人教版九年级数学上册 圆 几何综合单元练习(Word版 含答案)

九年级数学上册圆 几何综合单元练习（Word 版 含答案）一、初三数学 圆易错题压轴题（难）1．已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD 2=，AB BC CD 6===，动点P 在射线BA 上，以BP 为半径的P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合），联结PE 、PC ，设x BP =，PC y =.（1）求证：PE //DC ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）联结PD ，当PDC B ∠=∠时，以D 为圆心半径为R 的D 与P 相交，求R 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）2436(09)y x x x =-+<<；（3）3605R <<【解析】 【分析】()1根据梯形的性质得到B DCB ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到B PEB ∠∠=，根据平行线的判定定理即可得到结论；()2分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、.G 推出四边形ADGF 是矩形，//PH AF ，求得2BF FG GC ===，根据勾股定理得到22226242AF AB BF =-=-=，根据平行线分线段成比例定理得到223PH x =，13BH x =，求得163CH x =-，根据勾股定理即可得到结论； ()3作//EM PD 交DC 于.M 推出四边形PDME 是平行四边形.得到PE DM x ==，即 6MC x =-，根据相似三角形的性质得到1218655PD EC ==-=，根据相切两圆的性质即可得到结论． 【详解】()1证明：梯形ABCD ，AB CD =，B DCB ∠∠∴=，PB PE =， B PEB ∠∠∴=， DCB PEB ∠∠∴=，//PE CD ∴；()2解：分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、G ．梯形ABCD 中，//AD BC ， ，BC DG ⊥，BC PH ⊥，∴四边形ADGF 是矩形，//PH AF ，2AD =，6BC DC ==， 2BF FG GC ∴===，在Rt ABF 中，22226242AF AB BF =-=-=，//PH AF ，PH BP BHAF AB BF∴==6242x BH ==，223PH x ∴=，13BH x =， 163CH x ∴=-，在Rt PHC 中，22PC PH CH =+22221()(6)33y x x ∴=+-2436(09)y x x x =-+<<， ()3解：作//EM PD 交DC 于M ．//PE DC ，∴四边形PDME 是平行四边形．PE DM x ∴==，即 6MC x =-，PD ME ∴=，PDC EMC ∠∠=， 又PDC B ∠∠=，B DCB ∠=∠， DCB EMC PBE PEB ∠∠∠∠∴===． PBE ∴∽ECM ，PB BE EC MC ∴=，即232663xx x x =--， 解得：185x =，即125BE =，1218655PD EC ∴==-=， 当两圆外切时，PD r R =+，即0(R =舍去)； 当两圆内切时，-PD r R =，即10(R =舍去)，2365R =； 即两圆相交时，3605R <<． 【点睛】本题属于圆综合题，梯形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.2．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，过点A 作直线MN ，且∠MAC ＝∠ABC ．（1）求证：MN 是⊙O 的切线．（2）设D 是弧AC 的中点，连结BD 交AC 于点G ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ．①求证：FD ＝FG ．②若BC ＝3，AB ＝5，试求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②AE ＝1 【解析】 【分析】（1）由AB 为直径知∠ACB ＝90°，∠ABC +∠CAB ＝90°．由∠MAC ＝∠ABC 可证得∠MAC +∠CAB ＝90°，则结论得证；（2）①证明∠BDE ＝∠DGF 即可．∠BDE ＝90°﹣∠ABD ；∠DGF ＝∠CGB ＝90°﹣∠CBD ．因为D 是弧AC 的中点，所以∠ABD ＝∠CBD ．则问题得证；②连接AD 、CD ，作DH ⊥BC ，交BC 的延长线于H 点．证明Rt △ADE ≌Rt △CDH ，可得AE ＝CH ．根据AB ＝BH 可求出答案． 【详解】（1）证明：∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠CAB+∠ABC ＝90°； ∵∠MAC ＝∠ABC ，∴∠MAC+∠CAB ＝90°，即MA ⊥AB ， ∴MN 是⊙O 的切线；（2）①证明：∵D 是弧AC 的中点， ∴∠DBC ＝∠ABD ， ∵AB 是直径， ∴∠CBG+∠CGB ＝90°， ∵DE ⊥AB ，∴∠FDG+∠ABD ＝90°， ∵∠DBC ＝∠ABD ， ∴∠FDG ＝∠CGB ＝∠FGD ， ∴FD ＝FG ；②解：连接AD 、CD ，作DH ⊥BC ，交BC 的延长线于H 点．∵∠DBC ＝∠ABD ，DH ⊥BC ，DE ⊥AB ， ∴DE ＝DH ，在Rt △BDE 与Rt △BDH 中，DH DEBD BD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △BDH （HL ）， ∴BE ＝BH ， ∵D 是弧AC 的中点， ∴AD ＝DC ，在Rt △ADE 与Rt △CDH 中，DE DHAD CD =⎧⎨=⎩，∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）．∴AE＝CH．∴BE＝AB﹣AE＝BC+CH＝BH，即5﹣AE＝3+AE，∴AE＝1．【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确作出辅助线来构造全等三角形是解题的关键．3．如图1，四边形ABCD中，、为它的对角线，E为AB边上一动点（点E不与点A、B重合），EF∥AC交BC于点F，FG∥BD交DC于点G，GH∥AC交AD于点H，连接HE．记四边形EFGH的周长为，如果在点的运动过程中，的值不变，则我们称四边形ABCD为“四边形”，此时的值称为它的“值”．经过探究，可得矩形是“四边形”．如图2，矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为．（1）等腰梯形（填“是”或“不是”）“四边形”；（2）如图3，是⊙O的直径，A是⊙O上一点，，点为上的一动点，将△沿的中垂线翻折，得到△．当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有个．【答案】“值”为10；（1）是；（2）最多有5个．【解析】试题分析：仔细分析题中“四边形”的定义结合矩形的性质求解即可；（1）根据题中“四边形”的定义结合等腰梯形的性质即可作出判断；（2）根据题中“四边形”的定义结合中垂线的性质、圆的基本性质即可作出判断.矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为10；（1）等腰梯形是“四边形”；（2）由题意得当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有5个.考点：动点问题的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．4．如图，点A在直线l上，点Q沿着直线l以3厘米/秒的速度由点A向右运动，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，tan∠ABQ=34，点C 在点Q 右侧，CQ=1厘米，过点C 作直线m⊥l，过△ABQ 的外接圆圆心O 作OD⊥m 于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使DF=13CD ，以DE 、DF 为邻边作矩形DEGF ．设运动时间为t 秒．（1）直接用含t 的代数式表示BQ 、DF ； （2）当0＜t ＜1时，求矩形DEGF 的最大面积；（3）点Q 在整个运动过程中，当矩形DEGF 为正方形时，求t 的值． 【答案】（1）BQ=5t ，DF=23t;（2）16;（3）t 的值为35或3． 【解析】试题分析：（1）AB 与OD 交于点H ，根据题中的比例关系和勾股定理可表示出BQ 的长；根据垂直于同一条直线的两直线平行和三角形的中位线定理可求得AH 的长，再根据矩形的判定定理和矩形的性质可求CD 的长，即可表示出FD ；（2）根据题意表示出矩形的长和宽，然后构造二次函数，通过二次函数的最值可求解； （3）当矩形为正方形时，分别让其长与宽相等，列方程求解即可. 试题解析：（1）5t BQ =，2DF=t 3； （2）DE=OD-OE=32t+1-52t=1-t ，()22211·t 13326S DF DE t t ⎛⎫==-=--+ ⎪⎝⎭，∴当t=12时，矩形DEGF 的最大面积为16； （3）当矩形DEGF 为正方形时，221133t t t t -=-=或,解得335t t ==或.5．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，以D 为圆心，D 长为半径作作⊙D ．⑴求证：AC 是⊙D 的切线.⑵设AC 与⊙D 切于点E ，DB=1，连接DE ，BF ，EF. ①当∠BAD= 时，四边形BDEF 为菱形； ②当AB= 时，△CDE 为等腰三角形.【答案】（1）见解析；（2）①30°，②2+1【解析】【分析】(1) 作DE⊥AC于M,由∠ABC=90°，进一步说明DM=DB，即DB是⊙D的半径，即可完成证明；（2）①先说明△BDF是等边三角形，再运用直角三角形的内角和定理解答即可；②先说明DE=CE=BD=1，再设AB=x，则AE=x，分别表示出AC、BC、AB的长，然后再运用勾股定理解答即可.【详解】⑴证明：如图：作DE⊥AC于M，∵∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，∴DE=DB.∴DM是⊙D的半径，∴AC是⊙D的切线；⑵①如图：∵四边形BDEF为菱形；∴△BDF是等边三角形∴∠ADB=60°∴∠BAD=90°-60°=30°∴当∠BAD=30°时，四边形BDEF为菱形；②∵△CDE为等腰三角形.∴DE=CE=BD=1，∴DC=2设AB=x，则AE=x∴在Rt△ABC中，AB=x，AC=1+x，BC=1+2∴()222++=+，解得x=2+1(12)1x x∴当AB=2+1时，△CDE为等腰三角形.【点睛】本题考查的是切线的判定、菱形的性质和判定、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的灵活运用；熟练掌握切线的判定方法和灵活应该勾股定理是解答本题的关键.6．已知：ABC内接于O，过点B作O的切线，交CA的延长线于点D，连接OB．∠=∠；（1）如图1，求证：DAB DBC（2）如图2，过点D 作DM AB ⊥于点M ，连接AO ，交BC 于点N ，BM AM AD =+，求证：BN CN =；（3）如图3，在（2）的条件下，点E 为O 上一点，过点E 的切线交DB 的延长线于点P ，连接CE ，交AO 的延长线于点Q ，连接PQ ，PQ OQ ⊥，点F 为AN 上一点，连接CF ，若90DCF CDB ∠+∠=︒，tan 2ECF ∠=，12ON OQ =，610PQ OQ +=，求CF 的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）10=CF 【解析】 【分析】 （1）延长BO 交O 于G ，连接CG ，根据切线的性质可得可证∠DBC ＋∠CBG=90°，然后根据直径所对的圆周角是直角可证∠CBG ＋∠G=90°，再根据圆的内接四边形的性质可得∠DAB=∠G ，从而证出结论；（2）在MB 上截取一点H ，使AM=MH ，连接DH ，根据垂直平分线性质可得DH=AD ，再根据等边对等角可得∠DHA=∠DAH ，然后根据等边对等角和三角形外角的性质证出∠ABC=∠C ，可得AB=AC ，再根据垂直平分线的判定可得AO 垂直平分BC ，从而证出结论；（3）延长CF 交BD 于M ，延长BO 交CQ 于G ，连接OE ，证出tan ∠BGE=tan ∠ECF=2，然后利用AAS 证出△CFN ≌△BON ，可设CF=BO=r ，ON=FN=a ，则OE=r ，根据锐角三角函数和相似三角形即可证出四边形OBPE 为正方形，利用r 和a 表示出各线段，最后根据610PQ OQ +=，即可分别求出a 和CF ．【详解】解：（1）延长BO 交O 于G ，连接CG∵BD 是O 的切线∴∠OBD=90° ∴∠DBC ＋∠CBG=90° ∵BG 为直径∴∠BCG=90° ∴∠CBG ＋∠G=90° ∴∠DBC=∠G ∵四边形ABGC 为O 的内接四边形∴∠DAB=∠G ∴∠DAB=∠DBC（2）在MB 上截取一点H ，使AM=MH ，连接DH∴DM 垂直平分AH ∴DH=AD ∴∠DHA=∠DAH ∵BMAM AD =+，=+BM MH BH∴AD=BH ∴DH=BH ∴∠HDB=∠HBD∴∠DHA=∠HDB ＋∠HBD=2∠HBD 由（1）知∠DAB=∠DBC ∴∠DHA=∠DAB=∠DBC ∴∠DBC =2∠HBD ∵∠DBC =∠HBD ＋∠ABC ∴∠HBD=∠ABC ，∠DBC=2∠ABC ∴∠DAB=2∠ABC ∵∠DAB=∠ABC ＋∠C ∴∠ABC=∠C ∴AB=AC∴点A 在BC 的垂直平分线上 ∵点O 也在BC 的垂直平分线上 ∴AO 垂直平分BC ∴BN CN =（3）延长CF 交BD 于M ，延长BO 交CQ 于G ，连接OE ，∵90DCF CDB ∠+∠=︒∴∠DMC=90°∵∠OBD=90°∴∠DMC=∠OBD∴CF ∥OB∴∠BGE=∠ECF ，∠CFN=∠BON ，∴tan ∠BGE=tan ∠ECF=2由（2）知OA 垂直平分BC∴∠CNF=∠BNO=90°，BN=CN∴△CFN ≌△BON∴CF=BO ，ON=FN ，设CF=BO=r ，ON=FN=a ，则OE=r∵12ON OQ = ∴OQ=2a∵CF ∥OB∴△QGO ∽△QCF∴=OG QO CF QF 即2122==++OG a r a a a ∴OG=12r 过点O 作OE ′⊥BG ，交PE 于E ′∴OE ′=OG ·tan ∠BGE=r=OE∴点E ′与点E 重合∴∠EOG=90°∴∠BOE=90°∵PB 和PE 是圆O 的切线∴∠OBP=∠OEP=∠BOE=90°，OB=OE=r∴四边形OBPE 为正方形∴∠BOE=90°，PE=OB=r∴∠BCE=12∠BOE==45°∴△NQC为等腰直角三角形∴NC=NQ=3a，∴BC=2NC=6a在Rt△CFN中，CF=2210+=NC FN a∵PQ OQ⊥∴PQ∥BC∴∠PQE=∠BCG∵PE∥BG∴∠PEQ=∠BGC∴△PQE∽△BCG∴=PQ PEBC BG即126=+PQ rra r解得：PQ=4a∵610PQ OQ+=，∴4a＋2a=610解得：a=10∴CF=1010⨯=10【点睛】此题考查的是圆的综合大题，难度较大，掌握圆的相关性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、正方形的判定及性质是解决此题的关键．7．已知：AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为H，点E为⊙O上一点，AE BE=，BE与CD交于点F．（1）如图1，求证：BH ＝FH ；（2）如图2，过点F 作FG ⊥BE ，分别交AC 、AB 于点G 、N ，连接EG ，求证：EB ＝EG ； （3）如图3，在（2）的条件下，延长EG 交⊙O 于M ，连接CM 、BG ，若ON ＝1，△CMG 的面积为6，求线段BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）210 ．【解析】【分析】（1）连接AE ，根据直径所对圆周角等于90°及弧与弦的关系即可得解；（2）根据题意，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、，通过证明Rt CGQ Rt CBS ∆≅∆，CBE CGE ∆≅∆即可得解；（3）根据题意，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN ，设CAB α∠＝，证明()CMG CNG AAS ∆≅∆，再由面积法及勾股定理进行计算求解即可.【详解】解：（1）如下图，连接AE∵AB 为直径∴90AEB =︒∠∵AE BE =∴AE BE =∴45B ∠=︒又∵CD AB ⊥于H ∴45HFB ∠=︒∴HF HB =；（2）如下图，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、AB 为直径，∴90ACB QCS ∠=∠=︒∴GCQ BCS ∠=∠∴()Rt CGQ Rt CBS AAS ∆≅∆∴CG CB =同理()CBE CGE SAS ∆≅∆∴EG EB =；（3）如下图，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN设CAB α∠=由（2）知：CM CB =∴CM CB =∵HB HF =∴45HBF HFB ∠=∠=︒∵GF BE ⊥∴45NFH NH BH CN BC ∠=︒∴=∴=，，∴CM CB CN ==则：2MEB α∠=902AEG α∠=︒-∴45EAG EGA α∠=∠=︒+∴45M MGC α∠=∠=︒+∴()CMG CNG AAS ∆≅∆∵CMG ∆面积为6∴6CAN GAN S S -=设2122BH NH x OA OB x AN x ====+=+，，则()CGT BCH AAS ∆≅∆∴C BH x ==∴6AN CH AN TH ⋅-⋅=∴1(22)62x CT +⋅= 解得：2x = ∵2BC BH BA =⋅∴2210BC =⨯，则25BC ＝∴2210BG BC ＝＝【点睛】本题主要考查了圆和三角形的综合问题，熟练掌握圆及三角形的各项重要性质及判定方法是解决本题的关键.8．如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A 和点B ，点C 为弧AB 上一点，连接PC 并延长交O 于点F ，D 为弧AF 上的一点，连接BD 交FC 于点E ，连接AD ，且2180APB PEB ∠+∠=︒．（1）如图1，求证：//PF AD ；（2）如图2，连接AE ，若90APB ∠=︒，求证：PE 平分AEB ∠；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB 交PE 于点H ，连接OE ，8AD =，4sin 5ABD ∠=，求PH 的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）257 【解析】【分析】（1）连接OA 、OB ，由切线的性质可得90OAP OBP ∠=∠=︒，由四边形内角和是360︒，得180∠+∠=︒P AOB ，由同弧所对的圆心角是圆周角的一半，得到2AOB ADB ∠=∠，等量代换得到ADB PEB ∠=∠，由同位角相等两直线平行，得到//PF AD ；（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K ，由90APB ∠=︒得290PEB ∠=︒，从而45PEB ∠=︒，由切线的性质，得PA PB =，由PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，得PE PK =，从而90APE EPB ︒∠=-∠，进而APE BPK ∠=∠，即可证得APE BPK ∆∆≌由此45K AEP ∠=∠=︒，得到AEP PEB ∠=∠，即可证得PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM ，由45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，可得DE AE =，由OA 、OD 为半径，可得OA OD =，即可证出DEO AEO ∆∆≌，由直径所对的圆周角是直角，可得90ADM ∠=︒，在Rt ADM ∆中，由正弦定义可得10AM =，由此5OA OB ==，由OAPB 为正方形，对角线AB 垂直平分OP ，从而，OH PH =.在Rt OAP ∆中，252OP OA ==延长EO 交AD 于K ，在Rt OEP ∆中，由勾股定理得7PE =，在Rt OEH ∆中，由勾股定理得257PH =. 【详解】 （1）连接OA 、OB∵PA 、PB 与圆O 相切于点A 、B ，且OA 、OB 为半径，∴OA AP ⊥，OB BP ⊥，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴在四边形AOBP 中，360180180P AOB ∠+∠=︒-︒=︒，∵AB AB =，∴2AOB ADB ∠=∠，∴2180P ADB ∠+∠=︒，∵2180P PEB ∠+∠=︒，∴ADB PEB ∠=∠，∴//PF AD（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K∵90APB ∠=︒，∴21809090PEB ∠=︒-︒=︒，∴45PEB ∠=︒，∵PA 、PB 为圆O 的切线，∴PA PB =，∵PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，∴PE PK = ，∵9090APE EPB KPB EPB ︒︒∠=-∠=∠=-∠，∴APE BPK ∠=∠，∴APE BPK ∆∆≌，∴45K AEP ∠=∠=︒，∴AEP PEB ∠=∠，∴PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM∵45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，∴DE AE =，∵OA 、OD 为半径，∴OA OD =，∵OE OE =，∴DEO AEO ∆∆≌，∴1452AEO OED AED ∠=∠=∠=︒， ∴90OEP ∠=︒，∵AM 为圆O 的直径，∴90ADM ∠=︒，∵弧AD =弧AD ，∴ABD AMD ∠=∠，在Rt ADM ∆中，8AD =，4sin 5AMD ∠=，则10AM =， ∴5OA OB ==，由题易证四边形OAPB 为正方形，∴对角线AB 垂直平分OP ，AB OP =，∵H 在AB 上，∴OH PH =，在Rt OAP ∆中，252OP OA ==延长EO 交AD 于K ，∵DE AE =，可证OK AD ⊥，DOK ABD ∠=∠，∴4DK KE ==，3OK =，1OE =∴在Rt OEP ∆中，227PE OP OE =-=在Rt OEH ∆中，222OH OE EH =+∵OH PH =，7EH PE HP PH =-=-∴()22217PH PH =+- ∴257PH =． 【点睛】本题考查了圆的综合题，圆的性质，等腰三角形的性质，相交弦定理，正弦定理，勾股定理，灵活运用这些性质定理解决问题是本题的关键．9．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），D为的AC中点，过点D作弦DE⊥AB于F，P是BA延长线上一点，且∠PEA＝∠B．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接CA与DE相交于点G，CA的延长线交PE于H，求证：HE＝HG；（3）若tan∠P＝512，试求AHAG的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1310 AHAG=．【解析】【分析】（1）连接OE，由圆周角定理证得∠EAB+∠B＝90°，可得出∠OAE＝∠AEO，则∠PEA+∠AEO＝90°，即∠PEO＝90°，则结论得证；（2）连接OD，证得∠AOD＝∠AGF，∠B＝∠AEF，可得出∠PEF＝2∠B，∠AOD＝2∠B，可证得∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，则结论得证；（3）可得出tan∠P＝tan∠ODF＝512OFDF=，设OF＝5x，则DF＝12x，求出AE，BE，得出23AEBE=，证明△PEA∽△PBE，得出23PAPE=，过点H作HK⊥PA于点K，证明∠P＝∠PAH，得出PH＝AH，设HK＝5a，PK＝12a，得出PH＝13a，可得出AH＝13a，AG＝10a，则可得出答案．【详解】解：（1）证明：如图1，连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠B＝90°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠B+∠AEO＝90°，∵∠PEA＝∠B，∴∠PEA+∠AEO＝90°，∴∠PEO＝90°，又∵OE为半径，∴PE是⊙O的切线；（2）如图2，连接OD，∵D为AC的中点，∴OD⊥AC，设垂足为M，∴∠AMO＝90°，∵DE⊥AB，∴∠AFD＝90°，∴∠AOD+∠OAM＝∠OAM+∠AGF＝90°，∴∠AOD＝∠AGF，∵∠AEB＝∠EFB＝90°，∴∠B＝∠AEF，∵∠PEA＝∠B，∴∠PEF＝2∠B，∵DE⊥AB，∴AE AD，∴∠AOD＝2∠B，∴∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，∴HE＝HG；（3）解：如图3，∵∠PEF＝∠AOD，∠PFE＝∠DFO，∴∠P＝∠ODF，∴tan∠P＝tan∠ODF＝512 OFDF=，设OF＝5x，则DF＝12x，∴OD22OF DF+13x，∴BF＝OF+OB＝5x+13x＝18x，AF＝OA﹣OF＝13x﹣5x＝8x，∵DE⊥OA，∴EF＝DF＝12x，∴AE22AF EF+13，BE22EF BF+13，∵∠PEA＝∠B，∠EPA＝∠BPE，∴△PEA∽△PBE，∴41323613PA AEPE BE===，∵∠P+∠PEF＝∠FAG+∠AGF＝90°，∴∠HEG＝∠HGE，∴∠P＝∠FAG，又∵∠FAG＝∠PAH，∴∠P＝∠PAH，∴PH＝AH，过点H作HK⊥PA于点K，∴PK＝AK，∴13 PKPE=，∵tan∠P＝5 12，设HK＝5a，PK＝12a，∴PH＝13a，∴AH＝13a，PE＝36a，∴HE＝HG＝36a﹣13a＝23a，∴AG＝GH﹣AH＝23a﹣13a＝10a，∴13131010AH aAG a==．【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定定和性质定理及方程思想是解题的关键．10．在O中，AB为直径，CD与AB相较于点H，弧AC=弧AD（1）如图1，求证：CD AB⊥;（2）如图2，弧BC上有一点E，若弧CD=弧CE，求证：3EBA ABD∠=∠;（3）如图3，在（2）的条件下，点F在上，连接,//FH FH DE，延长FO交DE于点K，若165,55FK DB BE==，求AB．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1855AB=．【解析】【分析】（1）连接,OC OD,根据AC AD=得出COA DOA∠=再根据OC OD=得出OCD ODC∠=∠，从而得证；（2）连接,BC BD,根据AC AD=得出,BC BD BA CD=⊥，CBA ABD∠=∠，再根据CE CD=,得出CBE CBD∠=∠,从而得出结论；（3）作,CM DB CN BE⊥⊥，过点P作,PT BE PS BD⊥⊥，,5BE BP a DB a===先证CDM CEN∆≅∆，DM EN=，再证,CMB CNB BM BN∆≅∆=，设DM b=，得出2b a=，再算出,CM CD得出CPD∆为等腰三角形，再根据BP是角平分线利用角平分线定理得出BCPEBPS DP BDS PE BE∆==，从而算出,PE DE,再根据三角函数值算出BG,,,,AB r OG OH，再根据//FH DE得出HO OFGO OK=，从而计算AB．【详解】（1）连接OC，CD因为AC AD=，所以COA DOA∠=∠OC OD=，,OA CD CD AB∴⊥∴⊥;(2)连接BC，,BC BD BA CD=⊥所以AB平分CBD∠，设ABD ABCα∠=∠=2CBDα∴∠=CD CE∴=2CBE CBDα∴∠=∠=，3EBAα∴∠=3EBA ABD∴∠=∠．(3) 2,90EBC BPE PEBαα︒∠=∠=∠=-设,5BE BP a DB a===作,CM DB CN BE⊥⊥，可证：CDM CEN∆≅∆，DM EN=，再证：,CMB CNB BM BN∆≅∆=设,5,2DM EN b a b a b b a==+=-∴=在CBM∆中勾股4CM a=在CDM∆中勾股25CD a=得CPD∆为等腰三角形25DP DC a==因为BP为角平分线，过点P作,PT BE PS BD⊥⊥可证：5BCPEBPS DP BDS PE BE∆===2525,PE DE∴==14tan ,tan 223αα== 2555,BG a AB a ∴== 557535,,4124r a OG a OH a === //FH DE97HO OF GO OK ∴== 995185,16OF KF AB ===【点睛】本题是一道圆的综合题目，难度较大，考查了圆相关的性质以及与三角形综合，掌握相关的线段与角度转化是解题关键．。

九年级数学上册圆几何综合单元测试卷附答案一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD 的延长线交于点A，OE//BD，交BC于点F，交AB于点E.（1）求证：∠E=∠C；（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长；（3）在（2）的条件下，求△ABC的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）48 5.【解析】试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；（2）根据题意求出AB的长，然后根据平行线分线段定理，可求解；（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.试题解析：（1）如解图，连接OB，∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，∴∠ABD＝∠CBO.∵OB、OC是⊙O的半径，∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，∴∠E＝∠C；（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2，∴AO＝5，∴AB＝4.∵BD∥OE，∴＝，∴＝，∴BE＝6，AE=6+4=10（3）S △AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得S△ABC= S△AOE==2．选做题：从甲乙两题中选作一题，如果两题都做，只以甲题计分题甲：已知矩形两邻边的长、是方程的两根.（1）求的取值范围；（2）当矩形的对角线长为时，求的值；（3）当为何值时，矩形变为正方形？题乙：如图，是直径，于点，交于点，且．（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；（2）当，时，求的面积．【答案】题甲（1）（2）（3）题乙：（1）BD是切线；证明所以OB⊥BD，BD是切线（2）S=【解析】试题分析：题甲：（1）、是方程的两根，则其；由得（2）矩形两邻边的长、，矩形的对角线的平方=；矩形两邻边的长、是方程的两根，则；因为，所以；解得由得（3）矩形变为正方形，则a=b；、是方程的两根，所以方程有两个相等的实数根，即，由得题乙：（1）BD是切线；如图所示，是弧AC所对的圆周角，；因为，所以；于点，，所以，，在三角形OBD中，所以OB⊥BD；BD是切线（2），AB是圆的直径，所以OB=5；于点，交于点，F是BC的中点；，BF=4；在直角三角形OBF中由勾股定理得OF=；根据题意，，则，所以，从而，解得DF=，的面积=考点：直线与圆相切，相似三角形点评：本题考查直线与圆相切，相似三角形；解本题的关键是会判断直线与圆是否相切，能判定两个三角形相似3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），（0，-4）；①求此抛物线的函数解析式；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，c=-4，求证：无论b取何值，点D的坐标均不改变．【答案】（1）①y=x2-x-4；②△BDM的面积有最大值为36；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）①只需运用待定系数法就可解决问题；②过点M作ME∥y轴，交BD于点E，连接BC，如图1．根据勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°，从而可得AB为直径，根据垂径定理可得OD=OC，即可得到D（0，4），然后运用待定系数法可求得直线BD的解析式为y=-x+4，设M（x，x2-x-4），则E（x，-x+4），从而得到ME=-x2+x+8，运用割补法可得S△BDM=S△DEM+S△BEM=-（x-2）2+36，然后根据二次函数的最值性就可求出△BDM的面积的最大值；（2）连接AD、BC，如图2．若a=1，c=-4，则抛物线的解析式为y=x2+bx-4，可得C（0，-4），OC=4．设点A（x1，0），B（x2，0），则OA=-x1，OB=x2，且x1、x2是方程x2+bx-4=0的两根，根据根与系数的关系可得OA•OB=4．由A、D、B、C四点共圆可得∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，从而可得△ADO∽∽△CBO，根据相似三角形的性质可得OC•OD=OA•OB=4，从而可得OD=1，即可得到D（0，1），因而无论b取何值，点D的坐标均不改变．试题解析：（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），∴，解得．∴抛物线的解析式为y=x2-x-4；②过点M作ME∥y轴，交BD于点E，连接BC，如图1．∵A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），∴OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10，AC=2，BC=4，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴AB为直径．∵CD⊥AB，∴OD=OC，∴D（0，4）．设直线BD的解析式为y=mx+n．∵B（8，0），D（0，4），∴，解得，∴直线BD的解析式为y=-x+4．设M（x，x2-x-4），则E（x，-x+4），∴ME=（-x+4）-（x2-x-4）=-x2+x+8，∴S△BDM=S△DEM+S△BEM=ME（x E-x D）+ME（x B-x E）=ME（x B-x D）=（-x2+x+8）×8=-x2+4x+32=-（x-2）2+36．∵0＜x＜8，∴当x=2时，△BDM的面积有最大值为36；（2）连接AD、BC，如图2．若a=1，c=-4，则抛物线的解析式为y=x2+bx-4，则C（0，-4），OC=4．设点A（x1，0），B（x2，0），则OA=-x1，OB=x2，且x1、x2是方程x2+bx-4=0的两根，∴OA•OB=-x1•x2=-（-4）=4．∵A、D、B、C四点共圆，∴∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，∴△ADO∽△CBO，∴，∴OC•OD=OA•OB=4，∴4OD=4，∴OD=1，∴D（0，1），∴无论b取何值，点D的坐标均不改变．考点：圆的综合题4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以D为圆心，D长为半径作作⊙D．⑴求证：AC是⊙D的切线.⑵设AC与⊙D切于点E，DB=1，连接DE，BF，EF.①当∠BAD= 时，四边形BDEF为菱形；②当AB= 时，△CDE为等腰三角形.【答案】（1）见解析；（2）①30°，②2+1【解析】【分析】(1) 作DE⊥AC于M,由∠ABC=90°，进一步说明DM=DB，即DB是⊙D的半径，即可完成证明；（2）①先说明△BDF是等边三角形，再运用直角三角形的内角和定理解答即可；②先说明DE=CE=BD=1，再设AB=x，则AE=x，分别表示出AC、BC、AB的长，然后再运用勾股定理解答即可.【详解】⑴证明：如图：作DE⊥AC于M，∵∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，∴DE=DB.∴DM是⊙D的半径，∴AC是⊙D的切线；⑵①如图：∵四边形BDEF为菱形；∴△BDF是等边三角形∴∠ADB=60°∴∠BAD=90°-60°=30°∴当∠BAD=30°时，四边形BDEF为菱形；②∵△CDE为等腰三角形.∴DE=CE=BD=1，∴DC=2设AB=x，则AE=x∴在Rt△ABC中，AB=x，AC=1+x，BC=1+2∴()222++=+，解得x=2+1(12)1x x∴当AB=2+1时，△CDE为等腰三角形.【点睛】本题考查的是切线的判定、菱形的性质和判定、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的灵活运用；熟练掌握切线的判定方法和灵活应该勾股定理是解答本题的关键.5．已知：AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为H，点E为⊙O上一点，AE BE=，BE与CD交于点F．（1）如图1，求证：BH ＝FH ；（2）如图2，过点F 作FG ⊥BE ，分别交AC 、AB 于点G 、N ，连接EG ，求证：EB ＝EG ； （3）如图3，在（2）的条件下，延长EG 交⊙O 于M ，连接CM 、BG ，若ON ＝1，△CMG 的面积为6，求线段BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）210 ． 【解析】 【分析】（1）连接AE ，根据直径所对圆周角等于90°及弧与弦的关系即可得解； （2）根据题意，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、，通过证明Rt CGQ Rt CBS ∆≅∆，CBE CGE ∆≅∆即可得解；（3）根据题意，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN ，设CAB α∠＝，证明()CMG CNG AAS ∆≅∆，再由面积法及勾股定理进行计算求解即可.【详解】解：（1）如下图，连接AE∵AB 为直径 ∴90AEB =︒∠∵AE BE = ∴AE BE = ∴45B ∠=︒ 又∵CD AB ⊥于H∴45HFB ∠=︒ ∴HF HB =；（2）如下图，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、AB 为直径，∴90ACB QCS ∠=∠=︒ ∴GCQ BCS ∠=∠∴()Rt CGQ Rt CBS AAS ∆≅∆ ∴CG CB =同理()CBE CGE SAS ∆≅∆ ∴EG EB =；（3）如下图，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN设CAB α∠=由（2）知：CM CB = ∴CM CB = ∵HB HF =∴45HBF HFB ∠=∠=︒ ∵GF BE ⊥∴45NFH NH BH CN BC ∠=︒∴=∴=，， ∴CM CB CN == 则：2MEB α∠=902AEG α∠=︒-∴45EAG EGA α∠=∠=︒+ ∴45M MGC α∠=∠=︒+ ∴()CMG CNG AAS ∆≅∆ ∵CMG ∆面积为6 ∴6CANGANSS-=设2122BH NH x OA OB x AN x ====+=+，， 则()CGT BCH AAS ∆≅∆ ∴C BH x ==∴6AN CH AN TH ⋅-⋅= ∴1(22)62x CT +⋅= 解得：2x = ∵2BC BH BA =⋅∴2210BC =⨯，则25BC ＝∴2210BG BC ＝＝ 【点睛】本题主要考查了圆和三角形的综合问题，熟练掌握圆及三角形的各项重要性质及判定方法是解决本题的关键.6．如图，∠ACL＝90°，AC＝4，动点B在射线CL，CH⊥AB于点H，以H为圆心，HB为半径作圆交射线BA于点D，交直线CD于点F，交直线BC于点E．设BC＝m．（1）当∠A＝30°时，求∠CDB的度数；（2）当m＝2时，求BE的长度；（3）在点B的整个运动过程中，①当BC＝3CE时，求出所有符合条件的m的值．②连接EH，FH，当tan∠FHE＝512时，直接写出△FHD与△EFH面积比．【答案】（1）60°；（2）45；（3）①m＝2或226【解析】【分析】（1）根据题意由HB＝HD，CH⊥BD可知：CH是BD的中垂线，再由∠A＝30°得：∠CDB＝∠ABC＝60°；（2）由题意可知当m＝2时，由勾股定理可得：AB＝5cos∠ABC 5，过点H作HK⊥BC于点K，利用垂径定理可得结论；（3））①要分两种情况：I．当点E在C右侧时，II．当点E在C左侧时；根据相似三角形性质和勾股定理即可求得结论；②根据题意先证明EF∥BD，根据平行线间距离相等可得：△FHD与△EFH高相等，面积比等于底之比，再由tan∠FHE＝512可求得DHEF的值即可．【详解】解：（1）∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∵HB＝HD，CH⊥BD，∴CH是BD的中垂线，∴CB＝CD，∴∠CDB＝∠ABC＝60°；（2）如图1，过点H作HK⊥BC于点K，当m＝2时，BC＝2，∴AB＝22AC BC＝25，∴cos∠ABC＝BCAB ＝5，∴BH＝BC•cos∠ABC＝25，∴BK＝BH•cos∠ABC＝25，∴BE＝2BK＝45；（3）①分两种情况：I．当点E在C右侧时，如图2，连结DE，由BD是直径，得DE⊥BC，∵BC＝3CE＝m，∴CE＝13m，BE＝23m，∵DE∥AC，∴△DEB～△ACB，∴DEAC ＝BEBC＝23，∴DE＝23AC＝83，∵CD＝CB＝m，∴Rt△CDE中，由勾股定理得：2281m33⎛⎫⎛⎫⎪⎭⎝+⎪⎝⎭＝m2，∵m＞0，∴m＝22；II．当点E在C左侧时，如图3，连结DE，由BD是直径，得DE⊥BC，∵BC＝3CE，∴CE＝13m，BE＝32m，∵DE∥AC，∴△DEB～△ACB，∴DEAC ＝BEBC＝32，∴DE＝32AC＝6，∵CD＝CB＝m，∴Rt△CDE中，由勾股定理得：62+21m3⎛⎫⎪⎝⎭＝m2，∵m＞0，∴m＝42；综上所述，①当BC＝3CE时，m＝22或42．②如图4，过F作FG⊥HE于点G，∵CH⊥AB，HB＝HD，∴CB ＝CD ， ∴∠CBD ＝∠CDB ，∴DFE BEF =，即DF EF BE EF +=+，∴DF BE =，∴EF ∥BD ，∴FHDEFH SS ＝DH EF， ∵在Rt △FHG 中，FG HG ＝tan ∠FHE ＝512， 设FG ＝5k ，HG ＝12k ，则FH ＝22FG HG +＝22(5)(12)k k +＝13k ，∴DH ＝HE ＝FH ＝13k ，EG ＝HE ﹣HG ＝13k ﹣12k ＝k ，∴EF ＝22FG EG +＝22(5)k k +＝26k ，∴FHDEFH SS ＝26k ＝26． 【点睛】本题考查的是圆的几何综合题，主要考查圆的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形判定及性质，解直角三角形知识等；综合性较强，有一定难度，解题要求对所学知识点熟练掌握和运用数形结合思维分析．7．如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A 和点B ，点C 为弧AB 上一点，连接PC 并延长交O 于点F ，D 为弧AF 上的一点，连接BD 交FC 于点E ，连接AD ，且2180APB PEB ∠+∠=︒．（1）如图1，求证：//PF AD ；（2）如图2，连接AE ，若90APB ∠=︒，求证：PE 平分AEB ∠；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB 交PE 于点H ，连接OE ，8AD =，4sin 5ABD ∠=，求PH 的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）257 【解析】【分析】（1）连接OA 、OB ，由切线的性质可得90OAP OBP ∠=∠=︒，由四边形内角和是360︒，得180∠+∠=︒P AOB ，由同弧所对的圆心角是圆周角的一半，得到2AOB ADB ∠=∠，等量代换得到ADB PEB ∠=∠，由同位角相等两直线平行，得到//PF AD ；（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K ，由90APB ∠=︒得290PEB ∠=︒，从而45PEB ∠=︒，由切线的性质，得PA PB =，由PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，得PE PK =，从而90APE EPB ︒∠=-∠，进而APE BPK ∠=∠，即可证得APE BPK ∆∆≌由此45K AEP ∠=∠=︒，得到AEP PEB ∠=∠，即可证得PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM ，由45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，可得DE AE =，由OA 、OD 为半径，可得OA OD =，即可证出DEO AEO ∆∆≌，由直径所对的圆周角是直角，可得90ADM ∠=︒，在Rt ADM ∆中，由正弦定义可得10AM =，由此5OA OB ==，由OAPB 为正方形，对角线AB 垂直平分OP ，从而，OH PH =.在Rt OAP ∆中，252OP OA ==.延长EO 交AD 于K ，在Rt OEP ∆中，由勾股定理得7PE =，在Rt OEH ∆中，由勾股定理得257PH =. 【详解】 （1）连接OA 、OB∵PA 、PB 与圆O 相切于点A 、B ，且OA 、OB 为半径，∴OA AP ⊥，OB BP ⊥，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴在四边形AOBP 中，360180180P AOB ∠+∠=︒-︒=︒，∵AB AB =，∴2AOB ADB ∠=∠，∴2180P ADB ∠+∠=︒，∵2180P PEB ∠+∠=︒，∴ADB PEB ∠=∠，∴//PF AD（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K∵90APB ∠=︒，∴21809090PEB ∠=︒-︒=︒，∴45PEB ∠=︒，∵PA 、PB 为圆O 的切线，∴PA PB =，∵PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，∴PE PK = ，∵9090APE EPB KPB EPB ︒︒∠=-∠=∠=-∠，∴APE BPK ∠=∠，∴APE BPK ∆∆≌，∴45K AEP ∠=∠=︒，∴AEP PEB ∠=∠，∴PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM∵45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，∴DE AE =，∵OA 、OD 为半径，∴OA OD =，∵OE OE =，∴DEO AEO ∆∆≌，∴1452AEO OED AED ∠=∠=∠=︒， ∴90OEP ∠=︒，∵AM 为圆O 的直径，∴90ADM ∠=︒，∵弧AD =弧AD ，∴ABD AMD ∠=∠，在Rt ADM ∆中，8AD =，4sin 5AMD ∠=，则10AM =， ∴5OA OB ==，由题易证四边形OAPB 为正方形，∴对角线AB 垂直平分OP ，AB OP =，∵H 在AB 上，∴OH PH =，在Rt OAP ∆中，252OP OA ==，延长EO 交AD 于K ，∵DE AE =，可证OK AD ⊥，DOK ABD ∠=∠，∴4DK KE ==，3OK =，1OE =∴在Rt OEP ∆中，227PE OP OE =-=在Rt OEH ∆中，222OH OE EH =+∵OH PH =，7EH PE HP PH =-=-∴()22217PH PH =+- ∴257PH =． 【点睛】 本题考查了圆的综合题，圆的性质，等腰三角形的性质，相交弦定理，正弦定理，勾股定理，灵活运用这些性质定理解决问题是本题的关键．8．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）PQ 长最短是1.2；（3）四边形ADCF 面积最大值是813132+，最小值是813132-． 【解析】【分析】（1）连接线段OP 交⊙C 于A ，点A 即为所求；（2）过C 作CP ⊥AB 于Q ，P ，交⊙C 于Q ，这时PQ 最短，根据勾股定理以及三角形的面积公式即可求出其最小值；（3）△ACF 的面积有最大和最小值，取AB 的中点G ，连接FG ，DE ，证明△FAG ～△EAD ，进而证明点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动，过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，①当F 在F 1时，△ACF 面积最小，分别求出△ACD 的面积和△ACF 的面积的最小值即可得出四边形ADCF 的面积的最小值；②当F 在F 2时，四边形ADCF 的面积有最大值，在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，利用矩形的判定与性质以及三角形的面积公式即可得出得出四边形ADCF 的面积的最大值．【详解】解：（1）连接线段OP 交⊙C 于A ，点A 即为所求，如图1所示；（2）过C 作CP ⊥AB 于Q ，P ，交⊙C 于Q ，这时PQ 最短．理由：分别在线段AB ，⊙C 上任取点P '，点Q '，连接P '，Q '，CQ '，如图2，由于CP ⊥AB ，根据垂线段最短，CP ≤CQ '+P 'Q '，∴CO +PQ ≤CQ '+P 'Q '，又∵CQ ＝CQ '，∴PQ ＜P 'Q '，即PQ 最短．在Rt △ABC 中22228610AB AC BC =+=+=，1122ABC S AC BC AB CP ∆=•=•， ∴68 4.810AC BC CP AB •⨯===， ∴PQ ＝CP ﹣CQ ＝6.8﹣3.6＝1.2，∴22226 4.8 3.6BP BC CP -=-=．当P 在点B 左侧3.6米处时，PQ 长最短是1.2．（3）△ACF 的面积有最大和最小值． 如图3，取AB 的中点G ，连接FG ，DE ．∵∠EAF ＝90°，1tan 3AEF ∠=， ∴13AF AE = ∵AB ＝6，AG ＝GB ，∴AC ＝GB ＝3， 又∵AD ＝9，∴3193AG AD ==， ∴DAF AE AG A = ∵∠BAD ＝∠B ＝∠EAF ＝90°，∴∠FAG ＝∠EAD ，∴△FAG ～△EAD ，∴13FG AF DE AE ==， ∵DE ＝3，∴FG ＝1，∴点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动，连接AC ，则△ACD 的面积＝692722CD AD ⨯=⨯=， 过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，①当F 在F 1时，△ACF 面积最小．理由：由（2）知，当F 在F 1时，F 1H 最短，这时△ACF 的边AC 上的高最小，所以△ACF 面积有最小值，在Rt △ABC 中，222269313AC AB BC =+=+=∴313sin 313BC BAC AC ∠=== 在Rt △ACH 中，313913sin 31313GH AG BAC =•∠=⨯=，∴11913113F H GH GF =-=-， ∴△ACF 面积有最小值是：11191327313313(1)22AC F H -•=⨯⨯-=； ∴四边形ADCF 面积最小值是：273138131327--+=； ②当F 在F 2时，F 2H 最大理由：在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，连接PG ，则四边形GHMN 是矩形，∴GH ＝MN ，在Rt △GNP 中，∠NGF 2＝90°，∴PG ＞PN ，又∵F 2G ＝PG ，∴F 2G +GH ＞PN +MN ，即F 2H ＞PM ，∴F 2H 是△ACF 的边AC 上的最大高，∴面积有最大值，∵229131F H GH GF =+=+， ∴△ACF 面积有最大值是21191327313313(1)22132AC F H +•=⨯⨯+=； ∴四边形ADCF 面积最大值是273138131327+++=； 综上所述，四边形ADCF 面积最大值是81313+，最小值是81313-． 【点睛】本题为圆的综合题，考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．9．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，30CAB ∠=︒，10AB =，点D 在线段AB 上，2AD =．点P 从D 点出发，沿DB 方向运动，以DP 为直径作O ，当P 运动到点B 时停止运动，设DP m =．（1）AO =___________，BP =___________．（用m 的代数式表示）（2）当m 为何值时，O 与ABC ∆的一边相切？（3）在点P 整个运动过程中，过点P 作O 的切线交折线AC CB -于点E ，将线段EP 绕点E 顺时针旋转60︒得到EF ，过F 作FG EP ⊥于G ．①当线段FG 长度达到最大时，求m 的值；②直接写出点F 所经过的路径长是________．（结果保留根号）【答案】（1）22m AO =+，8BP m =-；（2）4m =或32348m =；（3）①1121153762【解析】【分析】（1）观察图中AO 和DP 的数量关系可得22DP AO =+，而BP AB AP =-，将DP m =代入即可.（2）O 与ABC ∆的一边相切有两种情况，先与AC 相切，再与BC 相切；两种情况的解答方法都是连接圆心与切点，构造直角三角形，根据条件所给的特殊角的三角函数解答. （3）①根据旋转的性质可得PF PE =，在Rt EFG ∆中根据三角函数可得cos30FG PE ︒=⋅，故当E 点与C 点重合，PE 取得最大值时，FG 有最大值，解之即可. ②明显以E 点与C 点重合前后为节点，点F 的运动轨迹分两部分，第一部分为从P 开始运动到E 点与C 点重合，即图中的12F F ，根据1212F F AC AF CF =--求解；第二部分，根据tan EF EP EBF EB EB∠==为定值可知其轨迹为图中的2F B ，在2Rt F BC 中用勾股定理求解即可.【详解】 （1）2222DP m AO =+=+，8BP AB AP m =-=- （2）情况1：与AC 相切时，Rt AOH ∆中，∵30A ∠=︒ ∴2AO OH =∴22m m +=解得4m =情况2：与BC相切时，Rt BON ∆中，∵60B ∠=︒ ∴3cos 2ON B OB ==即32282mm =- 解得32348m =-（3）①在Rt EFG ∆中，∵30EFG A ∠=∠=︒，90EGF ∠=︒，∴3cos30cos30FG EF PE EP ︒︒=⋅=⋅=， ∴当FG 最大时即PE 最大当点E 与点C 重合时，PE 的值最大．易知此时53553102AC BC EP AB ⨯===．在Rt EAP ∆中，∵30A ∠=︒∴1532AP EP ==∴1511222m DP ==-= （3）F 轨迹如图：从1F 到2F 到B1133233AF AE EF AD PE =-=-==, 253CF CP ==， 故1212235311353F F AC AF CF =--== 2F 到B 轨迹是线段理由如下：∵60FEP ∠=︒，30PEB ∠=︒，∴90FEB ∠=︒．∴tan EF EP EBF EB EB∠==为定值， ∴点F 的第二段的轨迹是线段2BF ．在2Rt F BC 中，2222225357522BF BC F C ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以点F 1153762 【点睛】本题是综合了圆的性质，直线与圆相切的条件，锐角三角函数，勾股定理以及旋转的性质等知识的动点动图问题，熟练掌握各个知识点是基础，充分理解题意并作图，化动为静是解答关键.10．在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点A ，B 和图形ω，如果在图形ω上存在点P ，Q （P ，Q 可以重合），使得AP ＝2BQ ，那么称点A 与点B 是图形ω的一对“倍点”． 已知⊙O 的半径为1，点B （0，3）．（1）①点B 到⊙O 的最大值，最小值；②在A 1（5，0），A 2（0，10），A 322）这三个点中，与点B 是⊙O 的一对“倍点”的是 ；（2）在直线y =x +b 上存在点A 与点B 是⊙O 的一对“倍点”，求b 的取值范围； （3）正方形MNST 的顶点M （m ，1），N （m +1，1），若正方形上的所有点与点B 都是⊙O 的一对“倍点”，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）①点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2；②A 1；（2）b -≤≤；（3）3≤m ≤1或≤m ≤﹣4【解析】【分析】（1）①根据点与圆的位置关系求解即可；②先求出123,,A A A 三个点到⊙O 的最大值与最小值，再根据“倍点”的定义求解即可； （2）如图1（见解析），过点O 作OD l ⊥，先求428BQ ≤≤，再求出直线:3l y x b =+上的点到⊙O 的最小值，只要这个最小值小于等于8即可满足题意，然后求解即可；（3）根据正方形的位置，可分20,01,1,2m m m m -≤<≤≤><-四种情况，分别求出每种情况下，正方形最近顶点、最远顶点到⊙O 的最大值与最小值，然后根据“倍点”的定义列出不等式组求解即可.【详解】（1）①点B 到⊙O 的最大值是314BO r +=+=点B 到⊙O 的最小值是312BO r -=-=；②1A 到⊙O 的最大值6，最小值4；2A 到⊙O 的最大值11，最小值9；3A 到⊙O 的最大值3，最小值1由（1）知，点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2因此，在⊙O 上存在点P ，Q ，使得12A P BQ =，则1A 与B 是⊙O 的一对“倍点”故答案为1A ；（2）∵点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2428BQ ∴≤≤如图1，过点O 作OD l ⊥由直线:l y x b =+的解析式可知：60,DCO OC b ∠=︒=由直角三角形的性质可得：1,2CD b OD ===则点D 到⊙O 1-，即直线:3l y x b =+上的点到⊙O 的最小值为1-要使直线:3l y x b =+上存在点A 与点B 是⊙O 的一对“倍点”18-≤解得：b ≤b -≤≤；（3）由（2）知，428BQ ≤≤依题意，需分20,01,1,2m m m m -≤<≤≤><-四种情况讨论：①当20m -≤<时，顶点(1,1)N m +到⊙O14<，此时顶点N 不符题意②当01m ≤≤时，顶点(,1)M m 到⊙O14<，此时顶点M 不符题意③当1m ，如图2，正方形MNST 处于1号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,0),(,0)S m T m +此时，点T 到⊙O 的最小值为1m -，最大值为1m +；点N 到⊙O的最小值为11则1418m +≥⎧≤，解得：31m ≤≤ 当正方形MNST 处于2号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,2),(,2)S m T m +此时，点M 到⊙O1-1；点S 到⊙O 的最小11则1418≥≤，解得：1m ≤≤或1m ≤≤- 故当1m 时，m的取值范围为31m ≤≤④当2m <-时，正方形MNST 处于3号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,0),(,0)S m T m +此时，点S 到⊙O 的最小值为2m --，最大值为m -；点M 到⊙O的最小值为11则418m -≥⎧≤，解得：4m -≤≤- 当正方形MNST 处于4号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,2),(,2)S m T m +此时，点N 到⊙O11；点T 到⊙O11则2222(1)114218m m ⎧+++≥⎪⎨+-≤⎪⎩，解得：77122m -≤≤--或22177m -≤≤（舍去） 故当2m <-时，m 的取值范围为774m -≤≤-综上，m 的取值范围为3771m ≤≤-或774m -≤≤-.【点睛】本题考查了直线与圆的的位置关系、点与圆的位置关系、正方形的性质，较难的是（3），根据点与圆的位置关系分四种情况讨论是解题关键.。

