YALE 韦达定理及其应用LECTURE NOTES

第4讲、韦达定理1、定理内容对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b cx x x x a a+=-=。

注：①韦达定理研究的是一元二次方程根和方程系数之间的关系；②定理成立的条件：判别式240b ac ∆=-≥即方程有解的情况下（个数不要求）；③方程要先化为一般式；④1212,b cx x x x a a+=-=负号不要忘。

2、证明过程先由公式法求出一元二次方程一般式20(0)ax bx c a ++=≠的两根12,x x ，即42b x a-±=；再计算12x x +、12x x ⋅的值即可。

3、推论：（1）以根12,x x 的一元二次方程可表示为21212()0x x x x x x -++⋅=或0))((21=--x x x x 。

（2）若一元二次方程首项系数为1（20x px q ++=）的两根为12,x x ，则1212,x x p x x q +=-⋅=。

4、韦达定理的应用（1）判定根的符号①若120c x x a ⋅=>，120bx x a +=->则：两根同正，120,0x x >>；②若120c x x a ⋅=>，120bx x a +=-<则：两根同负，120,0x x <<；③若120c x x a ⋅=<，120bx x a +=->则：两根异号，12,x x 一正一负；①若120c x x a ⋅=<，120bx x a+=-<则：两根异号，12,x x 一正一负。

注意：求与方程的根有关代数式的值时，一般先将所求的形式化为两根之和积的形式再整体代入。

第七讲 韦达定理.,,)0(0,2121221ac x x a b x x a c bx ax x x =-=+≠=++则的两实根是一元二次方程 是隐含条件其中04(2≥-ac b ）叫一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．韦达逆定理：以两个数x 1和x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2-(x 1+x 2)x+ x 1x 2=0 一、已知方程的一根求方程的另一根及另一个根。

，求的一根为的方程：设关于例m mx x x 2106412-=-+例2、方程s r s x x r x x -=-+=-⨯-求较小根为的较大根是,019911990,01199219901991222。

二、求二次方程根的同次幂的和、差的值例3、已知方程05322=--x x 的两根为221424121222121))(4(;)3(11)2(:)1(.,x x x x x x x x x x -+++求例4、如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么baa b +的值为( )A ．22123B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或2例5.已知a 、b 是方程x 2+2x-1=0的两实根,则a 2-a-3b 的值为 .注：应用韦达定理求代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式．三、根据已知条件作出一元二次方程例6、以-5和2为根的一元二次方程是 。

例7、已知一个一元二次方程的两根比方程01222=--x x 的两个根的2倍都小1，写出这个一元二次方程。

四、根据已知条件确定方程中的参数 例8、试确定的m 值,使一元二次方程;07)12(82=-++-m x m x（1）两根互为倒数；（2）两根互为相反数; (3)有一根为0： （4）两根同为正数例9．设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x + 有最小值?并求出这个最小值．注：应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性．例10、 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根． (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．同步练习1、 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．2、已知关于x 的方程01)1(2=++--k x k x 的两个实数根的平方和等于4，实数k的值为 。

第3讲 韦达定理没有不能解决的问题. ——韦达知识方法扫描韦达定理，即一元二次方程的根与系数的关系，是方程理论的一个重要的内容。

运用这个定理，我们可以不解方程，就可以确定根的符号、可以求出关于两根的对称式的值，可以构造以某两个数为根的一元二次方程等等在运用韦达定理解题时，首先要注意运用判别式判断这个方程有没有实数根。

必要时要将韦达定理与判别式综合运用。

要掌握将一个关于两根的对称式如x 1n +x 2n 转化为两个基本对称式x 1+x 2与x 1x 2 的方法。

在求关于两根的非对称式的值时，除了运用根与系数的关系得关系外，还要注意运用根的定义来解题。

经典例题解析例1（1999年全国初中数学竞赛试题）设实数s 、t 分别满足19s 2+99s+1=0，t 2+99t+19=0, 并且st≠1。

求41st s t++的值 解 因为s≠0，所以，第一个等式可以变形为 019)1(99)1(2=++ss又因为st≠1, 所以s1，t 是一元二次方程x 2+99x+19=0的两个不同的实根，于是，有,191,991=∙-=+t st s 即st+1=-99s, t=19s. ∴51949914-=+-=++sss t s st . 例2（浙江省第二届初中数学竞赛题）设方程x 2+px+q=0的两实数根为a 、b ，且有I 1=a+b, I 2=a 2+b 2, …I n =a n +b n , 求当n≥3时，I n +pI n-1+qI n-2的值。

分析 直接求解犹如“海底捞针”，若利用方程根的意义求解，不仅能以简驭繁，且有出奇制胜之妙，我们知道x=x 0是方程ax 2+bx+c=0的根2000ax bx c ⇔++=，利用它显得思路清晰，运算简捷。

