九年级数学(人教版)上册 同步练习：24.2.1 点和圆的位置关系

九年级数学上册第二十四章圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系同步检测（含解析）（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第二十四章圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系同步检测（含解析）（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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24.2。

1 点和圆的位置关系测试时间：30分钟一、选择题1.(2018广东广州花都期末)☉O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA=4 cm,则点A与圆O的位置关系为( )A。

点A在圆上B。

点A在圆内 C.点A在圆外D。

无法确定2。

(2018北京门头沟期末）已知△ABC中，AC=3，CB=4,以点C为圆心，r为半径作圆,如果点A、点B只有一个点在圆内，那么半径r的取值范围是( ) A。

r〉3 B。

r≥4 C.3<r≤4D。

3≤r≤43.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则等腰直角三角形的直角边长为( )A。

2B。

2—2 C。

2— D.-1二、填空题4。

（2017上海普陀一模）已知点P在半径为5的☉O外，如果设OP=x，那么x的取值范围是.5.（2018江苏徐州睢宁月考）正方形ABCD的边长为2 cm，以A为圆心,2 cm 为半径作☉A,则点B在☉A;点C在☉A;点D在☉A。

6。

我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距。

如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB=∠ACD=90°,点D在边BC的延长线上,BC=DC=3，∴BD=6，如果BC=DC=3,那么△ABC和△ACD的外心距是.三、解答题7.如图,☉O是△ABC的外接圆，AC是直径,过O作OD∥BC交AB于点D。

新人教版九年级数学上册同步练习：24.2.1 点和圆的位置关系知能演练提升能力提升1.用反证法证明“已知平面内的三条直线a,b,c,若a∥b,c与a相交,则c与b也相交”时,第一步应假设()A.c与a平行B.c与b相交C.c与b不相交D.以上都不对2.A,B,C是平面内的三点,AB=3,BC=3,AC=6,下列说法正确的是()A.能画一个圆,使A,B,C都在圆上B.能画一个圆,使A,B在圆上,C在圆外C.能画一个圆,使A,C在圆上,B在圆外D.能画一个圆,使B,C在圆上,A在圆内3.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(1,4),(5,4),(1,-2),则△ABC外接圆的圆心坐标是()A.(2,3)B.(3,2)C.(1,3)D.(3,1)4.有两个圆的圆心都是点O,其半径分别是2 cm和6 cm,若点P在小圆外且在大圆内,则OP的取值范围是.5.若O为△ABC的外心,且∠BOC=60°,则∠BAC的度数为.6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AB=13,AC=5,以点C为圆心,为半径的圆和点A,B,D的位置关系是怎样的?★7.已知线段AB和直线l,过A,B两点作圆,并且使圆心在直线l上.(1)当AB∥l时,这样的圆能作几个?(2)当AB与直线l斜交时,这样的圆能作几个?(3)当AB与直线l垂直,且直线l不过线段AB的中点时,这样的圆能作几个?(4)当直线l是线段AB的垂直平分线时,这样的圆能作几个?创新应用★8.阅读下面材料:对于平面图形A,如果存在一个圆,使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径,则称图形A被这个圆所覆盖.对于平面图形A,如果存在两个或两个以上的圆,使图形A上任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径,则称图形A被这些圆所覆盖.如图中的三角形被一个圆所覆盖,四边形被两个圆所覆盖.回答下列问题:(1)边长为1 cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖,r的最小值是 cm;(2)边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖,r的最小值是 cm;(3)边长分别为2 cm,1 cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖,r的最小值是cm,这两个圆的圆心之间的距离是 cm.答案：能力提升1.C2.B3.D4.2 cm<OP<6 cm因为点P在小圆外,所以OP>2 cm.又点P在大圆内,所以OP<6 cm.5.30°或150°6.解:在Rt△ABC中,∵AC=5>,∴点A在圆外.∵∠ACB=90°,AB=13,AC=5,∴CB==12>.∴点B在圆外.∵S△ABC=AB·CD=AC·CB,∴CD=.∴点D在圆上.7.解:(1)当AB∥l时,线段AB的垂直平分线与直线l有唯一的公共点,这样的圆可作一个.如图①.(2)当AB与直线l斜交时,线段AB的垂直平分线与直线l有唯一的公共点,这样的圆可作一个.如图②.(3)当AB与直线l垂直,且直线l不过线段AB的中点时,线段AB的垂直平分线与直线l没有公共点,这样的圆不存在.如图③.(4)当直线l是线段AB的垂直平分线时,直线l上的任一点都可作圆心,这样的圆有无数个.如图④.创新应用8.(1)(2)(3) 1。

