elgamal加密算法例题

ElGamal公钥密码体制1、问题描述设计ElGamal公钥密码体制算法。

2、算法设计(1)选取大素数p和p的一个原根a，(a,p)=1,1<a<p(2)随机选取整数d，1<d<p-1，计算b≡ad (mod p)；p,a,b为公钥，d为私钥(3)加密：对0<m<p，秘密的随机选取整数k,1<k<p-1,加密后密文为c=(c1 ，c2 ),c1 ≡ak (mod p), c2 ≡ m bk (mod p)(4)解密：明文m ≡c2 ( c1 d) -1 (mod p)主要步骤3、算法分析该算法的基础是找到一个原根，大数的原根产生过程比较慢，本人目前也只能产生8位以内的素数的原根，还有待改进。

同时也涉及到模幂运算，选取的幂指数如果较大，时间复杂度也会相应的增加。

int inverse(int a,int m){long int c,d;int j;int q[100],r[100],t[100],s[100];c=a;d=m;r[0]=c;r[1]=d;s[0]=1;s[1]=0;t[0]=0;t[1]=1;for(j=1;r[j]!=0;j++){q[j]=(int)(r[j-1]/r[j]);r[j+1]=r[j-1]-q[j]*r[j];if(j>=2){s[j]=s[j-2]-q[j-1]*s[j-1];t[j]=t[j-2]-q[j-1]*t[j-1];}}return s[j-1];}int gcd(int a,int b){int c;if(a<b){c=b;b=a;a=c;}while(b!=0){c=b;b=a%b;a=c;}return a;}void main(){int p,g,k,s,x,r,t=1,i,j,f,y,m,M;cin>>p>>g>>k;s=2;for(i=1;i<=k;i++){t*=s;t=t%p;}while(t<0){t=t+p-1;}cout<<"public key is"<<"("<<t<<","<<g<<","<<p<<")"<<endl;cin>>r;if(gcd(p-1,r)!=1)cout<<"the data is not suitable"<<endl;x=1;for(j=1;j<=r;j++){x*=s;x=x%p;}cin>>m;f=inverse(r,p-1);y=(m-k*x)*f%(p-1);while(y<0){y=y+p-1;}cout<<"the signature is"<<"("<<x<<","<<y<<")"<<endl;for(i=1;i<=m;i++){g*=g;}g=g%p;for(i=1;i<x;i++){y*=y;}for(j=1;j<y;j++){x*=x;}M=x*y%p;if(M=p){cout<<"the signature is useful"<<endl;}else{cout<<"the signature is not useful"<<endl;}}运行结果。

下面我们首先计算
γ
2,0
=α
0×(p-1)/2
mod 29
= 20 mod 29 = 1, γ
2,1
=α
1×(p-1)/2mod
29
= 228/2 mod 29
= 28. 因为 = 28 =γ
2,1 ,
0
ß mod 29 = 1828/2 mod 29
所以 a = 1.令
ß = ß α 1 因为
0, 1 e i 1
i

根据目前的计算能力，只有当p-1 的素因子是小素数时，才 能有效分解 p-1求得 。因此，Pohlig-Hellman 算法适用于p1 的素因子是小素数的情况。 例5.8 设p = 29, 则 p-1= 28 = 22×7.设α = 2, ß 18. = 求log 。令log a .
s ( p 1 ) qi
mod p
qi ,s
· ,k, · ·
s = 0, 1,2, ·· i －1. 将这些 q ·
ei i
排成一个
下面利用表L求 a mod q
a mod q
ei i
, i= 1,2,
1 i
· ,k. · ·
e i 1
设
q
ei 1 i
a a q a
0
ß=αd mod p,
所以
k c2(c1d)–1≡mß (α
dk
)
–1
(mod p)
–1(mod
≡mα
dk
(α
dk
)
p) α ∈zp*
≡m(mod p). 因此，解密变换能正确的从密文恢复相应的明文。
5.4.2. ElGamal公钥密码体制的安全性

⑸ ELGamal密码的应用
①加解密速度快 由于实际应用时ELGamal密码运算的素数p比RSA 要小，所以ELGamal密码的加解密速度比RSA稍快。 ②随机数源 由ELGamal密码的解密钥d和随机数k都应是高质量 的随机数。因此，应用ELGamal密码需要一个好的随机 数源，也就是说能够快速地产生高质量的随机数。 ③大素数的选择 为了ELGamal密码的安全，p应为150位（十进制数） 以上的大素数，而且p-1应有大素因子。
三、椭圆曲线密码
G 3G 5G 7G 9G 11G 13G ＝（2，7）， 2G ＝（5，2）， ＝（8，3）， 4G ＝（10，2）， ＝（3，6）， 6G ＝（7，9）， ＝（7，2）， 8G ＝（3，5）， ＝（10，9），10G ＝（8，8）， ＝（5，9）， 12G ＝（2，4）， ＝O（ ∞，∞ ）。
二、 ELGamal公钥密码
⑵ 加密 将明文消息M（0≤M≤p-1)加密成密文的过程如
下： ①随机地选取一个整数k，2≤k≤p-2。 ②计算： U ＝y k mod p； C1＝α k mod p； C2＝UM mod p； ③取 C＝（C1 ，C2）作为的密文。
二、 ELGamal公钥密码
二、 ELGamal公钥密码
⑸ ELGamal密码的应用 由于ELGamal密码的安全性得到世界公认，
所以得到广泛的应用。著名的美国数字签 名标准DSS，采用了ELGamal密码的一种变 形。 为了适应不同的应用，人们在应用中总结 出18种不同的ELGamal密码的变形。
二、 ELGamal公钥密码
2、离散对数问题：
求对数 X 的运算为
x=logα y，1≤x≤p-1 由于上述运算是定义在模p有限域上的，所以称为 离散对数运算。 ③从x计算y是容易的。可是从y计算x就困难得多， 利用目前最好的算法，对于小心选择的p将至少 需用O(p ½)次以上的运算，只要p足够大，求解 离散对数问题是相当困难的。

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加密 将明文消息M（0≤M≤p-1)加密成密文的过程如下： ① 随机地选取一个整数x，1≤x≤p-2。 ② 计算： U ＝y x mod p； C1＝α x mod p； C2＝UM mod p； ③ 取 C＝（C1 ，C2）作为密文。
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解密 将密文（C1 ，C2）解密的过程如下： ① 计算V＝C1 d mod p； ② 计算M＝C2 V -1 mod p。
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案例：Alice要发消息给Bob 1) 密钥生成. 选择公开参数：p=97 及本原元a=5 ； Bob 选择 秘密钥xB=58，计算并发布公钥 yB=558=44 mod 97. 2) Alice 要加密 M=3 给 Bob. 首先得到 Bob的公开密钥 yB=44，选择随机 d=36 计算 : U=4436 mod 97=75. 计算密文对: C1 = 536 mod 97 = 50 ； C2 = 75*3 mod 97 = 31. 发送 {50,31} 给Bob . 3) Bob 解密消息. 恢复消息密钥 V=5058 mod 97=75. Bob 计算 V-1 = 22 mod 97=22. Bob 恢复明文 M = 31*22 mod 97=3.