解 I n +pI n-1+qI n-2=(a n +b n )+p(a n-1+b n-1)+q(a n-2+b n-2) (n≥3) =(a n +pa n-1+qa n-2)+(b n +pb n-1+qb n-2) =(a 2+pa+q) a n-2 +(b 2+pb+q)b n-2 =0+0=0. 例3（1995年第八届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题）已知α、β是方程x 2-7x+8=0的两根，且α＞β，不解方程利用根与系数的关系，求232βα+的值分析 待求式是已知一元二次方程根的非对称式，我们可以设法构造一个待求式相应的代数式一起参与运算，从而使问题迅速获得解决解 设22223,3,A B βααβ+=+=∵α、β是方程x 2-7x+8=0的两根，且α＞β， ∴α+β=7，αβ=8，β-α=-174)(2-=-+αββα ∴A+B=222233βααβ+++=αβαβ)(2++3[（β+α）2-2αβ]=4403① A-B=223232αββα--+=17485))((3)(2-=-++-αβαβαβαβ ② ①+②得：2A=,174854403- ∴A=178858403-故178858403:322-+的值为βα 例4 (2003年山东省初中数学竞赛试题)设方程20022x 2-2003·2001x-1=0的较大根是r ，方程2001x 2-2002x+1=0的较小根是s ，求r-s 的值.解 因20022-2003·2001-1=0，故1是方程20022x 2-2003·2001x-1=0的根，由根与系数的关系知两根之积为负，所以1是方程20022x 2-2003·2001x-1=0的较大根,r=1.因2001x 2-2002x+1=0, 故1也是方程2001x 2-2002x+1=0的根，由根与系数的关系知两根之积为12001，所以12001是方程的较小根s=12001.故r-s=1-12001=20002001. 例5 (2004年全国初中数学竞赛预选赛湖北赛区试题)已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某项系数的符号，误求得两根为-1和4，求23b ca +的值.解 甲看错了二次项系数，设他所解的方程为a′x 2+bx+c=0，于是有：24'b a +=- 24'ca ⨯=，故34bc-= ① 设乙看错了一次项系数的符号，则他所解的方程为ax 2-bx+c=0.于是-1+4=ba. ②由①，②知，△=b 2-4ac=b 2-4·3b ·(43-b)= 259b 2≥0，与题设矛盾.故乙看错的只是常数项，即他所解的方程为ax 2+bx-c=0，则-1+4=ba- ③由①，③可知：232426b c b b ba a a+-==-= 例6 (2003年全国初中数学竞赛预选赛黑龙江预赛试题)设a 2+2a-1=0，b 4-2b 2-1=0,且1-ab 2≠0，求22200421()ab b a a+-+的值。

