9.4 对顶角

《对顶角》讲义一、什么是对顶角在几何学中，对顶角是一个非常重要的概念。

当两条直线相交时，会产生四个角，其中相对的两个角就被称为对顶角。

比如说，我们有直线 AB 和直线 CD 相交于点 O，这样就形成了四个角：∠AOC、∠AOD、∠BOC 和∠BOD。

其中，∠AOC 和∠BOD 就是一对对顶角，∠AOD 和∠BOC 也是一对对顶角。

对顶角的一个显著特点就是它们的大小相等。

这是因为两条相交直线所形成的相邻角之和总是等于 180 度。

二、对顶角的性质对顶角的主要性质就是它们的角度相等。

这一性质在解决几何问题中非常有用。

我们来证明一下为什么对顶角相等。

假设直线 AB 和直线 CD 相交于点 O，那么∠AOC 和∠BOD 是对顶角。

因为∠AOC 和∠AOD 组成了一个平角，平角的度数是 180 度，所以∠AOC ＋∠AOD ＝ 180 度。

同样，∠AOD 和∠BOD 也组成了一个平角，所以∠AOD ＋∠BOD ＝ 180 度。

因为∠AOC ＋∠AOD ＝ 180 度，∠AOD ＋∠BOD ＝ 180 度，所以∠AOC ＝∠BOD。

同理可以证明∠AOD ＝∠BOC。

三、对顶角在实际中的应用对顶角的概念和性质在日常生活和数学学习中都有广泛的应用。

在建筑设计中，工程师们需要精确地测量角度，以确保建筑物的结构稳定和美观。

对顶角的知识可以帮助他们准确计算和规划建筑物中各种角度的关系。

在数学题目中，经常会出现需要利用对顶角相等这一性质来求解角度的问题。

例如，已知两条直线相交，其中一个角的度数，求其对顶角的度数。

又或者在证明三角形内角和等于 180 度的过程中，也可能会用到对顶角的性质。

四、如何识别对顶角要准确识别对顶角，需要注意以下几点：首先，必须是两条直线相交形成的角。

其次，对顶角是相对的两个角，而不是相邻的角。

可以通过观察图形，判断哪些角是由两条相交直线产生的，并且相对位置符合对顶角的特征。

五、对顶角与邻补角的区别在学习对顶角的同时，我们还会接触到邻补角的概念。

初中数学什么是对顶角在几何学中，对顶角是指两个交叉的直线上，位于相对位置的两个角。

在本文中，我们将详细介绍对顶角的定义、性质、判定以及与其他角度的关系等内容。

一、对顶角的定义对顶角是指两个交叉的直线上，位于相对位置的两个角。

具体来说，如果两条直线交叉，并且它们的相交点将角分成两对相对的角，那么这两对相对的角就是对顶角。

二、对顶角的性质对顶角具有以下几个重要的性质：1. 对顶角的度数相等。

也就是说，如果两对角是对顶角关系，它们的度数是相等的。

2. 对顶角共享一个顶点。

这意味着两对对顶角有一个公共的顶点。

3. 对顶角的非公共边构成一条直线。

也就是说，对顶角的非公共边延长后可以构成一条直线。

4. 对顶角的补角互为对顶角。

补角是指两个角的度数之和等于180度。

因此，如果两对对顶角的度数之和等于180度，则它们互为补角。

三、对顶角的判定在几何学中，有几种方法可以判定两个角是否为对顶角：1. 使用直尺和量角器：通过直尺和量角器测量两个角的度数，并且确定它们有一个公共的顶点和非公共边构成一条直线，就可以判定为对顶角。

