推荐学习K12高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.5排列组合的综合问题课堂导学案新人教A版

试卷+教案+习题
试卷+教案+习题 1.2.2 组合
课前引导
问题导入
平面内有10个点，其中任何3个点不共线，以其中任意两个点为端点的
（1）有向线段有多少条？
（2）线段有多少条？
思路分析：（1）所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有210A =10×9=90（条），
即以10个点中的2个点为端点的有向线段共有90条.
（2）所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有210C =12910⨯⨯=45（条）， 即以10个点中的2个点为端点的线段共有45条.
知识预览
1.（1）定义：从n 个不同元素中取出m （m≤n）个元素，_____________叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
（2）组合数：从n 个不同元素中取出m （m≤n）个元素的_____________个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示.
（3）计算公式：m n C =
)(m n A =__________=__________.由于0！=__________，所以
0n C =__________. 答案：并成一组 所有组合 1)1()1)(1( -+--m m m n n n A m m
)!
(!!m n m n -! 1 1 2.组合数的性质
（1）m n C =__________. （2）m n C 1+=__________+__________.
答案：m n n C - m n C 1-m n C。

第2课时排列的综合应用学习目标：1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点)2.能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)[自主预习·探新知]1．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n －m！(n，m∈N*，m≤n)A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！(叫做n的阶乘)另外，我们规定0！＝1.2．排列应用题的最基本的解法(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)．(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数．3．解简单的排列应用题的基本思想[基础自测]1．从n个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派的种数为72，则n的值为( )A．6 B．8C．9 D．12C[由A2n＝72，得n(n－1)＝72，解得n＝9(舍去n＝－8)．]2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________.【导学号：95032035】48[从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A34种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A34＝48个．] 3．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．24[把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A44＝24种．]4．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．186[可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数，两者相减即得结果．A37－A34＝186(种)．][合作探究·攻重难]同的送法？(2)有5种不同的书(每种不少于3本)，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？【导学号：95032036】[思路探究](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．[解](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A35＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．1．将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．720[问题相当于从10个人中选出3个人，然后进行全排列，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A310＝10×9×8＝720.](1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置．(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边．(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起．(4)全体排成一行，男、女各不相邻．(5)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变．(6)排成前后二排，前排3人，后排4人.【导学号：95032037】[思路探究] 分析题意，确定限制条件→先排特殊位置或特殊元素→再排其它元素[解] (1)元素分析法：甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择．有A 13种，其余6人全排列，有A 66种．由分步乘法计数原理得A 13A 66＝2 160种．(2)位置分析法：先排最左边，除去甲外，有A 16种，余下的6个位置全排列有A 66种，但应剔除乙在最右边的排法数A 15A 55种．则符合条件的排法共有A 16A 66－A 15A 55＝3 720种．(3)捆绑法：将男生看成一个整体，进行全排列有A 33种排法，把这个整体看成一个元素再与其他4人进行全排列有A 55种排法，共有A 33A 55＝720种．(4)插空法：先排好男生，然后将女生插入排男生时产生的四个空位，共有A 33A 44＝144种．(5)定序排列用除法：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N ，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此有A 77＝N ×A 33，∴N ＝A 77A 33＝840种． (6)分排问题直接法：由已知，7人排在7个位置，与无任何限制的排列相同，有A 77＝5 040种．注意：解(6)时易出现A 33A 44的错误，其主要原因是排列的概念理解不深刻．[规律方法]1．排队问题中的限制条件主要是某人在或不在某位置，可采用位置分析法或元素分析法进行排列．对相邻、相间、定序、分排等常见问题的解法应记住．2．元素相邻和不相邻问题的解题策略2．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间，乙必在两端；(2)甲不在左端，乙不在右端；(3)男、女生分别排在一起；(4)男女相间；(5)男生不全相邻．[解] (1)优先安排特殊元素．乙的站法有2种，甲的站法有7种，其余随便站，共有：2×7×A77＝70 560种(2)按甲在不在右端分类讨论．甲站右端的有：A88种；甲不在右端的有：7×7×A77种；共有：A88＋7×7×A77＝A77×(8＋49)＝287 280种．(3)(捆绑法)A22·A44·A55＝5 760种．(4)(插空法)先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有A44·A55＝2 880种排法．(5)(排除法)9人全排列再减去4名男生全部相邻的情况，有A99－A44·A66＝345 600种．1．偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？[提示]偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(种)不同的偶数．2．在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?[提示]在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？(3)不大于4310的四位偶数.【导学号：95032038】[思路探究]这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．[解](1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A13种填法，第二步再填十万位，有A14种填法，第三步填其他位，有A44种填法，故共有A13A14A44＝288(个)六位奇数．法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A14种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A13种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A44种排法，故共有A14A13A44＝288(个)六位奇数．法三：排除法6个数字的全排列有A66个，0,2,4在个位上的六位数为3A55个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A44个，故满足条件的六位奇数共有A66－3A55－3A44＝288(个)．(2)法一：排除法0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A55个，0在十万位且5在个位的六位数有A44个．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．法二：直接法十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类：第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A55个．第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有A14A14A44个．故共有符合题意的六位数A55＋A14A14A44＝504(个)．(3)用直接法①当千位上排1,3时，有A12·A13·A24个．②当千位上排2时，有A12·A24个．③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A13个；形如41××的有A13·A12个，形如43××的只有4 310和4 302这两个数．故共有A12·A13·A24＋A12·A24＋2A13＋A12·A13＋2＝110(个)．1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )A．36 B．120C．720 D．240C[由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720.]2．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A．240种B．360种C．480种D．720种C[先排甲，有4种方法，剩余5人全排列，有A55＝120种，所以不同的演讲次序有4×120＝480种．]3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．144[先排奇数位有A44种，再排偶数位有A33种，故共有A44A33＝144个．]4．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．24[分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A22＝2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A33＝6种排法．则共有2×2×6＝24种排法．]5．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？[解]法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有A45种参赛方案；第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A35种方法，此时有2A35种参赛方案．由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A45＋2A35＝240种．法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A25种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A24种方法．由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A25A24＝240种．。