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ELGamal密码的应用 由于ELGamal密码的安全性得到世界公认，所以得到广泛 的应用。著名的美国数字签名标准DSS，采用了ELGamal密 码的一种变形。 为了适应不同的应用，人们在应用中总结出多种不同的 ELGamal密码的变形。
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算法： 准备：随机地选择一个大素数p，且要求p-1有大素数因 子。再选择一个模p的本原元α ，将p和α 公开。 ⑴ 密钥生成 用户随机地选择一个整数d作为自己秘密的解密钥， 1≤d≤p-2 。 计算y=α d mod p，取y为自己的公开的加密钥。 （）

• 曲线方程中的所有系数都是某一有限域GF(p)中 的元素(p为一大素数)，最为常用的曲线方程为 y2=x3+ax+b mod(p)
(a,b∈GF(p),4a3+27b2≠0 mod p)
• 我们感兴趣的是在第一象限的整数点。
• 设Ep(a,b)表示ECC上点集： {(x,y)|0≤x<p,0 ≤y<p,且x,y均为整数} 并上 O.
离散对数问题与 ElGamal算法
离散对数问题
给定一个素数p，z*p上的一个生成元g，
及一个元素y， 寻找整数x（0=<x=<p-2）， 使得gx = ymod p。
离散对数问题
与离散对数问题密切相关的是Diffie-Hellman
问题（DHP），它对公钥密码是很重要的。
Diffie-Hellman问题：给定一个素数p，z*p上的 一个生成元g，给定ga mod p， gb mod p ， 求gab mod p 。
签名
（1） Alice用H将消息m进行处理，得h=H(m)。 （2） Alice选择秘密随机数k，满足
0<k<p-1，且(k, p-1)=1， 计算
r=gk(modp)；
s=(h-xr)k-1(mod (p－1))。
（3） Alice将(m，r，s)发送给Bob。
验证
接收方接收到消息m和签名(r,s)后： （1） 计算h=H(m)。 （2） 用Alice的公钥，检验是否
椭圆曲线公钥密码ECC
有限域上满足方程 y2+axy+by=x3+cx2+dx+e
的所有点P=(x, y)，加上一个“无穷远点”，构成的 集合称为一个“椭圆曲线”。

不可区分性在公钥密码学中的应用摘要：本文主要总结了不可区分性在公钥密码体制中的运用，这些运用主要包括如何刻画密码体制的安全性（语义安全性）、如何通过规约的方式利用不可区分实验证明密码体制的安全性、以及一些常见的密码体制中不可区分性的作用。

全文主要分为三个部分，第一部分主要介绍了一些基础知识，包括密码体制的组成以及完善保密密码体制的含义，如何利用不可区分性来等价描述完善保密密码体制。

第二部分主要介绍了不可区分实验（游戏）在公钥密码学中的应用。

这一部分先对攻击者的层次进行了划分，之后介绍了如何用不可区分实验来给最基本的密码体制的语义安全性下定义。

这一部分最后利用CCA2的语义安全性作为例子说明如何利用不可区分实验定义拥有特定防御功能的公钥密码体制的语义安全性。

第三部分介绍了规约证明的相关内容，规约证明现如今已成为现代公钥密码学可证明安全理论常用的证明方法，而两个问题规约的过程中与不可区分性密不可分。

第四部分主要举了一个例子来说明不可区分性在证明密码体制安全性中的应用。

本文对公钥密码学中的不可区分性理论做了比较简单的总结和归纳，不可区分性在公钥密码学可证明安全理论中有着十分重要的地位，本文对刚刚接触不可区分性的学者有着一定的帮助。

第一部分：基础知识及不可区分性的定义这一部分内容主要介绍一下有关于不可区分性的基础知识，包括密码体制的组成、完善保密密码体制、完美不可区分性的含义以及敌手不可区分性的含义。

首先先给出密码体制的定义：定义1.1 密码体制]1[一个密码体制由三个部分构成：密钥产生算法Gen、加密算法Enc、解密算法Dec。

他们的功能如下：（1）密钥产生算法Gen 是一个概率算法，能够根据方案定义的某种分布选择并输出一个密钥k .（2）加密算法Enc ，输入为密钥k 和明文m ，输出为密文c 。

把使用密钥k 加密明文m 记为Enc k (m ).（3）解密算法Dec ，输入为密钥k 和密文c ，输出为明文m 。

实例解析： p=19； a=13,d=10,a与d均小于 p,符合条件； y = 13^10(mod19)=6; 公钥：y=6 a=13 p=19 私钥：d=10





签名过程： 1.随机选取一个数k，1< k<p-1，且k和p-1互质 2、计算r，r满足：r≡a^k (mod p) 3、待签名信息为m， 计算s≡(m-dr)*(k^(1)) (mod p-1) （r，s）构成对m的签名

一个群被称为有限群，如果它有有限个元素。元素 的数阶叫做群 G 的阶 例如，模19下7的阶为3，[1, 7, 49, 343, 2401, 16807, 117649, 823543, 5764801...]={1,7,11,1,7,11,1,7,11...}这里的 1,7,11循环，实际只有3个元素





群是一个集合G，连同一个运算 "· "，它结合任何两个元素 a 和 b 而形成另一个元素，记为 a · b。符号 "· " 是对具体给出的运算，比如加 法的一般的占位符。要具备成为群的资格，这个集合和运算 (G, · ) 必须 满足叫做群公理的四个要求： 1.封闭性。 对于所有 G 中 a, b，运算 a · b 的结果也在G 中。 2.结合性。 对于所有 G 中的 a, b 和 c，等式 (a · b) · c = a · (b · c) 成立。 3.单位元。 存在 G 中的一个元素 e，使得对于所有 G 中的元素 a，等式 e · a = a · e = a 成立。 4.反元素。 对于每个 G 中的 a，存在 G 中的一个元素 b 使得 a · b = b · a = e， 这里的 e 是单位元。

elgamal密码例题摘要：1.引言2.Elgamal加密算法的基本原理3.Elgamal加密算法的加密和解密过程4.Elgamal密码的例题解析5.总结正文：Elgamal密码是一种公钥加密算法，它是由Taher Elgamal在1985年提出的。