摘要初等代数是研究数学的代数运算的理论和方法，比如，研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科.初等代数研究主要的内容是解方程，因而长期以来都把代数学理解成方程的科学.高等代数在初等代数的基础上进一步扩充研究对象和研究范围，从最简单的一元二次方程开始，更深层的继续讨论三次、四次方程以及高次方程，探索一元高次方程的求解方法.韦达定理是初等代数中最重要的内容之一，它揭示了一元二次方程中根与系数的基本关系.本文将从韦达定理在一元二次方程中的简单应用，初步讨论一元二次方程根与系数的基本关系，然后利用高等代数中的多项式理论将其推广到一元高次方程中，重点讨论一元高次方程中根与系数的关系，并介绍它在数学中的若干应用.关键词：代数方程；初等数学；韦达定理的推广；根与系数的关系；韦达定理AbstractElementary algebra is the theory and method that studies the algebraic operation of mathematics. For example, it studies the real number and the complex number, as well as the mathematics branch discipline of the theory and method of the polynomial algebraic operation that takes the real number and complex number as the coefficient. The main content of the Elementary algebra research is to solve equation and thus algebra has been interpreted as the science of equations for a long time. Advanced algebra in the elementary algebra on the basis of the further expansion of the research object and research scope. Starting from quadratic equation that is the most simple, deeper continues to discuss three, four equations and equations of higher, and explores the solution method of high-order equations method with one unknown.Veda’s theorem is one of the most important elemen ts in the Elementary in the Elementary Algebra and it reveals the basic relations between the root and the coefficient in quadratic equation with one unknown. From the simple application of the Veda’s theorem in quadratic equation, this article will preliminarily discuss the relationship between the root and the coefficient of quadratic equation, and then promotes it high-order polynomial equation by using the polynomial theory in higher algebra. It focuses on the discussion of the relationship between the root and coefficient of equation with high-order polynomial equation, induction the general form of Veda’s theorem in the equation with one unknown, finally introduced several applications in some areas of mathematics.Keywords:Algebraic equation; Elementary Mathematics; The promotion of Veda’s theorem; R elationship between the roots and coefficients; Veda’s theorem;目录摘要 (I)Abstract (II)第一章前言 (1)第二章韦达定理概述及简单应用 (2)第一节韦达定理概述 (2)第二节韦达定理的简单应用 (2)第三章韦达定理的推广及其若干应用 (6)第一节韦达定理的推广 (6)第二节推广的韦达定理的若干应用 (9)致谢 (13)参考文献 (14)第一章前言一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，在方程论中有着重要的应用，利用它可以进一步讨论方程的根的性质，也可把一些数学问题转化为一元二次方程来讨论.前人研究的主要内容是对韦达定理的各种证明及证明方法，以及韦达定理在一些一元二次方程、一元三次方程中的简单应用，并对韦达定理作了一定的推广，并广泛应用于数学的某些分支学科，在方程论的研究中起到了积极的作用.本文研究的主要内容是韦达定理的推广，借鉴前人的一些研究经验和成果，进而用高等代学中的多项式理论进行研究，推广并证明韦达定理的推广.韦达定理说明了一元二次方程中根与系数之间的关系，本文第二章介绍韦达定理的基本理论及其在一元二次方程中的简单应用，第三章第一节进一步讨论韦达定理并将其推广到一元()1n n≥次方程中，进而推广证明一元高次方程中根与系数的关系，第二节主要介绍韦达定理的推广理论在一元高次方程中的若干应用，进一步拓展说明推广的韦达定理在解决一元高次方程问题中的作用和意义.第二章 韦达定理概述及简单应用第一节 韦达定理概述据历史记载，在韦达那个年代，有一个部落给数学家提出了一个45次方程，各国数学家互相挑战.法国国王便将这个充满挑战的问题交给了弗朗索瓦·韦达(Veda's formulas)，韦达当即就得出了一个正根，再由他研究了一晚上就得出了23个正根（另外的22个负根被他舍了），消息随即传开，让当时整个数学界都为之震惊.他阶梯式发现方程的根似乎与某些系数有关联，因此他就对此进行了一系列的研究，不久以后并发现了伟大的韦达定理.韦达定理[]1：在一元二次方程20ax bx c ++=中，当240b ac -≥时，方程的两根12,x x 满足如下关系:12b x x a +=-,12cx x a⋅=.韦达定理的逆定理[]1：如果12,x x 满足12bx x a +=-,12c x x a⋅=，那么12,x x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个根.第二节 韦达定理的简单应用韦达定理在的应用非常广泛，主要体现在初等代数、解三角形、解析几何等方面，下面简单介绍几个例子.例1、若12,x x 是2540x x +-=的两个根，试求2212x x +.解析 因为12,x x 是方程2540x x +-=的两个根，由韦达定理可知12125,4.x x x x +=-⎧⎨⋅=-⎩ 因此()()()2222121212252425833.x x x x x x +=+-⋅=--⨯-=+=归纳 此类问题的关键是所求的代数式进行变形，化为含有12x x +与12x x ⋅的代数式，然后把12x x +与12x x ⋅的值作为一个整体代入该代数式计算即可.例2、已知△ABC 的边长分别为,,a b c 且a b c >>，2b a c =+，b 为正整数，若22284a b c ++=，求b 的值[]2.解析 根据题意得2,b a c =+○122284.a b c ++= ○2○2可变换为 ()22284a b ac b +-=- ○3将○1代入○3得25842b ac -= ○4由○1○4得22,584.2a cb b ac +=⎧⎪⎨-=⎪⎩根据韦达定理的逆定理可知，a c 、是关于x 的一元二次方程22584202b x bx ---=的两个不等的实根.