人教版数学九年级上册圆几何综合单元测试卷附答案一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．已知：在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，O为AB边上的一点，以O为圆心，OA长为半径作圆交AC于D点，过D作⊙O的切线交BC于E.（1）若O为AB的中点(如图1)，则ED与EC的大小关系为：ED EC（填“”“”或“”）（2）若OA<3时（如图2），（1）中的关系是否还成立？为什么？（3）当⊙O过BC中点时（如图3），求CE长.【答案】（1）ED=EC；（2）成立；（3）3【解析】试题分析：（1）连接OD，根据切线的性质可得∠ODE=90°，则∠CDE+∠ADO=90°，由AB=6，BC=8，AC=10根据勾股定理的逆定理可证得∠ABC=90°，则∠A+∠C=90°，根据圆的基本性质可得∠A=∠ADO，即可得到∠CDE=∠C，从而证得结论；（2）证法同（1）；（3）根据直角三角形的性质结合圆的基本性质求解即可.（1）连接OD∵DE为⊙O的切线∴∠ODE=90°∴∠CDE+∠ADO=90°∵AB=6，BC=8，AC=10∴∠ABC=90°∴∠A+∠C=90°∵AO=DO∴∠A=∠ADO∴∠CDE=∠C∴ED=EC；（2）连接OD∵DE为⊙O的切线∴∠ODE=90°∴∠CDE+∠ADO=90°∵AB=6，BC=8，AC=10∴∠ABC=90°∴∠A+∠C=90°∵AO=DO∴∠A=∠ADO∴∠CDE=∠C∴ED=EC；（3）CE=3.考点：圆的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．2．选做题：从甲乙两题中选作一题，如果两题都做，只以甲题计分题甲：已知矩形两邻边的长、是方程的两根.（1）求的取值范围；（2）当矩形的对角线长为时，求的值；（3）当为何值时，矩形变为正方形？题乙：如图，是直径，于点，交于点，且．（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；（2）当，时，求的面积．【答案】题甲（1）（2）（3）题乙：（1）BD是切线；证明所以OB⊥BD，BD是切线（2）S=【解析】试题分析：题甲：（1）、是方程的两根，则其；由得（2）矩形两邻边的长、，矩形的对角线的平方=；矩形两邻边的长、是方程的两根，则；因为，所以；解得由得（3）矩形变为正方形，则a=b；、是方程的两根，所以方程有两个相等的实数根，即，由得题乙：（1）BD是切线；如图所示，是弧AC所对的圆周角，；因为，所以；于点，，所以，，在三角形OBD中，所以OB⊥BD；BD是切线（2），AB是圆的直径，所以OB=5；于点，交于点，F是BC的中点；，BF=4；在直角三角形OBF中由勾股定理得OF=；根据题意，，则，所以，从而，解得DF=，的面积=考点：直线与圆相切，相似三角形点评：本题考查直线与圆相切，相似三角形；解本题的关键是会判断直线与圆是否相切，能判定两个三角形相似3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10，点D 在线段AB 上，AD=2．点P ，Q 以相同的速度从D 点同时出发，点P 沿DB 方向运动，点Q 沿DA 方向到点A 后立刻以原速返回向点B 运动．以PQ 为直径构造⊙O ，过点P 作⊙O 的切线交折线AC ﹣CB 于点E ，将线段EP 绕点E 顺时针旋转60°得到EF ，过F 作FG ⊥EP 于G ，当P 运动到点B 时，Q 也停止运动，设DP=m ．（1）当2＜m≤8时，AP=，AQ=．（用m 的代数式表示） （2）当线段FG 长度达到最大时，求m 的值； （3）在点P ，Q 整个运动过程中，①当m 为何值时，⊙O 与△ABC 的一边相切？ ②直接写出点F 所经过的路径长是．（结果保留根号）【答案】（1）2+m ，m ﹣2;（2）m=5.5;（3）①当m=1或4或10433与△ABC 的边相切．②点F 1136572【解析】试题分析：（1）根据题意可得AP =2+m ，AQ =m −2.（2）如图1中在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=， 推出3cos30cos30FG EF PE EP =⋅=⋅=，所以当点E 与点C 重合时，PE 的值最大，求出此时EP 的长即可解决问题．（3）①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )−(m −2)=4，如图3中，设O 切AC 于H .连接OH .如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .分别求解即可．②如图5中,点F 的运动轨迹是F 1→F 2→B .分别求出122F F F B ，即可解决问题． 试题解析：(1)当28m <≤时，AP =2+m ，AQ =m −2. 故答案为2+m ，m −2. (2)如图1中，在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=，3cos30cos30FG EF PE EP ∴=⋅=⋅=， ∴当点E 与点C 重合时，PE 的值最大， 易知此时53553AC BC EP AB ⨯⨯===，3tan30(2)3EP AP m =⋅=+⋅， 533(2)m ∴=+⋅，∴m =5.5(3)①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .则有AD =2DH =2， ∴DH =DQ =1，即m =1.当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )−(m −2)=4， 如图3中，设O 切AC 于H .连接OH .则AO =2OH =4，AP =4+2=6， ∴2+m =6， ∴m =4. 如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .在Rt △OBN 中, 43sin60OB ON ==4310AO ∴=- 4312AP ∴=-43212m ∴+= 3103m ∴=-综上所述,当m =1或4或4310O 与△ABC 的边相切。

一、选择题1．在ABC 中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，把它绕AC 旋转一周得一几何体，该几何体的表面积为（ ）A ．24πB ．21πC ．16.8πD ．36π2．如图，,AB AC 分别是O 的直径和弦，OD AC ⊥于点,D 连接,BD BC ．若10,8AB AC ==，则BD 的长是（ ）A ．25B ．4C ．213D ．2453．如图，AB 是⊙O 的弦，AO 的延长线交过点B 的⊙O 的切线于点C ，如果∠ABO =30°，则∠C 的度数是（ ）A ．70°B ．45°C ．30°D ．20°4．如图，AB 是半圆O 的直径，20BAC =︒∠，则D ∠的度数是（ ）A ．70°B ．100°C ．110°D ．120° 5．点P 到圆上各点的最大距离为10cm ，最小距离为6cm ，则此圆的半径为（ ）A ．8cmB ．5cm 或3cmC ．8cm 或2cmD ．3cm 6．已知⊙O ，如图， （1）作⊙O 的直径AB ；（2）以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于C ，D 两点；（3）连接CD 交AB 于点E ，连接AC ，BC ．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE DE =；②3BE AE =；③2BC CE =．其中正确的推断的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 7．若圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为265cm π，则该圆锥的高是（ ） A ．13cmB ．12cmC ．11cmD ．10cm 8．如图，⊙O 的半径为2，四边形ADBC 为⊙O 的内接四边形，AB ＝AC ，∠D ＝112.5°，则弦BC 的长为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．23 9．如图，AB 为⊙O 的直径，,C D 为⊙O 上的两点，若7OB BC ==．则BDC ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．30C ．45︒D ．60︒10．如图，⊙P 与y 轴相切于点C （0，3），与x 轴相交于点A （1，0），B （7，0），直线y=kx-1恰好平分⊙P 的面积，那么k 的值是（ ）A ．12B ．45C ．1D ．4311．如图，在△ABC 中，（1）作AB 和BC 的垂直平分线交于点O ；（2）以点O 为圆心，OA 长为半径作圆；（3）⊙O 分别与AB 和BC 的垂直平分线交于点M ，N ；（4）连接AM ，AN ，CM ，其中AN 与CM 交于点P ．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论：①BC ＝2NC ；②AB ＝2AM ；③点P 是△ABC 的内心；④∠MON ＋2∠MPN ＝360°． 其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 12．一个圆锥的底面直径为4 cm ，其侧面展开后是圆心角为90°的扇形，则这个圆锥的侧面积等于（ ）A ．4πcm 2B ．8πcm 2C ．12πcm 2D ．16πcm 2第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．如图，点A ，B ，C 在圆O 上，54ACB ∠=︒，则ABO ∠的度数是______．14．如图，PA ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点，AC 是O 的直径，35BAC ∠=︒，则P ∠的度数为________.15．已知扇形的圆心角为120︒，面积为π，则扇形的半径是___________．16．ABC 是边长为5的等边三角形，点D 在ABC 的外部且30BDC ∠=︒，则AD 的最大值是______．17．已知O 的直径10AB =cm ，CD 是O 的弦，AE CD ⊥，垂足为点E ，BF CD ⊥，垂足为点F ，且8CD =cm ，则BF AE -的长为________cm ．18．如图，已知AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，2BC =，30CDB ∠=︒，则O 的半径为_____．19．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，若以C 为圆心，r 为半径所作的圆与斜边AB 相切，则r 的值是________20．湖州南浔镇河流密如蛛网，民间有“千步一桥”之说．如图，某圆弧形桥拱的跨度AB =12米，拱高CD =4米，则该拱桥的半径为____米．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD （每一小格为一个单位长度），将矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转90°后得到新的图形．（1）请画出旋转后的图形，旋转后C 点对应点的坐标为______．（2）请计算点C 在旋转过程中的路径长．22．如图，四边形ABCD 为菱形，且120BAD ∠=，以AD 为直径作O ，与CD 交于点P ．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，过点O 作AB 边的平行线OE ；（2）在图2中，过点C 作AB 边上的高CF ．23．如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点．求证：AP=BP ．24．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2，求大正方形的面积．25．如图，O 中，AB CD =，A C ∠=∠，AB 与CD 交于点P ．求证=DP BP ．26．如图，长方形的长为a ，宽为2a ，用整式表示图中阴影部分的面积，并计算当2a =时阴影部分的面积（π取3.14）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】 以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是圆锥的侧面积加底面积，根据圆锥的侧面积公式计算即可．【详解】解：根据题意得：圆锥的底面周长6π=，所以圆锥的侧面积165152ππ=⨯⨯=， 圆锥的底面积239ππ=⨯=，所以以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积15924πππ=+=．故选：A ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．2．C解析：C【分析】先根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理得到CD=AD=12AC=4，然后利用勾股定理计算BD 的长． 【详解】解：∵AB 为直径，∴∠ACB=90°，∴22221086BC AB AC =-=-=，∵OD ⊥AC ，∴CD=AD=12AC=4，在Rt △CBD 中，BD ==故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．3．C解析：C【分析】由BC 是⊙O 的切线，OB 是⊙O 的半径，得到∠OBC =90°，根据等腰三角形的性质得到∠A =∠ABO =30°，由外角的性质得到∠BOC =60°，即可求得∠C =30°．【详解】∵BC 是⊙O 的切线，OB 是⊙O 的半径，∴∠OBC =90°，∵OA =OB ，∴∠A =∠ABO =30°，∴∠BOC =60°，∴∠C =30°．故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．4．C解析：C【分析】先根据圆周角定理可得90ACB ∠=︒，再根据直角三角形的性质可得70B ∠=︒，然后根据圆内接四边形的性质即可得．【详解】AB 是半圆O 的直径，90ACB ∴∠=︒，20BAC ∠=︒，9070B BAC ∴∠=︒-∠=︒， 又四边形ABCD 是圆O 内接四边形，180110D B ∴∠=︒-∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．5．C解析：C【分析】分析题意，本题应分两种情况讨论：（1）点P在圆内；（2）点P在圆外；根据“一个点到圆的最大距离和最短距离都在过圆心的直线上”可知，点P到圆的最大距离与最小距离的和或差即是圆的直径，进而即可得出半径的长．【详解】当点P在圆内时，圆的直径是10+6=16cm，所以半径是8cm．当点P在圆外时，圆的直径是10-6=4cm，所以半径是2cm．故选C．【点睛】本题考查了圆的有关性质，熟知一个点到圆的最大距离和最短距离都在过圆心的直线上是解题的关键．6．D解析：D【分析】①根据作图过程可得AC AD=，根据垂径定理可判断；②连接OC，根据作图过程可证得△AOC为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断；③根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可判断．【详解】解：①∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，∴AC AD=，根据垂径定理可知，AB⊥CE，CE=DE，∴①正确；②连接OC，∵AC=OA=OC，∴△AOC为直角三角形，∵AB⊥CE，∴AE=OE，∴BE=BO+OE=3AE，∴②正确；③∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=60°，∴∠ABC=30°，∴BC=2CE，∴③正确，故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质，理解基本作图知识，熟练掌握各基本性质和综合运用是解答的关键．7．B解析：B【分析】先根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到12•2π•5•OA=65π，可求出OA=13，然后利用勾股定理计算圆锥的高．【详解】解：根据题意得12•2π•5•OA=65π，解得：OA=13，所以圆锥的高2213512．故选：B．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．8．C解析：C【分析】如图：连接OB、O C,先根据圆的内接四边形对角互补得到∠C=67.5°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BAC=45°，再根据圆周角定理可得∠BOC=90°，最后根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ADBC为⊙O的内接四边形，∠D＝112.5°∴∠C=180°-∠D＝180°-112.5°=67.5°∵AC=AB∴∠BAC=180°-2∠C=45°∴∠BOC=90°∴BC=22222222OB OC+=+=．故答案为C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的突破口．9．B解析：B【分析】如图（见解析），先根据圆的性质可得OC OB=，再根据等边三角形的判定与性质可得60BOC∠=︒，然后根据圆周角定理即可得．【详解】如图，连接OC，由同圆半径相等得：OC OB=，7OB BC==，OC OB BC∴==，BOC∴是等边三角形，60BOC∴∠=︒，由圆周角定理得：1230BOCBDC∠=︒=∠，故选：B．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、同圆半径相等、圆周角定理，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．10．C解析：C【分析】连接PC，PA，过点P作PD⊥AB于点D，根据切线的性质可知PC⊥y轴，故可得出四边形PDOC是矩形，所以PD=OC=3，再求出AB的长，由垂径定理可得出AD的长，故可得出OD 的长，进而得出P点坐标，再把P点坐标代入直线y=kx-1即可得出结论．【详解】解：连接PC，PA，过点P作PD⊥AB于点D，∵⊙P与y轴相切于点C（0，3），∴PC⊥y轴，∴四边形PDOC是矩形，∴PD=OC=3，∵A（1，0），B（7，0），∴AB=7-1=6，∴AD=12AB=12×6=3，∴OD=AD+OA=3+1=4，∴P（4，3），∵直线y=kx-1恰好平分⊙P的面积，∴3=4k-1，解得k=1．故选：C．【点睛】本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出P点坐标即可得出结论．11．C解析：C【分析】利用垂径定理可对①②进行判断；利用圆周角定理可得到CM、AN为角平分线，则利用三角形内心的定义可对③进行判断；根据P是△ABC的内心得出∠APC=90°+12∠B，进而得出∠MON+∠B=180°，再代入求解即可．【详解】解：作BC的垂直平分线，则ON平分BC，则BC＝2NC，所以①正确；作AB的垂直平分线，则OM平分AB，则AB＝2AM，2AM＞AB，所以②错误；∵M点为AB的中点，∴∠ACM=∠BCM，∵点N 为BC 的中点，∴∠BAN=∠CAN ，故P 点为△ABC 的内心，所以③正确；∵∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=180°-12∠BAC-12∠BCA=180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12(180°-∠B)=90°+12∠B ， ∴2∠MPN=2∠APC=180°+∠B ，又OM ⊥AB ，ON ⊥BC ，∴∠MON+∠B=180°，∴∠MON+2∠MPN=∠MON+180°+∠B=180°+180°=360°，故④正确，∴正确的结论有3个，故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、三角形内心及外心的性质、线段的垂直平分线的尺规作图等，熟练掌握各图形的性质及尺规作图步骤是解决本题的关键．12．D解析：D【分析】设展开后的圆半径为r ，根据圆锥性质可知底面周长就等于展开后扇形的弧长，然后算出展开后扇形的半径，进而计算出扇形的面积．【详解】解：设展开后的扇形半径为r ，由题可得：4π=2r π解得r =8∴S 扇形=14π×82 =16π故选：D【点睛】此题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥侧面展开图与各部分对应情况是解题关键． 二、填空题13．36°【分析】根据圆周角定理可得再利用等腰三角形的性质即可求解【详解】解：∵∴∵∴故答案为：36°【点睛】本题考查圆周角定理掌握圆周角定理是解题的关键解析：36°【分析】根据圆周角定理可得2108AOB ACB ∠=∠=︒，再利用等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：∵54ACB ∠=︒，∴2108AOB ACB ∠=∠=︒，∵OA OB =， ∴()1180362ABO BAO AOB ∠=∠=︒-∠=︒， 故答案为：36°．【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 14．70°【分析】根据题意可以求得∠OAP 和∠OBP 的度数然后根据∠BAC ＝35°即可求得∠P 的度数【详解】解：连接OB ：∵PAPB 是⊙O 的两条切线AB 是切点AC 是⊙O 的直径∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°解析：70°【分析】根据题意可以求得∠OAP 和∠OBP 的度数，然后根据∠BAC ＝35°，即可求得∠P 的度数．【详解】解：连接OB ：∵PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 是切点，AC 是⊙O 的直径，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∵∠BAC ＝35°，OA ＝OB ，∴∠BAC ＝∠OBA ＝35°，∴∠PAB ＝∠PBA ＝55°，∴∠P ＝180°−∠PAB−∠PBA ＝70°，即∠P 的度数是70°，故答案为：70°．【点睛】本题考查切线的性质，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用切线的性质解答问题．15．【分析】根据扇形的面积公式S 扇形=即可求得【详解】解：∵S 扇形=∴r2==3∴r=（负值舍去）故答案为：【点睛】本题主要考查扇形面积的计算解题的关键是掌握扇形面积的计算公式：S 扇形=3【分析】根据扇形的面积公式S 扇形=2360n r π 即可求得． 【详解】解：∵S 扇形=2360n r π， ∴r 2=360360 120S n πππ==3， ∴（负值舍去），【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握扇形面积的计算公式：S 扇形=2360n r π． 16．【分析】作A 点关于BC 的对称点A 以A 点为圆心以BC 的长为半径作圆连接AA 交BC 于E 点延长AA 交⊙A 与点D 连接BDCD 则∠BDC ＝∠BAC ＝×60°＝30°此时AD 为最大值根据等边三角形的性质可求解A解析：5【分析】作A 点关于BC 的对称点A'，以A'点为圆心，以BC 的长为半径作圆，连接AA'交BC 于E 点，延长AA'交⊙A'与点D ，连接BD ，CD ，则∠BDC ＝12∠BA'C ＝12×60°＝30°，此时AD为最大值，根据等边三角形的性质可求解A'E ＝AE ，A'D ＝A'B ＝AB ＝5，进而可求解．【详解】作A 点关于BC 的对称点A'，以A'点为圆心，以BC 的长为半径作圆，连接AA'交BC 于E 点，延长AA'交⊙A'与点D ，连接BD ，CD ，则∠BDC ＝12∠BA'C ＝12×60°＝30°，此时AD 为最大值，∵△ABC 是边长为5的等边三角形，∴BC ＝AB ＝5，∴BE=12BC=52∴A'E ＝AE A'D ＝A'B ＝AB ＝5， ∴AD ＝AE ＋A'E ＋A'D ＝5．故答案为5．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，轴对称的性质，圆周角定理等知识的综合运用，解题的关键是根据题意作出示意图进行求解．17．6【分析】如图作OH⊥CD于H连接AH延长AH交BF于K连接OC证明AE=FK利用勾股定理求出OH再利用三角形的中位线定理求出BK即可解决问题【详解】解：如图作OH⊥CD于H连接AH延长AH交BF于解析：6【分析】如图，作OH⊥CD于H，连接AH，延长AH交BF于K，连接OC．证明AE=FK，利用勾股定理求出OH，再利用三角形的中位线定理求出BK即可解决问题．【详解】解：如图，作OH⊥CD于H，连接AH，延长AH交BF于K，连接OC．∵OH⊥CD，∴CH=DH=4（cm），∠CHO=90°，∴2222-=-=3（cm），OC CH54∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴AE∥OH∥BF，∵OA=OB，∴EH=FH，∵∠AEH=∠KFH=90°，∠AHE=∠FHK，∴△AEH≌△KFH（AAS），∴AH=HK，AE=FK，∵AO=OB，∴OH=12BK，∴BK=6（cm），∴BF-AE=BF-FK=BK=6（cm）．故答案为6．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．18．2【分析】根据圆周角定理得出∠A=∠CDB∠ACB=90°根据含30°角的直角三角形的性质得出AB=2BC求出AB再求出半径即可【详解】解：∵∴∠A=∠CDB∵∠CDB=30°∴∠A=30°∵AB为解析：2【分析】根据圆周角定理得出∠A=∠CDB，∠ACB=90°，根据含30°角的直角三角形的性质得出AB=2BC，求出AB，再求出半径即可．【详解】解：∵=BC BC∴∠A=∠CDB，∵∠CDB=30°，∴∠A=30°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC=2，∴AB=2BC=4，∴⊙O的半径是1422⨯=，故答案为：2．【点睛】本题考查了圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能根据圆周角定理得出∠A=∠CDB和∠ACB=90°是解此题的关键．19．【分析】根据相切的定义可得利用等面积法即可求解【详解】解：∵∠C＝90°AC＝3cmBC＝4cm∴由题意可得∴即故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系勾股定理掌握相切的定义是解题的关键解析：12 5【分析】根据相切的定义可得CD AB ⊥，利用等面积法即可求解．【详解】解：∵∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ， ∴225cm AB AC BC =+=，由题意可得CD AB ⊥，∴1122AC BC AB CD ⋅=⋅，即125CD =， 故答案为：125． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、勾股定理，掌握相切的定义是解题的关键．20．65【分析】根据垂径定理的推论此圆的圆心在CD 所在的直线上设圆心是O 连接OA 根据垂径定理和勾股定理求解【详解】根据垂径定理的推论知此圆的圆心在CD 所在的直线上设圆心是O 连接OA 拱桥的跨度AB=12m解析：6.5【分析】根据垂径定理的推论，此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ．连接OA ．根据垂径定理和勾股定理求解．【详解】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ，连接OA ． 拱桥的跨度AB =12m ，拱高CD =4m ，根据垂径定理，得AD=6 m ，利用勾股定理可得：()22264AO AO =--，解得：AO =6.5m ．即圆弧半径为6.5米，故答案为：6.5．【点睛】本题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意由半径、半弦、弦心距构造的直角三角形进行有关的计算． 三、解答题21．（1）图见解析，(2,3)-；（2）52π． 【分析】 （1）先根据旋转的性质分别画出点,,B C D 旋转后的对应点,,B C D '''，再顺次连接点,,,A B C D '''可得旋转后的图形，然后根据旋转的性质可得四边形AB C D '''是矩形，,AD AD C D CD '''==，由此即可得；（2）先利用矩形的性质、勾股定理求出AC 的长，再利用弧长公式即可得．【详解】（1）先根据旋转的性质分别画出点,,B C D 旋转后的对应点,,B C D '''，再顺次连接点,,,A B C D '''可得旋转后的图形，如图所示：由题意得：(2,0),(5,0),(5,4),(2,4)A B C D ，2,3,4OA AB CD BC AD ∴=====，由旋转的性质得：4,3AD AD C D CD '''====，四边形AB C D '''是矩形， 2,OD AD OA C D AD '''''∴=-=⊥，∴点C '的坐标为(2,3)C '-，即旋转后C 点对应点的坐标为(2,3)-；（2）由题意得：点C 在旋转过程中的路径长为CC '的长，如图所示：四边形ABCD 是矩形，3,4AB BC ==，∴对角线225AC AB +BC ，由旋转的性质得：90CAC '∠=︒，则CC '的长为90551802ππ⨯=， 即点C 在旋转过程中的路径长为52π． 【点睛】本题考查了画旋转图形、旋转的性质、弧长公式等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．22．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD 、AC 交于点E ，连接OE ；（2）连接BD ，则点P 和BD 与O 的交点的延长线与AB 的交点即为F 点．【详解】（1）如图所示，∵四边形ABCD 是菱形，∴E 是BD 中点，∵O 是DA 中点，∴//OE AB ；（2）如图所示，∵120BAD ∠=，∴60ADC ∠=︒，∵AD CD =，∴ACD △是等边三角形，∵AD 是直径，∴90APD ∠=︒，即AP DC ⊥，∴P 是CD 中点，通过如图所示找到的点F 是AB 的中点，∵ABC 也是等边三角形，∴CF AB ⊥．【点睛】本题考查作图，解题的关键是要熟悉各种几何的性质，比如：等边三角形的性质，中位线的性质，菱形的性质，圆的性质．23．见解析【分析】根据切线的性质得出OP ⊥AB ，根据垂径定理得出即可．【详解】证明：如图，连接OP ，∵大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，∴OP⊥AB，∵OP过O，∴AP=BP．【点睛】本题考查了切线的性质和垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度适中．24．64cm2【分析】连接OA、OB、OE，证Rt△ADO≌Rt△BCO，推出OD=OC，设AD=a，则OD=12a，由勾股定理求出OA=OB=OE=5a，求出EF=FC=4cm，在△OFE中由勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】解：连接OA、OB、OE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠ADO=∠BCO=90°，∵在Rt△ADO和Rt△BCO中∵OA OB AD BC=⎧⎨=⎩，∴Rt△ADO≌Rt△BCO，∴OD=OC，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，设AD=acm，则OD=OC=12DC=12AD=12acm，在△AOD中，由勾股定理得：5acm，∵小正方形EFCG的面积为16cm2，∴EF=FC=4cm ，在△OFE 中，由勾股定理得：a)2=42+(12a+4)2， 解得：a=-4（舍去），a=8，∴正方形面积为264cm故答案为：64cm²．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，用的数学思想是方程思想．25．见解析．【分析】根据已知条件和圆周角定理证明△APD ≌△CPB 即可得到DP=BP ．【详解】证明：∵AB CD =，∴CD = AB ，∴ CD- CA= AB - AC ，∴ AD = BC.又∵∠A=∠C ，∠APD=∠CPB ，∴△APD ≌△CPB.∴DP=BP .【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及圆心角定理：在同圆或等圆中圆心角相等，弧相等，弦相等，弦心距相等，在这几组相等关系中，只要有一组成立，则另外几组一定成立． 26．2(2)4a π-，1.14 【分析】根据对称性用a 表示出阴影的面积，再将a=2代入求解即可．【详解】解：由题意可知：S 阴=211442222a a a π⎡⎤⎛⎫-⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2(2)4a π-= 当2a =时，S 阴=(3.142)4 1.144-⨯=． 【点睛】本题考查列代数式、代数式求值、圆的面积公式、三角形的面积公式，解答的关键是找出面积之间的关系，利用基本图形的面积公式解决问题．。

人教版数学九年级上学期《圆》单元测试(满分120分，考试用时120分钟)一、单选题OP ，则点P与O的位置关系是( ) 1．已知O的半径为5，同一平面内有一点P，且7A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．无法确定2．已知正六边形的边长是2，则该正六边形的边心距是()A．1 B C．2 D．23．如图，已知在⊙O中，BC是直径，AB＝DC，∠AOD＝80°，则∠ABC等于( )A．40°B．65°C．100°D．105°4．如图，ABCD为⊙O内接四边形，若∠D=85°，则∠B=( )A．85°B．95°C．105°D．115°5．如图，已知AB是⊙O直径，∠AOC＝130°，则∠D等于()A．65°B．25°C．15°D．35°6．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，AD CD，如果∠CAB＝40°，那么∠CAD的度数为()A．25°B．50°C．40°D．80°7．已知⊙O的半径为4，直线l上有一点与⊙O的圆心的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系为() A．相离B．相切C．相交D．相切、相交均有可能8．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，若点P的坐标是(3，4)，则点P与⊙O的位置关系是()A．点P在⊙O外B．点P在⊙O内C．点P在⊙O上D．点P在⊙O上或在⊙O外9．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(1，2)，点P的坐标是(5，2)，那么点P的位置为()A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定10．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是()A．20°B．30°C．40°D．70°11．如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝30°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则P A+PB的最小值为()A．4 B．C．D．212．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，埋在壁中，不知大小，，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是:“CD为O的直径，弦AB CD垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”，依题意得CD的长为( )A．12寸B．13寸C．24寸D．26寸二、填空题13．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC切⊙O于C，连接AC，若∠CAB＝30°，则∠D ＝_____度．14．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为______.15．若一个扇形的圆心角为45°，面积为6π，则这个扇形的半径为_______．16．如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r为______．三、解答题17．已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB的中点．求证:MC=NC．18．如图，AB为⊙O的直径，过点C的切线DE交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E．求证:AC平分∠BAE．19．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BD 是∠ABC 的角平分线，过点D 分别作DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ．(1)求证:△AED ≌△CFD;(2)若AB ＝10，BC ＝8，∠ABC ＝60°，求BD 的长度．20．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4AD =．作DE ⊥AC 于点E ，作AF ⊥BD 于点F ．(1)求AF 、AE 的长;(2)若以点A 为圆心作圆， B 、C 、D 、E 、F 五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求A的半径 r 的取值范围．21．如图，已知O ．(1)用尺规作正六边形，使得O 是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹; (2)用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形．22．校运会期间，小捷同学积极参与各项活动．在铅球项目中，他掷出的铅球在场地上压出一个小坑(图示是其主视图)，经测量，其中坑宽AB为8cm，小坑的最大深度为2cm，请帮助小捷同学计算铅球的半径OA 的长为多少？23．如图，P是⊙O外一点，P A是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且P A＝PB，延长BO分别与⊙O、切线P A相交于C、Q两点．(1)求证:PB是⊙O的切线;(2)QD为PB边上的中线，若AQ＝4，CQ＝2，求QD的值．24．如图，O 的直径AB 垂直弦CD 于M ，且M 是半径OB 的中点，8CD cm =，求直径AB 的长．25．如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，点C 为BD 的中点．若40A ∠=，求B ∠的度数．26．如图是破残的圆形轮片，求作此残片所在的圆．(不写作法，保留作图痕迹)参考答案一、单选题12．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是:“CD 为的直径，弦，垂足为E ，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD 的长”，依题意得CD 的长为( )A ．12寸B ．13寸C ．24寸D ．26寸【答案】D 【解析】【分析】连接AO ，设直径CD 的长为寸，则半径OA=OC=寸，然后利用垂径定理得出AE ，最后根据勾股定理进一步求解即可.【详解】如图，连接AO ，设直径CD 的长为寸，则半径OA=OC=寸，∵CD 为的直径，弦，垂足为E ，AB=10寸，∴AE=BE=AB=5寸，根据勾股定理可知， O AB CD⊥2xx 2x x O AB CD ⊥12在Rt △AOE 中，，∴，解得:，∴，即CD 长为26寸.【点评】本题主要考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.二、填空题13．如图，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线上一点，DC 切⊙O 于C ，连接AC ，若∠CAB ＝30°，则∠D ＝_____度．【答案】30【解析】【分析】连接OC ，如图，根据切线的性质得∠OCD =90°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠COD =60°，然后利用互余计算∠D 的度数．【详解】连接OC ，如图，∵DC 切⊙O 于C ，∴OC ⊥CD ，∴∠OCD =90°．∵OA =OC ，∴∠ACO =∠CAB =30°，∴∠COD =∠ACO +∠CAB =60°，∴∠D =90°﹣∠COD =90°﹣60°=30°． 故答案为30．222AO AE OE =+()22251x x =+-13x =226x=【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质． 14．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB=2，C 、D 是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC 的长为______.【答案】1【解析】【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠A=∠CDB=30°，再根据AB 是⊙O 的直径，得出∠ACB=90°，则BC=AB ，从而得出结论． 【详解】解:∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∵∠A=∠CDB=30°，∴BC=AB=， 故答案为1．【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．15．若一个扇形的圆心角为45°，面积为6π，则这个扇形的半径为_______．12121212⨯=【答案】【解析】【分析】已知了扇形的圆心角和面积，可直接根据扇形的面积公式求半径长．【详解】设扇形的半径为r．根据题意得:6π解得:r＝故答案为【点评】本题考查了扇形的面积公式．熟练将公式变形是解题的关键．16．如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r为______．【答案】10cm【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•r•30=300π，然后解方程即可．【详解】解:根据题意得•2π•r•30=300π，解得r=10(cm)．245360rπ=1212故答案为:10cm．【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．三、解答题17．已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB的中点．求证:MC=NC．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC=∠BOC，又由M、N分别是半径OA、OB的中点，可得OM=ON，利用SAS判定△MOC≌△NOC，继而证得结论．【详解】证明:∵弧AC和弧BC相等，∴∠AOC=∠BOC，∵OA=OB又∵M、N分别是OA、OB的中点∴OM=ON，在△MOC和△NOC中，OM ONAOC BOCOC OC，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MOC≌△NOC(SAS)，∴MC=NC．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质;证明三角形全等是解决问题的关键．18．如图，AB为⊙O的直径，过点C的切线DE交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E．求证:AC平分∠BAE．【答案】证明见解析【解析】【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠EAC=∠CAO，即AC平分∠BAE．【详解】如图:连接OC．∵DE切⊙O于点C，∴OC⊥DE．又∵AE⊥DC，∴OC∥AE，∴∠ACO=∠EAC．∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC，∴∠EAC=∠OAC，∴AC平分∠BAE．【点评】本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．19．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BD 是∠ABC 的角平分线，过点D 分别作DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ．(1)求证:△AED ≌△CFD;(2)若AB ＝10，BC ＝8，∠ABC ＝60°，求BD 的长度．【答案】(1)见解析【解析】【分析】(1)由角平分线性质定理可得DE ＝DF ，由圆内接四边形性质可得∠A ＋∠BCD ＝180°，然后代换可得∠A ＝∠DCF ，又∠DEA ＝∠F ＝90°， 所以△AED ≌△CFD;(2)由三角形全等可得AE ＝CF ，BE ＝BF ，设AE ＝CF ＝x ，可得x ＝1;在Rt △BFD ，根据30°所对的直角边是斜边的一半，则BD ＝2DF ，利用勾股定理解得BD ＝【详解】(1)∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠A ＋∠BCD ＝180°，又∵∠DCF ＋∠BCD ＝180°，∴∠A ＝∠DCF∵BD 是∠ABC 的角平分线，又∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF ，∠DEA ＝∠F ＝90°，∴△AED ≌△CFD.(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，BE ＝BF ，设AE ＝CF ＝x ，则BE ＝10－x ，BF ＝8＋x ，即10－x ＝8＋x ，解得x ＝1，在Rt △BFD ，∠DBC ＝30°，设DF ＝y ，则BD ＝2y ，∵BF 2＋DF 2＝BD 2，∴y 2＋92＝(2y)2，y ＝BD ＝【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，由条件灵活转移线段关系是解题关键. 20．如图，矩形中，，．作DE ⊥AC 于点E ，作AF ⊥BD 于点F ． (1)求AF 、AE 的长;(2)若以点为圆心作圆， 、、、E 、F 五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求的半径 的取值范围．【答案】(1)，;(2) 【解析】【分析】(1)先利用等面积法算出AF=，再根据勾股定理得出; (2)根据题意点F 只能在圆内，点C 、D 只能在圆外，所以⊙A 的半径r 的取值范围为.【详解】解:如图，ABCD 3AB =4AD =A B C D Ar 125AF =165AE = 2.44r <<125165AE = 2.44r <<(1)在矩形中，，．∴∵DE ⊥AC ，AF ⊥BD ，∴ ; ∴AF=， 同理，DE=, 在Rt △ADE 中，=, (2) 若以点为圆心作圆， 、、、E 、F 五点中至少有1个点在圆内，则r>2.4,当至少有2个点在圆外，r<4,故⊙A 的半径r 的取值范围为:21．如图，已知．(1)用尺规作正六边形，使得是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹; (2)用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形．ABCD 3AB =4AD =11··22ABD S AB AD BD AF ==△125125165A B C D 2.44r <<O O【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析【解析】【分析】(1)利用正六边形的性质外接圆边长等于外接圆半径;(2)连接对角线以及利用正六边形性质．【详解】解:(1)如图所示:,(2)如图所示:【点评】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形和正六边形的性质，根据正六边形性质得出作法是解题关键.22．校运会期间，小捷同学积极参与各项活动．在铅球项目中，他掷出的铅球在场地上压出一个小坑(图示是其主视图)，经测量，其中坑宽AB为8cm，小坑的最大深度为2cm，请帮助小捷同学计算铅球的半径OA 的长为多少？【答案】5cm【解析】【分析】先根据垂径定理求出AD 的长，设OA=rcm ，则OD=(r-2)cm ，再根据勾股定理求出r 的值即可．【详解】解:作OD ⊥AB 于D ，如图所示:∵AB=8cm ，OD ⊥AB ，小坑的最大深度为2cm ，∴AD=AB=4cm ． 设OA=rcm ，则OD=(r-2)cm在Rt △OAD 中，∵OA 2=OD 2+AD 2，即r 2=(r-2)2+42，解得r=5cm;即铅球的半径OA 的长为5cm ．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．23．如图，P 是⊙O 外一点，P A 是⊙O 的切线，A 是切点，B 是⊙O 上一点，且P A ＝PB ，延长BO 分别与⊙O 、切线P A 相交于C 、Q 两点．(1)求证:PB 是⊙O 的切线;(2)QD 为PB 边上的中线，若AQ ＝4，CQ ＝2，求QD 的值．12【答案】(1)详见解析;(2)QD【解析】【分析】(1)要证明PB 是⊙O 的切线，只要证明∠PBO=90°即可，根据题意可以证明△OBP ≌△OAP ，从而可以解答本题;(2)根据题意和勾股定理的知识，可以求得QD 的值．【详解】(1)证明:连接OA ，在△OBP 和△OAP 中，，∴△OBP ≌△OAP (SSS )，∴∠OBP ＝∠OAP ，∵P A 是⊙O 的切线，A 是切点，∴∠OAP ＝90°，∴∠OBP ＝90°，∵OB 是半径，∴PB 是⊙O 的切线;(2)连接OCPA PB OB OAOP OP ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∵AQ＝4，CQ＝2，∠OAQ＝90°，设OA＝r，则r2+42＝(r+2)2，解得，r＝3，则OA＝3，BC＝6，设BP＝x，则AP＝x，∵PB是圆O的切线，∴∠PBQ＝90°，∴x2+(6+2)2＝(x+4)2，解得，x＝6，∴BP＝6，∴BD＝3，∴QD，即QD【点评】本题考查切线的判定与性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．24．如图，的直径垂直弦于，且是半径的中点，，求直径的长．【解析】【分析】连接OC ，根据垂径定理可求CM =DM =4cm ，再运用勾股定理可求半径OC ，则直径AB 可求．【详解】连接OC ．设圆的半径是r ．∵直径AB ⊥CD，∴CM =DM =CD =4cm ． ∵M 是OB 的中点，∴OM =r ，由勾股定理得:OC 2=OM 2+CM 2，∴r 2=(r )2+42，解得:r =，则直径AB =2r =(cm )．【点评】本题考查了垂径定理，解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．25．如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点．若，求的度数． O AB CD M M OB 8CD cm =AB 1212123ABCD O AB O C BD 40A ∠=B ∠【答案】.【解析】【分析】连接AC ，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，∠BAC=∠BAD ，然后根据∠B 与∠BAC 互余即可求解.【详解】解:连接，∵是直径，∴，∵点为的中点，，∴， ∴在中，．【点评】本题主要考查圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．26．如图是破残的圆形轮片，求作此残片所在的圆．(不写作法，保留作图痕迹)【答案】见解析70B ∠=12AC AB 90ACB ∠=C BD 40BAD ∠=11402022BAC BAD ∠=∠=⨯=Rt ABC 902070B ∠=-=【解析】【分析】根据圆的性质，弦的垂直平分线过圆心，所以只要找到两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，有圆心就可以作出圆轮．【详解】如图:圆O为所求．【点评】本题考查了圆的基本性质，是一种求圆心的作法．作圆的方法有:①圆心半径;②三个圆上的点．。