人教版九年级上册数学24.2.1 点和圆的位置关系同步测试一．选择题1．在平面直角坐标系中，⊙O的直径为10，若圆心O为坐标原点，则点P（﹣8，6）与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．无法确定2．用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设（）A．∠B≥90°B．∠B＜90°C．∠B＞90°D．AB≠AC3．已知⊙O的半径为6，点A与点O的距离为5，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．不确定4．如图，已知AC是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠DBC＝32°，则∠BCD＝（）A．113°B．103°C．58°D．45°5．已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠B＝60°，∠C＝50°，则∠BAD的度数是（）A．70°B．40°C．60°D．50°6．已知点C为线段AB延长线上的一点，以A为圆心，AC长为半径作⊙A，则点B与⊙A的位置关系为（）A．点B在⊙A外B．点B在⊙A上C．点B在⊙A内D．不能确定7．如图，⊙O为△ABC的外接圆，若∠BAC＝64°，则∠OBC等于（）A．36°B．24°C．26°D．32°8．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55°B．65°C．75°D．60°9．如图，△ABC为圆O的内接三角形，AB为圆O的直径，点D在圆O上，∠BAC＝35°，则∠ADC的度数为（）A．45°B．65°C．55°D．50°10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝50°，则∠ABO的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．45°二．填空题11．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为5，则点P（3，﹣4）在⊙O．（填“内”、“上”或“外”）平12．用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是．13．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD＝21°，则∠A的度数为．14．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的直径长为．15．面直角坐标系中，以原点O为圆心，2为半径作⊙O，则点A（2，2）与⊙O的位置关系为．三．解答题16．如图，网格纸中每个小正方形的边长为1，一段圆弧经过格点．（1）该图中弧所在圆的圆心D的坐标为；．（2）根据（1）中的条件填空：①圆D的半径＝（结果保留根号）；②点（7，0）在圆D（填“上”、“内”或“外”）；③∠ADC的度数为．17．如图，⊙O是地球的轴截面（把地球的轴截面近似地看成圆形），点P表示人造通讯卫星，已知从点P观测到地球表面的最近距离为PA＝akm，最远距离为PB＝bkm，其中b＞a．用a、b表示地球的半径．18．已知线段AB＝6cm．（1）画半径为4cm的圆，使它经过A、B两点，这样的圆能画几个？（2）画半径为3cm的圆，使它经过A、B两点，这样的圆能画几个？（3）画半径为2cm的圆，使它经过A、B两点，这样的圆能画几个？参考答案1、B2、A3、B4、B5、B6、C7、C8、B9、C 10、B11．解：∵圆心P的坐标为（3，﹣4），∴OP＝＝5．∵⊙O的半径为5，∴点P（3，﹣4）在⊙O上．故答案为：上．12．解：用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是假设至少有两个内角是钝角，故答案为：至少有两个内角是钝角．13．解：∵△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠CBD＝21°，∴∠A＝∠D＝90°﹣21°＝69°．故答案为：69°14．解：根据题意得：斜边是AC，即外接圆直径＝＝＝10，这个三角形的外接圆的直径长为10，故答案为：10．15．解：∵点A（2，2）∴AO＝2，∵以原点O为圆心，2为半径作⊙O，∴2＞2，∴点A（2，2）与⊙O的位置关系为：圆外．故答案为：圆外．16．解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心D的坐标为（2，0）；（2）①圆D的半径＝＝2，②点（7，0）在圆D外；③∠ADC的度数为90°．故答案为：（2，0），2，外，90°．17．解：连接BO，延长PA一定交于点O，由题意可得：∠PBO＝90°，则设BO＝x，故AO＝x，则（a+x）2＝x2+b2，整理可得：x＝，即地球的半径为：．18．解：（1）这样的圆能画2个．如图1：作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，4cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以4cm 为半径作圆，则⊙O1和⊙O2为所求；（2）这样的圆能画1个．如图2：作AB的垂直平分线l，交AB于O点，然后以O为圆心，以3cm为半径作圆，则⊙0为所求；（3）这样的圆不存在．。

人教版九年级数学上册《24.2 点和圆直线和圆的位置关系》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点1点与圆的位置关系1. 点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r点P到圆心的距离为OP＝d点P在⇔d＞r点P在⇔d＝r点P在⇔d＜r。

2.三点圆：不在直线上的三个点一个圆。

3.三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆这个圆叫做三角形的圆．外接圆的圆心是三角形三条边的的交点叫做这个三角形的外心。

考点2直线和圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：（1）直线和圆有两个公共点时我们说这条直线和圆．这条直线叫做圆的线。

（2）直线和圆只有一个公共点时我们说这条直线和圆．这条直线叫做圆的线这个点叫做点。

（3）直线和圆没有公共点时我们说这条直线和圆。

（4）设⊙O的半径为r圆心O到直线l的距离d直线l和⊙O⇔d＜r直线l和⊙O⇔d＝r直线l和⊙O⇔d＞r。

2.切线的判定定理和性质定理（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线。

（2）切线的性质定理：圆的切线于过切点的半径。

3.切线长定理：（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上这点和点之间线段的长叫做这点到圆的切线长。

（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线它们的切线长这一点和圆心的连线两条切线的夹角。

4.内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的．内切圆的圆心是三角形三条的交点叫做三角形的内心。

限时训练:一选择题：在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的。

1.(2024·全国·同步练习)以点P(1,2)为圆心r为半径画圆与坐标轴恰好有三个交点则r应满足( )A. r=2或√ 5B. r=2C. r=√ 5D. 2≤r≤√ 52.(2024·全国·同步练习)如图在△ABC中O是AB边上的点以O为圆心OB为半径的⊙O与AC相切于点D BD平分∠ABC AD=√ 3OD AB=12CD的长是( )A. 2√ 3B. 2C. 3√ 3D. 4√ 33.(2024·江苏省·同步练习)下列命题中真命题的个数是( ) ①经过三点可以作一个圆②一个圆有且只有一个内接三角形③一个三角形有且只有一个外接圆④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等⑤直角三角形的外心是三角形斜边的中点。