则必有2220,584=4425840.2a b c b b b ⎧⎪>>⎪-⎪∆-⨯>0,⎨⎪⎪->⎪⎩ 解得216b <<28，又b 为正整数，因此5b =.归纳 本题看似非方程问题，但是经过转化变形也就变成关于方程的数学问题了.巧妙地应用韦达定理，可以使问题简单化.例3、顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线，被直线21y x =+求此抛物线方程[]2.分析：根据题意得知，该问题与直线和抛物线方程都有关系，可以联立方程组解决问题.解 设抛物线方程为22y px =，由题意得22,2 1.y px y x ⎧=⎨=+⎩ 消去y 得()242210.x p x +⨯-+=由韦达定理得12122,21.4p x x x x -⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 于是有=解得2p =-或6p =.故抛物线方程为24y =-或212y =.归纳 本题由联立方程组，消去一个未知量，也就得到了一个一元二次方程，自然就联想到根与系数的关系了.例4、求所有实数k ，使一元二次方程()()2110kx k x k +++-=的根都是整数. 分析：本题是含有参数一元二次方程，所以要进行必要的讨论，根据一元二次方程根的情况可知，根与系数是有关系的，那么应用韦达定理也就可以解决问题了.解 ()1当0k =时，原方程为1x =，则0k =满足条件；()2当0k ≠时，根据方程的根的个数可知()()22=1413610.k k k k k ∆+-+=-++≥即11k -≤≤+ 设方程的两根为12,x x ，则由韦达定理可知1212111,111.k x x k kk x x k k +⎧+=-=--⎪⎪⎨-⎪⋅==-⎪⎩由两式相减得12122,x x x x +-⋅=-那么我们可以得到()1212112 3.x x x x ⋅-++=+=即()()121113x x --=⨯，所以1112222111,13,13,13,1 3.1 1.1 1.1 1.x x x x x x x x -=-=-=--=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-=-=-=--=-⎩⎩⎩⎩ 126x x +=或12x x +=-2.讨论,当126x x +=时，116k --=，此时1;7k =- 当122x x +=-时，112k--=-，此时 1.k =因为k 的值满足题意，即11117<-<<+ 因此17k =-或1k =综上所述，k 的值为0、17-或1.第三章 韦达定理的推广及其若干应用第一节 韦达定理的推广代数基本定理[3]：在复数域里，一元()1n n ≥次方程至少有一个根.多项式定理[3]：在复数域中，任何()1n n ≥次多项式恰有n 个根（重根按重数计）.设()f x 是一元()1n n ≥多项式，那么()0f x =叫做一元n 次方程，一元n 次方程的一般形式是()1201210nn n n n f x a x a xa x a x a ---=+++++=(其中00,a n N ≠∈).当3n ≥时,称为一元高次方程[]3.根据代数基本定理可知，任何一元()1n n ≥次方程，在复数集中至少有一个根.由多项式定理可知，在复数域中,任何()1n n ≥次多项式必有n 个根.根据第二章所述韦达定理在一元二次方程中的基本形式，先作以下猜想： 在一元n 次方程()1201210n n n n n f x a x a x a x a x a ---=+++++=（其中00,3,a n n N ≠≥∈）中，方程的n 个根1231,,,,,n n x x x x x -有如下关系：（3.1） ()()112310212233421103123234345321210111231234012310,,,1,1.n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n a x x x x x a a x x x x x x x x x x a a x x x x x x x x x x x x x x x a a x x x x x x x x a a x x x x x a -------------⎧+++++=-⎪⎪⎪+++++=⎪⎪⎪+++++=-⎪⎨⎪⎪⎪+=-⎪⎪⎪=-⎪⎩那我们接下来就试着用多项式的相关理论推导证明，在一元高次方程中根与系数的关系（3.1）是否存在.设有一元()1n n ≥次多项式()12121nn n n n f x x a xa x a x a ---=+++++ （3.2），在复数域上，()f x 必有n 个根（重根按重数计），设12,,n x x x 为()f x 的n 个根，由多项式定理可知，在复数域中，()f x 一定可以分解成有n 个一次因式的乘积，即()()()()()()1231n n f x x x x x x x x x x x -=-----.[]2 （3.3）将（3.3）的右端展开并合并同类项，然后将其各次项的系数与（3.2）右端的各项系数相比较，得出如下关系：()112;n a x x x =-+++ 212131;n n a x x x x x x -=+++()312312421;n n n a x x x x x x x x x --=-+++()()11121231;n n n n a x x x x x x ---=-⋅+⋅()121.n n n a x x x =-其中第m ()1,2,,m n =个等式的右端是一切可能的m 个根的乘积之和再乘以(1)m -.[]3由以上结论可得，若在多项式()120121n n n n n f x a x a x a x a x a ---=+++++ （3.4）中，首项系数01a ≠（且00a ≠），与（3.2）的各项系数相比可知，只要把（3.4）中各项的系数都乘以1a 就变成了（3.2）的形式了，根据多项式的有关性质可知，变化之后多项式的根是不会改变，这时多项式的根与系数的关系变化成如下形式：()1120;n a x x x a =-+++2121310;n n a x x x x x x a -=+++()3123124210;n n n a x x x x x x x x x a --=-+++()()11121231;n n n n a x x x x x x a ---=-+()1201.nn n a x x x a =-在一元n ()n ≥3次方程中，设1231,,,,n n x x x x x -方程122012210n n n n n n a x a x a x a x a x a ----++++++= ()00a ≠ （3.5）的n 个根，根据上述推导结论，可得出如下结论：11230;n a x x x x a ++++=-2122310;n n a x x x x x x a -+++=3123233345210;n n n a x x x x x x x x x x x x a --++++=-()11121231;n n n n a x x x x x x a ---+=- ()123101.nnn n a x x x x x a -=- 因此，（3.1）成立.这就是韦达定理在一元高次方程中的基本形式，因此韦达定理同样适用于一元高次方程.[]2前面所讲的内容知道，韦达定理在一元二次方程和一元高次方程中是同样适用的，那么在一元一次方程中是否也同样适用呢？设有一元一次方程01=0a x a +（其中00a ≠），则方程的根x 满足如下关系：1a x a =-这就是一元一次方程中根与系数的关系，即韦达定理在一元一次方程中的形式，因此韦达定理同样适用于一元一次方程.综合韦达定理在一元一、二次方程的形式及其推广到一元高次方程中的基本形式，可以得出韦达定理在一元()1,n n n N ≥∈方程中的一般形式.韦达定理的推广：在一元()1n n ≥次方程122012210n n n n n n a x a x a x a x a x a ----++++++= (00a ≠)中，一般情况下，方程的n 个根1231,,,,,n n x x x x x -满足如下关系：11230;n a x x x x a ++++=-212233410;n n a x x x x x x x x a -++++=3123234345210;n n n a x x x x x x x x x x x x a --++++=-()11121231;n n n n a x x x x x x a ---+=- ()123101.nnn n a x x x x x a -=- 这就是韦达定理的推广,即一元()1n n ≥次方程中根与系数的关系.