该算法基于离散对数问题，具有较高的安全性和强大的抗攻击性。

它广泛应用于网络通信、电子商务等领域。

下面，我们将通过一个例题来解析Elgamal密码的加密和解密过程。

假设Alice想给Bob发送一条加密信息，信息内容为“Hello, Bob!”。

首先，Alice需要从Bob那里获得公钥，通常是通过一个可信任的第三方机构获取。

Bob的公钥包括一个大的素数p、一个与p互质的整数x以及一个满足特定条件的y。

其中，p和x组成一个公钥对(pk)，y则作为Bob的私钥。

有了Bob的公钥(pk)，Alice就可以开始加密信息了。

加密过程如下：1.Alice随机选择一个整数k，范围在[1, p-1]之间，作为加密密钥。

2.将信息“Hello, Bob!”转换为ASCII编码的数字序列，例如“104 101 108 108 111 44 32 111 114 108 100”。

3.用k对信息中的每个数字进行加密，具体操作是将数字乘以k，然后对p取模。

得到加密后的数字序列。

4.将加密后的数字序列按照[1, p-1]的顺序排列，得到一个新的序列。

5.将新序列中的每个数字都替换为对应的x的k次幂，即x^k。

加密完成后，Alice将加密后的数字序列发送给Bob。

Bob收到信息后，使用自己的私钥y进行解密：1.Bob将收到的加密数字序列中的每个数字都替换为对应的x的-k次幂，即x^(-k)。

2.将解密后的数字序列转换回ASCII编码，得到解密后的信息。

通过这个例题，我们可以看到Elgamal密码的加密和解密过程。

值得注意的是，Elgamal密码的安全性依赖于离散对数问题的难解性。

•该密码体制是基于 该密码体制是基于ECDLP： 该密码体制是基于 ：
–考虑等式 考虑等式Q=kP，其中 、P属于 p(a,b)，k<p 属于E 考虑等式 ，其中Q、 属于 ， –已知 和P，计算 ，是容易的 已知k和 ，计算Q， 已知 –已知 和P，计算 ，是困难的 已知Q和 ，计算k， 已知
13
• 其中有限域 其中有限域GF(p) 、椭圆曲线参数 、 椭圆曲线参数a,b、 点P和阶 都是公开信息 和阶n都是公开信息 和阶
10
В
2、密钥的生成 密钥的生成
在区间[1,n-1]中随机选取一个整数 作 中随机选取一个整数d作 在区间 中随机选取一个整数 为私钥。 为私钥。 • 计算公钥 计算公钥:Q=d*P • 公开密钥 （椭圆曲线上的一个点） 公开密钥:Q（椭圆曲线上的一个点） 而私钥d保密 保密。 而私钥 保密。 •
5
计时攻击
В
• Timing Attacks on Implementations of DH, 假 1995年有人提出了一种非常意想不到的攻击方式：RSA, 年有人提出了一种非常意想不到的攻击方式： 年有人提出了一种非常意想不到的攻击方式 DSS, and Other Systems，1994，Paul C. Kocher 如攻击者对加密者的硬件有充分的了解， 如攻击者对加密者的硬件有充分的了解，而且知道它 对一些特定的消息加密时所需要的时间的话， 对一些特定的消息加密时所需要的时间的话，那么她 可以很快地推导出d。这种攻击方式之所以会成立， 可以很快地推导出 。这种攻击方式之所以会成立， 可研究， 可研究，类似 主要是因为在进行加密时所进行的模指数运算是一个 于ECC中的 中的 位元一个位元进行的，而位元为1所花的运算比位元 位元一个位元进行的，而位元为 所花的运算比位元它 旁道攻击， 旁道攻击， 的运算要多很多， 为0的运算要多很多，因此若能得到多组讯息与其加 的运算要多很多 们是利用硬件 密时间，就会有机会可以反推出私钥的内容。 密时间，就会有机会可以反推出私钥的内容。 实现的特征进 行。

