双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）2.3.2双曲线的简单几何性质一、选择题1.若焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x ，则该双曲线的离心率是( )A.52 B ．5 C ．72D ．72.双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A.3 B ．2 C ．3 D ．63.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为( )A.2x ±y ＝0 B ．3x ±y ＝0 C ．x ±y ＝0 D ．2x ±y ＝04.与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且一条渐近线为x ＋15y ＝0的双曲线方程是( )A.x 215－y 2＝1 B ．x 2－y 215＝1 C.x 212－y 24＝1 D ．x 24－y 212＝15.已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c (其中c 为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为( )A.32 B ．52 C.352 D ．526.已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B ．x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D ．x 24－y 212＝1二、填空题7.已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________． 8.双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于________.9.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为________.10.双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是________. 三、解答题11.求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．12.F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，12F PF S ＝123，其离心率为2，求双曲线的标准方程．1.【解析】选A.由题意得a b ＝2，∴a 2b2＝4，∴a 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)＝4c 2－4a 2，∴5a 2＝4c 2，∴(c a )2＝54，∴离心率e ＝c a ＝52,故选A.2.【解析】选A.双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，圆心坐标为(3,0)，由题意知圆心到渐近线的距离等于圆的半径r ，即r ＝|32＋0|2＋4＝326＝ 3.因此选A.3.【解析】选B.∵椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为(±4，0)，∴双曲线的焦点坐标为(±4，0)，∴c ＝4，∴在双曲线中ca ＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝2，b 2＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1，∴渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，即3x ±y ＝0，故选B.4.【解析】选A.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∵椭圆x 225＋y29＝1的焦点为F (±4，0)． ∴a 2＋b 2＝16，①又双曲线的渐近线为x ＋15y ＝0，即y ＝－115x .∴b a ＝115，②①、②解得a ＝15，b ＝1.∴所求的双曲线方程为x 215－y 2＝1.5.【解析】选A.不妨取双曲线的右焦点(c ，0)，双曲线的渐近线y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，则焦点到渐近线的距离为|bc |c ＝53c ，即b ＝53c ，从而b 2＝59c 2＝c 2－a 2，所以49c 2＝a 2，即e 2＝94，所以离心率e ＝32 ，故选A .6.【解析】选A.取x ＝y ＝0满足条件p ，但不满足条件q ，反之，对于任意的x ，y 满足条件q ，显然必满足条件p ，所以p 是q 的必要不充分条件，故选A.7.【解析】∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．答案:x 24－y 2＝18.【解析】双曲线方程化为标准形式：y 2－x 2－1m＝1， 则有：a 2＝1，b 2＝－1m ， 由题设条件知，2＝－1m ，∴m ＝－14.答案:－14.9.【解析】不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ，3a ．∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a 2b 2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝ca ＝2．答案:2.10.【解析】由题意知k <0，∴a 2＝4，b 2＝－k ．∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k 4．又e ∈(1,2)，∴1<1－k4<4，∴－12<k <0．答案:－12<k <011.【解析】将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13，因此顶点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)，实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程：y ＝±b a x ＝±23x ．12.【解析】设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.因|F 1F 2|＝2c ，而e ＝ca ＝2.由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝c . 由余弦定理，得(2c )2＝|P F 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|(1－cos 60°)， 化简，得4c 2＝c 2＋|PF 1|·|PF 2|.又12F PF S ＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝123， 所以|PF 1|·|PF 2|＝48.即3c 2＝48，c 2＝16，得a 2＝4，b 2＝12. 故所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1..。

双曲线的简单几何性质班级：____________ 姓名：__________________一、选择题1．已知双曲线x 22－y 2a＝1的一条渐近线为y ＝2x ，则实数a 的值为( ) A.2 B ．2 C.3 D ．42．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率等于( ) A. 6 B.233C.10D. 3 3．已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A ．(－33，33) B ．(－3，3) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D ．[－3，3] 4.双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距等于( )A.2B.2 2C.4D.4 25.已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( ) A.4条B.3条C.2条D.1条6.已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5B.2C. 3D. 27．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上的点，F 1、F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且∠F 1PF 2＝90°，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值(a ＞0，b ＞0)等于( )A ．4B ．7C ．6D ．58.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与曲线C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )A.355B.62C.32D.559.