第二节 推广的韦达定理的若干应用推广的韦达定理主要应用于求一元高次方程中根与系数的关系，巧妙地运用这种代数关系可以为乏味的数学学习带来很多兴趣，同时也为解题提供许多方便，广泛应用于高等代数、解析几何、方程论和多项式等数学的诸多领域.下面仅举一些例子以示说明，更多的应用还有很多.例5、已知方程3214131890x x x --+=的三个根的倒数成等差数列，解这个方程[]5.解析 根据题意可知方程()3291813140f x x x x =--+=的三个根成等差数列，不妨设这三个根分别是,123,,x x x （其中12x x a =-，32x x a =+），由推广的韦达定理可得123232x x x x ++==，解得223x =.由()()()()232347137f x x x x x x ÷-=--=+-，可知()0f x =的另外两个根是11x =-，37.3x =因此，原方程的根是23，1-与73. 例6、解方程()()()267341=6x x x +++.解析 原方程可化为()()()267686672x x x +++=. 设()267a x =+，()()()26866671b x x x =++=+-，显然有()()1,72.a b a b +-=⎧⎪⎨⋅-=-⎪⎩ 应用韦达定理的逆定理，可构造一元二次方程2720y y --=，则a ，b -为该方程的两个根.解得8y =-或9y =，由于()2670a x =+≥，所以9a =，8b -=-.即()2679x +=，即()()32350x x ++=，解得123x =-，253x =-.因此原方程的根为25,.33--例7、已知方程54322782650x x x x x -+-++=有两个根是2i -，i ，解此方程[]4. 分析：该题为已知两个根，求方程的余下的根，因此可应用韦达定理求解.解 由于实系数方程的非实复根成对出现且有相同的重数，故2i +，i -也是此方程的根.由根的个数定理可知此方程有5个根，不妨设第5个根为5x ，则有()()()()()()522.f x x i x i x i x i x x =---+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦由韦达定理可知()()()()5551222i i i i x =-⋅-⋅+⋅⋅-⋅ 解得51.2x =-故原方程的5个根分别为12,,2i i ±±-.例8、若方程()65432175735162417640f x x ax x x x x c =++-+-+=的6个根分别为1,2,3,4,5,6，求a 和c 的值.解析 设123456,,,,,x x x x x x 为方程()0f x =的6个根，由推广的韦达定理得12345612345612345621,123456720.x x x x x x a x x x x x x c +++++=-=+++++=⋅⋅⋅⋅⋅==⨯⨯⨯⨯⨯=因此，21a =-和=720c .归纳 本题为6次方程，系数也很大，初看好像只有一种办法，那就是将()()()()()()()1234560f x x x x x x x x x x x x x =------=展开然后比较系数得出答案，这是一个非常巨大的体力工作，如果巧妙地运用推广的韦达定理，便能很快求出所需答案.例9、已知()31f x x x =++为一个三次多项式，()g x 也是一个三次多项式，满足()01g =-，且()0g x =得三个根恰好是()0f x =的三个根的平方，求()9g 的大小.解析 设123,,x x x 为方程32+010x x x ++=的三个根，由韦达定理知1231223311230,1,1.x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩ 则有()()()()()()()22221231231223312222222122331122331123123212320212,212101,1.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧++=++-++=-⨯-=-⎪⎪++=++-++=-⨯-⨯=⎨⎪=⎪⎩ 因此，原方程为()3221g x x x x =++-，故()32992991899g =+⨯+-=. 例10、求有单根1、2-和有重根3的四次方程.解析 由题意可得，设四次多项式()()()()2123f x a x x x =-+-，由推广的韦达定理可得()()()()()()()()()1233512131323331,12131323331,12312313323321,123318.--++=-⨯-+⨯+⨯+-⨯+⨯=⎧⎪⨯-+⨯+⨯+-⨯+⨯=⎪⎨-⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯+-⨯⨯=⎡⎤⎪⎣⎦⎪⨯-⨯⨯=-⎩ 故()432521180f x x x x x =-++-=，即所求四次方程为432521180x x x x -++-=. 归纳 此类型题目为已知根求一元高次方程，根据推广的韦达定理，可以反推得出一元高次方程的各项系数，进而推得一元高次方程.例11、(2011湖北孝感)已知关于x 方程()22210x k x k --+=有两个实根12,.x x（1）求k 的取值范围；（2）若12121x x x x +=-，求k 的值.解析 （1）由题意可知，可得22244(1)40b ac k k ∆=-=--≥，解得12k ≤.（2）由12121x x x x +=-可得，()12=21x x k +-，又12k ≤，因此()21k -，()2211k k --=-，解得11k =（舍），2 3.k =- 所以，k 的值是3-.归纳 巧妙地将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种学习数学解题方法.同时应该注意考虑方程的根的个数问题，即根式判别式的取值范围.例12、已知一元二次方程24510x x ++=，不解方程，求作以该方程的两根的倒数为根的一元二次方程.解析 由题意可设24510x x ++=的两根为12,x x ，那么所求的方程的根为11x 和21x .由推广的韦达定理可知12125,41.4x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以1212121212115,111 4.x x x x x x x x x x +⎧+==-⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩ 因此，根据韦达定理可得，所求方程为2540x x ++=.归纳 本题巧妙地运用根与系数的关系，把两个方程的根与系数联系起来，为解题提供便道.总结 推广的韦达定理在初等代数、解析几何、方程论、多项式及其他数学领域应用极为广泛，巧妙地运用推广的韦达定理解决一些数学问题，不但可以为解题提供便利之道，还有利于激发学习数学的积极兴趣，并养成严谨的解题习惯.致谢本毕业论文得以顺利完成，首先应当归功于王琪教授的精心指导.无论是选题、资料整理还是在论文撰写等各方面，他都给予大量的指导和帮助，使我不但按时完成了论文，而且还从许多书刊中学到许多课堂上无法学到的知识，真的是受益匪浅，特致以深深的感谢.其次，感谢数学与信息科学学院的领导和教师给予大量的支持，以及贵阳学院有关领导和工作人员的支持与配合.然后，感谢邹兴文先生和周万琼女士的积极支持和大力帮助，在我们共同完成论文的同时，也从各自的身上学到许多以前没有学到的优点，可以说是互相受益成长了.最后要衷心感谢生我养我的父母，您们辛苦了，为了使我能上一个大学，您们付出太多的汗水与操劳，感谢您们对我的养育之恩，感谢您们一直以来对我的支持！感谢这篇论文所涉及到的各位学者.本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文.由于本人的学术水平有限，对本文的写作难免有不足之处，恳请各位老师和学者批评指正！参考文献[1] 人民教育出版社中学数学室. 全日制普通高级中学教科书( 必修). 《数学》第二册(上)[M].北京:人民教育出版社,2011.[2] 杨艳丽,王广福. 韦达定理及其推广应用[J]. 云南保山学院学报,2011(5): 86-88.[3]北京大学数学系几何与代数教研室. 高等数学. 第三版[M].北京: 高等教育出版社,2003.[4] 付兴宏,罗雨滋. 浅谈多项式理论在初等代数中的运用[J], 辽宁师专学报, 199(3):12-15.[5] 余元希,田万海,毛宏德. 初等代数研究(下册)[M]. 北京:高等教育出版社,1988.2.。