24.2点和圆、直线和圆的位置关系24．2.1点和圆的位置关系01基础题知识点1点与圆的位置关系1．若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A与⊙O的位置关系是(C) A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定2．(云南中考模拟)已知⊙O半径为6，点P在⊙O内，则OP长可能是(A) A．5 B．6 C．7 D．83．已知⊙O的半径为6 cm，点P在圆外，则线段OP的长度的取值范围是OP＞6_cm．4．已知⊙O的半径为7 cm，点A为线段OP的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点A与⊙O的位置关系．(1)OP＝8 cm；(2)OP＝14 cm；(3)OP＝16 cm.解：(1)在圆内；(2)在圆上；(3)在圆外．知识点2过不在同一直线上的三点作圆5．下列说法中，正确的是(D)A．经过三个点一定可以作一个圆B．经过四个点一定可以作一个圆C．经过圆心且平分弦的直线一定垂直于这条弦D．三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等6．直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点上．若直角三角形两直角边长为6和8，则该直角三角形外接圆的面积为25π．7．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用两次就可以找到圆形工件的圆心．知识点3反证法8．如图，已知E为直线l外一点，求证：过E点只能有一条直线垂直于直线l.用反证法证明这个命题的步骤如下：①在△EFG中，∠1＋∠2＋∠3＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾；②假设过E点有两条直线EF、EG分别垂直于直线l于F、G两点；③则∠2＝90°，∠3＝90°；④故过E点只有一条直线垂直于直线l.证明步骤的正确顺序是(C)A．①②③④B．①③②④C．②③①④D．②③④①9．用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°.则有∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾．因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°.02中档题10．(通辽中考)在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，当点B在⊙A内时，实数a的取值范围在数轴上表示正确的是(D)11．用反证法证明“两条直线相交只有一个交点”应该先假设(A)A．两条直线相交至少有两个交点B．两条直线相交没有两个交点C．两条直线平行时也有一个交点D．两条直线平行没有交点12．如图，△ABC的外接圆圆心的坐标是(－2，－1)．13．若O为△ABC的外心，且∠BOC＝60°，则∠BAC＝30°或150°．14．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，斜边AB边上的高为CD，若以点C为圆心，分别以R1＝2，R2＝2.4，R3＝3为半径作⊙C1，⊙C2，⊙C3，试判断点D与这三个圆的位置关系．解：由勾股定理得斜边：AB ＝AC 2＋BC 2＝5，由面积公式得：CD ＝2.4，∴d ＝CD ＝2.4.∴d>R 1，d ＝R 2，d<R 3.∴点D 在⊙C 1的外部，在⊙C 2上，在⊙C 3的内部．15．如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A ，B ，C.(1)用尺规作图法找出BAC ︵所在圆的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC 是等腰三角形，底边BC ＝8 cm ，腰AB ＝5 cm .求圆片的半径R.解：(1)分别作AB ，AC 的垂直平分线，设交点为O ，则O 为所求圆的圆心，如图．(2)连接AO 交BC 于E.∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，BE ＝12BC ＝4. 在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝52－42＝3.连接OB ，在Rt △BEO 中，OB 2＝BE 2＋OE 2，即R 2＝42＋(R －3)2，解得R ＝256. 即所求圆片的半径为256cm .03 综合题16．已知：如图1，在△ABC 中，BA ＝BC ，D 是平面内不与A ，B ，C 重合的任意一点，∠ABC ＝∠DBE ，BD ＝BE.图1图2(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE.又∵BA＝BC，BD＝BE，∴△ABD≌△CBE(SAS)．(2)四边形BECD是菱形．证明：∵△ABD≌△CBE，∴CE＝AD.∵点D是△ABC的外接圆圆心，∴DA＝DB＝DC.又∵BD＝BE，∴BD＝BE＝EC＝CD.∴四边形BECD是菱形．。