设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A.3x ±4y ＝0B.3x ＋5y ＝0C.5x ±4y ＝0D.4x ±3y ＝0 二、填空题10．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，若A (1，4)，则|PF |＋|PA |的最小值是________．11．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线离心率的最大值为________．12．已知直线l ：x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，则m 的值是________．13．如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．三、解答题14．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．x2 16＋y264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率.15.双曲线与椭圆16.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0).(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，其中O 为原点，求k的取值范围.双曲线的简单几何性质班级：____________ 姓名：__________________一、选择题1．已知双曲线x 22－y 2a＝1的一条渐近线为y ＝2x ，则实数a 的值为( ) A.2 B ．2 C.3 D ．4解析：由题意，得2＝a 2，所以a ＝4. 答案：D2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率等于( )A. 6B.233C.10D. 3 答案：C3．已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A ．(－33，33) B ．(－3，3) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D ．[－3，3] 解析：由题意知，F (4，0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x ，当过F 点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知应选C.答案：C4.双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距等于( ) 【导学号：37792075】A.2B.2 2C.4D.4 2【解析】 由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得32c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C. 【答案】 C5.已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( ) A.4条 B.3条C.2条D.1条 【解析】 因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】 B6.已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5B.2C. 3D. 2【解析】 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ， 3a .∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a 2b2＝1，a ＝b ， ∴c ＝2a ，e ＝c a ＝ 2.故选D.【答案】 D7．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上的点，F 1、F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且∠F 1PF 2＝90°，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值(a ＞0，b ＞0)等于( )A ．4B ．7C ．6D ．5答案：B8.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与曲线C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )A.355B.62C.32D.55【解析】 曲线C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3,0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b2＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355，选A. 【答案】 A9.设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A.3x ±4y ＝0B.3x ＋5y ＝0C.5x ±4y ＝0D.4x ±3y ＝0【解析】 由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，故选D. 【答案】 D二、填空题10．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，若A (1，4)，则|PF |＋|P A |的最小值是________．解析：因为A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F ′(4，0)，于是由双曲线的定义得|PF |－|PF ′|＝2a ＝4.而|P A |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5.两式相加得|PF |＋|P A |≥9，当且仅当A ，P ，F ′三点共线时，等号成立． 由双曲线的图象可知当点A 、P 、F 1共线时，满足|PF 1|＋|P A |最小，易求得最小值为|AF 1|＝5， 故所求最小值为9.答案：9 11．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线离心率的最大值为________．解析：依据双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 1|＋|PF 2|＝10a 3≥2c ， 所以e ＝c a ≤53，e max ＝53. 答案：5312．已知直线l ：x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，则m 的值是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1， 消去y 得x 2－2mx －m 2－2＝0.Δ＝4m 2＋4m 2＋8＝8m 2＋8>0.设A (x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝2m ，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2 m ＝4 m ，所以线段AB 的中点坐标为(m ，2 m )，又因为点(m ，2 m )在圆x 2＋y 2＝5上，所以5 m 2＝5，所以m ＝±1.答案：±113．如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________． 解析：如图，因为OA ＝AF ，F (c ，0)，所以x A ＝c 2，因为A 在右支上且不在顶点处， 所以c 2>a ，所以e ＝c a>2. 答案：(2，＋∞)三、解答题14．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)因为e ＝ 2.所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．因为过点(4，－10)，所以λ＝16－10＝6，所以双曲线的方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y 26＝1. (2)由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，所以c ＝2 3.所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)．所以MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )． 所以MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2.因为M 在双曲线上，所以9－m 2＝6，所以－3＋m 2＝0.