ElGamal算法进⾏加密和解密的基本原理及实现1、准备步骤1）取⼤素数 p 和 g（g < p，g 最好是 p 的素根）注解：若 g 是素数 p 的⼀个素根，则 g mod p, g^2 mod p , …, g^p-1 mod p 是 1 到 p - 1 的排列2）随机选取⼀整数 x （2 <= x <= (p - 2)，(p，g，x) 是私钥）3）计算 y = g^x (mod p) （ (p，g，y) 是公钥）2、加密过程1）随机选取⼀整数 k （2 <= k <= (p - 2) 且 k 与 (p - 1) 互素）2）计算 a = g^k mod p，b = m*y^k mod p（m 为要加密的明⽂）3）密⽂ C = (a, b)3、解密过程1）m = b * a^(-x) mod p注解：b * a^(-x) mod p Ξ m * y^k * g^(-xk) Ξ m * g^(xk) * g^(-xk) Ξ m加密及解密的实现（Java）：import java.util.ArrayList;public class Main {static ArrayList<Integer> suArr = new ArrayList<>();public static void main(String[] args) {int max = 8096, p, g, x, y, k, a, b, buffer_data;char[] m = "abc".toCharArray(); // 加密字符串"abc"ArrayList<Integer> C = new ArrayList<>(); // 加密后的密⽂int size1;suArr.add(2);// 随机取⼀个⼩于2048的素数gfor (int i = 3; i <= 2048; i++) {if (isSuShu(i)) suArr.add(i);}size1 = suArr.size();g = getRanNum(size1);// 随机取⼀个⼤素数pfor (int i = 2049; i <= max; i++) {if (isSuShu(i)) suArr.add(i);}p = getRanNum(suArr.size() - size1, size1);// x的范围是[2,p-2]x = (int)(Math.random() * (p-3))+2;// k的范围是[2,p-2]且k与p-1互素k = (int)(Math.random() * (p-3))+2;while (isHuZhi(k, p-1) != 1) {k = (int)(Math.random() * (p-3))+2;}// y = g^x mod py = myPow(g, x, p);// a = g^k mod pa = myPow(g, k, p);C.add(a);// 特殊数据test// a = 1434;// g=1117;// k=2403;// p=6101;// x=714;// y=2271;// 加密过程，即计算b = m*y^k mod p (m是明⽂)for (char c : m) {C.add((int)c*myPow(y, k, p) % p);}buffer_data = myPow(a, x, p);buffer_data = exGcd(buffer_data, p)[0]; // 求(a^x)^(-1) mod p等价于求a^(-x) mod pif (buffer_data < 0) buffer_data += p;// 将解密后的明⽂输出for (int i = 1; i < C.size(); i++) {System.out.print((char)(C.get(i) * buffer_data % p));}}// 判断⼀个数是否为素数public static boolean isSuShu(int num) {int max = (int) Math.sqrt(num);for (int i = 2; i <= max; i++) {if (num % i == 0)return false;}return true;}// 在素数数组中随机取⼀个数public static int getRanNum(int size) {return suArr.get((int) (Math.random() * (size)));}// 在素数数组中的(left, arr.size())之间随机取⼀个数public static int getRanNum(int size, int left) {return suArr.get((int) (Math.random() * (size)) + left);}// 判断两个数是否互质public static int isHuZhi(int a, int b) {return b == 0 ? a : isHuZhi(b, a % b);}public static int myPow(int a, int b, int m) {int res = 1;a %= m;while (b != 0) {if ((b & 1) == 1)res = (res * a) % m;a = (a * a) % m;b >>= 1;}return res;}public static int getSuGen(int p) {boolean isSuGen;for (int g : suArr) {isSuGen = true;for (int i = 1; i < p; i++) {if (myPow(g, i, p) != i) isSuGen = false;}if (isSuGen) return g;}return 2; // 如果在素数数组中找不到p的素根，则返回⼀个默认值}// 扩展欧⼏⾥得算法求a模b的逆元public static int[] exGcd(int a, int b) {if (b == 0) {int[] arr = new int[]{1, 0};return arr;} else {int[] arr = exGcd(b, a % b);int x = arr[0];arr[0] = arr[1];arr[1] = x - (a / b) * arr[1];return arr;}}}/** 参考：* 素根的定义：a是素数p 的⼀个素根，如果a mod p, a^2 mod p , …, a^p-1 mod p 是1到p-1的排列，称a是P的⼀个素根* 加密时x和k的选取：https:///qq_34490018/article/details/79758620 */。

《现代密码学》练习题（含答案）一、填空题（每空1分，共7分）1. 加密算法的功能是实现信息的保密性。

2. 数据认证算法的功能是实现数据的完整性即消息的真实性。

3. 密码编码学或代数中的有限域又称为伽罗华(Galois)域。

记为GF(pn)4. 数字签名算法可实现不可否认性即抗依赖性。

信息安全基本要求：可用性、保密性、完整性、不可否认性、可控性、真实性。

5. Two-Track-MAC算法基于带密钥的RIPEMD-160。

密钥和输出MAC值都是20B6. AES和Whirlpool算法是根据宽轨迹策略设计的。

7. 序列密码的加密的基本原理是：用一个密钥序列与明文序列进行叠加来产生密文。

8. Rabin密码体制是利用合数模下求解平方根的困难性构造了一种非对称/公钥/双钥密码体制。

1. 现代对称密码的设计基础是：扩散和混淆。

2. 加密和解密都是在密钥控制下进行的。

3. 在一个密码系统模型中，只截取信道上传送信息的攻击方式被称为被动攻击。

4. Caesar密码体制属于单表代换密码体制。

（字母平移）5. 尽管双重DES不等价于使用一个56位密钥的单重DES，但有一种被称为中途相遇攻击的破译方法会对它构成威胁。

（成倍减少要解密的加密文本）6. 设计序列密码体制的关键就是要设计一种产生密钥流的方法。

2. 椭圆曲线密码是利用有限域GF(2n)上的椭圆曲线上点集所构成的群上定义的离散对数系统，构造出的公钥/非对称密码体制。

3. 在公钥密码体制中，加密密钥和解密密钥是不一样的，加密密钥可以公开传播而不会危及密码体制的安全性。

2. 密码学上的Hash函数是一种将任意长度的消息压缩为某一固定长度的消息摘要的函数。

3. 数字签名主要是用于对数字消息进行签名，以防止消息的伪造或篡改，也可以用于通信双方的身份认证。

2. CTR/计数器加密模式与CBC认证模式组合构成CCM模式；GMAX算法与CTR加密模式组合构成GCM模式。

/*α=2,p=7,a=3,x=8,r=5;加密变换Ek(x,r)=(y1,y2)*/#include<iostream>using namespace std;unsigned long moni(int n,unsigned long d) //定义求模逆运算的函数{unsigned long a,b,r,q;long v,w,t;a=n;b=d;t=0;v=1;q=a/b;r=a%b;while(r!=0) //用展转相除法求模逆{a=b;b=r;w=v;v=t-q*v;t=w;q=a/b;r=a%b;}if(v<0)v=n+v;return v;}unsigned long Erjinzhif(int m,int a) //定义二进制求m的a次方运算的函数{unsigned long num;int y,i,sum;int g=0,d[32]={0};sum=0;num=1;while(a>0) //用求二进制的方法求m的a次方，将a化为二进制{sum=a%2;d[g]=sum;g++;a=(int)(a/2);}num=m*m;for(i=g-2;i>=1;i--) //用求出的二进制的各位作指数与原值相乘再求平方{if(d[i]==1) y=m;else y=1;num=num*y;num=num*num;}return num;}void main() //主函数main{int i,p,a,b,c,x,r,y1,y2,m,g;unsigned long x1,y;y1=1;y2=1;m=1;c=1;cout<<"************ElGamal密码算法的应用************"<<endl;cout<<"请输入本原α的值:α=";cin>>b;cout<<"请输入大素数p的值:p=";cin>>p;cout<<"请输入随机整数a(a>=0&&a<=(p-2))的值:a=";cin>>a;cout<<"请输入要发送的消息x的值:x=";cin>>x;cout<<"请输入随机数r(r>=0&&r<=(p-2))的值:r=";cin>>r;for(i=0;i<(a*r);i++){y2=b*y2;y2=y2%p;}for(i=0;i<r;i++){y1=y1*b;y1=y1%p;}y=Erjinzhif(a,y1); //调用求y1的a次方的值的函数x1=moni(p,y); //调用求模逆运算的函数g=(x1*c)%p;c=((x%p)*(y2%p))%p;cout<<"*********************************************"<<endl;cout<<" A发送给B的密文:y=("<<y1<<","<<c<<")"<<endl;cout<<"*********************************************"<<endl;cout<<" B接收到密文解密后明文是:"<<g<<endl; //模逆结果cout<<"*********************************************"<<endl; }。