1《24.2.1 点和圆的位置关系》一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A ．过一点A 的圆的圆心可以是平面上任意点B ．过两点A 、B 的圆的圆心在一条直线上C ．过三点A 、B 、C 的圆的圆心有且只有一点D ．过四点A 、B 、C 、D 的圆不存在2．若△ABC 的外接圆的圆心在△ABC 的内部，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，则它的外心与顶点C 的距离为（ ） A ．5cm B ．6cm C ．7cm D ．8cm4．如图所示，一圆弧过方格的格点A 、B 、C ，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）A ．（﹣1，2）B ．（1，﹣1）C ．（﹣1，1）D ．（2，1）5．Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A 为圆心，AC 为半径作⊙A ，那么斜边中点D 与⊙A 的位置关系是（ ）A ．点D 在⊙A 外B ．点D 在⊙A 上C ．点D 在⊙A 内 D ．无法确定6．若⊙A 的半径为5，圆心A 的坐标是（3，4），点P 的坐标是（5，8），你认为点P 的位置为（ ） A ．在⊙A 内 B ．在⊙A 上 C ．在⊙A 外 D ．不能确定 7．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠B=30°，AC=，则⊙O 的直径为（ ）2A ．1B ．C ．2D ．8．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）A ．有一个内角小于60°B ．每一个内角都小于60°C ．有一个内角大于60°D ．每一个内角都大于60° 二、填空题9．点A 在以O 为圆心，3cm 为半径的⊙O 内，则点A 到圆心O 的距离d 的范围是______． 10．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2cm ，BC=4cm ，CM 为中线，以C 为圆心，cm 为半径作圆，则A 、B 、C 、M 四点在圆外的有______，在圆上的有______，在圆内的有______．11．若AB=4cm ，则过点A 、B 且半径为3cm 的圆有______个．12．在△ABC 中，BC=24cm ，外心O 到BC 的距离为6cm ，则△ABC 外接圆的半径为______． 13．一点和⊙O 上的最近点距离为4cm ，最远距离为9cm ，则这个圆的半径是______．14．阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是______ cm ； （2）边长为1cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是______ cm ．15．若Rt △ABC 的两条直角边a ，b 是方程x 2﹣3x+1=0的两根，则Rt △ABC 的外接圆面积是______． 三、解答题16．已知圆的半径等于5cm ，根据下列点P 到圆心的距离：（1）4cm ；（2）5cm ；（3）6cm ，判定点P 与圆的位置关系，并说明理由．17．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3m，AC=4m，以B为圆心，以BC为半径作⊙B，D、E是AB、AC中点，A、C、D、E分别与⊙O有怎样的位置关系？（画出图形，写过程）18．（教材变式题）如图所示，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC外接圆的半径．19．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．20．某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限．（1）按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图；（2）按平行四边形设计，利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图；（3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由．3《24.2.1 点和圆的位置关系》参考答案与试题解析一、选择题1．下列说法正确的是（）A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B．过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点D．过四点A、B、C、D的圆不存在【解答】解：A、过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点（A点外），故本选项错误，B、过两点A、B的圆的圆心在一条直线上，错误，C、正确，D、过四点A、B、C、D的圆可以存在，故本选项错误，故选：B．2．若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定【解答】解：△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是锐角三角形．故选A．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【解答】解：∵∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，∴AB==10cm，∵Rt△ABC的外心为斜边AB的中点，∴Rt△ABC的外接圆半径为5cm，∴它的外心与顶点C的距离为5cm．故选A．454．如图所示，一圆弧过方格的格点A 、B 、C ，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）A ．（﹣1，2）B ．（1，﹣1）C ．（﹣1，1）D ．（2，1） 【解答】解：如图所示， ∵AW=1，WH=3， ∴AH==；∵BQ=3，QH=1， ∴BH==；∴AH=BH ， 同理，AD=BD ，所以GH 为线段AB 的垂直平分线， 易得EF 为线段AC 的垂直平分线， H 为圆的两条弦的垂直平分线的交点， 则BH=AH=HC ， H 为圆心．于是则该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）． 故选C ．65．Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A 为圆心，AC 为半径作⊙A ，那么斜边中点D 与⊙A 的位置关系是（ ）A ．点D 在⊙A 外B ．点D 在⊙A 上C ．点D 在⊙A 内 D ．无法确定 【解答】解：根据勾股定理求得斜边AB==2，则AD=，∵＞2，∴点在圆外． 故选A ．6．若⊙A 的半径为5，圆心A 的坐标是（3，4），点P 的坐标是（5，8），你认为点P 的位置为（ ） A ．在⊙A 内 B ．在⊙A 上 C ．在⊙A 外 D ．不能确定 【解答】解：∵AP==2＜5，∴点P 在⊙A 内， 故选A ．7．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠B=30°，AC=，则⊙O 的直径为（ ）A ．1B ．C ．2D ．【解答】解：作直径AD ，连结CD ，如图， ∵AD 为直径， ∴∠ACD=90°， ∵∠D=∠B=30°， ∴AD=2AC=2．故选D ．78．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）A ．有一个内角小于60°B ．每一个内角都小于60°C ．有一个内角大于60°D ．