所以MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，所以S △F 1MF 2＝12×43×3＝6. 15.双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，求双曲线的标准方程和离心率. 【解】 由椭圆x 216＋y 264＝1，知c 2＝64－16＝48，且焦点在y 轴上， ∵双曲线的一条渐近线为y ＝x ，∴设双曲线方程为y 2a 2－x 2a2＝1. 又c 2＝2a 2＝48，∴a 2＝24.∴所求双曲线的方程为y 224－x 224＝1. 由a 2＝24，c 2＝48，得e 2＝c 2a 2＝2， 又e >0，∴e ＝ 2.16.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0).(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，其中O 为原点，求k的取值范围.【解】 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2. 又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0，由直线l 与双曲线交于不同的两点得：⎩⎨⎧ 1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋361－3k 2>0， 即k 2≠13且k 2<1. ①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2， 由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2， 而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2 ＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1，于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3. ②由①②得13<k 2<1. 故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1.。

2.3.2 双曲线的几何性质学习目标核心素养1.了解双曲线的简单几何性质．(重点)2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等．(重点)3.知道椭圆与双曲线几何性质的区别.1.通过双曲线性质的学习，提升直观想象素养．2.借助性质的应用，提升数学运算素养.1．双曲线的简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称轴x轴，y轴对称中心原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±bax y＝±abx(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①等轴双曲线的离心率e＝2；②等轴双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，它们互相垂直． 思考：(1)渐近线一样的双曲线是同一条双曲线吗？ (2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示] (1)渐近线一样的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值一样．(2)e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，ba是渐近线的斜率或其倒数．1．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94xC [双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，因此渐近线方程为y ＝±32x .]2．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)B [由题意知，双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]3．假设双曲线x 24－y 2m ＝1(m ＞0)的渐近线方程为y ＝±32x ，那么双曲线的焦点坐标是________．(－7，0)，(7，0) [由双曲线方程得出其渐近线方程为y ＝±m2x ，∴m ＝3，求得双曲线方程为x 24－y 23＝1，从而得到焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．]4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，那么双曲线的离心率为________．53 [因为渐近线方程为y ＝43x ，所以b a ＝43， 所以离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.]由双曲线的方程求其几何性质【例1】 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．[思路探究] 此题给出的方程不是标准方程，应先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出根本量a ，b ，c 即可得解，注意确定焦点所在坐标轴．[解] 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1， 所以a ＝3，b ＝2，c ＝13， 因此顶点坐标A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133， 渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .作草图，如下图：用双曲线标准方程研究几何性质的步骤1．将双曲线方程化为标准方程形式； 2．判断焦点的位置； 3．写出a 2与b 2的值； 4．写出双曲线的几何性质．1．求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率． [解] 将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程为y 24－x 212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12，∴a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4，∴双曲线的实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝43，焦点坐标为F 1(0，－4)，F 2(0,4)，顶点坐标为A 1(0，－2)，A 2(0,2)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝2. 求双曲线的标准方程【例2】 求适合以下条件的双曲线的标准方程． (1)两顶点间的距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)．[思路探究] 利用待定系数法，当渐近线方程时，可利用双曲线设出方程进展求解． [解] (1)设以直线y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y29＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1或y 29－x 24＝1.(2)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，将点(2，－2)代入双曲线方程，得λ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.双曲线方程的求解方法1．根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a ，b ，c 的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程．2．以y ＝±n m x 为渐近线的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)，以此求双曲线方程可防止分类讨论．2．求适合以下条件的双曲线的标准方程． (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．[解] (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，假设焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么b a ＝12.①∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b2＝1. ②由①②联立，无解．假设焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么a b ＝12.③∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b2＝1. ④由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)．∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.求双曲线的离心率及其取值范围ABC ABC A B C 曲线的离心率为________．(2)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，假设过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围．[思路探究] (1)根据图形并由双曲线的定义确定a 与c 的关系，求出离心率；(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么必有b a≥tan 60°.(1)1＋32 [由题意2c ＝AB ＝BC ，∴AC ＝2×2c ×sin 60°＝23c ， 由双曲线的定义，有2a ＝AC －BC ＝23c －2c ⇒a ＝(3－1)c ， ∴e ＝c a＝13－1＝1＋32.] (2)[解] 因为双曲线渐近线的斜率为k ＝b a， 直线的斜率为k ＝tan 60°＝3，故有b a≥3，所以e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2≥1＋3＝2， 所以所求离心率的取值范围是[2，＋∞)．双曲线离心率的求法1．求双曲线的离心率就是求a 和c 的关系，一般可以采用几何观察法和代数关系构造法来寻求a ，b ，c 三者中两者的关系，进而利用c 2＝a 2＋b 2进展转化．2．求双曲线离心率的取值范围，一般可以从以下几个方面考虑：(1)与范围联系，通过求值域或解不等式来完成．(2)通过判别式Δ>0来构造．(3)利用点在双曲线内部形成不等关系．(4)利用解析式的特征，如c >a ，或c >b .3．F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．[解] 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a.由PF 2＝QF 2，∠PF 2Q ＝90°， 知PF 1＝F 1F 2，∴b 2a＝2c ，∴b 2＝2ac ，∴c 2－2ac －a 2＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2×c a－1＝0， 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为准确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．1．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点．( ) (2)等轴双曲线的渐近线是y ＝±x .( ) (3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)×2．双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，那么a ＝( )A ．2B ．62 C ．52D ．1 D [由题意得e ＝a 2＋3a＝2，∴a 2＋3＝2a ，∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1.]3．假设双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，它的一个焦点是(10，0)，那么双曲线的方程是________．x 2－y 29＝1 [双曲线的焦点在x 轴上，那么c ＝10，b a∵a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝1，b 2＝9， ∴方程为x 2－y 29＝1.]4．求适合以下条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分．[解] (1)设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由题意知2b ＝8，e ＝c a ＝53，从而b ＝4，c ＝53a ，代入c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝9，故双曲线的标准方程为x 29－y216＝1. (2)由两顶点间的距离是6，得2a ＝6，即a 2c ＝4a ＝12，即c ＝6，于是b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x 29－y 227＝1或y 29－x 227＝1.。

第08讲双曲线的标准方程与几何性质【知识积累】1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F1F2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.2．双曲线的标准方程和几何性质x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．设双曲线上的点M到两焦点F1，F2的距离之差的绝对值为2a，则0＜2a＜|F1F2|，这一条件不能忽略．①若2a＝|F1F2|，则点M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；②若2a＞|F1F2|，则点M的轨迹不存在；③若2a＝0，则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.[熟记常用结论]1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为22b a；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝2tan 2b θ，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． (2)性质：①a ＝b ；②e；③渐近线互相垂直； 7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.【专项训练】题型一：双曲线的方程例1、双曲线的焦点在x 轴上，且a +c =9，b =3，则双曲线的标准方程为________． 【答案】x 216−y 29=1解：因为a 2+b 2=c 2，b =3，a +c =9，解得c =5，a =4． 所以双曲线的标准方程x 216−y 29=1．故答案为x 216−y 29=1．训练1、经过点P (3,154)，Q (−163,5)的双曲线的方程是_______．【答案】y 29−x 216=1解：设双曲线方程为x 2m+y 2n=1(mn <0)，∵P ，Q 两点在双曲线上， ∴{9m+22516n =1,2569m+25n=1,解得{m =−16,n =9.∴所求双曲线的标准方程为y 29−x 216=1．训练2、已知双曲线的一个焦点坐标为(√6,0)，且经过点(−5,2)，则双曲线的标准方程为( )A. x 25−y 2=1B. y 25−x 2=1C. x 225−y 2=1 D. x 24−y 22=1【答案】A【解答】解：设双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)， ∵双曲线的一个焦点坐标为(√6,0)，且经过点(−5,2)， ∴{25a 2−4b 2=1a 2+b 2=6，得a =√5，b =1， ∴双曲线的标准方程为x 25−y 2=1，故选A ．例2、双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的√2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A. x 24−y 24=1 B. y 24−x24=1 C. y 24−x28=1 D. x 28−y 24=1 【答案】B解：由题意得方程组{a =2,2a +2b =√2·2c,a 2+b 2=c 2,得a =2，b =2． ∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴双曲线的标准方程为y 24−x 24=1．故选B ．训练1、已知双曲线x 2m−y 2m+6=1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程是( ) A.x 22−y 24=1 B.x 24−y 28=1 C. x 2−y 28=1 D.x 22−y 28=1【答案】D 解：双曲线x 2m−y 2m+6=1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，可得4√m =2√m +6，解得m =2， 则双曲线的标准方程是：x 22−y 28=1．故选：D ．训练2、设m 是常数，若点F(0,5)是双曲线y 2m−x 29=1的一个焦点，则m = ．【答案】16【解答】解：由点F(0,5)可知该双曲线y2m −x29=1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m+9=52，解得m=16．