中山大学密码学与网络安全期末复习题密码编码学与网络安全课程期末复习题(2013)1判断题1.四个主要的信息安全原则是:保密性,完整性,可用性,可追责性.()2.为了保证安全性,密码算法应该进行保密.()3.不可能存在信息理论安全的密码体制.()4.安全是永远是相对的,永远没有一劳永逸的安全防护措施.()5.一次一密体制即使用量子计算机也不能攻破.()6.估计维吉尼亚密文所用密钥字的长度的方法有Kasiski测试法和重合指数法.()7.Simmons囚徒问题说明了密码学的重要应用.()8.对称加密算法的基本原则是扩散(Di?usion)和混淆(Confusion).其中混淆是指将明文及密钥的影响尽可能迅速地散布到较多个输出的密文中.()9.拒绝服务攻击属于被动攻击的一种.()10.Vernam密码不属于序列密码.()11.现代分组密码都是乘法密码,分为Feistel密码和非Feistel密码两类,Feistel密码只可以运用不可逆成分.()12.流密码可以分为同步流密码和异步流密码,其中密钥流的产生并不是独立于明文流和密文流的流密码称为同步流密码.()13.DES算法中对明文的处理过程分3个阶段:首先是一个初始置换IP,用于重排明文分组的64比特数据.然后是具有相同功能的64轮变换,每轮中都有置换和代换运算.最后是一个逆初始置换从而产生64比特的密文.()14.AES算法的密钥长度是128位,分组长度为128位或192位或256位.()15.AES算法的分组长度可以是192比特.()16.AES算法不存在弱密钥和半弱密钥,能有效抵御目前已知的攻击.()期末复习题(2013)第2页(共22页)17.Di?e-Hellman算法的安全性基于离散对数计算的困难性,可以实现密钥交换.()18.常见的公钥密码算法有RSA算法,Di?e-Hellman算法和ElGamal算法.()19.ElGamal加密算法的安全性基于有限域上的离散对数难题.()20.流密码中如果第i个密钥比特与前i?1个明文有关则称为同步流密码.()21.公开密钥密码体制比对称密钥密码体制更为安全.()22.Tripe DES算法的加密过程就是用同一个密钥对待加密的数据执行3次DES算法的加密操作.()23.MD5是一个典型的Hash算法,输出的摘要值的长度可以是128位或者160位.()24.欧拉函数φ(300)=120.()25.Di?e-Hellman密钥交换协议的安全性是基于离散对数问题.()26.PGP协议缺省的压缩算法是ZIP,压缩后的数据由于冗余信息很少,更容易抵御密码分析类型的攻击.()27.我的数字证书是不能在网络上公开的,否则其他人可能假冒我的身份或伪造我的数字签名.() 28.在SSL握手协议的过程中,需要服务器发送自己的数字证书.()期末复习题(2013)第3页(共22页)2填空题1.信息安全中所面临的威胁攻击是多种多样的,一般将这些攻击分为两大类,记和被动攻击.其中被动攻击又分为和.2.主动攻击的特征是,被动攻击的特点是.3.密码学是研究通信安全保密的科学,它包含两个相对独立的分支,即学和学.4.一个保密系统一般是明文,密文,,,五部分组成的.5.密码学的发展过程中,两次质的飞跃分别是指1949年Shannon 发表的和1976年由和两人提出的思想.6.密码系统的分类有很多种,根据加密和解密所使用的密钥是否相同,密码系统可分为和.根据明文的处理方式,密码系统可分为和.7.完善保密性是指.8.Shannon证明了密码体制是绝对安全的.9.破译密码系统的方法有和.10.选择明文攻击是指.11.对称密码体制又称为密码体制,它包括密码和密码.12.古典密码是基于的密码,两类古典密码是密码和密码.13.代换是传统密码体制中最基本的处理技巧,按照一个明文字母是否总是被一个固定的字母代替进行划分,代换密码主要分为两类和.14.Hill密码可以有效抵御攻击,但不能抵御攻击.15.分组密码采用原则和原则来抵抗攻击者对该密码体制的统计分析.16.分组长度为n的分组密码可以看作是{0,1,...,2n?1}到其自身的一个置换,分组长度为n的理想的分组密码的密钥数为.17.有限域的特征一定是,有限域的元素的个数一定是其特征的.18.在今天看来,DES算法已经不再安全,其主要原因是.期末复习题(2013)第4页(共22页)19.DES算法存在个弱密钥和个半弱密钥.20.关于DES算法,密钥的长度(即有效位数)是位,又因其具有性使DES在选择明文攻击下所需的工作量减半.21.分组密码的加解密算法中最关键部分是非线性运算部分,在DES 加密算法的非线性运算部分称为,在AES加密算法的非线性运算部分称为.22.在高级加密标准AES规范中,分组长度是位,密钥的长度是位.23.AES算法支持可变的密钥长度,若密钥长度为256比特,则迭代轮数为,若密钥长度为192比特,则迭代轮数为.24.DES与AES有许多相同之处,也有一些不同之处,譬如AES密钥长度,而DES密钥长度;另外,DES是面向运算,而AES则是面向运算.25.随机序列应具有良好的统计特性,其中两个评价标准是和.26.产生伪随机数的方法有,和.27.序列密码的工作方式一般分为是和.28.消息认证码的作用是和.29.有一正整数除以3,7,11的余数分别为2,3,4,满足此条件的最小正整数是.30.公钥密码体制的思想是基于函数,公钥用于该函数的计算,私钥用于该函数的计算.31.1976年,W.Di?e和M.Hellman在一文中提出了的思想,从而开创了现代密码学的新领域.32.公钥密码体制的出现,解决了对称密码体制很难解决的一些问题,主要体现以下三个方面:问题,问题和问题.33.RSA的数论基础是定理,在现有的计算能力条件下,RSA密钥长度至少是位.34.公钥密码算法一般是建立在对一个特定的数学难题求解上,譬如RSA算法是基于困难性,ElGamal算法是基于的困难性.35.在数字签名方案中,不仅可以实现消息的不可否认性,而且还能实现消息的.期末复习题(2013)第5页(共22页)36.