[]()[]jjnnjjnnjjnnXexnedXejnxneddXejnxned 5. (1)221|[]||()|2jnxnXed
Proof:
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Proof:
*****1()()21()()21[][]21[][]21[][]2[][]jjjjjnjnnnnnnnXeYedXeYedxneynedxnyndxnyndxnyn
一、离散傅里叶变换
1.离散傅里叶变换的特点
离散傅里叶变换（DFT），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，
将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。在形式
上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当
被认为是离散周期信号的主值序列。即使对无限长的离散信号作DFT，也应当
将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里
叶变换以高效计算DFT。
DFT将空域变换到频域，很容易了解到图像的各空间频域的成分。DFT的
应用十分广泛，如：图像的特征提取、空间频率域滤波、图像恢复和纹理分析等。
2.离散傅里叶变换的性质
1）线性性质
2）比例性质
3）可分离性
4）平移性质
5）图像中心化
6）周期性
7）共轭对称性
8）旋转不变性
9）卷积定理
10）平均值
二、离散余弦变换
1.离散余弦变换简介
为了快速有效地对图像进行处理和分析，常通过正交变换将图像变换到频
域，利用频域的特有性质进行处理。传统的正交变换多是复变换，运算量大，不
易实时处理。随着数字图像处理技术的发展，出现了以离散余弦变换（DCT）为
代表的一大类正弦型实变换，均具有快速算法。目前DCT变换在数据压缩，图
像分析，信号的稀疏表示等方面有着广泛的应用。由于其变换矩阵的基向量很近
似于托普利兹（Toeplitz）矩阵的特征向量，而托普利兹矩阵又体现了人类语言
及图像信号的相关特性，因此常被认为是对语音和图像信号的最佳变换。
对给定长度为N的输入序列f(x)，它的DCT变换定义为:
1
02)12(cos)()(2)(N
xNxxfuCNuF
式中：1,,1,0uN，式中的)(uC的满足：
其它1021
)(uuC
在数字图像处理中，通常使用二维DCT变换，正变换为:
1
01
02)12(cos2)12(cos),()()(2),(N