2. 使用角度的性质：如果两个角有一个公共的顶点和非公共边构成一条直线，那么它们是对顶角。

四、对顶角与其他角度的关系对顶角与其他角度之间有一些特殊的关系：1. 对顶角是补角的特殊情况。

如果两对角是对顶角，它们的度数之和等于180度，那么它们互为补角。

2. 对顶角与相邻角的关系：如果两对角是对顶角，并且它们有一个公共的顶点和一条边重合，那么它们互为相邻角。

综上所述，对顶角是几何学中的重要概念，具有特殊的性质和判定方法。

通过对对顶角的定义、性质、判定以及与其他角度的关系的了解，我们可以更好地理解和应用对顶角的知识。

初中数学什么是对顶角的测量方法在初中数学中，对顶角是指两条交叉的直线形成的相对角度。

在本篇文章中，我们将详细介绍对顶角的概念和测量方法。

1. 对顶角的性质：- 对顶角的性质1：对顶角是相等的。

即两条相交的直线形成的对顶角互相对应，它们的度数相等。

- 对顶角的性质2：对顶角的和为180度。

即两条相交的直线形成的对顶角的度数之和为180度。

2. 对顶角的测量方法：- 使用角度测量工具：对顶角的度数可以通过使用角度测量工具如量角器来测量。

将量角器的一个端点放在对顶角的顶点，将量角器的另一个端点对齐对顶角的一条边，然后读取量角器上的度数刻度，即可得到对顶角的度数。

- 利用对顶角的性质计算：如果我们知道一个对顶角的度数，我们可以利用对顶角的性质来计算其他对顶角的度数。

因为对顶角是相等的，所以如果我们知道其中一个对顶角的度数，那么其他对顶角的度数就等于这个已知对顶角的度数。

3. 对顶角的应用：- 解决平行线问题：对顶角的性质是解决平行线问题的重要工具。

如果我们知道两条平行线被一条直线截断所形成的两个对顶角的度数，那么可以利用对顶角的性质来证明这两条线段平行。

- 解决角度计算问题：在解决角度计算问题时，我们可以利用对顶角的性质来计算未知角的度数。

如果我们知道一个对顶角的度数，那么可以通过对顶角的性质来计算其他对顶角的度数，并进一步计算未知角的度数。

通过了解对顶角的性质和测量方法，我们可以更好地理解和应用对顶角的概念。

这将有助于我们解决与平行线和角度计算相关的问题，提高我们的数学能力。

综上所述，对顶角是指两条交叉的直线形成的相对角度，其性质包括相等和和为180度。

我们可以通过使用角度测量工具或利用对顶角的性质来测量和计算对顶角的度数，并应用对顶角的概念来解决平行线和角度计算问题。

理解和应用对顶角的概念对于初中数学的学习和解决几何问题都具有重要的意义。

9.4《对顶角》导学案
一、教学目标
1．理解对顶角的概念，能在图形中辨认．
2．掌握对顶角的性质．经历在数学活动中探索对顶角相等的过程，培养学生的推理和逻辑思维能力．
3．会用对顶角的性质进行有关的推理和计算．
二、重点、难点
1、对顶角的概念和性质．
2、在较复杂的图形中准确辨认对顶角。

三、教具准备
三角尺
四、教学过程
（一）自主学习课本P13-14页内容，思考并讨论：
1.如下图，直线AB、CD 相交于点O，图中共形成了几个角？分别表示出来？
2.下图中有哪些对顶角？
3.什么是对顶角？
4.你能举出生活中对顶角的例子吗？
5.对顶角有什么性质？如何论证？
（二）巩固练习：
1.下列各图中，∠l和∠2是对顶角吗？为什么？（射线OA是活动的）
（三）拓展提升：
把例题中∠1＝40°这个条件换成如下条件，求∠l、∠2、∠3、∠4的度数．
（1）：把∠l＝40°变为∠2－∠1＝40°（2）：把∠1＝40°变为∠2是∠l的3倍（3）：把∠1＝40°变为∠1 ：∠2＝2：9 （4）：把∠1＝40°变为∠1＝平角
（四）达标检测：
（五）课堂小结
这节课你学到了什么？．
五、布置作业
课本第15页习题9.4A组第1、2、3题．。