九年级数学上册圆几何综合（提升篇）（Word版含解析）一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．在直角坐标系中，A（0，4），B（4，0）．点C从点B出发沿BA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点D从点A出发沿AO方向以每秒1个单位的速度向点O 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点C、D运动的时间是t秒(t>0)．过点C作CE⊥BO于点E，连结CD、DE．⑴当t为何值时，线段CD的长为4；⑵当线段DE与以点O为圆心，半径为的⊙O有两个公共交点时，求t的取值范围；⑶当t为何值时，以C为圆心、CB为半径的⊙C与⑵中的⊙O相切？【答案】(1); (2) 4-＜t≤; (3)或．【解析】试题分析：（1）过点C作CF⊥AD于点F，则CF，DF即可利用t表示出来，在Rt△CFD中利用勾股定理即可得到一个关于t的方程，从而求得t的值；（2）易证四边形ADEC是平行四边形，过点O作OG⊥DE于点G，当线段DE与⊙O相切时，则OG=，在直角△OEG中，OE可以利用t表示，则OG也可以利用t表示出来，当OG＜时，直线与圆相交，据此即可求得t的范围；（3）分两圆外切与内切两种情况进行讨论，当外切时，圆心距等于两半径的和，当内切时，圆心距等于圆C的半径减去圆O的半径，列出方程即可求得t的值．（1）过点C作CF⊥AD于点F，在Rt△AOB中，OA=4，OB=4，∴∠ABO=30°，由题意得：BC=2t，AD=t，∵CE⊥BO，∴在Rt△CEB中，CE=t，EB=t，∵CF⊥AD，AO⊥BO，∴四边形CFOE是矩形，∴OF=CE=t，OE=CF=4-t，在Rt△CFD中，DF2+CF2=CD2，∴（4-t-t）2+（4-t）2=42，即7t2-40t+48=0，解得：t=，t=4，∵0＜t＜4，∴当t=时，线段CD的长是4；（2）过点O作OG⊥DE于点G（如图2），∵AD∥CE，AD=CE=t∴四边形ADEC是平行四边形，∴DE∥AB∴∠GEO=30°，∴OG=OE=（4-t）当线段DE与⊙O相切时，则OG=，∴当（4-t）＜，且t≤4-时，线段DE与⊙O有两个公共交点．∴当 4-＜t≤时，线段DE与⊙O有两个公共交点；（3）当⊙C与⊙O外切时，t=；当⊙C与⊙O内切时，t=；∴当t=或秒时，两圆相切．考点：圆的综合题．2．已知：图1 图2 图3 （1）初步思考：如图1， 在PCB ∆中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明：12PN PC =（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC -的最大值．【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值37DG =【解析】 【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等，证明BPN ∆∽BCP ∆，得到PN BNPC BP=，即可得到结论成立；（2）在BC 上取一点G ，使得BG=1，由△PBG ∽△CBP ，得到12PG PC =，当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小，即可得到答案； （3）在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理得到12PG PC =，当点P 在DG 的延长线上时，12PD PC -的值最大，即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵2,1,4PB BN BC ===， ∴24,4PB BN BC =⋅=， ∴2PB BN BC =⋅，∴BN BPBP BC =， ∵B B ∠=∠，∴BPN BCP ∆∆∽， ∴12PN BN PC BP ==， ∴12PN PC =； （2）解：如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，∵242,212PB BC BG PB ====， ∴,PB BCPBG PBC BG PB=∠=∠， ∴PBG CBP ∆∆∽， ∴12PG BG PC PB ==， ∴12PG PC =， ∴12PD PC DP PG +=+； ∵DP PG DG +≥， ∴当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小， ∴最小值为：22435DG =+=；（3）如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理，可证12PG PC=，在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD•sin60°=23，CF=2，在Rt△GDF中，DG=22(23)537+=，∴12PD PC PD PG DG -=-≤，当点P在DG的延长线上时，12PD PC-的值最大，∴最大值为：37DG=.【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．3．选做题：从甲乙两题中选作一题，如果两题都做，只以甲题计分题甲：已知矩形两邻边的长、是方程的两根.（1）求的取值范围；（2）当矩形的对角线长为时，求的值；（3）当为何值时，矩形变为正方形？题乙：如图，是直径，于点，交于点，且．（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；（2）当，时，求的面积．【答案】题甲（1）（2）（3）题乙：（1）BD是切线；证明所以OB⊥BD，BD是切线（2）S=【解析】试题分析：题甲：（1）、是方程的两根，则其；由得（2）矩形两邻边的长、，矩形的对角线的平方=；矩形两邻边的长、是方程的两根，则；因为，所以；解得由得（3）矩形变为正方形，则a=b；、是方程的两根，所以方程有两个相等的实数根，即，由得题乙：（1）BD是切线；如图所示，是弧AC所对的圆周角，；因为，所以；于点，，所以，，在三角形OBD中，所以OB⊥BD；BD是切线（2），AB是圆的直径，所以OB=5；于点，交于点，F是BC的中点；，BF=4；在直角三角形OBF中由勾股定理得OF=；根据题意，，则，所以，从而，解得DF=，的面积=考点：直线与圆相切，相似三角形点评：本题考查直线与圆相切，相似三角形；解本题的关键是会判断直线与圆是否相切，能判定两个三角形相似4．如图，△ABC内接于⊙O，点D在AB边上，CD与OB交于点E，∠ACD＝∠OBC；（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）如图2，当∠BAC＝∠OBC+∠BCD时，求证：BO平分∠ABC；（3）如图3，在（2）的条件下，作OF⊥BC于点F，交CD于点G，作OH⊥CD于点H，连接FH并延长，交OB于点P，交AB边于点M．若OF＝3，MH＝5，求AC边的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AC＝48 5【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出∠FCB=90°，再根据“同弧所对的圆周角相等”得出∠A=∠F，再根据已知条件得∠3=90°，得CD⊥AB；（2）延长BO交AC于K，由已知可得∠A=∠5，由∠A+∠2=90°得∠5+∠2=90°，根据三角形的内角和定理及外角定理得出∠9=∠1得出BO平分∠ABC；（3）延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN，由条件可得CH=NH，BF=CF，从而HF是△CBN的中位线，HF∥BN，得出∠OEH=∠EHM又由∠OEH+∠EOH=∠EHM+∠OHP=90°可得HM=OB=5，在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF=4，解出BC=8，sin∠OBC=35，所以可得AC=2CK，CK=BC•sin∠OBC=245得AC=48 5.【详解】解：（1）如图1，令∠OBC＝∠1，∠ACD＝∠2延长BO交⊙O于F，连接CF．∵BF是⊙O的直径，∴∠FCB＝90°∴∠1+∠F＝90°，∵弧BC＝弧BC，∴∠A＝∠F又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠A＝90°，∴∠3＝90°，∴CD⊥AB（2）如图2，令∠OBC＝∠1，∠BCD＝∠4延长BO交AC于K∵∠A＝∠1+∠4，∠5＝∠1+∠4，∴∠A＝∠5，∵∠A+∠2＝90°，∴∠5+∠2＝90°，∴∠6＝90°∵∠7＝180°﹣∠3＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠5＝∠8，∴∠9＝∠2∵∠2＝∠1，∴∠9＝∠1，∴BO平分∠ABC（3）如图3，延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN∵OH⊥CN，OF⊥BC∴CH＝NH，BF＝CF∴HF是△CBN的中位线，HF∥BN∴∠FHC＝∠BNC＝∠BAC∵∠BAC＝∠OEH，∠FHC＝∠EHM∴∠OEH＝∠EHM设EM、OE交于点P∵∠OEH+∠EOH＝∠EHM+∠OHP＝90°∴∠EOH＝∠OHP∴OP＝PH∵∠ADC＝∠OHC＝90°∴AD∥OH∴∠PBM＝∠EOH，∠BMP＝∠OHP∴PM＝PB∴PM+PH＝PB+OP∴HM＝OB＝5在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF＝4∴BC＝8，sin∠OBC＝3 5∵∠A+∠ABO＝∠DEB+∠ABO＝90°∴∠AKB+∠CKB＝90°∴OK⊥ACAC＝2CK，CK＝BC•sin∠OBC＝24 5∴AC＝48 5【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及三角形的内角和定理及外角定理和勾股定理、三角函数等知识，理解同弧所对的圆周角相等是解题关键．5．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r(r＞1)，点P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：过圆心C的任意直线CP与⊙C交于点A，B，若满足|PA﹣PB|＝2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图点P为⊙C的一个“完美点”．(1)当⊙O的半径为2时①点M(32，0)⊙O的“完美点”，点(﹣32，﹣12)⊙O的“完美点”；(填“是”或者“不是”)②若⊙O的“完美点”P在直线y＝34x上，求PO的长及点P的坐标；(2)设圆心C的坐标为(s，t)，且在直线y＝﹣2x+1上，⊙C半径为r，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求t的取值范围．【答案】(1)①不是，是；②PO的长为1，点P的坐标为(45，35)或(﹣45，﹣35)；(2)t的取值范围为﹣1≤t≤3．【解析】【分析】（1）①利用圆的“完美点”的定义直接判断即可得出结论.②先确定出满足圆的“完美点”的OP的长度，然后分情况讨论计算即可得出结论；（2）先判断出圆的“完美点”的轨迹，然后确定出取极值时OC与y轴的位置关系即可得出结论.【详解】解：(1)①∵点M(32，0)，∴设⊙O与x轴的交点为A，B，∵⊙O的半径为2，∴取A(﹣2，0)，B(2，0)，∴|MA﹣MB|＝|(32+2)﹣(2﹣32)|＝3≠2，∴点M不是⊙O的“完美点”，同理：点(﹣32，﹣12)是⊙O的“完美点”．故答案为不是，是．②如图1，根据题意，|PA﹣PB|＝2，∴|OP+2﹣(2﹣OP)|＝2，∴OP＝1．若点P在第一象限内，作PQ⊥x轴于点Q，∵点P在直线y＝34x上，OP＝1，∴43,55 OQ PQ==．∴P(43,55)．若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(﹣45，﹣35)．综上所述，PO的长为1，点P的坐标为(43,55)或（43,55--）)．(2)对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA﹣PB|＝2，∴|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2．∴CP＝1．∴对于任意的点P，满足CP＝1，都有|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2，∴|PA﹣PB|＝2，故此时点P为⊙C的“完美点”．因此，⊙C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆．设直线y＝﹣2x+1与y轴交于点D，如图2，当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大．设切点为E，连接CE，∵⊙C的圆心在直线y＝﹣2x+1上，∴此直线和y轴，x轴的交点D(0，1)，F(12，0)，∴OF＝12，OD＝1，∵CE∥OF，∴△DOF∽△DEC，∴OD OF DE CE=，∴112 DE=，∴DE＝2，∴OE＝3，t的最大值为3，当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小．同理可得t的最小值为﹣1．综上所述，t 的取值范围为﹣1≤t ≤3．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了新定义，相似三角形的性质和判定，直线和圆的位置关系，解本题的关键是理解新定义的基础上，会用新定义，是一道比中等难度的中考常考题.6．已知ABD △内接于圆O ，点C 为弧BD 上一点，连接BC AC AC 、，交BD 于点E ，CED ABC ∠=∠．（1）如图1，求证：弧AB =弧AD ；（2）如图2，过B 作BF AC ⊥于点F ，交圆O 点G ，连接AG 交BD 于点H ，且222EH BE DH =+，求CAG ∠的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，圆O 上一点M 与点C 关于BD 对称，连接ME ，交AB 于点N ，点P 为弧AD 上一点，PQ BG ∥交AD 于点Q ，交BD 的延长线于点R ，AQ BN =，ANE 的周长为20，52DR =O 半径．【答案】（1）见解析；（2）∠CAG=45°；（3）r=62【解析】【分析】（1）证∠ABD=∠ACB 可得；（2）如下图，△AHD 绕点A 旋转至△ALE 处，使得点D 与点B 重合，证△ALE ≌△AHE ，利用勾股定理逆定理推导角度；（3）如下图，延长QR 交AB 于点T ，分别过点N 、Q 作BD 的垂线，交于点V ，I ，取QU=AE ，过点U 作UK 垂直BD.先证△AEN ≌△QUD ，再证△NVE ≌△RKU ，可得到NV=KR=DK ，进而求得OB 的长.【详解】（1）∵∠CED 是△BEC 的外角，∴∠CED=∠EBC+∠BCA∵∠ABC=∠ABD+∠EBC又∵∠CED=∠ABC∴∠ABD=∠ACB∴弧AB=弧AD（2）如下图，△AHD 绕点A 旋转至△ALE 处，使得点D 与点B 重合∵△ALB是△AHD旋转所得∴∠ABL=∠ADB，AL=AH设∠CAG=a，则∠CBG=a∵BG⊥AC∴∠BCA=90°-a，∴∠ADB=∠ABD=90°-a∴在△BAD中，BAE+∠HAD=180-a-(90°-a)-(90°-a)=a∴∠LAE=∠EAH=a∵LA=AH，AE=AE∴△ALE≌△AHE，∴LE=EH∵HD=LB，222=+EH BE DH∴△LBE为直角三角形∴∠LBE=(90°-a)+(90°-a)=90°，解得：a=45°∴∠CAG=45°（3）如下图，延长QR交AB于点T，分别过点N、Q作BD的垂线，交于点V，I，取QU=AE，过点U作UK垂直BD由（2）得∠BAD=90°∴点O在BD上设∠R=n，则∠SER=∠BEC=∠MEB=90°-n∴∠AEN=2n∵SQ⊥AC∴∠TAS=∠AQS=∠DQR，AN=QD∵QU=AE∴△AEN ≌△QUD∴∠QUD=∠AEN=2n∴UD=UR=NE ，∵△ANE 的周长为20∴QD+QR=20在△DQR 中，QD=7∵∠ENR=∠UDK=∠R=n∴△NVE ≌△RKU∴NV=KR=DK=522∴BN=5∴BD=122，OB=62r =【点睛】本题考查了圆的证明，涉及到全等、旋转和勾股定理，解题关键是结合图形特点，适当构造全等三角形7．已知：AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，点E 为⊙O 上一点，AE BE =，BE 与CD 交于点F ．（1）如图1，求证：BH ＝FH ；（2）如图2，过点F 作FG ⊥BE ，分别交AC 、AB 于点G 、N ，连接EG ，求证：EB ＝EG ； （3）如图3，在（2）的条件下，延长EG 交⊙O 于M ，连接CM 、BG ，若ON ＝1，△CMG 的面积为6，求线段BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）10 ．【解析】【分析】（1）连接AE ，根据直径所对圆周角等于90°及弧与弦的关系即可得解；（2）根据题意，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、，通过证明Rt CGQ Rt CBS ∆≅∆，CBE CGE ∆≅∆即可得解；（3）根据题意，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN ，设CAB α∠＝，证明()CMG CNG AAS ∆≅∆，再由面积法及勾股定理进行计算求解即可.【详解】解：（1）如下图，连接AE∵AB 为直径∴90AEB =︒∠∵AE BE =∴AE BE =∴45B ∠=︒又∵CD AB ⊥于H ∴45HFB ∠=︒∴HF HB =；（2）如下图，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、AB 为直径，∴90ACB QCS ∠=∠=︒∴GCQ BCS ∠=∠∴()Rt CGQ Rt CBS AAS ∆≅∆∴CG CB =同理()CBE CGE SAS ∆≅∆∴EG EB =；（3）如下图，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN设CAB α∠=由（2）知：CM CB =∴CM CB =∵HB HF =∴45HBF HFB ∠=∠=︒∵GF BE ⊥∴45NFH NH BH CN BC ∠=︒∴=∴=，，∴CM CB CN ==则：2MEB α∠=902AEG α∠=︒-∴45EAG EGA α∠=∠=︒+∴45M MGC α∠=∠=︒+∴()CMG CNG AAS ∆≅∆∵CMG ∆面积为6∴6CAN GAN S S -=设2122BH NH x OA OB x AN x ====+=+，，则()CGT BCH AAS ∆≅∆∴C BH x ==∴6AN CH AN TH ⋅-⋅=∴1(22)62x CT +⋅= 解得：2x =∵2BC BH BA =⋅∴2210BC =⨯，则25BC ＝∴2210BG BC ＝＝．【点睛】本题主要考查了圆和三角形的综合问题，熟练掌握圆及三角形的各项重要性质及判定方法是解决本题的关键.8．如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A 和点B ，点C 为弧AB 上一点，连接PC 并延长交O 于点F ，D 为弧AF 上的一点，连接BD 交FC 于点E ，连接AD ，且2180APB PEB ∠+∠=︒．（1）如图1，求证：//PF AD ；（2）如图2，连接AE ，若90APB ∠=︒，求证：PE 平分AEB ∠；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB 交PE 于点H ，连接OE ，8AD =，4sin 5ABD ∠=，求PH 的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）257 【解析】【分析】（1）连接OA 、OB ，由切线的性质可得90OAP OBP ∠=∠=︒，由四边形内角和是360︒，得180∠+∠=︒P AOB ，由同弧所对的圆心角是圆周角的一半，得到2AOB ADB ∠=∠，等量代换得到ADB PEB ∠=∠，由同位角相等两直线平行，得到//PF AD ；（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K ，由90APB ∠=︒得290PEB ∠=︒，从而45PEB ∠=︒，由切线的性质，得PA PB =，由PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，得PE PK =，从而90APE EPB ︒∠=-∠，进而APE BPK ∠=∠，即可证得APE BPK ∆∆≌由此45K AEP ∠=∠=︒，得到AEP PEB ∠=∠，即可证得PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM ，由45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，可得DE AE =，由OA 、OD 为半径，可得OA OD =，即可证出DEO AEO ∆∆≌，由直径所对的圆周角是直角，可得90ADM ∠=︒，在Rt ADM ∆中，由正弦定义可得10AM =，由此5OA OB ==，由OAPB 为正方形，对角线AB 垂直平分OP ，从而，OH PH =.在Rt OAP ∆中，252OP OA ==.延长EO 交AD 于K ，在Rt OEP ∆中，由勾股定理得7PE =，在Rt OEH ∆中，由勾股定理得257PH =. 【详解】 （1）连接OA 、OB∵PA 、PB 与圆O 相切于点A 、B ，且OA 、OB 为半径，∴OA AP ⊥，OB BP ⊥，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴在四边形AOBP 中，360180180P AOB ∠+∠=︒-︒=︒，∵AB AB =，∴2AOB ADB ∠=∠，∴2180P ADB ∠+∠=︒，∵2180P PEB ∠+∠=︒，∴ADB PEB ∠=∠，∴//PF AD（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K∵90APB ∠=︒，∴21809090PEB ∠=︒-︒=︒，∴45PEB ∠=︒，∵PA 、PB 为圆O 的切线，∴PA PB =，∵PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，∴PE PK = ，∵9090APE EPB KPB EPB ︒︒∠=-∠=∠=-∠，∴APE BPK ∠=∠，∴APE BPK ∆∆≌，∴45K AEP ∠=∠=︒，∴AEP PEB ∠=∠，∴PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM∵45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，∴DE AE =，∵OA 、OD 为半径，∴OA OD =，∵OE OE =，∴DEO AEO ∆∆≌，∴1452AEO OED AED ∠=∠=∠=︒， ∴90OEP ∠=︒，∵AM 为圆O 的直径，∴90ADM ∠=︒，∵弧AD =弧AD ，∴ABD AMD ∠=∠，在Rt ADM ∆中，8AD =，4sin 5AMD ∠=，则10AM =， ∴5OA OB ==，由题易证四边形OAPB 为正方形，∴对角线AB 垂直平分OP ，AB OP =，∵H 在AB 上，∴OH PH =，在Rt OAP ∆中，252OP OA ==，延长EO 交AD 于K ，∵DE AE =，可证OK AD ⊥，DOK ABD ∠=∠，∴4DK KE ==，3OK =，1OE =∴在Rt OEP ∆中，227PE OP OE =-=在Rt OEH ∆中，222OH OE EH =+∵OH PH =，7EH PE HP PH =-=-∴()22217PH PH =+- ∴257PH =． 【点睛】 本题考查了圆的综合题，圆的性质，等腰三角形的性质，相交弦定理，正弦定理，勾股定理，灵活运用这些性质定理解决问题是本题的关键．9．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=AD=5，cos 45B =，点O 是边BC 上的动点，以OB 为半径的O 与射线BA 和边BC 分别交于点E 和点M ，联结AM ，作∠CMN=∠BAM ，射线MN 与边AD 、射线CD 分别交于点F 、N ．（1）当点E 为边AB 的中点时，求DF 的长；（2）分别联结AN 、MD ，当AN//MD 时，求MN 的长；（3）将O 绕着点M 旋转180°得到'O ，如果以点N 为圆心的N 与'O 都内切，求O 的半径长．【答案】（1）DF 的长为158；（2）MN 的长为5；（3）O 的半径长为258． 【解析】【分析】 （1）作EH BM ⊥于H ，根据中位线定理得出四边形BMFA 是平行四边形，从而利用cos 45B =解直角三角形即可求算半径，再根据平行四边形的性质求FD 即可；（2）先证AMB CNM ∠=∠，再证MAD CNM ∠=∠，从而证明AFM NFD ∆~∆，得到AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=，再通过平行证明AFN DFM ∆~∆，从而得到AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=，通过两式相乘得出AF NF =再根据平行得出NF DF =， 从而得出答案．（3）通过图形得出MN 垂直平分'OO ,从而得出90BAM CMN ∠=∠=︒，再利用cos 45B =解三角函数即可得出答案． 【详解】 （1）如图，作EH BM ⊥于H ：∵E 为AB 中点，45,cos 5AB AD DC B ==== ∴52AE BE ==∴cos 45BH B BE == ∴2BH = ∴2253222EH ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设半径为r ，在Rt OEH ∆中： ()222322r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭解得：2516r =∵,E O 分别为,BA BM 中点 ∴BAM BEO OBE ∠=∠=∠又∵CMN BAM ∠=∠∴CMN OBE ∠=∠∴//MF AB∴四边形BMFA 是平行四边形∴2528AF BM r ===∴2515588FD AD AF =-=-= （2）如图：连接MD AN ，∵,B C BAM CMN ∠=∠∠=∠∴AMB CNM ∠=∠又∵AMB MAD ∠=∠∴MAD CNM ∠=∠又∵AFM NFD ∠=∠∴AFM NFD ∆~∆∴AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=① 又∵//MD AN∴AFN DFM ∆~∆ ∴AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=② 由①⨯②得; 22AF NF AF NF =⇒=∴NF DF =∴5MN AD ==故MN 的长为5；（3）作如图：∵圆O 与圆'O 外切且均与圆N 内切设圆N 半径为R ，圆O 半径为r∴'=NO R r NO -=∴N 在'OO 的中垂线上∴MN 垂直平分'OO∴90NMC ∠=︒∵90BAM CMN ∠=∠=︒∴A 点在圆上∴54cos 5AB B BM BM === 解得：254BM =O 的半径长为258【点睛】 本题是一道圆的综合题目，难度较大，掌握相似之间的关系转化以及相关线段角度的关系转化是解题关键．10．在O 中，AB 为直径，CD 与AB 相较于点H ，弧AC=弧AD（1）如图1，求证：CD AB ⊥;（2）如图2，弧BC 上有一点E ，若弧CD=弧CE ，求证：3EBA ABD ∠=∠;（3）如图3，在（2）的条件下，点F 在上，连接,//FH FH DE ，延长FO 交DE 于点K ，若165,55FK DB BE ==，求AB ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）185AB =．【解析】【分析】（1）连接,OC OD,根据AC AD=得出COA DOA∠=再根据OC OD=得出OCD ODC∠=∠，从而得证；（2）连接,BC BD,根据AC AD=得出,BC BD BA CD=⊥，CBA ABD∠=∠，再根据CE CD=,得出CBE CBD∠=∠,从而得出结论；（3）作,CM DB CN BE⊥⊥，过点P作,PT BE PS BD⊥⊥，,5BE BP a DB a===先证CDM CEN∆≅∆，DM EN=，再证,CMB CNB BM BN∆≅∆=，设DM b=，得出2b a=，再算出,CM CD得出CPD∆为等腰三角形，再根据BP是角平分线利用角平分线定理得出BCPEBPS DP BDS PE BE∆==，从而算出,PE DE,再根据三角函数值算出BG,,,,AB r OG OH，再根据//FH DE得出HO OFGO OK=，从而计算AB．【详解】（1）连接OC，CD因为AC AD=，所以COA DOA∠=∠OC OD=，,OA CD CD AB∴⊥∴⊥;(2)连接BC，,BC BD BA CD=⊥所以AB平分CBD∠，设ABD ABCα∠=∠=2CBDα∴∠=CD CE∴=2CBE CBDα∴∠=∠=，3EBAα∴∠=3EBA ABD∴∠=∠．(3) 2,90EBC BPE PEB αα︒∠=∠=∠=-设,5BE BP a DB a ===作,CM DB CN BE ⊥⊥，可证：CDM CEN ∆≅∆，DM EN =，再证：,CMB CNB BM BN ∆≅∆=设,5,2DM EN b a b a b b a ==+=-∴=在CBM ∆中勾股4CM a =在CDM ∆中勾股25CD a =得CPD ∆为等腰三角形25DP DC a ==因为BP 为角平分线，过点P 作,PT BE PS BD ⊥⊥ 可证：5BCP EBP S DP BD S PE BE∆=== 2525,53PE a DE a ∴== 14tan ,tan 223αα== 2555,32BG a AB a ∴== 557535,,4124r a OG a OH a === //FH DE97HO OF GO OK ∴== 99518516OF KF AB ===【点睛】本题是一道圆的综合题目，难度较大，考查了圆相关的性质以及与三角形综合，掌握相关的线段与角度转化是解题关键．。

人教版数学九年级上册圆几何综合单元测试卷（含答案解析）一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．选做题：从甲乙两题中选作一题，如果两题都做，只以甲题计分题甲：已知矩形两邻边的长、是方程的两根.（1）求的取值范围；（2）当矩形的对角线长为时，求的值；（3）当为何值时，矩形变为正方形？题乙：如图，是直径，于点，交于点，且．（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；（2）当，时，求的面积．【答案】题甲（1）（2）（3）题乙：（1）BD是切线；证明所以OB⊥BD，BD是切线（2）S=【解析】试题分析：题甲：（1）、是方程的两根，则其；由得（2）矩形两邻边的长、，矩形的对角线的平方=；矩形两邻边的长、是方程的两根，则；因为，所以；解得由得（3）矩形变为正方形，则a=b；、是方程的两根，所以方程有两个相等的实数根，即，由得题乙：（1）BD是切线；如图所示，是弧AC所对的圆周角，；因为，所以；于点，，所以，，在三角形OBD中，所以OB⊥BD；BD是切线（2），AB是圆的直径，所以OB=5；于点，交于点，F是BC的中点；，BF=4；在直角三角形OBF中由勾股定理得OF=；根据题意，，则，所以，从而，解得DF=，的面积=考点：直线与圆相切，相似三角形点评：本题考查直线与圆相切，相似三角形；解本题的关键是会判断直线与圆是否相切，能判定两个三角形相似2．在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．（1）求圆心C的坐标．（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数y=-的图象上，求抛物线的解析式．（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．【答案】（1）圆心C的坐标为（1，）；（2）抛物线的解析式为y=x2﹣x；（3）点D、E均在抛物线上；（4）﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．【解析】试题分析：（1）如图线段AB是圆C的直径，因为点A、B的坐标已知，根据平行线的性质即可求得点C的坐标；（2）因为抛物线过点A、O，所以可求得对称轴，即可求得与直线y=﹣x的交点，即是二次函数的顶点坐标，利用顶点式或者一般式，采用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（3）因为DE∥x轴，且过点C，所以可得D、E的纵坐标为，求得直径AB的长，可得D、E的横坐标，代入解析式即可判断；（4）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．试题分析：（1）∵⊙C经过原点O∴AB为⊙C的直径∴C为AB的中点过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH=OB=，OH=OA=1∴圆心C的坐标为（1，）．（2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x=1，∵抛物线的顶点在直线y=﹣x上，∴顶点坐标为（1，﹣）．把这三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（3）∵OA=2，OB=2，∴AB==4，即⊙C的半径r=2，∴D（3，），E（﹣1，），代入y=x2﹣x检验，知点D、E均在抛物线上．（4）∵AB为直径，∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，∴﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．考点：二次函数综合题．3．在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．（1）如图1，把△AMN沿直线MN折叠得到△PMN，设AM=x．i．若点P正好在边BC上，求x的值；ii．在M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．（2）如图2，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMQN．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．【答案】（1）i．当x=2时，点P恰好落在边BC上；ii． y=，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2；（2）当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．【解析】试题分析：（1）i．根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；ii．分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，根据轴对称的性质△MNP的面积等于△AMN的面积，易见y=x2②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．（2）利用分类讨论的思想，先求的直线BC与⊙O相切时，x的值，然后得到相交，相离时x的取值范围．试题解析：（1）i．如图1，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，∴∠B=∠BPM，∴AM=PM=BM，∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上．ii．以下分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，∴，∴AN=，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，∴，②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由（2）知ME=MB=4-x，∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，∴，∴S△PEF=（x-2）2，∴y=S△PMN-S△PEF=，∵当0＜x≤2时，y=x2，∴易知y最大=，又∵当2＜x＜4时，y=，∴当x=时（符合2＜x＜4），y最大=2，综上所述，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2．（2））如图3，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=MN．在Rt△ABC中，BC==5；由（1）知△AMN∽△ABC，∴，即，∴MN=x∴OD=x，过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x，在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA，∴，∴BM=，AB=BM+MA=x+x=4∴x=，∴当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．考点：圆的综合题．4．四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，2∠BDC+∠ADB＝180°．（1）如图1，求证：AC＝BC；（2）如图2，E为⊙O上一点，AE＝BE，F为AC上一点，DE与BF相交于点T，连接AT，若∠BFC＝∠BDC+12∠ABD，求证：AT平分∠DAB；（3）在（2）的条件下，DT＝TE，AD＝8，BD＝12，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2【解析】【分析】（1）只要证明∠CAB=∠CBA即可．（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．想办法证明TL=TH即可解决问题．（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．证明△EAG≌△TDH（AAS），推出AG=DH，证明Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），推出DH=DR，同理可得AL=AH，BR=BL，设DH=x，则AB=2x，由S△ADB=12•BD•AQ=12•AD•h+12•AB•h+12•DB•h，可得AQ=52h，再根据sin∠BDE=sin∠ADE，sin∠AED=sin∠ABD，构建方程组求出m即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，即∠ADB+∠BDC+∠ABC＝180°，∵2∠BDC+∠ADB＝180°，∴∠ABC＝∠BDC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC．（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF，∠BAC＝∠BDC，∴∠BFC＝∠BDC+∠ABF，∵∠BFC＝∠BDC+12∠ABD，∴∠ABF＝12∠ABD，∴BT平分∠ABD，∵AE＝BE∴∠ADE＝∠BDE，∴DT平分∠ADB，∵TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．∴TR＝TL，TR＝TH，∴TL＝TH，∴AT平分∠DAB．（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．∵AE＝BE∴∠EAB＝∠EDB＝∠EDA，AE＝BE，∵∠TAE＝∠EAB+∠TAB，∠ATE＝∠EDA+∠DAT，∴∠TAE＝∠ATE，∴AE＝TE，∵DT＝TE，∴AE＝DT，∵∠AGE＝∠DHT＝90°，∴△EAG≌△TDH（AAS），∴AG＝DH，∵AE＝EB，EG⊥AB，∴AG＝BG，∴2DH＝AB，∵Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），∴DH＝DR，同理可得AL=AH，BR＝BL，设DH＝x，则AB＝2x，∵AD＝8，DB＝12，∴AL ＝AH ＝8﹣x ，BR ＝12﹣x ，AB ＝2x＝8﹣x +12﹣x ， ∴x ＝5，∴DH ＝5，AB ＝10， 设TR ＝TL ＝TH ＝h ，DT ＝m ，∵S △ADB =12•BD •AQ=12•AD •h+12•AB •h+12•DB •h ， ∴12AQ ＝（8+12+10）h ，∴AQ ＝52h ，∵sin ∠BDE ＝sin ∠ADE ，可得h m ＝AP AD ＝AP8，sin ∠AED ＝sin ∠ABD ，可得AP m ＝AQ AB ＝AQ 10＝5210h，∴AP m＝52810mAP ⋅， 解得m ＝42或﹣42（舍弃）， ∴DE ＝2m ＝82． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理和判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．5．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，12BC cm =，半圆O 的直径12DE cm =．点E 与点C 重合，半圆O 以2/cm s 的速度从左向右移动，在运动过程中，点D 、E 始终在BC 所在的直线上．设运动时间为()x s ，半圆O 与ABC ∆的重叠部分的面积为()2S cm．（1）当0x =时，设点M 是半圆O 上一点，点N 是线段AB 上一点，则MN 的最大值为_________；MN 的最小值为________．（2）在平移过程中，当点O 与BC 的中点重合时，求半圆O 与ABC ∆重叠部分的面积S ；（3）当x 为何值时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切？【答案】（1）24cm ，()926-cm ；（2）2(189)cm π+；（3）0x =或6x =或932x =-【解析】 【分析】（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ONAB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，261218()92()OB OC CB cm ON BN OB cm =+=+====，所以926()MN ON OM cm =-=-；（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ，6OH OC OB ===，29016669183602BOH HOC S S S ππ∆=+=⋅+⨯⨯=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，所以0x =（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =，262OB OH ==，1262OC BC OB =-=-，移动的距离为612621862()cm +-=-，运动时间为1862932x -==-（秒)． 【详解】解：解（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，45ABC ∠=︒， 45NOB ∴∠=︒，在Rt ONB ∆中，61218()OB OC CB cm =+=+= 292()ON BN cm ∴===， 926()MN ON OM cm ∴=-=，故答案为24cm ，(926)cm ；（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ．BC 为直径，90CHB ∴∠=︒，45ABC ∠=︒45HCB ∴∠=︒，HC HB ∴=，OH BC ∴⊥，6OH OC OB ===，29016669183602BOH HOC S S S ππ∆=+=⋅+⨯⨯=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，0x ∴=（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =45B ∠=︒，90OHB ∠=︒，262OB OH ∴=，1262OC BC OB =-=-，移动的距离为61221862()cm +-=-，运动时间为1862932x -=-)， 综上所述，当x 为0或6或932-时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切．【点睛】本题考查了圆综合知识，熟练掌握勾股定理以及圆切线定理是解题的关键．要注意分类讨论.6．如图，∠ACL ＝90°，AC ＝4，动点B 在射线CL ，CH ⊥AB 于点H ，以H 为圆心，HB 为半径作圆交射线BA 于点D ，交直线CD 于点F ，交直线BC 于点E ．设BC ＝m ．（1）当∠A＝30°时，求∠CDB的度数；（2）当m＝2时，求BE的长度；（3）在点B的整个运动过程中，①当BC＝3CE时，求出所有符合条件的m的值．②连接EH，FH，当tan∠FHE＝512时，直接写出△FHD与△EFH面积比．【答案】（1）60°；（2）45；（3）①m＝2或2；②262【解析】【分析】（1）根据题意由HB＝HD，CH⊥BD可知：CH是BD的中垂线，再由∠A＝30°得：∠CDB＝∠ABC＝60°；（2）由题意可知当m＝2时，由勾股定理可得：AB＝5cos∠ABC 5，过点H作HK⊥BC于点K，利用垂径定理可得结论；（3））①要分两种情况：I．当点E在C右侧时，II．当点E在C左侧时；根据相似三角形性质和勾股定理即可求得结论；②根据题意先证明EF∥BD，根据平行线间距离相等可得：△FHD与△EFH高相等，面积比等于底之比，再由tan∠FHE＝512可求得DHEF的值即可．【详解】解：（1）∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∵HB＝HD，CH⊥BD，∴CH是BD的中垂线，∴CB＝CD，∴∠CDB＝∠ABC＝60°；（2）如图1，过点H作HK⊥BC于点K，当m＝2时，BC＝2，∴AB＝22AC BC＝25，∴cos∠ABC＝BCAB ＝5，∴BH＝BC•cos∠ABC＝25，∴BK＝BH•cos∠ABC＝25，∴BE＝2BK＝45；（3）①分两种情况：I．当点E在C右侧时，如图2，连结DE，由BD是直径，得DE⊥BC，∵BC＝3CE＝m，∴CE＝13m，BE＝23m，∵DE∥AC，∴△DEB～△ACB，∴DEAC ＝BEBC＝23，∴DE＝23AC＝83，∵CD＝CB＝m，∴Rt△CDE中，由勾股定理得：2281m33⎛⎫⎛⎫⎪⎭⎝+⎪⎝⎭＝m2，∵m＞0，∴m＝22；II．当点E在C左侧时，如图3，连结DE，由BD是直径，得DE⊥BC，∵BC＝3CE，∴CE＝13m，BE＝32m，∵DE∥AC，∴△DEB～△ACB，∴DEAC ＝BEBC＝32，∴DE＝32AC＝6，∵CD＝CB＝m，∴Rt△CDE中，由勾股定理得：62+21m3⎛⎫⎪⎝⎭＝m2，∵m＞0，∴m＝42；综上所述，①当BC＝3CE时，m＝22或42．②如图4，过F作FG⊥HE于点G，∵CH⊥AB，HB＝HD，∴CB ＝CD ， ∴∠CBD ＝∠CDB ，∴DFE BEF =，即DF EF BE EF +=+，∴DF BE =，∴EF ∥BD ，∴FHDEFH SS ＝DH EF， ∵在Rt △FHG 中，FG HG ＝tan ∠FHE ＝512， 设FG ＝5k ，HG ＝12k ，则FH ＝22FG HG +＝22(5)(12)k k +＝13k ，∴DH ＝HE ＝FH ＝13k ，EG ＝HE ﹣HG ＝13k ﹣12k ＝k ，∴EF ＝22FG EG +＝22(5)k k +＝26k ，∴FHDEFH SS ＝26k ＝26． 【点睛】本题考查的是圆的几何综合题，主要考查圆的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形判定及性质，解直角三角形知识等；综合性较强，有一定难度，解题要求对所学知识点熟练掌握和运用数形结合思维分析．7．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）PQ 长最短是1.2；（3）四边形ADCF 面积最大值是81313+81313- 【解析】【分析】（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求；（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短，根据勾股定理以及三角形的面积公式即可求出其最小值；（3）△ACF的面积有最大和最小值，取AB的中点G，连接FG，DE，证明△FAG～△EAD，进而证明点F在以G为圆心1为半径的圆上运动，过G作GH⊥AC于H，交⊙G于F1，GH 反向延长线交⊙G于F2，①当F在F1时，△ACF面积最小，分别求出△ACD的面积和△ACF 的面积的最小值即可得出四边形ADCF的面积的最小值；②当F在F2时，四边形ADCF的面积有最大值，在⊙G上任取异于点F2的点P，作PM⊥AC于M，作GN⊥PM于N，利用矩形的判定与性质以及三角形的面积公式即可得出得出四边形ADCF的面积的最大值．【详解】解：（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求，如图1所示；（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短．理由：分别在线段AB，⊙C上任取点P'，点Q'，连接P'，Q'，CQ'，如图2，由于CP⊥AB，根据垂线段最短，CP≤CQ'+P'Q'，∴CO+PQ≤CQ'+P'Q'，又∵CQ＝CQ'，∴PQ＜P'Q'，即PQ最短．在Rt△ABC中22228610AB AC BC=+=+=，1122ABCS AC BC AB CP ∆=•=•，∴684.810AC BCCPAB•⨯===，∴PQ＝CP﹣CQ＝6.8﹣3.6＝1.2，∴22226 4.8 3.6BP BC CP-=-=．当P在点B左侧3.6米处时，PQ长最短是1.2．（3）△ACF的面积有最大和最小值．如图3，取AB的中点G，连接FG，DE．∵∠EAF＝90°，1 tan3AEF∠=，∴13AF AE = ∵AB ＝6，AG ＝GB ，∴AC ＝GB ＝3，又∵AD ＝9，∴3193AG AD ==， ∴DAF AE AG A = ∵∠BAD ＝∠B ＝∠EAF ＝90°，∴∠FAG ＝∠EAD ，∴△FAG ～△EAD ，∴13FG AF DE AE ==， ∵DE ＝3，∴FG ＝1， ∴点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动，连接AC ，则△ACD 的面积＝692722CD AD ⨯=⨯=， 过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，①当F 在F 1时，△ACF 面积最小．理由：由（2）知，当F 在F 1时，F 1H 最短，这时△ACF 的边AC 上的高最小，所以△ACF 面积有最小值，在Rt △ABC 中，222269313AC AB BC =+=+=∴313sin 13313BC BAC AC ∠===， 在Rt △ACH 中，313913sin 3GH AG BAC =•∠== ∴119131F H GH GF =-=-， ∴△ACF 面积有最小值是：11191327313313(1)22AC F H -•=⨯-=；∴四边形ADCF 面积最小值是：27313813132722--+=； ②当F 在F 2时，F 2H 最大理由：在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，连接PG ，则四边形GHMN 是矩形，∴GH ＝MN ，在Rt △GNP 中，∠NGF 2＝90°，∴PG ＞PN ，又∵F 2G ＝PG ，∴F 2G +GH ＞PN +MN ，即F 2H ＞PM ，∴F 2H 是△ACF 的边AC 上的最大高，∴面积有最大值，∵229131F H GH GF =+=+， ∴△ACF 面积有最大值是21191327313313(1)22AC F H +•=⨯⨯+=； ∴四边形ADCF 面积最大值是27313813132722+++=； 综上所述，四边形ADCF 面积最大值是813132+，最小值是813132-． 【点睛】本题为圆的综合题，考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．8．已知AB 是O 的一条弦，点C 在O 上，联结CO 并延长，交弦AB 于点D ，且CD CB =．（1）如图1，如果BO 平分ABC ∠，求证：AB BC =；（2）如图2，如果AO OB ⊥，求:AD DB 的值；（3）延长线段AO 交弦BC 于点E ，如果EOB ∆是等腰三角形，且O 的半径长等于2，求弦BC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）3（3）51和22【解析】【分析】（1）由题意利用弦心距即可求证结果，（2）此题关键先求出AO，做辅助线构造特殊三角形，并求证出∠AOD，再根据平行线分线段成比例求出比值即可，（3）分情况讨论两种情况：OE=BE时或OB=BE时两种情况，利用三角形相似即△COE~△CBO找到相似比，利用相似比求解即可．【详解】（1）过点O作OP⊥AB，垂足为点P；OQ⊥BC，垂足为点Q，∵BO平分∠ABC，∴OP=OQ，∵OP，OQ分别是弦AB、BC 的弦心距，∴AB= BC；（2）∵OA=OB，∴∠A=∠OBD，∵CD=CB，∴∠CDB =∠CBD，∴∠A+∠AOD =∠CBO +∠OBD，∴∠AOD =∠CBO，∵OC=OB，∴∠C =∠CBO，∴∠DOB =∠C +∠CBO = 2∠CBO = 2∠AOD，∵AO⊥OB，∴∠ AOB =∠AOD +∠BOD =3∠AOD = 90°，∴∠AOD=30°，过点D作DH⊥AO，垂足为点H，∴∠AHD=∠DHO=90°，∴tan ∠AOD =HD OH ∵∠AHD=∠AOB=90°，∴HD ‖OB ， ∴D AOB H AH O = ， ∵OA=OB ，∴HD=AH ，∵HD ‖OB ，∴AH HD OH O AH DB H ===； （3）∵∠C=∠CBO ，∴∠OEB =∠C+∠COE >∠CBO ，∴OE≠OB ；若OB = EB =2时，∵∠C=∠C ，∠COE =∠AOD =∠CBO ，∴△COE ~△CBO ， ∴CO CE BC CO =， ∴222BC BC =-， ∴2BC -2BC -4=0，∴BC =舍去)或，∴；若OE = EB 时，∵∠EOB =∠CBO ，∵∠OEB =∠C+∠COE =2∠C =2∠CBO 且∠OEB +∠CBO +∠EOB = 180°，∴4∠CBO=180°，∠CBO=45°，∴∠OEB=90°，∴cos ∠CBO=2EB OB =， ∵OB=2，∴ ，∵OE 过圆心，OE ⊥BC ，∴．【点睛】此题考查圆的相关知识：圆心距及圆内三角形相似的相关知识，属于综合题型，难度较高．9．△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D，交⊙O于点E，连接AE．（1）如图1，求证：∠BAC=2∠CAE；（2）如图2，射线AO交线段BD于点F，交BC边于点G，连接CE，求证：BF=CE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CO并延长，交线段BD于点H，交⊙O于点M，连接FM，交AB边于点N，若BH=DH，四边形BHOG的面积为2，求线段MN的长．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）6MN【解析】【分析】（1）先依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证明∠BAC+2∠C=180°，然后得到2∠CAE+2∠E=180°，然后根据同弧所对的圆周角相等得到∠E=∠C，即可得到结论；（2）连接OB、OC．先依据SSS证明△ABO≌△ACO，从而得到∠BAO=∠CAO，然后在依据ASA证明△ABF≌△ACE，最后根据全等三角形的性质可证明BF=CE；（3）连接HG、BM．由三线合一的性质证明BG=CG，从而得到HG是△BCD的中位线，则∠FHO=∠AFD=∠HFO，于是可得到HO=OF，然后得到∠OGH=∠OHG，从而得到OH=OG，则OF=OG，接下来证明四边形MFGB是矩形，然后由MF∥BC证明△MFH∽△CBH，从而可证明HF=FD．接下来再证明△ADF≌△GHF，由全等三角形的性质的到AF=FG，然后再证明△MNB≌△NAF，于是得到MN=NF．设S△OHF=S△OHG=a，则S△FHG=2a，S△BHG=4a，然后由S四边形BHOG2，可求得2，设HF=x，则BH=2x，然后证明△GFH∽△BFG，由相似三角形的性质可得到2x，然后依据S△BHG=122，可求得x=2，故此可得到HB、GH的长，然后依据勾股定理可求得BG的长，于是容易求得MN的长．【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠BAC+2∠C=180°．∵BD⊥AC，∴∠ADE=90°．∴∠E+∠CAE=90°．∴2∠CAE+2∠E=180°．∵∠E=∠ACB，∴2∠CAE+2∠ACB=180°．∴∠BAC=2∠CAE．（2）连接OB、OC．∵AB=AC，AO=AO，OB=OC，∴△ABO≌△ACO．∴∠BAO=∠CAO．∵∠BAC=2∠CAE，∴∠BAO=∠CAE．在△ABF和△ACE中，ABF ACEAB ACBAF CAE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF≌△ACE．∴BF=CE．（3）连接HG、BM．∵AB=AC，∠BAO=∠CAO，∴AG⊥BC，BG=CG．∵BH=DH，∴HG是△BCD的中位线．∴HG∥CD．∴∠GHF=∠CDE=90°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∵∠OAC+∠AFD=90°，∠OCA+∠FHO=90°，∴∠FHO=∠AFD=∠HFO．∴HO=OF ．∵∠HFO+∠OGH=90°，∠OHF+∠OHG=90°，∴∠OGH=∠OHG ．∴OH=OG ．∴OF=OG ．∵OM=OC ，∴四边形MFCG 是平行四边形．又∵MC 是圆O 的直径，∴∠CBM=90°．∴四边形MFGB 是矩形．∴MB=FG ，∠FMB=∠AFN=90°．∵MF ∥BC ，∴△MFH ∽△CBH ． ∴12HF MF BH CB ==． ∴HF ：HD=1：2．∴HF=FD ． 在△ADF 和△GHF 中，AFD GFH ADF GHF FH FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△GHF ．∴AF=FG ．∴MB=AF ．在△MNB 和△NAF 中，90BMF AFN ANF BNM MB AF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MNB ≌△NAF ．∴MN=NF ．设S △OHF =S △OHG =a ，则S △FHG =2a ，S △BHG =4a ，∴S 四边形BHOG．∴．设HF=x ，则BH=2x ．∵∠HHG=∠GFB ，∠GHF=∠FGB ，∴△GFH ∽△BFG ． ∴HF GH HG BH =，即2x HG HG x=．∴HG=2x ．∴S △BHG =12BH•HG=12×2x•2x =42， 解得：x=2．∴HB=4，GH=22．由勾股定理可知：BG=26．∴MF=26． ∴MN=NF=6．【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判断、勾股定理的应用、矩形的性质和判定，找出图中相似三角形和全等三角形是解题的关键．10．如图，二次函数y ＝﹣56x 2+bx +c 与x 轴的一个交点A 的坐标为（﹣3，0），以点A 为圆心作圆A ，与该二次函数的图象相交于点B ，C ，点B ，C 的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB ，AC ，并且满足AB ⊥AC ．（1）求该二次函数的关系式；（2）经过点B 作直线BD ⊥AB ，与x 轴交于点D ，与二次函数的图象交于点E ，连接AE ，请判断△ADE 的形状，并说明理由；（3）若直线y ＝kx +1与圆A 相切，请直接写出k 的值．【答案】（1）y ＝﹣56x 2﹣376x ﹣11；（2）△ADE 是等腰三角形，理由见解析；（3）k 的值为﹣12或2 【解析】【分析】（1）利用三垂线判断出()ACN BAM AAS ∆≅∆，进而得出(2,2)B --，(5,1)C --，最后将点B ，C 坐标代入抛物线解析式中即可得出结论；（2）先判断出ABM BDM ∆∆∽，得出点D 坐标，进而求出直线BD 的解析式，求出点E 坐标，即可得出结论；（3）分两种情况，Ⅰ、切点在x轴上方，利用三垂线判断出()AQG FPG AAS∆≅∆，得出AQ PF=，GQ PG=，设成点G坐标，进而得出3AQ m=+，PF km=，PG m=-，1GQ km=+，即可得出结论；Ⅱ、切点在x轴下方，同Ⅰ的方法即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，过点B作BM x⊥轴于M，过点C作CN x⊥轴于N，90ANC BMA∴∠=∠=︒，90ABM BAM∴∠+∠=︒，AC AB⊥，90CAN BAM∴∠+∠=︒，ABM CAN∴∠=∠，A过点B，C，AC AB∴=，()ACN BAM AAS∴∆≅∆，2(3)1CN AM∴==---=，3(5)2BM AN==---=，(2,2)B∴--，(5,1)C--，点B，C在抛物线上，∴54226525516b cb c⎧-⨯-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯-+=-⎪⎩，∴37611bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为25371166y x x=---，（2）ADE∆是等腰三角形，理由如下：如图1，BD AB ⊥，90ABD ∴∠=︒，90ABM DBM ∴∠+∠=︒，过点B 作BM x ⊥轴于M ，90BMD AMB ∴∠=∠=︒，90BDM DBM ∴∠+∠=︒，ABM BDM ∴∠=∠，ABM BDM ∴∆∆∽， ∴AM BM BM DM=， ∴122DM=， 4DM ∴=，2()2D ∴,， 5AD ∴=，(2,2)B --，∴直线BD 的解析式为112y x =-， 联立，21125371166y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=---⎪⎩， ∴22x y =-⎧⎨=-⎩（舍)或61x y =-⎧⎨=-⎩， (6,4)E ∴--，22(63)(40)5AE ∴=-++--=，AD AE ∴=，ADE ∴∆是等腰三角形；（3）如图2，点(2,2)B --在A 上，AB ∴ 记直线1y kx =+与y 轴相交于F ，令0x =，则1y =，(0,1)F ∴，1OF ∴=，Ⅰ、当直线1y kx =+与A 的切点在x 轴上方时，记切点为G ，则AG AB ==90AGF ∠=︒，连接AF ，在Rt AOF ∆中，3OA =，1OF =，AF ∴=，在Rt AGF ∆中，根据勾股定理得，FG AG ===，如图2，过点G 作GP y ⊥轴于P ，过点G 作GQ x ⊥轴于Q ，90AQG FPG POQ ∴∠=∠=︒=∠，∴四边形POQG 是矩形，90PGQ ∴∠=︒， FG 是A 的切线，AGQ FGP ∴∠=∠，()AQG FPG AAS ∴∆≅∆，AQ PF ∴=，GQ PG =，设点(,1)G m km +，3AQ m ∴=+，PF km =，PG m =-，1GQ km =+，3m km ∴+=①，1km m +=-②， 联立①②解得，212m k =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， Ⅱ、当切点在x 轴下方时，同Ⅰ的方法得，2k =，即：直线1y kx =+与圆A 相切，k 的值为12-或2． 【点睛】此题是二次函数综合题，主考查了待定系数法，三垂线判定两三角形全等，解方程组，判断出FG AG =是解本题的关键．。

一、选择题1．在ABC 中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，把它绕AC 旋转一周得一几何体，该几何体的表面积为（ ）A ．24πB ．21πC ．16.8πD ．36π2．如图，AC 为半圆的直径，弦3AB =，30BAC ∠=︒，点E 、F 分别为AB 和AC 上的动点，则BF EF +的最小值为（ ）A ．3B ．332C ．3D ．332+ 3．如图，A 是B 上任意一点，点C 在B 外，已知2AB =，4BC =，ACD △是等边三角形，则BCD △的面积的最大值为（ ）A ．434+B ．43C ．438+D ．63 4．如图，ABC 为O 的一个内接三角形，过点B 作O 的切线PB 与OA 的延长线交于点P ．已知34ACB ∠=︒，则P ∠等于（ ）A ．17°B ．27°C ．32°D ．22°5．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AC 经过点O ，与⊙O 分别相交于点D 、C ．若∠ACB=30°，AB= 3 ）A．32B．33C．3π26-D．3π36-6．已知△ABC的外心为O，连结BO，若∠OBA=18°，则∠C的度数为（）A．60°B．68°C．70°D．72°7．如图，ABC的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将ABC绕点B顺时针旋转到A B C'''的位置，且点A'、C'仍落在格点上，则线段AB扫过的图形的面积是（）平方单位（结果保留）A．254πB．134πC．132πD．136π8．已知⊙O的直径为6，圆心O到直线l的距离为3，则能表示直线l与⊙O的位置关系的图是（）A．B．C．D．9．在下列命题中，正确的是( )A．弦是直径B．半圆是弧C．经过三点确定一个圆D．三角形的外心一定在三角形的外部10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD的中点．若50A ∠=︒，则B 的度数是（ ）A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒11．如图，⊙O 是四边形 ABCD 的内切圆，连接 OA 、OB 、OC 、OD ．若∠AOB ＝110°，则∠COD 的度数是（ ）A ．60°B ．70°C ．80°D ．45°12．如图，点M 是矩形ABCD 的边BC 、CD 上的点，过点B 作BN ⊥AM 于点P ，交矩形ABCD 的边于点N ，连接DP ，若AB=6，AD=4，则DP 的长的最小值为（ ）A ．2B ．121313C ．4D ．5二、填空题13．如图，等腰直角△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=4．平面内的直线l 经过点A ，作CE ⊥l 于点E ，连接BE.则当直线l 绕着点A 转动时，线段BE 长度的最大值是________．14．如图所示，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE 边长是6，则它的外接圆圆心P 的坐标是______．15．如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，分别以点A ，D 为圆心，以AB ，DC 为半径作扇形ABF ，扇形DCE ．则图中阴影部分的面积是______．16．如图，点C ，D 是半圈O 的三等分点，直径43AB =．连结AC 交半径OD 于E ，则阴影部分的面积是_______．17．如图，△ABC 中，∠A=60°，若O 为△ABC 的内心，则∠BOC 的度数为______度．18．在矩形ABCD 中，43AB =6BC =，若点P 是矩形ABCD 上一动点，要使得60APB ∠=︒，则AP 的长为__________．19．如图，四边形ABCD 内接于O ，若76A ∠=︒，则C ∠=_______ °．20．如图所示，在⊙O中，AB为弦，交AB于AB点D，且OD=DC，P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则S△PAB的最大值为_____.三、解答题21．如图，AB为量角器（半圆O）的直径，等腰直角△BCD的斜边BD交量角器边缘于点G，直角边CD切量角器于读数为60°的点E处（即弧AE的度数为60°），第三边交量角器边缘于点F处．（1）求量角器在点G处的读数α（0°＜α＜90°）；（2）若AB＝12cm，求阴影部分面积．22．如图，AB是圆的直径，且AD//OC，求证：CD BC．23．已知：△ABC．（1）求作：△ABC的外接圆⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若已知△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离OD=8，BC=12，求⊙O的半径．24．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．求证：AP=BP．25．如图，长方形ABCD的长是a，宽是b，分别以A、C为圆心作扇形，用代数式表示阴影部分的周长L和面积S（结果中保留π）．⨯的网格中有一个圆，请仅用无刻度直尺作图（保留画图痕迹）．26．如图，在33（1）在图1中，圆过格点A，B，请作出圆心O；=，请作一个45圆周角．（2）在图2中，⊙O的两条弦AB CD【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】以直线AC为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是圆锥的侧面积加底面积，根据圆锥的侧面积公式计算即可．【详解】解：根据题意得：圆锥的底面周长6π=， 所以圆锥的侧面积165152ππ=⨯⨯=， 圆锥的底面积239ππ=⨯=，所以以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积15924πππ=+=．故选：A ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．2．B解析：B【分析】作B 点关于直径AC 的对称点B′，过B′点作B′E ⊥AB 于E ，交AC 于F ，如图，利用两点之间线段最短和垂线段最短可判断此时FB ＋FE 的值最小，再判断△ABB′为等边三角形，然后计算出B′E 的长即可．【详解】解：作B 点关于直径AC 的对称点B′，过B′点作B′E ⊥AB 于E ，交AC 于F ，如图，则FB ＝FB′，∴FB ＋FE ＝FB′＋FE ＝B′E ，此时FB ＋FE 的值最小，∵∠BAC ＝30°，∴∠B′AC ＝30°，∴∠BAB′＝60°，∵AB ＝AB′，∴△ABB′为等边三角形，∵B′E ⊥AB ，∴AE ＝BE ＝32， ∴B′E ＝3AE ＝332， 即BF ＋EF 的最小值为332． 故选：B ．【点睛】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的性质．3．A解析：A【分析】以BC 为边作等边BCM ，连接DM ，则DCM CAB ≅△△，根据全等三角形的性质得到DM=AB=2为定值，即点D 在以M 为圆心，半径为2的圆上运动，当点D 运动至BC 为中垂线与圆的交点时，BC 边上的高取最大值为232+，根据三角形的面积即可得到结论．【详解】解：以BC 为边作等边BCM ，连接DM ，∵60DCA MCB ==∠∠，∴DCM ACB =∠∠，∵DC=AC ，MC=BC ，∴DCM CAB ≅△△（SAS ），∴DM=AB=2为定值，即点D 在以M 为圆心，半径为2的圆上运动，当点D 运动至BC 为中垂线与圆的交点时，BC 边上的高取最大值为232，此时面积为：434故选：A【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，找出点D 的位置是解题的关键．4．D解析：D【分析】连接OB，利用圆周角定理求得∠AOB，再根据切线性质证得∠OBP=90°，利用直角三角形的两锐角互余即可求解．【详解】解：连接OB，∵∠ACB=34°，∴∠AOB=2∠ACB=68°，∵PB为O的切线，∴OB⊥PB，即∠OBP=90°,∴∠P=90°﹣∠AOB=22°，故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解答的关键．5．C解析：C【分析】首先求出∠AOB，OB，然后利用S阴＝S△ABO−S扇形OBD计算即可．【详解】连接OB．∵AB是⊙O切线，∴OB⊥AB，∵OC＝OB，∠C＝30°，∴∠C＝∠OBC＝30°，∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°，在Rt△ABO中，∵∠ABO＝90°，AB＝3，∠A＝30°，∴OB＝ABtan30°=1，∴S阴＝S△ABO−S扇形OBD＝12×1×3−2601360π⋅＝3π26-．故选：C．【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，直角三角形30度角性质，解题的关键是学会分割法求面积，记住扇形面积公式，属于中考常考题型．6．D解析：D【分析】连接OA，则OA=OB，可得∠OBA=∠OAB，再结合∠OBA=18°即可求得∠AOB=144°，再根据圆周角的性质即可求得∠C=72°．【详解】解：如图，连接OA，∵点O为ABC的外心，∴OA=OB，∴∠OBA=∠OAB，又∵∠OBA=18°，∴∠OAB=∠OBA=18°，∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=144°，∴∠C=12∠AOB=72°，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的外心，圆周角定理，熟练掌握相关定义及性质是解决本题的关键．7．B解析：B【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求AB，观察图形可知，线段AB扫过的图形为扇形，旋转角为90°，根据扇形面积公式求解．【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得==由图形可知，线段AB扫过的图形为扇形ABA′，旋转角为90°，∴线段AB扫过的图形面积=2290n13= 3603604AB⨯=πππ．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形面积公式的运用，关键是理解题意，明确线段AB扫过的图形是90°的扇形，难度一般．8．C解析：C【分析】因为⊙O的直径为6，所以圆的半径是3，圆心O到直线l的距离为3即d=3，所以d=r，所以直线l与⊙O的位置关系是相切．【详解】解：∵⊙O的直径为6，∴r=3，∵圆心O到直线l的距离为3即d=3，∴d=r∴直线l与⊙O的位置关系是相切．故选：C．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，d＞r时，圆和直线相离；d=r时，圆和直线相切；d＜r时，圆和直线相交．9．B解析：B【分析】根据命题的“真”“假”进行判断即可．【详解】解：A、弦不一定是直径，原说法错误，不符合题意；B、半圆是弧，说法正确，符合题意；C、不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意；D、三角形的外心不一定在三角形的外部，原说法错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．10．D解析：D【分析】连接AC ，根据圆心角、弧、弦的关系求出∠BAC ，根据圆周角定理求出∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：连接AC ，∵点C 为BD 的中点，∴∠BAC=12∠BAD=25°， ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠BAC=65°，故选：D ．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键．11．B解析：B【分析】设四个切点分别为E 、F 、G 、H ，分别连接切点和圆心，利用切线性质和HL 定理可以得到4对全等三角形，进而可得∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，根据8个角之和为360°即可求解．【详解】解：设四个切点分别为E 、F 、G 、H ，分别连接切点和圆心，则OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，OG ⊥CD ，OH ⊥AD ，OE=OF=OG=OH ，在Rt △BEO 和△BFO 中，OE OF OB OB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BEO ≌△BFO （HL ）∴∠1=∠2，同理可得：∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，∴∠1+∠8=∠2+∠7，∠4+∠5=∠3+∠6，∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360°，∴∠1+∠8+∠4+∠5=180°，即∠AOB+∠COD=180°，∵∠AOB=110°，∴∠COD=180°﹣∠AOB=180°﹣110°=70°，故选：B．【点睛】本题考查了圆的切线性质、全等三角形的判定与性质，利用圆的的切线性质，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．12．A解析：A【分析】易证∠APB＝90°，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB的中点为O，连接OD，OD与半圆的交点P′就是DP的长的最小值时的位置，OP′＝OA＝12AB＝3，OD＝5，DP′＝OD−OP′＝2，即可得出结果．【详解】解：∵BN⊥AM，∴∠APB＝90°，∵AB＝6为定长，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB的中点为O，连接OD，OD与半圆的交点P′就是DP长的最小值时的位置，如图所示：∵AB＝6，AD＝4，∴OP′＝OA＝12AB＝3，OD22AD+OA224+3＝5，∴DP′＝OD−OP′＝5−3＝2，∴DP的长的最小值为2，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轨迹等知识；判断出P 点的运动轨迹，找出DP 长的最小值时的位置是解题的关键．二、填空题13．【分析】以AC 为直径作圆O 连接BO 并延长交圆O 于点可得BO+O ＞B 从而可得BO+OE ＞B 即BE 为最大值再由勾股定理求出BO 的长即可解决问题【详解】解：由题意知CE ⊥l 于点E ∴以AC 为直径作圆O ∵CE 解析：225+【分析】以AC 为直径作圆O ，连接BO ，并延长交圆O 于点E '，可得BO+O E '＞B E '，从而可得BO+OE ＞B E '，即BE 为最大值，再由勾股定理求出BO 的长即可解决问题．【详解】 解：由题意知，CE ⊥l 于点E ，∴以AC 为直径作圆O ，∵CE ⊥AE,∴点E 在圆O 上运动，连接BO ，并延长交圆O 于点E '，如图，∴BO+O E '＞B E '，∵OE=O E '，∴BO+OE ＞B E '，∴BE 的长为最大值， ∵AO=OC=OE ，且AB=AC=4，∴122OE AC == 又∵∠BAC=90° ∴222224220BO AO AB =+=+=∴25BO =∴BE=252BO OE +=故答案为：225+【点睛】此题主要考查了求线段的最大值，构造出△ACE 的外接贺是解答本题的关键．14．【分析】如图所示连接POPA 过点P 作PG ⊥OA 于点G 由正六边形推出为等边三角形进而求出OGPG 的长度即可求得P 点坐标【详解】解：如图所示连接POPA 过点P 作PG ⊥OA 于点G 则∵多边形为正六边形∴∵∴ 解析：()3,33 【分析】 如图所示，连接PO ，PA ，过点P 作PG ⊥OA 于点G ，由正六边形OABCDE 推出OPA 为等边三角形，进而求出OG 、PG 的长度即可求得P 点坐标.【详解】解：如图所示，连接PO ，PA ，过点P 作PG ⊥OA 于点G ，则90OGP ∠=︒，∵多边形OABCDE 为正六边形，∴60OPA ∠=︒，∵PO PA =， ∴OPA 为等边三角形，又∵PG ⊥OA ，∴PG 平分OPA ∠，∴30OPG ∠=︒，又∵OA=6，∴11163222OG OP OA ===⨯=， ∴由勾股定理得：22226333PG OP OG =-=-=，∴P 的坐标是()3,33，故答案为：()3,33【点睛】本题考查正多边形外接圆的问题，熟练掌握正多边形的性质，灵活运用三角形相关知识解决边角关系是本题的关键.15．﹣【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积从而可以解答本题【详解】解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2∴正六边形ABCDEF 的面积是：6××22＝∠FAB ＝∠EDC解析：63﹣83π 【分析】 根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2，∴正六边形ABCDEF 的面积是：6×34×22＝63，∠FAB ＝∠EDC ＝120°， ∴图中阴影部分的面积是：63﹣2×21202360π⋅⋅＝63﹣83π， 故答案为：63﹣83π． 【点睛】本题考查正多边形和圆、扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16．【分析】连接OC 由点CD 是半圆O 的三等分点得到根据垂径定理得到OD ⊥AC ∠DOC=60°求得OE=CE=3根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【详解】解：连接OC ∵点CD 是半圆O 的三等分点∴∴OD解析：332π-【分析】连接OC ，由点C ，D 是半圆O 的三等分点，得到AD CD CB ==，根据垂径定理得到OD ⊥AC ，∠DOC=60°，求得OE=3，CE=3，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接OC ，∵点C ，D 是半圆O 的三等分点，∴AD CD CB ==，∴OD ⊥AC ，∠DOC=60°，∴∠OCE=30°，∵3AB =∴3∴CE=3，∴S阴影=S 扇形COD -S △OCE =2601236022ππ⋅⋅-⨯=-．故答案为：22π-． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 17．120【分析】根据三角形的内心是三角形角平分线的交点结合公式求出即可【详解】解：为的内心故答案是：120【点睛】注意此题中的结论：若是内心则熟记公式可简化计算解析：120【分析】 根据三角形的内心是三角形角平分线的交点，结合公式1902BOC A ∠=+∠︒求出即可． 【详解】解：60A ∠=︒，O 为ABC ∆的内心， 1190906012022BOC A ， 故答案是：120．【点睛】注意此题中的结论：若O 是内心，则1902BOC A ∠=+∠︒．熟记公式可简化计算． 18．或4或8【分析】取CD 中点P1连接AP1BP1由勾股定理可求AP1＝BP1＝4即可证△AP1B 是等边三角形可得∠AP1B ＝60°过点A 点P1点B 作圆与ADBC 各有一个交点即这样的P 点一共3个再运用勾解析：4或8．【分析】取CD 中点P 1，连接AP 1，BP 1，由勾股定理可求AP 1＝BP 1＝△AP 1B 是等边三角形，可得∠AP 1B ＝60°，过点A ，点P 1，点B 作圆与AD ，BC 各有一个交点，即这样的P 点一共3个．再运用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，取CD 中点P 1，连接AP 1，BP 1，如图1，∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ＝43，AD ＝BC ＝6，∠D ＝∠C ＝90°∵点P 1是CD 中点∴CP ＝DP 1＝23∴AP 1＝221AD DP +＝43， BP 1＝221BC CP +＝43 ∴AP 1＝P 1B ＝AB∴△APB 是等边三角形∴∠AP 1B ＝60°，过点A ，点P 1，点B 作圆与AD ，BC 的相交，∴这样的P 点一共有3个当点P 2在AD 上时，如图2，∵四边形ABCD 是矩形，∴3,43,90AB A CD AD =∠===︒∵260,AP B ∠=︒∴221,2P A P B = 即222,P B P A =在2Rt P AB ∆中，22222,P B P A AB -=∴222222(43),P A P A -=∴24AP =；当点P 3在BC 上时，如图3，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=90°∵∠360,AP B =︒∴∠3390906030,P AB AP B =︒-∠=︒-︒=︒ ∴331,2BP AP = 在3Rt ABP ∆中，22233,AP BP AB -=222331()(43),2AP AP -= 23348,4AP = ∴8,AP =综上所述，AP 的长为：34或8． 故答案为：34或8．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．19．104【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ∴∠A+∠C ＝180°∴∠C ＝180°﹣∠A ＝180°﹣76°＝104°故答案为：104【点睛】本题考查的是解析：104【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠A +∠C ＝180°，∴∠C ＝180°﹣∠A＝180°﹣76°＝104°，故答案为：104．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 20．【分析】作直径CE 连OAAEBE 利用垂经定理的AD=BD 在利用勾股定理计算出AD 则AB=2AD 当点P 与点E 重合时P 点到AB 的距离最大然后根据三角形面积公式求解即可【详解】延长CD 交⊙O 于点E 连接OA【分析】作直径CE ，连OA 、AE 、BE ，利用垂经定理的AD=BD ，在利用勾股定理计算出AD ，则AB=2AD ，当点P 与点E 重合时，P 点到AB 的距离最大，然后根据三角形面积公式求解即可．【详解】延长CD 交⊙O 于点E ，连接OA ，AE ，BE 如图，∵OA=OC=1，OD=CD ，∴OD=CD=12OC=12， ∵OC ⊥AB ，∴2=， AD=BD=12AB ，，∴sin ∠OAD=12OD OA =， ∴∠OAD=30º， ∴∠AOD =90º-∠OAD =60º，∵OA =OE ，∴∠OAE=∠OEA ，∵∠AOD=∠OAE+∠OEA ，∴∠OAE=∠OEA=30º，∵CE ⊥AB ，∴AE=BE ，∴∠OEB=∠OEA=30º，∴∠AEB=∠OEB+∠OEA=60º，∴△ABE 是等边三角形，∴DE=223 2AE AD-=，S△ABE=133 24AB DE=，∵在△ABP中，当点P与点E重合时，AB边上的高取最大值，此时△ABP的面积最大，∴S△ABP的最大值=334．故答案为：334．【点睛】本题考查三角形面积，掌握垂经定理，勾股定理，和引辅助线构造图形，找到当点P与点E重合时，P点到AB的距离最大，然后根据三角形面积公式求解是解题关键．三、解答题21．（1）30°；（2）6π﹣93【分析】（1）如图，连接OE，OF，利用切线的性质、等腰直角三角形的性质以及平行线的判定证得OE∥BC，则同位角∠ABC=∠AOE=60°，所以由图形中相关角与角间的和差关系即可得到∠ABG=15°；然后由圆周角定理可以求得量角器在点G处的读数α（0°＜α＜90°）；（2）根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：（1）如图，连接OE，OF．∵CD切半圆O于点E，∴OE⊥CD，∵BD为等腰直角△BCD的斜边，∴BC⊥CD，∠D＝∠CBD＝45°，∴OE ∥BC ，∴∠ABC ＝∠AOE ＝60°，∴∠ABG ＝∠ABC ﹣∠CBD ＝60°﹣45°＝15°∴弧AG 的度数＝2∠ABG ＝30°，∴量角器在点G 处的读数α＝弧AG 的度数＝30°；（2）∵AB ＝12cm ，∴OF ＝OB ＝6cm ，∠ABC ＝60°，∴△OBF 为正三角形，∠BOF ＝60°，∴S 扇形＝2606360π⋅⨯＝6π（cm 2），S △OBF ＝93， ∴S 阴影＝S 扇形﹣S △OBF ＝6π﹣93．【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，圆周角定理．求（2）题时，利用了“分割法”求得图中阴影部分的面积．22．证明见解析．【分析】主要是根据弧相等只需要证明弧所对的圆周角相等或者弧所对的圆心角相等即可证明．连接AC 或者OD 都可以证明．【详解】解：连接ACAD//OC∴∠DAC=∠OCAOA=OC∴∠BAC=∠ACO∴∠DAC=∠BAC∴CD BC =．【点睛】主要是考察学生对圆周角定理的内容的掌握．同时角相等和弧相等之间的转化． 23．（1）作图见解析；（2）10．【分析】（1）分别做AB 、BC 的垂直平分线且交于O ，然后以O 为圆心、OA 为半径画圆即可； （2）如图：连接OB ，然后根据垂径定理求得BD ，最后根据勾股定理解答即可．【详解】解：（1）如图所示∴⊙O 即为所求作的外接圆；（2）如图：连接OB∵已知△ABC 的外接圆的圆心O 到BC 边的距离OD =8∵线段BC 的垂直平分线交BC 于点D ，∴BD =CD =12BC=6， 在Rt △BOD 中，OB =2286+=10，∴⊙O 的半径长10．【点睛】本题考查了三角形的外接圆的作法和垂径定理的应用，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．24．见解析【分析】根据切线的性质得出OP ⊥AB ，根据垂径定理得出即可．【详解】证明：如图，连接OP ，∵大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点，∴OP ⊥AB ，∵OP 过O ，∴AP=BP ．【点睛】本题考查了切线的性质和垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度适中．25．22L b a b π=+-；212S ab b π=-.【分析】由已知图知，阴影部分的周长是()12πb 22a b ⨯+-； 阴影部分的面积为，长方形的面积减去两个14圆的面积(半圆的面积)． 【详解】 阴影部分的周长()122222L b a b b a b ππ=⨯+-=+-； 阴影部分的面积221=1242S ab b ab b ππ=-⨯-. 【点睛】此题考查的是列代数式，用到的知识点是半圆的周长和面积的计算方法．26．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）如图3，连接AN 、BM ，通过圆内接三角形是直角三角形时，斜边就是直径来确定圆心位置；（2）连接BC 、AD 、BD ，通过同（等）弧所对圆周角相等推出ABD CDB ∠=∠，进而推出45BDC ∠=︒．【详解】（1）如图3，连接AN 、BM 交点O 即为圆心∵9090ABN BAM ∠=︒∠=︒，，∴AN 、BM 是直径，∴直径交点O 就是圆心．（2）如图4，连接BC 、AD 、BD∵AB=CD ，∴AB CD =，∴ADB CBD ∠=∠，又∵AC CA =，∴ABC CDA ∠=∠，∴ABD CDB ∠=∠，又∵90BED ∠=︒，∴45ABD CDB ∠=∠=︒，故连接BD ，则45BDC ∠=︒．【点睛】本题考查确定圆心和确定圆弧圆周角等问题，解题的关键是圆内接三角形是直角三角形时，斜边就是直径以及同（等）弧所对圆周角相等．。