普通数字签名一般包括3个过程,分别是过程,过程和过程.37.1994年12月美国NIST正式颁布了数字签名标准DSS,它是在和数字签名方案的基础上设计的.38.群签名除具有一般数字签名的特点外,还有两个特征:即和.39.盲签名除具有一般数字签名的特点外,还有两个特征:即和.40.在PKI系统中CA中心的主要功能有.期末复习题(2013)第6页(共22页)3选择题1.信息安全的发展大致经历了三个发展阶段,目前是处于阶段.A.通信保密B.信息保障C.计算机安全D.网络安全2.机制保证只有发送方与接受方能访问消息内容.A.保密性B.鉴别C.完整性D.访问控制3.如果消息接收方要确定发送方身份,则要使用机制.A.保密性B.鉴别C.完整性D.访问控制4.机制允许某些用户进行特定访问.A.保密性B.鉴别C.完整性D.访问控制5.下面关于密码算法的阐述,是不正确的.A.对于一个安全的密码算法,即使是达不到理论上的不破的,也应当为实际上是不可破的.即是说,从截获的密文或某些已知明文密文对,要决定密钥或任意明文在计算机上是不可行的.B.系统的保密性不依赖于对加密算法的保密,而依赖于密钥的保密(Kerckho?s原则).C.对于使用公钥密码体制加密的密文,知道密钥的人,就一定能够解密.期末复习题(2013)第7页(共22页)D.数字签名的理论基础是公钥密码体制.6.1949年,发表题为《保密系统的通信理论》的文章,为密码系统建立了理论基础,从此密码学成了一门科学.A.Kerckho?sB.Di?e和HellmanC.ShannonD.Shamir7.一个密码系统至少由明文,密文,加密算法,解密算法和密钥五部分组成,而其安全性是由决定.A.加密算法B.解密算法C.加解密算法D.加解密算法8.计算和估计出破译密码系统的计算量下限,利用已有的最好方法破译它的所需要的代价超出了破译者的破译能力(如时间,空间,资金等资源),那么该密码系统的安全性是.A.无条件安全B.计算安全C.可证明安全D.实际安全9.根据密码分析者所掌握的分析资料的不同,密码分析一般可分为四类,其中攻击者所获信息量最大的是.A.唯密文攻击B.已知明文攻击C.选择明文攻击D.选择密文攻击10.国际标准化组织ISO所提出的信息系统安全体系结构中定义了种安全服务.A.8期末复习题(2013)第8页(共22页)B.7C.11D.511.国际标准化组织ISO所提出的信息系统安全体系结构中定义了种安全机制.A.8B.7C.11D.512.下列攻击属于被动攻击的是.A.窃听B.伪造攻击C.流量分析D.拒绝服务攻击13.下列攻击不属于主动攻击的是.A.窃听B.阻断C.篡改D.伪造14.下面关于密码算法的阐述,是不正确的.A.对于一个安全的密码算法,即使是达不到理论上的不破的,也应当为实际上是不可破的.即是说,从截获的密文或某些已知明文密文对,要决定密钥或任意明文在计算机上是不可行的.B.系统的保密性不依赖于对加密体制或算法的保密,而依赖于密钥(这就是著名的Kerckho?s原则).C.对于使用公钥密码体制加密的密文,知道密钥的人,就一定能够解密.D.数字签名的理论基础是公钥密码体制.15.下列古典密码算法是置换密码的是.期末复习题(2013)第9页(共22页)A.加法密码B.Hill密码C.多项式密码D.栅栏式密码16.字母频率分析法对算法最有效.A.置换密码B.单表代换密码C.多表代换密码D.序列密码17.算法抵抗频率分析攻击能力最强,而对已知明文攻击最弱.A.仿射密码B.维吉利亚密码C.希尔密码D.PlayFair密码18.在仿射密码中,P=C=Z26,假设某一仿射密码的加密变换记为e k(x)=7x+3,则其解密变换为.A.d k(y)=15y?19B.d k(y)=7y+3C.d k(y)=7y?3D.d k(y)=15y+1919.重合指数法对算法的破解最有效.A.置换密码B.单表代换密码C.多表代换密码D.序列密码20.维吉利亚密码是古典密码体制比较有代表性的一种密码,它属于.A.置换密码期末复习题(2013)第10页(共22页)B.单表代换密码C.多表代换密码D.序列密码21.差分分析是针对下面密码算法的分析方法.A.AESB.DESC.RC4D.MD522.DES加密算法采用位有效密钥.A.64B.56C.128D.16823.为保证安全性,在设计分组密码时应该考虑以下哪些问题.A.加密解密变换必须足够复杂,使攻击者除了用穷举法攻击以外,找不到其他简洁的数学破译方法.B.分组长度要足够大.C.密钥量要求足够大.D.加密/解密时间要足够长.24.DES采用了典型的Feistel结构,是一个迭代式的乘积密码结构,其算法的核心是.A.初始置换B.16轮的迭代变换C.逆初始置换D.轮密钥的产生25.记运行DES加密算法时使用的轮密钥为k1,k2,...,k16,则运行DES解密算法时第一轮使用的密钥是.期末复习题(2013)第11页(共22页)A.k1B.k8C.k16D.k426.AES每一轮变换的结构由如下四个不同的模块组成,其中是非线性模块.A.行移位B.列混淆C.字节代换D.轮密钥加27.AES算法中的大部分运算是按字节定义的,把一个字节看成是.A.整数域上的一个元素B.有限域GF(28)上的一个元素C.有限域GF(2)上的一个元素D.有限域GF(216)上的一个元素28.不能用来设计流密码的分组密码算法模式是.A.CFBB.OFBC.CBCD.CTR29.适合文件加密,而且有少量错误时不会造成同步失败,是软件加密的最好选择,这种分组密码的操作模式是指.A.电子密码本模式B.密码分组链接模式C.密码反馈模式D.输出反馈模式30.下列算法属于Hash算法的是.A.HMAC期末复习题(2013)第12页(共22页)B.IDEAC.RIPEMDD.RSA31.Kerberos是80年代中期,麻省理工学院为Athena项目开发的一个认证服务系统,其目标是把认证,记账和的功能扩展到网络环境.A.访问控制B.审计C.授权32.公钥密码学的思想最早由提出.A.EulerB.Di?e和HellmanC.FermatD.Rivest,Shamir和Adleman33.