2019-2020年七年级数学下册 9.4对顶角教案（1） 青岛版【课堂重点】1、如图，两条直线AB 、CD 交于点O ，形成了4个角：∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD .考虑∠AOC 和∠BOD ，它们有一个公共顶点O ，没有公共边，像这样的两个角叫做对顶角.图中除了∠AOC 和∠BOD 是对顶角还有没有其它的对顶角?注：（1）对顶角指的是 2 个角之间的相互关系，正如“互余”、“互补”一样，我们说∠AOC 和∠BOD 是一对对顶角，或者说∠AOC 是∠BOD 的对顶角. (2) 一对相交直线构成2 组对顶角. 2、你能举出生活中有关对顶角的例子吗？3、想一想：如上图，试猜想∠AOC 和∠BOD 的大小关系，并说明理由.由此，我们可以得到什么结论?4、三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ， （1）请画出图形；（2）找出图中有多少对对顶角？分别表示出来.5、议一议：ACODB如图，直线AB、CD相交于点O,OE平分∠AOC，∠AOE=250,你能说出图中哪些角的度数？请与同学交流.6、例题解析例：如图，AB、CD相交于点O, ∠DOE=900, ∠AOC=720,求∠BOE的度数.【课后巩固】1、下列说法正确的是（）A、如果∠1=∠2,则∠1和∠2是对顶角B、如果∠1和∠2有公共的顶点,则∠1和∠2是对顶角C、对顶角都是锐角D、锐角的对顶角也是锐角2、两条直线相交形成_____对对顶角，三条直线相交成_____对对顶角.3、直线AB、CD相交于O，且∠AOC＋∠BOD=120 º，求∠AOC的度数.4、如图，直线AB、EF相交于点D，∠ADC=90 º.（1）∠ADE的对顶角是_____________；∠EDC的余角有__________________ .（2）若∠ADE与∠EDC的度数之比为1：4，求∠CDF、∠EDB的度数.5 ．下列各图中,∠1与∠2是对顶角的是: ECAOBDF EDCB A6．如图，三条直线AB、CD、EF相交于O，若∠BOE=4∠BOD，∠AOF=100°，则∠AOC=（） A．30° B．20°FCC．15° D．25°A BDE【达标测试】一、选择题:(每小题3分,共15分)1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( )12121221A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图1所示,三条直线AB,CD,EF 相交于一点O,则∠AOE+∠DOB+∠COF 等于( • )A.150°B.180°C.210°D.120°OFE D CB A O DCBA 60︒30︒34l 3l 2l 112(1) (2) (3) 3.下列说法正确的有( )①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.如图2所示,直线AB 和CD 相交于点O,若∠AOD 与∠BOC 的和为236°,则∠AOC•的度数为( ) A.62° B.118° C.72° D.59°5.如图3所示,直线L 1,L 2,L 3相交于一点,则下列答案中,全对的一组是( ) A.∠1=90°,∠2=30°,∠3=∠4=60°; B.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=30C.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=60°;D.∠1=∠3=90°,∠2=60°,∠4=30° 二、填空题:(每小题2分,共16分)1. 如图4所示,AB 与CD 相交所成的四个角中,∠1的邻补角是______,∠1的对顶角___.34D CBA 12OFED CB A OE D CBA(4) (5) (6) 2.如图4所示,若∠1=25°,则∠2=_______,∠3=______,∠4=_______.3.如图5所示,直线AB,CD,EF 相交于点O,则∠AOD 的对顶角是_____,∠AOC 的邻补角是_______;若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_______.4.如图6所示,已知直线AB,CD 相交于O,OA 平分∠EOC,∠EOC=70°,则∠BOD=•______.5.对顶角的性质是______________________.6.如图7所示,直线AB,CD 相交于点O,若∠1-∠2=70,则∠BOD=_____,∠2=____.ODC BA 12OE D CBA OE DCBA(7) (8) (9)7.如图8所示,直线AB,CD 相交于点O,OE 平分∠AOC,若∠AOD-∠DOB=50°,•则∠EOB=______________.8.如图9所示,直线AB,CD 相交于点O,已知∠AOC=70°,OE 把∠BOD 分成两部分,• 且∠BOE:∠EOD=2:3,则∠EOD=________. 三、训练平台:(每小题10分,共20分)1. 如图所示,AB,CD,EF 交于点O,∠1=20°,∠BOC=80°,求∠2的度数.OF EDCBA 122. 如图所示,L 1,L 2,L 3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.34l 3l 2l 112四、提高训练:(每小题6分,共18分)1. 如图所示,AB,CD 相交于点O,OE 平分∠AOD,∠AOC=120°,求∠BOD,∠AOE•的 度数.OE CBA2. 如图所示,直线AB 与CD 相交于点O,∠AOC:∠AOD=2:3,求∠BOD 的度数.ODCBA3. 如图所示,直线a,b,c 两两相交,∠1=2∠3,∠2=65°,求∠4的度数.cba3412五、探索发现:(每小题8分,共16分)1. 若4条不同的直线相交于一点,则图中共有几对对顶角?若n 条不同的直线相交 于一点呢?2. 在一个平面内任意画出6条直线,最多可以把平面分成几个部分?n 条直线呢?•六、能力提高:(共10分)已知点O 是直线AB 上一点,OC,OD 是两条射线,且∠AOC=∠BOD,则∠AOC 与∠BOD 是 对顶角吗?为什么?【链接中考】1.（xx 湖南娄底）如图6，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，若∠BOD =100°，则∠AOE =_____.【答案】40°A CBDEO图6【课后巩固】参考答案1、D2、 2 63、60°4、（1）∠BDF ；∠ADE、∠BDF （2）∠CDF=108° ∠EDB=162°5、C6、D 【达标测试】参考答案一、1.A 2.B 3.B 4.A 5.D二、1.∠2和∠4 ∠3 2.155° 25° 155° 4.35° 5.对顶角相等 •6 .125° 55° 7.147.5° 8.42° 三、1.∠2=60° 2.∠4=36°四、1.∠BOD=120°,∠AOE=30° 2.∠BOD=72° 3.∠4=32.5° 五、1.4条不同的直线相交于一点,图中共有12对对顶角(平角除外),n 条不同的直线相交于一点,图中共有(n 2-n)对对顶角(平角除外).2.6条直线最多可以把平面分成22个部分,n 条直线最多可以把平面分成个部分.六、∠AOC 与∠BOD 不一定是对顶角.如图1所示,当射线OC,OD 位于直线AB 的一侧 时,不是对顶角;如图2所示,当射线OC,OD 位于直线AB 的两侧时,是对顶角.(1)D C BA21(2)O CB A$7d( 33018 80FA 胺b< '37930 942A 鐪>39547 9A7B驻)21325 534D 卍。