数学九年级上册圆几何综合单元测试卷（含答案解析）一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D ，联结AO、BO、AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；（2）如图2，设AC=x，ACOOBDSS=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．【答案】（1）2；（2）2825x x x-+（0＜x＜8）;（3）AD=145或6．【解析】【分析】(1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC的长.(2)分别作OH⊥AB，DG⊥AB，用含x的代数式表示△ACO和△BOD的面积，便可得出函数解析式.(3)分OB∥AD和OA∥BD两种情况讨论.【详解】解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，∴OD⊥AB，AC=12AB=4，在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5，∴22AO AC-，∴OD=5，∴CD=OD﹣OC=2；（2）如图2，过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则由（1）可得AH=4，OH=3，∵AC=x，∴CH=|x﹣4|，在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5，∴22HO HC+223|x4|+-2825x x-+∴CD=OD ﹣OC=5过点DG ⊥AB 于G ， ∵OH ⊥AB ， ∴DG ∥OH ， ∴△OCH ∽△DCG ， ∴OH OCDG CD=， ∴DG=OH CD OC⋅35， ∴S △ACO =12AC ×OH=12x ×3=32x ， S △BOD =12BC （OH +DG ）=12（8﹣x ）×（335）=32（8﹣x ）∴y=ACO OBDS S=()323582x x -（0＜x ＜8）（3）①当OB ∥AD 时，如图3，过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ，垂足为点F ， 则OF=AE ， ∴S=12AB•OH=12OB•AE ， AE=AB OH OB ⋅=245=OF ， 在Rt △AOF 中，∠AFO=90°，AO=5，∴75∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴AD=2AF=145．②当OA ∥BD 时，如图4，过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，则由①的方法可得DG=BM=245， 在Rt △GOD 中，∠DGO=90°，DO=5，∴GO=22DO DG -=75，AG=AO ﹣GO=185， 在Rt △GAD 中，∠DGA=90°，∴AD=22AG DG +=6综上得AD=145或6．故答案为（1）2；（2）y=()2825x x x -+（0＜x ＜8）;（3）AD=145或6．【点睛】本题是考查圆、三角形、梯形相关知识，难度大，综合性很强.2．已知：四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ADC ＝90°，DE ⊥AB ，垂足为点E ，DE 的锯长线交⊙O 于点F ，DC 的延长线与FB 的延长线交于点G ． （1）如图1，求证：GD ＝GF ；（2）如图2，过点B 作BH ⊥AD ，垂足为点M ，B 交DF 于点P ，连接OG ，若点P 在线段OG 上，且PB ＝PH ，求∠ADF 的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，点M 是PH 的中点，点K 在BC 上，连接DK ，PC ，D 交PC 点N ，连接MN ，若AB ＝122，HM +CN ＝MN ，求DK 的长．【答案】（1）见解析；（2）∠ADF ＝45°；（31810【解析】 【分析】（1）利用“同圆中，同弧所对的圆周角相等”可得∠A ＝∠GFD ，由“等角的余角相等”可得∠A ＝∠GDF ，等量代换得∠GDF ＝∠GFD ，根据“三角形中，等角对等边”得GD ＝GF ；（2）连接OD 、OF ，由△DPH ≌△FPB 可得：∠GBH ＝90°，由四边形内角和为360°可得：∠G ＝90°，即可得：∠ADF ＝45°；（3）由等腰直角三角形可得AH ＝BH ＝12，DF ＝AB ＝12，由四边形ABCD 内接于⊙O ，可得：∠BCG ＝45°＝∠CBG ，GC ＝GB ，可证四边形CDHP 是矩形，令CN ＝m ，利用勾股定理可求得m ＝2，过点N 作NS ⊥DP 于S ，连接AF ，FK ，过点F 作FQ ⊥AD 于点Q ，过点F 作FR ⊥DK 交DK 的延长线于点R ，通过构造直角三角形，应用解直角三角形方法球得DK ． 【详解】解：（1）证明：∵DE ⊥AB ∴∠BED ＝90° ∴∠A +∠ADE ＝90° ∵∠ADC ＝90° ∴∠GDF +∠ADE ＝90° ∴∠A ＝∠GDF ∵BD BD = ∴∠A ＝∠GFD ∴∠GDF ＝∠GFD ∴GD ＝GF （2）连接OD 、OF ∵OD ＝OF ，GD ＝GF ∴OG ⊥DF ，PD ＝PF 在△DPH 和△FPB 中PD PF DPH FPB PH PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DPH ≌△FPB （SAS ） ∴∠FBP ＝∠DHP ＝90° ∴∠GBH ＝90°∴∠DGF ＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90° ∴∠GDF ＝∠DFG ＝45° ∴∠ADF ＝45°（3）在Rt △ABH 中，∵∠BAH ＝45°，AB ＝2 ∴AH ＝BH ＝12 ∴PH ＝PB ＝6 ∵∠HDP ＝∠HPD ＝45° ∴DH ＝PH ＝6∴AD ＝12+6＝18，PN ＝HM ＝12PH ＝3，PD ＝2 ∵∠BFE ＝∠EBF ＝45°∴EF ＝BE∵∠DAE ＝∠ADE ＝45° ∴DE ＝AE∴DF ＝AB ＝∵四边形ABCD 内接于⊙O ∴∠DAB +∠BCD ＝180° ∴∠BCD ＝135° ∴∠BCG ＝45°＝∠CBG ∴GC ＝GB又∵∠CGP ＝∠BGP ＝45°，GP ＝GP ∴△GCP ≌△GBP （SAS ） ∴∠PCG ＝∠PBG ＝90° ∴∠PCD ＝∠CDH ＝∠DHP ＝90° ∴四边形CDHP 是矩形∴CD ＝HP ＝6，PC ＝DH ＝6，∠CPH ＝90° 令CN ＝m ，则PN ＝6﹣m ，MN ＝m +3 在Rt △PMN 中，∵PM 2+PN 2＝MN 2 ∴32+（6﹣m ）2＝（m +3）2，解得m ＝2 ∴PN ＝4过点N 作NS ⊥DP 于S ，在Rt △PSN 中，PS ＝SN ＝DS ＝﹣＝SN 1tanDS 2SDN ∠=== 连接AF ，FK ，过点F 作FQ ⊥AD 于点Q ，过点F 作FR ⊥DK 交DK 的延长线于点R 在Rt △DFQ 中，FQ ＝DQ ＝12 ∴AQ ＝18﹣12＝6 ∴tan 1226FQ FAQ AQ ∠=== ∵四边形AFKD 内接于⊙O ， ∴∠DAF +∠DKF ＝180° ∴∠DAF ＝180°﹣∠DKF ＝∠FKR在Rt △DFR 中，∵DF ＝1tan 2FDR ∠=∴,55FR DR ==在Rt △FKR 中，∵FR ＝5tan ∠FKR ＝2∴KR＝6105∴DK＝DR﹣KR＝24106101810555=-=．【点睛】本题是一道有关圆的几何综合题，难度较大，主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形性质及判定，等腰直角三角形性质，解直角三角形等知识点；解题关键是添加辅助线构造直角三角形．3．如图，矩形ABCD中，BC＝8，点F是AB边上一点（不与点B重合）△BCF的外接圆交对角线BD于点E，连结CF交BD于点G．（1）求证：∠ECG＝∠BDC．（2）当AB＝6时，在点F的整个运动过程中．①若BF＝22时，求CE的长．②当△CEG为等腰三角形时，求所有满足条件的BE的长．（3）过点E作△BCF外接圆的切线交AD于点P．若PE∥CF且CF＝6PE，记△DEP的面积为S1，△CDE的面积为S2，请直接写出12SS的值．【答案】（1）详见解析；（2）①1825；②当BE为10，395或445时，△CEG为等腰三角形；（3）724.【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ABD＝∠BDC，根据圆周角定理得出∠ABD＝∠ECG，即可证得结论；（2）根据勾股定理求得BD ＝10，①连接EF ，根据圆周角定理得出∠CEF ＝∠BCD ＝90°，∠EFC ＝∠CBD ．即可得出sin ∠EFC＝sin ∠CBD ，得出35CE CD CF BD ==，根据勾股定理得到CF ＝CE ； ②分三种情况讨论求得：当EG ＝CG 时，根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到∠GEC ＝∠GCE ＝∠ABD ＝∠BDC ，从而证得E 、D 重合，即可得到BE ＝BD ＝10；当GE ＝CE 时，过点C 作CH ⊥BD 于点H ，即可得到∠EGC ＝∠ECG ＝∠ABD ＝∠GDC ，得到CG ＝CD ＝6．根据三角形面积公式求得CH ＝245，即可根据勾股定理求得GH ，进而求得HE ，即可求得BE ＝BH ＋HE ＝395； 当CG ＝CE 时，过点E 作EM ⊥CG 于点M ，由tan ∠ECM ＝43EM CM =．设EM ＝4k ，则CM ＝3k ，CG ＝CE ＝5k ．得出GM ＝2k ，tan ∠GEM ＝2142GM k EM k ==，即可得到tan ∠GCH ＝GH CH =12．求得HE ＝GH ＝125，即可得到BE ＝BH ＋HE ＝445；（3）连接OE 、EF 、AE 、EF ，先根据切线的性质和垂直平分线的性质得出EF ＝CE ，进而证得四边形ABCD 是正方形，进一步证得△ADE ≌△CDE ，通过证得△EHP ∽△FBC ，得出EH ＝16BF ，即可求得BF ＝6，根据勾股定理求得CF ＝10，得出PE ＝106，根据勾股定理求得PH ，进而求得PD ，然后根据三角形面积公式即可求得结果． 【详解】 （1）∵AB ∥CD ． ∴∠ABD ＝∠BDC ， ∵∠ABD ＝∠ECG ， ∴∠ECG ＝∠BDC ．（2）解：①∵AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，∴BD ＝10，如图1，连结EF ，则∠CEF ＝∠BCD ＝90°， ∵∠EFC ＝∠CBD ． ∴sin ∠EFC ＝sin ∠CBD ， ∴35CE CD CF BD ==∴CF∴CE②Ⅰ、当EG＝CG时，∠GEC＝∠GCE＝∠ABD＝∠BDC．∴E与D重合，∴BE＝BD＝10．Ⅱ、如图2，当GE＝CE时，过点C作CH⊥BD于点H，∴∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC，∴CG＝CD＝6．∵CH＝BC CD24 BD5⋅=，∴GH185 =，在Rt△CEH中，设HE＝x，则x2+（245）2＝（x+185）2解得x＝75，∴BE＝BH+HE＝325+75＝395；Ⅲ、如图2，当CG＝CE时，过点E作EM⊥CG于点M．∵tan∠ECM＝43 EMCM=．设EM＝4k，则CM＝3k，CG＝CE＝5k．∴GM＝2k，tan∠GEM＝2142 GM kEM k==，∴tan∠GCH＝GHCH＝tan∠GEM＝12．∴HE＝GH＝12412 255⨯=，∴BE＝BH+HE＝321244 555+=，综上所述，当BE为10，395或445时，△CEG为等腰三角形；（3）解：∵∠ABC＝90°，∴FC是△BCF的外接圆的直径，设圆心为O，如图3，连接OE、EF、AE、EF，∵PE是切线，∴OE⊥PE，∵PE∥CF，∴OE⊥CF，∵OC＝OF，∴CE＝EF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，EF=2FC，∴∠ABD＝∠ECF＝45°，∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∴AB＝AD＝8，∴四边形ABCD是正方形，∵PE∥FC，∴∠EGF＝∠PED，∴∠BGC＝∠PED，∴∠BCF＝∠DPE，作EH⊥AD于H，则EH＝DH，∵∠EHP＝∠FBC＝90°，∴△EHP∽△FBC，∴16 EH PEBF FC==，∴EH＝16 BF，∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，∴△ADE≌△CDE，∴AE＝CE，∴AE＝EF，∴AF＝2EH＝13 BF，∴13BF+BF＝8，∴BF＝6，∴EH＝DH＝1，CF10，∴PE＝16FC＝53，∴PH4 3 =，∴PD＝47133 +=，∴1277 3824S PDS AD===．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，圆周角定理、三角形的面积以及相似三角形的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．4．如图①，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，点D 是AC 边上一点（不与C 重合），以AD 为直径作⊙O ，过C 作CE 切⊙O 于E ，交AB 于F ． （1）若⊙O 半径为2，求线段CE 的长； （2）若AF ＝BF ，求⊙O 的半径；（3）如图②，若CE ＝CB ，点B 关于AC 的对称点为点G ，试求G 、E 两点之间的距离．【答案】（1）CE ＝2；（2）⊙O 的半径为3；（3）G 、E 两点之间的距离为9.6 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得； （2）由勾股定理求得BC ，然后通过证得△OEC ∽△BCA ，得到OE OC BC BA =，即8610r r-= 解得即可；（3）证得D 和M 重合，E 和F 重合后，通过证得△GBE ∽△ABC ，GB GEAB AC=，即12108GE =，解得即可. 【详解】解：（1）如图①，连接OE ，∵CE切⊙O于E，∴∠OEC＝90°，∵AC＝8，⊙O的半径为2，∴OC＝6，OE＝2，∴CE＝2242OC OE-=；（2）设⊙O的半径为r，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝22AB A C-＝6，∵AF＝BF，∴AF＝CF＝BF，∴∠ACF＝∠CAF，∵CE切⊙O于E，∴∠OEC＝90°，∴∠OEC＝∠ACB，∴△OEC∽△BCA，∴OE OCBC BA=，即8610r r-=解得r＝3，∴⊙O的半径为3；（3）如图②，连接BG，OE，设EG交AC于点M，由对称性可知，CB＝CG，∵CE ＝CG ， ∴∠EGC ＝∠GEC ， ∵CE 切⊙O 于E ， ∴∠GEC +∠OEG ＝90°， ∵∠EGC +∠GMC ＝90°， ∴∠OEG ＝∠GMC ， ∵∠GMC ＝∠OME ， ∴∠OEG ＝∠OME ， ∴OM ＝OE ， ∴点M 和点D 重合， ∴G 、D 、E 三点在同一直线上， 连接AE 、BE ， ∵AD 是直径，∴∠AED ＝90°，即∠AEG ＝90°， 又CE ＝CB ＝CG ， ∴∠BEG ＝90°，∴∠AEB ＝∠AEG +∠BEG ＝180°， ∴A 、E 、B 三点在同一条直线上， ∴E 、F 两点重合，∵∠GEB ＝∠ACB ＝90°，∠B ＝∠B ， ∴△GBE ∽△ABC ，∴GB GE AB AC = ，即12108GE= ∴GE ＝9.6，故G 、E 两点之间的距离为9.6． 【点睛】本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G 、D 、E 三点共线以及A 、E 、B 三点在同一条直线上是解题的关5．已知：图1 图2 图3 （1）初步思考：如图1， 在PCB ∆中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明：12PN PC =（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC -的最大值．【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值DG =【解析】 【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等，证明BPN ∆∽BCP ∆，得到PN BNPC BP=，即可得到结论成立；（2）在BC 上取一点G ，使得BG=1，由△PBG ∽△CBP ，得到12PG PC =，当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小，即可得到答案； （3）在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理得到12PG PC =，当点P 在DG 的延长线上时，12PD PC -的值最大，即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵2,1,4PB BN BC ===， ∴24,4PB BN BC =⋅=， ∴2PB BN BC =⋅，∴BN BPBP BC =， ∵B B ∠=∠，∴BPN BCP ∆∆∽， ∴12PN BN PC BP ==， ∴12PN PC =； （2）解：如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，∵242,212PB BC BG PB ====， ∴,PB BCPBG PBC BG PB =∠=∠， ∴PBG CBP ∆∆∽， ∴12PG BG PC PB ==， ∴12PG PC =， ∴12PD PC DP PG +=+； ∵DP PG DG +≥， ∴当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小， ∴最小值为：22435DG =+=；（3）如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理，可证12PG PC =， 在Rt △CDF 中，∠DCF=60°，CD=4， ∴DF=CD •sin60°=23CF=2，在Rt △GDF 中，22(23)537+=， ∴12PD PC PD PG DG -=-≤， 当点P 在DG 的延长线上时，12PD PC -的值最大， ∴最大值为：37DG = 【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．6．选做题：从甲乙两题中选作一题，如果两题都做，只以甲题计分题甲：已知矩形两邻边的长、是方程的两根.（1）求的取值范围；（2）当矩形的对角线长为时，求的值；（3）当为何值时，矩形变为正方形？题乙：如图，是直径，于点，交于点，且．（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；（2）当，时，求的面积．【答案】题甲（1）（2）（3）题乙：（1）BD是切线；证明所以OB⊥BD，BD是切线（2）S=【解析】试题分析：题甲：（1）、是方程的两根，则其；由得（2）矩形两邻边的长、，矩形的对角线的平方=；矩形两邻边的长、是方程的两根，则；因为，所以；解得由得（3）矩形变为正方形，则a=b；、是方程的两根，所以方程有两个相等的实数根，即，由得题乙：（1）BD是切线；如图所示，是弧AC所对的圆周角，；因为，所以；于点，，所以，，在三角形OBD中，所以OB⊥BD；BD是切线（2），AB是圆的直径，所以OB=5；于点，交于点，F是BC的中点；，BF=4；在直角三角形OBF中由勾股定理得OF=；根据题意，，则，所以，从而，解得DF=，的面积=考点：直线与圆相切，相似三角形点评：本题考查直线与圆相切，相似三角形；解本题的关键是会判断直线与圆是否相切，能判定两个三角形相似7．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r(r＞1)，点P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：过圆心C的任意直线CP与⊙C交于点A，B，若满足|PA﹣PB|＝2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图点P为⊙C的一个“完美点”．(1)当⊙O的半径为2时①点M(32，0)⊙O的“完美点”，点(﹣3，﹣12)⊙O的“完美点”；(填“是”或者“不是”)②若⊙O的“完美点”P在直线y＝34x上，求PO的长及点P的坐标；(2)设圆心C的坐标为(s，t)，且在直线y＝﹣2x+1上，⊙C半径为r，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求t的取值范围．【答案】(1)①不是，是；②PO的长为1，点P的坐标为(45，35)或(﹣45，﹣35)；(2)t的取值范围为﹣1≤t≤3．【解析】【分析】（1）①利用圆的“完美点”的定义直接判断即可得出结论.②先确定出满足圆的“完美点”的OP的长度，然后分情况讨论计算即可得出结论；（2）先判断出圆的“完美点”的轨迹，然后确定出取极值时OC与y轴的位置关系即可得出结论.【详解】解：(1)①∵点M(32，0)，∴设⊙O与x轴的交点为A，B，∵⊙O的半径为2，∴取A(﹣2，0)，B(2，0)，∴|MA﹣MB|＝|(32+2)﹣(2﹣32)|＝3≠2，∴点M不是⊙O的“完美点”，同理：点(﹣3，﹣12)是⊙O的“完美点”．故答案为不是，是．②如图1，根据题意，|PA﹣PB|＝2，∴|OP+2﹣(2﹣OP)|＝2，∴OP＝1．若点P在第一象限内，作PQ⊥x轴于点Q，∵点P在直线y＝34x上，OP＝1，∴43,55 OQ PQ==．∴P(43,55)．若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(﹣45，﹣35)．综上所述，PO的长为1，点P的坐标为(43,55)或（43,55--）)．(2)对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA﹣PB|＝2，∴|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2．∴CP＝1．∴对于任意的点P，满足CP＝1，都有|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2，∴|PA﹣PB|＝2，故此时点P为⊙C的“完美点”．因此，⊙C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆．设直线y＝﹣2x+1与y轴交于点D，如图2，当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大．设切点为E，连接CE，∵⊙C的圆心在直线y＝﹣2x+1上，∴此直线和y轴，x轴的交点D(0，1)，F(12，0)，∴OF＝12，OD＝1，∵CE∥OF，∴△DOF∽△DEC，∴OD OF DE CE=，∴112 DE=，∴DE＝2，∴OE＝3，t的最大值为3，当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小．同理可得t的最小值为﹣1．综上所述，t的取值范围为﹣1≤t≤3．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了新定义，相似三角形的性质和判定，直线和圆的位置关系，解本题的关键是理解新定义的基础上，会用新定义，是一道比中等难度的中考常考题.8．已知ABD △内接于圆O ，点C 为弧BD 上一点，连接BC AC AC 、，交BD 于点E ，CED ABC ∠=∠．（1）如图1，求证：弧AB =弧AD ；（2）如图2，过B 作BF AC ⊥于点F ，交圆O 点G ，连接AG 交BD 于点H ，且222EH BE DH =+，求CAG ∠的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，圆O 上一点M 与点C 关于BD 对称，连接ME ，交AB 于点N ，点P 为弧AD 上一点，PQ BG ∥交AD 于点Q ，交BD 的延长线于点R ，AQ BN =，ANE 的周长为20，52DR =，求圆O 半径．【答案】（1）见解析；（2）∠CAG=45°；（3）r=62 【解析】 【分析】（1）证∠ABD=∠ACB 可得；（2）如下图，△AHD 绕点A 旋转至△ALE 处，使得点D 与点B 重合，证△ALE ≌△AHE ，利用勾股定理逆定理推导角度；（3）如下图，延长QR 交AB 于点T ，分别过点N 、Q 作BD 的垂线，交于点V ，I ，取QU=AE ，过点U 作UK 垂直BD.先证△AEN ≌△QUD ，再证△NVE ≌△RKU ，可得到NV=KR=DK ，进而求得OB 的长. 【详解】（1）∵∠CED 是△BEC 的外角，∴∠CED=∠EBC+∠BCA ∵∠ABC=∠ABD+∠EBC 又∵∠CED=∠ABC ∴∠ABD=∠ACB ∴弧AB=弧AD（2）如下图，△AHD 绕点A 旋转至△ALE 处，使得点D 与点B 重合∵△ALB是△AHD旋转所得∴∠ABL=∠ADB，AL=AH设∠CAG=a，则∠CBG=a∵BG⊥AC∴∠BCA=90°-a，∴∠ADB=∠ABD=90°-a∴在△BAD中，BAE+∠HAD=180-a-(90°-a)-(90°-a)=a∴∠LAE=∠EAH=a∵LA=AH，AE=AE∴△ALE≌△AHE，∴LE=EH∵HD=LB，222=+EH BE DH∴△LBE为直角三角形∴∠LBE=(90°-a)+(90°-a)=90°，解得：a=45°∴∠CAG=45°（3）如下图，延长QR交AB于点T，分别过点N、Q作BD的垂线，交于点V，I，取QU=AE，过点U作UK垂直BD由（2）得∠BAD=90°∴点O在BD上设∠R=n，则∠SER=∠BEC=∠MEB=90°-n∴∠AEN=2n∵SQ⊥AC∴∠TAS=∠AQS=∠DQR，AN=QD∵QU=AE∴△AEN≌△QUD∴∠QUD=∠AEN=2n∴UD=UR=NE，∵△ANE的周长为20∴QD+QR=20在△DQR中，QD=7∵∠ENR=∠UDK=∠R=n∴△NVE≌△RKU∴NV=KR=DK=52 2∴BN=5∴BD=122，OB=62r=【点睛】本题考查了圆的证明，涉及到全等、旋转和勾股定理，解题关键是结合图形特点，适当构造全等三角形9．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），D为的AC中点，过点D作弦DE⊥AB于F，P是BA延长线上一点，且∠PEA＝∠B．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接CA与DE相交于点G，CA的延长线交PE于H，求证：HE＝HG；（3）若tan∠P＝512，试求AHAG的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1310 AHAG=．【解析】【分析】（1）连接OE，由圆周角定理证得∠EAB+∠B＝90°，可得出∠OAE＝∠AEO，则∠PEA+∠AEO＝90°，即∠PEO＝90°，则结论得证；（2）连接OD，证得∠AOD＝∠AGF，∠B＝∠AEF，可得出∠PEF＝2∠B，∠AOD＝2∠B，可证得∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，则结论得证；（3）可得出tan∠P＝tan∠ODF＝512OFDF=，设OF＝5x，则DF＝12x，求出AE，BE，得出23AEBE=，证明△PEA∽△PBE，得出23PAPE=，过点H作HK⊥PA于点K，证明∠P＝∠PAH，得出PH＝AH，设HK＝5a，PK＝12a，得出PH＝13a，可得出AH＝13a，AG＝10a，则可得出答案．【详解】解：（1）证明：如图1，连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠B＝90°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠B+∠AEO＝90°，∵∠PEA＝∠B，∴∠PEA+∠AEO＝90°，∴∠PEO＝90°，又∵OE为半径，∴PE是⊙O的切线；（2）如图2，连接OD，∵D为AC的中点，∴OD⊥AC，设垂足为M，∴∠AMO＝90°，∵DE⊥AB，∴∠AFD＝90°，∴∠AOD+∠OAM＝∠OAM+∠AGF＝90°，∴∠AOD＝∠AGF，∵∠AEB＝∠EFB＝90°，∴∠B＝∠AEF，∵∠PEA＝∠B，∴∠PEF＝2∠B，∵DE⊥AB，∴AE AD，∴∠AOD＝2∠B，∴∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，∴HE＝HG；（3）解：如图3，∵∠PEF＝∠AOD，∠PFE＝∠DFO，∴∠P＝∠ODF，∴tan∠P＝tan∠ODF＝512 OFDF=，设OF＝5x，则DF＝12x，∴OD22OF DF+13x，∴BF＝OF+OB＝5x+13x＝18x，AF＝OA﹣OF＝13x﹣5x＝8x，∵DE⊥OA，∴EF＝DF＝12x，∴AE22AF EF+13，BE22EF BF+13，∵∠PEA＝∠B，∠EPA＝∠BPE，∴△PEA∽△PBE，∴41323613PA AEPE BE===，∵∠P+∠PEF＝∠FAG+∠AGF＝90°，∴∠HEG＝∠HGE，∴∠P＝∠FAG，又∵∠FAG＝∠PAH，∴∠P＝∠PAH，∴PH＝AH，过点H作HK⊥PA于点K，∴PK＝AK，∴13 PKPE=，∵tan∠P＝5 12，设HK＝5a，PK＝12a，∴PH＝13a，∴AH＝13a，PE＝36a，∴HE ＝HG＝36a﹣13a ＝23a ，∴AG ＝GH ﹣AH ＝23a ﹣13a ＝10a ，∴13131010AH a AG a ==． 【点睛】 本题是圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定定和性质定理及方程思想是解题的关键．10．在O 中，AB 为直径，CD 与AB 相较于点H ，弧AC=弧AD（1）如图1，求证：CD AB ⊥;（2）如图2，弧BC 上有一点E ，若弧CD=弧CE ，求证：3EBA ABD ∠=∠;（3）如图3，在（2）的条件下，点F 在上，连接,//FH FH DE ，延长FO 交DE 于点K ，若165,55FK DB BE ==，求AB ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1855AB =． 【解析】【分析】 （1）连接,OC OD ,根据AC AD = 得出COA DOA ∠=再根据OC OD =得出OCD ODC ∠=∠，从而得证；（2）连接,BC BD ,根据AC AD =得出,BC BD BA CD =⊥，CBA ABD ∠=∠，再根据CE CD =,得出CBE CBD ∠=∠,从而得出结论；（3）作,CM DB CN BE ⊥⊥，过点P 作,PT BE PS BD ⊥⊥，,5BE BP a DB a ===先证CDM CEN ∆≅∆，DM EN =，再证,CMB CNB BM BN ∆≅∆=，设DM b =，得出2b a =，再算出,CM CD 得出CPD ∆为等腰三角形，再根据BP 是角平分线利用角平分线定理得出BCP EBP S DP BD S PE BE∆==，从而算出,PE DE ,再根据三角函数值算出BG ,,,,AB r OG OH ，再根据//FH DE 得出HO OF GO OK=，从而计算AB ． 【详解】（1）连接OC ，CD因为AC AD=，所以COA DOA∠=∠OC OD=，,OA CD CD AB∴⊥∴⊥;(2)连接BC，,BC BD BA CD=⊥所以AB平分CBD∠，设ABD ABCα∠=∠=2CBDα∴∠=CDCE∴=2CBE CBDα∴∠=∠=，3EBAα∴∠=3EBA ABD∴∠=∠．(3) 2,90EBC BPE PEBαα︒∠=∠=∠=-设,5BE BP a DB a===作,CM DB CN BE⊥⊥，可证：CDM CEN∆≅∆，DM EN=，再证：,CMB CNB BM BN∆≅∆=设,5,2DM EN b a b a b b a==+=-∴=在CBM∆中勾股4CM a=在CDM∆中勾股25CD a=得CPD∆为等腰三角形25DP DC a==因为BP为角平分线，过点P作,PT BE PS BD⊥⊥可证：5BCPEBPS DP BDS PE BE∆===2525,53PE a DE a ∴== 14tan ,tan 223αα== 2555,32BG a AB a ∴== 557535,,4124r a OG a OH a === //FH DE97HO OF GO OK ∴== 995185,16OF KF AB ===【点睛】本题是一道圆的综合题目，难度较大，考查了圆相关的性质以及与三角形综合，掌握相关的线段与角度转化是解题关键．。

人教版九年级数学上册 圆 几何综合单元试卷（word 版含答案）一、初三数学 圆易错题压轴题（难）1．已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦BC=AO ，点D 为BC 的中点，(1)如图，连接AC 、OD ，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD ； (2)如图，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离：(3)如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长．【答案】（1）1502AOD α∠=︒-；（2）7AD =3）33133122or【解析】 【分析】（1）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOC 等于30°，OA=OC 可得∠ACO=∠CAO=α，利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD 的值. （2）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOB 等于30°，因为点D 为BC 的中点，则∠AOB=∠BOC=60°，所以∠AOD 等于90°，根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD 、AD 的长.（3）分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系，求出AD 的长，再过O 点作AE 的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解. 【详解】(1)如图1：连接OB 、OC. ∵BC=AO ∴OB=OC=BC∴△OBC 是等边三角形 ∴∠BOC=60° ∵点D 是BC 的中点 ∴∠BOD=1302BOC ∠=︒ ∵OA=OC∴OAC OCA ∠=∠=α ∴∠AOD=180°-α-α-30︒=150°-2α(2)如图2：连接OB、OC、OD.由（1）可得：△OBC是等边三角形，∠BOD=130 2BOC∠=︒∵OB=2，∴OD=OB∙cos30︒=3∵B为AC的中点，∴∠AOB=∠BOC=60°∴∠AOD=90°根据勾股定理得：AD=227AO OD+=（3）①如图3.圆O与圆D相内切时：连接OB、OC，过O点作OF⊥AE∵BC是直径，D是BC的中点∴以BC为直径的圆的圆心为D点由（2）可得：3D的半径为1∴31设AF=x在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，2222OA AF OD DF -=-即()2222331x x -=-+-解得：331x 4+=∴AE=3312AF +=②如图4.圆O 与圆D 相外切时： 连接OB 、OC ，过O 点作OF ⊥AE ∵BC 是直径，D 是BC 的中点 ∴以BC 为直径的圆的圆心为D 点 由（2）可得：3D 的半径为1 ∴31 在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，2222OA AF OD DF -=-即()2222331x x -=- 解得：331x 4-=∴AE=3312AF -=【点睛】本题主要考查圆的相关知识：垂径定理，圆与圆相切的条件，关键是能灵活运用垂径定理和勾股定理相结合思考问题，另外需注意圆相切要分内切与外切两种情况.2．在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．（1）求圆心C的坐标．（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数y=-的图象上，求抛物线的解析式．（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．【答案】（1）圆心C的坐标为（1，）；（2）抛物线的解析式为y=x2﹣x；（3）点D、E均在抛物线上；（4）﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．【解析】试题分析：（1）如图线段AB是圆C的直径，因为点A、B的坐标已知，根据平行线的性质即可求得点C的坐标；（2）因为抛物线过点A、O，所以可求得对称轴，即可求得与直线y=﹣x的交点，即是二次函数的顶点坐标，利用顶点式或者一般式，采用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（3）因为DE∥x轴，且过点C，所以可得D、E的纵坐标为，求得直径AB的长，可得D、E的横坐标，代入解析式即可判断；（4）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．试题分析：（1）∵⊙C经过原点O∴AB为⊙C的直径∴C为AB的中点过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH=OB=，OH=OA=1∴圆心C的坐标为（1，）．（2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x=1，∵抛物线的顶点在直线y=﹣x上，∴顶点坐标为（1，﹣）．把这三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（3）∵OA=2，OB=2，∴AB==4，即⊙C的半径r=2，∴D（3，），E（﹣1，），代入y=x2﹣x检验，知点D、E均在抛物线上．（4）∵AB为直径，∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，∴﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．考点：二次函数综合题．3．在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．（1）如图1，把△AMN沿直线MN折叠得到△PMN，设AM=x．i．若点P正好在边BC上，求x的值；ii．在M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．（2）如图2，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMQN．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．【答案】（1）i．当x=2时，点P恰好落在边BC上；ii． y=，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2；（2）当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．【解析】试题分析：（1）i．根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；ii．分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，根据轴对称的性质△MNP的面积等于△AMN的面积，易见y=x2②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．（2）利用分类讨论的思想，先求的直线BC与⊙O相切时，x的值，然后得到相交，相离时x的取值范围．试题解析：（1）i．如图1，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，∴∠B=∠BPM，∴AM=PM=BM，∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上．ii．以下分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，∴，∴AN=，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，∴，②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由（2）知ME=MB=4-x，∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，∴，∴S△PEF=（x-2）2，∴y=S△PMN-S△PEF=，∵当0＜x≤2时，y=x2，∴易知y最大=，又∵当2＜x＜4时，y=，∴当x=时（符合2＜x＜4），y最大=2，综上所述，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2．（2））如图3，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连接AO ，OD ，则AO=OD=MN ． 在Rt △ABC 中，BC==5；由（1）知△AMN ∽△ABC ， ∴，即，∴MN=x ∴OD=x ，过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则MQ=OD=x ， 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴△BMQ ∽△BCA ， ∴，∴BM=，AB=BM+MA=x+x=4∴x=，∴当x=时，⊙O 与直线BC 相切； 当x ＜时，⊙O 与直线BC 相离； x ＞时，⊙O 与直线BC 相交．考点：圆的综合题．4．四边形ABCD 的对角线交于点E ，有AE =EC ，BE =ED ，以AB 为直径的O 过点E ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形．（2）若CD 的延长线与圆相切于点F ，已知直径AB =4．求阴影部分的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）513π- 【解析】试题分析：（1）先由AE=EC 、BE=ED 可判定四边形为平行四边形，再根据∠AEB=90°可判定该平行四边形为菱形；（2）连接OF ，过点D 作DP ,AB P E EQ AB ⊥⊥于过点作于Q ，分别求出扇形BOE 、△AOE、半圆O 的面积，即可得出答案. 试题解析：（1）AE =EC ，BE =ED∴ABCD 四边形为平行四边形 ∵90AB AEB ∠∴=︒是直径 ∴ABCD 平行四边形是菱形（2）连接OF ，过点D 作DP ,AB P E EQ AB ⊥⊥于过点作于QCF 切O 于点F∴90OFC ∠=︒ ∵ABCD 四边形是菱形，∴,90CD AB BOF OFD DPO ∠∠∠∴===︒ ∴FOPD DP OF ∴=四边形是矩形ABCD 四边形是菱形，AB AD ∴=∵11,3022OF AB DP AD DAB ∠=∴=∴=︒ ∴ABCD 四边形是菱形∴1152CAB DAB ∠=∠=︒ ∴180215150AOE ∠=︒-⨯︒=︒ ∴3090EOB EQO ∠∠=︒=︒∴112EQ OE == 21502360S 阴影π⨯∴=-1521123π⨯⨯=- 点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．5．已知：AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，点E 为⊙O 上一点，AE BE =，BE 与CD 交于点F ．（1）如图1，求证：BH ＝FH ；（2）如图2，过点F 作FG ⊥BE ，分别交AC 、AB 于点G 、N ，连接EG ，求证：EB ＝EG ； （3）如图3，在（2）的条件下，延长EG 交⊙O 于M ，连接CM 、BG ，若ON ＝1，△CMG 的面积为6，求线段BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）210 ． 【解析】 【分析】（1）连接AE ，根据直径所对圆周角等于90°及弧与弦的关系即可得解； （2）根据题意，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、，通过证明Rt CGQ Rt CBS ∆≅∆，CBE CGE ∆≅∆即可得解；（3）根据题意，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN ，设CAB α∠＝，证明()CMG CNG AAS ∆≅∆，再由面积法及勾股定理进行计算求解即可.【详解】解：（1）如下图，连接AE∵AB 为直径 ∴90AEB =︒∠∵AE BE = ∴AE BE = ∴45B ∠=︒ 又∵CD AB ⊥于H∴45HFB ∠=︒ ∴HF HB =；（2）如下图，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、AB 为直径，∴90ACB QCS ∠=∠=︒∴GCQ BCS ∠=∠∴()Rt CGQ Rt CBS AAS ∆≅∆∴CG CB =同理()CBE CGE SAS ∆≅∆∴EG EB =；（3）如下图，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN设CAB α∠=由（2）知：CM CB =∴CM CB =∵HB HF =∴45HBF HFB ∠=∠=︒∵GF BE ⊥∴45NFH NH BH CN BC ∠=︒∴=∴=，，∴CM CB CN ==则：2MEB α∠=902AEG α∠=︒-∴45EAG EGA α∠=∠=︒+∴45M MGC α∠=∠=︒+∴()CMG CNG AAS ∆≅∆∵CMG ∆面积为6∴6CAN GAN S S -=设2122BH NH x OA OB x AN x ====+=+，，则()CGT BCH AAS ∆≅∆∴C BH x ==∴6AN CH AN TH ⋅-⋅=∴1(22)62x CT +⋅= 解得：2x =∵2BC BH BA =⋅∴2210BC =⨯，则25BC ＝ ∴2210BG BC ＝＝．【点睛】本题主要考查了圆和三角形的综合问题，熟练掌握圆及三角形的各项重要性质及判定方法是解决本题的关键.6．如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A 和点B ，点C 为弧AB 上一点，连接PC 并延长交O 于点F ，D 为弧AF 上的一点，连接BD 交FC 于点E ，连接AD ，且2180APB PEB ∠+∠=︒．（1）如图1，求证：//PF AD ；（2）如图2，连接AE ，若90APB ∠=︒，求证：PE 平分AEB ∠；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB 交PE 于点H ，连接OE ，8AD =，4sin 5ABD ∠=，求PH 的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）257 【解析】【分析】（1）连接OA 、OB ，由切线的性质可得90OAP OBP ∠=∠=︒，由四边形内角和是360︒，得180∠+∠=︒P AOB ，由同弧所对的圆心角是圆周角的一半，得到2AOB ADB ∠=∠，等量代换得到ADB PEB ∠=∠，由同位角相等两直线平行，得到//PF AD ；（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K ，由90APB ∠=︒得290PEB ∠=︒，从而45PEB ∠=︒，由切线的性质，得PA PB =，由PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，得PE PK =，从而90APE EPB ︒∠=-∠，进而APE BPK ∠=∠，即可证得APE BPK ∆∆≌由此45K AEP ∠=∠=︒，得到AEP PEB ∠=∠，即可证得PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM ，由45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，可得DE AE =，由OA 、OD 为半径，可得OA OD =，即可证出DEO AEO ∆∆≌，由直径所对的圆周角是直角，可得90ADM ∠=︒，在Rt ADM ∆中，由正弦定义可得10AM =，由此5OA OB ==，由OAPB 为正方形，对角线AB 垂直平分OP ，从而，OH PH =.在Rt OAP ∆中，252OP OA ==.延长EO 交AD 于K ，在Rt OEP ∆中，由勾股定理得7PE =，在Rt OEH ∆中，由勾股定理得257PH =. 【详解】 （1）连接OA 、OB∵PA 、PB 与圆O 相切于点A 、B ，且OA 、OB 为半径，∴OA AP ⊥，OB BP ⊥，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴在四边形AOBP 中，360180180P AOB ∠+∠=︒-︒=︒，∵AB AB =，∴2AOB ADB ∠=∠，∴2180P ADB ∠+∠=︒，∵2180P PEB ∠+∠=︒，∴ADB PEB ∠=∠，∴//PF AD（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K∵90APB ∠=︒，∴21809090PEB ∠=︒-︒=︒，∴45PEB ∠=︒，∵PA 、PB 为圆O 的切线，∴PA PB =，∵PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，∴PE PK = ，∵9090APE EPB KPB EPB ︒︒∠=-∠=∠=-∠，∴APE BPK ∠=∠，∴APE BPK ∆∆≌，∴45K AEP ∠=∠=︒，∴AEP PEB ∠=∠，∴PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM∵45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，∴DE AE =，∵OA 、OD 为半径，∴OA OD =，∵OE OE =，∴DEO AEO ∆∆≌， ∴1452AEO OED AED ∠=∠=∠=︒， ∴90OEP ∠=︒，∵AM 为圆O 的直径，∴90ADM ∠=︒，∵弧AD =弧AD ，∴ABD AMD ∠=∠，在Rt ADM ∆中，8AD =，4sin 5AMD ∠=，则10AM =， ∴5OA OB ==，由题易证四边形OAPB 为正方形，∴对角线AB 垂直平分OP ，AB OP =，∵H 在AB 上，∴OH PH =，在Rt OAP ∆中，252OP OA ==延长EO 交AD 于K ，∵DE AE =，可证OK AD ⊥，DOK ABD ∠=∠，∴4DK KE ==，3OK =，1OE =∴在Rt OEP ∆中，227PE OP OE =-=在Rt OEH ∆中，222OH OE EH =+∵OH PH =，7EH PE HP PH =-=-∴()22217PH PH =+- ∴257PH =． 【点睛】 本题考查了圆的综合题，圆的性质，等腰三角形的性质，相交弦定理，正弦定理，勾股定理，灵活运用这些性质定理解决问题是本题的关键．7．已知AB 是O 的一条弦，点C 在O 上，联结CO 并延长，交弦AB 于点D ，且CD CB =．（1）如图1，如果BO 平分ABC ∠，求证：AB BC =；（2）如图2，如果AO OB ⊥，求:AD DB 的值；（3）延长线段AO 交弦BC 于点E ，如果EOB ∆是等腰三角形，且O 的半径长等于2，求弦BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（23351和22【解析】【分析】（1）由题意利用弦心距即可求证结果，（2）此题关键先求出AO ，做辅助线构造特殊三角形，并求证出∠AOD ，再根据平行线分线段成比例求出比值即可，（3）分情况讨论两种情况：OE=BE 时或OB=BE 时两种情况，利用三角形相似即△COE ~△CBO 找到相似比，利用相似比求解即可．【详解】（1）过点O作OP⊥AB，垂足为点P；OQ⊥BC，垂足为点Q，∵BO平分∠ABC，∴OP=OQ，∵OP，OQ分别是弦AB、BC 的弦心距，∴AB= BC；（2）∵OA=OB，∴∠A=∠OBD，∵CD=CB，∴∠CDB =∠CBD，∴∠A+∠AOD =∠CBO +∠OBD，∴∠AOD =∠CBO，∵OC=OB，∴∠C =∠CBO，∴∠DOB =∠C +∠CBO = 2∠CBO = 2∠AOD，∵AO⊥OB，∴∠ AOB =∠AOD +∠BOD =3∠AOD = 90°，∴∠AOD=30°，过点D作DH⊥AO，垂足为点H，∴∠AHD=∠DHO=90°，∴tan∠AOD =HDOH3∵∠AHD=∠AOB=90°，∴HD‖OB，∴DA OBH AHO=，∵OA=OB，∴HD=AH，∵HD‖OB，∴3AH HDOH OAHDB H===；（3）∵∠C=∠CBO ，∴∠OEB =∠C+∠COE >∠CBO ，∴OE≠OB ；若OB = EB =2时，∵∠C=∠C ，∠COE =∠AOD =∠CBO ，∴△COE ~△CBO ， ∴CO CE BC CO =， ∴222BC BC =-， ∴2BC -2BC -4=0，∴BC =舍去)或，∴；若OE = EB 时，∵∠EOB =∠CBO ，∵∠OEB =∠C+∠COE =2∠C =2∠CBO 且∠OEB +∠CBO +∠EOB = 180°，∴4∠CBO=180°，∠CBO=45°，∴∠OEB=90°，∴cos ∠CBO=EB OB =， ∵OB=2，∴ ，∵OE 过圆心，OE ⊥BC ，∴．【点睛】此题考查圆的相关知识：圆心距及圆内三角形相似的相关知识，属于综合题型，难度较高．8．AB 是O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ，连接CD 交AB 于E ，（1）如图(1)求证：90AEC ∠=︒；（2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠（3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==∆的面积等于8，求线段MN 的长度【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2410MN =． 【解析】【分析】（1）由垂径定理即可证明； （2）利用等弧所对的圆周角相等和三角形外角性质即可得到结论；（3）由∠MPC=∠NQD 可得：∠BGL=∠BLG ，BL=BG ，作BR ⊥MN ，GT ⊥AF ，HK ⊥AB ，证明：GH 平分∠AGT ，利用相似三角形性质和角平分线性质求得△AGT 三边关系，再求出HK 与GH ，OS ⊥MN ，再利用相似三角形性质求出OS ，利用勾股定理求MN 即可．【详解】解：()1证明：∵BC BD =，AB 为直径，∴AB ⊥CD∴∠AEC=90°；()2连接,OM ON ，∵点M 是弧AC 的中点，点N 是弧DF 的中点，∴AM CM =，FN DN =，∴,OM AC ON FD ⊥⊥，∵OM=ON ，∴M N ∠=∠，∵90M MPC N NQB ∠+∠=∠+∠=︒，MPC NQD ∴∠=∠；()3如图3，过G 作GT ⊥AF 于T ，过H 作HK ⊥AB 于K ，过B 作BR ⊥MN 于R ，过O 作OS ⊥MN 于S ，连接OM ，设BG=m ，∵△ABH 的面积等于8，AG=6 ∴HK=166m +， ∵BC BD =，∴∠BAC=∠BFD ，由（2）得∠MPC=∠NQD∴∠AGM=∠FLN∴∠BGL=∠BLG∴BL=BG ，∵BR ⊥MN∴∠ABR=∠FBR∵GH ⊥MN∴GH ∥BR∴∠AGH=∠ABR∵AB 是直径，GT ⊥AF∴∠AFB=∠ATG=90°∴GT ∥BF ，又∵GH ∥BR∴∠TGH=∠FBR∴∠AGH=∠TGH ，又∵HK ⊥AG ，HT ⊥GT ， ∴HT=HK=166m +， ∵FH=BG=m ， ∴FT=16(8)(2)66m m m m m +--=++， ∵GT ∥BF ， ∴AT AG FT BG=， ∴6(8)(2)(6)m m AT m m +-=+，616m AH m -=，48(6)(38)m KG TG m m ==+-， ∵222AT TG AG +=，代入解得：m=4；∴AB=10，OM=5，GK=245，HK=85，OG=1∴GH=8105，∵OS⊥MN∴∠OSG=∠GKH=90°，GH∥OS ∴∠HGK=∠GOS∴△HGK∽△GOS，∴OS GK OG GH=，∴310 OS=，∴222410MG OM OG=-=，∴2410 MN=；【点睛】本题考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形判定和性质，勾股定理等，综合性较强，尤其是第（3）问难度很大，计算量大，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，运用数形结合的思想进行解题．9．已知点A为⊙O外一点，连接AO，交⊙O于点P，AO=6．点B为⊙O上一点，连接BP，过点A作CA⊥AO，交BP延长线于点C，AC=AB．（1）判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若3 PB的长．（3）若在⊙O上存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围是___________．【答案】（1）AB 与⊙O 相切 ，理由见解析；（2）433PB =；（3）6565r ≤< 【解析】【分析】 （1）连接OB ，有∠OPB=∠OBP ，又AC=AB ，则∠C=∠ABP ，利用∠CAP=90°，即可得到结论成立；（2）由AB=AC ，利用勾股定理先求出半径，作OH ⊥BP 与H ，利用相似三角形的判定和性质，即可求出PB 的长度；（3）根据题意得出OE=12AC=12AB=2216r 2-，利用OE=22162r r -≤，即可求出取值范围．【详解】解：（1）连接OB ，如图：∵OP=OB ，∴∠OPB=∠OBP=∠APC ，∵AC=AB ，∴∠C=∠ABP ，∵AC ⊥AO ，∴∠CAP=90°，∴∠C+∠APC=90°，∴∠ABP+∠OBP=90°，即OB ⊥AB ，∴AB 为切线；（2）∵AB=AC∴22AB AC =，∴2222CP AP OA OB -=-，设半径为r ，则2222(43)(6)6r r --=-解得：r=2；作OH ⊥BP 与H ，则△ACP ∽△HOP ，∴PH OP AP CP=，即443PH = ∴23PH =, ∴4323PB PH ==； （3）如图，作出线段AC 的垂直平分线MN ，作OE ⊥MN ，∴四边形AOEM 是矩形，∴OE=AM=12AC=1222162r - 又∵圆O 与直线MN 有交点，∴22162r r -， 2262r r -≤，∴22364r r -≤，∴65r ≥ 又∵圆O 与直线AC 相离，∴r ＜6，656r ≤<． 【点睛】此题主要考查了圆的综合以及切线的判定与性质和勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，得出EO 与AB 的关系进而求出r 取值范围是解题关键．10．在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点A ，B 和图形ω，如果在图形ω上存在点P ，Q （P ，Q 可以重合），使得AP ＝2BQ ，那么称点A 与点B 是图形ω的一对“倍点”． 已知⊙O 的半径为1，点B （0，3）．（1）①点B 到⊙O 的最大值，最小值；②在A 1（5，0），A 2（0，10），A 3）这三个点中，与点B 是⊙O 的一对“倍点”的是 ；（2）在直线y =x +b 上存在点A 与点B 是⊙O 的一对“倍点”，求b 的取值范围； （3）正方形MNST 的顶点M （m ，1），N （m +1，1），若正方形上的所有点与点B 都是⊙O 的一对“倍点”，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）①点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2；②A 1；（2）b -≤≤；（3）3≤m ≤1或≤m ≤﹣4【解析】【分析】（1）①根据点与圆的位置关系求解即可；②先求出123,,A A A 三个点到⊙O 的最大值与最小值，再根据“倍点”的定义求解即可； （2）如图1（见解析），过点O 作OD l ⊥，先求428BQ ≤≤，再求出直线:l y x b =+上的点到⊙O 的最小值，只要这个最小值小于等于8即可满足题意，然后求解即可；（3）根据正方形的位置，可分20,01,1,2m m m m -≤<≤≤><-四种情况，分别求出每种情况下，正方形最近顶点、最远顶点到⊙O 的最大值与最小值，然后根据“倍点”的定义列出不等式组求解即可.【详解】（1）①点B 到⊙O 的最大值是314BO r +=+=点B 到⊙O 的最小值是312BO r -=-=；②1A 到⊙O 的最大值6，最小值4；2A 到⊙O 的最大值11，最小值9；3A 到⊙O 的最大值3，最小值1由（1）知，点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2因此，在⊙O 上存在点P ，Q ，使得12A P BQ =，则1A 与B 是⊙O 的一对“倍点”故答案为1A ；（2）∵点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2428BQ ∴≤≤如图1，过点O 作OD l ⊥由直线:3l y x b =+的解析式可知：60,DCO OC b ∠=︒=由直角三角形的性质可得：1,2CD b OD === 则点D 到⊙O1-，即直线:l y b =+上的点到⊙O的最小值为1-要使直线:l y x b =+上存在点A 与点B 是⊙O 的一对“倍点”18-≤解得：b ≤b -≤≤；（3）由（2）知，428BQ ≤≤依题意，需分20,01,1,2m m m m -≤<≤≤><-四种情况讨论：①当20m -≤<时，顶点(1,1)N m +到⊙O14<，此时顶点N 不符题意②当01m ≤≤时，顶点(,1)M m 到⊙O14<，此时顶点M 不符题意③当1m ，如图2，正方形MNST 处于1号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,0),(,0)S m T m +此时，点T 到⊙O 的最小值为1m -，最大值为1m +；点N 到⊙O的最小值为11则1418m +≥⎧≤，解得：31m ≤≤ 当正方形MNST 处于2号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,2),(,2)S m T m +此时，点M 到⊙O1-1；点S 到⊙O 的最小11则1418≥≤，解得：1m ≤≤或1m ≤≤- 故当1m 时，m的取值范围为31m ≤≤④当2m <-时，正方形MNST 处于3号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,0),(,0)S m T m +此时，点S 到⊙O 的最小值为2m --，最大值为m -；点M 到⊙O 的最小值为2211 m+-，最大值为2211m++则224118mm-≥⎧⎪⎨+-≤⎪⎩，解得：454m-≤≤-当正方形MNST处于4号正方形位置时则顶点S和T的坐标为(1,2),(,2)S m T m+此时，点N到⊙O的最小值为22(1)11m++-，最大值为22(1)11m+++；点T到⊙O的最小值为2221m+-，最大值为2221m++则2222(1)114218mm⎧+++≥⎪⎨+-≤⎪⎩，解得：77122m-≤≤--或22177m-≤≤（舍去）故当2m<-时，m的取值范围为774m-≤≤-综上，m的取值范围为3771m≤≤-或774m-≤≤-.【点睛】本题考查了直线与圆的的位置关系、点与圆的位置关系、正方形的性质，较难的是（3），根据点与圆的位置关系分四种情况讨论是解题关键.。