每一个内角都大于60°【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时， 应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即每一个内角都大于60°． 故选：D ． 二、填空题9．点A 在以O 为圆心，3cm 为半径的⊙O 内，则点A 到圆心O 的距离d 的范围是 0≤d ＜3cm ． 【解答】解：∵点A 在以O 为圆心，3cm 为半径的⊙O 内， ∴点A 到圆心O 的距离d 的范围是：0≤d ＜3cm ． 故答案为：0≤d ＜3cm ．10．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2cm ，BC=4cm ，CM 为中线，以C 为圆心，cm 为半径作圆，则A 、B 、C 、M 四点在圆外的有 点B ； ，在圆上的有 点M ； ，在圆内的有 点A 、C ． ．【解答】解：∵△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2cm ，BC=4cm ， ∴AB==2，∵CM 为中线， ∴CM=AB=，8∴AC ＜cm ，BC ＞cm ，∴在圆外的有点B ，在圆上的有点M ，在圆内的有点C 和点A ， 故答案为：点B ； 点M ； 点A 、C ．11．若AB=4cm ，则过点A 、B 且半径为3cm 的圆有 两 个．【解答】解：这样的圆能画2个．如图，作AB 的垂直平分线l ，再以点A 为圆心，3cm 为半径作圆交l 于O 1和O 2，然后分别以O 1和O 2为圆心，以3cm 为半径作圆， 则⊙O 1和⊙O 2为所求圆．故答案为：两．12．在△ABC 中，BC=24cm ，外心O 到BC 的距离为6cm ，则△ABC 外接圆的半径为 ．【解答】解：过O 作OD ⊥BC ，由垂径定理得， BD=BC=12cm ，在Rt △OBD 中，OD=6cm ，BD=12cm ， ∴OB==cm ，即△ABC 外接圆的半径为cm ．13．一点和⊙O 上的最近点距离为4cm ，最远距离为9cm ，则这个圆的半径是 6.5cm 或2.5cm ．9【解答】解：点P 应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点P 在圆内时，最近点的距离为4cm ，最远点的距离为9cm ，则直径是4+9=13cm ，因而半径是6.5cm ；②当点P 在圆外时，最近点的距离为4cm ，最远点的距离为9cm ，则直径是9﹣4=5cm ，因而半径是2.5cm ．故答案为6.5cm 或2.5cm ．14．阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖．回答下列问题： （1）边长为1cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是cm；（2）边长为1cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是cm ．【解答】解：（1）正方形ABCD 的边长为1cm ，则正方形ABCD 被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值为其外接圆的半径，如图1，正方形ABCD 的外接圆为⊙0， ∵∠B=90°， ∴AC 为直径， ∴AC=AB=，∴OA=，∴r 的最小值是cm ； （2）边长为1cm 的等边三角形ABC 被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值为其外接圆的半径，如图2，等边三角形ABC 的外接圆为⊙0， 连结OB ，作OD ⊥BC 于D ， ∵点O 为等边三角形ABC 的外心， ∴OB 平分∠ABC ， ∴∠OBD=30°，10∵OD ⊥BC ， ∴BD=BC=，在Rt △BOD 中，∵cos ∠OBD=，∴OB===，∴r 的最小值是cm ． 故答案为；．15．若Rt △ABC 的两条直角边a ，b 是方程x 2﹣3x+1=0的两根，则Rt △ABC 的外接圆面积是π．【解答】解：∵圆的半径r=c ，根据两直角边a 、b 分别是一元二次方程x 2﹣3x+1=0的两根，可得 a+b=3，a •b=1，∴c 2=a 2+b 2=（a+b ）2﹣2a •b=7， ∴Rt △的外接圆的面积为πr 2=π×（）2=π．故答案为：π． 三、解答题11 16．已知圆的半径等于5cm ，根据下列点P 到圆心的距离：（1）4cm ；（2）5cm ；（3）6cm ，判定点P 与圆的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）当d=4 cm 时，∵d ＜r ，∴点P 在圆内；（2）当d=5 cm 时，∵d=r ，∴点P 在圆上；（3）当d=6 cm 时，∵d ＞r ，∴点P 在圆外．17．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3m ，AC=4m ，以B 为圆心，以BC 为半径作⊙B ，D 、E 是AB 、AC 中点，A 、C 、D 、E 分别与⊙O 有怎样的位置关系？（画出图形，写过程）【解答】解：∵BC=3=R ，∴点C 在⊙B 上，∵AB=5＞3，∴点A 在⊙B 外，∵D 为BA 中点，∴， ∴点D 在⊙B 内，∵E 为AC 中点，∴， 连结BE ，∴BE===＞3m ， ∴E 在⊙B 外．1218．（教材变式题）如图所示，△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC 外接圆的半径．【解答】解：如图，作AD ⊥BC ，垂足为D ，则O 一定在AD 上，所以AD==8；设OA=r ，OB 2=OD 2+BD 2，即r 2=（8﹣r ）2+62，解得r=．答：△ABC 外接圆的半径为．19．如图，AD 为△ABC 外接圆的直径，AD ⊥BC ，垂足为点F ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD ．（1）求证：BD=CD ；（2）请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由．13 【解答】（1）证明：∵AD 为直径，AD ⊥BC ，∴由垂径定理得：∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD ．（2）解：B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上．理由：由（1）知：，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠4=∠5，∴∠DBE=∠DEB ，∴DB=DE ．由（1）知：BD=CD∴DB=DE=DC ．∴B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上．（7分）20．某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A 、B 、C 上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限．（1）按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图；（2）按平行四边形设计，利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图；（3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由．14【解答】解：（1）（2）；（3）连接OB ，OA ，并延长AO 交BC 于D ， ∵r=OB==， ∴S ⊙O =πr 2=≈16.75，又S 平行四边形=2S △ABC =2××42×sin60°=8≈13.86， ∵S ⊙O ＞S 平行四边形，∴选择建圆形花坛面积较大．15。