例3、在方程mx2−my2=n中，若mn<0，则方程表示的曲线是()A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在x轴上的双曲线C. 焦点在y轴上的椭圆D. 焦点在y轴上的双曲线【答案】D【解答】解：∵mx2−my2=n中，∴两边都除以n，得x2nm −y2nm=1，∵mn<0，得nm<0，可得曲线的标准方程形式是y2−nm−x2−nm=1，−nm>0，∴方程mx2−my2=n(mn<0)表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．故选D．训练1、已知曲线C：x2m2+2+y2m=1(m∈R)，则下列结论正确的是()A. 若m<0，则曲线C表示双曲线B. 曲线C可能表示一个圆C. 若曲线C是椭圆，则其长轴长为2√mD. 若m=1，则曲线C中过焦点的最短弦长为2√33【答案】AD解：由题意，若m<0，根据双曲线的定义可知曲线C表示双曲线，故A正确；因为m2−m+2>0对任意的m恒成立，所以曲线C不可能表示一个圆，故B错误；若曲线C是椭圆，则m>0，由B选项分析可知，椭圆C:x2m2+2+y2m=1的焦点在x轴上，所以其长轴长为2√m2+2，故C错误；若m=1，则曲线C为椭圆，方程为x23+y2=1，焦点坐标为(±√2,0)，若过焦点的直线斜率为0时，此时该直线截椭圆C的弦长为2√3；若过焦点的直线斜率不为0时，不妨设该直线过椭圆C 的右焦点，方程为x =ny +√2，与椭圆C 的两个交点分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由{x 23+y 2=1x =ny +√2，可得(n 2+3)y 2+2√2ny −1=0，则有{Δ=8n 2+4(n 2+3)=12(n 2+1)>0y 1+y 2=−2√2nn 2+3y 1y 2=−1n 2+3, |AB |=√1+n 2|y 1−y 2|=√1+n 2·√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =√1+n 2·√(−2√2n n 2+3)2−4×(−1n 2+3)=√1+n 2·2√3(n 2+1)n 2+3=2√3·n 2+1n 2+3=2√3(1−2n 2+3)⩾2√33， 当n =0时，上式不等式可取等号，即|AB |min =2√33， 综上，可知椭圆C:x 23+y 2=1中过焦点的最短弦长为2√33，故D 正确；故选AD ．例4、一动圆与两圆：x 2+y 2=1和x 2+y 2−8x +12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A. 抛物线B. 圆C. 双曲线的一支D. 椭圆【答案】C解：设圆O:x 2+y 2=1，圆心O(0,0)，半径r 1=1; 设圆C:x 2+y 2−8x +12=0，(x −4)2+y 2=4， 记圆心C(4,0)，半径r 2=2; 设动圆圆心为P ，半径为r ， 则{|PO |=r +1|PC |=r +2, 所以|PC |−|PO |=1<|CO |=4，所以P 点在C ，O 为焦点的双曲线的一支上． 故选C ．题型二：三角形面积和周长问题例1、已知双曲线C:x 28−y 28=1的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，A(0,4)，当△MAF 的周长最小时，△MAF 的面积为______． 【答案】12解：设双曲线的右焦点为F′，由双曲线定义可得|MF|=2a +|MF′|=4√2+|MF′|，∴△MAF 的周长为|AF |+|MF |+|MA |=4√2+4√2+|MF′|+|MA | ⩾8√2+|AF′|=8√2+4√2=12√2，等号成立时，A ，M ，F′三点共线，且M 在A ，F′之间， 直线AF′的方程为x +y =4，联立方程{x +y =4x 2−y 2=8，解得，x =3，y =1，得M(3,1)则S △MAF =S △AFF′−S △MFF′=12×8×4−12×8×1=12， 得△MAF 的面积为12． 故答案为12．训练1、已知双曲线的焦点为F 1(−4,0)，F 2(4,0)，且该双曲线过点P(6,2√2)． (1)求双曲线的标准方程；(2)若双曲线上的点M 满足MF 1⊥MF 2，求△MF 1F 2的面积． 【答案】解：(1)设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，由F 1(−4,0)，F 2(4,0)，且该双曲线过点P(6,2√2)，可得2a =√(6+4)2+(2√2)2−√(6−4)2+(2√2)2=4√3， ∴a 2=(2√3)2=12，又c =4，∴b 2=42−(2√3)2=4， ∴双曲线的标准方程为x 212−y 24=1；(2)由||MF 1|−|MF 2||=4√3,|MF 1|2+|MF 2|2=|F 1F 2|2=64， 得|MF 1|⋅|MF 2|=(|MF 1|−|MF 2|)2−(|MF 1|2+|MF 2|2)−2=8，∴S △MF 1F 2=12|MF 1|⋅|MF 2|=4．题型三：离心率例1、双曲线x 2−y 2=1的离心率为______ ． 【答案】√2【解析】解：根据题意，双曲线的方程为x 2−y 2=1，变形可得x 21−y 21=1，则a =1，b =1， 则有c =√1+1=√2， 则其离心率e =ca =√2，故答案为：√2．训练1、已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过点(2√2,1)，且与椭圆x24+y2m2=1有相同的顶点，则该双曲线的离心率为()A. √5B. √52C. 2√55D. 2【答案】B解：∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x24+y2m2=1有相同的顶点，∴a=2．又∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过点(2√2,1)，代入求得b=1，则c=√5，∴该双曲线的离心率e=ca =√52．故选B．例2、已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，过点F1且倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A，B.若|AF2|=|BF2|，则双曲线C的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √5【答案】A解：解：如图，取AB中点M，连接F2M，∵|AF2|=|BF2|，∴F2M⊥AB，设|AF2|=|BF2|=x，∵|AF2|−|AF1|=2a，∴|AF1|=x−2a，又|BF1|−|BF2|=2a，∴|BF1|=x+2a，∴|AB|=|BF1|−|AF1|=4a，∴|AM|=|BM|=2a，∴|F1M|=|BF1|−|BM|=x，由勾股定理，知|F2M|=√(F1F2)2−(MF1)2=√(BF2)2−(BM)2，即|F2M|=√4c2−x2=√x2−4a2，解得x2=2a2+2c2，∴|F2M|=√2c2−2a2=√2b2，∴tan∠MF1F2=|F2MF1M |=√2b2√2a2+2c2=√33，结合c2=a2+b2，可得c2=2a2，即离心率e=√2．故选A．训练1、已知A，B，C是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且2|AF|=|CF|，则该双曲线的离心率是()A. 53B. √173C. √172D. 94【答案】B【解析】解：设双曲线的另一个焦点为E，由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，令|BF|=|AE|=m，|AF|= n，|CF|=2n，由双曲线的定义有，|CE|−|CF|=|AE|−|AF|=2a，∴CE=2n+2a在直角三角形EAC中，m2+(3n)2=(2n+2a)2，代入2a=m−n，化简可得m=4n，又m−n=2a得n=23a，m=83a，在直角三角形EAF中，m2+n2=(2c)2，即为49a2+649a2=4c2，可得e=ca=√173．故选：B．训练2、已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点为F1,F2，过F2的直线交双曲线右支于A,B，若BF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且cos∠F1AF2=45，则双曲线的离心率为()A. √2B. 32C. √52D. √102【答案】D解：设|AF 1|=m ，BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且cos∠F 1AF 2=45， 则|BF 1|=35m ，|AB|=45m ，|BF 2|=35m −2a,|AF 2|=m −2a,则|AF 2|+|BF 2|=|AB|⇒m =5a△BF 1F 2中，由勾股定理得 9a 2+a 2=4c 2⇒e =√102，故选D ．训练3、设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线的左、右两支于M ，N.