人教版九年级数学上册 圆 几何综合单元复习练习(Word 版 含答案)一、初三数学 圆易错题压轴题（难）1．如图①，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，点D 是AC 边上一点（不与C 重合），以AD 为直径作⊙O ，过C 作CE 切⊙O 于E ，交AB 于F ． （1）若⊙O 半径为2，求线段CE 的长； （2）若AF ＝BF ，求⊙O 的半径；（3）如图②，若CE ＝CB ，点B 关于AC 的对称点为点G ，试求G 、E 两点之间的距离．【答案】（1）CE ＝42；（2）⊙O 的半径为3；（3）G 、E 两点之间的距离为9.6 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得； （2）由勾股定理求得BC ，然后通过证得△OEC ∽△BCA ，得到OE OC BC BA =，即8610r r-= 解得即可；（3）证得D 和M 重合，E 和F 重合后，通过证得△GBE ∽△ABC ，GB GEAB AC=，即12108GE =，解得即可. 【详解】解：（1）如图①，连接OE ，∵CE 切⊙O 于E ， ∴∠OEC ＝90°，∵AC＝8，⊙O的半径为2，∴OC＝6，OE＝2，∴CE＝2242OC OE-=；（2）设⊙O的半径为r，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝22AB A C-＝6，∵AF＝BF，∴AF＝CF＝BF，∴∠ACF＝∠CAF，∵CE切⊙O于E，∴∠OEC＝90°，∴∠OEC＝∠ACB，∴△OEC∽△BCA，∴OE OCBC BA=，即8610r r-=解得r＝3，∴⊙O的半径为3；（3）如图②，连接BG，OE，设EG交AC于点M，由对称性可知，CB＝CG，∵CE＝CG，∴∠EGC＝∠GEC，∵CE切⊙O于E，∴∠GEC+∠OEG＝90°，∵∠EGC+∠GMC＝90°，∴∠OEG＝∠GMC，∵∠GMC＝∠OME，∴∠OEG＝∠OME，∴OM＝OE，∴点M和点D重合，∴G、D、E三点在同一直线上，连接AE、BE，∵AD是直径，∴∠AED＝90°，即∠AEG＝90°，又CE＝CB＝CG，∴∠BEG＝90°，∴∠AEB＝∠AEG+∠BEG＝180°，∴A、E、B三点在同一条直线上，∴E、F两点重合，∵∠GEB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△GBE∽△ABC，∴GB GEAB AC=，即12108GE=∴GE＝9.6，故G、E两点之间的距离为9.6．【点睛】本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G、D、E三点共线以及A、E、B三点在同一条直线上是解题的关2．在平面直角坐标系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示.（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积.（2）如图3，连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状，并加以证明.（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.【答案】（1）12；（2）判断△OCD是直角三角形，证明见解析；（3）连接OC，交半圆O于点P，这时点P的关联图形的面积最大，理由风解析，82+【解析】试题分析：（1）判断出四边形AOPC是正方形，得到正方形的面积是4，根据BD⊥AB，BD=6，求出梯形OPDB的面积=()(26)2822OP DB OB+⨯+⨯==，二者相加即为点P的关联图形的面积是12．（2）根据CF=DF=4，∠DCF=45°，求出∠OCD=90°，判断出△OCD是直角三角形．（3）要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，确定关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积﹣△PCD的面积，根据此思路，进行解答．试题解析：（1）∵A（﹣2，0），∴OA=2，∵P是半圆O上的点，P在y轴上，∴OP=2，∠AOP=90°，∴AC=2，∴四边形AOPC是正方形，∴正方形的面积是4，又∵BD⊥AB，BD=6，∴梯形OPDB的面积=()(26)2822OP DB OB+⨯+⨯==，∴点P的关联图形的面积是12．（2）判断△OCD是直角三角形．证明：延长CP交BD于点F，则四边形ACFB为矩形，∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∴△OCD是直角三角形．（3）连接OC交半圆O于点P，则点P即为所确定的点的位置．理由如下：连接CD，梯形ACDB的面积=()(26)41622AC DB AB+⨯+⨯==为定值，要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，∵CD为定长，∴P到CD的距离就要最小，连接OC，设交半圆O于点P，∵AC⊥OA，AC=OA，∴∠AOC=45°，过C作CF⊥BD于F，则ACFB为矩形，∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴OC⊥CD，OC=2∴PC在半圆外，设在半圆O上的任意一点P′到CD的距离为P′H，则P′H+P′O＞OH＞OC，∵OC=PC+OP，∴P′H＞PC，∴当点P运动到半圆O与OC的交点位置时，点P的关联图形的面积最大．∵CD=42CP=222，∴△PCD 的面积=()(26)41622AC DB AB +⨯+⨯==，∴点P 的关联图形的最大面积是梯形ACDB 的面积﹣△PCD 的面积=16(842)842--=+．考点：圆的综合题．3．在直角坐标系中，⊙C 过原点O ，交x 轴于点A （2，0），交y 轴于点B （0，）．（1）求圆心C 的坐标．（2）抛物线y=ax 2+bx+c 过O ，A 两点，且顶点在正比例函数y=-的图象上，求抛物线的解析式．（3）过圆心C 作平行于x 轴的直线DE ，交⊙C 于D ，E 两点，试判断D ，E 两点是否在（2）中的抛物线上．（4）若（2）中的抛物线上存在点P （x 0，y 0），满足∠APB 为钝角，求x 0的取值范围．【答案】（1）圆心C 的坐标为（1，）；（2）抛物线的解析式为y=x 2﹣x ；（3）点D 、E 均在抛物线上； （4）﹣1＜x 0＜0，或2＜x 0＜3． 【解析】试题分析：（1）如图线段AB 是圆C 的直径，因为点A 、B 的坐标已知，根据平行线的性质即可求得点C的坐标；（2）因为抛物线过点A、O，所以可求得对称轴，即可求得与直线y=﹣x的交点，即是二次函数的顶点坐标，利用顶点式或者一般式，采用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（3）因为DE∥x轴，且过点C，所以可得D、E的纵坐标为，求得直径AB的长，可得D、E的横坐标，代入解析式即可判断；（4）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．试题分析：（1）∵⊙C经过原点O∴AB为⊙C的直径∴C为AB的中点过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH=OB=，OH=OA=1∴圆心C的坐标为（1，）．（2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x=1，∵抛物线的顶点在直线y=﹣x上，∴顶点坐标为（1，﹣）．把这三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（3）∵OA=2，OB=2，∴AB==4，即⊙C的半径r=2，∴D（3，），E（﹣1，），代入y=x2﹣x检验，知点D、E均在抛物线上．（4）∵AB为直径，∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，∴﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．考点：二次函数综合题．4．如图，△ABC内接于⊙O，点D在AB边上，CD与OB交于点E，∠ACD＝∠OBC；（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）如图2，当∠BAC＝∠OBC+∠BCD时，求证：BO平分∠ABC；（3）如图3，在（2）的条件下，作OF⊥BC于点F，交CD于点G，作OH⊥CD于点H，连接FH并延长，交OB于点P，交AB边于点M．若OF＝3，MH＝5，求AC边的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AC＝48 5【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出∠FCB=90°，再根据“同弧所对的圆周角相等”得出∠A=∠F，再根据已知条件得∠3=90°，得CD⊥AB；（2）延长BO交AC于K，由已知可得∠A=∠5，由∠A+∠2=90°得∠5+∠2=90°，根据三角形的内角和定理及外角定理得出∠9=∠1得出BO平分∠ABC；（3）延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN，由条件可得CH=NH，BF=CF，从而HF是△CBN的中位线，HF∥BN，得出∠OEH=∠EHM又由∠OEH+∠EOH=∠EHM+∠OHP=90°可得HM=OB=5，在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF=4，解出BC=8，sin∠OBC=35，所以可得AC=2CK，CK=BC•sin∠OBC=245得AC=48 5.【详解】解：（1）如图1，令∠OBC＝∠1，∠ACD＝∠2延长BO交⊙O于F，连接CF．∵BF是⊙O的直径，∴∠FCB＝90°∴∠1+∠F＝90°，∵弧BC＝弧BC，∴∠A＝∠F又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠A＝90°，∴∠3＝90°，∴CD⊥AB（2）如图2，令∠OBC＝∠1，∠BCD＝∠4延长BO交AC于K∵∠A＝∠1+∠4，∠5＝∠1+∠4，∴∠A＝∠5，∵∠A+∠2＝90°，∴∠5+∠2＝90°，∴∠6＝90°∵∠7＝180°﹣∠3＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠5＝∠8，∴∠9＝∠2∵∠2＝∠1，∴∠9＝∠1，∴BO平分∠ABC（3）如图3，延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN∵OH⊥CN，OF⊥BC∴CH＝NH，BF＝CF∴HF是△CBN的中位线，HF∥BN∴∠FHC＝∠BNC＝∠BAC∵∠BAC＝∠OEH，∠FHC＝∠EHM∴∠OEH＝∠EHM设EM、OE交于点P∵∠OEH+∠EOH＝∠EHM+∠OHP＝90°∴∠EOH＝∠OHP∴OP＝PH∵∠ADC＝∠OHC＝90°∴AD∥OH∴∠PBM ＝∠EOH ，∠BMP ＝∠OHP ∴PM ＝PB ∴PM +PH ＝PB +OP ∴HM ＝OB ＝5在Rt △OBF 中，根据勾股定理可得BF ＝4 ∴BC ＝8，sin ∠OBC ＝35∵∠A +∠ABO ＝∠DEB +∠ABO ＝90° ∴∠AKB +∠CKB ＝90° ∴OK ⊥ACAC ＝2CK ，CK ＝BC •sin ∠OBC ＝245∴AC ＝485【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及三角形的内角和定理及外角定理和勾股定理、三角函数等知识，理解同弧所对的圆周角相等是解题关键．5．四边形ABCD 的对角线交于点E ，有AE =EC ，BE =ED ，以AB 为直径的O 过点E ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形．（2）若CD 的延长线与圆相切于点F ，已知直径AB =4．求阴影部分的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）513π- 【解析】试题分析：（1）先由AE=EC 、BE=ED 可判定四边形为平行四边形，再根据∠AEB=90°可判定该平行四边形为菱形；（2）连接OF ，过点D 作DP ,AB P E EQ AB ⊥⊥于过点作于Q ，分别求出扇形BOE 、△AOE、半圆O 的面积，即可得出答案. 试题解析：（1）AE =EC ，BE =ED∴ABCD 四边形为平行四边形 ∵90AB AEB ∠∴=︒是直径 ∴ABCD 平行四边形是菱形（2）连接OF ，过点D 作DP ,AB P E EQ AB ⊥⊥于过点作于QCF 切O 于点F∴90OFC ∠=︒∵ABCD 四边形是菱形，∴,90CD AB BOF OFD DPO ∠∠∠∴===︒∴FOPD DP OF ∴=四边形是矩形ABCD 四边形是菱形，AB AD ∴=∵11,3022OF AB DP AD DAB ∠=∴=∴=︒ ∴ABCD 四边形是菱形∴1152CAB DAB ∠=∠=︒ ∴180215150AOE ∠=︒-⨯︒=︒∴3090EOB EQO ∠∠=︒=︒ ∴112EQ OE == 21502360S 阴影π⨯∴=-1521123π⨯⨯=- 点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．6．我们把“有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形”叫做“同族三角形”，如图1，在△ABC 和△ABD 中，AB=AB ，AC=AD ，∠B=∠B ，则△ABC 和△ABD 是“同族三角形”．（1）如图2，四边形ABCD 内接于圆，点C 是弧BD 的中点，求证：△ABC 和△ACD 是同族三角形；（2）如图3，△ABC 内接于⊙O ，⊙O 的半径为32AB=6，∠BAC=30°，求AC 的长； （3）如图3，在（2）的条件下，若点D 在⊙O 上，△ADC 与△ABC 是非全等的同族三角形，AD＞CD，求ADCD的值．【答案】（1）详见解析；（2）33+3；（3）ADCD=622+或62．【解析】【分析】(1）由点C是弧BD的中点，根据弧与弦的关系，易得BC=CD，∠BAC=∠DAC，又由公共边AC，可证得：△ABC和△ACD是同族三角形；(2）首先连接0A，OB，作点B作BE⊥AC于点E，易得△AOB是等腰直角三角形，继而求得答案；(3)分别从当CD=CB时与当CD=AB时进行分析求解即可求得答案．【详解】（1）证明：∵点C是弧BD的中点，即BC CD=，∴BC=CD，∠BAC=∠DAC，∵AC=AC，∴△ABC和△ACD是同族三角形.（2）解：如图1，连接OA，OB，作点B作BE⊥AC于点E，∵2，AB=6，∴OA2+OB2=AB2，∴△AOB是等腰直角三角形，且∠AOB=90°，∴∠C=∠AOB=45°，∵∠BAC=30°，∴BE=AB=3，∴22AB BE-3，∵CE=BE=3，∴3（3）解：∵∠B=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=180°﹣30°﹣45°=105°，∴∠ADC=180°﹣∠B=75°，如图2，当CD=CB时，∠DAC=∠BAC=30°，∴∠ACD=75°， ∴AD=AC=33+3，CD=BC=2BE=32， ∴AD 333CD 32+==622+； 如图3，当CD=AB 时，过点D 作DF ⊥AC ，交AC 于点F ，则∠DAC=∠ACB=45°，∴∠ACD=180°﹣∠DAC ﹣∠ADC=60°，∴DF=CD•sin60°=6×323 ∴2DF=36∴AD 36CD ==62综上所述：AD CD =622或62 【点睛】本题考查圆的综合应用问题，综合运用弧与弦的关系，等腰三角形的性质结合图形作辅助线进行分析证明以及求解，难度较大.7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为直径，AC 和BD 交于点E ，AB ＝BC ．（1）求∠ADB 的度数；（2）过B 作AD 的平行线，交AC 于F ，试判断线段EA ，CF ，EF 之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E ，F 分别作AB ，BC 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接GH ，交BO 于M ，若AG ＝3，S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，求⊙O 的半径．【答案】（1）45°；（2）EA2+CF2＝EF2，理由见解析；（3）62【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2=EF2．如图2，设∠ABE=α，∠CBF=β，先证明α+β=45°，再过B作BN⊥BE，使BN=BE，连接NC，判定△AEB≌△CNB （SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2，将相关线段代入即可得出结论；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2=EF2，变形推得S△ABC=S矩形BGKH，S△BGM=S四边形COMH，S△BMH=S四边形AGMO，结合已知条件S四边形AGMO：S四边形CHMO=8：9，设BG=9k，BH=8k，则CH=3+k，求得AE的长，用含k的式子表示出CF和EF，将它们代入EA2+CF2=EF2，解得k的值，则可求得答案．【详解】解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2＝EF2，∴12EA2+12CF2＝12EF2，∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，即S△ABC＝S矩形BGKH，∴12S△ABC＝12S矩形BGKH，∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，∵S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，∴S△BMH：S△BGM＝8：9，∵BM平分∠GBH，∴BG ：BH ＝9：8， 设BG ＝9k ，BH ＝8k ，∴CH ＝3+k ，∵AG ＝3，∴AE ＝32，∴CF ＝2（k+3），EF ＝2（8k ﹣3），∵EA 2+CF 2＝EF 2，∴222(32)[2(3)][2(83)]k k ++=-，整理得：7k 2﹣6k ﹣1＝0，解得：k 1＝﹣17（舍去），k 2＝1． ∴AB ＝12，∴AO ＝22AB ＝62， ∴⊙O 的半径为62．【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆的相关性质及定理、全等三角形的判定与性质、多边形的面积公式、勾股定理及解一元二次方程等知识点，熟练运用相关性质及定理是解题的关键．8．已知ABD △内接于圆O ，点C 为弧BD 上一点，连接BC AC AC 、，交BD 于点E ，CED ABC ∠=∠．（1）如图1，求证：弧AB =弧AD ；（2）如图2，过B 作BF AC ⊥于点F ，交圆O 点G ，连接AG 交BD 于点H ，且222EH BE DH =+，求CAG ∠的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，圆O 上一点M 与点C 关于BD 对称，连接ME ，交AB 于点N ，点P 为弧AD 上一点，PQ BG ∥交AD 于点Q ，交BD 的延长线于点R ，AQ BN =，ANE 的周长为20，52DR =O 半径．【答案】（1）见解析；（2）∠CAG=45°；（3）r=62【解析】【分析】（1）证∠ABD=∠ACB 可得；（2）如下图，△AHD 绕点A 旋转至△ALE 处，使得点D 与点B 重合，证△ALE ≌△AHE ，利用勾股定理逆定理推导角度；（3）如下图，延长QR交AB于点T，分别过点N、Q作BD的垂线，交于点V，I，取QU=AE，过点U作UK垂直BD.先证△AEN≌△QUD，再证△NVE≌△RKU，可得到NV=KR=DK，进而求得OB的长.【详解】（1）∵∠CED是△BEC的外角，∴∠CED=∠EBC+∠BCA∵∠ABC=∠ABD+∠EBC又∵∠CED=∠ABC∴∠ABD=∠ACB∴弧AB=弧AD（2）如下图，△AHD绕点A旋转至△ALE处，使得点D与点B重合∵△ALB是△AHD旋转所得∴∠ABL=∠ADB，AL=AH设∠CAG=a，则∠CBG=a∵BG⊥AC∴∠BCA=90°-a，∴∠ADB=∠ABD=90°-a∴在△BAD中，BAE+∠HAD=180-a-(90°-a)-(90°-a)=a∴∠LAE=∠EAH=a∵LA=AH，AE=AE∴△ALE≌△AHE，∴LE=EH∵HD=LB，222EH BE DH=+∴△LBE为直角三角形∴∠LBE=(90°-a)+(90°-a)=90°，解得：a=45°∴∠CAG=45°（3）如下图，延长QR交AB于点T，分别过点N、Q作BD的垂线，交于点V，I，取QU=AE，过点U作UK垂直BD由（2）得∠BAD=90°∴点O在BD上设∠R=n，则∠SER=∠BEC=∠MEB=90°-n ∴∠AEN=2n∵SQ⊥AC∴∠TAS=∠AQS=∠DQR，AN=QD∵QU=AE∴△AEN≌△QUD∴∠QUD=∠AEN=2n∴UD=UR=NE，∵△ANE的周长为20∴QD+QR=20在△DQR中，QD=7∵∠ENR=∠UDK=∠R=n∴△NVE≌△RKU∴NV=KR=DK=2 2∴BN=5∴22r=【点睛】本题考查了圆的证明，涉及到全等、旋转和勾股定理，解题关键是结合图形特点，适当构造全等三角形9．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=5，cos45B=，点O是边BC上的动点，以OB为半径的O与射线BA和边BC分别交于点E和点M，联结AM，作∠CMN=∠BAM，射线MN与边AD、射线CD分别交于点F、N．（1）当点E 为边AB 的中点时，求DF 的长；（2）分别联结AN 、MD ，当AN//MD 时，求MN 的长；（3）将O 绕着点M 旋转180°得到'O ，如果以点N 为圆心的N 与'O 都内切，求O 的半径长．【答案】（1）DF 的长为158；（2）MN 的长为5；（3）O 的半径长为258． 【解析】【分析】（1）作EH BM ⊥于H ，根据中位线定理得出四边形BMFA 是平行四边形，从而利用cos 45B =解直角三角形即可求算半径，再根据平行四边形的性质求FD 即可；（2）先证AMB CNM ∠=∠，再证MAD CNM ∠=∠，从而证明AFM NFD ∆~∆，得到AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=，再通过平行证明AFN DFM ∆~∆，从而得到AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=，通过两式相乘得出AF NF =再根据平行得出NF DF =， 从而得出答案．（3）通过图形得出MN 垂直平分'OO ,从而得出90BAM CMN ∠=∠=︒，再利用cos 45B =解三角函数即可得出答案． 【详解】 （1）如图，作EH BM ⊥于H ：∵E 为AB 中点，45,cos 5AB AD DC B ====∴52AE BE ==∴cos 45BH B BE == ∴2BH = ∴2253222EH ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设半径为r ，在Rt OEH ∆中： ()222322r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 解得：2516r = ∵,E O 分别为,BA BM 中点 ∴BAM BEO OBE ∠=∠=∠ 又∵CMN BAM ∠=∠ ∴CMN OBE ∠=∠∴//MF AB∴四边形BMFA 是平行四边形 ∴2528AF BM r === ∴2515588FD AD AF =-=-= （2）如图：连接MD AN ，∵,B C BAM CMN ∠=∠∠=∠ ∴AMB CNM ∠=∠又∵AMB MAD ∠=∠ ∴MAD CNM ∠=∠又∵AFM NFD ∠=∠ ∴AFM NFD ∆~∆∴AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=① 又∵//MD AN∴AFN DFM ∆~∆∴AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=② 由①⨯②得; 22AF NF AF NF =⇒=∴NF DF =∴5MN AD ==故MN 的长为5；（3）作如图：∵圆O 与圆'O 外切且均与圆N 内切设圆N 半径为R ，圆O 半径为r∴'=NO R r NO -=∴N 在'OO 的中垂线上∴MN 垂直平分'OO∴90NMC ∠=︒∵90BAM CMN ∠=∠=︒∴A 点在圆上∴54cos 5AB B BM BM === 解得：254BM = O 的半径长为258【点睛】 本题是一道圆的综合题目，难度较大，掌握相似之间的关系转化以及相关线段角度的关系转化是解题关键．10．在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点A ，B 和图形ω，如果在图形ω上存在点P ，Q （P ，Q 可以重合），使得AP ＝2BQ ，那么称点A 与点B 是图形ω的一对“倍点”． 已知⊙O 的半径为1，点B （0，3）．（1）①点B 到⊙O 的最大值，最小值；②在A 1（5，0），A 2（0，10），A 322）这三个点中，与点B 是⊙O 的一对“倍点”的是 ；（2）在直线y =x +b 上存在点A 与点B 是⊙O 的一对“倍点”，求b 的取值范围； （3）正方形MNST 的顶点M （m ，1），N （m +1，1），若正方形上的所有点与点B 都是⊙O 的一对“倍点”，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）①点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2；②A 1；（2）b -≤≤；（3）3≤m ≤1或≤m ≤﹣4【解析】【分析】（1）①根据点与圆的位置关系求解即可；②先求出123,,A A A 三个点到⊙O 的最大值与最小值，再根据“倍点”的定义求解即可； （2）如图1（见解析），过点O 作OD l ⊥，先求428BQ ≤≤，再求出直线:l y x b =+上的点到⊙O 的最小值，只要这个最小值小于等于8即可满足题意，然后求解即可；（3）根据正方形的位置，可分20,01,1,2m m m m -≤<≤≤><-四种情况，分别求出每种情况下，正方形最近顶点、最远顶点到⊙O 的最大值与最小值，然后根据“倍点”的定义列出不等式组求解即可.【详解】（1）①点B 到⊙O 的最大值是314BO r +=+=点B 到⊙O 的最小值是312BO r -=-=；②1A 到⊙O 的最大值6，最小值4；2A 到⊙O 的最大值11，最小值9；3A 到⊙O 的最大值3，最小值1由（1）知，点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2因此，在⊙O 上存在点P ，Q ，使得12A P BQ =，则1A 与B 是⊙O 的一对“倍点”故答案为1A ；（2）∵点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2428BQ ∴≤≤如图1，过点O 作OD l ⊥由直线:3l y x b =+的解析式可知：60,DCO OC b ∠=︒=由直角三角形的性质可得：1,2CD b OD ===则点D 到⊙O 1-，即直线:l y b =+上的点到⊙O 的最小值为1-要使直线:3l y x b =+上存在点A 与点B 是⊙O 的一对“倍点”18-≤解得：b ≤b -≤≤；（3）由（2）知，428BQ ≤≤依题意，需分20,01,1,2m m m m -≤<≤≤><-四种情况讨论：①当20m -≤<时，顶点(1,1)N m +到⊙O14<，此时顶点N 不符题意②当01m ≤≤时，顶点(,1)M m 到⊙O14<，此时顶点M 不符题意③当1m ，如图2，正方形MNST 处于1号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,0),(,0)S m T m +此时，点T 到⊙O 的最小值为1m -，最大值为1m +；点N 到⊙O的最小值为11则1418m +≥⎧≤，解得：31m ≤≤ 当正方形MNST 处于2号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,2),(,2)S m T m +此时，点M 到⊙O1-1；点S 到⊙O 的最小11则1418≥≤，解得：1m ≤≤或1m ≤≤- 故当1m 时，m的取值范围为31m ≤≤④当2m <-时，正方形MNST 处于3号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,0),(,0)S m T m +此时，点S 到⊙O 的最小值为2m --，最大值为m -；点M 到⊙O的最小值为11则418m -≥⎧≤，解得：4m -≤≤- 当正方形MNST 处于4号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,2),(,2)S m T m +此时，点N 到⊙O11；点T 到⊙O11则2222(1)114218m m ⎧+++≥⎪⎨+-≤⎪⎩，解得：77122m -≤≤--或22177m -≤≤（舍去） 故当2m <-时，m 的取值范围为774m -≤≤-综上，m 的取值范围为3771m ≤≤-或774m -≤≤-.【点睛】本题考查了直线与圆的的位置关系、点与圆的位置关系、正方形的性质，较难的是（3），根据点与圆的位置关系分四种情况讨论是解题关键.。

九年级数学上册旋转几何综合（篇）（Word版含解析）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1．在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．(1) 如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，求证：PC＝PE；(2) 如图2，把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，探索PC与PE的数量关系，并说明理由．(3) 如图3，把图2中的△AEF绕着点A顺时针旋转，点F落在边AB上．其他条件不变，问题(2)中的结论是否发生变化？如果不变，请加以证明；如果变化，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）PC＝PE，理由见解析；（3）成立，理由见解析【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可；（2）先判断△CBP≌△HPF，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（3）先判断△DAF≌△EAF，再判断△DAP≌△EAP，然后用比例式即可；【详解】解：（1）证明：如图：∵∠ACB＝∠AEF＝90°，∴△FCB和△BEF都为直角三角形．∵点P是BF的中点，∴CP＝12BF，EP＝12BF，∴PC＝PE．（2）PC＝PE理由如下：如图2，延长CP，EF交于点H，∵∠ACB＝∠AEF＝90°，∴EH//CB，∴∠CBP＝∠PFH，∠H＝∠BCP，∵点P是BF的中点，∴PF＝PB，∴△CBP≌△HFP(AAS)，∴PC＝PH，∵∠AEF＝90°，∴在Rt△CEH中，EP＝12CH，∴PC＝PE．（3）(2)中的结论，仍然成立，即PC＝PE，理由如下：如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，∵∠DAF＝∠EAF，∠FDA＝∠FEA＝90°，在△DAF和△EAF中，DAF,,,EAFFDA FEAAF AF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAF≌△EAF(AAS)，∴AD＝AE，在△DAP≌△EAP中，,,,AD AEDAP EAPAP AP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAP≌△EAP (SAS)，∴PD＝PF，∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，∴FD//BC//PM，∴DM FPMC PB=，∵点P是BF的中点，∴DM＝MC，又∵PM⊥AC，∴PC＝PD，又∵PD＝PE，∴PC＝PE．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边一半，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线是解本题的关键也是难点．2．如图一，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上．（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若161A EEC=-，求nm的值．（3）如图二，在（2）的条件下，直线AB上有一点P，BP=2，点E是直线DC上一动点，在BE左侧作矩形BEFG且始终保持BE nBG m=，设AB=33，试探究点E移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（15；（23；（3）存在，63【解析】【分析】（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出∠ABA1，得到旋转角即可解决问题；（2）由△BCE∽△BA2D2，推出222A DCE nCB A B m==，可得CE=2nm，由161A EEC=推出16A CEC=A126nm，推出BH=A126nm，然后由勾股定理建立方程，解方程即可解决问题；（3）当A、P、F，D，四点共圆，作PF⊥DF，PF与CD相交于点M，作MN⊥AB，此时PF的长度为最小值；先证明△FDG ∽△FME ，得到33FG F FM FE D ==，再结合已知条件和解直角三角形求出PM 和FM 的长度，即可得到PF 的最小值.【详解】解：（1）作A 1H ⊥AB 于H ，连接BD ，BD 1，则四边形ADA 1H 是矩形．∴AD=HA 1=n=1，在Rt △A 1HB 中，∵BA 1=BA=m=2，∴BA 1=2HA 1，∴∠ABA 1=30°，∴旋转角为30°，∵22125+=∴D 到点D 1所经过路径的长度3055π⋅⋅=； （2）∵△BCE ∽△BA 2D 2， ∴222A D CE n CB A B m==， ∴2n CE m=， ∵161EA EC=， ∴16A C EC= ∴A 126n m， ∴BH=A 12226n m n m -=， ∴42226n m n m -=⋅， ∴m 4﹣m 2n 2=6n 4，∴242416n n m m-=•， ∴3n m =（负根已舍去）． （3）当A 、P 、F ，D ，四点共圆，作PF ⊥DF ，PF 与CD 相交于点M ，作MN ⊥AB ，此时PF 的长度为最小值；由（2）可知，3BE n BG m ==， ∵四边形BEFG 是矩形， ∴3FG FE = ∵∠DFG+∠GFM=∠GFM+∠MFE=90°，∴∠DFG=∠MFE ，∵DF ⊥PF ，即∠DFM=90°，∴∠FDM+∠GDM=∠FDM+∠DFM=∠FDM+90°，∴∠FDG=∠FME ，∴△FDG ∽△FME ， ∴3FG F FM FE D ==， ∵∠DFM=90°，tan 3FD FMD FM ∠==， ∴∠FDM=60°，∠FMD=30°，∴3FM DM =； 在矩形ABCD 中，有3AD AB = 3333=，则3AD =， ∵MN ⊥AB ，∴四边形ANMD 是矩形，∴MN=AD=3， ∵∠NPM=∠DMF=30°，∴PM=2MN=6， ∴NP=33AB =，∴DM=AN=BP=2， ∴3323FM DM ==⨯=， ∴63PF PM MF =+=+；【点睛】本题考查点的运动轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题，中考常考题型．正确作出辅助线，正确确定动点的位置，注意利用数形结合的思想进行解题.3．综合与探究：如图1，Rt AOB 的直角顶点O 在坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴正半轴上，4OA =，2OB =，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BC ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，抛物线23y ax x c =++经过点C ，与y 轴交于点(0,2)E ，直线AC 与x 轴交于点H ．（1）求点C 的坐标及抛物线的表达式；（2）如图2，已知点G 是线段AH 上的一个动点，过点G 作AH 的垂线交抛物线于点F （点F 在第一象限），设点G 的横坐标为m ．①点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为________；②如图3，当直线FG 经过点B 时，求点F 的坐标，判断四边形ABCF 的形状并证明结论；③在②的前提下，连接FH ，点N 是坐标平面内的点，若以F ，H ，N 为顶点的三角形与FHC 全等，请直接写出点N 的坐标．【答案】（1）点C 的坐标为(6,2)，21322y x x =-++；（2）①143m -+；②点F 的坐标为(4,6)，四边形ABCF 为正方形，证明见解析；③点N 的坐标为(10,4)或4226,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或384,55⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】【分析】（1）根据已知条件与旋转的性质证明ABO BCD ≌，根据全等三角形的性质得出点C 的坐标，结合点E 的坐标，根据待定系数法求出抛物线的表达式；（2）①设直线AC 的表达式为y kx b =+，由点A 、C 的坐标求出直线AC 的表达式，进而得解；②过点G 作GM x ⊥轴于点M ，过点F 作FP y ⊥轴，垂足为点P ，PF 的延长线与DC 的延长线交于点Q ，根据等腰三角形三线合一得出AG CG =，结合①由平行线分线段成比例得出点G 的坐标，根据待定系数法求出直线BG 的表达式，结合抛物线的表达式求出点F ；利用勾股定理求出AB BC CF FA ===，结合90ABC ︒∠=可得出结论； ③根据直线AC 的表达式求出点H 的坐标，设点N 坐标为(,)s t ，根据勾股定理分别求出2FC ，2CH ，2FN ，2NH ，然后分两种情况考虑：若△FHC ≌△FHN ，则FN ＝FC ，NH ＝CH ，若△FHC ≌△HFN ，则FN ＝CH ，NH ＝FC ，分别列式求解即可．【详解】解：（1）4=OA ，2OB =，∴点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BC ，AB BC ∴=，90ABC ︒∠=，90ABO DBC ︒∴∠+∠=，在Rt AOB 中，90ABO OAB ︒∴∠+∠=，=OAB DBC ∴∠∠，CD x ⊥轴于点D ，90BDC ︒∴∠=，90AOB BDC ︒∴∠=∠=．AB BC =，ABO BCD ∴△≌△，2CD OB ∴==，4BD OA ==，6OB BD ∴+=，∴点C 的坐标为(6,2)，∵抛物线23y ax x c =++的图象经过点C ，与y 轴交于点(0,2)E ， 236182c a c =⎧∴⎨++=⎩，解得，122a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的表达式为21322y x x =-++； （2）①设直线AC 的表达式为y kx b =+，∵直线AC 经过点()6,2C ，(0,4)A ，∴624k b b +=⎧⎨=⎩， 解得，134k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即143y x =-+， ∴点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为：143m -+， 故答案为：143m -+．②过点G 作GM x ⊥轴于点M ， OM m ∴=，143GM m =-+， AB BC =，BG AC ⊥，AG CG ∴=，90AOB GMH CDH ︒∠=∠=∠=，OA GMCD ∴， 1OM AG MD GC∴==， 132OM MD OD ∴===， 3m ∴=，1433m -+=，∴点G 为(3,3)， 设直线BG 的表达式为y kx b =+，将(3,3)G 和(2,0)B 代入表达式得，2033k b k b +=⎧⎨+=⎩， 36k b =⎧∴⎨=-⎩，即表达式为36y x =-， 点F 为直线BG 和抛物线的交点，∴得2132362x x x -++=-，14x ∴=，24x =-（舍去），∴点F 的坐标为(4,6)，过点F 作FP y ⊥轴，垂足为点P ，PF 的延长线与DC 的延长线交于点Q ， 4PF ∴=，2AP =，2FQ =，4CQ =，在Rt AFP △中和Rt FCQ △中，根据勾股定理，得25AF FC ==，同理可得25AB BC ==，AB BC CF FA ∴===，∴四边形ABCF 为菱形，90ABC ︒∠=，∴菱形ABCF 为正方形；③∵直线AC ：143y x =-+与x 轴交于点H ， ∴1403x -+=， 解得，x ＝12，∴(12,0)H ， ∴222(64)(26)20FC =-+-=，222(126)(02)40CH =-+-=，设点N 坐标为(,)s t ，∴222(4)(6)FN s t =-+-，222(12)(0)NH s t =-+-，第一种情况：若△FHC ≌△FHN ，则FN ＝FC ，NH ＝CH ， ∴2222(4)(6)20(12)40s t s t ⎧-+-=⎨-+=⎩， 解得，11425265s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2262s t =⎧⎨=⎩（即点C ）， ∴4226,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 第二种情况：若△FHC ≌△HFN ，则FN ＝CH ，NH ＝FC ，∴2222(4)(6)40(12)20s t s t ⎧-+-=⎨-+=⎩，解得，1138545s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22104s t =⎧⎨=⎩， ∴384,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭或(10,4)N ， 综上所述，以F ，H ，N 为顶点的三角形与△FHC 全等时，点N 坐标为(10,4)或4226,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或384,55⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题是函数与几何的综合题，考查了待定系数法求函数的表达式，全等三角形的判定与性质，菱形与正方形的判定，旋转的性质，勾股定理等知识，其中对全等三角形存在性的分析，因有一条公共边，可对另外两边进行分类讨论，本题有一定的难度，是中考压轴题．4．如图，在直角坐标系中，已知点A （-1，0）、B （0，2），将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC ．（1）点C 的坐标为（ ， ）；（2）若二次函数的图象经过点C ． ①求二次函数的关系式；②当-1≤x≤4时，直接写出函数值y 对应的取值范围；Z_X_X_K]③在此二次函数的图象上是否存在点P （点C 除外），使△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ∴点C 的坐标为(－3，1) ．(2)①∵二次函数的图象经过点C(－3，1)， ∴.解得 ∴二次函数的关系式为②当-1≤x≤4时，≤y≤8；③过点C作CD⊥x轴，垂足为D，i) 当A为直角顶点时，延长CA至点，使，则△是以AB为直角边的等腰直角三角形，过点作⊥轴，∵＝，∠＝∠，∠＝∠＝90°，∴△≌△，∴AE＝AD＝2，＝CD＝1,∴可求得的坐标为(1，－1)，经检验点在二次函数的图象上；ii）当B点为直角顶点时，过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取，得到以AB为直角边的等腰直角△和等腰直角△，作⊥y轴，同理可证△≌△∴BF＝OA＝1，可得点的坐标为（2， 1），经检验点在二次函数的图象上．同理可得点的坐标为（－2， 3），经检验点不在二次函数的图象上综上：二次函数的图象上存在点(1，－1)，（2，1）两点，使得△和△是以AB为直角边的等腰直角三角形．【解析】(1)根据旋转的性质得出C点坐标；（2）①把C点代入求得二次函数的解析式；②利用二次函数的图象得出y的取值范围；③分二种情况进行讨论.5．如图，△ABC和△DEC都是等腰三角形，点C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F 为线段AD的中点，连接CF．（1）如图1，当D点在BC上时，BE与CF的数量关系是__________；（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转90°，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，把△DEC绕C点顺时针旋转一个钝角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如成立，请证明；如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．【答案】（1）BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据“SAS”证明△ACD≌△BCE，可得AD=BE，又因为AD=2CF，从而BE=2CF；（2）由点F是AD中点，可得AD=2DF，从而AC= 2DF+CD，又由△ABC和△CDE是等腰直角三角形，可知BC=2DF+CE，所以BE= 2（DF+CE），CF= DF+CD，从而BE=2CF；（3）延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，可证△CDF≌△GAF，再证明△BCE≌△ACG，从而BE=CG=2CF成立.解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD=CE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，在Rt△ACD中，点F是AD中点，∴AD=2CF，∴BE=2CF，故答案为BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由：∵点F是AD中点，∴AD=2DF，∴AC=AD+CD=2DF+CD，∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∴BC=2DF+CE，∴BE=BC+CE=2DF+CE+CE=2（DF+CE），∵CF=DF+CD=DF+CD，∴BE=2CF；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由：如图3，延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，∵点F是AD中点，∴AF=DF，在△CDF和△GAF中，，∴△CDF≌△GAF，∴AG=CD=CE，∠CDF=∠GAF，∴∠CAG=∠CAD+∠GAF=∠CAD+∠ADC=180°﹣∠ACD，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCE=360°﹣∠ACB﹣∠DCE﹣∠ACD=180°﹣∠ACD，∴∠CAG=∠BCE，连接BE，在△BCE和△ACG中，，∴△BCE≌△ACG，∴BE=CG=2CF，即：BE=2CF．点睛：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质，考查了学生综合运用知识的能力，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．6．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD 中点．（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）△FGH是等边三角形；（2）612；（3）△FGH的周长最大值为32（a+b），最小值为32（a﹣b）．【解析】试题分析：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：根据三角形中位线定理证明FG=FH，再想办法证明∠GFH=60°即可解决问题；、（2）如图2中，连接AF、EC．在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；（3）首先证明△GFH的周长=3GF=32BD，求出BD的最大值和最小值即可解决问题；试题解析：解：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，∵EG=GB，EF=FD，∴FG=12BD，GF∥BD，∵DF=EF，DH=HC，∴FH=12EC，FH∥EC，∴FG=FH，∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠AEC+∠ADM=180°，∴∠DMC+∠DAE=180°，∴∠DME=120°，∴∠BMC=60°∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，∴△GHF是等边三角形，故答案为：等边三角形．（2）如图2中，连接AF、EC．易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，∴AF=2221-=3，在Rt△ABF中，BF=22AB AF- =6，∴BD=CE=BF﹣DF=61-，∴FH=12EC=612-．（3）存在．理由如下．由（1）可知，△GFH是等边三角形，GF=12BD，∴△GFH的周长=3GF=32BD，在△ABD中，AB=a，AD=b，∴BD的最小值为a﹣b，最大值为a+b，∴△FGH的周长最大值为3 2（a+b），最小值为32（a﹣b）．点睛：本题考查等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的三边关系、三角形的中位线的宽等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．7．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．（2）设OD＝t，①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．【答案】(1)见解析;(2)①见解析;②t＝2或14.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（2）①当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；②存在，当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2=t；当6＜t＜10时，此时不存在；当t＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14．【详解】（1）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；（2）①存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝；②存在，∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴t＝2；当6＜t＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴t＝14，综上所述：当t＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．8．如图，矩形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，点B的坐标为（4，m）（5≤m≤7），反比例函数y＝16x（x＞0）的图象交边AB于点D．（1）用m的代数式表示BD的长；（2）设点P在该函数图象上，且它的横坐标为m，连结PB，PD①记矩形OABC面积与△PBD面积之差为S，求当m为何值时，S取到最大值；②将点D绕点P逆时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在x轴上时，求m的值．【答案】（1）BD＝m﹣4（2）①m＝7时，S取到最大值②m＝5【解析】【分析】（1）先确定出点D横坐标为4，代入反比例函数解析式中求出点D横坐标，即可得出结论；（2）①先求出矩形OABC的面积和三角形PBD的面积得出S＝﹣12（m﹣8）2+24，即可得出结论；②利用一线三直角判断出DG＝PF，进而求出点P的坐标，即可得出结论．【详解】解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴AB⊥x轴上，∵点B（4，m），∴点D的横坐标为4，∵点D在反比例函数y＝16x上，∴D（4，4），∴BD＝m﹣4；（2）①如图1，∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，m），∴S矩形OABC＝4m，由（1）知，D（4，4），∴S△PBD＝12（m﹣4）（m﹣4）＝12（m﹣4）2，∴S＝S矩形OABC﹣S△PBD＝4m﹣12（m﹣4）2＝﹣12（m﹣8）2+24，∴抛物线的对称轴为m＝8，∵a＜0，5≤m≤7，∴m＝7时，S取到最大值；②如图2，过点P作PF⊥x轴于F，过点D作DG⊥FP交FP的延长线于G，∴∠DGP＝∠PFE＝90°，∴∠DPG+∠PDG＝90°，由旋转知，PD＝PE，∠DPE＝90°，∴∠DPG+∠EPF＝90°，∴∠PDG＝∠EPF，∴△PDG≌△EPF（AAS），∴DG＝PF，∵DG＝AF＝m﹣4，∴P（m，m﹣4），∵点P在反比例函数y＝16x，∴m（m﹣4）＝16，∴m＝2+25或m＝2﹣25（舍）．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定，构造出全等三角形是解本题的关键．9．在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，以点A 为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD ，旋转角为(0180)αα<<，得到矩形AEFG ，点B 、点C 、点D 的对应点分别为点E 、点F 、点G ．()1如图①，当点E 落在DC 边上时，直写出线段EC 的长度为______；()2如图②，当点E 落在线段CF 上时，AE 与DC 相交于点H ，连接AC ，①求证：ACD ≌CAE ；②直接写出线段DH 的长度为______．()3如图③设点P 为边FG 的中点，连接PB ，PE ，在矩形ABCD 旋转过程中，BEP 的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．【答案】（1）23；（2）①见解析；34②；（3）存在，PBE 的面积的最大值为21，理由见解析 【解析】【分析】 ()1如图①中，在Rt ADE 中，利用勾股定理即可解决问题；()2①证明：如图②中，根据HL 即可证明ACD ≌CAE ；②如图②中，由ACD ≌CAE ，推出ACD CAE ∠∠=，推出AH HC =，设AH HC m ==，在Rt ADH 中，根据222AD DH AH +=，构建方程即可解决问题；()3存在.如图③中，连接PA ，作BM PE ⊥交PE 的延长线于M.由题意：PF PC 1==，由AG EF 1==，G F 90∠∠==，推出PA PE ==PBE 1S PE BM 2=⋅⋅=，推出当BM 的值最大时，PBE 的面积最大，求出BM 的最大值即可解决问题；【详解】()1四边形ABCD 是矩形，AB CD 2∴==，BC AD 1==，D 90∠=，矩形AEFG 是由矩形ABCD 旋转得到，AE AB 2∴==，在Rt ADE 中，DE ==CE 2∴=，故答案为2．()2①当点E 落在线段CF 上，AEC ADC 90∠∠∴==，在Rt ADC 和Rt AEC 中，{AC CACD AE ==， Rt ACD ∴≌()Rt CAE HL ； ACD ②≌CAE ，ACD CAE ∠∠∴=，AH HC ∴=，设AH HC m ==，在Rt ADH 中，222AD DH AH +=，2221(2m)m ∴+-=，5m 4∴=， 53DH 244∴=-=， 故答案为34； ()3存在．理由如下：如图③中，连接PA ，作BM PE ⊥交PE 的延长线于M ，由题意：PF PC1==，AG EF1==，G F90∠∠==，PA PE2∴==PBE 12S PE BM BM22∴=⋅⋅=，∴当BM的值最大时，PBE的面积最大，BM PB≤，PB AB PA≤+，PB22∴≤，BM22∴≤BM∴的最大值为22+PBE∴21．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．10．（操作发现）（1）如图1，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．①求∠EAF的度数；②DE与EF相等吗？请说明理由；（类比探究）（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请直接写出探究结果：①∠EAF的度数；②线段AE，ED，DB之间的数量关系．【答案】（1）①120°②DE=EF；（2）①90°②AE2+DB2=DE2【解析】试题分析：（1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；（2）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论．试题解析：解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°．∵∠DCF=60°，∴∠ACF=∠BCD．在△ACF和△BCD中，∵AC=BC，∠ACF=∠BCD，CF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②DE=EF．理由如下：∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，∴∠FCE=60°﹣30°=30°，∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE中，∵CD=CF，∠DCE=∠FCE，CE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF；（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°．∵∠DCF=90°，∴∠ACF=∠BCD．在△ACF和△BCD 中，∵AC=BC，∠ACF=∠BCD，CF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②AE2+DB2=DE2，理由如下：∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，∴∠FCE=90°﹣45°=45°，∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE中，∵CD=CF，∠DCE=∠FCE，CE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF．在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，又∵AF=DB，∴AE2+DB2=DE2．。