人教版数学九年级上册同步课时训练第二十四章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系一、选择题1. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离d不大于r，则点P()A. 在⊙O内B. 在⊙O外C. 不在⊙O内D. 不在⊙O外2. 已知矩形ABCD的边AB＝15，BC＝20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是()A. r≥15B. 15＜r≤20C. 15＜r＜25D. 20≤r＜253. 下列说法不正确的是()A. 经过一点的圆有无数个B. 经过两点的圆有无数个C. 经过不在同一条直线上的三个点可确定一个圆D. 过四点一定能作一个圆4. 如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 下列说法中，正确的是()A. 三点确定一个圆B. 圆有且只有一个内接三角形C. 三角形的外心到三角形三边的距离相等D. 三角形有且只有一个外接圆6. 下列四边形的四个顶点，一定可在同一个圆上的是()A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 梯形7. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应选假设()A. 有一个锐角小于45°B. 每一个锐角都小于45°C. 有一个锐角大于45°D. 每一个锐角都大于45°8. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是()A. 第①块B. 第②块C. 第③块D. 第④块第8题第9题9. 如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点.在以下判断中，不正确的是()A. 当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B. 当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC. 当PO⊥AC时，∠ACP＝30°D. 当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形10. 如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点P，OP＝23，则⊙O的半径为()A. 43B. 63C. 9D. 1211. 已知⊙O的半径r＝5，圆心O到直线l的距离OA＝3，点B，C，D在直线l上，且AB＝2，AC＝4，AD＝5，则点B在⊙O，点C在⊙O，点D在⊙O.12. AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点P为直线AB所在直线上一点，且∠CPO＝60°，则点P在⊙O的(填“内部”“外部”或“圆上”).13. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC长为.第13题第14题14. 如图是一把T字形木工尺，已知AD垂直平分BC，AD＝BC＝40cm，则过A，B，C三点的圆的半径是cm.15. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为6cm和8cm，那么这个直角三角形的外接圆半径为，外接圆面积为.16. 已知点A，B，经过点A，B作圆，则半径为5cm的圆有.17. 已知⊙O的半径为1，点P与O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d＝0有两个相等实根，则点P在.18. 求证：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.19. 用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角.20. 小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若△ABC中AB＝8m，AC＝6m，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积.21. 如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，O是外心，则△ABC的外接圆的面积是多少？答案1. D2. C3. D4. C5. D6. B7. D8. B9. C 10. A11. 内 上 外12. 内部13. 214. 2515. 5cm 25πcm 216. 当AB ＞10cm 时，不能作圆；当AB ＝10cm 时，只能作1个圆；当0＜AB ＜10cm 时，能作2个圆17. 圆上18. 解：已知：如图所示，直线AB ∥EF ，CD ∥EF .求证：AB ∥CD .证明：假设AB 与CD 不平行，则直线AB 与CD 相交，设它们的交点为P ，于是经过点P 就有两条直线(AB ，CD )都和直线EF 平行，这就与经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行相矛盾，∴假设不能成立，故AB ∥CD .19. 解：已知：在△ABC 中，AB ＝AC .求证：∠B ，∠C 必定是锐角.证明：在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .假设∠B 不是锐角，则∠B 是直角或钝角.(1)若∠B 是直角，即∠B ＝90°，则∠C ＝90°，故∠A ＋∠B ＋∠C ＞180°.这与三角形的内角和定理矛盾，所以∠B 不是直角.(2)若∠B 是钝角，即∠B ＞90°，则∠C ＞90°，故∠A ＋∠B ＋∠C ＞180°.这与三角形的内角和定理矛盾，所以∠B 不是钝角.∴综上所述，∠B 既不是直角也不是钝角，即∠B ，∠C 必定是锐角.所以等腰三角形的底角必定是锐角.20. 解：(1)用尺规作出三角形两边的垂直平分线，交于O 点，以O 为圆心，OA 长为半径作出圆O ，⊙O 即为所求的花坛的位置.(图略)(2)∵∠BAC ＝90°，AB ＝8m ，AC ＝6m ，∴BC ＝10m.∴△ABC 外接圆的半径为5m.∴小明家圆形花坛的面积为25πm 2.21. 解：连接AO 并延长，延长线交BC 于点M ，连接BO ，CO .又∵⊙O 是△ABC 的外接圆，∴AO ＝OB ＝OC ，则有BO ＝OC ，AO ＝AO ，又∵AB ＝AC .∴△BAO ≌△CAO .∴∠BAO ＝∠CAO ，∴AM 是△BAC 的角平分线.又∵AB ＝AC ，∴AM ⊥BC ，BM ＝MC .又∵BM ＝3cm ，AB ＝5cm ，∴AM ＝4cm ，设圆的半径为x cm ，△BOM 中，OM 2＋BM 2＝OB 2，∴(4－x )2＋9＝x 2，∴x ＝825.∴S ＝π·(825)2＝64625π(cm 2).。