根据所依据的难解问题,除了以外,公钥密码体制分为以下分类.A.大整数分解问题(简称IFP)B.离散对数问题(简称DLP)C.椭圆曲线离散对数问题(简称ECDLP)D.生日悖论34.数字信封是用来解决.A.公钥分发问题B.私钥分发问题C.对称密钥分发问题D.数据完整性问题35.公钥密码主要用来进行数字签名,或者用于实现对称密码体制的密钥分配,而很少用于数据加密,主要原因是.A.公钥密码的密钥太短期末复习题(2013)第13页(共22页)B.公钥密码的效率较低C.公钥密码的安全性不好D.公钥密码抗攻击性较差36.下面不是Hash函数的等价提法.A.压缩信息函数B.哈希函数C.单向散列函数D.杂凑函数37.下面不是Hash函数具有的特性.B.可逆性C.压缩性D.抗碰撞性38.现代密码学中很多应用包含散列运算,而应用中不包含散列运算的是.A.消息完整性B.消息机密性C.消息认证码D.数字签名39.下面不是Hash函数的主要应用.A.文件校验B.数字签名C.数据加密D.认证协议40.MD5算法以位分组来处理输入文本.A.64B.128C.256期末复习题(2013)第14页(共22页)D.51241.SHA1接收任何长度的输入消息,并产生长度为比特的Hash值.A.64B.128C.160D.51242.分组加密算法(如AES)与散列函数算法(如SHA)的实现过称最大不同是.A.分组B.迭代D.可逆43.生日攻击是针对密码算法的分析方法.A.DESB.AESC.RC4D.MD544.下列算法不具有雪崩效应.A.DESB.RC4C.MD5D.RSA45.若Alice想向Bob分发一个会话密钥,采用ElGamal公钥加密算法,那么Alice应该选用的密钥是.A.Alice的公钥B.Alice的私钥C.Bob的公钥D.Bob的私钥期末复习题(2013)第15页(共22页)46.设在RSA的公钥密码体制中,公钥为(e,n)=(13,35),则私钥d=.A.11B.13C.15D.1747.在现有的计算能力条件下,对于非对称密码算法Elgamal,被认为是安全的最小密钥长度是.A.128位B.160位D.1024位48.通信中仅仅使用数字签名技术,不能保证的服务是.A.认证服务B.完整性服务C.保密性服务D.不可否认服务49.Alice收到Bob发给他的一个文件的签名,并要验证这个签名的有效性,那么签名验证算法需要Alice选用的密钥是.A.Alice的公钥B.Alice的私钥C.Bob的公钥D.Bob的私钥50.在普通数字签名中,签名者使用进行信息签名.A.签名者的公钥B.签名者的私钥C.签名者的公钥和私钥D.签名者的私钥期末复习题(2013)第16页(共22页)51.如果发送方用私钥加密消息,则可以实现.A.保密性B.保密性与鉴别C.保密性与完整性D.鉴别52.签名者无法知道所签消息的具体内容,即使后来签名者见到这个签名时,也不能确定当时签名的行为,这种签名称为.A.代理签名B.群签名D.盲签名53.签名者把他的签名权授给某个人,这个人代表原始签名者进行签名,这种签名称为.A.代理签名B.群签名C.多重签名D.盲签名54.PKI的主要理论基础是.A.对称密码算法B.公钥密码算法C.量子密码D.摘要算法55.PKI解决信息系统中的问题.A.身份信任B.权限管理C.安全审计D.数据加密期末复习题(2013)第17页(共22页)56.是PKI体系中最基本的元素,PKI系统所有的安全操作都是通过它来实现的.A.用户私钥B.用户身份C.数字证书D.数字签名57.一个典型的PKI应用系统包括实体.A.认证机构CAB.注册机构RAC.证书及CRL目录库D.用户端软件期末复习题(2013)第18页(共22页)4简答题1.简述密码分析者对密码系统的四种攻击.2.为什么二重DES并不像人们想象的那样可以提高密钥长度到112比特,而相当于57比特?简要说明原因.3.叙述中途相遇攻击(Meet-in-the-Middle Attack).4.简述序列密码算法和分组密码算法的不同.5.简述分组密码的五种操作模式及其特点.6.叙述如何应用费玛小定理(Fermat’s Little Theorem)来测试一个正整数是否为素数?7.叙述Miller-Rabin概率素性测试算法的工作原理.Miller-Rabin概率素性测试算法测试奇整数p的算法描述如下:Write p?1=2k m,where m is odd.Choose a random integer a,such that1≤a≤p?1.Compute b=a m mod p.If b=1mod p then Answer“p is a prime number”and QUIT.For i=0to k?1do–If b=?1mod p then Answer“p is a prime number”and QUIT.–Else b=b2mod pAnswer“p is not a prime number”and QUIT.Here the above Miller-Rabin algorithm is a yes-biased Monte Carlo algorithm for testing compositeness.Show that why it is?In other words,all yes-answers for the compositeness are always correct,but the no-answer for the compositeness(in other words,“p is a prime”)may be incorrect.So you have to prove that when the algorithm says“p is a composite”,then MUST be composite.8.简述链路加密和端对端加密的区别.9.公钥密码体制与对称密码体制相比有什么优点和不足?10.什么是单向函数,什么是单向陷门函数?期末复习题(2013)第19页(共22页)。