七年级数学对顶角知识点对顶角是初中数学中的一个基本概念，也是初中数学中必须掌握的一项重要知识点。

本文将从对顶角的定义、性质和应用三个方面对七年级数学对顶角知识点进行全面简要总结。

一、对顶角的定义对顶角，指的是两个角所夹的两条直线相交，使相邻两对角互为补角的一种特殊角。

也就是说，如果一条直线AB同时穿过两条平行直线CD和EF，并且形成的两个角∠ABC和∠DEF互为补角，那么这两个角就是对顶角。

二、对顶角的性质1. 对顶角互为补角对顶角互为补角，也就是说两个对顶角相加等于180度，即∠ABC+∠DEF=180°。

2. 对顶角的度数相等对顶角的度数相等，也就是说∠ABC的度数等于∠DEF的度数。

3. 对顶角的角平分线相交于对边对顶角的角平分线相交于对边，也就是说如果从某个对顶角的顶点分别作出两条角平分线AB和AC，那么这两条角平分线AB和AC将分别与对边DE和EF相交于两点G和H，点G和H重合于点I，即GI=IH=AI。

三、对顶角的应用1. 解线性方程对顶角常常被用于解线性方程，如果将某个角的度数表示成x 度，则这个角对应的对顶角的度数为(180-x)度。

如果两个对顶角的度数之和为180度，则可以列出一个简单的线性方程来求解未知数。

例如：对顶角∠ABC和∠DEF，已知∠ABC的度数为x，那么∠DEF的度数为(180-x)度。

如果∠ABC和∠DEF互为补角，则有x+(180-x)=180，化简后得到x=90，所以∠ABC的度数为90度，∠DEF的度数为90度。

2. 计算图形的面积对顶角也常常被用于计算图形的面积。

例如，以下图形其中一侧为直线AB。

假设直线AB将图形分为两个部分，而∠CBE和∠DCE是对顶角，则可以通过对顶角的性质计算出图形的面积。

假设图形的面积为S，则有：S= △ABC + △CDE=(1/2)×AB×BC + (1/2)×AB×DE= (1/2)×AB×(BC+DE)= (1/2)×AB×CD因此，图形的面积等于底边AB与高CD的乘积的一半。