点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系 [见B 本P42]1．若⊙O 的半径为4 cm ，点A 到圆心O 的距离为3 cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是( A )A ．点A 在圆内B ．点A 在圆上C ．点A 在圆外D ．不能确定【解析】 d ＝3 cm ＜4 cm ＝r ，所以点A 在⊙O 内．2．已知⊙O 的半径为5 cm ，P 为⊙O 外一点，则OP 的长可能是( D )A ．5 cmB ．4 cmC ．3 cmD ．6 cm 3．矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝35，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是( C )A ．点B ，C 均在圆P 外B ．点B 在圆P 外，点C 在圆P 内C ．点B 在圆P 内，点C 在圆P 外因为AP ＝14AB ＝14×8＝2，AD ＝BC ＝35， 所以PD ＝AD 2＋AP 2＝（35）2＋22＝7，PB ＝8－2＝6，所以PC ＝PB 2＋BC 2＝62＋（35）2＝9.因为PB ＜PD ＜PC ，所以点B 在圆P 内，点C 在圆P 外，故选C.4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图24－2－1所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( B )A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块【解析】 根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”知所带的碎片必须含有圆弧的部分，只有②符合．图24－2－1图24－2－25．如图24－2－2，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB ＝110°，则∠C 的度数为( A )A ．55°B ．70°C ．60°D ．45°6．[2012·攀枝花]下列四个命题：①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．其中真命题的个数有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴①是假命题；如图，AB＝AE，但∠C和∠D不相等，∴②是假命题；三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点，∴③是真命题；垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，∴④是真命题．7．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则△ABC外接圆的圆心坐标是(D)A．(2，3) B．(3，2)C．(1，3) D．(3，1)【解析】作弦AB，AC的垂直平分线，交点即为圆心．8．一个三角形的外心在三角形的内部，则这个三角形是(C)A．任意三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形9．已知⊙O的半径为10 cm，点P到圆心的距离为d cm，(1)当d＝8 cm时，点P在⊙O__内__；(2)当d＝10 cm时，点P在⊙O__上__；(3)当d＝12 cm时，点P在⊙O__外__．10．图24－2－3中，△ABC的外接圆的圆心坐标是__(5，2)__．图24－2－3【解析】分别作BC，AB的垂直平分线，交点坐标即为所求．11．已知线段AB＝6 cm.(1)画半径为4 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__2__个；(2)画半径为3 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__1__个；(3)画半径为2 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__0__个．图24－2－412．如图24－2－4，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5 cm，AC＝10 cm，CD为中线，以C为圆心，以52 5 cm为半径作圆，则点A，B，D与⊙C的位置关系如何？【解析】要确定点A，B，D与⊙C的位置关系，需计算出这些点与点C的距离，再与⊙C的半径作比较即可．解：∵△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，∴BC2＋AC2＝AB2，∴AB＝BC2＋AC2＝52＋102＝55(cm)．∵CD 为斜边上的中线，∴CD ＝12AB ＝52 5 cm.∵CA ＝10 cm ＞525 cm ， ∴点A 在⊙C 外；而CB ＝5 cm ＜525 cm ， ∴点B 在⊙C 内；又CD ＝525 cm ，∴点D 在⊙C 上． 13．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是__10或8______．【解析】 ①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长＝162＋122＝20，因此这个三角形的外接圆半径为10.综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10.14．用反证法证明：圆内不是直径的两条弦不能互相平分．【解析】 根据反证法的一般步骤来证明．解：如图所示，已知AB ，CD 是⊙O 内的两条非直径弦，且AB 与CD 相交于点P .求证：AB 与CD 不能互相平分．证明：假设AB 与CD 能互相平分，则点P 既是AB 的中点，也是CD 的中点，连接OP .由垂径定理可知：OP ⊥AB ，OP ⊥CD .这表明过直线OP 上一点P ，有两条直线AB ，CD 与之垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，故假设不成立，即AB 与CD 不能互相平分．图24－2－515．如图24－2－5，AD 为△ABC 外接圆的直径，AD ⊥BC ，垂足为点F ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD .(1)求证：BD ＝CD ；(2)请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，并说明理由．解：(1)证明：∵AD 为直径，AD ⊥BC ，∴BD ︵＝CD ︵.∴BD ＝CD .(2)B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上．理由：由(1)知BD ︵＝CD ︵，∴∠BAD ＝∠CBD .∵∠DBE ＝∠CBD ＋∠CBE ，∠DEB ＝∠BAD ＋∠ABE ，∠CBE ＝∠ABE ，∴∠DBE ＝∠DEB . ∴DB ＝DE .又∵BD ＝CD ，∴DB ＝DE ＝DC .∴B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上．16．用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.已知：△ABC ，求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设△ABC 中没有一个内角小于或等于60°，即∠A >60°，∠B >60°，∠C >60°，于是∠A ＋∠B ＋∠C >60°＋60°＋60°＝180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾，所以△ABC 中至少有一个内角小于或等于60°.17．如图24－2－6所示，⊙O 的半径为2，弦BD ＝23，A 为BD ︵的中点，E 为弦AC 的中点且在BD 上，求四边形ABCD 的面积．图24－2－6第17题答图解：如图所示，连接OA ，OB ，设OA 交BD 于F .∵A 为BD ︵的中点，∴FO ⊥BD ，∴BF ＝DF ＝12BD ＝ 3. ∵OB ＝2，∴OF ＝1，∴AF ＝1，∴S △ABD ＝12BD ·AF ＝12×23×1＝ 3. ∵AE ＝CE ，∴S △ADE ＝S △CDE ，S △ABE ＝S △CBE ， ∴S △ABD ＝S △BCD ，∴S 四边形ABCD ＝2S △ABD ＝2 3.。