九年级上册数学 圆 几何综合易错题（Word 版 含答案）一、初三数学 圆易错题压轴题（难）1．如图，二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ，且经过点（m ，9m ）,⊙E 过A 、B 、C 三点。

（1）求这条抛物线的解析式； （2）求点E 的坐标；（3）过抛物线上一点P （点P 不与B 、C 重合）作PQ ⊥x 轴于点Q ，是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由【答案】（1）y=x 2+2x-8（2）（-1，-72）（3）（-8，40），（-154，-1316），（-174，-2516） 【解析】分析：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+=，解这个方程可求出m 的值；（2）分别令y =0和x =0，求出OA ，OB ，O C 及AB 的长，过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ，列方过程求出a 的值，从而求出点E 的坐标；（3）设点P (a , a 2+2a -8)， 则228,2PQ a a BQ a =+-=-，然后分PBQ ∽CBO 时和PBQ ∽BCO 时两种情况，列比例式求出a 的值，从而求出点P 的坐标.详解：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+= 解得：121,0m m =-=（舍去） ∴228y x x =+-（2）由（1）可得：228y x x =+-，当0y =时，124,2x x =-=;∵点A 在点B 的左边 ∴42OA OB ，== ， ∴6AB OA OB =+=， 当0x =时，8y =-， ∴8OC =过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，,则116322AG AB ==⨯= ，设，则， 在Rt AGE ∆中，，在中，()222218CE EF CF a =+=+-，∵AE CE = ，∴()22918a a +=+- ，解得：72a =， ∴712E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，； （3）设点()2,28a a a P +-，则228,2PQ a a BQ a =+-=-， a.当PBQ ∆∽CBO ∆时，PQ COBQ OB =，即228822a a a +-=-， 解得：10a =（舍去）；22a =（舍去）；38a =- ，∴()18,40P - ；b.当PBQ ∆∽BCO ∆时，PQ BOBQ CO =，即228228a a a +-=-， 解得：12a =（舍去），2154a =-；3174a =- ， ∴21523,416P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；31725416P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ； 综上所述，点P 的坐标为：()18,40P -，21523,416P ⎛⎫--⎪⎝⎭，31725416P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 点睛：本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系、相似三角形的性质是解答本题的关键.2．如图，在直角体系中,直线AB 交x 轴于点A(5,0),交y 轴于点B,AO 是⊙M 的直径,其半圆交AB 于点C,且AC=3.取BO 的中点D,连接CD 、MD 和OC ． （1）求证：CD 是⊙M 的切线；（2）二次函数的图象经过点D 、M 、A,其对称轴上有一动点P,连接PD 、PM,求△PDM 的周长最小时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下,当△PDM 的周长最小时,抛物线上是否存在点Q ，使S △PDM =6S △QAM ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）证明：连接CM ，∵OA 为⊙M 直径，∴∠OCA=90°．∴∠OCB=90°． ∵D 为OB 中点，∴DC=DO ．∴∠DCO=∠DOC ． ∵MO=MC ，∴∠MCO=∠MOC ． ∴．又∵点C 在⊙M 上，∴DC 是⊙M 的切线． （2）∵A 点坐标（5，0），AC=3 ∴在Rt △ACO 中，．∴545(x )x 5)12152-=--（，∴，解得10OD 3=． 又∵D 为OB 中点，∴1552+．∴D 点坐标为（0，154)．连接AD ，设直线AD 的解析式为y=kx+b ，则有解得．∴直线AD 为．∵二次函数的图象过M （56，0)、A(5，0)， ∴抛物线对称轴x=154． ∵点M 、A 关于直线x=154对称，设直线AD 与直线x=154交于点P ， ∴PD+PM 为最小．又∵DM 为定长，∴满足条件的点P 为直线AD 与直线x=154的交点． 当x=154时，45y (x )x 5)152=--（． ∴P 点的坐标为（154，56）． （3）存在．∵，5y a(x )x 5)2=--（又由（2）知D （0，154)，P （154，56）， ∴由，得，解得y Q =±103．∵二次函数的图像过M(0，56)、A(5，0）， ∴设二次函数解析式为，又∵该图象过点D （0，154)，∴，解得a=512． ∴二次函数解析式为．又∵Q 点在抛物线上，且y Q =±103． ∴当y Q =103时，，解得x=15524-或x=15524+；当y Q =512-时，，解得x=154． ∴点Q 的坐标为（1552-，103)，或（1552+，103)，或（154，512-）．【解析】试题分析：（1）连接CM ，可以得出CM=OM ，就有∠MOC=∠MCO ，由OA 为直径，就有∠ACO=90°，D 为OB 的中点，就有CD=OD ，∠DOC=∠DCO ，由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出结论．（2）根据条件可以得出2222OC OA AC 534=-=-=和OC OBtan OAC AC OA∠==，从而求出OB 的值，根据D 是OB 的中点就可以求出D 的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式，求出对称轴，根据轴对称的性质连接AD 交对称轴于P ，先求出AD 的解析式就可以求出P 的坐标． （3）根据PDM DAM PAM S S S ∆∆∆=-，求出Q 的纵坐标，求出二次函数解析式即可求得横坐标．3．已知：图1 图2 图3 （1）初步思考：如图1， 在PCB ∆中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明：12PN PC =（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC -的最大值．【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值37DG =【解析】 【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等，证明BPN ∆∽BCP ∆，得到PN BNPC BP=，即可得到结论成立；（2）在BC 上取一点G ，使得BG=1，由△PBG ∽△CBP ，得到12PG PC =，当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小，即可得到答案； （3）在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理得到12PG PC =，当点P 在DG 的延长线上时，12PD PC -的值最大，即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵2,1,4PB BN BC ===， ∴24,4PB BN BC =⋅=， ∴2PB BN BC =⋅， ∴BN BPBP BC=，∵B B ∠=∠， ∴BPN BCP ∆∆∽， ∴12PN BN PC BP ==， ∴12PN PC =； （2）解：如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，∵242,212PB BC BG PB ====， ∴,PB BCPBG PBC BG PB=∠=∠， ∴PBG CBP ∆∆∽， ∴12PG BG PC PB ==， ∴12PG PC =， ∴12PD PC DP PG +=+； ∵DP PG DG +≥， ∴当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小， ∴最小值为：22435DG =+=；（3）如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理，可证12PG PC =， 在Rt △CDF 中，∠DCF=60°，CD=4， ∴DF=CD •sin60°=23CF=2，在Rt△GDF中，DG=22(23)537+=，∴12PD PC PD PG DG -=-≤，当点P在DG的延长线上时，12PD PC-的值最大，∴最大值为：37DG=.【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．4．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．（1）求证：MN是⊙O的切线．（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．①求证：FD＝FG．②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②AE＝1【解析】【分析】（1）由AB为直径知∠ACB＝90°，∠ABC+∠CAB＝90°．由∠MAC＝∠ABC可证得∠MAC+∠CAB＝90°，则结论得证；（2）①证明∠BDE＝∠DGF即可．∠BDE＝90°﹣∠ABD；∠DGF＝∠CGB＝90°﹣∠CBD．因为D是弧AC的中点，所以∠ABD＝∠CBD．则问题得证；②连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．证明Rt△ADE≌Rt△CDH，可得AE＝CH．根据AB＝BH可求出答案．【详解】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°；∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB ＝90°，即MA ⊥AB ， ∴MN 是⊙O 的切线；（2）①证明：∵D 是弧AC 的中点， ∴∠DBC ＝∠ABD ， ∵AB 是直径， ∴∠CBG+∠CGB ＝90°， ∵DE ⊥AB ，∴∠FDG+∠ABD ＝90°， ∵∠DBC ＝∠ABD ， ∴∠FDG ＝∠CGB ＝∠FGD ， ∴FD ＝FG ；②解：连接AD 、CD ，作DH ⊥BC ，交BC 的延长线于H 点．∵∠DBC ＝∠ABD ，DH ⊥BC ，DE ⊥AB ， ∴DE ＝DH ，在Rt △BDE 与Rt △BDH 中，DH DEBD BD=⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △BDH （HL ）， ∴BE ＝BH ， ∵D 是弧AC 的中点， ∴AD ＝DC ，在Rt △ADE 与Rt △CDH 中，DE DHAD CD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △CDH （HL ）． ∴AE ＝CH ．∴BE ＝AB ﹣AE ＝BC+CH ＝BH ，即5﹣AE ＝3+AE ， ∴AE ＝1． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确作出辅助线来构造全等三角形是解题的关键．5．四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，2∠BDC+∠ADB＝180°．（1）如图1，求证：AC＝BC；（2）如图2，E为⊙O上一点，AE＝BE，F为AC上一点，DE与BF相交于点T，连接AT，若∠BFC＝∠BDC+12∠ABD，求证：AT平分∠DAB；（3）在（2）的条件下，DT＝TE，AD＝8，BD＝12，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）82【解析】【分析】（1）只要证明∠CAB=∠CBA即可．（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．想办法证明TL=TH即可解决问题．（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．证明△EAG≌△TDH（AAS），推出AG=DH，证明Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），推出DH=DR，同理可得AL=AH，BR=BL，设DH=x，则AB=2x，由S△ADB=12•BD•AQ=12•AD•h+12•AB•h+12•DB•h，可得AQ=52h，再根据sin∠BDE=sin∠ADE，sin∠AED=sin∠ABD，构建方程组求出m即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，即∠ADB+∠BDC+∠ABC＝180°，∵2∠BDC+∠ADB＝180°，∴∠ABC＝∠BDC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC．（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF，∠BAC＝∠BDC，∴∠BFC＝∠BDC+∠ABF，∵∠BFC＝∠BDC+12∠ABD，∴∠ABF＝12∠ABD，∴BT平分∠ABD，∵AE＝BE∴∠ADE＝∠BDE，∴DT平分∠ADB，∵TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．∴TR＝TL，TR＝TH，∴TL＝TH，∴AT平分∠DAB．（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．∵AE＝BE∴∠EAB＝∠EDB＝∠EDA，AE＝BE，∵∠TAE＝∠EAB+∠TAB，∠ATE＝∠EDA+∠DAT，∴∠TAE＝∠ATE，∴AE＝TE，∵DT＝TE，∴AE＝DT，∵∠AGE＝∠DHT＝90°，∴△EAG≌△TDH（AAS），∴AG＝DH，∵AE＝EB，EG⊥AB，∴AG＝BG，∴2DH＝AB，∵Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），∴DH＝DR，同理可得AL=AH，BR＝BL，设DH＝x，则AB＝2x，∵AD＝8，DB＝12，∴AL＝AH＝8﹣x，BR＝12﹣x，AB＝2x＝8﹣x+12﹣x，∴x＝5，∴DH＝5，AB＝10，设TR＝TL＝TH＝h，DT＝m，∵S△ADB=12•BD•AQ=12•AD•h+12•AB•h+12•DB•h，∴12AQ＝（8+12+10）h，∴AQ＝52 h，∵sin∠BDE＝sin∠ADE，可得hm＝APAD＝AP8，sin∠AED＝sin∠ABD，可得APm＝AQAB＝AQ10＝5210h，∴APm＝52810mAP，解得m＝或﹣（舍弃），∴DE＝2m＝．【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理和判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．6．如图1，四边形ABCD中，、为它的对角线，E为AB边上一动点（点E不与点A、B重合），EF∥AC交BC于点F，FG∥BD交DC于点G，GH∥AC交AD于点H，连接HE．记四边形EFGH的周长为，如果在点的运动过程中，的值不变，则我们称四边形ABCD为“四边形”，此时的值称为它的“值”．经过探究，可得矩形是“四边形”．如图2，矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为．（1）等腰梯形（填“是”或“不是”）“四边形”；（2）如图3，是⊙O的直径，A是⊙O上一点，，点为上的一动点，将△沿的中垂线翻折，得到△．当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有个．【答案】“值”为10；（1）是；（2）最多有5个．【解析】试题分析：仔细分析题中“四边形”的定义结合矩形的性质求解即可；（1）根据题中“四边形”的定义结合等腰梯形的性质即可作出判断；（2）根据题中“四边形”的定义结合中垂线的性质、圆的基本性质即可作出判断.矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为10；（1）等腰梯形是“四边形”；（2）由题意得当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有5个.考点：动点问题的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．7．如图1，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝13，BC＝8．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径OC；（3）如图2，⊙O的弦AH经过半径OC的中点F，连结BH交弦CD于点M，连结FM，试求出FM的长和△AOF的面积．【答案】（1）见解析；（2）32332232【解析】【分析】（1）由DF=2OD，得到OF=3OD=3OC，求得13OE OCOC OF==，推出△COE∽△FOE，根据相似三角形的性质得到∠OCF=∠DEC=90°，于是得到CF是⊙O的切线；（2）利用三角函数值，设OE=x，OC=3x，得到CE=3，根据勾股定理即可得到答案；（3）连接BD，根据圆周角定理得到角相等，然后证明△AOF∽△BDM，由相似三角形的性质，得到FM为中位线，即可求出FM的长度，由相似三角形的性质，以及中线分三角形的面积为两半，即可求出面积.【详解】解：（1）∵DF＝2OD，∴OF＝3OD＝3OC，∴13 OE OCOC OF==，∵∠COE＝∠FOC，∴△COE∽△FOE，∴∠OCF＝∠DEC＝90°，∴CF是⊙O的切线；（2）∵∠COD＝∠BAC，∴cos∠BAC＝cos∠COE＝13 OEOC=，∴设OE＝x，OC＝3x，∵BC＝8，∴CE＝4，∵CE⊥AD，∴OE2+CE2＝OC2，∴x2+42＝9x2，∴x2（负值已舍去），∴OC ＝3x ＝32，∴⊙O 的半径OC 为32；（3）如图，连结BD ，由圆周角定理，则∠OAF=∠DBM ，2AOF ADC ∠=∠，∵BC ⊥AD ，∴AC AB =，∴∠ADC=∠ADB ，∴2AOF ADC BDM ∠=∠=∠，∴△AOF ∽△BDM ；∵点F 是OC 的中点，∴AO ：OF=BD ：DM=2，又∵BD=DC ，∴DM=CM ，∴FM 为中位线，∴322， ∴S △AOF : S △BDM =(326 2 34=； ∵111118(322)4222222BDM BCD S S BC DE ∆∆==⨯•=⨯⨯⨯= ∴S △AOF =3424=32 【点睛】本题考查了圆的综合问题，圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用勾股定理求边长，以及三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，运用属性结合的思想进行解题.8．四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为对角线，∠ACB ＝∠ACD（1）如图1，求证：AB＝AD；（2）如图2，点E在AB弧上，DE交AC于点F，连接BE，BE＝DF，求证：DF＝DC；（3）如图3，在（2）的条件下，点G在BC弧上，连接DG，交CE于点H，连接GE，GF，若DE＝BC，EG＝GH＝5，S△DFG＝9，求BC边的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）70【解析】【分析】（1）如图1，连接OA，OB，OD，由∠ACB＝∠ACD，可得AD AB，可得AB＝AD；（2）连接AE，由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得∠BAE＝∠DAC，可证BE＝CD＝DF；（3）如图3，过点F作FN⊥GD于N，过点C作CM⊥GD于M，连接GC，通过证明△FDN≌△DCM，可得FN＝DM，CM＝DN，由面积公式可求FN＝2，DM＝2，DH＝4，通过证明△EGC∽△DMC，△GEH∽△CHD，可得EC＝52CD，CD2＝403，由勾股定理可求解．【详解】证明：（1）如图1，连接OA，OB，OD，∵∠ACB＝∠ACD，∠AOD＝2∠ACD，∠AOB＝2∠ACB ∴∠AOD＝∠AOB∴AD AB∴AD＝AB；（2）如图2，连接AE，∵AE AE∴∠ABE＝∠ADE在△ABE和△ADF中AB ADABE ADFBE DF∴△ABE≌△ADF（SAS）∴∠BAE＝∠DAC∴BE CD∴BE＝DC∵BE＝DF∴DF＝DC；（3）如图3，过点F作FN⊥GD于N，过点C作CM⊥GD于M，连接GC，∵DE＝BC，BE＝CD，∴四边形BCDE是平行四边形，∴∠EBC＝∠EDC，∵四边形BEDC是圆内接四边形，∴∠EBC+∠EDC＝180°，∴∠EDC＝∠EBC＝90°，∴EC是直径，∴∠FGC＝∠EDC＝90°∴∠FDN+∠MDC＝90°，且∠MDC+∠MCD＝90°，∴∠FDN ＝∠MCD ，且∠FND ＝∠CMD ＝90°，DF ＝DC ，∴△FDN ≌△DCM （AAS ）∴FN ＝DM ，CM ＝DN ，∵EG ＝GH ＝5，∴∠GEH ＝∠GHE ，且∠GHE ＝∠DHC ，∠GEH ＝∠GDC ，∴∠HDC ＝∠CHD ，∴CH ＝CD ，且CM ⊥DH ，∴DM ＝MH ＝FN ，∵S △DFG ＝9， ∴12DG×FN ＝9， ∴12×（5+2FN ）×FN ＝9， ∴FN ＝2，∴DM ＝2，DH ＝4，∵∠GEC ＝∠GDC ，∠EGC ＝∠DMC ，∴△EGC ∽△DMC ， ∴52ECEG CD DM ， ∴EC ＝52CD ，且HC ＝CD ， ∴EH ＝32CD ， ∵∠EGD ＝∠ECD ，∠GEC ＝∠GDC ， ∴△GEH ∽△CHD ， ∴EGEH CH DH， ∴3524CD CD， ∴2403CD ， ∵EC 2﹣CD 2＝DE 2，∴222254CD CD DE ， ∴2214043DE ，∴DE∴BC【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的难点．9．已知ABD △内接于圆O ，点C 为弧BD 上一点，连接BC AC AC 、，交BD 于点E ，CED ABC ∠=∠．（1）如图1，求证：弧AB =弧AD ；（2）如图2，过B 作BF AC ⊥于点F ，交圆O 点G ，连接AG 交BD 于点H ，且222EH BE DH =+，求CAG ∠的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，圆O 上一点M 与点C 关于BD 对称，连接ME ，交AB 于点N ，点P 为弧AD 上一点，PQ BG ∥交AD 于点Q ，交BD 的延长线于点R ，AQ BN =，ANE 的周长为20，52DR =O 半径．【答案】（1）见解析；（2）∠CAG=45°；（3）r=62【解析】【分析】（1）证∠ABD=∠ACB 可得；（2）如下图，△AHD 绕点A 旋转至△ALE 处，使得点D 与点B 重合，证△ALE ≌△AHE ，利用勾股定理逆定理推导角度；（3）如下图，延长QR 交AB 于点T ，分别过点N 、Q 作BD 的垂线，交于点V ，I ，取QU=AE ，过点U 作UK 垂直BD.先证△AEN ≌△QUD ，再证△NVE ≌△RKU ，可得到NV=KR=DK ，进而求得OB 的长.【详解】（1）∵∠CED 是△BEC 的外角，∴∠CED=∠EBC+∠BCA∵∠ABC=∠ABD+∠EBC又∵∠CED=∠ABC∴∠ABD=∠ACB∴弧AB=弧AD（2）如下图，△AHD 绕点A 旋转至△ALE 处，使得点D 与点B 重合∵△ALB是△AHD旋转所得∴∠ABL=∠ADB，AL=AH设∠CAG=a，则∠CBG=a∵BG⊥AC∴∠BCA=90°-a，∴∠ADB=∠ABD=90°-a∴在△BAD中，BAE+∠HAD=180-a-(90°-a)-(90°-a)=a∴∠LAE=∠EAH=a∵LA=AH，AE=AE∴△ALE≌△AHE，∴LE=EH∵HD=LB，222=+EH BE DH∴△LBE为直角三角形∴∠LBE=(90°-a)+(90°-a)=90°，解得：a=45°∴∠CAG=45°（3）如下图，延长QR交AB于点T，分别过点N、Q作BD的垂线，交于点V，I，取QU=AE，过点U作UK垂直BD由（2）得∠BAD=90°∴点O在BD上设∠R=n，则∠SER=∠BEC=∠MEB=90°-n∴∠AEN=2n∵SQ⊥AC∴∠TAS=∠AQS=∠DQR，AN=QD∵QU=AE∴△AEN ≌△QUD∴∠QUD=∠AEN=2n∴UD=UR=NE ，∵△ANE 的周长为20∴QD+QR=20在△DQR 中，QD=7∵∠ENR=∠UDK=∠R=n∴△NVE ≌△RKU∴NV=KR=DK=522∴BN=5 ∴BD=122，OB=62r =【点睛】本题考查了圆的证明，涉及到全等、旋转和勾股定理，解题关键是结合图形特点，适当构造全等三角形10．如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A 和点B ，点C 为弧AB 上一点，连接PC 并延长交O 于点F ，D 为弧AF 上的一点，连接BD 交FC 于点E ，连接AD ，且2180APB PEB ∠+∠=︒．（1）如图1，求证：//PF AD ；（2）如图2，连接AE ，若90APB ∠=︒，求证：PE 平分AEB ∠；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB 交PE 于点H ，连接OE ，8AD =，4sin 5ABD ∠=，求PH 的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）257【解析】【分析】 （1）连接OA 、OB ，由切线的性质可得90OAP OBP ∠=∠=︒，由四边形内角和是360︒，得180∠+∠=︒P AOB ，由同弧所对的圆心角是圆周角的一半，得到2AOB ADB ∠=∠，等量代换得到ADB PEB ∠=∠，由同位角相等两直线平行，得到//PF AD ；（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K ，由90APB ∠=︒得290PEB ∠=︒，从而45PEB ∠=︒，由切线的性质，得PA PB =，由PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，得PE PK =，从而90APE EPB ︒∠=-∠，进而APE BPK ∠=∠，即可证得APE BPK ∆∆≌由此45K AEP ∠=∠=︒，得到AEP PEB ∠=∠，即可证得PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM ，由45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，可得DE AE =，由OA 、OD 为半径，可得OA OD =，即可证出DEO AEO ∆∆≌，由直径所对的圆周角是直角，可得90ADM ∠=︒，在Rt ADM ∆中，由正弦定义可得10AM =，由此5OA OB ==，由OAPB 为正方形，对角线AB 垂直平分OP ，从而，OH PH =.在Rt OAP ∆中，252OP OA ==.延长EO 交AD 于K ，在Rt OEP ∆中，由勾股定理得7PE =，在Rt OEH ∆中，由勾股定理得257PH =. 【详解】 （1）连接OA 、OB∵PA 、PB 与圆O 相切于点A 、B ，且OA 、OB 为半径，∴OA AP ⊥，OB BP ⊥，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴在四边形AOBP 中，360180180P AOB ∠+∠=︒-︒=︒，∵AB AB =，∴2AOB ADB ∠=∠，∴2180P ADB ∠+∠=︒，∵2180P PEB ∠+∠=︒，∴ADB PEB ∠=∠，∴//PF AD（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K∵90APB ∠=︒，∴21809090PEB ∠=︒-︒=︒，∴45PEB ∠=︒，∵PA 、PB 为圆O 的切线，∴PA PB =，∵PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，∴PE PK = ，∵9090APE EPB KPB EPB ︒︒∠=-∠=∠=-∠，∴APE BPK ∠=∠，∴APE BPK ∆∆≌，∴45K AEP ∠=∠=︒，∴AEP PEB ∠=∠，∴PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM∵45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，∴DE AE =，∵OA 、OD 为半径，∴OA OD =，∵OE OE =，∴DEO AEO ∆∆≌，∴1452AEO OED AED ∠=∠=∠=︒， ∴90OEP ∠=︒，∵AM 为圆O 的直径，∴90ADM ∠=︒，∵弧AD =弧AD ，∴ABD AMD ∠=∠，在Rt ADM ∆中，8AD =，4sin 5AMD ∠=，则10AM =， ∴5OA OB ==，由题易证四边形OAPB 为正方形，∴对角线AB 垂直平分OP ，AB OP =，∵H 在AB 上，∴OH PH =，在Rt OAP ∆中，OP ==延长EO 交AD 于K ， ∵DE AE =，可证OK AD ⊥，DOK ABD ∠=∠，∴4DK KE ==，3OK =，1OE =∴在Rt OEP ∆中，7PE ==在Rt OEH ∆中，222OH OE EH =+∵OH PH =，7EH PE HP PH =-=-∴()22217PH PH =+- ∴257PH =． 【点睛】 本题考查了圆的综合题，圆的性质，等腰三角形的性质，相交弦定理，正弦定理，勾股定理，灵活运用这些性质定理解决问题是本题的关键．。

数学九年级上册 圆 几何综合单元测试卷（含答案解析）一、初三数学 圆易错题压轴题（难）1．如图，以A （0，3）为圆心的圆与x 轴相切于坐标原点O ，与y 轴相交于点B ，弦BD 的延长线交x 轴的负半轴于点E ，且∠BEO ＝60°，AD 的延长线交x 轴于点C ．（1）分别求点E 、C 的坐标；（2）求经过A 、C 两点，且以过E 而平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式；（3）设抛物线的对称轴与AC 的交点为M ，试判断以M 点为圆心，ME 为半径的圆与⊙A 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）点C 的坐标为（－3，0）（2）2343333y x x =++3）⊙M 与⊙A 外切【解析】试题分析：（1）已知了A 点的坐标，即可得出圆的半径和直径，可在直角三角形BOE 中，根据∠BEO 和OB 的长求出OE 的长进而可求出E 点的坐标，同理可在直角三角形OAC 中求出C 点的坐标；（2）已知了对称轴的解析式，可据此求出C 点关于对称轴对称的点的坐标，然后根据此点坐标以及C ，A 的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（3）两圆应该外切，由于直线DE ∥OB ，因此∠MED=∠ABD ，由于AB=AD ，那么∠ADB=∠ABD ，将相等的角进行置换后可得出∠MED=∠MDE ，即ME=MD ，因此两圆的圆心距AM=ME+AD ，即两圆的半径和，因此两圆外切.试题解析：（1）在Rt△EOB 中，3cot60232EO OB =⋅︒==， ∴点E 的坐标为（－2，0）．在Rt△COA 中，tan tan60333OC OA CAO OA =⋅∠=⋅︒==，∴点C 的坐标为（－3，0）．（2）∵点C 关于对称轴2x =-对称的点的坐标为F （－1，0），点C 与点F （－1，0）都在抛物线上．设()()13y a x x =++，用(03A ，代入得 ()()30103a =++，∴33a =． ∴()()313y x x =++，即 2343333y x x =++． （3）⊙M 与⊙A 外切，证明如下：∵ME ∥y 轴，∴MED B ∠=∠．∵B BDA MDE ∠=∠=∠，∴MED MDE ∠=∠．∴ME MD =．∵MA MD AD ME AD =+=+，∴⊙M 与⊙A 外切．2．如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 在AB 边上，CD 与OB 交于点E ，∠ACD ＝∠OBC ；（1）如图1，求证：CD ⊥AB ；（2）如图2，当∠BAC ＝∠OBC +∠BCD 时，求证：BO 平分∠ABC ；（3）如图3，在（2）的条件下，作OF ⊥BC 于点F ，交CD 于点G ，作OH ⊥CD 于点H ，连接FH 并延长，交OB 于点P ，交AB 边于点M ．若OF ＝3，MH ＝5，求AC 边的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AC ＝485 【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出∠FCB=90°，再根据“同弧所对的圆周角相等”得出∠A=∠F ，再根据已知条件得∠3=90°，得CD ⊥AB ；（2）延长BO 交AC 于K ，由已知可得∠A=∠5，由∠A+∠2=90°得∠5+∠2=90°，根据三角形的内角和定理及外角定理得出∠9=∠1得出BO 平分∠ABC ；（3）延长BO 交AC 于点K ，延长CD 交⊙O 于点N ，联结BN ，由条件可得CH=NH ，BF=CF ，从而HF 是△CBN 的中位线，HF ∥BN ，得出∠OEH=∠EHM 又由∠OEH+∠EOH=∠EHM+∠OHP=90°可得HM=OB=5，在Rt △OBF 中，根据勾股定理可得BF=4，解出BC=8，sin∠OBC=35，所以可得AC=2CK，CK=BC•sin∠OBC=245得AC=48 5.【详解】解：（1）如图1，令∠OBC＝∠1，∠ACD＝∠2延长BO交⊙O于F，连接CF．∵BF是⊙O的直径，∴∠FCB＝90°∴∠1+∠F＝90°，∵弧BC＝弧BC，∴∠A＝∠F又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠A＝90°，∴∠3＝90°，∴CD⊥AB（2）如图2，令∠OBC＝∠1，∠BCD＝∠4延长BO交AC于K∵∠A＝∠1+∠4，∠5＝∠1+∠4，∴∠A＝∠5，∵∠A+∠2＝90°，∴∠5+∠2＝90°，∴∠6＝90°∵∠7＝180°﹣∠3＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠5＝∠8，∴∠9＝∠2∵∠2＝∠1，∴∠9＝∠1，∴BO平分∠ABC（3）如图3，延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN∵OH⊥CN，OF⊥BC∴CH＝NH，BF＝CF∴HF是△CBN的中位线，HF∥BN∴∠FHC＝∠BNC＝∠BAC∵∠BAC＝∠OEH，∠FHC＝∠EHM∴∠OEH＝∠EHM设EM、OE交于点P∵∠OEH+∠EOH＝∠EHM+∠OHP＝90°∴∠EOH＝∠OHP∴OP＝PH∵∠ADC＝∠OHC＝90°∴AD∥OH∴∠PBM＝∠EOH，∠BMP＝∠OHP∴PM＝PB∴PM+PH＝PB+OP∴HM＝OB＝5在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF＝4∴BC＝8，sin∠OBC＝3 5∵∠A+∠ABO＝∠DEB+∠ABO＝90°∴∠AKB+∠CKB＝90°∴OK⊥ACAC＝2CK，CK＝BC•sin∠OBC＝24 5∴AC＝48 5【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及三角形的内角和定理及外角定理和勾股定理、三角函数等知识，理解同弧所对的圆周角相等是解题关键．3．我们把“有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形”叫做“同族三角形”，如图1，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，则△ABC和△ABD是“同族三角形”．（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，点C是弧BD的中点，求证：△ABC和△ACD是同族三角形；（2）如图3，△ABC内接于⊙O，⊙O的半径为32AB=6，∠BAC=30°，求AC的长；（3）如图3，在（2）的条件下，若点D在⊙O上，△ADC与△ABC是非全等的同族三角形，AD＞CD，求ADCD的值．【答案】（1）详见解析；（2）3；（3）ADCD62+6【解析】【分析】(1）由点C是弧BD的中点，根据弧与弦的关系，易得BC=CD，∠BAC=∠DAC，又由公共边AC，可证得：△ABC和△ACD是同族三角形；(2）首先连接0A，OB，作点B作BE⊥AC于点E，易得△AOB是等腰直角三角形，继而求得答案；(3)分别从当CD=CB时与当CD=AB时进行分析求解即可求得答案．【详解】（1）证明：∵点C是弧BD的中点，即BC CD=，∴BC=CD，∠BAC=∠DAC，∵AC=AC，∴△ABC和△ACD是同族三角形.（2）解：如图1，连接OA，OB，作点B作BE⊥AC于点E，∵OA=OB=32，AB=6，∴OA 2+OB 2=AB 2，∴△AOB 是等腰直角三角形，且∠AOB=90°，∴∠C=∠AOB=45°， ∵∠BAC=30°，∴BE=AB=3，∴AE=22AB BE -=33，∵CE=BE=3，∴AC=AE+CE=33+3.（3）解：∵∠B=180°﹣∠BAC ﹣∠ACB=180°﹣30°﹣45°=105°，∴∠ADC=180°﹣∠B=75°，如图2，当CD=CB 时，∠DAC=∠BAC=30°，∴∠ACD=75°，∴AD=AC=33+3，CD=BC=2BE=32，∴AD 333CD 32+==622+； 如图3，当CD=AB 时，过点D 作DF ⊥AC ，交AC 于点F ，则∠DAC=∠ACB=45°，∴∠ACD=180°﹣∠DAC ﹣∠ADC=60°，∴DF=CD•sin60°=6×323∴AD=2DF=36，∴AD 36CD ==6． 综上所述：AD CD =62+或6. 【点睛】本题考查圆的综合应用问题，综合运用弧与弦的关系，等腰三角形的性质结合图形作辅助线进行分析证明以及求解，难度较大.4．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，12BC cm =，半圆O 的直径12DE cm =．点E 与点C 重合，半圆O 以2/cm s 的速度从左向右移动，在运动过程中，点D 、E 始终在BC 所在的直线上．设运动时间为()x s ，半圆O 与ABC ∆的重叠部分的面积为()2S cm ．（1）当0x =时，设点M 是半圆O 上一点，点N 是线段AB 上一点，则MN 的最大值为_________；MN 的最小值为________．（2）在平移过程中，当点O 与BC 的中点重合时，求半圆O 与ABC ∆重叠部分的面积S ；（3）当x 为何值时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切？【答案】（1）24cm ，()926cm ；（2）2(189)cm π+；（3）0x =或6x =或932x =-【解析】【分析】（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，261218()92()OB OC CB cm ON BN cm =+=+====，所以926()MN ON OM cm =-=； （2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ，6OH OC OB ===，29016669183602BOH HOC S S S ππ∆=+=⋅+⨯⨯=+阴影扇形；（3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，所以0x =（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =，262OB OH ==，1262OC BC OB =-=-，移动的距离为612621862()cm +-=-，运动时间为18629322x -==-（秒)． 【详解】解：解（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，45ABC ∠=︒，45NOB ∴∠=︒，在Rt ONB ∆中，61218()OB OC CB cm =+=+=292()ON BN OB cm ∴===， 926()MN ON OM cm ∴=-=-，故答案为24cm ，(926)cm -；（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ．BC 为直径，90CHB ∴∠=︒，45ABC ∠=︒45HCB ∴∠=︒，HC HB ∴=，OH BC ∴⊥，6OH OC OB ===，29016669183602BOH HOC S S S ππ∆=+=⋅+⨯⨯=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，0x ∴=（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =45B ∠=︒，90OHB ∠=︒，262OB OH ∴==，1262OC BC OB =-=-，移动的距离为612621862()cm +-=-， 运动时间为1862932x -==-（秒)， 综上所述，当x 为0或6或932-时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切．【点睛】本题考查了圆综合知识，熟练掌握勾股定理以及圆切线定理是解题的关键．要注意分类讨论.5．已知：ABC 内接于O ，过点B 作O 的切线，交CA 的延长线于点D ，连接OB ．（1）如图1，求证：DAB DBC ∠=∠；（2）如图2，过点D 作DM AB ⊥于点M ，连接AO ，交BC 于点N ，BM AM AD =+，求证：BN CN =；（3）如图3，在（2）的条件下，点E 为O 上一点，过点E 的切线交DB 的延长线于点P ，连接CE ，交AO 的延长线于点Q ，连接PQ ，PQ OQ ⊥，点F 为AN 上一点，连接CF ，若90DCF CDB ∠+∠=︒，tan 2ECF ∠=，12ON OQ =，10PQ OQ +=求CF 的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）10=CF【解析】【分析】（1）延长BO 交O 于G ，连接CG ，根据切线的性质可得可证∠DBC ＋∠CBG=90°，然后根据直径所对的圆周角是直角可证∠CBG ＋∠G=90°，再根据圆的内接四边形的性质可得∠DAB=∠G ，从而证出结论；（2）在MB 上截取一点H ，使AM=MH ，连接DH ，根据垂直平分线性质可得DH=AD ，再根据等边对等角可得∠DHA=∠DAH ，然后根据等边对等角和三角形外角的性质证出∠ABC=∠C ，可得AB=AC ，再根据垂直平分线的判定可得AO 垂直平分BC ，从而证出结论；（3）延长CF 交BD 于M ，延长BO 交CQ 于G ，连接OE ，证出tan ∠BGE=tan ∠ECF=2，然后利用AAS 证出△CFN ≌△BON ，可设CF=BO=r ，ON=FN=a ，则OE=r ，根据锐角三角函数和相似三角形即可证出四边形OBPE 为正方形，利用r 和a 表示出各线段，最后根据610PQ OQ +=，即可分别求出a 和CF ．【详解】解：（1）延长BO 交O 于G ，连接CG∵BD 是O 的切线∴∠OBD=90°∴∠DBC ＋∠CBG=90°∵BG 为直径∴∠BCG=90°∴∠CBG ＋∠G=90°∴∠DBC=∠G∵四边形ABGC 为O 的内接四边形∴∠DAB=∠G∴∠DAB=∠DBC（2）在MB 上截取一点H ，使AM=MH ，连接DH∴DM 垂直平分AH∴DH=AD∴∠DHA=∠DAH∵BM AM AD =+，=+BM MH BH∴AD=BH∴DH=BH∴∠HDB=∠HBD∴∠DHA=∠HDB ＋∠HBD=2∠HBD由（1）知∠DAB=∠DBC∴∠DHA=∠DAB=∠DBC∴∠DBC =2∠HBD∵∠DBC =∠HBD ＋∠ABC∴∠HBD=∠ABC ，∠DBC=2∠ABC∴∠DAB=2∠ABC∵∠DAB=∠ABC ＋∠C∴∠ABC=∠C∴AB=AC∴点A 在BC 的垂直平分线上∵点O 也在BC 的垂直平分线上∴AO 垂直平分BC∴BN CN =（3）延长CF 交BD 于M ，延长BO 交CQ 于G ，连接OE ，∵90DCF CDB ∠+∠=︒∴∠DMC=90°∵∠OBD=90°∴∠DMC=∠OBD∴CF ∥OB∴∠BGE=∠ECF ，∠CFN=∠BON ，∴tan ∠BGE=tan ∠ECF=2由（2）知OA 垂直平分BC∴∠CNF=∠BNO=90°，BN=CN∴△CFN ≌△BON∴CF=BO ，ON=FN ，设CF=BO=r ，ON=FN=a ，则OE=r∵12ON OQ = ∴OQ=2a∵CF ∥OB∴△QGO ∽△QCF∴=OG QO CF QF 即2122==++OG a r a a a ∴OG=12r 过点O 作OE ′⊥BG ，交PE 于E ′∴OE ′=OG ·tan ∠BGE=r=OE∴点E ′与点E 重合∴∠EOG=90°∴∠BOE=90°∵PB 和PE 是圆O 的切线∴∠OBP=∠OEP=∠BOE=90°，OB=OE=r∴四边形OBPE 为正方形∴∠BOE=90°，PE=OB=r∴∠BCE=12∠BOE==45° ∴△NQC 为等腰直角三角形∴NC=NQ=3a ，∴BC=2NC=6a在Rt △CFN 中，=∵PQ OQ ⊥∴PQ ∥BC∴∠PQE=∠BCG∵PE ∥BG∴∠PEQ=∠BGC∴△PQE ∽△BCG ∴=PQ PE BC BG即126=+PQ r r a r 解得：PQ=4a∵PQ OQ +=∴4a ＋2a=解得：∴=10【点睛】此题考查的是圆的综合大题，难度较大，掌握圆的相关性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、正方形的判定及性质是解决此题的关键．6．如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点G ，E 是CD 上一点，且BE ＝DE ，延长EB 至点P ，连接CP ，使PC ＝PE ，延长BE 与⊙O 交于点F ，连结BD ，FD ．（1）连结BC ，求证：△BCD ≌△DFB ；（2）求证：PC 是⊙O 的切线；（3）若tan F ＝23，AG ﹣BG，求ED 的值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE＝1339．【解析】【分析】（1）由BE=DE可知∠CDB=∠FBD，而∠BFD=∠DCB，BD是公共边，结论显然成立．（2）连接OC，只需证明OC⊥PC即可．根据三角形外角知识以及圆心角与圆周角关系可知∠PEC=2∠CDB=∠COB，由PC=PE可知∠PCE=∠PEC=∠COB，注意到AB⊥CD，于是∠COB+∠OCG=90°=∠OCG+∠PEC=∠OCP，结论得证．（3）由于∠BCD=∠F，于是tan∠BCD=tanF=23=BGCG，设BG=2x，则CG=3x．注意到AB是直径，连接AC，则∠ACB是直角，由射影定理可知CG2=BG•AG，可得出AG的表达式（用x表示），再根据AG-BG=53求出x的值，从而CG、CB、BD、CD的长度可依次得出，最后利用△DEB∽△DBC列出比例关系算出ED的值．【详解】解：（1）证明：因为BE＝DE，所以∠FBD＝∠CDB，在△BCD和△DFB中：∠BCD＝∠DFB∠CDB＝∠FBDBD＝DB所以△BCD≌△DFB（AAS）．（2）证明：连接OC．因为∠PEC＝∠EDB+∠EBD＝2∠EDB，∠COB＝2∠EDB，所以∠COB＝∠PEC，因为PE ＝PC ，所以∠PEC ＝∠PCE ，所以∠PCE ＝∠COB ，因为AB ⊥CD 于G ，所以∠COB+∠OCG ＝90°，所以∠OCG+∠PEC ＝90°，即∠OCP ＝90°，所以OC ⊥PC ，所以PC 是圆O 的切线．（3）因为直径AB ⊥弦CD 于G ，所以BC ＝BD ，CG ＝DG ，所以∠BCD ＝∠BDC ，因为∠F ＝∠BCD ，tanF ＝23， 所以∠tan ∠BCD ＝23＝BG CG， 设BG ＝2x ，则CG ＝3x ．连接AC ，则∠ACB ＝90°，由射影定理可知：CG 2＝AG•BG ，所以AG ＝229922x C x G x G B ==，因为AG ﹣BG ，所以2392x x -=，解得x ＝3，所以BG ＝2x CG ＝3x ＝所以BC =，所以BD ＝BC ＝3， 因为∠EBD ＝∠EDB ＝∠BCD ，所以△DEB ∽△DBC ， 所以BDB DC DE D =，因为CD ＝2CG ＝所以DE ＝21339DB CD =． 【点睛】本题为圆的综合题，主要考查了垂径定理，圆心角与圆周角的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、射影定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等重要知识点．第（1）、（2）问解答的关键是导角，难度不大，第（3）问解答的要点在于根据射影定理以及条件当中告诉的两个等量关系求出BG 、CG 、BC 、BD 、CD 的值，最后利用“共边子母型相似”（即△DEB ∽△DBC ）列比例方程求解ED ．7．已知：AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，点E 为⊙O 上一点，AE BE =，BE 与CD 交于点F ．（1）如图1，求证：BH ＝FH ；（2）如图2，过点F 作FG ⊥BE ，分别交AC 、AB 于点G 、N ，连接EG ，求证：EB ＝EG ； （3）如图3，在（2）的条件下，延长EG 交⊙O 于M ，连接CM 、BG ，若ON ＝1，△CMG 的面积为6，求线段BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）210 ．【解析】【分析】（1）连接AE ，根据直径所对圆周角等于90°及弧与弦的关系即可得解；（2）根据题意，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、，通过证明Rt CGQ Rt CBS ∆≅∆，CBE CGE ∆≅∆即可得解；（3）根据题意，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN ，设CAB α∠＝，证明()CMG CNG AAS ∆≅∆，再由面积法及勾股定理进行计算求解即可.【详解】解：（1）如下图，连接AE∵AB 为直径∴90AEB =︒∠∵AE BE =∴AE BE =∴45B ∠=︒又∵CD AB ⊥于H ∴45HFB ∠=︒∴HF HB =；（2）如下图，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、AB 为直径，∴90ACB QCS ∠=∠=︒∴GCQ BCS ∠=∠∴()Rt CGQ Rt CBS AAS ∆≅∆∴CG CB =同理()CBE CGE SAS ∆≅∆∴EG EB =；（3）如下图，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN设CAB α∠=由（2）知：CM CB =∴CM CB =∵HB HF =∴45HBF HFB ∠=∠=︒∵GF BE ⊥∴45NFH NH BH CN BC ∠=︒∴=∴=，，∴CM CB CN ==则：2MEB α∠=902AEG α∠=︒-∴45EAG EGA α∠=∠=︒+∴45M MGC α∠=∠=︒+∴()CMG CNG AAS ∆≅∆∵CMG ∆面积为6∴6CAN GAN S S -=设2122BH NH x OA OB x AN x ====+=+，，则()CGT BCH AAS ∆≅∆∴C BH x ==∴6AN CH AN TH ⋅-⋅=∴1(22)62x CT +⋅= 解得：2x =∵2BC BH BA =⋅∴2210BC =⨯，则25BC ＝∴2210BG BC ＝＝．【点睛】本题主要考查了圆和三角形的综合问题，熟练掌握圆及三角形的各项重要性质及判定方法是解决本题的关键.8．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）PQ 长最短是1.2；（3）四边形ADCF 面积最大值是813132+，最小值是813132- 【解析】【分析】（1）连接线段OP 交⊙C 于A ，点A 即为所求；（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短，根据勾股定理以及三角形的面积公式即可求出其最小值；（3）△ACF的面积有最大和最小值，取AB的中点G，连接FG，DE，证明△FAG～△EAD，进而证明点F在以G为圆心1为半径的圆上运动，过G作GH⊥AC于H，交⊙G于F1，GH 反向延长线交⊙G于F2，①当F在F1时，△ACF面积最小，分别求出△ACD的面积和△ACF 的面积的最小值即可得出四边形ADCF的面积的最小值；②当F在F2时，四边形ADCF的面积有最大值，在⊙G上任取异于点F2的点P，作PM⊥AC于M，作GN⊥PM于N，利用矩形的判定与性质以及三角形的面积公式即可得出得出四边形ADCF的面积的最大值．【详解】解：（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求，如图1所示；（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短．理由：分别在线段AB，⊙C上任取点P'，点Q'，连接P'，Q'，CQ'，如图2，由于CP⊥AB，根据垂线段最短，CP≤CQ'+P'Q'，∴CO+PQ≤CQ'+P'Q'，又∵CQ＝CQ'，∴PQ＜P'Q'，即PQ最短．在Rt△ABC中22228610AB AC BC=+=+=，1122ABCS AC BC AB CP ∆=•=•，∴684.810AC BCCPAB•⨯===，∴PQ＝CP﹣CQ＝6.8﹣3.6＝1.2，∴22226 4.8 3.6BP BC CP-=-=．当P在点B左侧3.6米处时，PQ长最短是1.2．（3）△ACF的面积有最大和最小值．如图3，取AB的中点G，连接FG，DE．∵∠EAF＝90°，1 tan3AEF∠=，∴13AF AE = ∵AB ＝6，AG ＝GB ，∴AC ＝GB ＝3，又∵AD ＝9，∴3193AG AD ==， ∴DAF AE AG A = ∵∠BAD ＝∠B ＝∠EAF ＝90°，∴∠FAG ＝∠EAD ，∴△FAG ～△EAD ，∴13FG AF DE AE ==， ∵DE ＝3，∴FG ＝1， ∴点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动，连接AC ，则△ACD 的面积＝692722CD AD ⨯=⨯=， 过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，①当F 在F 1时，△ACF 面积最小．理由：由（2）知，当F 在F 1时，F 1H 最短，这时△ACF 的边AC 上的高最小，所以△ACF 面积有最小值，在Rt △ABC 中，222269313AC AB BC =+=+=∴313sin 13313BC BAC AC ∠===， 在Rt △ACH 中，313913sin 3GH AG BAC =•∠== ∴119131F H GH GF =-=-， ∴△ACF 面积有最小值是：11191327313313(1)22AC F H -•=⨯-=；∴四边形ADCF 面积最小值是：27313813132722--+=； ②当F 在F 2时，F 2H 最大理由：在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，连接PG ，则四边形GHMN 是矩形，∴GH ＝MN ，在Rt △GNP 中，∠NGF 2＝90°，∴PG ＞PN ，又∵F 2G ＝PG ，∴F 2G +GH ＞PN +MN ，即F 2H ＞PM ，∴F 2H 是△ACF 的边AC 上的最大高，∴面积有最大值，∵229131F H GH GF =+=+， ∴△ACF 面积有最大值是21191327313313(1)22AC F H +•=⨯⨯+=； ∴四边形ADCF 面积最大值是27313813132722+++=； 综上所述，四边形ADCF 面积最大值是813132+，最小值是813132-． 【点睛】本题为圆的综合题，考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．9．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，30CAB ∠=︒，10AB =，点D 在线段AB 上，2AD =．点P 从D 点出发，沿DB 方向运动，以DP 为直径作O ，当P 运动到点B 时停止运动，设DP m =．（1）AO =___________，BP =___________．（用m 的代数式表示）（2）当m 为何值时，O 与ABC ∆的一边相切？（3）在点P 整个运动过程中，过点P 作O 的切线交折线AC CB -于点E ，将线段EP 绕点E 顺时针旋转60︒得到EF ，过F 作FG EP ⊥于G ．①当线段FG 长度达到最大时，求m 的值；②直接写出点F 所经过的路径长是________．（结果保留根号）【答案】（1）22m AO =+，8BP m =-；（2）4m =或32348m =-；（3）①112；②1153762+ 【解析】【分析】（1）观察图中AO 和DP 的数量关系可得22DP AO =+，而BP AB AP =-，将DP m =代入即可.（2）O 与ABC ∆的一边相切有两种情况，先与AC 相切，再与BC 相切；两种情况的解答方法都是连接圆心与切点，构造直角三角形，根据条件所给的特殊角的三角函数解答. （3）①根据旋转的性质可得PF PE =，在Rt EFG ∆中根据三角函数可得cos30FG PE ︒=⋅，故当E 点与C 点重合，PE 取得最大值时，FG 有最大值，解之即可. ②明显以E 点与C 点重合前后为节点，点F 的运动轨迹分两部分，第一部分为从P 开始运动到E 点与C 点重合，即图中的12F F ，根据1212F F AC AF CF =--求解；第二部分，根据tan EF EP EBF EB EB∠==为定值可知其轨迹为图中的2F B ，在2Rt F BC 中用勾股定理求解即可.【详解】 （1）2222DP m AO =+=+，8BP AB AP m =-=- （2）情况1：与AC 相切时，Rt AOH ∆中，∵30A ∠=︒ ∴2AO OH =∴22m m +=解得4m =情况2：与BC 相切时，Rt BON ∆中，∵60B ∠=︒ ∴3cos 2ON B OB ==即32282mm =- 解得32348m =- （3）①在Rt EFG ∆中，∵30EFG A ∠=∠=︒，90EGF ∠=︒，∴3cos30cos30FG EF PE EP ︒︒=⋅=⋅=， ∴当FG 最大时即PE 最大当点E 与点C 重合时，PE 的值最大．易知此时53553102AC BC EP AB ⨯===． 在Rt EAP ∆中，∵30A ∠=︒∴1532AP EP ==∴1511222m DP ==-= （3）F 轨迹如图：从1F 到2F 到B1133233AF AE EF AD PE =-=-==, 2532CF CP ==， 故1212235311353326F F AC AF CF =--=-=， 2F 到B 轨迹是线段理由如下：∵60FEP ∠=︒，30PEB ∠=︒，∴90FEB ∠=︒． ∴tan EF EP EBF EB EB∠==为定值， ∴点F 的第二段的轨迹是线段2BF ． 在2Rt F BC 中，222222535752BF BC F C ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以点F 1153762【点睛】本题是综合了圆的性质，直线与圆相切的条件，锐角三角函数，勾股定理以及旋转的性质等知识的动点动图问题，熟练掌握各个知识点是基础，充分理解题意并作图，化动为静是解答关键.10．阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题﹣﹣如图1，从A 点出发，到笔直的河岸l 去饮马，然后再去B 地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A 关于直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于点P ，则PA +PB ＝A ′B 的值最小．解答问题：（1）如图2，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC ＝60°，P 是OB 上一动点，求PA +PC 的最小值；（2）如图3，已知菱形ABCD 的边长为6，∠DAB ＝60°．将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上．现有一动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度，沿A →C 的方向，向点C 运动．当到达点C 后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x 轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动．当到达点B 时，整个运动停止．①为使点P能在最短的时间内到达点B处，则点M的位置应如何确定？②在①的条件下，设点P的运动时间为t（s），△PAB的面积为S，在整个运动过程中，试求S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．【答案】（1）PA+PC的最小值是23；（2）①点M的位置是（3，0）时，用时最少；②S与t之间的函数关系式是当33＜t≤43时，S＝183﹣3t；当0＜t≤33时，S ＝3t．当43＜t≤63时，S＝﹣3t+183．【解析】【分析】（1）延长AO交圆O于M，连接CM交OB于P，连接AC，AP+PC＝PC+PM＝CM最小；（2）①根据运动速度不同以及运动距离，得出当PB⊥AB时，点P能在最短的时间内到达点B处；②根据三角形的面积公式求出从A到C时，s与t的关系式和从C到（3，0）以及到B 的解析式．【详解】解：（1）延长AO交圆O于M，连接CM交OB于P，连接AC，则此时AP+PC＝PC+PM＝CM最小，∵AM是直径，∠AOC＝60°，∴∠ACM＝90°，∠AMC＝30°，∴AC＝12AM＝2，AM＝4，由勾股定理得：CM22AM AC3答：PA+PC的最小值是3（2）①根据动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动，即为使点P能在最短的时间内到达点B处，∴当PB⊥AB时，根据垂线段最短得出此时符合题意，∵菱形ABCD，AB＝6，∠DAB＝60°，∴∠BAO＝30°，AB＝AD，AC⊥BD，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝6，BO＝3，由勾股定理得：AO＝3在Rt△APB中，AB＝6，∠BAP＝30°，BP＝12AP，由勾股定理得：AP＝3，BP＝3，∴点M30）时，用时最少．②当0＜t3AP＝2t，∵菱形ABCD，∴∠OAB＝30°，∴OB＝12AB＝3，由勾股定理得：AO＝CO＝3，∴S＝12AP×BO＝12×2t×3＝3t；③当3t3AP＝32t﹣332t，∴S＝12AP×BO＝12×（32t）×3＝3﹣3t．当3t3S＝12AB×BP＝123﹣（t﹣3]＝﹣3t3答：S与t之间的函数关系式是当3＜t3时，S＝33t；当0＜t3S＝3t．当3t3S＝﹣3t3【点睛】本题主要考查对含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的面积，轴对称-最短问题，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键．。