若以MN 为直径的圆经过右焦点F 2，且|MF 2|=|NF 2|，则双曲线的离心率为( )A. √6B. √5C. √3D. √2【答案】C 【解析】解：可得△MNF 2为等腰直角三角形， 设|MF 2|=|NF 2|=m ，则|MN|=√2m ， 由|MF 2|−|MF 1|=2a ，|NF 1|−|NF 2|=2a ， 两式相加可得|NF 1|−|MF 1|=|MN|=4a ， 即有m =2√2a ，在直角三角形HF 1F 2中可得 4c 2=4a 2+(2a +2√2a −2a)2， 化为c 2=3a 2， 即e =ca =√3． 故选C ．例3、设a >1，则双曲线x 2a 2−y 2(a+1)2=1的离心率e 的取值范围是( )A. (√2,2)B. (√2,√5)C. (2,5)D. (2,√5)【答案】B解：∵双曲线方程为x 2a 2−y 2(a+1)2=1， ∴c = √2a 2+2a +1∴e=ca =√2+1a2+2a=√(1a+1)2+1，又∵a>1，∴0<1a<1∴1<1a+1<2∴1<(1+1a)2<4∴√2<e<√5．故选B．训练1、已知F1、F2为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P为右支上任意一点，若|PF1|2|PF2|的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围为()A. (1,2]B. (1,3]C. [2,3]D. [3,+∞)【答案】B【解析】解：由定义知：|PF1|−|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2||PF1|2 |PF2|=(2a+|PF2|)2|PF2|=4a2|PF2|+4a+|PF2| ≥8a，当且仅当4a 2|PF2|=|PF2|，即|PF2|=2a时取得等号设P(x0,y0)(x0≤−a)由焦半径公式得：|PF2|=−ex0−a=2aex0=−3ae=−3ax0≤3又双曲线的离心率e>1∴e∈(1,3]故选：B．训练2、已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则1e1e 2的最大值为( )A. 3B. 2C. 4√33 D. 2√33【答案】D解：不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为第一象限的点，如图： 设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义知|PF 1|+|PF 2|=2a 1，|PF 1|−|PF 2|=2a 2， ∴|PF 1|=a 1+a 2，|PF 2|=a 1−a 2． 设|F 1F 2|=2c ，在△PF 1F 2中，∠F 1PF 2=π3，由余弦定理得，4c 2=(a 1+a 2)2+(a 1−a 2)2−2(a 1+a 2)(a 1−a 2)cos π3，化简得a 12+3a 22=4c 2，即1e 12+3e 22=4，∴1e 12+3e 22=4≥2√3e 12e 22，∴1e1e 2≤2√33， 当且仅当e 1=√22,e 2=√62时，等号成立，则1e1e 2的最大值为2√33， 故选D ．题型四：渐近线例1、双曲线x 2−y 24=1的渐近线方程为 ．【答案】y =±2x解：由题意得，a =1，b =2， 双曲线x 2−y 24=1的渐近线方程为y =±2x ，故答案为：y =±2x ．训练1、设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的虚轴长为2，焦距为2√3，则双曲线的渐近线方程为( )A. y =±√2xB. y =±2xC. y =±√22x D. y =±12x【答案】C解：由已知得到b =1,c =√3,a =√c 2−b 2=√2， 因为双曲线的焦点在x 轴上， 故渐近线方程为y =±ba x =±√22x ；故选：C ．训练2、已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√52，则C 的渐近线方程为( )A. y =±14xB. y =±13x C. y =±12xD. y =x【答案】C 解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√52， 则有e 2=c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a 2=54，即b 2a 2=14，即有b a =12，又由双曲线的焦点在x 轴上，则其渐近线方程为：y =±12x ； 故选：C ．例2、已知双曲线C 1与双曲线C 2:x 22−y 26=1的渐近线相同，且双曲线C 1的焦距为8，则双曲线C 1的方程为 ．【答案】x 24−y 212=1或y 212−x 24=1解：当C 1的焦点在x 轴时，设出所求的双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1，(a >0,b >0)， 依题意可知{ba =√3a 2+b 2=16，求得a =2，b =2√3，∴双曲线的方程为：x 24−y 212=1．当C 1的焦点在y 轴时，设出所求的双曲线的方程为y 2m 2−x 2n 2=1，(m >0,n >0)， 则{mn =√3m 2+n 2=16，求得n =2，m =2√3，所以双曲线的方程为y 212−x 24=1， 故答案为x 24−y 212=1或y 212−x 24=1．训练1、已知双曲线x2+ny2=1(n∈R)与椭圆x26+y22=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为．【答案】y=±√3x解：根据题意，椭圆的方程为x26+y22=1与双曲线有相同的焦点，且c=√6−2 =2，即焦点坐标为(±2,0)，若双曲线x2+ny2=1的焦点坐标为(±2,0)，则有n<0，且1+(− 1n )=4，解得n=−13，因此双曲线的标准方程为：x2−y23=1，所以该双曲线的渐近线方程为y=±√3x．故答案为y=±√3x．例3、点P(0,1)到双曲线y24−x2=1渐近线的距离是()A. √5B. √55C. 2√55D. 5【答案】B【解析】解：根据题意，双曲线的方程为：y24−x2=1，则其渐近线方程为：y=±2x，即2x±y=0，点P(0,1)到2x−y=0的距离d=√4+1=√55，故选：B．训练1、在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为√32c，则其离心率的值是__________．【答案】2【解答】解：不妨设双曲线的一条渐近线方程为y=bax，所以√a2+b2=b=√32c，所以b2=c2−a2=34c2，得c=2a，所以双曲线的离心率e=ca=2．故答案为2．例4、设F 1和F 2为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点，若点P(0,2b)、F 1、F 2是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是 ( )A. y =±√3xB. y =±√217xC. y =±√33x D. y =±√213x【答案】C解：由双曲线的对称性可知，直角顶点为P ，在等腰三角形PF 1F 2中，由|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，得c 2+4b 2+c 2+4b 2=4c 2，化简得8b 2=2c 2，即4b 2=c 2，把c 2=a 2+b 2代入4b 2=c 2，得3b 2=a 2，即b 2a 2=13，则双曲线的渐近线方程为y =±√33x. 故选C ． 训练1、已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A. x 24−y 212=1 B. x 212−y24=1 C. x 23−y 2=1D. x 2−y 23=1 【答案】D【解析】由题意可得{c =2,c 2=a 2+b 2,ba=tan60°=√3,解得a 2=1，b 2=3，故双曲线方程为x 2−y 23=1.故选D ．例5、双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点．以O 为圆心a 为半径的圆与PF 1相切于点M ，且|PM |=|F 1M |，则该双曲线的渐近线为( )A. y =±2xB. y =±xC. y =±√3xD. y =±3x【答案】A解：如图，连接PF 2、OM ，∵M 是PF 的中点，∴OM是△PF1F2的中位线，，且|PF2|=2|OM|=2a，根据双曲线的定义，得|PF1|−|PF2|=2a，∴|PF1|=|PF2|+2a=4a，∵PF1与以原点为圆心a为半径的圆相切，∴OM⊥PF1，可得PF2⊥PF1，△PF1F2中，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即得(4a)2+(2a)2=|F1F2|2，∴(2c)2=|F1F2|2=20a2，解得c2=5a2，即b2=c2−a2=4a2，得b=2a．由此得双曲线的渐近线方程为y=±2x．故选A训练1、已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，以点P(b,0)为圆心，a为半径作圆P，圆P与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MPN=90∘，则C的离心率为()A. √2B. √3C. √52D. √72【答案】A解：不妨设双曲线C的一条渐近线bx−ay=0与圆P交于M，N，因为∠MPN=90°，所以圆心P到bx−ay=0的距离为：2√a2+b2=b2c=√22a，即2c2−2a2=√2ac，又e=ca>1，解得e=√2．