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）观察与猜想1、解方程：（1） 2y 2-y-1=0 （2）3x 2-4x=2 解：y=221⨯±--）（ 解：=y 1= ,y 2=则y 1+y 2= ，y 1y 2= 则x 1+x 2= ，x 1x 2= （3）3x 2+7x+2=0解：x= = ,则x 1+x 2= ，x 1x 2= （4）5x+2=3x 2解：x= = ,则x 1+x 2= ，x 1x 2= 想一想：方程的两根之和，两根之积与方程的系数之间存在什么关系？2. 一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1、x 2 ，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知 x 1=aac b b 242-+-,x 2=aac b b 242---能得出以下结果：x 1＋x 2= 即：两根之和等于x 1•x 2= 即：两根之积等于12x x +=aac b b 242-+-+aac b b 242---=aacb b ac b b 24422----+-=太妙了！我想知道为什么？12.x x =aac b b 242-+-×aac b b 242---=2224)4)(4(aac b b ac b b ----+-=2224)()(a-=由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为 x1+x 2=ab -， x 1x 2=ac3. 韦达定理已知12,x x 是一元二次方程的两根，则有12b x x a+=-12c x x a=4. 如果把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为 x 2＋ x ＋ac ＝0(a ≠0)，则以x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为．．．．．．1．）是： x 2-（ ）x ＋x 1x 2＝0(a ≠0) 练习：1、如果x 1，x 2是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，求x 1+x 2和x 1x 2的值。