九年级中考数学考点训练——几何专题：《圆的综合》（五）1．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．（1）如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF＝BE．求证：△ADF≌△ABE；（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE﹣BE＝AE．请说明理由；（3）如图②，若点E在上，连接DE，CE，已知BC＝5，BE＝1，求DE及CE的长．2．如图1，直线l⊥AB于点B，点C在AB上，且AC：CB＝2：1，点M是直线l上的动点，作点B关于直线CM的对称点B′，直线AB′与直线CM相交于点P，连接PB．（1）如图2，若点P与点M重合，则∠PAB＝，线段PA与PB的比值为；（2）如图3，若点P与点M不重合，设过P，B，C三点的圆与直线AP相交于D，连接CD，求证：①CD＝CB′；②PA＝2PB．3．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，直径AD与BC垂直，垂足为点E．（1）求证：∠ABC＝∠ACB；（2）连接OB，CD，若OB＝，CD＝5，求CE的长．4．问题提出（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是．问题探究（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且＝2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF 的长．问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．5．如图，在⊙O中的内接四边形ABCD中，AB＝AD，E为弧AD上一点．（1）若∠C＝110°，求∠BAD和∠E的度数；（2）若∠E＝∠C，求证：△ABD为等边三角形．6．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点且AP ＝AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AB＝2+，BC＝4，求⊙O的半径．7．等边三角形ABC内接于⊙O，点D在弧AC上，连接AD、CD、BD．（1）如图1，求证BD平分∠ADC；（2）如图2，若∠DBC＝15°，求证：AD：AC＝：；（3）如图3，若AC、BD交于点E，连接OE，且OE＝2，若BD＝3CD，求AD的长．8．如图1，在直角坐标系中，直线l与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0，）两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D．点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．（1）求出⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；（2）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA＝45°，请求出EF的长？9．定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么称这样的三角形为“类直角三角形”．尝试运用（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分线．①证明△ABD是“类直角三角形”；②试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．类比拓展（2）如图2，△ABD内接于⊙O，直径AB＝13，弦AD＝5，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD＝∠AOD，当△ABC是“类直角三角形”时，求AC的长．10．如图，在∠DAM内部做Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N 为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．（1）判断△AEF的形状为，并判断AD与⊙O的位置关系为；（2）求t为何值时，EN与⊙O相切？求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为．（参考数据：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cos74°≈）参考答案1．解：（1）由圆周角定理得，∠ADF＝∠ABE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，在△ADF和△ABE中，，∴△ADF≌△ABE（SAS）；（2）∵△ADF≌△ABE，∴AE＝AF，∠EAB＝∠FAD，∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝90°，∴△AEF为等腰直角三角形，∴EF＝AE，∴DE﹣BE＝AE；（3）如图，过点B作BH⊥CE于点H，∵四边形ABCD为正方形，故∠BEC＝45°，∠DEC＝45°，在△BEC中，BE＝1，BC＝5，∠EBC＝45°，则BH＝BE sin∠EBC＝1•sin45°＝＝EH，在Rt△BCH中，CH＝＝＝，EC＝EH+CH＝4；在△EDC中，∠DEC＝45°，CE＝4，CD＝BC＝5，过点C作CH⊥ED于点H，在Rt△ECH中，EC＝4，∠DEC＝45°，则CH＝EH＝EC＝4，在Rt△CDH中，CH＝4，CD＝5，则HD＝3，∴DE＝EH+CH＝7．2．解：（1）若点P与点M重合，如下图所示，∵点B、B关于CM对称，则PB＝PB′，B′C＝BC，而PC＝PC，∴△PB′C≌△PBC（SSS），故∠B＝∠PB′C＝90°，在Rt△AB′C中，B′C＝BC＝AC，∴∠PAB＝30°，在Rt△PAB中，∵∠A＝30°，∴PB＝PA，故答案为30°，2；（2）①∵B、C、D、P在圆上∴∠PBC＝∠B′DC，又∵B关于直线CM的对称点为B′，∴△PB′C≌△PBC（AAS），∴∠P B′C＝∠PBC，∴∠P B′C＝∠B′DC，∴CB′＝CD；②同理∠DCA＝∠APB且∠A＝∠A，∴△ACD∽△APB，∴，∵AC：CB＝2：1，又BC＝CB′＝CD，∴，∴，即AP＝2PB．3．（1）证明：∵AD⊥BC，∴＝，∴∠ABC＝∠ACB；（2）解：连接OC，如图，设OE＝x，则DE＝OD﹣OE＝﹣﹣x，在Rt△OEC中，CE2＝OC2﹣OE2＝（）2﹣x2，在Rt△CDE中，CE2＝CD2﹣DE2＝52﹣（﹣x）2，∴（）2﹣x2＝52﹣（﹣x）2，解得x＝，∴CE＝＝．4．解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形CEDF是矩形，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形，∴CE＝CF＝DE＝DF，故答案为：CF 、DE 、DF ； （2）连接OP ，如图2所示： ∵AB 是半圆O 的直径，＝2，∴∠APB ＝90°，∠AOP ＝×180°＝60°， ∴∠ABP ＝30°，同（1）得：四边形PECF 是正方形， ∴PF ＝CF ，在Rt △APB 中，PB ＝AB •cos ∠ABP ＝8×cos30°＝8×＝4，在Rt △CFB 中，BF ＝＝＝＝CF ，∵PB ＝PF +BF ， ∴PB ＝CF +BF ， 即：4＝CF +CF ，解得：CF ＝6﹣2；（3）①∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°， ∵CA ＝CB ， ∴∠ADC ＝∠BDC ，同（1）得：四边形DEPF 是正方形，∴PE ＝PF ，∠APE +∠BPF ＝90°，∠PEA ＝∠PFB ＝90°，∴将△APE 绕点P 逆时针旋转90°，得到△A ′PF ，PA ′＝PA ，如图3所示： 则A ′、F 、B 三点共线，∠APE ＝∠A ′PF ， ∴∠A ′PF +∠BPF ＝90°，即∠A ′PB ＝90°， ∴S △PAE +S △PBF ＝S △PA ′B ＝PA ′•PB ＝x （70﹣x ）， 在Rt △ACB 中，AC ＝BC ＝AB ＝×70＝35，∴S △ACB ＝AC 2＝×（35）2＝1225，∴y ＝S △PA ′B +S △ACB ＝x （70﹣x ）+1225＝﹣x 2+35x +1225； ②当AP ＝30时，A ′P ＝30，PB ＝AB ﹣AP ＝70﹣30＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝＝＝50，∵S＝A′B•PF＝PB•A′P，△A′PB∴×50×PF＝×40×30，解得：PF＝24，∴S＝PF2＝242＝576（m2），四边形PEDF∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2．5．解：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠C＝180°，∵∠C＝110°，∴∠BAD＝70°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝55°，∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠ABD+∠E＝180°，∴∠E＝125°．（2）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠C＝180°，∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠ABD+∠E＝180°，又∵∠E＝∠C，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD，∵AB＝AD，∴AD＝BD＝AD，∴△ABD为等边三角形．6．（1）证明：连接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线；（2）解：过点C作CE⊥AB于点E．在Rt△BCE中，∠B＝60°，BC＝4，∴BE＝BC＝2，CE＝2，∵AB＝2+，∴AE＝AB﹣BE＝，在Rt△ACE中，AC＝＝3，∴AP＝AC＝3．在Rt△PAO中，OA＝OP＝3，∴⊙O的半径为3．7．解：（1）∵△ABC为等边三角形，则∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵∠BDC＝∠BAC＝60°，∠ADC＝∠ACB＝60°＝∠BDC，∴BD平分∠ADC；（2）过点A作AH⊥BD于点H，在Rt△AHD中，∠ADH＝60°，设AD＝2a，则AH＝a，HD＝a，∵∠ABC＝60°，∠DBC＝15°，∴∠ABH＝60°﹣15°＝45°，∴△为等腰直角三角形，则AB＝AH＝a＝AC，∴AD：AC＝：；（3）设CD＝m，在DB上截取DF＝CD，连接CF，∵∠BDC＝60°，故△CDF为等边三角形，则CD＝DF＝CF＝m，∠DFC＝60°，则BD＝3CD＝3m，则BF＝2m，∵∠BFC＝180°﹣∠DFC＝120°＝∠ADC，∵FC＝CD，∠FBC＝∠CAD，∴△BFC≌△ADC（AAS），∴AD＝BF＝2m，∵∠DFC＝∠ADB＝60°，∴FC∥AD，∴△AED∽△CEF，故＝2，设EC＝2t，则AE＝4t，AC＝6t，SG＝CG＝3t，故GE＝t，连接AO，过点O作OG⊥AC于点G，∵△ABC为等边三角形，则∠OAG＝30°，在Rt△AOG中，OG＝AG tan∠OAG＝3t×＝t，在Rt△OGE中，OG＝t，GE＝t，OE＝2，由勾股定理得：（t）2+t2＝（2）2，解得t＝，则AC＝6；过点A作CD的垂线交CD的延长线于点K，在Rt△ADK中，∠ADK＝180°﹣∠ADC＝60°，AD＝2m，则DK＝m，AK＝m，在Rt△AKC中，AK＝m，KC＝KD+CD＝m+m＝2m，AC＝6，由勾股定理得：（m）2+（2m）2＝（6）2，解得m＝6，则AD＝2m＝12．8．解：（1）连接GD，EC．∵∠OAB的角平分线交y轴于点D，∴∠GAD＝∠DAO，∵GD＝GA，∴∠GDA＝∠GAD，∴∠GDA＝∠DAO，∴GD∥OA，∴∠BDG＝∠BOA＝90°，∵GD为半径，∴y轴是⊙G的切线；∵A（2，0），B（0，），∴OA＝2，OB＝，在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB＝＝＝设半径GD＝r，则BG＝﹣r，∵GD∥OA，∴△BDG∽△BOA，∴＝，∴r＝2（﹣r），∴r＝，∵AC是直径，∴∠AEC＝∠AOB＝90°，∴EC∥OB，∴＝＝，∴＝＝，∴EC＝2，AE＝，∴OE＝2﹣＝，∴C的坐标为（，2）；（2）过点A作AH⊥EF于H，连接CE、CF，∵AC是直径，∴AC＝2×＝∴∠AEC＝∠AFC＝90°∵∠FEA＝45°。

九年级数学上册圆几何综合单元练习（Word版含答案）一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．如图①，一个Rt△DEF直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作二射线AC 与斜边EF平行，己知AB=12，DE=4，DF=3，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP中点，设运动时间为t秒（t＞0）•（1）当t=5时，连接QE，PF，判断四边形PQEF的形状；（2）如图②，若在点P运动时，Rt△DEF同时沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当D点到A点时，两个运动都停止，M为EF中点，解答下列问题：①当D、M、Q三点在同一直线上时，求运动时间t；②运动中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，说明理由．【答案】（1）平行四边形EFPQ是菱形；（2）t=；当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切．【解析】试题分析：（1）过点Q作QH⊥AB于H，如图①，易得PQ=EF=5，由AC∥EF可得四边形EFPQ是平行四边形，易证△AHQ∽△EDF，从而可得AH=ED=4，进而可得AH=HE=4，根据垂直平分线的性质可得AQ=EQ，即可得到PQ=EQ，即可得到平行四边形EFPQ是菱形；（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，则有AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4．由EF∥AC可得△DEM∽△DAQ，然后运用相似三角形的性质就可求出t的值；②若以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，则点Q在∠ADF的角平分线上（如图③）或在∠FDB的角平分线（如图④）上，故需分两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质求出AH、DH（用t表示），再结合AB=12，DB=t建立关于t的方程，然后解这个方程就可解决问题．试题解析：（1）四边形EFPQ是菱形．理由：过点Q作QH⊥AB于H，如图①，∵t=5，∴AP=2×5=10．∵点Q是AP的中点，∴AQ=PQ=5．∵∠EDF=90°，DE=4，DF=3，∴EF==5，∴PQ=EF=5．∵AC∥EF，∴四边形EFPQ是平行四边形，且∠A=∠FEB．又∵∠QHA=∠FDE=90°，∴△AHQ∽△EDF，∴．∵AQ=EF=5，∴AH=ED=4．∵AE=12-4=8，∴HE=8-4=4，∴AH=EH，∴AQ=EQ，∴PQ=EQ，∴平行四边形EFPQ是菱形；（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，此时AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4．∵EF∥AC，∴△DEM∽△DAQ，∴，∴，解得t=；②存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，此时点Q在∠ADF的角平分线上或在∠FDB的角平分线上．Ⅰ．当点Q在∠ADF的角平分线上时，过点Q作QH⊥AB于H，如图③，则有∠HQD=∠HDQ=45°，∴QH=DH．∵△AHQ∽△EDF（已证），∴，∴，∴QH=，AH=，∴DH=QH=．∵AB=AH+HD+BD=12，DB=t，∴++t=12，∴t=5；Ⅱ．当点Q在∠FDB的角平分线上时，过点Q作QH⊥AB于H，如图④，同理可得DH=QH=，AH=．∵AB=AD+DB=AH-DH+DB=12，DB=t，∴-+t=12，∴t=10．综上所述：当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切．考点：1．圆的综合题；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理；4．菱形的判定；5．相似三角形的判定与性质．2．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r(r＞1)，点P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：过圆心C的任意直线CP与⊙C交于点A，B，若满足|PA﹣PB|＝2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图点P为⊙C的一个“完美点”．(1)当⊙O的半径为2时①点M(32，0)⊙O的“完美点”，点(﹣32，﹣12)⊙O的“完美点”；(填“是”或者“不是”)②若⊙O的“完美点”P在直线y＝34x上，求PO的长及点P的坐标；(2)设圆心C的坐标为(s，t)，且在直线y＝﹣2x+1上，⊙C半径为r，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求t的取值范围．【答案】(1)①不是，是；②PO的长为1，点P的坐标为(45，35)或(﹣45，﹣35)；(2)t的取值范围为﹣1≤t≤3．【解析】【分析】（1）①利用圆的“完美点”的定义直接判断即可得出结论.②先确定出满足圆的“完美点”的OP的长度，然后分情况讨论计算即可得出结论；（2）先判断出圆的“完美点”的轨迹，然后确定出取极值时OC与y轴的位置关系即可得出结论.【详解】解：(1)①∵点M(32，0)，∴设⊙O与x轴的交点为A，B，∵⊙O的半径为2，∴取A(﹣2，0)，B(2，0)，∴|MA﹣MB|＝|(32+2)﹣(2﹣32)|＝3≠2，∴点M不是⊙O的“完美点”，同理：点(312)是⊙O的“完美点”．故答案为不是，是．②如图1，根据题意，|PA﹣PB|＝2，∴|OP+2﹣(2﹣OP)|＝2，∴OP＝1．若点P在第一象限内，作PQ⊥x轴于点Q，∵点P在直线y＝34x上，OP＝1，∴43,55 OQ PQ==．∴P(43,55)．若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(﹣45，﹣35)．综上所述，PO的长为1，点P的坐标为(43,55)或（43,55--）)．(2)对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA﹣PB|＝2，∴|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2．∴CP＝1．∴对于任意的点P，满足CP＝1，都有|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2，∴|PA﹣PB|＝2，故此时点P为⊙C的“完美点”．因此，⊙C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆．设直线y＝﹣2x+1与y轴交于点D，如图2，当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大．设切点为E，连接CE，∵⊙C的圆心在直线y＝﹣2x+1上，∴此直线和y轴，x轴的交点D(0，1)，F(12，0)，∴OF＝12，OD＝1，∵CE∥OF，∴△DOF∽△DEC，∴OD OF DE CE=，∴112 DE=，∴DE＝2，∴OE＝3，t的最大值为3，当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小．同理可得t的最小值为﹣1．综上所述，t的取值范围为﹣1≤t≤3．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了新定义，相似三角形的性质和判定，直线和圆的位置关系，解本题的关键是理解新定义的基础上，会用新定义，是一道比中等难度的中考常考题.3．已知：ABC内接于O，过点B作O的切线，交CA的延长线于点D，连接OB．（1）如图1，求证：DAB DBC ∠=∠；（2）如图2，过点D 作DM AB ⊥于点M ，连接AO ，交BC 于点N ，BM AM AD =+，求证：BN CN =；（3）如图3，在（2）的条件下，点E 为O 上一点，过点E 的切线交DB 的延长线于点P ，连接CE ，交AO 的延长线于点Q ，连接PQ ，PQ OQ ⊥，点F 为AN 上一点，连接CF ，若90DCF CDB ∠+∠=︒，tan 2ECF ∠=，12ON OQ =，10PQ OQ +=求CF 的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）10=CF【解析】【分析】（1）延长BO 交O 于G ，连接CG ，根据切线的性质可得可证∠DBC ＋∠CBG=90°，然后根据直径所对的圆周角是直角可证∠CBG ＋∠G=90°，再根据圆的内接四边形的性质可得∠DAB=∠G ，从而证出结论；（2）在MB 上截取一点H ，使AM=MH ，连接DH ，根据垂直平分线性质可得DH=AD ，再根据等边对等角可得∠DHA=∠DAH ，然后根据等边对等角和三角形外角的性质证出∠ABC=∠C ，可得AB=AC ，再根据垂直平分线的判定可得AO 垂直平分BC ，从而证出结论；（3）延长CF 交BD 于M ，延长BO 交CQ 于G ，连接OE ，证出tan ∠BGE=tan ∠ECF=2，然后利用AAS 证出△CFN ≌△BON ，可设CF=BO=r ，ON=FN=a ，则OE=r ，根据锐角三角函数和相似三角形即可证出四边形OBPE 为正方形，利用r 和a 表示出各线段，最后根据10PQ OQ +=a 和CF ．【详解】解：（1）延长BO 交O 于G ，连接CG∵BD 是O 的切线∴∠OBD=90°∴∠DBC ＋∠CBG=90°∵BG 为直径∴∠BCG=90°∴∠CBG ＋∠G=90°∴∠DBC=∠G∵四边形ABGC 为O 的内接四边形∴∠DAB=∠G∴∠DAB=∠DBC（2）在MB 上截取一点H ，使AM=MH ，连接DH∴DM 垂直平分AH∴DH=AD∴∠DHA=∠DAH∵BM AM AD =+，=+BM MH BH∴AD=BH∴DH=BH∴∠HDB=∠HBD∴∠DHA=∠HDB ＋∠HBD=2∠HBD由（1）知∠DAB=∠DBC∴∠DHA=∠DAB=∠DBC∴∠DBC =2∠HBD∵∠DBC =∠HBD ＋∠ABC∴∠HBD=∠ABC ，∠DBC=2∠ABC∴∠DAB=2∠ABC∵∠DAB=∠ABC ＋∠C∴∠ABC=∠C∴AB=AC∴点A 在BC 的垂直平分线上∵点O 也在BC 的垂直平分线上∴AO 垂直平分BC∴BN CN =（3）延长CF 交BD 于M ，延长BO 交CQ 于G ，连接OE ，∵90DCF CDB ∠+∠=︒∴∠DMC=90°∵∠OBD=90°∴∠DMC=∠OBD∴CF ∥OB∴∠BGE=∠ECF ，∠CFN=∠BON ，∴tan ∠BGE=tan ∠ECF=2由（2）知OA 垂直平分BC∴∠CNF=∠BNO=90°，BN=CN∴△CFN ≌△BON∴CF=BO ，ON=FN ，设CF=BO=r ，ON=FN=a ，则OE=r ∵12ON OQ = ∴OQ=2a∵CF ∥OB∴△QGO ∽△QCF∴=OG QO CF QF 即2122==++OG a r a a a ∴OG=12r 过点O 作OE ′⊥BG ，交PE 于E ′ ∴OE ′=OG ·tan ∠BGE=r=OE ∴点E ′与点E 重合∴∠EOG=90°∴∠BOE=90°∵PB 和PE 是圆O 的切线∴∠OBP=∠OEP=∠BOE=90°，OB=OE=r ∴四边形OBPE 为正方形 ∴∠BOE=90°，PE=OB=r ∴∠BCE=12∠BOE==45° ∴△NQC 为等腰直角三角形 ∴NC=NQ=3a ，∴BC=2NC=6a在Rt △CFN 中，= ∵PQ OQ ⊥∴PQ ∥BC∴∠PQE=∠BCG∵PE ∥BG∴∠PEQ=∠BGC∴△PQE ∽△BCG ∴=PQ PE BC BG即126=+PQ r r a r 解得：PQ=4a∵PQ OQ += ∴4a ＋2a=解得：∴=10【点睛】此题考查的是圆的综合大题，难度较大，掌握圆的相关性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、正方形的判定及性质是解决此题的关键．4．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点G，E是CD上一点，且BE＝DE，延长EB至点P，连接CP，使PC＝PE，延长BE与⊙O交于点F，连结BD，FD．（1）连结BC，求证：△BCD≌△DFB；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）若tan F＝23，AG﹣BG＝533，求ED的值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE＝1339．【解析】【分析】（1）由BE=DE可知∠CDB=∠FBD，而∠BFD=∠DCB，BD是公共边，结论显然成立．（2）连接OC，只需证明OC⊥PC即可．根据三角形外角知识以及圆心角与圆周角关系可知∠PEC=2∠CDB=∠COB，由PC=PE可知∠PCE=∠PEC=∠COB，注意到AB⊥CD，于是∠COB+∠OCG=90°=∠OCG+∠PEC=∠OCP，结论得证．（3）由于∠BCD=∠F，于是tan∠BCD=tanF=23=BGCG，设BG=2x，则CG=3x．注意到AB是直径，连接AC，则∠ACB是直角，由射影定理可知CG2=BG•AG，可得出AG的表达式（用x表示），再根据53求出x的值，从而CG、CB、BD、CD的长度可依次得出，最后利用△DEB∽△DBC列出比例关系算出ED的值．【详解】解：（1）证明：因为BE＝DE，所以∠FBD＝∠CDB，在△BCD和△DFB中：∠BCD＝∠DFB∠CDB＝∠FBDBD＝DB所以△BCD≌△DFB（AAS）．（2）证明：连接OC．因为∠PEC＝∠EDB+∠EBD＝2∠EDB，∠COB＝2∠EDB，所以∠COB＝∠PEC，因为PE＝PC，所以∠PEC＝∠PCE，所以∠PCE＝∠COB，因为AB⊥CD于G，所以∠COB+∠OCG＝90°，所以∠OCG+∠PEC＝90°，即∠OCP＝90°，所以OC⊥PC，所以PC是圆O的切线．（3）因为直径AB⊥弦CD于G，所以BC＝BD，CG＝DG，所以∠BCD＝∠BDC，因为∠F＝∠BCD，tanF＝23，所以∠tan∠BCD＝23＝BGCG，设BG＝2x，则CG＝3x．连接AC，则∠ACB＝90°，由射影定理可知：CG2＝AG•BG，所以AG＝229922xC xG xGB==，因为AG﹣BG＝533，所以53 2392xx-=，解得x 23，所以BG＝2x 43CG＝3x＝3所以BC ＝222393CG BG +=， 所以BD ＝BC ＝239， 因为∠EBD ＝∠EDB ＝∠BCD ，所以△DEB ∽△DBC ， 所以BDB DC DE D =， 因为CD ＝2CG ＝43，所以DE ＝21339DB CD =． 【点睛】本题为圆的综合题，主要考查了垂径定理，圆心角与圆周角的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、射影定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等重要知识点．第（1）、（2）问解答的关键是导角，难度不大，第（3）问解答的要点在于根据射影定理以及条件当中告诉的两个等量关系求出BG 、CG 、BC 、BD 、CD 的值，最后利用“共边子母型相似”（即△DEB ∽△DBC ）列比例方程求解ED ．5．如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A 和点B ，点C 为弧AB 上一点，连接PC 并延长交O 于点F ，D 为弧AF 上的一点，连接BD 交FC 于点E ，连接AD ，且2180APB PEB ∠+∠=︒．（1）如图1，求证：//PF AD ；（2）如图2，连接AE ，若90APB ∠=︒，求证：PE 平分AEB ∠；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB 交PE 于点H ，连接OE ，8AD =，4sin 5ABD ∠=，求PH 的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）257 【解析】【分析】（1）连接OA 、OB ，由切线的性质可得90OAP OBP ∠=∠=︒，由四边形内角和是360︒，得180∠+∠=︒P AOB ，由同弧所对的圆心角是圆周角的一半，得到2AOB ADB ∠=∠，等量代换得到ADB PEB ∠=∠，由同位角相等两直线平行，得到//PF AD ；（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K ，由90APB ∠=︒得290PEB ∠=︒，从而45PEB ∠=︒，由切线的性质，得PA PB =，由PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，得PE PK =，从而90APE EPB ︒∠=-∠，进而APE BPK ∠=∠，即可证得APE BPK ∆∆≌由此45K AEP ∠=∠=︒，得到AEP PEB ∠=∠，即可证得PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM ，由45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，可得DE AE =，由OA 、OD 为半径，可得OA OD =，即可证出DEO AEO ∆∆≌，由直径所对的圆周角是直角，可得90ADM ∠=︒，在Rt ADM ∆中，由正弦定义可得10AM =，由此5OA OB ==，由OAPB 为正方形，对角线AB 垂直平分OP ，从而，OH PH =.在Rt OAP ∆中，252OP OA ==.延长EO 交AD 于K ，在Rt OEP ∆中，由勾股定理得7PE =，在Rt OEH ∆中，由勾股定理得257PH =. 【详解】 （1）连接OA 、OB∵PA 、PB 与圆O 相切于点A 、B ，且OA 、OB 为半径，∴OA AP ⊥，OB BP ⊥，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴在四边形AOBP 中，360180180P AOB ∠+∠=︒-︒=︒，∵AB AB =，∴2AOB ADB ∠=∠，∴2180P ADB ∠+∠=︒，∵2180P PEB ∠+∠=︒，∴ADB PEB ∠=∠，∴//PF AD（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K∵90APB ∠=︒，∴21809090PEB ∠=︒-︒=︒，∴45PEB ∠=︒，∵PA 、PB 为圆O 的切线，∴PA PB =，∵PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，∴PE PK = ，∵9090APE EPB KPB EPB ︒︒∠=-∠=∠=-∠，∴APE BPK ∠=∠，∴APE BPK ∆∆≌，∴45K AEP ∠=∠=︒， ∴AEP PEB ∠=∠，∴PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM∵45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，∴DE AE =，∵OA 、OD 为半径，∴OA OD =，∵OE OE =，∴DEO AEO ∆∆≌，∴1452AEO OED AED ∠=∠=∠=︒， ∴90OEP ∠=︒，∵AM 为圆O 的直径，∴90ADM ∠=︒，∵弧AD =弧AD ，∴ABD AMD ∠=∠，在Rt ADM ∆中，8AD =，4sin 5AMD ∠=，则10AM =， ∴5OA OB ==，由题易证四边形OAPB 为正方形，∴对角线AB 垂直平分OP ，AB OP =，∵H 在AB 上，∴OH PH =，在Rt OAP ∆中，252OP OA ==，延长EO 交AD 于K ，∵DE AE =，可证OK AD ⊥，DOK ABD ∠=∠，∴4DK KE ==，3OK =，1OE =∴在Rt OEP ∆中，227PE OP OE =-=在Rt OEH ∆中，222OH OE EH =+∵OH PH =，7EH PE HP PH =-=-∴()22217PH PH =+- ∴257PH =． 【点睛】 本题考查了圆的综合题，圆的性质，等腰三角形的性质，相交弦定理，正弦定理，勾股定理，灵活运用这些性质定理解决问题是本题的关键．6．如图．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，10AB =，DE 是ABC 的中位线，连结BD ，点F 是边BC 上的一个动点，连结AF 交BD 于H ，交DE 于G ．(1)当点F 是BC 的中点时，求DH BH的值及GH 的长 (2) 当四边形DCFH 与四边形BEGH 的面积相等时，求CF 的长：(3)如图2．以CF 为直径作O ． ①当O 正好经过点H 时，求证：BD 是O 的切线： ②当DH BH的值满足什么条件时，O 与线段DE 有且只有一个交点．【答案】（1）12DH BH =，13GH =；（2）83CF =；（3）①见解析；②当32DH BH =或2514DH BH >时，O 与线段DE 有且只有一个交点．【解析】【分析】（1）根据题意得H 为ABC 的重心，即可得DH BH 的值，由重心和中位线的性质求得16=GH AF ，由勾股定理求得AF 的长，即可得GH 的长； （2）根据图中面积的关系得S 四边形DCFG =DEB S，列出关系式求解即可得CF 的长； （3）根据O 与线段DE 有且只有一个交点，可分两类情况讨论：当O 与DE 相切时，求得DH BH 的值；当O 过点E ，此时是O 与线段DE 有两个交点的临界点，即可得出O 与线段DE 有且只有一个交点时DH BH 满足的条件． 【详解】解：（1）∵DE 是ABC 的中位线，∴,D E 分别是,AC AB 的中点，//DE BC ，又∵点F 是BC 的中点，∴BD 与AF 的交点H 是ABC 的重心，:1:2DH BH ∴=，即12DH BH =；:1:2=HF AH ， ∴13=HF AF ， 在ACF 中，D 为AC 中点，//DE BC ，则//DG CF ，∴DG 为ACF 的中位线，G 为AF 的中点，12∴=GF AF ， 111236∴=-=-=GH GF HF AF AF AF ， 在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，10AB =，8BC ∴===， 则142==CF BC ，AF ∴=16∴=⨯=GH ； （2）∵四边形DCFH 与四边形BEGH 的面积相等，∴S 四边形DCFH +DGH S=S 四边形BEGH +DGH S ， 即S 梯形DCFG =DEB S ，∵6AC =，8BC =，DE 是ABC 的中位线， ∴3CD =，4DE =，∵1143622=⋅⋅=⨯⨯=DEB S DE CD ， 设2CF a =，∵DG 为ACF 的中位线， ∴12==DG CF a ， 则S 梯形DCFG ()3(2)622+⋅==+=DG CF CD a a ， 解得：43a =， 823∴==CF a ； （3）①证明：如图2，连结、CH OH ，CF 为O 的直径，O 经过点H ，90∴∠=︒FHC ，∴90∠=∠=︒AHC FHC ，AHC 为直角三角形，D 为AC 的中点，12∴==DH AC CD ， ∠∠∴=DCH DHC ．又OC OH =，∴∠=∠OCH OHC ，∴∠+=∠+OCH DCH OHC DHC ，即90∠=∠=︒DHO ACB ，∴BH BD ⊥，即BD 是O 的切线；②如图3-1，当O 与DE 相切时，O 与线段DE 有且只有一个交点，设O 的半径为r ，圆心O 到DE 的距离为d ，∴当r=d 时，O 与DE 相切， ∵//DE CF ，90ACB ∠=︒，3CD =，∴两平行线、DE CF 之间的距离为3CD =，∴3r =，则6CF =，1862,32=-=-===BF BC CF DG CF ， 由//DE CF 得：DGH BFH ，32DH DG BH BF ∴==； 如图3-2，当O 经过点E 时，连接OE 、OG ， 设O 的半径为r ，即==OE OC r ，∵G 为AF 的中点，O 为CF 的中点，∴//OG CD ，∴四边形COGD 为平行四边形，又∵90ACB ∠=︒，∴四边形COGD 为矩形，∴90∠=︒DGO ，则90∠=︒OGE ，OGE 为直角三角形，∴=3=OG CD ，==DG OC r ，则4=-=-GE DE DG r ，由勾股定理得：222+=OG GE OE ，即2223(4)+-=r r ， 解得：258r =，则258==OE OC ，2524==CF r 257258,448∴=-=-===BF BC CF DG OC ，由//DE BC 得：DGHBFH ，252514874∴===DH DG BH BF， 则当2514DH BH >时，O 与线段DE 有且只有一个交点； 综上所述，当32DH BH =或2514DH BH >时，O 与线段DE 有且只有一个交点． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质与判定、中位线的性质等知识，解题的关键是灵活添加常用的辅助线，属于中考压轴题．7．已知AB 是O 的一条弦，点C 在O 上，联结CO 并延长，交弦AB 于点D ，且CD CB =．（1）如图1，如果BO 平分ABC ∠，求证：AB BC =；（2）如图2，如果AO OB ⊥，求:AD DB 的值；（3）延长线段AO 交弦BC 于点E ，如果EOB ∆是等腰三角形，且O 的半径长等于2，求弦BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）33（3）51和22【解析】【分析】（1）由题意利用弦心距即可求证结果，（2）此题关键先求出AO，做辅助线构造特殊三角形，并求证出∠AOD，再根据平行线分线段成比例求出比值即可，（3）分情况讨论两种情况：OE=BE时或OB=BE时两种情况，利用三角形相似即△COE~△CBO找到相似比，利用相似比求解即可．【详解】（1）过点O作OP⊥AB，垂足为点P；OQ⊥BC，垂足为点Q，∵BO平分∠ABC，∴OP=OQ，∵OP，OQ分别是弦AB、BC 的弦心距，∴AB= BC；（2）∵OA=OB，∴∠A=∠OBD，∵CD=CB，∴∠CDB =∠CBD，∴∠A+∠AOD =∠CBO +∠OBD，∴∠AOD =∠CBO，∵OC=OB，∴∠C =∠CBO，∴∠DOB =∠C +∠CBO = 2∠CBO = 2∠AOD，∵AO⊥OB，∴∠ AOB =∠AOD +∠BOD =3∠AOD = 90°，∴∠AOD=30°，过点D作DH⊥AO，垂足为点H，∴∠AHD=∠DHO=90°，∴tan ∠AOD =HD OH =3， ∵∠AHD=∠AOB=90°，∴HD ‖OB ， ∴D AOB H AH O = ， ∵OA=OB ，∴HD=AH ，∵HD ‖OB ，∴AH HD OH O AH DB H ===； （3）∵∠C=∠CBO ，∴∠OEB =∠C+∠COE >∠CBO ，∴OE≠OB ；若OB = EB =2时，∵∠C=∠C ，∠COE =∠AOD =∠CBO ，∴△COE ~△CBO ， ∴CO CE BC CO=， ∴222BC BC =-， ∴2BC -2BC -4=0，∴BC =舍去)或，∴；若OE = EB 时，∵∠EOB =∠CBO ，∵∠OEB =∠C+∠COE =2∠C =2∠CBO 且∠OEB +∠CBO +∠EOB = 180°，∴4∠CBO=180°，∠CBO=45°，∴∠OEB=90°，∴cos ∠CBO=EB OB =， ∵OB=2，∴ ，∵OE 过圆心，OE ⊥BC ，∴．【点睛】此题考查圆的相关知识：圆心距及圆内三角形相似的相关知识，属于综合题型，难度较高．8．△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D，交⊙O于点E，连接AE．（1）如图1，求证：∠BAC=2∠CAE；（2）如图2，射线AO交线段BD于点F，交BC边于点G，连接CE，求证：BF=CE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CO并延长，交线段BD于点H，交⊙O于点M，连接FM，交AB边于点N，若BH=DH，四边形BHOG的面积为2，求线段MN的长．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）6MN【解析】【分析】（1）先依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证明∠BAC+2∠C=180°，然后得到2∠CAE+2∠E=180°，然后根据同弧所对的圆周角相等得到∠E=∠C，即可得到结论；（2）连接OB、OC．先依据SSS证明△ABO≌△ACO，从而得到∠BAO=∠CAO，然后在依据ASA证明△ABF≌△ACE，最后根据全等三角形的性质可证明BF=CE；（3）连接HG、BM．由三线合一的性质证明BG=CG，从而得到HG是△BCD的中位线，则∠FHO=∠AFD=∠HFO，于是可得到HO=OF，然后得到∠OGH=∠OHG，从而得到OH=OG，则OF=OG，接下来证明四边形MFGB是矩形，然后由MF∥BC证明△MFH∽△CBH，从而可证明HF=FD．接下来再证明△ADF≌△GHF，由全等三角形的性质的到AF=FG，然后再证明△MNB≌△NAF，于是得到MN=NF．设S△OHF=S△OHG=a，则S△FHG=2a，S△BHG=4a，然后由S四边形BHOG2，可求得2，设HF=x，则BH=2x，然后证明△GFH∽△BFG，由相似三角形的性质可得到2x，然后依据S△BHG=122，可求得x=2，故此可得到HB、GH的长，然后依据勾股定理可求得BG的长，于是容易求得MN的长．【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠BAC+2∠C=180°．∵BD⊥AC，∴∠ADE=90°．∴∠E+∠CAE=90°．∴2∠CAE+2∠E=180°．∵∠E=∠ACB，∴2∠CAE+2∠ACB=180°．∴∠BAC=2∠CAE．（2）连接OB、OC．∵AB=AC，AO=AO，OB=OC，∴△ABO≌△ACO．∴∠BAO=∠CAO．∵∠BAC=2∠CAE，∴∠BAO=∠CAE．在△ABF和△ACE中，ABF ACEAB ACBAF CAE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF≌△ACE．∴BF=CE．（3）连接HG、BM．∵AB=AC，∠BAO=∠CAO，∴AG⊥BC，BG=CG．∵BH=DH，∴HG是△BCD的中位线．∴HG∥CD．∴∠GHF=∠CDE=90°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∵∠OAC+∠AFD=90°，∠OCA+∠FHO=90°，∴∠FHO=∠AFD=∠HFO．∴HO=OF．∵∠HFO+∠OGH=90°，∠OHF+∠OHG=90°，∴∠OGH=∠OHG ．∴OH=OG ．∴OF=OG ．∵OM=OC ，∴四边形MFCG 是平行四边形．又∵MC 是圆O 的直径，∴∠CBM=90°．∴四边形MFGB 是矩形．∴MB=FG ，∠FMB=∠AFN=90°．∵MF ∥BC ，∴△MFH ∽△CBH ． ∴12HF MF BH CB ==． ∴HF ：HD=1：2．∴HF=FD ． 在△ADF 和△GHF 中，AFD GFH ADF GHF FH FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△GHF ．∴AF=FG ．∴MB=AF ．在△MNB 和△NAF 中，90BMF AFN ANF BNM MB AF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MNB ≌△NAF ．∴MN=NF ．设S △OHF =S △OHG =a ，则S △FHG =2a ，S △BHG =4a ，∴S 四边形BHOG．∴．设HF=x ，则BH=2x ．∵∠HHG=∠GFB ，∠GHF=∠FGB ，∴△GFH ∽△BFG ． ∴HF GH HG BH =，即2x HG HG x=． ∴．∴S △BHG =12BH•HG=12， 解得：x=2．∴HB=4，．由勾股定理可知：．∴．∴．【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判断、勾股定理的应用、矩形的性质和判定，找出图中相似三角形和全等三角形是解题的关键．9．在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点A ，B 和图形ω，如果在图形ω上存在点P ，Q （P ，Q 可以重合），使得AP ＝2BQ ，那么称点A 与点B 是图形ω的一对“倍点”． 已知⊙O 的半径为1，点B （0，3）．（1）①点B 到⊙O 的最大值，最小值；②在A 1（5，0），A 2（0，10），A 3）这三个点中，与点B 是⊙O 的一对“倍点”的是 ；（2）在直线y =x +b 上存在点A 与点B 是⊙O 的一对“倍点”，求b 的取值范围； （3）正方形MNST 的顶点M （m ，1），N （m +1，1），若正方形上的所有点与点B 都是⊙O 的一对“倍点”，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）①点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2；②A 1；（2）b -≤≤；（3）3≤m ≤1或≤m ≤﹣4【解析】【分析】（1）①根据点与圆的位置关系求解即可；②先求出123,,A A A 三个点到⊙O 的最大值与最小值，再根据“倍点”的定义求解即可； （2）如图1（见解析），过点O 作OD l ⊥，先求428BQ ≤≤，再求出直线:l y x b =+上的点到⊙O 的最小值，只要这个最小值小于等于8即可满足题意，然后求解即可；（3）根据正方形的位置，可分20,01,1,2m m m m -≤<≤≤><-四种情况，分别求出每种情况下，正方形最近顶点、最远顶点到⊙O 的最大值与最小值，然后根据“倍点”的定义列出不等式组求解即可.【详解】（1）①点B 到⊙O 的最大值是314BO r +=+=点B 到⊙O 的最小值是312BO r -=-=；②1A 到⊙O 的最大值6，最小值4；2A 到⊙O 的最大值11，最小值9；3A 到⊙O 的最大值3，最小值1由（1）知，点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2因此，在⊙O 上存在点P ，Q ，使得12A P BQ =，则1A 与B 是⊙O 的一对“倍点”故答案为1A ；（2）∵点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2428BQ ∴≤≤如图1，过点O 作OD l ⊥由直线:3l y x b =+的解析式可知：60,DCO OC b ∠=︒=由直角三角形的性质可得：1,2CD b OD === 则点D 到⊙O1-，即直线:l y b =+上的点到⊙O的最小值为1-要使直线:3l y x b =+上存在点A 与点B 是⊙O 的一对“倍点”18-≤解得：b ≤b -≤≤；（3）由（2）知，428BQ ≤≤依题意，需分20,01,1,2m m m m -≤<≤≤><-四种情况讨论：①当20m -≤<时，顶点(1,1)N m +到⊙O14<，此时顶点N 不符题意②当01m ≤≤时，顶点(,1)M m 到⊙O14<，此时顶点M 不符题意③当1m ，如图2，正方形MNST 处于1号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,0),(,0)S m T m +此时，点T 到⊙O 的最小值为1m -，最大值为1m +；点N 到⊙O的最小值为11则1418m +≥⎧≤，解得：31m ≤≤ 当正方形MNST 处于2号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,2),(,2)S m T m +此时，点M 到⊙O 的最小值为2211m +-，最大值为2211m++；点S 到⊙O 的最小值为22(1)21m ++-，最大值为22(1)21m +++则2222114(1)218m m ⎧++≥⎪⎨++-≤⎪⎩，解得：22771m ≤≤-或77122m --≤≤-（舍去） 故当1m 时，m 的取值范围为3771m ≤≤-④当2m <-时，正方形MNST 处于3号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,0),(,0)S m T m +此时，点S 到⊙O 的最小值为2m --，最大值为m -；点M 到⊙O 的最小值为2211m +-，最大值为2211m ++则224118m m -≥⎧⎪⎨+-≤⎪⎩，解得：454m -≤≤- 当正方形MNST 处于4号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,2),(,2)S m T m +此时，点N 到⊙O 的最小值为22(1)11m ++-，最大值为22(1)11m +++；点T 到⊙O 的最小值为2221m +-，最大值为2221m ++则2222(1)114218m m ⎧+++≥⎪⎨+-≤⎪⎩，解得：77122m -≤≤--或22177m -≤≤（舍去） 故当2m <-时，m 的取值范围为774m -≤≤-综上，m 的取值范围为3771m ≤≤-或774m -≤≤-.【点睛】本题考查了直线与圆的的位置关系、点与圆的位置关系、正方形的性质，较难的是（3），根据点与圆的位置关系分四种情况讨论是解题关键.10．如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=45，点E是BC边上的动点，以C为圆心，CE长为半径作圆C，交AC于F，连接AE，EF．（1）求AC的长；（2）当AE与圆C相切时，求弦EF的长；（3）圆C与线段AD没有公共点时，确定半径CE的取值范围．【答案】（1）AC=5；（2）4105EF=；（3）03CE≤<或58CE<≤．【解析】【分析】（1）过A作AG⊥BC于点G，由cos45B=，得到BG=4，AG=3，然后由勾股定理即可求出AC的长度；（2）当点E与点G重合时，AE与圆C相切，过点F作FH⊥CE，则CE=CF=4，则CH=3.2，FH=2.4，得到EH=0.8，由勾股定理，即可得到EF的长度；（3）根据题意，可分情况进行讨论：①当圆C与AD相离时；②当CE>CA时；分别求出CE的取值范围，即可得到答案．【详解】解：（1）过A作AG⊥BC于点G，如图：在Rt△ABG中，AB=5，4 cos5BGBAB==，∴BG=4，∴AG=3，∴844CG=-=，∴点G是BC的中点，在Rt△ACG中，22345AC+=；（2）当点E与点G重合时，AE与圆C相切，过点F作FH⊥CE，如图：∴CE=CF=4，∵AB=AC=5，∴∠B=∠ACB ，∴4cos cos 5CH B ACB CF =∠==， ∴CH=3.2，在Rt △CFH 中，由勾股定理，得FH=2.4，∴EH=0.8，在Rt △EFH 中，由勾股定理，得 224100.8 2.4EF =+=； （3）根据题意，圆C 与线段AD 没有公共点时，可分为以下两种情况： ①当圆C 与AD 相离时，则CE<AE ，∴半径CE 的取值范围是：03CE ≤<；②当CE>CA 时，点E 在线段BC 上，∴半径CE 的取值范围是：58CE <≤；综合上述，半径CE 的取值范围是：03CE ≤<或58CE <≤．【点睛】本题考查了解直角三角形，直线与圆的位置关系，平行四边形的性质，勾股定理，以及线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，正确确定动点的位置，从而进行解题．。

人教版九年级上册数学旋转几何综合专题练习（word版一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线公+。

的顶点是A（l, 3）,将0A绕点。

顺时针旋转90,后得到0B，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的（2） P是线段AC上一动点，且不与点A, C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△048的边分别交于M, N两点,将A4MN以直线MN为对称轴翻折，得到设点P的纵坐标为m.①当AYMN在AOAB内部时，求m的取值范围：②是否存在点P，使若存在，求出满足m的值：若不存在，请说明理由.【答案】（l）y = -x2+2x+2：（2）①;v〃?v3；②存在，满足m的值为6-J0或6-底■ 3【解析】【分析】（1）作AD_Ly轴于点D,作BE_Lx轴于点E,然后证明△AODg/kBOE,则AD=BE, OD=OE,即可得到点B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；（2）①由点P为线段AC上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P与点A重合时：点P与点C重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案；②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点M在线段OA上，点N在AB上时；当点M 在线段OB上，点N在AB上时；先求出直线OA和直线AB的解析式，然后利用m的式子表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出m的值.【详解】解：（1）如图：作ADJ_y轴于点D,作BE_Lx轴于点E,•••将0A绕点0逆时针旋转90。