1.2.2组合教学目标：1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；2.能正确认识组合与排列的联系与区别 教学重点：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式第一课时一、复习引入：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示5．排列数公式：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）6阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=． 7．排列数的另一个计算公式：mn A =!()!n n m -8.提出问题：示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．．． 二、讲解新课：1组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 例1．判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？ 问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？ （2）什么样的两个组合就叫相同的组合2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 例2．用计算器计算710C ． 解：由计算器可得例3．计算：（1）47C ； （2）710C ；（1）解： 4776544!C ⨯⨯⨯=＝35；（2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120． 第二课时3．组合数公式的推导：（1）从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcddca cda adc dac cad acd acddbabda adb dab bad abd abd cba bca acb cab bac abc abc,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A，所以，333434A A C =．（2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步： ① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数mm A ，根据分步计数原理得：mn A ＝mn C mm A ⋅． （3）组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+== 或)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且规定: 01n C =. 三、讲解范例：例4． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问： (l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） .(2）教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有1117C 种选法； 第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有111C 种选法． 所以教练员做这件事情的方法数有1111711C C ⨯=136136（种）.例5．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？ (2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有 2101094512C⨯==⨯（条）. (2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有21010990A =⨯=（条）.例6．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 . (1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有31001009998123C⨯⨯=⨯⨯= 161700 （种）.(2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有298C 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12298C C ⋅=9506(种).(3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有12298C C ⋅种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有12298C C ⋅+21298C C ⋅=9 604 （种） .解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即3310098C C -=161 700-152 096 = 9 604 （种）.说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。

2018-2019学年高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 第2课时组合的综合应用高效演练新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 第2课时组合的综合应用高效演练新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第2课时组合的综合应用A级基础巩固一、选择题1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( ）A．72种B．84种C．120种D．168种解析：需关掉3盏不相邻的灯,即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中，所以关灯方案共有C错误!＝120（种）．故选C.答案:C2．6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛,其中甲不能站第二道也不能站第一道,乙必须站在第五道或第六道，则不同的排法种数共有( ）A．144 B．96 C．72 D．48解析:先为乙选一道C错误!，再为甲选一道C错误!，余下4个人有A错误!，则共有C错误!C错误! A44＝144。

答案：A3．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种,在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种,则不同的试种方法有( ）A．24种 B．18种 C．12种 D．96种解析：从3块不同的土地中选1块种1号种子，有C错误!种方法，从其余的3种种子中选2种种在另外的2块土地上，有A错误!种方法，所以所求方法有C错误!A错误!＝18(种)．答案：B4．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的2个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A．10种 B．20种 C．36种 D．52种解析：根据2号盒子里放球的个数分类：第一类，2号盒子里放2个球，有C错误!种放法，第二类,2号盒子里放3个球，有C错误!种放法，剩下的小球放入1号盒中，共有不同放球方法C24＋C错误!＝10(种)．答案：A5．一副扑克牌去掉两张王后还有52张，将牌发给4个人，每人13张，则某人获得的13张牌中花色齐全的情况数为（)A．(C错误!）4C错误!B．C错误!－4C错误!－6C错误!－4C．C13，52－C错误!C错误!＋C错误!C错误!－C错误!C错误!D．C错误!－C错误!C错误!＋C错误!C错误!解析：从52张牌中任意取出13张牌的全部取法为C错误!,缺少某一中花色的取法为C错误!,缺少两种花色的取法为C错误!，缺少三种花色的取法为C错误!，则四种花色齐全的取法为C错误!－C错误!C错误!＋C错误!C错误!－C错误!C错误!。