初中数学韦达定理知识点总结韦达定理一元二次方程a*^2+b*+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac0)中，设两个根为*1，*2那么*1+*2= -b/a*1**2=c/a用韦达定理判断方程的根一元二次方程a*^2+b*+c=0 (a≠0)中，由二次函数推得假设b^2-4ac0 那么方程没有实数根假设b^2-4ac=0 那么方程有两个相等的实数根假设b^2-4ac0 那么方程有两个不相等的实数根推广韦达定理在更高次方程中也是可以运用的。

一般的，对一个一元n次方程∑Ai*^i=0它的根记作*1,*2…，*n我们有右图等式组其中∑是求和，Π是求积。

假如二元一次方程在复数集中的根是，那么由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程在复数集中必有根。

因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。

两端比较系数即得韦达定理。

(*1-*2)的绝对值为√(b^2-4ac)/|a|法国数学家韦达最早发觉代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

知识要领总结：韦达定理证明白一元n次方程中根和系数之间的关系。

韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

中学数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，盼望同学们很好的掌控下面的内容。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条相互垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为*轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③相互垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般状况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上需要相同。

第三讲韦达定理及其应用【趣题引路】韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。

韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。

人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。

历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。

国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。

消息传开，数学界为之震惊。

同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。

韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。

你能利用韦达定理解决下面的问题吗？已知：①a2+2a-1=0,②b4-2b2-1=0且1-ab2≠0,求(221ab ba++)2004的值。

解析由①知1+21a-21a=0,即(1a)2-2·1a-1 =0,③由②知(b2)2-2b2-1=0,④∴1a,b2为一元二次方程x2-2x-1=0的两根.由韦达定理,得1a+b2=2,1a·b2=-1.∴221ab ba++=[(1a+b2)+2ba]2004=(2-1)2004=1.点评本题的关键是构造一元二次方程x2-2x-1=0,利用韦达定理求解,•难点是将①变形成③,易错点是忽视条件1-ab2≠0,而把a,-b2看作方程x2+2x-1=0的两根来求解.【知识延伸】例1已知关于x的二次方程2x2+ax-2a+1=0的两个实根的平方和为714,求a的值.解析 设方程的两实根为x 1,x 2,根据韦达定理,有1212,221.2a x x a x x ⎧+=-⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩于是,x 2212x x +=(x 1+x 2)2-2x 1·x 2=(-2a )2-2·212a -+ =14（a 2+8a -4） 依题设,得14(a 2+8a -4)=714. 解得a=-11或3.注意到x 1,x 2•为方程的两个实数根,则△≥0,但a=-11时,△=(-11)2+16×(-11)-8=-63<0;a=3时,△=32-4×2×(-6+1)=49>0,故a=3.点评韦达定理应用的前提是方程有解,即判别式△≥0,本题容易忽视的就是求出a 的值后,没有考虑a 的值满足△≥0这一前提条件.例2 已知关于x 的方程x 2+2mx+m+2=0,求:(1)m 为何值时,•方程的两个根一个大于0,另一个小于0;(2)m 为何值时,方程的两个根都是正数;(3)m 为何值时,•方程的两个根一个大于1,另一个小于1.解析 (1)据题意知,m 应当满足条件21244(2)0,20.m m x x m ⎧∆=-+>⎨=+<⎩ 即 (1)(1)0,2.m m m -+>⎧⎨<-⎩ 由①,得m>2或m<-1,∴m<-2.(2)m 应当满足的条件是2121244(2)0,20,20.m m x xm x x m ⎧∆=-+≥⎪+=->⎨⎪=+>⎩即21,0,2.m m m m ≥≤-⎧⎪<⎨⎪>-⎩或∴-2<m<-1.(3)m 应当满足的条件是21244(2)0,(1)(1)0.m m x x ⎧∆=-+>⎨--<⎩即21,2(2)10.m m m m ><-⎧⎨+--+<⎩或 ∴21,1.m m m ><-⎧⎨<-⎩或 ∴m<-1.点评若已知含字母系数的一元二次方程的根的范围,求字母系数的范围,应根据已知和韦达定理,灵活地将字母系数应满足的条件一一列出来,然后再求解.【好题妙解】佳题新题品味例 已知△ABC 的边长分别为a,b,c,且a>b>c,2b=a+c,b 为正整数,若a 2+b 2+c 2=84,求b 的值.解析 依题设,有a+c=2b, ①a 2+b 2+c 2=84. ②②可变为(a +c)+2-2ac=84-b 2, ③①代入③,得 ac=25842b -, ④ ∴a 、c 是关于x 的一元二次方程x 2-2bx+25842b -=0的两个不相等的正实数根. 222584440,25840.2b b b ⎧-∆=-⨯>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩即16<b2<28.又b为正整数,故b=5. 点评韦达定理的逆定理是:如果x1,x2满足x1+x2=-ba，x1·x2=ca,那么x1·x2•是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,此解的独特之处在于利用a+c=2b,将a2+b2+c2=84•转变为ac=25842b,从而构造韦达定理逆定理所需的条件.中考真题欣赏例1(2001年河南省)已知关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,•y1,y2是关于y的方程y2+(2-b)y+4=0的两个根,.解析∵关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,∴△=(4b)2-4×4×7b=0,即b2-7b=0.∴b1=0,b2=7.当b=0时,,关于y的方程化为y2+2y+4=0,因△=4-16=-12<0,方程无解.当b=7时,关于y的方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=4,y2=1.∴y2-3y+2=0.点评本题既考查了判别式,韦达定理的逆定理,又考查了分类讨论的思想,b=0时得到的方程无解易忽视,应重视.例2(2001年四川省)已知x1,x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0•的两个非零实数根,问x1与x2能否同号?若能同号,求出相应的m的取值范围;•若不能同号,请说明理由.解析∵关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0有两个非零实数根,∴△=[4(m-1)]2-4×4m2=-32m+16≥0,∴m≤1 2 .又x1,x2是方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个实数根.∴x 1+x 2=-(m-1),x 1·x 2=14m 2 假设x 1,x 2同号,则有两种可能:①若x 1>0,x 2>0,则12120,0.x x x x +>⎧⎨>⎩ 即2(1)0,10.4m m -->⎧⎪⎨>⎪⎩ ∴m<1且m≠0,此时,m≤12且m≠0; ②若x 1<0,x 2<0则有 12120,0.x x x x +<⎧⎨>⎩即2(1)0,10.4m m --<⎧⎪⎨>⎪⎩ 而m≤12时方程才有实数根, ∴ 此种情况不可能. 综上所述,当m 的取值范围为m≤12且m≠0时,方程的两实根同号. 点评存在性问题的探索一般是先假设存在,然后据已知和相关知识进行推理,若推理的结论与题设或概念、定理、事实等相矛盾,则假设不成立,从而不存在,•反之则存在.竞赛样题展示例 (1998年江苏初中数学竞赛题)求满足如下条件的所有k 值:使关于x•的方程kx 2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数.解析 (1)当k=0时,方程为x -1=0,有整数根1;(2)当k≠0时,所给方程是一元二次方程,设该方程两整数根为x 1,x 2,则1212111,111.k x x k k k x x k k +⎧+=-=--⎪⎪⎨-⎪==-⎪⎩由①-②,得x 1+x 2-x 1·x 2=-2,即(x 1-1)(x 2-1)=3.∵x 1,x 2为整数,∴1211,13,x x -=⎧⎨-=⎩或1211,13,x x -=-⎧⎨-=-⎩或1213,11,x x -=⎧⎨-=⎩或1213,1 1.x x -=-⎧⎨-=-⎩ 解得122,4,x x =⎧⎨=⎩或120,2,x x =⎧⎨=-⎩或124,2,x x =⎧⎨=⎩或122,0.x x =-⎧⎨=⎩ 代入①得k= -17或k=1. 又∵△=(k+1)2-4k(k -1)=-3k 2+6k+1,当k= -17,k=1时都大于0. ∴满足条件的k 值为k=0或k= -17或k=1. 点评注意到方程二次项系数是参变数k 所以方程可能是一次方程,也可能是二次方程应分别讨论.求参数时,通常由根与系数的关系列出关于k 的式子,消去k,然后因式分解及因数分解求出整数根,从而求参数k.全能训练A 卷1.已知方程x 2+3x+m=0的两根之差为5,求m 的值.2.已知x 1,x 2是方程3x 2-mx-2=0的两个根,且11x +21x =3,求3312x x +的值.3.已知方程x2-4x+2-k2=0,且k≠0,不解方程证明:(1)方程有两个不相等的实数根;(2)一个根大于1,另一根小于1.4.利用根与系数的关系,求一个一元二次方程,使它的两根分别比方程3x2+2x-3=0的两个根的平方多1.5.关于x的方程x2-4nx-3n-1=0 ①,x2-(2n+3)x-8n2+2=0 ②,若方程①的两根的平方和等于方程②的一个整数根,求n的值.6.若a2+11a+16=0,b2+11b+16=0,A 卷答案1.-42.-12∵x 1、x 2为方程3x 2-mx-2=0的两根,∴x 1+x 2=3m ,x 1·x 2=-23 而11x +21x =3,∴m=-6. 因此x 13+x 23=(x 1+x 2)(x 12-x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)[(x=1+x 2)2-3x 1x 2]=-12.3.(1)∵△=(-4)2-4(2-k 2)=4k 2+8>0,∴方程有两个不相等的实数根;(2)(x 1-1)(x 2-1)=x 1·x 2(x 1+x 2)+1=2-k 2-4+1=-k 2-1<0,∴x 1-1,x 2-1中必有一个正数,一个负数.即x 1,x 2中必有一个大于1,另一个小于1.4.9y 2-40y+40=0.设方程3x 2+2x -3=0的根为x 1,x 2,所求方程的根为y 1,y 2,而x 1+x 2=-23,x 1·x 2=-1, ∴y 1+y 2=(x 12+1)+(x 22+1)=(x 1+x 2)2-2x 1x 2+2=(-23)2-2×(-1)+2=409 y 1·y 2=(x 12+1)(x 22+1)=(x 1·x 2)2+(x 12+x 22)+1=(x 1·x 2)+(x 1+x 2)2-2x 1x 2+1=409∴所求方程为y 2-409y+409=0, 即9y 2-40y+40=0.5.0.提示:设方程①的两根为x 1,x 2,则x 1+x 2=4n,x 1·x 2=-3n -1.∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(4n)2-2(-3n-1)=16n 2+6n+2.解方程②得x 1=4n+2,x 2=1-2n.(1)当16n 2+6n+2=4n+2时,n 1=0,n 2=-18, 把n 1=0,代入x 1=4n+2,得x 1=2;把n 2=-18 代入x 1=4n+2,得x 1=32不是整数, ∴n=-18舍去;(2)当16n2+6n+2=1-2n时,n1=n2=-1 4 .把n=-14代入x2=1-2n,得x2=32不是整数,∴n=-14舍去.当n=0时,方程①的△1=4>0,∴n的值为0.6.0(1)当a=b时, -1=0;(2)当a≠b时,a、b是方程x2+11x+16=0两实根，从而有11,16.a bab+=-⎧⎨=⎩14(b-a)=±14=±14B卷1.已知α,β, 是方程x2-7x+8=0的两根,且α>β,不解方程,求2α+3β2的值.2.已知两数之积ab≠1,且2a2+12234 567 890a+3=0,3b2+1234 567 890b+2=0,求a b .3.已知x 1,x 2是方程x 2-2(k -2)x+(k 2+3k+5)=0(k 为实数)的两实根,求2212x x 的最小值.4.如果方程(x -1)(x 2-2x+m)=0的三个实根可以作为一个三角形的三条边,•求实数m 的取值范围.5.若方程(x 2-1)(x 2-4)=k 有四个非零实根,•且它们在数轴上对应的四个点等距排列,求k 值.6.已知a,b,c,d 是四个不同的有理数,且(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1,求(a+c)(b+c)的值.B 卷答案1. 18(403-由题意知α+β =7, αβ=8.于是α2+β2=(α+β)-2αβ=33,(α-β)2=( α+β)2-4αβ=17,又α>β,故α-.令A=2α+3β2,B=2β+3α2,则 A+B=2α+2β+3(α2+β2) =2()αβαβ+ +3(α2+β2)= 278⨯+3×33=4034, ① A- B==2α-2β+3β2 -3α2=2()βααβ-+3(β-α)(β+α)=(β-α)[2αβ+3(β+α)]=28+3×7)=- 4. ②①,②两式相加,得A=18(403-). 2. 32. 设1 234 567 890=m,则有2a 2+ma+3=0,3b 2+mb+2=0,即2(1b )2+m·1b+3=0 ,又a≠1b, 故a 与1b 是二次方程2x 2+mx+3=0的两个不等实根,故a b =a·1b =32. 3.45049 .由韦达定理得, x 1+x 2=2(k -2),x 1·x 2=k 2+3k+5.∴x 12+•x 22=•(•x 1+•x 2)2-2x 1x 2=4(k -2)2-2(k 2+3k+5)=2(k -112)2-1092 又△=4(k -2)2-4(k 2+3k+5)=-28k-4≥0,即k≤-17, 故只有k=-17时,x 12+x 22取最小值为45049. 4. 34<m≤1.由已知x 1=1, 设另两根为x 2,x 3且x 2≤x 3,x 2+x 3=2,x 2·x 3=m.又x 1>•x 3-x 2即23x =解得m>34. 又△=(-2)2-4m≥0,∴m≤1, ∴34<m≤1. 5. 74. 设x 2=y,原方程变为y 2-5y+(4-k)=0,设此方程有实根α,β(0<α<β) , 则原方程的四个实根为, 由于它们在数轴上等距排列,即β=9α,① 又54kαβαβ+=⎧⎨=-⎩ 由此求得k=74且满足△=25+k -16>0. 6.-1.∵ (a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1,∴a 、b(a≠b)是方程(x+c)(x+d)=1的两个不同实根,即为方程x 2+(c+d)x+cd -•1=0的两个实根,∴a+b=-(c+d),ab=cd -1.∴(a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c 2=(cd-1)-(c+d)c+c2=-1.。