故选：A．训练2、已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1+d 2=6，则双曲线的方程为( )A. x 24−y 212=1 B. x 212−y24=1 C. x 23−y 29=1D. x 29−y 23=1 【答案】C解：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线，其方程为y =ba x ，即bx −ay =0，F(c,0)，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，作FE ⊥CD 交CD 于点E ，显然ACDB 是直角梯形， 又F 是AB 的中点，EF =d 1+d 22=3，EF =bc √a 2+b 2=b ，所以b =3，双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，可得ca =2，可得：a 2+b 2a 2=4，解得a =√3．则双曲线的方程为：x 23−y 29=1．故选C ．题型五：几何性质综合应用 例1、设O 为坐标原点，F 1，F 2是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点.若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1PF 2=60∘，|OP|=√7a ，则( )A. 双曲线的方程可以是x 22−y 2=1 B. 双曲线的渐近线方程是√2x ±y =0 C. 双曲线的离心率为√3 D. △PF 1F 2的面积为√3a 2【答案】BC解：如图，∵O 为F 1F 2的中点，∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，即|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos60°=4|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，又∵|OP |=√7a.∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=28a 2.①又由双曲线的定义得||PF 1|−|PF 2||=2a ，∴(|PF 1|−|PF 2|)2=4a 2，即|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|·|PF 2|=4a 2.② 由①−②得|PF 1|·|PF 1|=8a 2，∴|PF 1|2+|PF 2|2=20a 2． 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos60°=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，∴8a 2=20a 2−4c 2，即c 2=3a 2． 又∵c 2=a 2+b 2，∴b 2=2a 2，即ba =√2．又双曲线的渐近线方程为√2x ±y =0.双曲线的离心率为√3， 双曲线的方程可以是x 2−y 22=1，故A 错，B 正确，C 正确．△F 1PF 2的面积S =12|PF 1||PF 2|sin60°=12·8a 2·√32=2√3a 2，故D 错误．故选：BC ．例2、已知点P 在双曲线C:x 216−y 29=1上，F 1、F 2是双曲线C 的左、右焦点，若ΔPF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的有( )A. 点P 到x 轴的距离为203 B. |PF 1|+|PF 2|=503 C. ΔPF 1F 2为钝角三角形D. ∠F 1PF 2=π3【答案】BC 【解答】解：由已知a =4，b =3，c =5，因为P 在双曲线上，F 1、F 2是双曲线C 的左、右焦点，ΔPF 1F 2的面积为20， 所以12|y P |·2c =5|y P |=20， 所以|y P |=4，|x P |=203，对于A ，点P 到x 轴的距离为4，A 错误;对于B ，由对称性，不妨设P(203,4)，因为F 1(−5,0)，F 2(5,0)，所以|PF 1|+|PF 2|=√(203−(−5))2+(4−0)2+√(203−5)2+(4−0)2=503，即B 正确;对于C ，由对称性，不妨设P(203,4)，由双曲线的定义有|PF 1|−|PF 2|=8， 结合|PF 1|+|PF 2|=503，解得|PF 1|=373,|PF 2|=133，所以在ΔPF 1F 2中，由余弦定理得cos∠F 1F 2P =|F 1F 2|2+|PF 2|2−|PF 1|22|F 1F 2|·|PF 2|=100+1699−136992|F 1F 2|·|PF 2|<0，所以∠F 1F 2P 为钝角，所以C 正确;对于D ，由对称性，不妨设P(203,4)，由C 判断过程知，|PF 1|=373,|PF 2|=133，则S ΔPF 1F 2=12|PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2=48118×sin∠F 1PF 2=20，所以sin∠F 1PF 2=360481≠√32，所以，所以D 错误．故选BC ．训练1、如图，F 1，F 2是双曲线C 1:x 2−y 23=1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点，设C 2方程为x 2a 2+y 2b 2=1，则有( ) A. a 2+b 2=4B. △AF 1F 2的内切圆与轴相切于点(1,0)C. 若|F 1F 2|=|F 1A|，则C 2的离心率为23 D. 若AF 1⊥AF 2，则椭圆方程为x 27+y 23=1 【答案】BCD 【解答】解：由双曲线C 1:x 2−y 23=1可得c =√1+3=2，可得a 2−b 2=c 2=4，故A 错误;设△AF1F2的内切圆的圆心为与边AF1，F1F2，F2A相切于N，M，K′可得|AN|=|AK|，|F1M|=|F1N|，|F2M|=|F2K|，而|AF1|−|AF2|=2，即|F1N|−|F2K|=|F1M|−|F2M|=2，又|F1M|+|F2M|=4，解得|F2M|=1，|F1M|=3，可得M的横坐标为1，即的横坐标为1，故B正确;椭圆C2中，|F1A|−|F2A|=2，|F1A|+|F2A|=2a，可得2|F1A|=2a+2，由|F1F2|=|F1A|=2c=4，则2×4=2a+2，解得a=3．则C2的离心率e=ca =23，故C正确;若AF1⊥AF2，可得(a+1)2+(a−1)2=4c2=16，又c=2，b2=a2−c2，解得a=√7，b=√3，则椭圆的方程为x27+y23=1，故D正确．故选BCD．训练2、已知双曲线C:x24−y2b2=1(b>0)的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线C上，且直线PA与直线PB的斜率之积为1，则双曲线C的焦距为__________．【答案】4√2解：设点P(x0,y0),∵k PA⋅k PB=1，∴y0x0+2⋅y0x0−2=y02x02−4=1∵点P在双曲线C上，∴x024−y02b2=1,y02x02−4=b24,∴b24=1,b=2,∴双曲线C的焦距为2√4+b2=4√2．故答案为4√2．。

第20讲双曲线高考6大常考基础题型总结【考点分析】考点二：双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为22b a．考点三：双曲线常考性质结论①双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b ；顶点到两条渐近线的距离为常数ab c;②双曲线上的任意点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数222a b c；考点四：双曲线焦点三角形面积为2tan2b θ（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）【题型目录】题型一：利用双曲线定义解题题型二：求双曲线的标准方程题型三：双曲线焦点三角形面积题型四：双曲线的渐近线有关题型题型五：双曲线的离心率问题题型六：双曲线的最值问题【典型例题】题型一：利用双曲线定义解题【例1】已知双曲线()222:1012x y C a a -=>的左右焦点分别为1F 、2F ，0y +=，若点M在双曲线C 上，且15MF =，则2MF =（）A ．9B ．1C ．1或9D ．1或7【例2】已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=【例3】已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为．【答案】121,22,a c PF PF a ==∴-==22112224PF PF PF PF ∴-+=22212121221212,(2)8,24,()8412,PF PF PF PF c PF PF PF PF PF PF ⊥∴+==∴=∴+=+=∴+= 【例4】已知曲线C 的方程为221mx ny +=，下列说法正确的是（）A ．