《对顶角》知识清单一、对顶角的定义在几何学中，对顶角是一个非常重要的概念。

如果两个角的两条边分别互为反向延长线，那么这两个角就被称为对顶角。

简单来说，当两条直线相交时，会形成四个角，其中相对的两个角就是对顶角。

例如，直线 AB 和直线 CD 相交于点 O，形成了四个角：∠AOC、∠BOC、∠AOD 和∠BOD，其中∠AOC 和∠BOD 就是一对对顶角，∠AOD 和∠BOC 也是一对对顶角。

二、对顶角的性质对顶角具有一个重要的性质，那就是对顶角相等。

这是因为两条相交直线形成的四个角中，相邻的两个角互补（两角之和为 180 度），而对顶角是不相邻的两个角，所以它们的度数相等。

例如，在上述直线 AB 和直线 CD 相交的例子中，因为∠AOC 和∠BOC 互补，∠BOD 和∠BOC 也互补，所以∠AOC ＝∠BOD。

同理，∠AOD ＝∠BOC。

三、对顶角性质的证明为了证明对顶角相等，我们可以利用平角的定义和补角的性质。

以∠AOC 和∠BOD 为例，因为直线 AB 和直线 CD 相交于点 O，所以∠AOB 是一个平角，即∠AOB ＝ 180 度。

又因为∠AOC ＋∠BOC ＝ 180 度（平角定义），∠BOD ＋∠BOC ＝ 180 度（平角定义），所以∠AOC ＝ 180 度∠BOC，∠BOD ＝ 180 度∠BOC，从而得出∠AOC ＝∠BOD。

同理可证∠AOD ＝∠BOC。

四、对顶角在实际问题中的应用对顶角的概念和性质在解决几何问题和实际生活中的测量问题中有着广泛的应用。

1、几何证明在几何证明中，当需要证明两个角相等时，如果这两个角是对顶角，就可以直接利用对顶角相等的性质来得出结论。

2、测量角度在实际测量中，如果无法直接测量某个角的度数，但可以测量其对顶角的度数，那么就可以通过对顶角相等的性质来得到所需角的度数。

3、建筑设计在建筑设计中，工程师需要考虑角度的关系，对顶角的知识可以帮助他们确定建筑物结构中某些角度的相等关系，以保证设计的合理性和稳定性。

《对顶角》讲义一、什么是对顶角在几何图形中，两条直线相交会形成四个角，其中不相邻的两个角就叫做对顶角。

比如，我们画两条相交的直线 AB 和 CD，交点为 O，那么形成的四个角分别是∠AOC、∠AOD、∠BOC 和∠BOD。

其中，∠AOC 和∠BOD 就是一对对顶角，∠AOD 和∠BOC 也是一对对顶角。

对顶角的一个重要特征就是它们的角度大小是相等的。

这是因为两条直线相交时，相对的两个角所对应的旋转量是相同的。

二、对顶角的性质1、对顶角相等这是对顶角最重要的性质。

无论两条相交直线的位置和方向如何变化，只要它们相交形成对顶角，那么对顶角的度数一定相等。

例如，在一个复杂的几何图形中，如果我们能够证明两个角是对顶角，那么就可以直接得出它们的角度相等，这为解决很多几何问题提供了重要的依据。

2、对顶角是成对出现的每次两条直线相交，都会形成两对对顶角，它们是相互对应的。

三、对顶角的证明我们可以通过简单的几何推理来证明对顶角相等。

因为两条直线相交，形成了一个平角，也就是 180 度。

以∠AOC 和∠BOD 为例，因为直线 AB 是一条直线，所以∠AOC ＋∠BOC ＝ 180°；同理，直线 CD 也是一条直线，所以∠BOD ＋∠BOC ＝ 180°。

由此可以得出，∠AOC ＝ 180°∠BOC，∠BOD ＝ 180°∠BOC，所以∠AOC ＝∠BOD。

同理可以证明∠AOD ＝∠BOC。

四、对顶角在实际问题中的应用1、测量角度在实际的测量工作中，如果我们无法直接测量某个角的度数，但可以通过找到它的对顶角，然后测量对顶角的度数来间接得到这个角的度数。

2、解决几何证明题很多几何证明题中，会涉及到对顶角的性质。

通过证明两个角是对顶角，从而得出它们相等的结论，进一步推导出其他相关的结论。

3、建筑和工程设计在建筑和工程设计中，对顶角的概念和性质也常常被运用。

比如在确定建筑物的角度、管道的走向等方面。