后得到OB, AOA=OB, ZAOB=90° ,A ZAOD+ZAOE=ZBOE+ZAOE=90" , AZAOD=ZBOE, AAAOD^ABOE, ，AD二BE, OD=OE, •・•顶点A为（1, 3）,AAD=BE=1, OD=OE=3,••.点B的坐标为（3, -I）,设抛物线的解析式为y = +3 ,把点B代入，得f/（3-l）2 + 3 = -l,•• a =-1，••・抛物线的解析式为y = —@一1尸+ 3,即y = -A2+2x +2：（2）①•.¥是线段AC上一动点，A m <3 9•.•当HMN在AQIB内部时，当点A'恰好与点C重合时，如图：，直线OB的解析式为〉，=—gx, 令X = 1 ,则y = 一:，，点C的坐标为(1, 一!)，3.*.AC=3-(--) = —, 3 3•・・P为AC的中点， 1 10 5AAP=-x—=-, 2 3 3•一4•• = 3 —=—, 3 34•.m的取值范围是一 < m < 3 :3;点A'与点A关于MN对称，则点A'的坐标为（1，2m-3）,1 Q••• 4'尸=3—m，A'C = （2加一3） + = 26--,设直接0A为）直线AB为丁 =云+以分别把点A.点B代入计算，得直接0A为y = 3,x,：直线AB为y = -2工+ 5 , 令y=〃7,则点M的横坐标为一,点N的横坐标为二1 3 -2■…m - 5 m 5 5——一m:.MN =-2 3 2 61 1 5 5 5 7 5 15 ,:S.MN =-MN •A9 P = m)^(3-m) = —nr--m + —,2 2 2 o 12 2 4又,； S.MN ~ S sOA B3〃2工〃 + 3级(3〃-4),12 2 4 6解得：〃? = 6 —或m=6 +（舍去）：当点M在边OB上，点N在边AB上时，如图::• MN = —―- + 3m = —m + — , A'C = -- -(2m-3) = - - 2m , -2 2 2 3 3M孙 2 2 2 2 4 2 41 3 8B =一•A'C・3 = 一• (—2/z?) = 4 —,,,S.MN =-S1OAli，解得：/〃=19或机=S19 （舍去）； 3 3综合上述，m的值为：/〃 = 6 — M或，〃 =6[39 .【点暗】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质、三角形的面积公式等，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确得到点P的位置.注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题.2.探究：如图1和图2,四边形A8CD中，已知A8=4D, /84。

《第24章圆》一、填空题1．已知点O为△ABC的外心，若∠A=80°，则∠BOC的度数为（）A．40° B．80° C．160°D．120°2．点P在⊙O内，OP=2cm，若⊙O的半径是3cm，则过点P的最短弦的长度为（）A．1cm B．2cm C． cm D． cm3．已知A为⊙O上的点，⊙O的半径为1，该平面上另有一点P，，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法确定4．如图：点A、B、C、D为⊙O上的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O的路线做匀速运动．设运动的时间为t秒，∠APB的度数为y．则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）A．B．C．D．5．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（）A．与x轴相离，与y轴相切B．与x轴，y轴都相离C．与x轴相切，与y轴相离D．与x轴，y轴都相切6．如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为（）A．2 B．4 C．2 D．47．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠DOR的度数是（）A．60 B．65 C．72 D．758．如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E互相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积是（）A．πB．1.5πC．2πD．2.5π二、选择题9．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为．10．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2cm，⊙A与BC相切于点D，则⊙A的半径长为cm．11．善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解决问题中．用数量关系描述图形性质和用图形性质描述数量关系，往往会有新的发现．小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图，直径AB⊥弦CD于点E，设AE=x，BE=y，用含x，y 的式子表示图中的弦CD的长度），通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系，发现了一个关于正数x，y的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式．12．如图，∠AOB=30°，OM=6，那么以M为圆心，4为半径的圆与直OA的位置关系是．13．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC= cm．14．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确．”请你回答：小亮的作图依据是．三、解答题（7+7+8+8）15．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．求证：（1）△ABC是等边三角形；（2）．16．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB= 寸，CD= 寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．17．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．18．如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE ⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．《第24章圆》（北京市西城区重点中学）参考答案与试题解析一、填空题1．已知点O为△ABC的外心，若∠A=80°，则∠BOC的度数为（）A．40° B．80° C．160°D．120°【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=160°．【解答】解：∵点O为△ABC的外心，∠A=80°，∴∠BOC=2∠A=160°．故选C．【点评】熟练运用圆周角定理计算，即在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．点P在⊙O内，OP=2cm，若⊙O的半径是3cm，则过点P的最短弦的长度为（）A．1cm B．2cm C． cm D． cm【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】计算题．【分析】过P作AB⊥OP交圆与A、B两点，连接OA，故AB为最短弦长，再解Rt△OPA，即可求得AB的长度，即过点P的最短弦的长度．【解答】解：过P作AB⊥OP交圆与A、B两点，连接OA，如下图所示：故AB为最短弦长，由垂径定理可得：AP=PB已知OA=3，OP=2在Rt△OPA中，由勾股定理可得：AP2=OA2﹣OP2∴AP==cm∴AB=2AP=2cm故此题选D．【点评】本题考查了最短弦长的判定以及垂径定理的运用．3．已知A为⊙O上的点，⊙O的半径为1，该平面上另有一点P，，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法确定【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据题意可知点P可能在圆外也可能在圆上，也可能在圆内，所以无法确定．【解答】解：∵PA=，⊙O的直径为2∴点P的位置有三种情况：①在圆外，②在圆上，③在圆内．故选D．【点评】本题考查了圆的认识，做题时注意多种情况的考虑．4．如图：点A、B、C、D为⊙O上的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O的路线做匀速运动．设运动的时间为t秒，∠APB的度数为y．则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意，分P在OC、CD、DO之间3个阶段，分别分析变化的趋势，又由点P作匀速运动，故①③都是线段，分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，分3个阶段；①P在OC之间，∠APB逐渐减小，到C点时，为45°，②P在CD之间，∠APB保持45°，大小不变，③P在DO之间，∠APB逐渐增大，到O点时，为90°；又由点P作匀速运动，故①③都是线段；分析可得：B符合3个阶段的描述；故选：B．【点评】本题主要考查了函数图象与几何变换，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况．5．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（）A．与x轴相离，与y轴相切B．与x轴，y轴都相离C．与x轴相切，与y轴相离D．与x轴，y轴都相切【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径的相离，等于半径的相切．【解答】解：∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，如图所示：∴这个圆与y轴相切，与x轴相离．故选A．【点评】直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．6．如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为（）A．2 B．4 C．2 D．4【考点】切线的性质．【专题】压轴题．【分析】连接OC，BC，AB是直径，CD是切线，先求得∠OCD=90°再求∠COB=2∠A=60°，利用三角函数即可求得CD的值．【解答】解：连接OC，BC，AB是直径，则∠ACB=90°，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∵∠A=30°，∴∠COB=2∠A=60°，CD=OC•tan∠COD=2．故选A．【点评】本题利用了切线的性质，直径对的圆周角是直角求解．7．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠DOR的度数是（）A．60 B．65 C．72 D．75【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；正方形的性质．【分析】根据等边三角形和正方形的性质，求得中心角∠POR和∠POD，二者的差就是所求．【解答】解：连结OD，如图，∵△PQR是⊙O的内接正三角形，∴PQ=PR=QR，∴∠POR=×360°=120°，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴∠AOD=90°，∴∠DOP=×90°=45°，∴∠AOQ=∠POR﹣∠DOP=75°．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．8．如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E互相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积是（）A．πB．1.5πC．2πD．2.5π【考点】扇形面积的计算；多边形内角与外角．【专题】压轴题．【分析】圆心角之和等于五边形的内角和，由于半径相同，那么根据扇形的面积2公式计算即可．【解答】解：图中五个扇形（阴影部分）的面积是=1.5π故选B．【点评】解决本题的关键是把阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和．二、选择题9．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（2，0）．【考点】确定圆的条件；坐标与图形性质．【专题】网格型．【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，0）．故答案为：（2，0）【点评】能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置．10．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2cm，⊙A与BC相切于点D，则⊙A的半径长为cm．【考点】切线的性质．【专题】压轴题．【分析】连接AD，则有AD是△ABC的斜边上的高，可判定△ABC是等腰直角三角形，所以BC=AB=2，利用点D是斜边的中点，可求AD=BC=cm．【解答】解：连接AD；∵∠A=90°，AB=AC=2cm，∴△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=2；∵点D是斜边的中点，∴AD=BC=cm．【点评】本题利用了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质求解．11．善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解决问题中．用数量关系描述图形性质和用图形性质描述数量关系，往往会有新的发现．小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图，直径AB⊥弦CD于点E，设AE=x，BE=y，用含x，y 的式子表示图中的弦CD的长度），通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系，发现了一个关于正数x，y的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式．【考点】垂径定理的应用．【专题】数形结合．【分析】此题中隐含的不等关系：直径是圆中最长的弦，所以AB≥CD．首先可以表示出AB=x+y，再根据相交弦定理的推论和垂径定理，得CD=2CE=2．【解答】解：∵直径AB⊥弦CD于点E，∴CE=DE，根据相交弦定理的推论，得CE2=AE•BE，则CE=，∴CD=2CE=2．又∵AB=x+y，且AB≥CD，∴x+y≥2．【点评】本题考查：直径是圆中最长的弦；相交弦定理的推论以及垂径定理的综合应用．12．如图，∠AOB=30°，OM=6，那么以M为圆心，4为半径的圆与直OA的位置关系是相交．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用直线l和⊙O相切⇔d=r，进而判断得出即可．【解答】解：过点M作MD⊥AO于点D，∵∠AOB=30°，OM=6，∴MD=3，∴MD＜r∴以点m为圆心，半径为34的圆与OA的位置关系是：相交．故答案为：相交．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d与r的关系是解题关键．13．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC= 8cm．【考点】圆周角定理．【专题】压轴题．【分析】结合等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的内角和定理求得三角形AOC是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：连接OC．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．又∵∠B=∠OAC=∠AOC，∴∠AOC=90°．∴AC=OA=8cm．【点评】此题综合运用了等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的内角和定理以及勾股定理．14．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确．”请你回答：小亮的作图依据是垂径定理．【考点】垂径定理的应用；作图—复杂作图．【分析】利用垂径定理得出任意两弦的垂直平分线交点即可．【解答】解：根据小亮作图的过程得到：小亮的作图依据是垂径定理．故答案是：垂径定理．【点评】此题主要考查了复杂作图以及垂径定理，熟练利用垂径定理的性质是解题关键．三、解答题（7+7+8+8）15．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．求证：（1）△ABC是等边三角形；（2）．【考点】等边三角形的判定；圆周角定理．【专题】证明题．【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DE，从而得到平行线，得到∠ODB=∠A，∠ODB=∠B，则∠A=∠B，得到AC=BC，从而证明该三角形是等边三角形；（2）再根据在圆内直径所对的角是直角这一性质，推出30°的直角三角形，根据30°所对的直角边是斜边的一半即可证明．【解答】证明：（1）连接OD，得OD∥AC；∴∠BDO=∠A；又OB=OD，∴∠OBD=∠ODB；∴∠OBD=∠A；∴BC=AC；又∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形；（2）如上图，连接CD，则CD⊥AB；∴D是AB中点；∵AE=AD=AB，∴EC=3AE；∴AE=CE．【点评】本题中作好辅助线是解题的关键，连接过切点的半径是圆中常见的辅助线作法之一．另外还要掌握等边三角形的判定和性质以及30°的直角三角形的性质．16．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB= 1 寸，CD= 10 寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】根据题意容易得出AB和CD的长；连接OB，设半径CO=OB=x寸，先根据垂径定理求出CA 的长，再根据勾股定理求出x的值，即可得出直径．【解答】解：根据题意得：AB=1寸，CD=10寸；故答案为：1，10；（2）连接CO，如图所示：∵BO⊥CD，∴．设CO=OB=x寸，则AO=（x﹣1）寸，在Rt△CAO中，∠CAO=90°，∴AO2+CA2=CO2．∴（x﹣1）2+52=x2．解得：x=13，∴⊙O的直径为26寸．【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，运用勾股定理得出方程是解答此题的关键．17．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据垂径定理知，弧CD=2弧BC，由圆周角定理知，弧BC的度数等于∠BOC的度数，弧AD的度数等于∠CPD的2倍，可得：∠CPD=∠COB；（2）根据圆内接四边形的对角互补知，∠CP′D=180°﹣∠CPD，而：∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180°．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB是直径，AB⊥CD，∴．∴∠COB=∠DOB=∠COD．又∵∠CPD=∠COD，∴∠CPD=∠COB．（2）解：∠CP′D+∠COB=180°．理由如下：连接OD，∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠COB=∠DOB=∠COD，又∵∠CPD=∠COD，∴∠COB=∠CPD，∴∠CP′D+∠COB=180°．【点评】本题利用了垂径定理和圆周角定理及圆内接四边形的性质求解．18．如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE ⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．【考点】切线的判定；等边三角形的性质．【分析】（1）连接OD，根据等边三角形的性质求出∠ODE=90°，根据切线的判定定理证明即可；（2）连接AD，BF，根据等边三角形的性质求出DC、CF，根据直角三角形的性质求出EC，结合图形计算即可．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵OB=OD，∴∠ODB=∠B=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°．∴∠EDC=30°．∴∠ODE=90°．∴DE⊥OD于点D．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AD，BF，∵AB为⊙O直径，∴∠AFB=∠ADB=90°．∴AF⊥BF，AD⊥BD．∵△ABC是等边三角形，∴，．∵∠EDC=30°，∴．∴FE=FC﹣EC=1．人教版九年级数学【点评】本题考查的是切线的判定、等边三角形的性质以及直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．。

九年级数学上册圆几何综合专题练习（解析版）一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．在直角坐标系中，A（0，4），B（4，0）．点C从点B出发沿BA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点D从点A出发沿AO方向以每秒1个单位的速度向点O 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点C、D运动的时间是t秒(t>0)．过点C作CE⊥BO于点E，连结CD、DE．⑴当t为何值时，线段CD的长为4；⑵当线段DE与以点O为圆心，半径为的⊙O有两个公共交点时，求t的取值范围；⑶当t为何值时，以C为圆心、CB为半径的⊙C与⑵中的⊙O相切？【答案】(1); (2) 4-＜t≤; (3)或．【解析】试题分析：（1）过点C作CF⊥AD于点F，则CF，DF即可利用t表示出来，在Rt△CFD中利用勾股定理即可得到一个关于t的方程，从而求得t的值；（2）易证四边形ADEC是平行四边形，过点O作OG⊥DE于点G，当线段DE与⊙O相切时，则OG=，在直角△OEG中，OE可以利用t表示，则OG也可以利用t表示出来，当OG＜时，直线与圆相交，据此即可求得t的范围；（3）分两圆外切与内切两种情况进行讨论，当外切时，圆心距等于两半径的和，当内切时，圆心距等于圆C的半径减去圆O的半径，列出方程即可求得t的值．（1）过点C作CF⊥AD于点F，在Rt△AOB中，OA=4，OB=4，∴∠ABO=30°，由题意得：BC=2t，AD=t，∵CE⊥BO，∴在Rt△CEB中，CE=t，EB=t，∵CF⊥AD，AO⊥BO，∴四边形CFOE是矩形，∴OF=CE=t，OE=CF=4-t，在Rt△CFD中，DF2+CF2=CD2，∴（4-t-t）2+（4-t）2=42，即7t2-40t+48=0，解得：t=，t=4，∵0＜t＜4，∴当t=时，线段CD的长是4；（2）过点O作OG⊥DE于点G（如图2），∵AD∥CE，AD=CE=t∴四边形ADEC是平行四边形，∴DE∥AB∴∠GEO=30°，∴OG=OE=（4-t）当线段DE与⊙O相切时，则OG=，∴当（4-t）＜，且t≤4-时，线段DE与⊙O有两个公共交点．∴当 4-＜t≤时，线段DE与⊙O有两个公共交点；（3）当⊙C与⊙O外切时，t=；当⊙C与⊙O内切时，t=；∴当t=或秒时，两圆相切．考点：圆的综合题．2．已知：四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，DE⊥AB，垂足为点E，DE的锯长线交⊙O于点F，DC的延长线与FB的延长线交于点G．（1）如图1，求证：GD＝GF；（2）如图2，过点B作BH⊥AD，垂足为点M，B交DF于点P，连接OG，若点P在线段OG上，且PB＝PH，求∠ADF的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，点M是PH的中点，点K在BC上，连接DK，PC，D交PC点N，连接MN，若AB＝122，HM+CN＝MN，求DK的长．【答案】（1）见解析；（2）∠ADF＝45°；（3）1810．【解析】【分析】（1）利用“同圆中，同弧所对的圆周角相等”可得∠A＝∠GFD，由“等角的余角相等”可得∠A＝∠GDF，等量代换得∠GDF＝∠GFD，根据“三角形中，等角对等边”得GD＝GF；（2）连接OD、OF，由△DPH≌△FPB可得：∠GBH＝90°，由四边形内角和为360°可得：∠G＝90°，即可得：∠ADF＝45°；（3）由等腰直角三角形可得AH＝BH＝12，DF＝AB＝12，由四边形ABCD内接于⊙O，可得：∠BCG＝45°＝∠CBG，GC＝GB，可证四边形CDHP是矩形，令CN＝m，利用勾股定理可求得m＝2，过点N作NS⊥DP于S，连接AF，FK，过点F作FQ⊥AD于点Q，过点F 作FR⊥DK交DK的延长线于点R，通过构造直角三角形，应用解直角三角形方法球得DK．【详解】解：（1）证明：∵DE⊥AB∴∠BED＝90°∴∠A+∠ADE＝90°∵∠ADC＝90°∴∠GDF+∠ADE＝90°∴∠A＝∠GDF∵BD BD∴∠A ＝∠GFD∴∠GDF ＝∠GFD∴GD ＝GF（2）连接OD 、OF∵OD ＝OF ，GD ＝GF∴OG ⊥DF ，PD ＝PF在△DPH 和△FPB 中PD PF DPH FPB PH PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DPH ≌△FPB （SAS ）∴∠FBP ＝∠DHP ＝90°∴∠GBH ＝90°∴∠DGF ＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°∴∠GDF ＝∠DFG ＝45°∴∠ADF ＝45°（3）在Rt △ABH 中，∵∠BAH ＝45°，AB ＝∴AH ＝BH ＝12∴PH ＝PB ＝6∵∠HDP ＝∠HPD ＝45°∴DH ＝PH ＝6∴AD ＝12+6＝18，PN ＝HM ＝12PH ＝3，PD ＝∵∠BFE ＝∠EBF ＝45°∴EF ＝BE∵∠DAE ＝∠ADE ＝45°∴DE ＝AE∴DF ＝AB ＝∵四边形ABCD 内接于⊙O∴∠DAB +∠BCD ＝180°∴∠BCD ＝135°∴∠BCG ＝45°＝∠CBG∴GC ＝GB又∵∠CGP ＝∠BGP ＝45°，GP ＝GP∴△GCP ≌△GBP （SAS ）∴∠PCG ＝∠PBG ＝90°∴∠PCD ＝∠CDH ＝∠DHP ＝90°∴四边形CDHP 是矩形∴CD ＝HP ＝6，PC ＝DH ＝6，∠CPH ＝90° 令CN ＝m ，则PN ＝6﹣m ，MN ＝m +3在Rt △PMN 中，∵PM 2+PN 2＝MN 2∴32+（6﹣m ）2＝（m +3）2，解得m ＝2∴PN ＝4过点N 作NS ⊥DP 于S ，在Rt △PSN 中，PS ＝SN ＝22DS ＝62﹣22＝42SN 221tan DS 242SDN ∠=== 连接AF ，FK ，过点F 作FQ ⊥AD 于点Q ，过点F 作FR ⊥DK 交DK 的延长线于点R 在Rt △DFQ 中，FQ ＝DQ ＝12∴AQ ＝18﹣12＝6∴tan 1226FQ FAQ AQ ∠=== ∵四边形AFKD 内接于⊙O ，∴∠DAF +∠DKF ＝180°∴∠DAF ＝180°﹣∠DKF ＝∠FKR在Rt △DFR 中，∵DF ＝1122,tan 2FDR ∠= ∴12102410,55FR DR == 在Rt △FKR 中，∵FR ＝1210 tan ∠FKR ＝2 ∴KR ＝610 ∴DK ＝DR ﹣KR ＝24106101810=-= ．【点睛】本题是一道有关圆的几何综合题，难度较大，主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形性质及判定，等腰直角三角形性质，解直角三角形等知识点；解题关键是添加辅助线构造直角三角形．3．已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD 2=，AB BC CD 6===，动点P 在射线BA 上，以BP 为半径的P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合），联结PE 、PC ，设x BP =，PC y =.（1）求证：PE //DC ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）联结PD ，当PDC B ∠=∠时，以D 为圆心半径为R 的D 与P 相交，求R 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）2436(09)y x x x =-+<<；（3）3605R << 【解析】【分析】 ()1根据梯形的性质得到B DCB ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到B PEB ∠∠=，根据平行线的判定定理即可得到结论；()2分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、.G 推出四边形ADGF 是矩形，//PH AF ，求得2BF FG GC ===，根据勾股定理得到22226242AF AB BF =-=-=，根据平行线分线段成比例定理得到223PH x =，13BH x =，求得163CH x =-，根据勾股定理即可得到结论； ()3作//EM PD 交DC 于.M 推出四边形PDME 是平行四边形.得到PE DM x ==，即 6MC x =-，根据相似三角形的性质得到1218655PD EC ==-=，根据相切两圆的性质即可得到结论．【详解】 ()1证明：梯形ABCD ，AB CD =，B DCB ∠∠∴=，PB PE =，B PEB ∠∠∴=，DCB PEB ∠∠∴=，//PE CD ∴；()2解：分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、G ．梯形ABCD 中，//AD BC ，，BC DG ⊥，BC PH ⊥，∴四边形ADGF 是矩形，//PH AF ，2AD =，6BC DC ==，2BF FG GC ∴===，在Rt ABF 中，22226242AF AB BF =-=-=，//PH AF ，PH BP BH AF AB BF∴==6242x BH ==， 223PH x ∴=，13BH x =， 163CH x ∴=-， 在Rt PHC 中，22PC PH CH =+22221()(6)33y x x ∴=+-2436(09)y x x x =-+<<， ()3解：作//EM PD 交DC 于M ．//PE DC ，∴四边形PDME 是平行四边形．PE DM x ∴==，即 6MC x =-，PD ME ∴=，PDC EMC ∠∠=，又PDC B ∠∠=，B DCB ∠=∠，DCB EMC PBE PEB ∠∠∠∠∴===．PBE ∴∽ECM ，PB BE EC MC ∴=，即232663x x x x =--， 解得：185x =， 即125BE =， 1218655PD EC ∴==-=， 当两圆外切时，PD r R =+，即0(R =舍去)； 当两圆内切时，-PD r R =，即10(R =舍去)，2365R =； 即两圆相交时，3605R <<． 【点睛】本题属于圆综合题，梯形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.4．四边形ABCD 的对角线交于点E ，有AE =EC ，BE =ED ，以AB 为直径的O 过点E ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形．（2）若CD 的延长线与圆相切于点F ，已知直径AB =4．求阴影部分的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）513π-【解析】试题分析：（1）先由AE=EC 、BE=ED 可判定四边形为平行四边形，再根据∠AEB=90°可判定该平行四边形为菱形；（2）连接OF ，过点D 作DP ,AB P E EQ AB ⊥⊥于过点作于Q ，分别求出扇形BOE 、△AOE、半圆O 的面积，即可得出答案.试题解析：（1）AE =EC ，BE =ED∴ABCD 四边形为平行四边形∵90AB AEB ∠∴=︒是直径∴ABCD 平行四边形是菱形（2）连接OF ，过点D 作DP ,AB P E EQ AB ⊥⊥于过点作于QCF 切O 于点F∴90OFC ∠=︒∵ABCD 四边形是菱形，∴,90CD AB BOF OFD DPO ∠∠∠∴===︒∴FOPD DP OF ∴=四边形是矩形ABCD 四边形是菱形，AB AD ∴= ∵11,3022OF AB DP AD DAB ∠=∴=∴=︒ ∴ABCD 四边形是菱形∴1152CAB DAB ∠=∠=︒ ∴180215150AOE ∠=︒-⨯︒=︒∴3090EOB EQO ∠∠=︒=︒ ∴112EQ OE == 21502360S 阴影π⨯∴=-1521123π⨯⨯=- 点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．5．如图1，△ABC 内接于⊙O ，直径AD 交BC 于点E ，延长AD 至点F ，使DF ＝2OD ，连接FC 并延长交过点A 的切线于点G ，且满足AG ∥BC ，连接OC ，若cos ∠BAC ＝13，BC ＝8． （1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）求⊙O 的半径OC ；（3）如图2，⊙O 的弦AH 经过半径OC 的中点F ，连结BH 交弦CD 于点M ，连结FM ，试求出FM 的长和△AOF 的面积．【答案】（1）见解析；（2）32332232【解析】【分析】（1）由DF=2OD，得到OF=3OD=3OC，求得13OE OCOC OF==，推出△COE∽△FOE，根据相似三角形的性质得到∠OCF=∠DEC=90°，于是得到CF是⊙O的切线；（2）利用三角函数值，设OE=x，OC=3x，得到CE=3，根据勾股定理即可得到答案；（3）连接BD，根据圆周角定理得到角相等，然后证明△AOF∽△BDM，由相似三角形的性质，得到FM为中位线，即可求出FM的长度，由相似三角形的性质，以及中线分三角形的面积为两半，即可求出面积.【详解】解：（1）∵DF＝2OD，∴OF＝3OD＝3OC，∴13 OE OCOC OF==，∵∠COE＝∠FOC，∴△COE∽△FOE，∴∠OCF＝∠DEC＝90°，∴CF是⊙O的切线；（2）∵∠COD＝∠BAC，∴cos∠BAC＝cos∠COE＝13 OEOC=，∴设OE＝x，OC＝3x，∵BC＝8，∴CE＝4，∵CE⊥AD，∴OE2+CE2＝OC2，∴x2+42＝9x2，∴x2（负值已舍去），∴OC ＝3x ＝32，∴⊙O 的半径OC 为32；（3）如图，连结BD ，由圆周角定理，则∠OAF=∠DBM ，2AOF ADC ∠=∠，∵BC ⊥AD ，∴AC AB =，∴∠ADC=∠ADB ，∴2AOF ADC BDM ∠=∠=∠，∴△AOF ∽△BDM ；∵点F 是OC 的中点，∴AO ：OF=BD ：DM=2，又∵BD=DC ，∴DM=CM ，∴FM 为中位线，∴322， ∴S △AOF : S △BDM =(326 2 34=； ∵111118(322)4222222BDM BCD S S BC DE ∆∆==⨯•=⨯⨯⨯= ∴S △AOF =3424=32 【点睛】本题考查了圆的综合问题，圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用勾股定理求边长，以及三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，运用属性结合的思想进行解题.6．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，12BC cm =，半圆O 的直径12DE cm =．点E 与点C 重合，半圆O 以2/cm s 的速度从左向右移动，在运动过程中，点D 、E 始终在BC 所在的直线上．设运动时间为()x s ，半圆O 与ABC ∆的重叠部分的面积为()2S cm ．（1）当0x =时，设点M 是半圆O 上一点，点N 是线段AB 上一点，则MN 的最大值为_________；MN 的最小值为________．（2）在平移过程中，当点O 与BC 的中点重合时，求半圆O 与ABC ∆重叠部分的面积S ；（3）当x 为何值时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切？【答案】（1）24cm ，()926cm ；（2）2(189)cm π+；（3）0x =或6x =或932x =-【解析】【分析】（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，261218()92()OB OC CB cm ON BN cm =+=+====，所以926()MN ON OM cm =-=； （2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ，6OH OC OB ===，29016669183602BOH HOC S S S ππ∆=+=⋅+⨯⨯=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，所以0x =（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =，262OB OH ==1262OC BC OB =-=-61262182()cm +--，运动时间为1862932x -==-)． 【详解】解：解（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，45ABC ∠=︒，45NOB ∴∠=︒，在Rt ONB ∆中，61218()OB OC CB cm =+=+=292()2ON BN OB cm ∴===， 926()MN ON OM cm ∴=-=-，故答案为24cm ，(926)cm -；（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ．BC 为直径，90CHB ∴∠=︒，45ABC ∠=︒45HCB ∴∠=︒，HC HB ∴=，OH BC ∴⊥，6OH OC OB ===，29016669183602BOH HOC S S S ππ∆=+=⋅+⨯⨯=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，0x ∴=（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =45B ∠=︒，90OHB ∠=︒，262OB OH ∴=，1262OC BC OB =-=-， 移动的距离为612621862()cm +-=-，运动时间为1862932x -==-（秒)， 综上所述，当x 为0或6或932-时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切．【点睛】本题考查了圆综合知识，熟练掌握勾股定理以及圆切线定理是解题的关键．要注意分类讨论.7．已知ABD △内接于圆O ，点C 为弧BD 上一点，连接BC AC AC 、，交BD 于点E ，CED ABC ∠=∠．（1）如图1，求证：弧AB =弧AD ；（2）如图2，过B 作BF AC ⊥于点F ，交圆O 点G ，连接AG 交BD 于点H ，且222EH BE DH =+，求CAG ∠的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，圆O 上一点M 与点C 关于BD 对称，连接ME ，交AB 于点N ，点P 为弧AD 上一点，PQ BG ∥交AD 于点Q ，交BD 的延长线于点R ，AQ BN =，ANE 的周长为20，52DR =O 半径．【答案】（1）见解析；（2）∠CAG=45°；（3）r=62【解析】【分析】（1）证∠ABD=∠ACB 可得；（2）如下图，△AHD 绕点A 旋转至△ALE 处，使得点D 与点B 重合，证△ALE ≌△AHE ，利用勾股定理逆定理推导角度；（3）如下图，延长QR 交AB 于点T ，分别过点N 、Q 作BD 的垂线，交于点V ，I ，取QU=AE ，过点U 作UK 垂直BD.先证△AEN ≌△QUD ，再证△NVE ≌△RKU ，可得到NV=KR=DK ，进而求得OB 的长.【详解】（1）∵∠CED 是△BEC 的外角，∴∠CED=∠EBC+∠BCA∵∠ABC=∠ABD+∠EBC又∵∠CED=∠ABC∴∠ABD=∠ACB∴弧AB=弧AD（2）如下图，△AHD 绕点A 旋转至△ALE 处，使得点D 与点B 重合∵△ALB是△AHD旋转所得∴∠ABL=∠ADB，AL=AH设∠CAG=a，则∠CBG=a∵BG⊥AC∴∠BCA=90°-a，∴∠ADB=∠ABD=90°-a∴在△BAD中，BAE+∠HAD=180-a-(90°-a)-(90°-a)=a∴∠LAE=∠EAH=a∵LA=AH，AE=AE∴△ALE≌△AHE，∴LE=EH∵HD=LB，222=+EH BE DH∴△LBE为直角三角形∴∠LBE=(90°-a)+(90°-a)=90°，解得：a=45°∴∠CAG=45°（3）如下图，延长QR交AB于点T，分别过点N、Q作BD的垂线，交于点V，I，取QU=AE，过点U作UK垂直BD由（2）得∠BAD=90°∴点O在BD上设∠R=n，则∠SER=∠BEC=∠MEB=90°-n∴∠AEN=2n∵SQ⊥AC∴∠TAS=∠AQS=∠DQR，AN=QD∵QU=AE∴△AEN ≌△QUD∴∠QUD=∠AEN=2n∴UD=UR=NE ，∵△ANE 的周长为20∴QD+QR=20在△DQR 中，QD=7∵∠ENR=∠UDK=∠R=n∴△NVE ≌△RKU∴NV=KR=DK=522∴BN=5∴BD=122，OB=62r =【点睛】本题考查了圆的证明，涉及到全等、旋转和勾股定理，解题关键是结合图形特点，适当构造全等三角形8．已知：AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，点E 为⊙O 上一点，AE BE =，BE 与CD 交于点F ．（1）如图1，求证：BH ＝FH ；（2）如图2，过点F 作FG ⊥BE ，分别交AC 、AB 于点G 、N ，连接EG ，求证：EB ＝EG ； （3）如图3，在（2）的条件下，延长EG 交⊙O 于M ，连接CM 、BG ，若ON ＝1，△CMG 的面积为6，求线段BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）10 ．【解析】【分析】（1）连接AE ，根据直径所对圆周角等于90°及弧与弦的关系即可得解；（2）根据题意，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、，通过证明Rt CGQ Rt CBS ∆≅∆，CBE CGE ∆≅∆即可得解；（3）根据题意，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN ，设CAB α∠＝，证明()CMG CNG AAS ∆≅∆，再由面积法及勾股定理进行计算求解即可.【详解】解：（1）如下图，连接AE∵AB 为直径∴90AEB =︒∠∵AE BE =∴AE BE =∴45B ∠=︒又∵CD AB ⊥于H ∴45HFB ∠=︒∴HF HB =；（2）如下图，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、AB 为直径，∴90ACB QCS ∠=∠=︒∴GCQ BCS ∠=∠∴()Rt CGQ Rt CBS AAS ∆≅∆∴CG CB =同理()CBE CGE SAS ∆≅∆∴EG EB =；（3）如下图，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN设CAB α∠=由（2）知：CM CB =∴CM CB =∵HB HF =∴45HBF HFB ∠=∠=︒∵GF BE ⊥∴45NFH NH BH CN BC ∠=︒∴=∴=，，∴CM CB CN ==则：2MEB α∠=902AEG α∠=︒-∴45EAG EGA α∠=∠=︒+∴45M MGC α∠=∠=︒+∴()CMG CNG AAS ∆≅∆∵CMG ∆面积为6∴6CAN GAN S S -=设2122BH NH x OA OB x AN x ====+=+，，则()CGT BCH AAS ∆≅∆∴C BH x ==∴6AN CH AN TH ⋅-⋅= ∴1(22)62x CT +⋅= 解得：2x =∵2BC BH BA =⋅∴2210BC =⨯，则BC ＝∴BG ＝【点睛】本题主要考查了圆和三角形的综合问题，熟练掌握圆及三角形的各项重要性质及判定方法是解决本题的关键.9．AB 是O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ，连接CD 交AB 于E ，（1）如图(1)求证：90AEC ∠=︒；（2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠（3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==∆的面积等于8，求线段MN 的长度【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2410MN =． 【解析】【分析】（1）由垂径定理即可证明； （2）利用等弧所对的圆周角相等和三角形外角性质即可得到结论；（3）由∠MPC=∠NQD 可得：∠BGL=∠BLG ，BL=BG ，作BR ⊥MN ，GT ⊥AF ，HK ⊥AB ，证明：GH 平分∠AGT ，利用相似三角形性质和角平分线性质求得△AGT 三边关系，再求出HK 与GH ，OS ⊥MN ，再利用相似三角形性质求出OS ，利用勾股定理求MN 即可．【详解】解：()1证明：∵BC BD =，AB 为直径，∴AB ⊥CD∴∠AEC=90°；()2连接,OM ON ，∵点M 是弧AC 的中点，点N 是弧DF 的中点，∴AM CM =，FN DN =，∴,OM AC ON FD ⊥⊥，∵OM=ON ，∴M N ∠=∠，∵90M MPC N NQB ∠+∠=∠+∠=︒，MPC NQD ∴∠=∠；()3如图3，过G 作GT ⊥AF 于T ，过H 作HK ⊥AB 于K ，过B 作BR ⊥MN 于R ，过O 作OS ⊥MN 于S ，连接OM ，设BG=m ，∵△ABH 的面积等于8，AG=6 ∴HK=166m +， ∵BC BD =，∴∠BAC=∠BFD ，由（2）得∠MPC=∠NQD∴∠AGM=∠FLN∴∠BGL=∠BLG∴BL=BG ，∵BR ⊥MN∴∠ABR=∠FBR∵GH ⊥MN∴GH ∥BR∴∠AGH=∠ABR∵AB 是直径，GT ⊥AF∴∠AFB=∠ATG=90°∴GT ∥BF ，又∵GH ∥BR∴∠TGH=∠FBR∴∠AGH=∠TGH ，又∵HK ⊥AG ，HT ⊥GT ， ∴HT=HK=166m +， ∵FH=BG=m ， ∴FT=16(8)(2)66m m m m m +--=++， ∵GT ∥BF ， ∴AT AG FT BG=， ∴6(8)(2)(6)m m AT m m +-=+，616m AH m -=，48(6)(38)m KG TG m m ==+-， ∵222AT TG AG +=，代入解得：m=4；∴AB=10，OM=5，GK=245，HK=85，OG=1∴GH=8105，∵OS⊥MN∴∠OSG=∠GKH=90°，GH∥OS ∴∠HGK=∠GOS∴△HGK∽△GOS，∴OS GK OG GH=，∴310 OS=，∴222410MG OM OG=-=，∴2410 MN=；【点睛】本题考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形判定和性质，勾股定理等，综合性较强，尤其是第（3）问难度很大，计算量大，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，运用数形结合的思想进行解题．10．如图，二次函数y＝﹣56x2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣3，0），以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB，AC，并且满足AB⊥AC．（1）求该二次函数的关系式；（2）经过点B作直线BD⊥AB，与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，连接AE，请判断△ADE的形状，并说明理由；（3）若直线y＝kx+1与圆A相切，请直接写出k的值．【答案】（1）y＝﹣56x2﹣376x﹣11；（2）△ADE是等腰三角形，理由见解析；（3）k的值为﹣12或2【解析】【分析】（1）利用三垂线判断出()ACN BAM AAS∆≅∆，进而得出(2,2)B--，(5,1)C--，最后将点B，C坐标代入抛物线解析式中即可得出结论；（2）先判断出ABM BDM∆∆∽，得出点D坐标，进而求出直线BD的解析式，求出点E 坐标，即可得出结论；（3）分两种情况，Ⅰ、切点在x轴上方，利用三垂线判断出()AQG FPG AAS∆≅∆，得出AQ PF=，GQ PG=，设成点G坐标，进而得出3AQ m=+，PF km=，PG m=-，1GQ km=+，即可得出结论；Ⅱ、切点在x轴下方，同Ⅰ的方法即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，过点B作BM x⊥轴于M，过点C作CN x⊥轴于N，90ANC BMA∴∠=∠=︒，90ABM BAM∴∠+∠=︒，AC AB⊥，90CAN BAM∴∠+∠=︒，ABM CAN∴∠=∠，A过点B，C，AC AB∴=，()ACN BAM AAS∴∆≅∆，2(3)1CN AM∴==---=，3(5)2BM AN==---=，(2,2)B∴--，(5,1)C--，点B，C在抛物线上，∴54226525516b cb c⎧-⨯-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯-+=-⎪⎩，∴37611bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为25371166y x x=---，（2）ADE∆是等腰三角形，理由如下：如图1，BD AB⊥，90ABD∴∠=︒，90ABM DBM∴∠+∠=︒，过点B作BM x⊥轴于M，90BMD AMB∴∠=∠=︒，90BDM DBM∴∠+∠=︒，ABM BDM∴∠=∠，ABM BDM∴∆∆∽，∴AM BMBM DM=，∴122DM=，4DM∴=，2()2D∴,，5AD∴=，(2,2)B--，∴直线BD的解析式为112y x=-，联立，21125371166y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=---⎪⎩， ∴22x y =-⎧⎨=-⎩（舍)或61x y =-⎧⎨=-⎩， (6,4)E ∴--，5AE ∴==，AD AE ∴=，ADE ∴∆是等腰三角形；（3）如图2，点(2,2)B --在A 上，AB ∴ 记直线1y kx =+与y 轴相交于F ，令0x =，则1y =，(0,1)F ∴，1OF ∴=，Ⅰ、当直线1y kx =+与A 的切点在x 轴上方时，记切点为G ，则AG AB ==90AGF ∠=︒，连接AF ，在Rt AOF ∆中，3OA =，1OF =，AF ∴=，在Rt AGF ∆中，根据勾股定理得，FG AG ===，如图2，过点G 作GP y ⊥轴于P ，过点G 作GQ x ⊥轴于Q ，90AQG FPG POQ ∴∠=∠=︒=∠，∴四边形POQG 是矩形，90PGQ ∴∠=︒， FG 是A 的切线，AGQ FGP ∴∠=∠，()AQG FPG AAS ∴∆≅∆，AQ PF ∴=，GQ PG =，设点(,1)G m km +，3AQ m ∴=+，PF km =，PG m =-，1GQ km =+，3m km ∴+=①，1km m +=-②，联立①②解得，212m k =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， Ⅱ、当切点在x 轴下方时，同Ⅰ的方法得，2k =，即：直线1y kx =+与圆A 相切，k 的值为12-或2． 【点睛】此题是二次函数综合题，主考查了待定系数法，三垂线判定两三角形全等，解方程组，判断出FG AG =是解本题的关键．。

人教版九年级数学上册 圆 几何综合单元练习（Word 版 含答案）一、初三数学 圆易错题压轴题（难）1．如图，在直角体系中,直线AB 交x 轴于点A(5,0),交y 轴于点B,AO 是⊙M 的直径,其半圆交AB 于点C,且AC=3.取BO 的中点D,连接CD 、MD 和OC ． （1）求证：CD 是⊙M 的切线；（2）二次函数的图象经过点D 、M 、A,其对称轴上有一动点P,连接PD 、PM,求△PDM 的周长最小时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下,当△PDM 的周长最小时,抛物线上是否存在点Q ，使S △PDM =6S △QAM ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）证明：连接CM ，∵OA 为⊙M 直径，∴∠OCA=90°．∴∠OCB=90°． ∵D 为OB 中点，∴DC=DO ．∴∠DCO=∠DOC ． ∵MO=MC ，∴∠MCO=∠MOC ． ∴．又∵点C 在⊙M 上，∴DC 是⊙M 的切线． （2）∵A 点坐标（5，0），AC=3 ∴在Rt △ACO 中，．∴545(x )x 5)12152-=--（，∴，解得10OD 3=． 又∵D 为OB 中点，∴15524+∴D 点坐标为（0，154)．连接AD ，设直线AD 的解析式为y=kx+b ，则有解得．∴直线AD 为．∵二次函数的图象过M （56，0)、A(5，0)， ∴抛物线对称轴x=154． ∵点M 、A 关于直线x=154对称，设直线AD 与直线x=154交于点P ， ∴PD+PM 为最小．又∵DM 为定长，∴满足条件的点P 为直线AD 与直线x=154的交点． 当x=154时，45y (x )x 5)152=--（． ∴P 点的坐标为（154，56）． （3）存在． ∵，5y a(x )x 5)2=--（又由（2）知D （0，154)，P （154，56）， ∴由，得，解得y Q =±103．∵二次函数的图像过M(0，56)、A(5，0）， ∴设二次函数解析式为，又∵该图象过点D （0，154)，∴，解得a=512． ∴二次函数解析式为．又∵Q 点在抛物线上，且y Q =±103． ∴当y Q =103时，，解得x=1552-或x=1552+；当y Q =512-时，，解得x=154．∴点Q 的坐标为（15524-，103)，或（15524+，103)，或（154，512-）．【解析】试题分析：（1）连接CM ，可以得出CM=OM ，就有∠MOC=∠MCO ，由OA 为直径，就有∠ACO=90°，D 为OB 的中点，就有CD=OD ，∠DOC=∠DCO ，由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出结论．（2）根据条件可以得出2222OC OA AC 534=-=-=和OC OBtan OAC AC OA∠==，从而求出OB 的值，根据D 是OB 的中点就可以求出D 的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式，求出对称轴，根据轴对称的性质连接AD 交对称轴于P ，先求出AD 的解析式就可以求出P 的坐标． （3）根据PDM DAM PAM S S S ∆∆∆=-，求出Q 的纵坐标，求出二次函数解析式即可求得横坐标．2．在直角坐标系中，A （0，4），B （4，0）．点C 从点B 出发沿BA 方向以每秒2个单位的速度向点A 匀速运动，同时点D 从点A 出发沿AO 方向以每秒1个单位的速度向点O 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点C 、D 运动的时间是t 秒(t>0)．过点C 作CE ⊥BO 于点E ，连结CD 、DE ． ⑴ 当t 为何值时，线段CD 的长为4；⑵ 当线段DE 与以点O 为圆心，半径为的⊙O 有两个公共交点时，求t 的取值范围； ⑶ 当t 为何值时，以C 为圆心、CB 为半径的⊙C 与⑵中的⊙O 相切？【答案】(1); (2) 4-＜t≤; (3)或．【解析】试题分析：（1）过点C 作CF ⊥AD 于点F ，则CF ，DF 即可利用t 表示出来，在Rt △CFD 中利用勾股定理即可得到一个关于t 的方程，从而求得t 的值；（2）易证四边形ADEC 是平行四边形，过点O 作OG ⊥DE 于点G ，当线段DE 与⊙O 相切时，则OG=，在直角△OEG 中，OE 可以利用t 表示，则OG 也可以利用t 表示出来，当OG＜时，直线与圆相交，据此即可求得t的范围；（3）分两圆外切与内切两种情况进行讨论，当外切时，圆心距等于两半径的和，当内切时，圆心距等于圆C的半径减去圆O的半径，列出方程即可求得t的值．（1）过点C作CF⊥AD于点F，在Rt△AOB中，OA=4，OB=4，∴∠ABO=30°，由题意得：BC=2t，AD=t，∵CE⊥BO，∴在Rt△CEB中，CE=t，EB=t，∵CF⊥AD，AO⊥BO，∴四边形CFOE是矩形，∴OF=CE=t，OE=CF=4-t，在Rt△CFD中，DF2+CF2=CD2，∴（4-t-t）2+（4-t）2=42，即7t2-40t+48=0，解得：t=，t=4，∵0＜t＜4，∴当t=时，线段CD的长是4；（2）过点O作OG⊥DE于点G（如图2），∵AD∥CE，AD=CE=t∴四边形ADEC是平行四边形，∴DE∥AB∴∠GEO=30°，∴OG=OE=（4-t ）当线段DE 与⊙O 相切时，则OG=， ∴当（4-t ）＜，且t≤4-时，线段DE 与⊙O 有两个公共交点．∴当 4-＜t≤时，线段DE 与⊙O 有两个公共交点；（3）当⊙C 与⊙O 外切时，t=；当⊙C 与⊙O 内切时，t=；∴当t=或秒时，两圆相切．考点：圆的综合题．3．如图，以A （0，3）为圆心的圆与x 轴相切于坐标原点O ，与y 轴相交于点B ，弦BD 的延长线交x 轴的负半轴于点E ，且∠BEO ＝60°，AD 的延长线交x 轴于点C ．（1）分别求点E 、C 的坐标；（2）求经过A 、C 两点，且以过E 而平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式； （3）设抛物线的对称轴与AC 的交点为M ，试判断以M 点为圆心，ME 为半径的圆与⊙A 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）点C 的坐标为（－3，0）（2）2343333y x x =++3）⊙M 与⊙A 外切 【解析】试题分析：（1）已知了A 点的坐标，即可得出圆的半径和直径，可在直角三角形BOE 中，根据∠BEO 和OB 的长求出OE 的长进而可求出E 点的坐标，同理可在直角三角形OAC 中求出C 点的坐标；（2）已知了对称轴的解析式，可据此求出C 点关于对称轴对称的点的坐标，然后根据此点坐标以及C ，A 的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（3）两圆应该外切，由于直线DE ∥OB ，因此∠MED=∠ABD ，由于AB=AD ，那么∠ADB=∠ABD ，将相等的角进行置换后可得出∠MED=∠MDE ，即ME=MD ，因此两圆的圆心距AM=ME+AD ，即两圆的半径和，因此两圆外切.试题解析：（1）在Rt△EOB 中，3cot602323EO OB =⋅︒=⨯=， ∴点E 的坐标为（－2，0）．在Rt△COA 中，tan tan60333OC OA CAO OA =⋅∠=⋅︒=⨯=， ∴点C 的坐标为（－3，0）．（2）∵点C 关于对称轴2x =-对称的点的坐标为F （－1，0）， 点C 与点F （－1，0）都在抛物线上． 设()()13y a x x =++，用()03A ，代入得()()30103a =++，∴3a =． ∴()()3133y x x =++，即 234333y x x =++． （3）⊙M 与⊙A 外切，证明如下： ∵ME ∥y 轴，∴MED B ∠=∠．∵B BDA MDE ∠=∠=∠， ∴MED MDE ∠=∠． ∴ME MD =．∵MA MD AD ME AD =+=+， ∴⊙M 与⊙A 外切．4．已知：图1 图2 图3 （1）初步思考：如图1， 在PCB ∆中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明：12PN PC =（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC -的最大值．【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值DG =【解析】 【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等，证明BPN ∆∽BCP ∆，得到PN BNPC BP=，即可得到结论成立；（2）在BC 上取一点G ，使得BG=1，由△PBG ∽△CBP ，得到12PG PC =，当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小，即可得到答案； （3）在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理得到12PG PC =，当点P 在DG 的延长线上时，12PD PC -的值最大，即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵2,1,4PB BN BC ===， ∴24,4PB BN BC =⋅=， ∴2PB BN BC =⋅，∴BN BPBP BC =， ∵B B ∠=∠，∴BPN BCP ∆∆∽， ∴12PN BN PC BP ==， ∴12PN PC =； （2）解：如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，∵242,212PB BC BG PB ====， ∴,PB BCPBG PBC BG PB =∠=∠， ∴PBG CBP ∆∆∽， ∴12PG BG PC PB ==， ∴12PG PC =， ∴12PD PC DP PG +=+； ∵DP PG DG +≥， ∴当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小， ∴最小值为：22435DG =+=；（3）如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理，可证12PG PC =， 在Rt △CDF 中，∠DCF=60°，CD=4， ∴DF=CD •sin60°=23CF=2，在Rt △GDF 中，22(23)537+=， ∴12PD PC PD PG DG -=-≤， 当点P 在DG 的延长线上时，12PD PC -的值最大， ∴最大值为：37DG = 【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．5．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10，点D 在线段AB 上，AD=2．点P ，Q 以相同的速度从D 点同时出发，点P 沿DB 方向运动，点Q 沿DA 方向到点A 后立刻以原速返回向点B 运动．以PQ 为直径构造⊙O ，过点P 作⊙O 的切线交折线AC ﹣CB 于点E ，将线段EP 绕点E 顺时针旋转60°得到EF ，过F 作FG ⊥EP 于G ，当P 运动到点B 时，Q 也停止运动，设DP=m ．（1）当2＜m≤8时，AP=，AQ=．（用m 的代数式表示） （2）当线段FG 长度达到最大时，求m 的值； （3）在点P ，Q 整个运动过程中，①当m 为何值时，⊙O 与△ABC 的一边相切？ ②直接写出点F 所经过的路径长是．（结果保留根号）【答案】（1）2+m ，m ﹣2;（2）m=5.5;（3）①当m=1或4或10433与△ABC 的边相切．②点F 1136572【解析】试题分析：（1）根据题意可得AP =2+m ，AQ =m −2.（2）如图1中在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=， 推出3cos30cos30FG EF PE EP =⋅=⋅=，所以当点E 与点C 重合时，PE 的值最大，求出此时EP 的长即可解决问题．（3）①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )−(m −2)=4，如图3中，设O 切AC 于H .连接OH .如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .分别求解即可．②如图5中,点F 的运动轨迹是F 1→F 2→B .分别求出122F F F B ，即可解决问题． 试题解析：(1)当28m <≤时，AP =2+m ，AQ =m −2. 故答案为2+m ，m −2. (2)如图1中，在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=，3cos30cos30FG EF PE EP ∴=⋅=⋅=， ∴当点E 与点C 重合时，PE 的值最大， 易知此时53553AC BC EP AB ⨯⨯===，3tan30(2)3EP AP m =⋅=+⋅， 533(2)m ∴=+⋅，∴m =5.5(3)①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .则有AD =2DH =2， ∴DH =DQ =1，即m =1.当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )−(m −2)=4， 如图3中，设O 切AC 于H .连接OH .则AO =2OH =4，AP =4+2=6，∴2+m =6，∴m =4.如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .在Rt △OBN 中, 43sin60OB ON == 4310AO ∴=-4312AP ∴=- 43212m ∴+= 3103m ∴=- 综上所述,当m =1或4或4310O 与△ABC 的边相切。