若0mn >，则曲线C 为椭圆B ．若0mn <，则曲线C 为双曲线C ．若曲线C 为焦点在x 轴的椭圆，则0m n >>1n【题型专练】1.设双曲线221169x y -=的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆2216x y +=相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则MN MO -=（）A ．12B ．1C ．32D ．22.已知F 1、F 2分别为双曲线C :29x -227y =1的左、右焦点，点A 为C 上一点，点M 的坐标为(2，0)，AM为∠F 1AF 2的角平分线．则|AF 2|=.3.方程132m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A ．23m -<<B ．20m -<<C ．2m <-或3m >D ．32m -<<题型二：求双曲线的标准方程【例1】与椭圆22:11612y x C +=共焦点且过点(的双曲线的标准方程为（）A ．2213y x -=B ．2221yx -=C ．22122y x -=D ．2213y x -=【答案】C 【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得a 的值，再由b =b 的值，结合双曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程.【详解】椭圆C 的焦点坐标为()0,2±，设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，由双曲线的定义可得2a =-=，a ∴2c = ，b ∴=因此，双曲线的方程为22122y x -=.故选：C.【例2】已知圆22:(4)16M x y ++=，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点(4,0)A ，线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（）A ．221(2)412x y x -=≤-B ．221412x y -=C ．221(1)3y x x -=≤-D ．2213y x -=【例3】已知双曲线H ：219x y a -=（0a >），以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形ABCD 的面积为4a ，则双曲线的方程为（）A ．22199x y -=B ．221189x y -=C ．221279x y -=D ．221369x y -=【例4】已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线C 的右支上，12MF MF ⊥，若1MF 与C 的一条渐近线l 垂直，垂足为N ，且12NF ON -=，其中O 为坐标原点，则双曲线C 的标准方程为（）A ．2212016x y -=B ．221204x y -=C ．221416x y -=D ．221420x y -=，【题型专练】1．已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点在y ，则双曲线的标准方程是（）A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212xy -=D ．2212y x -=2．已知双曲线C 的焦点为1F ，)2F ，点P 在双曲线C 上，满足112PF F F ⊥，14PF =，则双曲线C 的标准方程为（）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．22132x y -=D ．22123x y -=3．已知圆M ：()2224x y ++=，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点()2,0A ，线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（）A ．221(2)412x y x -=≤-B ．221412x y -=C ．221(1)3y x x -=≤-D ．2213y x -=4.已知双曲线方程为222x y k -=，焦距为6，则k 的值为________.故答案为：±6.5．（2022·重庆·三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点为1F ，2F ，左右顶点为1A ，2A ，过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，设12PA A α∠=，21PA A β∠=，当直线l 绕着2F 转动时，下列量保持不变的是（）A ．1PQA △的周长B ．1PF Q 的周长与2PQ之差C ．tan tan αβD ．tan tan αβ⋅【答案】BD 【解析】【分析】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，可判断A ，根据双曲线定义求解可判断B ，设(),P x y ，则tan ,tan y y a xx aαα==-+-根据商与积的值可判断CD ．【详解】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，故A 不正确；1PF Q 的周长为1122442PF QF PQ a PF QF PQ a PQ++=+++=+所以1PF Q 的周长与2PQ之差为4a ，故B 正确；设(),P x y ，则tan ,tan y ya x x aαα==-+-，由tan tan a xa xαβ-=+不是常量，故C 不正确；由22222222221tan tan x b y y a y b a x a x a x a x aαβ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅==-+---为常量，故D 正确；故选：BD题型三：双曲线焦点三角形面积【例1】设双曲线2222:1(00)x y C a b a b，-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F．P 是C 上一点，且12F P F P ⊥．若△12PF F 的面积为4，则a =（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．【解析】解法一：ca=c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，12F P F P ⊥ ，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A ．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2tan 221θb S F PF =．∴︒45tan 2b =4，则2=b ，又∵5==ace ，∴1=a ．解法三：设n PF m PF ==21,，则421==mn S F PF ，a n m 2=-，5,4222===+ace c n m ，求的1=a ．【例2】已知1F ，2F 是双曲线C ：()2210,0436x y a b -=>>的左、右焦点，M ，N 是C 上关于原点对称的两点，且12MN F F =，则四边形12MF NF 的面积是______．，即可求得四边形【题型专练】1．已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22144x y -=的左、右焦点，P 是C 上一点，且位于第一象限，120PF PF ⋅= ，则（）A ．PB ．12PF =C ．12PF F △的周长为4D ．12PF F △的面积为42.设1F ，2F 是双曲线2:13C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则△12PF F 的面积为（）A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】B【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，∵121||1||2OP F F ==，∴点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，∴2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，∴12F F P S =△121||||32PF PF =，故选B ．题型四：双曲线的渐近线有关题型焦点在x 轴上的渐近线为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-±=02222b y a x x a b y 焦点在y 轴上的渐近线为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-±=02222b x a y x b a y 若双曲线的方程为122=+ny mx ，要求渐近线只需令022=+ny mx ，解出即可即已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。