点和圆的位置关系精练题1．在平面内，⊙O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为3cm ，则点P 与⊙O 的位置关系是 ．答案：点P 在⊙O 内．2．⊙O 的半径为5，圆心的坐标为（0，0），点P 的坐标为（4，2），则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点P 在圆内B ．点P 在圆外C ．点P 在圆上D ．点P 在⊙O 内或在⊙O 外答案：A ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，AB =10，CD 是斜边AB 上的中线，以AC 为直径作⊙O ，设线段CD 的中点为P ，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 外C ．点P 在⊙O 上D ．无法确定BA答案：A ．4．下列条件：①已知半径；②过矩形四边的中点；③过已知直线l 上两点和直线l 外一点；④过双曲线6y x=第一象限图像上三点，其中只能确定一个圆的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④答案：C ．5．下列命题是假命题的是 （ ）A ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B ．三角形的外心到三边的距离相等C ．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D ．三角形任意两边的中垂线的交点是这个三角形的外心答案：B ．6．若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a >b ），则此圆的半径为（ ）A ．2a b +B ．2a b -C ．2a b +或2a b - D ．a b +或a b - 答案：C ．7．已知矩形ABCD 的边AB =15，BC =20，以B 为圆心作圆，使A 、C 、D 三点至少有一点在⊙B 内，且至少有一点在⊙B 外，则⊙B 的半径r 的取值范围是（ ）A ．r >15B ．15<r <20C ．15<r <25D ．20<r <25 答案：C ．8．用反证法证明一个命题时，第一步很重要，请写出下列命题证明时的第一步假设：⑴三角形中至少有一个角不小于60°.第一步假设为 .⑵梯形的对角线不能互相平分.第一步假设为 .⑶三角形中至多只有一个角为钝角.第一步假设为 .答案⑴三角形中三个角都小于60° ⑵梯形的对角线互相平分 ⑶三角形中至少有两个角为钝角9．若O 为△ABC 的外心，且 ∠BOC =60°，则∠BAC = ．分析：本题没有给出图形，根据题意可画出符合题意的图形，可以看出，三角形的顶点A 可能在优弧BC 上，此时∠BAC =12BOC ∠=30°；也可能在劣弧BC 上，此时∠BAC =11(360)(36060)15022BOC ︒-∠=︒-︒=︒．答案：30°或150°10．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面，请你补全这个输水管道的圆形截面．答案：略11．如图，△ABC 中，BD ，CE 是△ABC 的高，试说明B ，C ，D ，E 四点在同一个圆上．ABC D E解：如图，取BC 的中点O ，连接OD ，OE ， O ED C BA则OB =OC =12BC ． 又因为BD ，CE 是△ABC 的高，所以OE =OD =12BC =OB =OC ． 所以B ，C ，D ，E 四点在以O 为圆心，OB 为半径的圆上．12．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，∠A =30°，AC =3，以C为圆心，为半径画⊙C ，指出点A ，B ，D 与⊙C 的位置关系．若要使⊙C 经过点D ，则这个圆的半径应为多长？D CBA解：由∠ACB =90°，∠A =30°，AC =3，可求得BCAB=CD =32，由已知得r BC =r ，CA >r ，CD <r ．所以点A在⊙C外，点B在⊙C上，点D在⊙C内．因为要使⊙C经过点D，所以当r=CD=1.5时，⊙C经过点D．13．已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD与点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．ED CBA解答：因为点D在∠BAC的平分线上，所以∠1=∠2，A32 1BCDE又因为DE∥AC，所以∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AE=DE．又因为BD⊥AD于点D，所以∠ADB=90°．所以∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°．所以∠EBD=∠EDB．所以BE=DE．所以AE=BE=DE．因为过A，B，D三点确定一个圆，又∠ADB=90°，所以AB是A，B，D所在圆的直径．所以点E是A，B，D所在圆的圆心．14．如图，直线AB⊥CD于点O，线段PQ=a（定值），现在让线段PQ的两个端点Q、P分别在直线AB、CD上任意滑动，试探求线段PQ的中点M一定在什么图形上移动，写出你探求的结果，并在图上画出来．解：因为AB⊥CD，M为PQ的中点，所以OM=12 PQ．又因为PQ=a为定值，所以OM=12a为定值．线段PQ的中点M在以O为圆心，12a为半径的圆上．15．如图，公路MN和公路PQ在P点交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；若受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少？解：如图，过A作AB⊥MN于B，因为AP=160，∠APB=30°所以AB=80．因为80<100，所以学校会受到影响．DC B A QP NM设MN 上有点C 、D ，且AC =AD =100，则拖拉机在CD 之间时学校受到影响，在R t △ABC 中，AC =100，AB =80，则BC =60．同理BD =60，所以CD =120．180km/h=5m/s120÷5=24（秒）答：学校会受到影响，影响时间为24秒16．在等腰△ABC 中，B 、C 为定点，且AC =AB ，D 为BC 的中点，以BC 为直径作⊙D ．问：⑴∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 上？⑵∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 内部？⑶∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 外部？解：A 2A 1D CB A⑴因为点A 在⊙D 上，且AD 为BC 的中线，AB =AC ，所以AD ⊥BC ，所以BD =DC =AD ，所以∠BAD =12∠BAC =45°．所以∠BAC =90°．即∠BAC=90°时，点A在⊙D上．⑵因为点A1在⊙D内，所以∠B A1D>∠BAD．所以∠B A1C>∠BAC，即∠B A1C>90°．所以当∠B A1C的度数大于90°且小于180°时，点A在⊙D内部．⑶与⑵类似，当顶点A的度数大于0°且小于90°时，点A在⊙D外部．。