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）复习引入 填写下列表格问题：你发现了什么规律？内容分析如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根分别是x 1，x 2，那么a b x x -=+21，ac x x =⋅21． 这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程02=++q px x ，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x2＋px ＋q ＝0的两根，所以,x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此由已知两个数x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．我们来看个题,试试利用韦达定理简不简单例 已知方程5x 2＋kx －6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解：设方程的另一个根为x 1，则5621-=x ，531-=∴x ． 由52)53(k-=+-，得k ＝－7．所以，方程的另一个根为53-．k 的值为－7注：可能觉得这题并不能体现有多简单，如果我们把2改为20112012-，又如何呢？ 一 掌握韦达定理例1：说出下列各方程的两根和与两根积1、0122=+-x x 221=+x x 121=x x 2、021322=-+x x 2321-=+x x 4121-=x x 3、 x x 622= 321=+x x 021=x x4、3x 2 -4x+2=0例2：已知x 1,x 2是方程x 2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出p 和q 的值:（1）2,121==x x p=-3,q=2 （2）6,321-==x x p=3,q=-18 （3）7,721=-=x x p=0,q=-7（4）52,5221-=+=x x p=-4,q=-1二 利用韦达定理求对称式求与方程的根有关的代数式的值，通过转化把对称式转化为与21x x +，21x x 有关的式子，然后整体代入；例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设21,x x 是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，求下列各式的值：(1) 2212x x + (2)221)(x x -2.设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）)3)(3(21--x x ； （2）2221)1()1(+++x x （5）)31)(31(1221x x x x ++三 已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理 例1已知一个直角三角形的两条直角边长恰是方程07822=+-x x 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是___________。