模拟练习•多项选择题•判断题一.单项选择题（共40题，每题1分）••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••22.在现有的计算能力条件下，对于非对称密码算法Elgamal，被认为是安全的最小密钥长度是（ D）。

• A.128位• B.160位• C.512位•••••••••••••••••••••28.（D）算法抵抗频率分析攻击能力最强，而对已知明文攻击最弱。

• A.仿射密码•••29.大约在公元前1900年（相当于古代中国的大禹时代），_____的一位石匠在主人的墓室石墙上刻下了一段象形文字，这段描述他的贵族主人一生事迹的文字，被西方密码专家认为是密码学的开端。

（ C）• A.古印度• B.古希腊• C.古埃及• D.古巴比伦••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••单项选择题•多项选择题•判断题••••••••••••••••••••6.以下不属于乘数加密的是（ABD）。

••••••••••••••••••••••••••••13.关于公钥密码体制以下选项中正确的是（BC ）。

• A.公钥加密体制用私钥加密•••••••••••••••••••••••••••••••三.判断题（共20题，每题1分）1.代换密码分为单表代换密码、多表代换密码、转轮密码机。

（1 ）正确错误2.非对称密码体制也称公钥密码体制，即其所有的密钥都是公开的2正确错误3.仿射密码的加密算法是线性变换。

（1 ）正确错误4.通常使用数字签名方法来实现抗抵赖性。

1正确错误5.RSA体制的安全性是基于离散对数问题（2）正确错误6.为了保证安全性，密码算法应该进行保密。

2正确错误7.Rabin是抗选择密文攻击的（1 ）正确错误8.椭圆曲线密码体制的安全性是基于椭圆曲线离散对数问题的困难性（1）正确错误9.数字签名是在所传输的数据后附加上一段和传输数据毫无关系的数字信息。

16
ELGamal公钥密码

1985年，El Gamal 在Differ-Hellman密钥交换协议基础上改 进而来 依赖数学难题：DLP (Discrete Logarithm Problem)
17
ELGamal公钥密码

算法
生成密钥对GenKeyPair 加密Encrypt 解密Decrypt
离散对数问题
（备注）算法复杂度：
例如：
离散对数问题

离散对数问题 (Discrete Logarithm Problem)，简称 DLP
Given α, y , p, to find x s.t. αx=y (mod p) e.g.


α=2 , y=3 , p=23 , x=？ α=2 , y=97206 , p=136943 , x=？
24
ELGamal公钥密码

算法可还原性证明
C2 V-1 mod p ＝(UM)V-1 mod p ＝UM（C1 d）-1 mod p ＝UM（（αk）d）-1 mod p ＝UM（（αd）k）-1 mod p ＝UM（（y）k）-1 mod p ＝UM（U）-1 mod p ＝M mod p
25
27
ELGamal公钥密码

安全性


针对k重复使用的攻击方法
攻击1（假设攻击者掌握k）如果 k不是一次性的，时间长了 就可能被攻击者获得。又因y是公开密钥，攻击者自然知道。 于是攻击者就可以根据 U＝y k mod p计算出U，进而利 用Euclid算法求出U－1。又因为攻击者可以获得密文C2，于是 可根据式C2＝UM mod p通过计算U－1C2得到明文M。 攻击2 设用同一个k加密两个不同的明文M和M’，相应的密文 为（C1 ，C2）和（C1’，C2’）。因为y k 不变，所以C2∕C2’＝ M∕M’，如果攻击者知道M，则很容易求出M’。

ElGamal加密算法是一种非对称加密算法，其中涉及到一个重要的数学概念——乘法裙的生成元。

在本文中，我们将探讨ElGamal乘法裙的生成元，探究其在密码学中的重要性以及应用。

1. 什么是乘法裙的生成元？乘法裙是一个在数学中十分重要的概念，它指的是在模n的整数域下，关于乘法的同余类构成的集合，并且构成一个裙。

具体来说，对于一个模n的整数域下的元素a，如果存在一个整数g，满足g的若干次幂对n取余都不会重复且能够覆盖整数域中的所有数，那么我们称g是模n乘法裙的生成元。

2. ElGamal加密算法中的乘法裙的生成元ElGamal加密算法中的乘法裙的生成元是该算法的安全性和有效性的基础之一。

在ElGamal加密算法中，首先需要选择一个大素数p和一个生成元g作为加密参数，接着按照一定的规则生成密钥对，并且通过计算生成密文。

在解密过程中，也需要使用到乘法裙的生成元。

3. 乘法裙的生成元在密码学中的重要性乘法裙的生成元在密码学中扮演着至关重要的角色。

在实际应用中，大素数p和生成元g的选择对ElGamal算法的安全性有着直接的影响。

乘法裙的生成元的存在性和性质直接影响了ElGamal算法的有效性，对于密钥的生成和加解密过程都有着重要的作用。

4. 乘法裙的生成元的应用除了在ElGamal加密算法中的应用之外，乘法裙的生成元还在其他密码学算法中得到了广泛的应用。

比如在椭圆曲线密码学中，也需要通过乘法裙的生成元来生成密钥对和进行加解密操作。

通过对乘法裙的生成元的深入理解，我们能够更好地理解和应用各种密码学算法，提高信息安全性。

对于乘法裙的生成元的研究也有助于揭示密码学的更深层次的数学原理，对密码学理论和实践都有着重要的意义。

乘法裙的生成元是密码学中一个非常重要的概念，它直接影响着密码算法的安全性和有效性。

通过对乘法裙的生成元的研究，我们能够更好地理解和应用密码学算法，提高信息安全性。

希望本文能够帮助读者更好地理解乘法裙的生成元在密码学中的重要性。

elgamal算法例题一、引言Elgamal算法是一种公钥加密算法，被广泛应用于数字签名、密钥交换和数据加密等领域。

本例题将介绍Elgamal算法的基本原理、实现步骤和示例代码。

二、算法原理Elgamal算法基于大数分解难题和离散对数问题。

它通过一对公钥和私钥来实现加密和解密操作。

公钥包括一个随机大数N和一个元组g，私钥为一对整数a 和b。

加密过程使用公钥N和元组g进行加密，解密过程使用私钥a和b进行解密。

三、实现步骤1. 选择一个大素数p和模m的值g。

2. 生成一对随机的公钥N和私钥a，满足N < g^a < p。

3. 选择一个秘密值b，满足b为整数且g^b = a mod p。

4. 将公钥N和私钥b用于加密操作，得到密文c。

5. 将密文c发送给接收方。

6. 接收方使用私钥a和公钥N进行解密操作，得到明文m。

四、示例代码以下是一个使用Python实现的Elgamal算法示例代码：```pythonimport randomimport math# 参数设置p = 10**15 + 7 # 大素数g = 5 * p + 7 # 元组值m = 2 * p + 5 # 明文值N = random.randint(2, p - 2) # 公钥值a = math.gcd(m, N) # 计算私钥ab = random.randint(1, p - 1) # 秘密值c = pow(g, b, p) % p # 加密密文值# 加密函数def encrypt(plain_text):return (pow(g, plain_text, p) % p) - N# 解密函数def decrypt(cipher_text):return pow((cipher_text + N) % (p - 2), (p - 2) // (p - m), p) % m - b * m // p % m + m - m % p # 省略中间计算过程，只展示关键部分代码# 测试代码print("明文：", m)print("公钥：", N, "和元组g：", g)cipher_text = encrypt(m)print("密文：", cipher_text)plain_text = decrypt(cipher_text)print("解密结果：", plain_text)```五、总结本例题介绍了Elgamal算法的基本原理、实现步骤和示例代码。